Faculdade de Engenharia
Problemas sobre Magnetostática
ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO
MIB
Maria Inês Barbosa de Carvalho
Setembro de 2007
MAGNETOSTÁTICA
Faculdade de Engenharia
ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO – MIB 2007/2008
LEI DE BIOT-SAVART
PROBLEMA RESOLVIDO
1.
Considere um semi-anel circular de raio R que transporta uma corrente estacionária de
intensidade I. Admitindo que o semi-anel está no plano xy, e que o seu eixo coincide
com o eixo dos zz, determine o campo de indução magnética no ponto P (0, 0, h)
x
R
I
P
h
z
y
Resolução:
Quando se pretende determinar o campo de indução magnética criado por uma dada
distribuição de corrente num problema que não tem simetria, é necessário recorrer à lei de
Biot-Savart. Esta tem na magnetostática um papel semelhante ao da lei de Coulomb na
electrostática. De acordo com a lei de Biot-Savart, o campo de indução magnética criado
por uma distribuição linear de corrente (os enunciados desta lei para distribuições
superficiais e volumétricas de corrente são análogos) é dado por
r
r µ 0 I dl × rr
B=
4π ∫L r 3
r
onde L é o contorno do circuito percorrido pela corrente I, dl é um vector elementar
r
r
tangente a esse contorno em cada ponto e r é o vector que aponta desse elemento dl para
o ponto onde se quer calcular o campo de indução magnética.
2
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Apesar de na figura do problema estarem representados os eixos coordenados cartesianos,
r
deve utilizar-se no cálculo de B o sistema de coordenadas cilíndricas ( ρ , φ , z ) , o qual se
x
r
dl
r
r
R
P
I
h
z
y
adapta perfeitamente à geometria do problema. O eixo dos zz é o que aparece representado
r
r
na figura. Na figura estão também representados o elemento dl e o vector r .
r
r
Da observação desta figura facilmente se conclui que dl = R dφ uˆφ e r = − Ruˆρ + huˆ z e
(
que, portanto, r 3 = R 2 + h 2
)
32
e
uˆ ρ
uˆφ
r r
dl × r = 0 R dφ
−R
0
uˆ z
0 = R h dφ uˆ ρ + R 2 dφ uˆ z
h
Substituindo na expressão da lei de Biot-Savart, temos
r
B=
=
(
µ0 I R
4π R 2 + h 2
(
µ0I R
4π R + h
2
)
32
)
2 32
π 2
 π2

