PROCESSOS DE CONSTRUÇÃO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Rosana de Oliveira – UERJ/USS
[email protected]
RESUMO
Este trabalho tem origem na pesquisa que resultou em uma dissertação de mestrado já
concluída. O objetivo foi identificar “marcas” nas falas dos alunos que identificassem a
construção do conhecimento. Nossa premissa foi de que o conhecimento matemático não se
constrói de forma linear. Nesse sentido, não é necessário em alguns casos esperar que os
alunos avancem na escolaridade para produzir significados considerados mais sofisticados.
O foco desse trabalho está na produção de significados para álgebra, cujo objeto
matemático em questão é as seqüências numéricas. Como elementos de análise criaram-se
uma tipologia e um modelo que retrata a dinâmica dos diálogos. Como fruto da fala e da
interação entre os alunos identificou a construção de objetos matemáticos.
Palavras-chave: pensamento algébrico, conhecimento, produção de significados.
Considerações Teóricas
A forma como concebemos a construção do conhecimento tem influência
direta nas práticas pedagógicas dos professores e nas relações que se
estabelecem na sala de aula.
Todo professor tem uma concepção de
conhecimento, consciente ou não e é essa concepção que norteia sua prática
pedagógica. Para podermos falar de ensino e aprendizagem de Álgebra e de
como os alunos constroem conhecimento ou produzem significado para Álgebra,
precisamos dizer como concebemos conhecimento.
Sob o nosso ponto de vista, a maneira de podermos avaliar o processo de
produção de conhecimento do sujeito é através da linguagem, entendendo que
não existe pensamento sem linguagem. Consideramos que a linguagem não é
apenas a escrita ou a fala, mas também gestos, entonações, olhares., desenhos e
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etc. Acreditamos que o objeto se constitui pela linguagem. Mesmo quando,
aparentemente, o sujeito interage diretamente com um objeto, fazendo uso dos
sentidos, estão presentes todos os mecanismos sociais que o envolvem. Significa
dizer que mesmo quando a relação parece ser direta, na realidade estão
presentes as convenções sociais, os sentimentos, as convicções, e todo este
conjunto dá sentido a interação do indivíduo com o objeto. Usando de força de
expressão, poder-se-ia dizer que a relação entre o sujeito e o objeto é, na
realidade, uma relação entre sujeito e sujeitos.
Concordamos com Lins (1993) quando, em seu Modelo Teórico dos
Campos Semânticos, ele define conhecimento como o par (crença-afirmação,
justificações). Para uma mesma crença e diferentes justificações teremos
diferentes conhecimentos.
O Modelo Teórico dos Campos Semânticos (MTCS), traz uma perspectiva
diferente, admite que o conhecimento do aluno não é o mesmo do professor
porém, ambos, são considerados legítimos e portanto é preciso saber sobre o
conhecimento do aluno que objetos ele constitui para textos que o professor lhe
oferece, como ele produz o seu conhecimento.
Conhecimento é entendido como uma crença, algo que o sujeito acredita
e expressa, e que se caracteriza portanto como uma afirmação junto com
que o sujeito considera ser uma justificação para sua crença-afirmação
(LINS, 1993).
Esta concepção nos permite fazer a seguinte interpretação da situação a
seguir. Um aluno de 5a série e um professor de Matemática, ao serem
questionados sobre qual o próximo termo da seqüência 6,9,12,15..., ambos sabem
responder e afirmam ser 18. Porém, se pede para justificarem suas crençasafirmações, o aluno justifica, dizendo que a seqüência caminha de 3 em 3 logo o
próximo termo é, 15 mais 3 igual a 18, e o professor justifica dizendo que, como o
termo geral da seqüência é 3n +3, onde n é a posição dada, como o próximo
termo é o 5º, então 3 vezes 5, 15, mais 3 igual a 18. Enquanto o aluno se apoia no
que está “vendo”, nas relações ali estabelecidas, o professor estabelece uma
regra geral para encontrar qualquer termo da seqüência. Segundo o MTCS, os
dois, possuem conhecimentos diferentes, porque apesar de partilharem da mesma
crença, utilizaram justificações diferentes.
