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Samuel Casal
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Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para
uso escolar. Venda proibida.
Ma
te
m
co
á
m A
t
pl t
i
c
em iv
a
i
e da
O
EN
TA
L
DA
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FU
N
nt d
ar es
es
EN
SI
N
o
-a
n
8º
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Capítulo 4
1. Resolva as equações, sendo que x  Z.
a)(x 1 2)2 2 (x 2 2) ? (x 2 2) 5 0
b)(2x 1 3)2 2 (2x 1 2) ? (2x 2 4) 5 0
(​ 2x 1 2 )2​
​ 
 
c)(x 1 1)2 2 _________
 ​ 
50
4
2
2
x
x
x2
​   ​1 2  ​ 1 ​ __
​   ​2 3  ​ 5 __
​   ​ 
d)​ __
2
2
2
2. Faça o que se pede em cada item:
a)Determine a medida do lado do quadrado
de área 49 cm2.
b)Determine, se possível, o número que pertence ao conjunto dos reais, cujo quadrado é 225.
c)Determine as medidas dos lados de um retângulo cujo perímetro é 40 cm e o comprimento excede a largura em 4 cm.
d)Determine a área de um retângulo cujo perímetro é 44 cm e o comprimento excede a
largura em 2 cm.
e)A área de um quadrado de lado 4x é igual à
área de um retângulo de largura 2x e comprimento 2x 1 6. Calcule as medidas dos
lados do quadrado e do retângulo.
f) Qual é o número cuja diferença entre o dobro do quadrado de um número e o quadrado do dobro desse número é igual a 22?
g)Determine um número real cujo quadrado
menos o próprio número é igual ao quádruplo desse número.
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( 
) ( 
)
3. Resolva as seguintes equações, sendo que
x  R.
a)10y 2 5(1 1 y) 5 3(2y 2 2) 2 20
b)x(x 1 4) 1 x(x 2 4) 5 2x2 1 12
c)4x(x 1 6) 2 x2 5 5x2
Agora é a sua vez. Resolva as equações abaixo, utilizando uma mudança de variável.
a)(x 2 1)2 5 100
b)(x 2 2)2 2 2(x 2 2) 5 0
c)(x 1 4)2 2 2(x 1 4) 5 0
d)​( x 1 d​ XX
2 ​  )2​ 5 8
e)​( x 1 d​ XX
3 ​  )2​ 2 2​( x 1 d​ XX
3 ​  )​5 0
2
1
1
f)​ x 2 __
​    ​   ​ 2 2​ x 2 __
​    ​   ​5 0
4
4
6. Resolva as equações abaixo, com soluções
nos conjuntos dos números naturais, inteiros
e racionais. Utilize uma mudança de variável.
a)9x2 1 12x 1 4 5 25
x
x2
1
1
​    ​1 __
b)​ __  ​2 __
​    ​ 5 __
​     ​ 
16 4 4 16
7. Escreva a equação que representa cada situação das balanças nos itens abaixo e determine o conjunto-solução, para x  R.
a)
( 
x
100 g
x
)
100 g
100 g 100 g 100 g
100 g
100 g
350 g
350 g
b)
x
x
4. Existem dois números cujo quadrado da soma
é um número negativo? Explique.
5. Se alguém lhe pedisse para resolver a equação (x 1 4)2 5 81, qual seria a primeira coisa
que você faria? Bem, muitos responderiam
que a primeira coisa a ser feita é desenvolver
“(x 1 4)2”, aplicando os conhecimentos de produtos notáveis. Esse procedimento está correto, mas não será o mais rápido. Alguns tipos
de equações podem ser resolvidas com uma
mudança de variável. Nesse exemplo podemos
substituir (x 1 4) por uma outra variável, por
exemplo y. Assim:
(y)2 5 81
81 ​ 
y 5 ​dXXX
y5±9
Como (x 1 4) 5 y: (x 1 4) 5 ± 9
Então:
(x 1 4) 5 9 ou (x 1 4) 5 29
x 5 5 ou x 5 213
Portanto, S 5 {213, 5}.
) ( 
x
100 g 100 g
100 g
1 000 g
c)
100 g 100 g
x
x
x
x
500 g
x
1,2 kg
Atividades complementares |
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AMj Studio/ID/BR
Equações
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Capítulo 4
Eastwest Imaging/Dreamstime.com
8. Para cada um dos itens abaixo escreva a sentença matemática correspondente e responda ao que se pede.
a)Existe um número inteiro que adicionado à
sete seja igual à diferença desse número e
sete?
b)Existe um número inteiro cujo triplo da
soma dele com um seja igual a três mais o
triplo desse número?
c)Existe um número inteiro cujo dobro dele
subtraído de quatro seja menor do que ou
igual ao dobro da diferença entre dois e esse
número?
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Frações algébricas
9. Márcio pinta a parte externa de um sobrado
em 10 dias. Fernando faz o mesmo trabalho
em x dias. Juntos, eles pintam em 6 dias. Determine quantos dias Fernando demora para
pintar o sobrado sozinho.
10. Simplifique as seguintes frações algébricas.
x2 1 2x 1 1
 ​ 
 