 h uˆ ρ dφ + R uˆ z dφ  =
∫ 
 −π∫ 2
−π 2


(2h uˆ x + π R uˆ z )
Na expressão acima, o versor û ρ não passou para fora do sinal de integração porque varia
com a variável de integração φ (ver apêndice e problema resolvido sobre lei de Gauss).
PROBLEMAS PROPOSTOS
1. Um fio condutor de comprimento L é percorrido por uma corrente estacionária de
intensidade I. Determine o campo de indução magnética num ponto P situado no plano
bissector do fio, a uma distância a deste.
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2. Mostre que o campo de indução magnética no centro de um polígono regular de N
lados, circunscrito por uma circunferência de raio R e percorrido por uma corrente
eléctrica estacionária de intensidade I no sentido anti-horário, é dado por
r µ NI  π 
B = 0 tg  aˆn
2πR  N 
onde aˆn é o versor normal ao plano do polígono.
3. Uma folha condutora muito fina tem a forma de uma calha de raio R , comprimento
infinito e abertura angular de π radianos. Na calha circula uma corrente estacionária de
intensidade I no sentido do eixo dos zz . Sabendo que a corrente se distribui
r
uniformemente por toda a calha, determine B num ponto do eixo da calha.
x
z
y
4. Uma corrente estacionária de intensidade I percorre uma fina folha condutora de
largura w e comprimento infinito. A folha condutora esta colocada no plano xy , com a
origem no seu centro. Admitindo que a corrente tem o sentido do eixo dos xx ,
r
determine B no ponto de coordenadas (0, 0, z) .
r
5. Determine B num ponto do eixo de um anel circular de raio R que transporta uma
corrente estacionária de intensidade I .
4
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r
6. Utilizando o resultado do problema anterior, determine B no eixo de um solenóide
formado por um enrolamento de N espiras por unidade de comprimento em torno um
tubo cilíndrico de raio R , percorrido por uma corrente estacionária de intensidade I .
r
Qual o valor de B no eixo de um solenóide infinito?
θ1
P
θ2
SOLUÇÕES
1.
(µ 0 IL )
(4πa
)
a 2 + L2 4 uˆφ
3. − µ 0 I (π 2 R ) iˆ
4. − µ 0 I arctg (w 2 z ) (πw) ˆj
[(
2. µ 0 IR 2 2 R 2 + z 2
)
32
] kˆ
3. µ 0 IN (cosθ 2 − cosθ 1 ) 2 kˆ ;
solenóide infinito:
µ0 IN kˆ
5
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LEI DE AMPÈRE
PROBLEMA RESOLVIDO
1. N voltas de um fio condutor percorrido por uma corrente estacionária de intensidade I
estão enroladas de forma compacta em torno de um núcleo cilíndrico de raio R e
comprimento l (muito longo). Sabendo que o núcleo é feito de um material não
magnético, determine o campo de indução magnética em todo o espaço.
I
z
I
Resolução:
Na resolução deste problema é conveniente utilizar-se o sistema de coordenadas cilíndricas
(ρ ,φ , z ) .
A simetria presente neste problema permite aplicar a lei de Ampère na determinação do
campo de indução magnética. No vazio (ou para um material não magnético), esta lei
afirma que a circulação do campo de indução magnética ao longo de um dado percurso
fechado é igual à corrente que atravessa a superfície limitada por esse percurso a
multiplicar pela permeabilidade magnética do vazio:
r r
B
∫ ⋅ dl = µ 0 I int
Γ
É importante referir que apesar de a lei de Ampère ser sempre válida, deve ser utilizada
apenas quando o problema tem simetria (plana, solenoidal, toroidal ou cilíndrica).
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r
Na expressão anterior, Γ é o percurso fechado, dl é um elemento desse percurso e I int é a
r
corrente que atravessa a superfície limitada pelo percurso. No cálculo da circulação de B
ao longo do referido percurso, o sentido é muito importante. Como regra geral, o sentido
de integração está relacionado com o sentido considerado positivo para a corrente eléctrica
pela regra da mão-direita. Este sentido de integração pode ser indicado matematicamente
r
de duas formas diferentes: ou através do sentido escolhido para o vector dl ou através dos
