EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – FUNÇÕES – NUMEROS COMPLEXOS
1. (Unicamp 2015) Seja r a reta de equação cartesiana x  2y  4. Para cada número real t tal que 0  t  4,
considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x  t pertencente à reta r, como
mostra a figura abaixo.
a) Para 0  t  4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu
gráfico.
b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x)  k x, definida para todo número real x não nulo.
Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.
2. (Unifesp 2015) A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo medicamento na corrente sanguínea
após t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial C(t)  0,05t 2  2t  25. Nessa função, considera-se
t  0 o instante em que o paciente ingere a primeira dose do medicamento.
Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas da
manhã de uma segunda-feira.
a) A que horas a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira
vez?
b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a concentração do medicamento na corrente
sanguínea de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário ele deverá prescrever a
segunda dose?
3. (Fuvest 2015) A função f está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar n,
 x  n  1 , se n  1  x  n
f(x)  
 n  1  x, se n  x  n  1
a) Esboce o gráfico de f para 0  x  6.
b) Encontre os valores de x, 0  x  6, tais que f(x) 
1
.
5
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4. (Unicamp 2015) Considere a função f(x)  101 x  101x , definida para todo número real x.
a) Mostre que f(log10 (2  3)) é um número inteiro.
b) Sabendo que log10 2  0,3, encontre os valores de x para os quais f(x)  52.
5. (Unicamp 2015) Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x)  ax  3a e g(x)  9  2x,
definidas para todo número real x.
a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação f(x)g(x)  0.
b) Encontre o valor de a tal que f(g(x))  g(f(x)) para todo número real x.
6. (Fuvest 2015) Resolva os três itens abaixo.
a) Calcule cos  3π 8  e sen  3π 8 .
b) Dado o número complexo z  2  2  i 2  2, encontre o menor inteiro n  0 para o qual zn seja real.
c) Encontre um polinômio de coeficientes inteiros que possua z como raiz e que não possua raiz real.
7. (Unifesp 2015) Um tomógrafo mapeia o interior de um objeto por meio da interação de feixes de raios X com
as diferentes partes e constituições desse objeto. Após atravessar o objeto, a informação do que ocorreu com
cada raio X é registrada em um detector, o que possibilita, posteriormente, a geração de imagens do interior do
objeto.
No esquema indicado na figura, uma fonte de raios X está sendo usada para mapear o ponto P, que está no
interior de um objeto circular centrado na origem O de um plano cartesiano. O raio X que passa por P se
encontra também nesse plano. A distância entre P e a origem O do sistema de coordenadas é igual a 6.
a) Calcule as coordenadas (x, y) do ponto P.
b) Determine a equação reduzida da reta que contém o segmento que representa o raio X da figura.
8. (Unicamp 2014) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x)  x2  a x  b, definidas
para todo x real.
a) Sabendo que o gráfico de y  f(x) intercepta o eixo y no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, determine os
possíveis valores de a e b.
b) Quando a  b  1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas
desse ponto.
9. (Unifesp 2014) Chamando de y’ e y” as equações das parábolas geradas quando a curva y = 2x2–12x + 16 é
refletida pelos eixos x e y, respectivamente, determine:
a) a distância entre os vértices das parábolas definidas por y’ e y”.
b) y’ e y”.
10. (Fgv 2014) A quantidade de cópias vendidas de cada edição de uma revista jurídica é função linear do