a)​ __________
x11
x2 1 4y 2
b)​ ________
  
​
 
x 1 2y
3x3 1 3
c)​ _______ ​ 
3x 1 3
x3 2 1
d)​ _______ 
 ​ 
4x 2 4
x3 2 27
e)​ _____________
  
  ​
2
2x 1 18 2 12x
11. Resolva as seguintes equações fracionárias
em R, indicando as restrições.
21
2
5 _______
​ 
a)​ _____
   ​ 
  ​ 
x 1 3 2x 1 2
5x 2 2
​ 5 3
b)​ _______
x   
3x 2 2 ______
x15
c)​ _______ ​ 
5 ​ 
 ​ 
x12
x12
1
x
1
d)​ _____
   ​ 
2 _____
​     ​ 5 ______
​     ​ 
x 1 1 x 2 1 x2 2 1
12. A densidade d de um corpo é determinada pela
razão entre a sua massa m e o seu volume v:
m
d 5 __
​ v ​ . Um corpo de massa 1 200 g e volume
inicial x cm3 sofre dilatação de modo que a sua
densidade é diminuída de 100 g/cm3 e a densidade final fica igual a 50 g/cm3. Qual é o volume
anterior à dilatação desse corpo?
13. Em uma aula de computação, Eva criou um
programa que, dado um número inteiro positivo n, calcula a divisão do quadrado desse
número por seu sucessor.
a)Que resultado o programa indica quando o
valor n é 3?
b)Escreva uma fração algébrica que represente
o cálculo efetuado por esse programa.
14.
Simplifique as frações algébricas.
a3b 2 a2b2 1 ab3
      
​
a)​ _______________
a4b
y15
 
b)​ _______
 ​ 
y2 2 25
x2 2 4xy 1 4y2
c)​ __________________
  
   ​
x2 2 2xy 1 2x 2 4y
15. Indique o conjunto universo das equações
fracionárias e resolva-as.
2
7
a)​ _____
5 __
​    ​
   ​ 
x2 1 8
3
1
b)​ __ ​ 1 3 5 ___
​     ​
2x
x
2
1
c)​ _____
​     ​ 
   ​ 2 3 5 _____
x1 1
x11
3
x 1 2 ______
2 ​  2    ​ 
d)​ _____ ​ 
51
x11
x 21
Sistema de equações do 1o grau
com duas incógnitas
16. Dados os sistemas de equações com duas
incógnitas abaixo, verifique se possuem solução em R. Justifique a resposta.
x1y54
a) ​     
  
 ​
2x 2 y 5 21
x1y54
  
 ​
b) ​     
2x 1 2y 5 8
x1y55
 
 
​
c) ​    
x 1 y 5 21
17. Resolva em R o sistema de equações abaixo
pelo método gráfico.
x1y57
     
