APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO
6.2
Volumes
Nesta seção aprenderemos a usar a integração
para encontrar o volume de um sólido.
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SÓLIDOS IRREGULARES
ƒ Começamos interceptando S com um plano
e obtemos uma região plana chamada
seção transversal de S.
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SÓLIDOS IRREGULARES
ƒ Seja A(x) a área da secção transversal de
S no plano Px perpendicular ao eixo x e
passando pelo ponto x, onde a ≤ x ≤ b.
• Pense em fatiar S
por x e calcular a
área de uma fatia.
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SÓLIDOS IRREGULARES
ƒ Vamos dividir S em n fatias de larguras
iguais a ∆x usando os planos Px1, Px2, . . .
para fatiar o sólido.
• Pense em fatiar um filão de pão.
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DEFINIÇÃO DE VOLUME
ƒ Seja S um sólido que está entre x = a e
x = b.
ƒ Se a área da secção transversal de S no
plano Px, passando por x e perpendicular ao
eixo x, é A(x), onde A é uma função
contínua, então o volume de S é:
n
b
i =1
a
V = lim ∑ A( xi *)Δx = ∫ A( x) dx
x →∞
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ESFERAS
Exemplo 1
ƒ Mostre que o volume de uma esfera de raio
r é V = 43 π r 3 .
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Exemplo 1
ESFERAS
ƒ Assim, a área da secção transversal é:
A( x) = π y = π (r − x )
2
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2
2
Exemplo 1
ESFERAS
ƒ Usando a definição de volume com a = -r e
b = r, temos:
V = ∫ A( x) dx = ∫ π ( r − x ) dx
r
r
−r
−r
r
= 2π ∫ (r − x ) dx
2
2
2
2
(O integrando é par.)
0
r
3
⎡ 2
⎤
⎛
x
r ⎞
3
= 2π ⎢ r x − ⎥ = 2π ⎜ r − ⎟
3 ⎦0
3⎠
⎣
⎝
3
= πr
4
3
3
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ESFERAS
ƒ Observe que quando aumentamos o
número de cilindros aproximantes, a
correspondente soma de Riemann torna-se
mais próxima do volume verdadeiro.
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ESFERAS
Exemplo 2
ƒ Encontre o volume do sólido obtido pela
rotação em torno do eixo x da região sob a
curva y = x de 0 até 1.
ƒ Ilustre a definição de volume esboçando
um cilindro aproximante típico.
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ESFERAS
Exemplo 2
ƒ A região é exposta na Figura 6(a). Se
fizermos a rotação em torno do eixo x,
obteremos o sólido mostrado na Figura 6(b).
• Quando fatiamos
no ponto x,
obtemos um
disco com
raio x .
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Exemplo 2
ESFERAS
ƒ A área dessa secção transversal é:
A( x) = π ( x ) = π x
2
ƒ O volume do cilindro aproximante (um
disco com espessura ∆x) é: A( x)Δx = π xΔx
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ESFERAS
Exemplo 2
ƒ O sólido está entre x = 0 e x = 1.
1
∫ A( x)dx
= ∫ π xdx
ƒ Assim, o seu volume é: V =
0
1
0
1
x ⎤ π
=π ⎥ =
2 ⎦0 2
2
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ESFERAS
Exemplo 2
ƒ Encontre o volume do sólido obtido pela
rotação da região limitada por y = x3, Y = 8,
e x = 0 em torno do eixo y.
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Exemplo 2
ESFERAS
ƒ Como a região é girada ao redor do eixo y, faz
sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao
eixo y e, portanto, integrar em relação a y.
• Se fatiarmos a uma
altura y, obteremos
um disco circular
com raio x, onde
x=
3
y
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Exemplo 3
ESFERAS
ƒ Então, a área da seção transversal em y é:
A( y ) = π x = π ( y ) = π y
2
2
3
2/3
ƒ E o volume do cilindro aproximante
mostrado é:
A( y )Δy = π y Δy
2/3
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Exemplo 4
ESFERAS
ƒ Como o sólido está entre y = 0 e y = 8, seu
volume é:
8
V = ∫ A( y ) dy
0
8
= ∫ π y dy
23
0
96π
⎡
3
3⎤
=π 5 y
=
⎢⎣
⎥⎦ 0
5
5
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8
ESFERAS
Exemplo 4
ƒ A região R, limitada pelas curvas enclosed
by the curves y = x e y = x2 é girada em
torno do eixo x.
ƒ Encontre o volume do sólido resultante.
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ESFERAS
Exemplo 4
ƒ As curvas y = x e y = x2 interceptam nos
pontos (0, 0) e (1, 1).
• A região entre esses pontos, o sólido de rotação e a
secção transversal perpendicular ao eixo x são
mostrados na Figura.