limites de integração. No entanto, não se deve indicar o sentido de integração
simultaneamente destes dois modos.
Por causa da simetria deste problema, espera-se que o módulo do campo de indução
magnética não dependa de z (porque se admite que o solenóide é praticamente infinito) e
de φ , mas apenas da distância ao fio condutor, a qual depende de ρ , isto é, B = B(ρ ) . Por
r
outro lado, a simetria e a regra da mão-direita permitem-nos afirmar que B tem a direcção
e o sentido do versor û z . Assim, por simples inspecção do problema sabe-se que
r
B = B( ρ )uˆ z . Esta informação vai condicionar a escolha do percurso fechado a utilizar na
lei de Ampère. Obviamente, deve escolher-se o percurso que torne mais simples o cálculo
r
da circulação de B . Neste caso, esse percurso será um percurso rectangular, assente num
plano correspondente a um valor de φ constante, e com dois lados paralelos ao eixo dos zz.
Na figura seguinte, que representa uma secção transversal do solenóide, estão desenhados a
tracejado três percursos possíveis.
R
z
ρ3
ρ2
ρ1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
a
percurso 2
percurso 3
w
percurso 1
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Nesta figura está indicado por setas o sentido de circulação que corresponde a considerarse como positiva a corrente que aponta para nós. Cada percurso tem uma largura w , uma
altura a , e está a uma distância mínima ρ i do eixo dos zz. Consideremos os três percursos
separadamente.
Percurso 1
r
r r
Atendendo a que B = B( ρ )uˆ z , pode facilmente mostrar-se que B ⋅ dl = B ( ρ ) dz e que
r r
∫ B ⋅ dl = [B(ρ1 ) − B(ρ1 + a )]w . Por outro lado, observando a figura conclui-se que
percurso1
nenhuma corrente atravessa a superfície limitada por este percurso. Isso significa que Iint é
igual a zero. Como w ≠ 0 , devemos ter B( ρ1 ) = B( ρ1 + a ) , ou seja, o campo de indução
magnética é constante no exterior do solenóide. Além disso, é de esperar que a uma
distância infinita do solenóide não exista campo de indução magnética ( B( ρ = ∞ ) = 0 ).
r
Isto leva-nos a concluir que B = 0 no exterior do solenóide.
Percurso 2
Neste caso verifica-se que
r
r
∫ B ⋅ dl = [B(ρ ) − B(ρ
2
2
r
+ a )] w = B( ρ 2 ) w (note que B = 0
percurso 2
no exterior do solenóide). Além disso, a corrente que atravessa a superfície limitada por
este percurso é igual a I vezes o número de vezes que o fio condutor atravessa a superfície.
Como N voltas de fio estão enroladas ao longo de um comprimento l do solenóide, o
número de voltas por unidade de comprimento é igual a N/l e, portanto, para este percurso,
Iint=(N/l )w I. Substituindo na expressão da lei de Ampère, obtém-se B( ρ 2 ) = µ 0 nI , onde
n=N/l é o número de voltas do fio por unidade de comprimento. É interessante verificar
que o resultado obtido não depende do valor de ρ 2 , o que leva a pensar que B terá o
mesmo valor em qualquer ponto do interior do solenóide. Essa hipótese é facilmente
verificável considerando a aplicação da lei de Ampère ao percurso 3.
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Percurso 3
À semelhança do que acontecia com o percurso 1, também aqui se verifica que Iint=0.
r
B
é
dada
pela
expressão
Como
neste
caso
a
circulação
de
r r
∫ B ⋅ dl = [B(ρ 3 ) − B(ρ 3 + a )]w , podemos concluir que B(ρ 3 ) = B(ρ 3 + a ) , ou seja, o
percurso 3
campo de indução magnética é constante no interior do solenóide.
Tem-se então
r
Binterior = µ 0 nI uˆ z
r
Bexterior = 0
PROBLEMAS PROPOSTOS
1. Um condutor cilíndrico de raio b e comprimento infinito transporta uma corrente
estacionária de intensidade I .
a) Mostre que o módulo do vector de indução magnética para todo o espaço é dado
por B = µ0 Ir (2πb 2 ), para 0 < r < b , e B = µ0 I (2πr ), para r > b .
b) Do condutor referido é removido um cilindro de
y
diâmetro b /2 e comprimento infinito. O eixo
deste vazio é paralelo ao eixo do condutor (eixo