​
  
 ​
2x 2 2y 5 2
18. Luísa devia fazer um trabalho para a escola.
Para cumprir o prazo dado pela professora, ela
planejou fazer seis páginas por dia. Entretanto,
somente começou o trabalho oito dias depois do
previsto. Por causa disso, precisou fazer quatro
páginas a mais por dia, e conseguiu terminar o
trabalho a tempo. Qual foi o prazo dado pela professora? Quantas páginas tinha o trabalho?
Atividades complementares |
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Capítulo 4
19. Determine os valores de x e y nos retângulos
a seguir.
a)
3x y
b)inequação 1
750 g
x
x
4
400 g
2x 3y
17
b)
x6
x
y2
2y
A soma dos dois algarismos de um número é
8. Adicionando 18 unidades a esse número, o
resultado é formado pelos mesmos algarismos
em ordem inversa. Determine esse número.
inequação 2
x
x
100 g
x
100 g
100 g
21. Olga tem em sua carteira cédulas de RS|| 5,00
e de RS|| 10,00, que totalizam RS|| 100,00. Se
ela tem 13 cédulas, quantas são de cada tipo?
Escreva o sistema de equações apropriado e
resolva-o.
22. Um hotel tem quartos com uma cama e quartos com duas camas. No total são 50 quartos e
87 camas. Quantos são os quartos com uma
cama? Quantos são os quartos com duas camas?
Sistema de inequações do 1o grau
com uma incógnita
23. Resolva os seguintes sistemas de inequações
e determine o conjunto-solução, para x  R.
a)inequação 1
x
x
300 g
250 g
250 g
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24. Resolva o seguinte sistema de inequações em R:
3x 2 2
_______
 ​ 
​ 
 2 5  0
2
x21
1 2 x _____
 ​ 
​ _____
 2 ​   ​ 
  0
4
5
25. Resolva o seguinte sistema de inequações em Z:
3x 2 4 __
x
_______
 ​ 
​ 
  ​    ​
5
5
1 2 2x
x
​ __  ​ ______
​   ​  
 
4
2
inequação 2
100 g
x
100 g
100 g
100 g
100 g
x
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Capítulo 4
Equações
1. a) (x 1 2) 2 (x 2 2) ? (x 2 2) 5 0
x2 1 4x 1 4 2 (x2 2 4x 1 4) 5 0
x2 1 4x 1 4 2 x2 1 4x 2 4 5 0
8x 5 0
x50
S 5 {0}
b)(2x 1 3)2 2 (2x 1 2) ? (2x 2 4) 5 0
4x2 1 12x 1 9 2 4x2 1 8x 2 4x 1 8 50
16x 5 2 17
17
x 5 2 __
​    ​
16
17
Como 2 __
​    ​Ó Z a solução é vazia:
16
S 5 [ ou S 5 { }
(2x 1 2)2
c)(x 1 1)2 2 _________
​ 
 
