ELETROMAGNETISMO I
4
25
TRABALHO E POTENCIAL
ELETROSTÁTICO
Nos capítulos anteriores nós investigamos o campo elétrico devido a diversas configurações de
cargas (pontuais, distribuição linear, superfície de cargas e distribuição volumétrica de cargas), a
partir da Lei de Coulomb, da Lei de Gauss e seu conseqüente Teorema da Divergência. No
primeiro caso, as expressões para o vetor intensidade de campo elétrico eram obtidas à custa de
integrações que, conforme a complexidade do problema, poderiam se tornar bastante complicadas.
Já a Lei de Gauss, mais simples de ser utilizada, requer o conhecimento da simetria do problema.
Nos casos em que isso não acontecia, a solução pela Lei de Coulomb ainda seria a mais
recomendável. Ainda quando a simetria não podia ser atendida, o Teorema da Divergência era
aplicado pontualmente, numa extensão da Lei de Gauss aplicada a todo um volume envolto por uma
superfície fechada.
Vamos agora procurar outra maneira de se resolver problemas de eletrostática, dessa vez a partir de
uma função escalar, conhecida como potencial eletrostático, ou campo potencial.
4.1 - TRABALHO ENVOLVIDO NO MOVIMENTO DE UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO
ELÉTRICO
Imagine um campo elétrico devido à presença de uma configuração de cargas qualquer (desde a
mais singela carga pontual até as mais complexas distribuições de cargas lineares, superficiais ou
volumétricas). Desta forma, uma carga pontual de prova Q é colocada nesta região e sobre ela
estará agindo uma força de origem eletrostática, dada por:
r
r
Fe = QE ( N )
(4.1)
Se esta carga for deixada em um ponto desta região de campo elétrico ela será acelerada e se
deslocará até uma distância infinita, onde a ação da força agente sobre ela não se faça mais sentir.
Se quisermos mover essa carga contra a ação do campo elétrico, temos de exercer uma força
mínima de intensidade igual àquela exercida pelo campo elétrico, mas com direção oposta, isto é, na
direção do movimento. Isso exige o dispêndio de energia, ou seja, a realização de um trabalho
(resistente) pela força externa aplicada na carga. Se o movimento desta carga se dá no sentido do
campo elétrico, o dispêndio de energia é negativo, ou seja, a fonte externa não realiza trabalho; este
é realizado pelo campo elétrico.
r
Vamos supor agora o movimento da carga Q de uma distância elementar dL no campo elétrico
r
E uniforme, conforme pode ser mostrado pela figura 4.1. O gasto desta energia incremental dW será
r
r
expresso pelo produto escalar da força aplicada F = − Fe pela distância: Assim,
r r
dW = − QE ⋅ dL
(4.2)
E
Figura. 4.1 Carga Q em um campo elétrico E.
F
Fe
Q
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Como uma conseqüência e pela equação acima, podemos perceber facilmente que se desejarmos
mover a carga perpendicularmente ao campo elétrico, o trabalho realizado será nulo.
Considerando uma trajetória finita, o trabalho realizado pela força externa para mover uma carga
r
pontual Q imersa num campo elétrico E é dado pela integral:
r r
final
W = − Q ∫inic. E.dL (J )
Exemplo 4.1
(4.3)
r
Dado o campo elétrico E =3x 2 .â x +2z.â y +2 y.â z (N/C), determine o trabalho realizado para se mover
uma carga de 20 µC ao longo de um percurso incremental 10-4 m de comprimento, na direção de
− 0,6.â x +0,48.â y − 0,64.â z localizado no ponto (2, –2, –5) m.