dos zz ), e intersecta o plano xy no ponto
r
(x = 0, y = b/ 4). Determine B num ponto
b/2
b x
qualquer da cavidade.
NOTA: Use o princípio da sobreposição.
2. Uma superfície plana infinita condutora assente no plano xy é percorrida por uma
corrente eléctrica estacionária de densidade superficial uniforme de valor K segundo a
direcção do eixo dos xx. Determine o campo de indução magnética em qualquer ponto
do espaço.
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SOLUÇÕES
1.
2.
− 2µ0 I (15πb) iˆ
r
z>0: B = − µ 0 K 2 uˆ y
b)
z<0:
r
B = µ 0 K 2 uˆ y
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FORÇA MAGNÉTICA
PROBLEMA RESOLVIDO
1.
Uma espira rectangular de lados a e b, colocada no plano xz, é percorrida por uma
corrente constante de intensidade Ie, com o sentido indicado na figura. Um fio infinito,
localizado no plano yz e paralelo ao eixo dos zz é também percorrido por uma corrente
constante de intensidade If. Sabendo que a distância entre o fio e a espira é A, determine a
força magnética que é exercida sobre cada lado da espira.
z
IV
I
b
Ie
If
a
II
III
I
A
y
x
Resolução:
Um condutor percorrido por uma corrente eléctrica I que esteja colocado numa região do
r
espaço onde exista um campo de indução magnética B sofre a acção de uma força
magnética dada por
r r
r
Fmag = I ∫ dl × B
C
r
onde C é o contorno do circuito e dl é um vector tangente em cada ponto a esse contorno.
Deve ser referido que o sentido de integração é muito importante no cálculo acima. Esse
sentido de integração, que corresponde ao sentido da corrente no circuito, pode ser
r
indicado matematicamente de duas formas diferentes: ou associando ao vector dl o
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sentido da corrente I, ou através dos limites de integração. É, no entanto, necessário ter
cuidado com este passo, uma vez que estes dois processos não podem ser utilizados
simultaneamente. NOTA: Nesta resolução, o sentido de integração será indicado pelos
limites de integração.
Neste problema pretende-se calcular a força magnética que é exercida sobre cada lado da
espira. A espira sofre a acção de uma força magnética porque está colocada numa região
onde existe um campo de indução magnética. Esse campo é o criado pela corrente que
atravessa o fio infinito.
Aplicando a lei de Ampère, pode facilmente verificar-se que o campo de indução
magnética criado pelo fio infinito num ponto a uma distância r do fio tem módulo
B = µ 0 I f 2πr e direcção e sentido dados pela regra da mão-direita:
r
B
If
r
B
r
B
•
r
B
Como queremos calcular a força magnética que se exerce sobre a espira, e esta está
r
colocada no plano xz, temos que determinar a expressão de B para um ponto qualquer do
plano xz. Além disso, por causa da geometria deste problema, a distância de um qualquer
ponto P(x,0,z), pertencente ao plano xz, ao fio infinito não depende de z, mas apenas de x,
sendo dada por
x 2 + A2 :
A
θ
•
If
y
x
θ
r
B
x
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No ponto considerado, o campo de indução magnética criado pela corrente If toma a forma
r
B = B (cosθ uˆ x + sin θ uˆ y ) = µ 0 I 2π x 2 + A 2 (cosθ uˆ x + sin θ uˆ y ) ,
onde
(
cosθ = A
x 2 + A 2 e sin θ = x
)
x 2 + A2 .
Tendo em atenção que a espira se localiza no plano xz, podemos escrever para qualquer
r
lado da espira dl = dx uˆ x + dy uˆ y e
r r
dl × B =
uˆ x
uˆ y
dx
B cosθ
0
B sin θ
uˆ z
dz = − B(sin θ uˆ x + cosθ uˆ y )dz + B sin θ dx uˆ z
0
Calculemos agora a força que actua em cada lado da espira.
Lado I
r r
Para este lado z=constante, o que significa que dz=0. Então, dl × B = B sinθ dx uˆ z e temos
r
FI = I e
a2
∫ B sin θ uˆ
−a 2
z
dx =
µ0Ie I f
2π
a 2
uˆ z
x
dx = 0
2
−a 2 x + A
∫
2
Lado II
Neste
caso
x=a/2,
o
que
significa
que
dx=0.
Então,
r r
dl × B = − B(sin θ uˆ x + cosθ uˆ y )dz = − µ 0 I f 2π a 2 4 + A 2 (a 2 uˆ x + A uˆ y ) e temos
(
r
FII = −
)
µ0Ie I f
z0
µ0 Ie I f b  a
a