 ​ 
50
4
2
(4x 1 8x 1 4)
​ 
    
 ​
50
x2 1 2x 1 1 2 ______________
4
2
2
x 1 2x 1 1 2 x 2 2x 2 1 5 0
0x 5 0
Assim a solução é indeterminada, pois possui infinitas soluções:
S5Z
2
2
x
x
x2
​   ​1 2  ​ 1 ​ __
​   ​2 3  ​ 5 __
​   ​ 
d)​ __
2
2
2
x2
x2
x2
__
__
​   ​  1 2x 1 4 1 ​   ​  2 3x 1 9 5 ​ __ ​ 
4
4
2
2 x 5 2 13
x 5 13
S 5 {13}
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2
( 
) ( 
)
2. a) x2 5 49
x5±7
Portanto, a medida do lado do quadrado
com área 49 cm2 é 7 cm.
b)x2 5 225.
Não existe um número pertencente ao
conjunto dos números reais cujo quadrado
é 225, pois qualquer número elevado ao
quadrado resulta em um número positivo.
c)2 ? (x 1 x 1 4) 5 40
2x 1 4 5 20
x58
Portanto, os lados têm medidas 8 cm e 12 cm.
d)2(x 1 x 1 2) 5 44
2x 1 2 5 22
x 5 10
Os lados do retângulo medem 10 cm e
12 cm. Portanto, a área do retângulo será
10 cm ? 12 cm 5 120 cm2.
e)(4x)2 5 2x(2x 1 6)
16x2 5 4x2 1 12x
12x2 2 12x 5 0
12x(x 2 1) 5 0
12x 5 0
x50
ou x 2 1 5 0, ou seja, x 5 1
Como 4x representa o lado do quadrado,
x Þ 0. A solução é x 5 1.
Portanto, o lado L do quadrado mede:
L 5 4x 5 4 cm
Os lados do retângulo medem:
2x 5 2 e 2x 1 6 5 8
f) 2x2 2 (2x)2 5 22
2 2x2 5 22
x2 5 1
x5±1
O número é 2 1 ou 1.
g)x2 2 x 5 4x
x2 2 5x 5 0
x(x 2 5) 5 0
x 5 0 ou x 5 5
3. a) 10y 2 5(1 1 y) 5 3(2y 2 2) 2 20
10y 2 5 2 5y 5 6y 2 6 2 20
2y 5 221
y 5 21
S 5 {21}
b)x(x 1 4) 1 x(x 2 4) 5 2x2 1 12
x2 1 4x 1 x2 2 4x 5 2x2 1 12
0x 5 12
S5{}
c)4x (x 1 6) 2 x2 5 5x2
4x2 1 24x 2 x2 5 5x2
3x2 2 5x2 1 24x 5 0
2 2x2 1 24x 5 0
2 2x(x 2 12) 5 0
2 2x 5 0 ou x 2 12 5 0
x 5 0 ou x 5 12
S 5 {0, 12}
4. Não existem dois números cujo quadrado da
soma é um número negativo, pois qualquer
número elevado ao quadrado resulta em um
número positivo.
Exemplo:
Se a . 0:
(x 1 y)2 5 2 a
(x 1 y) 5 ​dXXXX 
2 a ​
O que é impossível, pois a . 0.
5. a) (x 2 1)2 5 100
Para x 2 1 5 y
y2 5 100
y 5 ± 10
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Capítulo 4
Portanto:
x 2 1 5 10 ou x 2 1 5 2 10
x 5 11 ou x 5 2 9
S 5 {2 9, 11}
b)(x 2 2)2 2 2(x 2 2) 5 0
Para x 2 2 5 y
y2 2 2y 5 0
y(y 2 2) 5 0
y 5 0 ou y 5 2
Portanto:
x 2 2 5 0 ou x 2 2 5 2
x 5 2 ou x 5 4
S 5 {2, 4}
c)(x 1 4)2 2 2(x 1 4) 5 0
Para x 1 4 5 y
y2 2 2y 5 0
y (y 2 2) 5 0
y 5 0 ou y 5 2
Portanto:
x 1 4 5 0 ou x 1 4 5 2
x 5 2 4 ou x 5 2 2
S 5 {2 4, 2 2}
2
d)​​( x 1 d​ XX
2 ​  )​​  ​5 8
2 ​ 5 y
Para x 1 ​dXX
2
y 58
2 ​ 
y 5 ± 2​dXX
d
2 ​ ou y 5 2​dXX
2 ​ 
y 5 2 2​ XX
Portanto:
2 ​ 5 2 2​dXX
2 ​ ou x 1 d​ XX
2 ​ 5 2​dXX
2 ​ 
x 1 ​dXX
d
d
XX
XX
x 5 2 3​ 2 ​ ou x 5 ​ 2 ​ 
2 ​ , d​ XX
2 ​  }​
S 5 ​{ 2 3​dXX
e)​( x 1 d​ XX
3 ​  )​ 2 2(x 1 d​ XX
3 ​ ) 5 0
3 ​ 5 y
Para x 1 ​dXX
y2 2 2y 5 0
y(y 2 2) 5 0
y 5 0 ou y 5 2
Portanto:
3 ​ 5 0 ou x 1 d​ XX
3 ​ 5 2
x 1 ​dXX
d
XX
3 ​ 
x 5 2 ​ 3 ​ ou x 5 2 2 d​ XX
3 ​ , 2 2 d​ XX
3 ​  }​
S 5 ​{ 2 ​dXX
1 2
1
​    ​   ​ 2 2​ x 2 __
​    ​   ​5 0
f)​ x 2 __
4
4
1
Para x 2 ​ __  ​ 5 y
4
y2 2 2y 5 0
y(y 2 2) 5 0
y 5 0 ou y 5 2
Portanto:
1
1
x 2 ​ __  ​ 5 0 ou x 2 __
​    ​ 5 2
4
4
9
1
x 5 ​ __  ​ ou x 5 __
​    ​
4
4
1 9
S 5 __
​    ​,  __
​    ​
4 4
2
( 
) ( 
)
6. a) 9x2 1 12x 1 4 5 25
(3x 1 2)2 5 52
3x 1 2 5 5 ou 3x 1 2 5 2 5
7
x 5 1 ou x 5 2 __
​    ​
3
7
​    ​, 1
S 5 2 __
3
x
x2
1
1
​    ​1 __
b) __
​    ​2 __
​    ​ 5 __
​     ​ 
16 4 4 16
1 2
x
1 2
​    ​2 __
​    ​  ​ 5 ​ __
​    ​   ​
​ __
4 2
4
x __1
1
x
1
1
__
__
​    ​2 ​    ​ 5 ​    ​ ou __
​    ​2 __
​    ​ 5 2 ​ __  ​ 
4 2 4
4 2
4
x 5 3 ou x 5 1
S 5 {1, 3}
( 
) (  )
7. a) 2x 1 500 5 900
x 5 200
S 5 {200}
b)3x 1 200 5 1 100
x 5 300
S 5 {300}
c)4x 1 700 5 x 1 1 200
3x 5 500
500
 ​ 
 