Solução:
Como − 0,6.â x +0,48.â y − 0,64.â z = 1
No ponto (2, –2, –5)
r
E =3.(2 2 ).â x + 2.(−5).â y + 2.(−2).â z
dW = − 20.10 −6.(12.â x −10.â y −4.â z ) ⋅
r
E =12.â x −10.â y − 4.â z ( N / C)
v
10 − 4 (−0,6.â x +0.48.â y −0,64.â z )
r
dW = − 2 x10 −9.( −7,2 − 4,8 + 2,56) = 18,88 nJ
Para dW = −q E ⋅ dL vem:
4.2 - INTEGRAL DE LINHA
Na análise vetorial, uma integral de linha é definida como sendo a integral do produto escalar de um
r
campo vetorial por um vetor deslocamento diferencial dL ao longo de um caminho determinado,
como é o caso da equação 4.3 expresso na seção anterior.
Para entender melhor esse conceito, imagine que queiramos calcular o trabalho para mover uma
v
carga Q em um campo elétrico E ‚ partindo do ponto B e se dirigindo ao ponto A, percorrendo uma
trajetória determinada na figura 4.2.
∆L4
A
EL4
∆L3
EL3
∆L2
E
EL2
∆L1
E
E
EL1
B
E
Figura 4.2 Carga pontual Q movendo-se de B até A por um caminho estabelecido.
r
O caminho é então segmentado por inúmeros comprimentos elementares retilíneos ∆L . A
componente do campo elétrico ao longo de cada segmento incremental é multiplicada pelo tamanho
deste segmento, e os resultados para todos os segmentos são somados. Obviamente isso é um
somatório. A integral é obtida quando o comprimento de cada segmento tender a zero.
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Matematicamente para n segmentos retilíneos:
W = − Q(E L1 .∆L1 +E L 2 .∆L 2 +.....+ E Ln .∆L n )
(4.4)
r
r r
r
r
r
W = − Q (E1 ⋅ ∆L1 + E 2 ⋅ ∆L 2 +...+ E n ⋅ ∆L n )
(4.5)
r r
r
r
E1 = E 2 =...=E n = E
(4.6)
r
r
r
r
W = − Q.E ⋅ ( ∆L1 + + ∆L 2 + ...+ ∆L n )
(4.7)
ou, em notação vetorial:
Se o campo for uniforme:
A soma dos segmentos vetoriais entre parêntesis corresponde ao vetor deslocamento, dirigido do
ponto B ao ponto A,
r
LBA . Portanto:
r r
W = − QE. ⋅ L BA
(4.8)
Devemos notar que neste caso, onde o campo elétrico é uniforme, o trabalho realizado para
movimentar a carga Q do ponto B ao ponto A independe do caminho tomado, dependendo apenas de
r
r
Q, E e L BA , o vetor que vai de B até A. Veremos mais tarde que isso é verdade para qualquer campo
elétrico estático, invariante no tempo.
Exemplo 4.2
Calcular o trabalho realizado para mover uma carga Q = - 10-5 C, imersa em um campo elétrico
r
E = − y.â y + 2z.â z , ao longo do caminho definido pela reta y + z = 2 , e ao longo do caminho definido
pelas retas z = 0 me y = 0 m .
Solução
z
Figura
4.3
Carga
movendo-se por dois
caminhos.
(0,0,2)
trajeto 1
trajeto 2
y
(0,2,0)
d y =−dz
Para o trajeto 1 temos:
r r
dW = − QE.dL
dW = − Q(− y.â y + 2z.â z ).(dy.â y + dz.â z )
dW = −Q( −( 2 − z)(−dz ) + 2zdz ) = − Q( 2 + z )dz
2
W =10 −5 ∫0 (2+z)dz =10 −5 ( 2z+
dW = − Q(− ydy+ 2zdz )
y+ z =2 ⇒ y=2−z
z2 2
) = 6x10 −5 ( J )
2 0
Para o trajeto 2: W = W1 + W2
dW1 = − Q(− yâ y .dyâ y ) = Qydy = − 10 −5 ydy
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W1 =
0
−10 −5 2 ydy =10 −5
∫
y2
2
28
2
z2
2
2
W2 =10 −5 0 2zdz = 2x10 −5
−5
= 2x10 (J )
∫
0
dW2 = − Q(2z.â z .dz.â z ) = − Q2zdz =10 −5 2zdz
2
= 4 x10 −5
0
W = W1 + W2 = 6x10 −5 (J )
Exemplo 4.3
Calcular o trabalho realizado para mover uma carga pontual positiva Q C, imersa no campo elétrico
de uma linha de carga de densidade ρl C/m do ponto r1 m ao ponto r2 m, conforme a figura abaixo.