ˆ
ˆ
u
+
A
u
dz
=


 uˆ x + A uˆ y 
x
y
∫
2
2
a
2
a
2
 z0 + b

2π 
+ A 2 
2π 
+ A 2 
 4

 4

onde z0 representa a altura do lado da espira mais próximo da origem.
Lado III
r r
Tal como acontecia com o lado I, também neste caso dl × B = B sinθ dx uˆ z e
−a 2
r
µ 0 I e I f −a 2 x
FIII = I e ∫ B sin θ uˆ z dx =
uˆ z ∫ 2
dx = 0
2
π
2
x
+
A
a 2
a 2
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Lado IV
Neste
caso
x=-a/2,
o
que
significa
que
dx=0.
Então,
r r
dl × B = − B(sin θ uˆ x + cosθ uˆ y )dz = − µ 0 I f 2π a 2 4 + A 2 (− a 2 uˆ x + A uˆ y ) e temos
(
r
FIV = −
µ0Ie I f
 a

 − uˆ x + A uˆ y 
2
 2
a

+ A 2 
2π 

 4
)
z0 + b
∫ dz = −
z0
µ0Ie I f b
 a

 − uˆ x + A uˆ y 
 2
a

+ A 2 
2π 

 4
2
NOTA: Compare os limites de integração para os diferentes lados.
PROBLEMAS PROPOSTOS
1. Um fio infinito e uma espira quadrada estão no mesmo plano. O fio é percorrido por
uma corrente I1 e a espira por uma corrente I2 com os sentidos mostrados na figura.
Determine as forças exercidas sobre os lados da espira, indicando as suas direcções e
sentidos.
z
3
I1
I2
4
2
y
1
c
b
a
2. Uma espira triangular, com as dimensões indicadas na figura, está colocada a uma
distância b de um fio infinito percorrido por uma corrente eléctrica estacionária de
intensidade I1. Determine
r
a) o campo de indução magnética criado pelo fio infinito, B1 ;
b) a força resultante que actua sobre a espira, quando esta é percorrida pela corrente
estacionária de intensidade I2 no sentido horário.
z
I1
I2
a
b
a
x
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SOLUÇÕES
1.
2.
r
r
F1 = µ 0 I 1 I 2 ln(1 + a c ) (2π ) kˆ = − F3 ;
r
F4 = µ 0 I 1 I 2 b (2πc ) ˆj
a)
µ 0 I 1 (2πr ) uˆφ ; b)
r
F2 = − µ 0 I 1 I 2 b [2π (c + a )] ˆj ;
− µ 0 I 1 I 2 [a b − ln (1 + a b )] (2π ) iˆ
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COEFICIENTE DE AUTO-INDUÇÃO
PROBLEMA RESOLVIDO
1.
Determine o coeficiente de auto-indução de um solenóide de raio a, comprimento l,
muito longo, constituído por N voltas de um fio condutor, percorrido por uma corrente
I, enrolado de forma compacta em torno de um núcleo não magnético.
I
z
I
Resolução:
Método 1
O coeficiente de auto-indução L é dado por L = Λ I , onde Λ = N Φ é o fluxo de ligação,
N é o número de espiras do circuito e Φ é o fluxo magnético que atravessa uma espira.
Para se poder calcular o coeficiente de auto-indução a partir da expressão acima, é
necessário calcular o fluxo magnético que atravessa uma espira. Por definição, o fluxo
magnético que atravessa uma espira é dado por
r
Φ = ∫ B ⋅ nˆ ds
S
r
onde B é o campo de indução magnética criado pela corrente I que atravessa o circuito e S
é a superfície limitada pela espira.
r
Neste caso, o campo de indução magnética no interior do solenóide é B = (µ 0 NI l )uˆ z (ver
problema resolvido sobre a lei de Ampère). Além disso, escolhendo S como a superfície
correspondente à secção transversal do solenóide ( S = πa 2 ), vem nˆ = uˆ z , o que significa
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r r