x 5 ​ ____
3
8. a) x 1 7 5 x 2 7
0 x 5 2 14
Portanto, não existe um número inteiro que
adicionado a sete seja igual à diferença
desse número e sete.
b)3(x 1 1) 5 3 1 3x
3x 1 3 5 3 1 3x
0x 5 0
Portanto, infinitos valores satisfazem a
equação.
c)2x 2 4 < 2(2 2 x)
2x 2 4 < 4 2 2x
4x < 8
x<2
S 5 {x  R | x < 2}
Frações algébricas
9. Se t corresponde ao trabalho executado e
x ao tempo que Fernando demora para executar o trabalho, temos:
t
t
t
___
​    ​ 
​   ​5 __
​     ​ 1 __
10 x 6
1
1
1
​ ___   ​ 1 __
​    ​ 
​   ​ 5 __
10 x 6
3x
30
5x
​ ____   
​1 ____
​     
​5 ____
​     
​
30x 30x 30x
2x 5 30
x 5 15
Fernando demora 15 dias para pintar sozinho
a parte externa do sobrado.
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(x 1 1)2
m
x2 1 2x 1 1 _______
12. d 5 ​ __
10. a)​ __________
 
 
 ​ 
5 ​ 
 ​ 
5x11
v ​ 
x11
x11
mi
(x 1 2y) ? (x 2 2y)
x2 1 4y2 _________________
​ v  ​ 
di 5 ___
​5 ​ 
    ​5 x 2 2y
  
b)​ ________   
i
x 1 2y
x 1 2y
mi
3
2
3
3(x 1 1) __________________
(x 1 1) ? (x 2 x 1 1)
df 1 100 5 ___
​ v  ​ 
3x 1 3 ________
_______
c)​ 
 ​ 
5 ​ 
  
   5
 ​ 
5 ​ 
 ​
i
x11
3x 1 3
3(x 1 1)
1 200
 ​
50 1 100 5 ​ _____
5 x2 2 x 1 1
x   
2
3
2
(x 2 1) ? (x 1 x 1 1) _________
150x 5 1 200
x 21
x 1x11
d)​ _______ 
  