número de matérias que abordam julgamentos de casos com ampla repercussão pública. Uma edição com quatro
matérias desse tipo vendeu 33 mil exemplares, enquanto que outra contendo sete matérias que abordavam
aqueles julgamentos vendeu 57 mil exemplares.
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a) Quantos exemplares da revista seriam vendidos, caso fosse publicada uma edição sem matéria alguma que
abordasse julgamento de casos com ampla repercussão pública?
b) Represente graficamente, no plano cartesiano, a função da quantidade (Y) de exemplares vendidos por edição,
pelo número (X) de matérias que abordem julgamentos de casos com ampla repercussão pública.
c) Suponha que cada exemplar da revista seja vendido a R$ 20,00. Determine qual será o faturamento, por
edição, em função do número de matérias que abordem julgamentos de casos com ampla repercussão pública.
11. (Fgv 2014) Observe a notícia abaixo e utilize as informações que julgar necessárias.
a) Suponha que a partir de 2010 os índices de perdas no varejo, no Brasil e nos EUA, possam ser expressos por
funções polinomiais do 1º grau, y  ax  b, em que x  0 representa o ano 2010, x  1, o ano 2011, e assim
por diante, e y representa o índice de perdas expresso em porcentagem. Determine as duas funções.
b) Em que ano a diferença entre o índice de perdas no varejo, no Brasil, e o índice de perdas no varejo, nos EUA,
será de 1%, aproximadamente? Dê como solução os dois anos que mais se aproximam da resposta.
12. (Fuvest 2014) Dados m e n inteiros, considere a função f definida por
f(x)  2 
m
,
xn
para x  n.
a) No caso em que m  n  2, mostre que a igualdade f( 2)  2 se verifica.
b) No caso em que m  n  2, ache as interseções do gráfico de f com os eixos coordenados.
c) No caso em que m  n  2, esboce a parte do gráfico de f em que x  2, levando em conta as informações
obtidas nos itens a) e b). Utilize o par de eixos dado na página de respostas.
d) Existe um par de inteiros (m,n)  (2,2) tal que a condição f( 2)  2 continue sendo satisfeita?2
13. (Ita 2014) Considere as funções f :
 , f(x)  eαx , em que α é uma constante real positiva, e
g : 0,   , g(x)  x. Determine o conjunto-solução da inequação  g f  x    f g x .
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14. (Unicamp 2014) A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser
expressa pela função h(t)  0,5  log3 (t  1), onde o tempo t  0 é dado em anos.
a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m?
b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função
composta g(t)  h(3t  2). Verifique que a diferença g(t)  h(t) é uma constante, isto é, não depende de t.
15. (Unicamp 2014) O consumo mensal de água nas residências de uma pequena cidade é cobrado como se
descreve a seguir. Para um consumo mensal de até 10 metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 20 reais. Para um
consumo superior, o preço é de 20 reais acrescidos de 4 reais por metro cúbico consumido acima dos 10 metros
cúbicos. Considere c(x) a função que associa o gasto mensal com o consumo de x metros cúbicos de água.
a) Esboce o gráfico da função c(x) no plano cartesiano para x entre 0 e 30.
b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago por metro cúbico? E
para um consumo mensal de 25 metros cúbicos?
16. (Ita 2014) a) Determine o valor máximo de | z  i |, sabendo que | z  2 | 1, z  .
b) Se zo  satisfaz (a), determine zo .
17. (Unicamp 2014) O polinômio p(x)  x3  2x2  9x  18 tem três raízes: r, –r e s.
a) Determine os valores de r e s.
b) Calcule p(z) para z = 1+i, onde i é a unidade imaginária.
18. (Fgv 2014) Seja f uma função que, a cada número complexo z, associa f(z)  iz, onde i é a unidade
imaginária. Determine os complexos z de módulo igual a 4 e tais que f(z)  z, onde z é o conjugado de z.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
t