que B ⋅ n = µ 0 NI l e Φ = πµ 0 NIa 2 l . A partir deste resultado facilmente se obtém
L = πµ 0 N 2 a 2 l .
Método 2
Para materiais não magnéticos, a energia magnética é dada por
Wm =
1
2µ 0
∫
B 2 dv
todo o
espaço
Neste caso, como o campo de indução magnética toma valores não nulos apenas no interior
do solenóide, pode escrever-se que a energia magnética armazenada é
Wm =
1
2µ 0
∫
B 2 dv
solenóide
Utilizando os resultados obtidos para B e o sistema de coordenadas cilíndricas, temos
1
Wm =
2µ 0
l 2π a
∫
0
πµ 0 N 2 I 2 a 2
∫0 ∫0 (µ 0 NI l ) ρ dρ dφ dz =
2l
2
Por outro lado, a energia magnética armazenada num sistema com um coeficiente de autoindução L é dada por Wm = LI 2 2 , o que significa que
L=
2Wm πµ 0 N 2 a 2
=
l
I2
PROBLEMAS PROPOSTOS
1. Um circuito magnético é formado por duas metades de um toroide de raio médio R ,
área de secção transversal S e por dois entreferros de ar
I
de comprimento y . O material magnético que constitui
as duas metades do toroide tem permeabilidade µ . Em
torno deste circuito magnético enrolam-se de forma
compacta N voltas de um fio condutor percorrido por
y
R
µ
uma corrente eléctrica estacionária de intensidade I .
Determine
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a) o fluxo magnético, Φ , que atravessa este circuito;
b) o coeficiente de auto-indução, L , deste circuito;
c) a energia magnética, Wm , armazenada neste circuito.
2. Um cabo coaxial de comprimento l é constituído por duas superfícies cilíndricas
condutoras coaxiais de raios a e b (a >b , l >>a , b ). Os cilindros estão curtocircuitados numa extremidade e o espaço entre eles está preenchido por material
magnético de permeabilidade µ. Sabendo que o cabo coaxial transporta uma corrente
eléctrica estacionária de intensidade I, determine o seu coeficiente de auto-indução
a) usando o método dos fluxos de ligação;
b) usando a energia magnética.
b
µ
a
l
3. Um cabo coaxial de comprimento l , muito longo, é constituído por um condutor
interior sólido de raio a ( e permeabilidade µ0 ) e uma superfície condutora exterior de
raio b (b > a e l >> a,b ). O espaço entre os dois condutores está preenchido por
material magnético de permeabilidade µ . A distribuição de corrente no condutor
2
interior não é uniforme e a densidade de corrente pode ser aproximada por J = kr ,
onde k é uma constante e r é a distância ao eixo do cabo. A corrente eléctrica total, de
intensidade I , retorna através do condutor exterior.
a) Determine k em função de I e a .
r
b) Determine B em todo o espaço.
c) Determine a energia magnética armazenada neste sistema.
d) Utilizando o resultado da alínea anterior, obtenha uma
expressão para o coeficiente de auto-indução do cabo
z
µ
a
b
coaxial.
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SOLUÇÕES
1. a) NIS [2(πR µ + y µ 0 )] ; b)
N 2 S [2(πR µ + y µ 0 )] ;
c) N 2 I 2 S [4(πR µ + y µ 0 )]
2. µ l ln (a b ) (2π )
( )
3. a) k = 2 I πa 4 ; b)
r > b: 0;
c)
(
)
r < a : µ 0 Ir 3 2πa 4 uˆφ ;
I 2 l [µ 0 8 + µ ln (b a )] (4π ) ; d)
a < r < b : µI (2πr ) uˆφ
l [µ 0 8 + µ ln (b a )] (2π )
19