   5 ​ 
 
 ​
 ​ 
5 __________________
​ 
 ​ 
4x 2 4
4
4(x 2 1)
x 5 8 cm3
2
3
1
3x
1
9)
(x
2
3) ?
(x
x 2 27
  
  ​5 ____________________
  
 ​
   5
​ 
e)​ _____________
32
2x2 1 18 2 12x
2(x 2 3)2
13. a)​ __ ​ 5 2,25
4
x2 1 3x 1 9
 
5 ​ ___________
 ​ 
n2
_____
2(x 2 3)
b)​     ​ 
n11
2 1
2
5 _______
​ 
   ​ 
   ​ 
11. a)​ _____
x 1 3 2x 1 2
ab(a2 2 ab 1 b2)
a3b 2 a2b2 1 ab3 _______________
​5 ​ 
     
​5
14. a) _______________
​ 
4       
restrição: x Þ 21 e x Þ 23
ab
a4b
2 1
2
a2 2 ab 1 b2
5 _______
​ 
​ _____
   ​ 
   ​ 
5 ___________
​ 
 ​
   
x 1 3 2x 1 2
a3
2(2x 1 2) 5 2 1(x 1 3)
y15
y15
1
b) _______
​  2
  
 
   ​5 ______
 ​ 
5 _______________
​ 
​     ​ 
4x 1 4 5 2 x 2 3
y 2 25 (y 1 5) ? (y 2 5) y 2 5
5x 5 2 7
(x 2 2y)2
x2 2 4xy 1 4y2
__________________
____________________
  
  
     ​5
 
​
5
​ 
c)​ 
2 7
x2 1 2xy 1 2x 2 4y x(x 2 2y) 1 2(x 2 2y)
 
x 5 ​ ____ ​ 
5
x 2 2y
(x 2 2y)2
27
____
  
   ​5 _______
 
5 ​ ________________
 ​
​ 
S 5 ​   ​ 
 
x
1 2y
(x
2
2y)
(x
1
2y)
5
5x 2 2
7
2
​ 5 3
b)​ _______
x   
​    ​
   ​ 5 __
15. a)​ _____
x 2 1
8
restrição: x Þ 0
xÞ1
5x 2 2
 
​
5
3
 
 
​ _______
7x 2 7 5 16
x
5x 2 2 5 3x
23
x 5 ​ ___ ​ 
7
2x 5 2
3
1
x51
b)​ __ ​ 1 3 5 ___
​     ​
2x
x
S 5 {1}
xÞ0
x15
3x 2 2 ______
_______
6x
3
2
5 ​ 
 ​ 
 ​ 
c)​ 
​    ​5 ___
​     ​
​ ___   ​1 ___
x12
x12
2x 2x 2x
restrição: x Þ 22
6x 5 1
x
1
5
3x
2
2
1
5 ______
​ 
 ​ 
​ _______ ​ 
x 5 ​ __  ​ 
x12
x12
6
3x 2 2 5 x 1 5
1
2
2 3 5 _____
​     ​ 
   ​ 
c)​ _____
x
1
1
x
1
1
2x 5 7
7
x
Þ
2 1
__
x 5 ​    ​
2
3x 1 3 _____
2
1
   ​ 
 
​ _____
2 _______
​ 
 ​ 
5 ​     ​ 
7
x11
x11
x11
​    ​
S 5 __
2
2 2 3x 2 3 5 1
1
x
1
_____
d)​     ​ 
2 _____
​     ​ 5 _____
​  2    ​ 
22
x11 x21 x 21
 
 ​ 
x 5 ​ ____
3
restrição: x Þ ± 1
3
x 1 2 ______
x
1
1
_____
d)​ _____ ​ 
51
2 ​  2    ​ 
2 _____
​     ​ 5 ______
​  2    ​ 
​     ​ 
x
1
1
x
21
x11 x21 x 21
xÞ±1
x 2 1 2 x(x 1 1) ______
1
​ ______________
  
 ​ 
5 ​  2    ​ 
2
(x 2 1) ? (x 1 2) 2 3 ______________
x2 2 1
x 21
x 21
  
  
  