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Quando um sujeito se depara com um texto, no nosso caso o texto
matemático das seqüências, ele começa a dirigir sua atenção para aquele texto,
pensa e fala sobre este texto, produz significado para esse texto. O sujeito
constitui objetos a partir desse texto. O objeto para nós será sempre um objeto de
pensamento i . Vale ressaltar que, nesse processo, se estabelece uma relação
dinâmica entre o sujeito e o objeto, que sob o nosso ponto de vista, traduz - se
numa relação íntima entre o pensamento do sujeito e o seu objeto de pensamento.
Quando o aluno entra em contato com seus interlocutores (ou de alguma
forma é cobrado por outros colegas, pelo professor, ou por ele mesmo) e é posto a
falar sobre determinado texto, o aluno estará produzindo significados e, portanto
constituindo objetos. À medida que o aluno produz significados para um objeto,
constituindo objetos de pensamento, este se modifica passando a ser outro, num
processo que é dinâmico. O que queremos dizer com isso é que o texto, que foi
posto a disposição do sujeito, vai dar origem a construção de conhecimentos num
processo dinâmico que recria algumas das suas características, abandona outras,
podendo mesmo haver resgate de características abandonadas, sem que isso
obedeça a nenhuma hierarquia.
Quando o sujeito volta a sua atenção para o texto, no nosso caso o texto
matemático das seqüências, ele produz significado para esse texto e constitui
objetos. Quando o sujeito, a partir desses objetos, enuncia crenças e as justifica
então produz conhecimento. Sob este ponto de vista, o conhecimento não está no
texto, e sim no sujeito que se propõe a falar sobre determinado texto.
Procedimentos Metodológicos
A pesquisa teve caráter qualitativo e foi realizada da seguinte forma: o
primeiro momento aconteceu nos meses de março, abril, maio e junho, em uma
turma de 5ª série, formada por 35 alunos divididos em sete grupos em escola
pública municipal situada na cidade de Angra dos Reis, no estado do Rio de
Janeiro durante o ano letivo de 1996. A segunda etapa aconteceu nos meses de
agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro, com um grupo de três alunos,
escolhidos aleatoriamente.
A análise do segundo momento foi realizada através de material escrito, de
gravações das falas dos alunos e gravações em vídeo.
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As discussões foram feitas em grupo, porém o registro dos alunos e as
justificações foram coletados individualmente.
O quadro abaixo mostra um resumo da categorização dos problemas e das
seqüências:
Formação
Seqüências da Escada(SE)
2ª ETAPA
Episódio III:
1, 2, 3, 4, 5, ...
2, 4, 6, 8, 10,...
3, 5, 7, 9, 11,...
6, 9, 12, 15,...
Problemas das
escadas
⎣, ⎤ , ⎣, ⎤ , ⎣, ⎤,...
Seqüências de Bloco(SB)
1, 5, 7, 1, 5, 7,...
Episódio I:
Seqüências Iniciais(SI)
Em Busca por Lei de
Episódio II:
Tipologia
O nosso objetivo é buscar compreender como os alunos constroem uma
rede de significados para seqüências. Não estaremos preocupados com o fato de
eles chegarem ou não ao termo geral esperado. Chegar ou não ao termo geral de
uma seqüência é apenas mais uma possibilidade nessa rede de significados que
eles produzem.
A nossa procura será pelas “marcas” que indicam como os alunos estão
produzindo significados para seqüências, como os alunos constituem objetos de
pensamento, e como a linguagem revela esses objetos, envolvidos numa atividade
algébrica. Essa procura não será aleatória e levará em conta algumas premissas.
A nossa conjectura, que pretendemos mostrar através deste trabalho, é
que os alunos, ao buscarem o termo geral para uma seqüência, percorrem
caminhos não lineares. Criamos para isso uma tipologia de processos de
produção de conhecimento. Dependendo da seqüência proposta, eles se
apropriam de alguns tipos de conhecimentos, e quando são propostas novas
seqüências eles utilizam-se, ou não, desses tipos de conhecimentos, não
necessariamente numa mesma ordem.
É importante observar que o nosso olhar estará dirigido para dois focos
distintos: um deles estará voltado para a análise da relação entre uma crença e
sua respectiva justificação, o outro para a relação dinâmica que se estabelece
entre crenças e justificações, no calor do debate. Em ambos os casos o interesse
estará voltado para a produção de significados.