a) Sabendo que P pertence à reta r, temos P   t, 2   . Além disso, para todo 0  t  4, o triângulo T é

2
retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que
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A(t) 
1 
t
t
 t   2      (t  4).
2

2
4
O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes são 0 e 4. Além
disso, o vértice tem coordenadas (2, 1).
b) As abscissas dos pontos de interseção da reta y  
x
k
 2 com a função g(x)  , sendo x  0, satisfazem a
2
x
equação

x
k
 2   x2  4x  2k  0.
2
x
Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a zero, ou seja,
Δ  (4)2  4  1 2k  0, o que implica em k  2.
Resposta da questão 2:
a) Queremos calcular o menor valor de t para o qual se tem C(t)  40. Assim, temos
0,05t 2  2t  25  40  (t  20)2  100
 t  10 h ou t  30 h.
A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez às
11 10  21h da segunda-feira.
b) A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá seu valor máximo após
2

 20 horas. Portanto, o médico deverá prescrever a segunda dose para as 20  (24  11)  7 horas da
2  ( 0,05)
terça-feira.
Resposta da questão 3:
 x, se 0  x  1
a) n  1  f(x)  
2  x, se 1  x  2
x  2, se 2  x  3
n  3  f(x)  
2  x, se 3  x  4
x  4, se 4  x  6
n  5  f(x)  
 6  x, se 5  x  6
De acordo com as funções acima, temos o seguinte gráfico.
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b) Considerando f(x) 
x
1
, temos:
5
1
5
2x 
x2 
4x 
x4 
6x 
1
9
x
5
5
1
11
x
5
5
1
19
x
5
5
1
21
x
5
5
1
29
x
5
5
Portanto, x 
1
9
11
19
21
29
ou x  ou x 
ou x 
ou x 
ou x 
.
5
5
5
5
5
5
Resposta da questão 4:
a) Com efeito, temos
1

f(x)  10  10x 
10x


.

Logo, sabendo que aloga b  b, com a e b reais positivos e a  1, vem
1


f(log10 (2  3))  10  10log10 (2 3 ) 

10log10 (2 3 ) 

1 

 10  2  3 

2 3 

 10  2  3  2  3 
 40.
Portanto, segue que f(log10 (2  3))  40  .
b) Tem-se que
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1

f(x)  52  10  10 x 
10 x


  52

 5  102x  26  10 x  5  0
26  24
10
 x  log10 5 ou x   log10 5.
 10 x 
Dado que log10 2  0,3, vem
 10 
log10 5  log10    log10 10  log10 2  1  0,3  0,7.
 2 
Portanto, os valores de x para os quais f(x)  52 são 0,7 e 0,7.
Resposta da questão 5:
a) Sendo a  0, temos
9

f(x)g(x)  0  a(x  3)  x    0

2
9
 3  x  .
2
Portanto, segue que x  {2,  1, 0, 1, 2, 3, 4}, ou seja, a inequação possui 7 soluções inteiras.
b) Tem-se que
f(g(x))  ag(x)  3a  a(9  2x)  3a  2ax  12a
e
g(f(x))  9  2f(x)  9  2(ax  3a)  2ax  6a  9.
Logo, vem
f(g(x))  g(f(x))  2ax  12a  2ax  6a  9
1
a .
2
Resposta da questão 6:
3π
 3π 
a) cos
 cos  2 
4
8 

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
2
 3π 
 3π 
 cos2 
 sen2 


2
 8 
 8 

2
 3π  
 3π  
 cos2 
  1  cos2 


2
 8  
 8 
2
 3π 
 2cos2 
 1
2
 8 
 3π  2  2
cos2 
 4
 8 
 3π 
cos 

 8 
2 2
2
 3π 
Calculando agora o valor do sen 
:
 8 
 3π 
 3π 
sen2 
 1  cos2 


 8 
 8 
 2 2 


sen 

1




2
 8 


2  3π 
2
 3π  2  2
sen2 
 4
 8 
 3π 
sen 

 8 
2 2
2
b) Teremos:
a  2 2 e b  2 2
ρz  a2  b2 , logo,
ρz  2  2  2  2  ρz  2.
tgθz 
tgθz 
b
, logo,
a
2 2
2 2
.
Do item [A], temos:
3π
3π
tgθz  tg
.
ou θz 
8
8
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Assim, na forma trigonométrica, temos:
3π
3π 

z  ρz  cos θz  i sen θz   z  2  cos
 i sen

8
8 


 3π 
 3π 
zn  2n cos  n
  i sen  n 8   .
8





 3π 
Se zn é real: sen  n
0 
8 

3π
8
3π
n
8
3π
n
8
3π
n
8
n
 0 (não convém, pois n > 0)
8
(não convém, pois n  z)
3
16
 2π  n =
(não convém, pois n  z)
3
π  n
resposta: n = 8.
 3π  n  8
c) Do item [B], concluímos que zn é real para n = 8 ou n = 16, ou n = 24, etc.
Supondo n = 8, temos:

 3n π
 3π 
zn  2n cos 
.
  i sen  n
8 
8  



z8  28 cos  3 π   i sen  3 π   z8  256.
Logo, o polinômio procurado é: z8  256  0.
Resposta da questão 7:
Considere a figura, em que A e B são, respectivamente, os pontos de interseção do raio X com o eixo das
ordenadas e o eixo das abscissas.
a) O ponto P é a imagem do número complexo de módulo 6 e argumento
π
rad. Desse modo, tem-se que
3
π
π

P   6  cos , 6sen   (3, 3 3).
3
3

b) Sendo BOP  60, temos POA  90  60  30 e, portanto, OAP  75. Daí, segue que OP  OA  6 e, assim,
A  (0, 6).
Portanto, a equação reduzida da reta AP é
y6 
3 3 6
 (x  0)  y  ( 3  2)x  6.
30
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Resposta da questão 8:
a) Se o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em (0, 1), então b  1. Além disso, como o gráfico é
tangente ao eixo das abscissas, vem
Δ  0  a2  4  1 1  0
 a   2.
Portanto, a   2 e b  1.
b) Se a  b  1  b  1  a, então f(x)  x2  ax  1  a. Agora, sem perda de generalidade, tomando a  0 e a  1,
obtemos f1(x)  x2  1 e f2 (x)  x2  x, respectivamente. Ora, como os gráficos de f1 e de f2 possuem um ponto
em comum, tem-se x2  1  x2  x  x  1. Em consequência, o resultado pedido é (1, 2).
Resposta da questão 9:
a) Observe o gráfico a seguir:
Considerando V o vértice da parábola de equação y = f(x), V’ o vértice de y’ = –f(x) e V” o vértice de y” = f(–x)
temos:
V(3, –2) , V’(3, –2) e V” (–3, –2)
Portanto, a distância entre os pontos V e V” será dada por:
d  (3  3)2  (2  2)2  52  2 13
b) Sendo y = f(x) = 2x2 – 12x + 16, temos:
y’ = – f(x) = – (2x2 – 12x + 16) = –2x2 + 12x – 16
y” = f(–x) = 2(–x)2 –12(–x) + 16 = 2x2 + 12x + 16
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Resposta da questão 10:
Seja f :  a função afim definida por f(x)  ax  b, em que f(x) é o número de cópias vendidas e x é o
número de matérias que abordam julgamentos de casos com ampla repercussão pública.
Sabendo que o gráfico de f passa pelos pontos (4, 33000) e (7, 57000), tem-se que
a
57000  33000
 8000.
74
Logo,
33000  8000  4  b  b  1000.
a) O valor inicial da função f, definida acima, é igual a 1000.
b) O gráfico pedido é
c) Seja g :  a função definida por g(x)  20  f(x), em que g(x) é o faturamento por adição e f(x) é o
número de cópias vendidas, conforme definido em (a).
Portanto, segue-se que
g(x)  20  (8000x  1000)  160000x  20000.
Resposta da questão 11:
a) Seja f :   , a função que associa a cada ano x o índice de perdas y, no Brasil, expresso em
porcentagem. Tem-se que a taxa de variação de f é dada por
1,76  1,75
 0,01.
1 0
Logo, dado que f(0)  1,75, vem f(x)  0,01 x  1,75.
Analogamente, sendo g :

 , a função para os EUA, temos
1,4  1,49
 0,09.
1 0
Portanto, como g(0)  1,49, concluímos que g(x)  0,09  x  1,49.
b) Tem-se que
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f(x)  g(x)  1  0,01 x  1,75  ( 0,09  x  1,49)  1
 0,1 x  0,74
 x  7,4.
Assim, como 2010  7,4  2017,4, os dois anos que mais se aproximam da resposta são 2017 e 2018.
Resposta da questão 12:
a) Se m  n  2, então
2
f( 2 )  2 
2 2
2
 2
2 2