   ​
 ​5 ​ 
​ __________________
(x 1 1) ? (x 2 1)
(x 1 1) ? (x 2 1)
x 2 1 2 x2 2 x 5 1
x2 1 2x 2 x 2 2 2 3 5 x2 2 1
2 x2 5 2
x2 5 2 2
S5[
x 2 5 5 2 1
x54
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Capítulo 4
Sistema de equações do 1o grau com duas
incógnitas
16. a) Adicionando as equações, obtemos:
  1 y 5 4
x     
​
  
 
​
2x
2 y 5 2 1
_____________
 ​
  
 
​ 
  3x 5 3
x 5 1
Substituindo na primeira equação, obtemos:
x1y54
11y54
y53
S 5 {1, 3}
Este suplemento é parte integrante da obra Matemática 8 | Para Viver Juntos | Edições SM
x1y54
​
  
 ​ ⇒
b)      
2x 1 2y 5 8
x542y
⇒      
​
  
 ​
2x 1 2y 5 8
x 1 y 5 5
x552y
 
 
​
 
 
​ä     
​
c) ​    
x 1 y 5 21
x 1 y 5 21
Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos:
(5 2 y) 1 y 5 2 1
5 2 y 1 y 5 2 1
0y 5 2 6
Verifica-se que a equação não possui solução, logo o sistema é impossível.
S5[
y
2x 2 2y 5 2
7
6
5
4
P(4, 3)
3
2
1
27 26 25 24 23 22 21
21
22
18. x: número de dias de leitura
y: número total de páginas
y 5 6x
y 5 10(x 2 8) 5 10x 2 80
10x 2 80 5 6x
4x 5 80
x 5 20
O prazo da professora foi de 20 dias.
y 5 6x 5 6 ? 20 5 120
O trabalho tinha 120 páginas.
2x 2 3y 5  4
​
  ​⇒
19. a)      
3x 1  y 5 17
Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos:
2(4 2 y) 1 2y 5 8
8 2 2y 1 2y 5 8
0y 5 0
Verifica-se que o sistema possui infinitas
soluções, portanto, o sistema é indeterminado.
S5R
17.
sectam. Pelo gráfico temos x 5 4 e y 5 3, que
é a solução do sistema.
1
2
3
4
5
6
7
x
x1y57
23
24
25
26
27
Portanto, a solução do sistema é o ponto em
que os gráficos das duas equações se inter-
2x 2 3y 5 4
2 3y 5
 4 ​
  
  ​⇒ 2x
​     
  
⇒ ​      
(3x 1 y 5 17) ? 3
9x 1 3y 5 51
2 3y 5  4
2x
​     
   ​
9x
1 3y 5 51
______________
  
   ​
​ 
  11x           5 55
x
5 5
Retomando a equação 3x 1 y 5 17, substituímos o valor encontrado de x.
3 ? 5 1 y 5 17
15 1 y 5 17
y52
x 1 6 5 2y
b) ​    
 ​ 
⇒
x5y22
(x 2 2y 5 26) ? (21)
⇒ ​       
 ​
   ⇒
 x 2 y 5 22
2x
1 2y 5    6
​      
   ​
   x 2    y 5 22
1 2y 5    6
2x
      
​
  ​
   x 2    y 5 22
______________
    
   ​
​ 
           y 5    4
Substituindo y em x 1 6 5 2y, obtemos:
x1652?4
x52
20. Supondo que o número é XY, sendo X o número da dezena e Y o número da unidade.
Desse modo o valor do número será:
XY 5 10x 1 y
Sabemos que a soma dos algarismos é 8,
assim x 1 y 5 8
Ao adicionarmos 18 unidades ao número XY,
obtemos o número YX 5 10y 1 x. Assim temos:
(XY) 1 18 5 (YX)
(10x 1 y) 1 18 5 (10y 1 x)
9x 2 9y 1 18 5 0
9(x 2 y) 5 2 18
x 2 y 5 2 2
Temos, assim, duas equações que relacionam
x e y.
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Capítulo 4
Sistema de inequações do 1o grau com uma
incógnita
x    
2 y 5 22
​
 ​ 
x1y58
Assim, ao adicionarmos ambas, temos:
Este suplemento é parte integrante da obra Matemática 8 | Para Viver Juntos | Edições SM
x    
2 y 5 22
​
 ​ 
x
1y58
____________
​ 
 ​
  