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Para análise do primeiro foco estabelecem-se quatro tipos pelos quais os
alunos transitam na busca do termo geral de uma seqüência.
A seguir descrevemos cada um dos tipos de processo de produção de
conhecimento e quais suas principais características.
Termo Seguinte.
Neste tipo o aluno identifica a relação que se estabeleceu entre os termos
dados. Identifica o próximo termo enunciando através da fala ou da escrita o
próximo termo e a razão da seqüência. Escreve a seqüência termo por termo em
busca de uma posição pedida.
Relação entre Posição e Termo.
Neste tipo o aluno busca relações entre os termos e suas respectivas
posições. Para isso precisava visualiza o termo pedido na seqüência para criar
enunciados que relacionam o termo geral com a posição. Algumas vezes, usa
algumas relações conhecidas (que se tornaram crenças), como ponto de partida
para descoberta de novas relações.
Termo Geral.
O aluno enuncia através da fala uma regra. Verifica seu funcionamento e
procura argumentos para convencer a si mesmo ou aos outros de que a regra
funciona para todos os termos da seqüência (esse convencimento vem a partir de
algumas tentativas bem sucedidas).Utiliza esta regra para encontrar qualquer
termo e enuncia através da escrita.
Isomorfismo de Estrutura de Objetos
O aluno consegue identificar numa seqüência uma regra de formação
isomorfa à de outra seqüência. Ele estabelece a relação entre as regras de
formação para buscar o termo geral de uma seqüência.
Faremos um levantamento das crenças e justificações produzidas pelos
alunos, portanto estaremos enunciando conhecimentos. A noção que estamos
trazendo de conhecimento difere da visão tradicional, sob o nosso olhar o
conhecimento não é abrangente. É comum as pessoas usarem expressões como
“conhecimento matemático”, “conhecimento científico”, “conhecimento médico”,
essas expressões atribuem certa universalidade ao conhecimento. A noção que
estamos trabalhando diz que o conhecimento é do sujeito, naquele momento e no
interior da atividade em que ele está envolvido.
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Acreditamos que a função do professor seja buscar perceber quais são os
objetos de pensamento sobre os quais os alunos estão produzindo significado em
suas salas de aula e promover situações que possibilitem novas significações e
novas estratégias de construção do conhecimento.
Para análise do segundo foco, estabelecemos quatro modelos que indicam
como acontece essa relação entre crenças e justificativas.
Modelo
A elaboração dos modelos que visam relacionar a dinâmica entre crenças e
justificações tem origem no trabalho de pré-análise do material coletado na
pesquisa.
Num primeiro olhar confundia-se crenças e justificações. Um segundo olhar
mostrou que a qualidade de ser crença ou justificação dependia do lugar que a
afirmativa ocupava na enunciação. Uma mesma afirmativa apareceu ora como
crença, ora como justificação. Além disso, uma mesma crença se repetia em outra
situação quando produzia um conhecimento que convencia, mesmo que a
situação não a comportasse.
A forma como essas afirmativas se relacionavam, revelando uma estratégia
argumentativa, é que possibilitou dar coerência ao debate. A própria maneira
como o aluno organiza sua argumentação a forma como a réplica se manifesta em
relação à estratégia utilizada por ele (ou seja, o encadeamento do debate)
permitiram a localização de uma crença ou de uma justificação.
Modelo
Frant - Rabello - Oliveira
Dinâmica dos Processos de Construção do Conhecimento
(A1 , J1)
Modelo A
(Crenças diferentes, justificações diferentes)
(A2 , J2)
(A3 , J3)
(A1 , J1)
Modelo B
(Crenças iguais , justificações diferentes)
(A1 , J2)
(A1 , J3)
(A1 , J1)
Modelo C
(Crenças diferentes, justificações iguais)
(A2 , J1)
(A3 , J1)
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(A1 , J1)
ou
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(A1 , J1)
Modelo D
(J1 , J2)
(A2 , A1)
(Crenças tornam-se justificações ou justificações
tornam-se crenças)
(J2 , J3)
(A3 , A2)
Os quadros a seguir exemplificam um trecho de um dos episódios, onde
aplicamos os modelos de análise e os objetos matemáticos constituídos pelos
alunos através de suas falas.