2 2
2 2
2  ( 2  2)
2
 2
 2 2 2
 2.
2
2
 1. Logo, o ponto de
, com x  2. Tomando x  0, vem f(0)  2 
x2
02
interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas é (0, 1). Por outro lado, pondo f(x)  0, obtemos
b) Se m  n  2, então f(x)  2 
0  2
2
 x  1. Portanto, o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das abscissas é ( 1, 0).
x2
2
, da
x
seguinte forma: (i) um deslocamento horizontal de duas unidades para a esquerda; (ii) uma reflexão em torno
do eixo das abscissas; e (iii) um deslocamento vertical de duas unidades para cima.
c) O gráfico de f, para x  2, pode ser obtido a partir do gráfico da função g :

 , definida por g(x) 
d) Se f( 2)  2, então
2  2
m
2 n

m
2 n
 2 2
 m  2 2  2  2n  2n
 m  2n  2  2  (2  n).
Sendo m, n  , tem-se que m  2n  2  e 2  n  . Logo, a igualdade é verificada se, e somente se,
m  2n  2  0 e 2  n  0, o que ocorre apenas para m  n  2.
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EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – FUNÇÕES – NUMEROS COMPLEXOS
Resposta da questão 13:
αx
2
αx
gof(x)  fog(x)  eαx  eα x  e 2  eα x 
 α x  x2 x  0  x 2 x  0
2
 x  0  não convém  ou
x 2x 4
S  4, 
Resposta da questão 14:
a) O valor de t para o qual se tem h(t)  0,5 é
0,5  0,5  log3 (t  1)  t  0.
Para h(t)  1,5, obtemos
1,5  0,5  log3 (t  1)  t  1  3  t  2.
Portanto, serão necessários 2 anos para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m.
b) A lei da função g pode ser escrita sob a forma
g(t)  h(3t  2)
 0,5  log3 (3t  2  1)
 0,5  log3 3  (t  1)
 0,5  log3 3  log3 (t  1)
 1  h(t).
Por conseguinte,
g(t)  h(t)  1  h(t)  h(t)  1,
para todo t  0.
Resposta da questão 15:
a) A lei da função c é dada por
20, se 0  x  10
c(x)  
(x  10)  4  20, se x  10
20, se 0  x  10

.
4x  20, se x  10
Logo, o gráfico de c, para 0  x  30, é
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b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, o preço efetivamente pago por metro cúbico é dado
por
c(4) 20

 R$ 5,00.
4
4
Para um consumo mensal de 25 metros cúbicos de água, o preço efetivamente pago por metro cúbico é dado
por
c(25) 4  25  20

 R$ 3,20.
25
25
Resposta da questão 16:
a) Desde que | z  2 |  1, com z  x  yi e x, y  , vem
| z  2 |  1  | x  2  yi |  1
 (x  2)2  y 2  1
 (x  2)2  y 2  12 ,
ou seja, os números complexos z que satisfazem | z  2 |  1, pertencem à circunferência de centro em (2, 0) e
raio 1.
Lembrando que | z  i | denota a distância do complexo z  x  yi ao complexo w  i, considere a figura.
Queremos calcular a medida do segmento AB.
Como AB  AC  CB e CB  1, falta calcular AC. Daí,
AC  (2  0)2  (0  ( 1))2  5
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e, portanto,
AB  5  1.
b) Os triângulos CBD e CAO são semelhantes por AA. Logo,
CD
OC

CB

CB
AC
 CD 
2
 BD 
1
5
e
BD
OA
AC
5
.
Portanto,
z0  2 
2
5

1
5
i
10  2 5
5

i.
5
5
Resposta da questão 17:
a) Fatorando p(x), obtemos
p(x)  x3  2x 2  9x  18
 x2 (x  2)  9(x  2)
 (x  2)(x 2  9).
Portanto, r  3 e s  2.
b) Se z  1  i, então z2  (1  i)2  2i. Logo,
p(z)  (1  i 2)(2i  9)
 2i2  9i  2i  9
 7  11i.
Resposta da questão 18:
Seja z  a  bi, com a, b  , tal que
a2  b2  4. Logo, vem
f(z)  z  iz  z
 i  (a  bi)  a  bi
 b  ai  a  bi
 a  b.
Desse modo,
( b)2  b2  16  b2  8
 b  2 2.
Portanto, os complexos que satisfazem as condições são 2 2  2 2i e 2 2  2 2i.
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