Solução:
ρl
r1
dL = drar
r2
Figura 4.4 Carga imersa no campo de uma linha de cargas.
Sabemos que o campo elétrico devido a uma
linha de cargas possui apenas a componente
na direção radial. Em coordenadas cilíndricas:
r
ρ
E = E r .â r = l .â r ( N / C)
2πε 0 r
O comprimento diferencial do caminho em
coordenadas cilíndricas é dado genericamente
por:
r
dL = dr.â r + rdφ.â φ + dz.â z
O trabalho diferencial será então:
r r
ρ
dW = − Q.E ⋅ dL = − Q. l .dr
2πε 0 r
Logo:
W =− Q
W =− Q
ρl
2πε 0
r2
∫r
1
dr
r
ρl
r
ln 2 (J )
2πε 0 r1
Como r2 é maior que r1, ln (r2/r1) é positivo e
o trabalho realizado é negativo. Ou seja, a
fonte externa que move a carga recebe
energia.
4.3 - DIFERENÇA DE POTENCIAL E POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Se tomarmos a equação para o trabalho realizado para se mover uma carga Q em um campo
elétrico, e a dividirmos pelo valor da carga Q, Teremos uma nova grandeza que denominaremos de
diferença de potencial. Matematicamente:
Diferença de Potencial =
r
final r
W
=−∫ E ⋅ dL
inic.
Q
(4.9)
Em outras palavras, a diferença de potencial (ddp) pode ser definida como sendo o trabalho realizado
para se mover uma carga unitária de um ponto a outro em um campo elétrico. Fisicamente indica a
diferença entre dois níveis de energia passíveis de uma realização de trabalho numa região de
campo elétrico, sobre uma carga quando aí colocada.
A sua unidade é Joule por Coulomb, ou Volt (V). Se A é o ponto final e B o ponto inicial, a diferença
de potencial VAB é dada por:
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VAB = VA − VB =− ∫
A ( final )
29
r r
E ⋅ dL ( V
(4.10)
B ( inicial )
No exemplo da linha de carga da última seção, o trabalho para se deslocar a carga de r2 para r1 é:
W =Q
ρl
r
ln 2 (J )
2πε 0 r1
(4.11)
O campo elétrico desta linha de carga cria uma diferença de potencial entre r1 e r2 dada por:
V12 =
r
W ρl
=
ln 2 (V)
Q 2πε 0 r1
(4.12)
Exemplo 4.4
Calcular a diferença de potencial entre os pontos r1 e r2, r2 > r1, devido a uma carga pontual de Q
Coulombs positivos. Mostrar que ela independe das posições θ e φ.
Solução:
r
r1 r
V12 = − ∫ E ⋅ dL (V)
r2
V12 = − ∫
r1
r2
Em coordenadas esféricas
r
dL = drâ r + rdθâ θ + rsenθdφâ φ
Q
V12 = −
4πε 0
r
r
1 Q
E=
. 2 .â r ; dL = dr.â r
4πε 0 r
V12 =
r r
Q dr
E ⋅ dL =
.