Crenças
Seqüência
CE1R - A seqüência
caminha de 3 em 3.
CE2N - Se a seqüência
começasse com 3 o 4º
termo seria 3 x 4 = 12.
CE3V - O quinto termo
é cinqüenta e quatro.
CE4N - O quinto termo
é dezoito.
CE5N - O centésimo
termo é o vinte e cinco.
CE5N
CE5N
CE6N - Não vai existir o
centésimo termo, vai vai
ser maior ou menor que
cem.
CE7N - O décimo
segundo termo é 42.
CE8R - O décimo
segundo termo não é
42.
CE9V - O 16º termo que
vai ser 50.
Justificações
6, 9, 12, 15,...
JE1N - Contar nos dedos.
JE2N - 3 x1, 3, 3 x 2, 6, 3 x 3, 9,
3 x 4, 12, 3 x 5, 15, 3 x 6, 18, 3 x
7,21.
Crença
Conhecimentos
(CE1R , JE1N)
(CE2N , JE2N)
Tipos
Termo
Seguinte
Relação entre
Posição e
Termo.
abandonada
JE3N - Se nesta seqüência (3, 6,
9, 12,...) o quinto termo é quinze
na outra (6, 9, 12, 15...) o quinto
termo vai dar dezoito.
JE4N - Peguei a 4a posição que
era 15 peguei a 8a, aí eu peguei
15 + 15 não dava o número da 8a
posição que é o 30.
JE5R - Tem que pegar o dobro
da seqüência e somar 3.
JE6N - Ele falou que a gente
pegou a 4a posição com a idéia
de que dava a 8a e a gente
somou 15 + 15 que dava 30,
dava a 9a posição aí diminuiu
mais 3 para dar a 8a .
JE7N - Eu peguei a metade de
100 e um a menos, dois a
menos, que era o número que
estava antes do 50, eu somei 48
+ 48 não chegou a dar a
centésima posição, eu peguei o
número que estava depois do 50
o 51, 51 + 51, 102. Deu para ver
que a centésima posição não
tem, a centésima seqüência não
tem.
Crença
abandonada
JE8R - O décimo terceiro termo é
42.
(CE8R , JE8R)
JE9V - Fazendo aqui na cabeça.
(CE9V , JE9V )
(CE4N , JE3N)
Isomorfismo
de Estrutura
(CE5N , JE4N)
Relação entre
Termo e
Posição
(CE5N , JE5R)
Termo Geral
(CE5N , JE6N)
Relação entre
Termo e
Posição
(CE6N , JE7N)
Relação entre
Termo e
Posição
Termo
Seguiinte
Termo
Seguinte
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CE10N - Pega a
seqüência, da metade
do número, soma e
depois diminui 3.
CE11N - O décimo
quinto termo é 48.
CE12N - Se para os
números que tem
metade diminui 3, então
para os que não tem
metade diminui dois.
Problema
CE13R - Para construir
uma escada de dois
degraus serão gastos
10 pedaços de madeira.
CE14N - Para construir
uma escada de dois
degraus serão gastos 8
pedaços de madeira.
CE15R - Para construir
uma escada de oito
degraus serão gastos
28 pedaços de madeira.
CE16N - Para construir
uma escada de oito
degraus serão gastos
26 pedaços de madeira.
CE17N - Para fazer
uma escada de 6
degraus gastará 20
pedaços de madeira.
CE17N -
JEX
JE10N - Então é só você pegar
24 mais 24 e não diminuir
quando não tiver metade
JEX
das
(CE10N , JEX)
(CE11N , JE10N)
(CE12N , JEX)
(CE13R, JE14R)
JE13N - Constrói a escada de
dois andares.
(CE14N - JE13N)
JE18N - Cinco vezes cinco, vinte
e cinco, menos cinco, que ele
joga os cinco da primeira, dá
certo, só não sei se vale para
todos.
Termo Geral
Relação entre
Posição e
Termo
Termo Geral
escadas
JE14R
JE14R - Para construir a escada
de quatro andares gastou
quatorze pedaços de madeira,
então, para construir uma
escada com o dobro de degraus
gastará vinte e oito pedaços de
madeira que é o dobro de
quatorze.