 
 2x 5 6
x 5 3
Substituindo na segunda equação:
31y58
y55
Portanto o número formado XY será:
XY 5 10x 1 y 5 10 ? 3 1 5 5 35
21. x: quantidade de cédulas de 5 reais
y: quantidade de cédulas de 10 reais
Assim, temos duas equações do enunciado:
5x
1 10y 5 100
​      
  
 ​⇒
  x 1     y 5 13
5x 1 10y 5 100
1 10y 5  
  100 ​
  
  ​⇒    5x
​       
⇒ ​       
(x1 y 5 13) ? (2 5)
25x 2  5y 5 2 65
   5x
1 10y 5   100
​       
  ​
25x
2  5y 5 2 65
  
   ​
​ __________________
           5y 5     35
y 5
7
Substituindo esse valor em x 1 y 5 13, obtemos:
x 1 7 5 13
x56
Assim, Olga tem, em sua carteira, 6 cédulas
de 5 reais e 7 cédulas de 10 reais.
22. x: quantidade de quartos com uma cama
y: quantidade de quartos com duas camas
Do enunciado temos as seguintes equações:
x     
1   y 5 50
​
   ​⇒
x 1 2y 5 87
(x 1   y 5 50) ? (2 1)
   ⇒
 ​
⇒ ​       
  x 1 2y 5 87
2 x
2 50 ​
      
​ 2   y 5   
    x 1 2y 5     87
2 x
2   y 5 2 50
      
​
  ​
    x
1
2y 5     87
​ ________________
   ​
               y 5     37
Substituindo o valor de y na primeira equação, obtemos:
x 1 y 5 50
x 1 37 5 50
x 5 13
O hotel tem 13 quartos com uma cama e 37
quartos com duas camas.
23. a) inequação 1:
2x , 800
x , 400
inequação 2:
2x . 500
x . 250
S 5 {x 7 R | 250 , x , 400}
b)inequação 1:
2x 1 400 . 750
x . 175
inequação 2:
x 1 300 . 2x
x , 300
S 5 {x 7 R | 175 , x , 300}
3x
22
24. I. _______
​ 
 ​ 
 2 5 , 0
2
10
3x 2 2 ___
_______
 ​ 
​ 
 2 ​   ​  , 0
2
2
3x 2 12
_______
 ​ 
​ 
 , 0
2
3x , 12
x,4
1 2 x _____
x21
_____
II. ​   ​ 
 2 ​   ​ 
 , 0
5
4
5x 2 5
4 2 4x _______
_______
 ​ 
2 ​ 
 ​ 
​ 
 
 , 0
20
20
4 2 4x 2 5x 1 5 , 0
2 9x , 2 9
x.1
Pelas duas soluções, temos:
S 5 {x 7 R | 1 , x , 4}
3x 2 4 __
x
_______
25. I. ​ 
 ​ 
 . ​    ​
5
4
5x
12x 2 16 ___
________
 ​ 
2 ​    ​. 0
 
​ 
20
20
7x 2 16 . 0
7x . 16
16
x . ​ __ ​ 
7
1 2 2x
x ______
__
 
II. ​    ​, ​   ​ 
4
2
x 1 2 2x
​   ​ 
 , 0
​ __  ​2 ______
4
2
x 2 2 1 4x
 
 ​ 
,0
​ __________
4
5x 2 2 , 0
2
x , ​ __  ​
5
Pelas duas soluções percebemos que não
existe intersecção, pois, em I,
80
16
14
2
x . ​ __ ​ 5 ___
​    ​ .
​   ​  e, em II, x , __
​    ​5 ___
5 35
7
35
S5[
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