4πε 0 r 2
Q dr
4πε 0 r 2
dr
Q ⎛1⎞
∫r2 r 2 = 4πε 0 ⎜⎝ r ⎟⎠
r1
Q
4πε 0
r1
r2
⎛1 1⎞
⎜⎜ − ⎟⎟ ( V )
⎝ r1 r2 ⎠
O potencial absoluto pode ser definido tomando um potencial de referência especificado que é
considerado como tendo potencial zero. Usualmente esse potencial é tomado na superfície da terra
ou no infinito. No exemplo anterior, se um dos pontos (ponto r2, por exemplo) estiver no infinito, o
potencial (absoluto) no ponto r1 será:
V1 =
1 Q
(V)
4 πε 0 r1
(4.13)
Se o potencial absoluto de A é VA, e o potencial absoluto de B é VB, a diferença de potencial VAB
será então a diferença entre estes potenciais, ou seja:
VAB = VA − VB (V)
(4.14)
4.4 - O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS
Para duas cargas pontuais, tomando-se o referencial dos potenciais no infinito, o potencial absoluto
será:
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V=
1
4πε 0
30
⎛ Q1 Q 2 ⎞
⎟⎟ ( V )
⎜⎜ +
⎝ R1 R 2 ⎠
(4.15)
Estendendo o raciocínio para n cargas vem:
1 n Qi
∑ (V)
4πε 0 i =1 R i
(4.16)
1 n ρ∆v
(V)
∑
4πε 0 i =1 R i
(4.17)
ρdv
(V)
R
(4.18)
V=
ρ s dS
1
( V)
∫
4πε 0 s R
(4.19)
V=
1
4πε 0
ρ l dL
(V)
R
L
(4.20)
V=
Substituindo cada carga por
ρ∆v :
V=
Fazendo n → ∝ :
V=
1
4πε 0
∫vol
Para uma distribuição superficial de cargas:
Para uma distribuição linear de cargas:
∫
Exemplo 4.5
Calcular o potencial em um ponto no eixo de um anel de raio a m, conforme mostrado na figura 4.5,
com uma distribuição linear de carga ρl C/m.
Solução:
V =
1
4 πε 0
∫
ρldL
R
( V)
V=
V=
1
4πε 0
∫
ρ l .dL
2
a +z
2
=
ρl
4πε 0 a 2 + z 2
ρ l .a
ρl
2πa
=
.
(V )
4πε 0 a 2 + z 2 2ε a 2 + z 2
0
∫ dL
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z
31
P
a
ρl
Figura 4.5 Anel de cargas.
Exemplo 4.6
Resolver o exemplo anterior, considerando uma coroa circular de raio interno a m, raio externo b m e
densidade superficial ρs C/m2.
Solução:
V=
1
4πε0
dS = r. dφ. dr
V =
∫
S
ρs .dS
(V)
R
R = r 2 + z2
;
1
4 πε 0
∫∫
V =
ρ s . rdφ. dr
r 2 + z2
V=
ρs
V =
4 πε 0
∫
2π
0
dφ
∫
b
a
ρs
2ε 0
V =
rdr
b
rdr
a
2
∫
ρs
2ε 0
r 2 + z2
ρs ⎡ 2
b + z2 −
2ε 0 ⎣⎢
r 2 + z2
P
ρs
Figura. 4.6 Anel com distribuição superficial de cargas.
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r + z2
b
a
a 2 + z2 ⎤
⎦⎥
( V)
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EXERCÍCIOS
1) Calcule o trabalho necessário para movimentar uma carga pontual Q = -20 mC no campo
r
E = 2( x +4 y).â x + 8x.â y ( V / m) da origem ao ponto (6,4,1) m, ao longo do percurso x 2 = 9 y .
2) Calcule o trabalho necessário para movimentar uma carga pontual Q = 5 mC de (5 m, π, 0) a
r
(3 m, π/2. 3 m), coordenadas cilíndricas, no campo E = (10 5 r ).â r +105 z.â z (V / m) .
3) Uma carga pontual de 0,6 nC está localizada no ponto (3,6,6) m. Calcule a diferença VAB,
entre os pontos A(3,3,6) m e B(-3,3,6) m.
4) Se a referência de potencial nulo está em r = 12 m, e uma carga pontual Q = 0.6 nC ocupa a
origem, encontre os potenciais em r = 8 m e r = 24 m.
5) Suponha que em um dia sujeito a instabilidades atmosféricas, a diferença de potencial entre
a superfície da terra e a eletrosfera (digamos 25 km acima da superfície terrestre) seja de
600 kV. Um avião com 12 m de envergadura em suas asas está voando a 2600 m de altitude,
com uma inclinação de 45° de suas asas. Calcule a diferença de potencial entre as
extremidades das suas asas.