JE15N - A escada de 4 degraus
gasta 14 pedaços de madeira, a
de 5 gastará 17, a de 6 degraus
20, a de 7 degraus 23 e a de 8
degraus gastará 26 pedaços de
madeira.
JE17N - Porque 5 vezes 6 é 20.
8
(CE15R - JE14R)
Relação entre
Posição e
Termo.
Termo
seguinte
Relação entre
Posição e
Termo.
(CE16N, JE15N)
Termo
seguinte
(CE17N - JE17N)
Termo Geral
(CE17 N- JE18N)
Termo Geral
Considerações Finais
Neste episódio não foi detectada nenhuma hierarquia dos tipos de
conhecimento.
Na seqüência 6, 9, 12, 15....os alunos iniciam o diálogo com um
conhecimento do tipo Termo Seguinte. A maior incidência são conhecimentos do
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tipo Relação entre Termo e Posição. As ocorrências dos conhecimentos do tipo
Termo Seguinte se estabelecem nas justificações que indicam ações de “Contar
nos dedos” e “Fazendo aqui na cabeça”. O tipo Isomorfismo de Estrutura de
Objetos pode ser identificado quando os alunos comparam duas seqüências e
suas relações.
O problema das escadas caracterizou-se por ter uma estrutura diferente
dos demais textos propostos, os alunos tinham uma situação problema a ser
resolvida e tinham palitos para usarem como pedaços de madeira. Em vários
momentos do diálogo a professora pede que eles registrem o que estão fazendo,
em nenhum momento a representação que usamos nas seqüências (termos
alinhados e as posições sobre os termos) apareceu. Praticamente durante todo o
diálogo os conhecimentos construídos pelos alunos estavam relacionados ao tipo
Termo Seguinte, aqueles conhecimentos produzidos que tratavam do tipo Relação
entre Posição e Termo foram construídos com o uso de justificações que não se
aplicavam àquele caso.
A partir de certo momento do diálogo os alunos levantaram algumas
conjecturas mas a professora não gerou perguntas que de alguma forma os
fizessem modificar sua linguagem e portanto constituir novos objetos. Só
posteriormente, durante a análise pudemos perceber a riqueza das conjecturas
que os alunos traziam. Verificamos que, assim como disse Lins (1997), os
significados são produzidos no interior das atividades.Neste problema os alunos
produziram significados diferentes daqueles em que o texto eram seqüências
numéricas.
Os alunos levantaram a seguinte conjectura para criar um termo geral, a
solução do problema: Construir escadas de um degrau e colocá-las umas sobre as
outras, uma certa quantidade de pedaços de madeira deveria ser retirada para que
ficassem o número total a ser gasto. Estas conjecturas levariam, também, a
criação de um termo geral para a seqüência de madeiras.
Para uma escada de um degrau seriam gastos 5 pedaços de madeira,
seguindo a suposição dos alunos uma escada de dois degraus seriam gastos 5
vezes 2 degraus que totalizam 10 degraus, porém ao conferirem com a escada
construída com os palitos apenas 8 pedaços foram necessários. Portanto 2
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pedaços de madeira deveriam ser retirados, se seguirmos este tipo de raciocínio
para 3, 4, 5, ...degraus teremos a seguinte tabela abaixo.
d
n
5n
t
t-p
S
p
1
1
5x1
5
5 -0
5
0
2
2
5X2
10
10-2
8
2
3
3
5x3
15
15 - 4
11
4
4
4
5x4
20
20 - 6
14
5
5
5
5x5
25
25 - 8
17
6
6
6
5x6
30
30 - 10
20
8
d = Número de degraus
n = Quantidade de escadas de um degrau (n)
t = Quantidade de pedaços de madeira gastos ao se sobrepor as escadas.
p = Quantidade de pedaços de madeira a serem retirados.
S = Número de pedaços de madeira gastos
Dessa tabela poderia ser retirada uma série de relações, como por
exemplo: t = 5n, S = 5n - p, S = t - p. Observe que a questão é saber como obter o
valor de p em função do número de degraus para poder encontrar o valor de S,
número de pedaços de madeira a ser gasto. Podemos escrever p = 2(d -1),
podemos dizer também que S = 5n - 2(d - 1). Sendo n=d então podemos deduzir
que a relação acima se reduz a S = 3d - 2. Esta relação só tem validade se o
número de degraus for igual ao número de degraus sobrepostos, se tivéssemos
que produzir significado para a seqüência 5, 8, 11, 14, 17,... Esta última relação
será sempre verdadeira. Quando os alunos falaram sobre esses possíveis
significados, suas falas demonstraram uma grande confusão.
