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Prof. Daniel Almeida
MATEMÁTICA(parte 02)
FUNÇÕES E GRÁFICOS
Introdução
Par ordenado
Par ordenado dentro das funções será o par formado pelo
representante do conjunto domínio com seu respectivo
elemento do conjunto imagem. Veja no exemplo.
f : R em R
Repare que no gráfico acima (f(x) = 5) , a função fica
paralela ao eixo x ( das abscissas). A essa função que
independente do valor x, o valor de y ou f(x) não se altera
damos o nome de função constante.
Podemos definir uma função constante como sendo :
f:R
R / f (x) = p ou y = p
Exemplos
p =5
f (x)
f (x) = 0
f ( x) = - 63
Função do 1º grau.
Temos os seguintes pares ordenados:
(3 , 4)
(7 , -6)
(-1 , 2)
(0,2 , 3)
Ao conjunto de todos os pares ordenados de um conjunto
X em Y damos o nome de produto cartesiano de X em
Y.
Observe que nos gráficos anteriores todos formam uma
reta. Sempre quando a função apresentar esse
comportamento a ela damos o nome de função de 1º
grau ou afim.
Uma função f de A em B é uma função polinomial do 1º
grau se for definida por
f:R
(a,b  IR)
R / f (x) = a x + b ou y = a x + b
Confira alguns exemplos:
Exemplo:
A quantidade de demanda de um
determinado produto (q) está
relacionada com seu preço (p).
Na economia, surgem muitos
casos em que a quantidade de
demanda de um certo produto e
seu preço são relacionados por
uma função do 1º grau (também
chamada de função afim) , ou seja , a relação é
graficamente representada por uma reta, obedecidas
certas condições.
Como por exemplo, a quantidade de chapéus fabricada
por uma certa industria a quantidade de demanda é dada
pela equação q = 8 – 2p.
Vamos representar graficamente q em função de q em
função de p. Observe que tanto p quanto q terão
somente valores maiores que zero.
f (x)p = 2x -1
f ( x) 
 2x
1
5
f (x) = x + 6
a = 2 b = -1
a
2
b 1
5
a=1 b= 6
Exercícios resolvidos:
01. Dada a função f: R em R definida por y = f(x) = 2x + 9
obtenha:
a) f(0)
b) f(-1)
c) f(3)
d) f(1/2)
e) o valor de x quando f(x) = -1
Basta substituir o valor de x na função dada e encontra y.
a) f(0) = 2.0 +9 = 9
b) f(-1) = 2.-1+9= -2 + 9= 7
c) f(3) = 2.3 + 9 = 6 + 9 = 15
d) f(1/2)= 2. ½ + 9 =1 + 9= 10
Na letra e substitui f(x) por -1, isola-se x e encontra o seu
valor.
Função constante
-1 = 2x + 9
-9-1 =2x
-10 = x
2
x=-5
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MATEMÁTICA(parte 02)
y  3x  1 ou
02. Se uma função passa pelos pontos A (4 , -2) e B (
12, 6). Determine os valores de a e b na função que
obedece a lei de formação y= a x + b.
Vamos construí o Gráfico da função
1º Passo substitui os valores de de x e y na lei de
formação
Usa-se uma tabela para auxiliar nos pares ordenados
Para cada elemento de x escolhido aleatoriamente.
Calcula-se o seu f(x).
f ( x)  3 x  1
y = a. x + b
Logo temos.
x
y
-2 = a. 4 + b
e
6 = a. 12+b
0
1
-1
-1
2
-4
Agora resolve o sistema
-2 = a. 4 + b
6 = a. 12+b
Traçando no Plano cartesiano
Isola uma incógnita
b = -4a – 2
E substitui na outra equação
6 = 12 a -4a -2
Então temos a = 1
Voltando a equação inicial temos.
-2 = 4a + b
Agora
-2 = 4.1 + b
Função Crescente e Função decrescente
Logo b = - 6
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Todo gráfico de uma função do 1º grau será sempre uma
reta inclinada. Porque temos f ( x)  ax  b , com a ≠ 0.
È importante ressaltar que a reta formada pela função é
infinita, e por ela ser obliqua em relação aos eixos das
abscissas e das coordenadas, sempre ela vai cortar o
eixo x e o eixo y.
Toda função Polinomial do 1º grau será ou crescente ou
decrescente. Pois ela nunca será paralela ao eixo x.
Para uma função ser denominada crescente a medida
que o x aumenta o f(x) ou y tende a assumir valores cada
vez maiores. E a função decrescente pelo contrario a
medida que o seu x se aumenta o y tende a assumir
valores menores.
Observe o gráfico das duas funções a seguir.
f(x) = 2x +1
Construção
f(x)= -2x+1
Conforme um dos postulados de Euclides basta traçar
dois pontos distintos, que por eles passarão uma única
reta. Porém para maior garantia sugere-se que encontre
no mínimo três pontos da reta para que possamos traçar
a reta com absoluta certeza.