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Exemplo 4
ESFERAS
ƒ A A secção transversal no plano Px tem o
formato de uma arruela (um anel) com raio
interno x2 e raio externo x, de modo que
calculamos a área da secção transversal
subtraindo a área do círculo interno da área
do círculo externo:
A( x) = π x − π ( x )
2
2 2
= π (x − x )
2
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4
Exemplo 4
ESFERAS
1
ƒ Portanto, temos: V = ∫ A( x) dx
0
1
= ∫ π ( x 2 − x 4 ) dx
0
1
⎡x
x ⎤
=π ⎢ − ⎥
5 ⎦0
⎣3
2π
=
15
3
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5
SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
ƒ Em geral, calculamos o volume de um sólido de
revolução usando a fórmula básica da definição
b
V = ∫ A( x) dx
ou
a
V = ∫ A ( y ) dy
d
c
ƒ Encontramos a área da secção transversal A(x) ou
A(y) por uma das seguintes maneiras.
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SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
1. Se a secção transversal é um disco (como
nos Exemplos 1–3), encontramos o raio
do disco (em termos de x ou y) e usamos:
A = π(raio)2
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SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
ƒ
Se a secção transversal é uma arruela (como
nos Exemplos 4 e 5), encontramos o raio interno
rin e o raio externo rex a partir de um esboço.
•
Calculamos a área da arruela subtraindo a área do
disco interno da área do disco externo:
A = π (raio externo)2 – π (raio interno)2
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SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Exemplo 6
ƒ A Figura mostra uma secção transversal
horizontal. É uma arruela com raio interno
1 + y e raio externo
1+ y.
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SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Exemplo 6
ƒ Assim, a área de seção transversal é:
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SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
ƒ O volume é:
Exemplo 6
1
V = ∫ A( y )dy
0
(
= π ∫ ⎡ 1+ y
0⎢
⎣
1
1
(
)
2
− (1 + y ) ⎤ dy
⎥⎦
2
)
= π ∫ 2 y − y − y 2 dy
0
1
⎡ 4 y 2 y 2 y3 ⎤ π
=π ⎢
− − ⎥ =
2
3⎥
2
⎢⎣ 3
⎦0
3
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VOLUMES
ƒ Agora encontraremos os
volumes de três sólidos que
não são de revolução.
ƒ A Figura mostra um sólido
com base circular de raio 1.
Secções transversais
paralelas perpendiculares à
base são triângulos
equiláteros. Encontre o
volume do sólido.
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VOLUMES
Exemplo 7
ƒ Consideremos o círculo como x2 + y2 = 1.
ƒ O sólido, sua base e uma secção
transversal típica a uma distância x da
origem são mostrados na Figura.
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VOLUMES
Exemplo 7
ƒ Como B está no círculo, temos y = 1 − x
ƒ Assim a base do triângulo ABC é
|AB| = 2 1 − x 2
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2
VOLUMES
Exemplo 7
ƒ Como o triângulo é equilátero, vemos que a
altura é 3 y = 3 1 − x 2
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VOLUMES
Exemplo 7
ƒ A área da secção transversal é, portanto:
A( x) = ⋅ 2 1 − x ⋅ 3 1 − x
2
1
2
= 3(1 − x )
2
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2
VOLUMES
Exemplo 7
ƒ O volume do sólido é:
1
V = ∫ A( x) dx
−1
=∫
1
−1
3(1 − x ) dx = 2 ∫
2
1
0
1
⎡
x ⎤
4 3
= 2 3 ⎢x − ⎥ =
3 ⎦0
3
⎣
3
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3(1 − x ) dx
2
VOLUMES
Exemplo 8
ƒ Encontre o volume de uma pirâmide de
base quadrada com lado L e cuja altura é h.
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VOLUMES
Exemplo 8
ƒ Colocamos a origem O no vértice da
pirâmide e o eixo x ao longo do seu eixo
central.
• Qualquer plano Px que
passa por x e é
perpendicular ao eixo
x intercepta a pirâmide
em um quadrado com
lado de comprimento s.
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VOLUMES
Exemplo 8
ƒ Podemos expressar s em termos de x
observando que, para os triângulos
semelhantes na Figura, x = s 2 = s de forma
h
L 2
L
que s = Lx/h.
• Outro método é
observar que a reta
OP tem uma inclinação
L/(2h), e desse modo
a sua equação é
y = Lx/(2h).
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Exemplo 8
VOLUMES
ƒ Portanto, a área da secção transversal é:
2
L 2
A( x) = s = 2 x
h
2
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VOLUMES
Exemplo 8
ƒ A pirâmide está entre x = 0 e x = h; assim o
seu volume é:
h
V = ∫ A( x) dx
0
=∫
h
0
2
L 2
x dx
2
h
h
2
⎤
L x
Lh
= 2 ⎥ =
3
h 3 ⎦0
2
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3