Este quadro ilustra o quanto o pensamento algébrico deve ser explorado
com alunos ainda jovens, os significados produzidos farão com que os alunos
constituam um leque de objetos matemáticos bastante sofisticados.
Neste Episódio os alunos usam os objetos constituídos no Episódio anterior
e constituem novos objetos. Acreditamos que a constituição de um objeto não seja
algo pronto e estático, ao constituírem novos objetos, que de uma certa forma
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giravam em torno das Seqüências, o objeto Seqüências se modifica e este foi um
processo dinâmico vivido pelos alunos através das atividades.
Novos usos da linguagem ocorreram e estaremos associando esses novos
usos aos objetos.
Objetos Constituídos
Usos dos Alunos
• O que vem antes
• O que vem mais antes
Sucessor e Antecessor
• Contar nos dedos
• Um a menos
• Número que não tem metade
Par e Ímpar
• Número que tem metade
• O termo é igual ao dobro da posição
Função
menos 3.
• Se par ... e Se ímpar...
Neste episódio, é constituído um novo objeto: o antecessor.
O objeto Sucessor nessa seqüência gera dois significados diferentes,
algumas vezes os alunos falavam na escada com um degrau, com dois degraus,
mas falando de um único objeto que era uma escada onde está sendo
acrescentado mais um degrau e, portanto mais três pedaços de madeira. O outro
significado abordado referia-se a escadas distintas, ou seja, eu construo uma de
cinco andares, depois construo uma de seis andares, portanto a relação se
estabelece entre duas escadas.
Para Par e Ímpar os alunos falam de “ter ou não metade”, falam levando em
conta o universo dos números Naturais. Apesar de constar nos currículos
escolares o estudo dos números racionais positivos, os textos matemáticos
envolvendo estes números são muito pouco discutidos com os alunos.
Sobre a ocorrência dos Modelos neste Episódio temos a seguinte tabela.
Modelo A
(CE1R , JE1N)
(CE2N , JE2N)
CE4N , JE3N)
(CE5N , JE4N)
(CE14N , JE13N)
(CE15R ,JE14R )
Modelo B
(CE5N , JE4N)
(CE5N , JE5R)
(CE5N , JE6N)
(CE17N ,JE17N)
(CE17 N, E18N)
Modelo C
(CE10N , JEX)
(CE12N , JEX)
(CE13R,JE14R)
(CE15R JE14R)
Modelo D
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A maior ocorrência é do Modelo A, os conhecimentos foram abandonados
na dinâmica do diálogo, talvez por não ser simples falar sobre o conhecimento do
outro. As crenças CE3V e CE7N foram enunciadas e abandonadas, nos dois casos
eram respostas erradas. Acreditamos que a justificação não foi enunciada pelos
outros participantes do grupo porque não compartilharam aquela crença. No caso
da CE7N fica evidente, pois logo a seguir Jairo enuncia uma nova crença que diz
que a resposta da Angélica está errada.
As ocorrências dos Modelos B e C indicam mais uma vez que “boas”
crenças e justificações são apropriadas pelos sujeitos e eles fazem uso delas,
sendo ou não apropriadas à atividade.
Referências
LINS, R. C. Epistemologia, História e educação Matemática: Tornando mais
sólidas as Bases da Pesquisa. Revista de Educação Matemática da SBEM: São
Paulo, 1993
__________
Modelo
Teórico
dos
Campos
Semânticos:
Uma
análise
epistemológica da álgebra e do pensamento algébrico. Blumenau: Revista
Dunamis, 1994.
LINS, R. C. e GIMENEZ, J. - Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século
XXI - Papirus, 1997.
OLIVEIRA, R. - Pensando Algebricamente antes da 7ª série: Uma Outra
Perspectiva sobre os Processos de Construção do Conhecimento - Dissertação de
Mestrado ,USU - RJ, defendida em dezembro de 1997.