Exemplo 1:
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MATEMÁTICA(parte 02)
Note que a única diferença entre as duas funções é o
sinal de a, enquanto na primeira o a assume valor de +2
na segunda o a passa a valer -2. E a diferença gráfica
entre as funções é que a primeira é crescente e a
segunda é decrescente.
Observe alguns exemplos.
Com isso podemos concluir uma importante ferramenta,
não só para a representação do gráfico de determinadas
funções como a sua compressão. Observe.
2x - 5 = 0
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x – 5
f(x) = 0
x
5
2
Se a > 0 então a função polinomial do 1º será crescente.
Se a < 0 então a função polinomial do 1º será
decrescente.
COEFICIENTE ANGULAR E COEFICIENTE LINEAR
Raiz de uma função do 1º grau
Conforme visto anteriormente o sinal do a na função
polinomial de 1º determina se a mesma é crescente ou
decrescente. Pois bem, agora veremos o que define a
inclinação da reta e a sua posição em relação ao eixo x.
Em uma cidade do interior do Rio Grande do Sul todo dia
a partir das 21h a temperatura cai drasticamente até as 5
horas da manhã do dia seguinte.
Após vários dias alguns moradores que a temperatura
diminuía de acordo com o passar das horas. Usando T(x)
como sendo a temperatura representada em graus
Celsius e x como sendo as horas a partir das 21 horas.
A função que eles acharam é: T(x)=-2x+8
Observe o gráfico das seguintes funções
Assim ficou fácil de perceber à que horas a temperatura
ultrapassava a casa do zero grau. È só substituir o T(x)
por zero (temperatura a ser investigada).
T ( x)  2 x  8
0  2 x  8
2x  8
x
8
4
2
Ou seja a temperatura fica igual a zero graus 4 horas
depois das 21 horas, ou seja 1 hora da madrugada do
outro dia.
Analisando isso graficamente.
Note que a única diferença entre as funções e o valor que
a assume. E graficamente as funções tem inclinação
diferente. Por isso denominamos a coeficiente angular.
Que também pode ser calculado como tangente do
ângulo.
Tg α = Cateto Oposto
Cateto Adjacente
A esse ponto onde y ou f(x) quando se igual a zero, é que
denominamos de raiz da função. Portando raiz de uma
função é o valor de x que torna o valor da função nula.
Importante observar também que a raiz de uma função é
exatamente quando o eixo das abscissas é interceptado
pelo gráfico da função.
Agora vamos observar outras funções
f(x)= x - 2
Podemos encontrar a raiz de uma função:
f(x) = 0
ax + b = 0
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que o preço a ser vendido é de R$ 8,00. O proprietário
deseja saber
após quantos metros vendidos ele
começara a obter lucro.
Note que o isso recai num calculo que é (receita –
despesa), isso em função vira
f(x)= 8.x - 480
Graficamente temos
h(x)= x + 1
Note que o que difere as funções é o valor de b, e isso
faz com que o gráfico da função tenha a mesma
inclinação, porém em “alturas” distintas. Por isso
chamamos b de coeficiente linear.
Quando temos um feixe de funções variando apenas o
seu coeficiente linear. Dizemos que temo uma função
linear.
Exercícios resolvidos.
01. Determine os valores de m de modo que a função
real f(x)= (2 – m)x + 7 seja crescente.
Lembrar que para ser crescente temos q ter a > 0.
Tendo r como raiz da função.
Calculando r se obtém:
0=8x – 480
x = 60
Ou seja, 60 metros é onde a função se anula.
Mas o que é realmente importante destacar é que
somente após 60 metros de fio vendido que o
comerciante passou a ter lucro.
Matematicamente podemos afirmar que:
y = 0 quando x = 60
y < 0 quando x < 60
y > 0 quando x > 60.
Logo 2-m >0
De uma maneira geral podemos dividir o estudo de
sinais em duas partes:
m>2
Então se, e somente se, m for maior que 2 teremos uma
função crescente, com m  R.
1º) a > 0 (a função é crescente)
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores
que a raiz; y é negativo para valores de x menores
que a raiz
RESUMO:
SINAL DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Dentro do estudo das funções as vezes será necessário
observar não somente o que ocorre no primeiro
quadrante. È sim no que ocorre na função como um todo.
Observe o seguinte exemplo.
2º) a < 0 (a função é decrescente)
Conclusão: y é positivo para valores de x menores
que a raiz; y é negativo para valores de x maiores
que a raiz.
Um dono de materiais para construção adquiriu um rolo
de fio por R$ 480,00 para vender em sua loja. Sabendo
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MATEMÁTICA(parte 02)
02. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b .