6) Três cargas pontuais de 2 nC ocupam os vértices de um triângulo eqüilátero de 2 m de lado.
Calcule o potencial em um ponto 2 m acima do plano do triângulo e no eixo de seu centro
geométrico.
7) Uma distribuição linear de cargas com densidade ρl = 1 nC/m ocupa o perímetro de um
quadrado de 5 m de lado. Calcule o potencial no ponto situado 6 m acima do quadrado, no
eixo de seu centro.
8) Desenvolva uma expressão para o potencial num ponto distante radialmente d m do ponto
médio de uma distribuição linear de cargas finita, de comprimento L m e de densidade
uniforme ρl (C/m). Comprove a dedução da expressão, pelo desenvolvimento empregado no
exercício anterior.
9) Um disco 0 ≤ r ≤ a m, z = 0, 0 ≤ φ ≤ 2π·, possui uma densidade superficial de cargas
ρs =ρ0 r 2 a 2 (C / m 2 ) . Encontre V(0,0,z) no espaço livre.
10) Uma película plana uniformemente carregada com ρs =
e uma segunda película plana, com ρs = −
1
nC/m2 está localizada em x = 0,
5π
1
nC/m2 está localizada em x = 10 m. Calcule
5π
VAB , VBC e VAC para A (12, 0, 0) m, B (4, 0, 0) m e C (-2, 0, 0) m.
11) Calcule o trabalho necessário para movimentar uma carga pontual e positiva de 5 µC entre a
origem de um sistema de coordenadas esféricas e o ponto (2 m; π/4; π/2), onde o campo
r
elétrico é dado por E = 5 e − r 4 â r +
10
â φ (V / m) .
rsenθ
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12) Três cargas pontuais de 4 µC cada uma, localizam-se nos vértices de um triângulo eqüilátero
de lado 0,5 mm situado no vácuo. Que trabalho deve ser realizado para deslocar uma das
cargas até o ponto médio do segmento determinado pelas outras duas?
r
13) Dado o campo elétrico E = (k / r ) â r em coordenadas cilíndricas, mostre que o trabalho
necessário para movimentar uma carga pontual Q de qualquer distância radial r para um
ponto cuja distância radial seja o dobro da inicial, independe da coordenada r.
14) Calcule o potencial de um ponto A (2 m; φ; z), em relação a um ponto B (3 m; φ’; z’), usando
coordenadas cilíndricas, onde o campo elétrico devido a uma distribuição linear de cargas ao
v
longo do eixo z vale E = (30 r ) â r (V/m).
15) Encontre VAB entre A = (2 m; π/2; 0) e B = (4 m; π; 5 m), dado pela carga distribuída numa
superfície cilíndrica com raio a = 5 cm e uma densidade de (1/π) nC/m2. Determine também a
diferença de potencial VBC, onde rC = 10m. Obtenha em seguida VAC e compare o resultado
com a soma de VAB e VBC.
r
(
)
16) Dado o campo E = − 16 / r 2 â r (V/m) em coordenadas esféricas, calcule o potencial no ponto
(2 m; π; π/2) em relação ao ponto (4 m; 0; π).
17) Calcule o potencial de rA = 5 m em relação ao de rB = 15 m devido à existência de uma carga
pontual Q = 500 pC, localizada na origem e com referência zero no infinito.
18) Um disco circular de raio 2 m contém uma carga total de (40/3) nC distribuída uniformemente
sobre a sua superfície. Calcule o potencial gerado por esta carga em um ponto a 2 m de
altura do disco e no eixo do seu centro. Em seguida, compare esse potencial com o aquele
que resultaria se todas as cargas estivessem concentradas no centro do disco.
19) Uma linha reta de comprimento finito 2L contém uma distribuição uniforme de cargas. Mostre
que para dois pontos externos bem próximos do ponto médio desta linha, tal que r1 < r2 e
bem menores se comparadas ao comprimento 2L, a diferença de potencial V12 é igual àquela
que se obteria se a distribuição fosse linear e infinita.
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