Assinale a alternativa correta:
y
x
0
Exercício resolvido
01. Estude o sinal da função f(x)= -x -3
Primeiro vamos descobrir qual o zero da função:
f(x) = -x -3
0 = -x - 3
x = -3
Em um esboço podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
a=0;b=0
a>0;b>0
a<0;b>0
a>0;b=0
a>0;b<0
03. (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem teste de
Cooper numa pista retilínea, ambos correndo com
velocidade constante. A distância (d) que cada um
percorre é mostrada no gráfico abaixo.
d(m)
Logo:
Se x = -3 temos f(x) =0
Se x < -3 temos f(x) >0
Se x > -3 temos f(x) < 0
B
A
500
400
300
200
100
0 10 20 30
x
t(min)
Com base no gráfico, a alternativa correta é:
TESTES:
01. Assinale a alternativa que corresponde a função de
acordo com o gráfico:
y
2
x
0
a)
b)
c)
d)
e)
f(x)= -x+2
f(x) = -x/2 + 1
f(x)= -x/2 + 2
f(x)=4x
f(x)= -x
4
a)
b)
c)
d)
e)
A é mais veloz que B, pois percorre 600m em 20 min.
B percorre 1km em 20 min.
B é mais veloz que A, pois percorre 400m em 5 min.
A e B correm na mesma velocidade.
A percorre 400m em 30 min.
04. (Acafe-SC) Um táxi começa uma corrida com o
taxímetro marcando R$ 4,00. Cada quilômetro rodado
custa R$ 1,50. Se, ao final de uma corrida, o passageiro
pagou R$ 37,00, a quantidade de quilômetros percorridos
foi:
a) 22
b) 11
c) 33
d) 26
e) 32
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05. (BOMB-2004) Qual das histórias melhor se adapta ao
gráfico abaixo?
MATEMÁTICA(parte 02)
Incompletas
1º caso: b=0
Isola-se o valor de x
Ex.
x2  4  0
x2  4
a) Saí de casa calmamente, mas quando vi que poderia
me atrasar, comecei a caminhar mais rápido.
b) Eu tinha acabado de sair de casa quando tive a
sensação de ter esquecido as chaves do escritório. Parei
para procurá-las na minha mala, mas não as encontrei.
Voltei para buscá-las e depois pude seguir para o
escritório.
c) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou.
Como meu carro estava sem estepe, precisei ficar horas
esperando pelo borracheiro. Ele veio, consertou o pneu, e
eu pude seguir viagem.
d) Logo que saí de casa encontrei um amigo que não via
há muito tempo. Parei para conversar um pouco e depois
segui para o escritório.
e) Saí de casa sem destino, dei uma volta na quadra e
resolvi voltar para casa. O tempo estava para chuva e
resolvi não sair mais de casa.
GABARITO:
0
0
1
C
x 4
x  4
2º caso: c=0
Fatora-se a variável x, assim temos que uma das raízes
ficará igualada a zero; a segunda raiz é determinada a
partir da equação do primeiro grau do produto igualandoa a zero.
Ex.
x 2  2x  0
x( x  2)  0
x` 0
Então:
2
E
3
B
4
A
5
B
6
7
8
9
x20
x`` 2
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Uma equação do segundo grau é escrita da seguinte
forma:
ax 2  bx  c  0
Onde a, b e c representam números reais.
Caso os termos b ou c sejam iguais a zero, a equação se
tornará incompleta. O termo a não poderá ser nulo para
que a equação continue com grau dois.
Exemplos de equações incompletas.
a) x
2
S = {-2,0}
Completas
Para resolver uma equação completa do 2º grau aplicase a fórmula de Bháskara:
Fórmula
  b 2  4ac
x
b 
2a
40
Esta expressão permite calcular equações completas e
incompletas do 2º grau.
b) x  2 x  0
2
Ex. Dê a solução da equação
x 2  6x  8  0
Solução de uma equação do 2º grau
Como estamos diante de uma equação de grau dois, ela
apresentará até duas raízes.
Solução
x 2  6x  8  0
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  (6) 2  4.1.8
4
MATEMÁTICA(parte 02)
03. As raízes da equação
x  2 2 x  1 5x  2


3x
2
6
são:
 (6)  4
2.1
62
x
2
x` 4
x
a) -1 e 3
b) -1 e 4
c) 1 e -4
d) 1 e -3
e) n.d.a.
x`` 2
Propriedades das raízes
Discussão das raízes do 2º grau
Verificamos que o número de raízes reais de uma
equação do 2º grau depende do valor do discriminante
da fórmula de Bháskara, chamado delta. Logo, para
saber antecipadamente o comportamento das raízes de
uma equação do 2º grau, discutiremos a seguir o valor
do delta.
04. (Bomb -2005) Um grupo de amigos resolveu alugar
um ônibus e fazer uma excursão para a Serra Gaúcha,
dividindo igualmente o valor do aluguel entre eles. A
empresa de ônibus contratada fixou em R$ 2.400,00 o
valor dessa viagem, independentemente do número de
passageiros que o grupo quisesse levar. Depois que 5
amigos desistiram de viajar, cada um dos amigos
restantes concordou em pagar mais R$ 16,00 para que a
excursão fosse realizada. Quantos amigos viajaram para
a Serra Gaúcha?
Curiosidade:
a) 20
b) 22
c) 23
d) 25
e) 27

05. Vinte amigos resolveram alugar um campo de futebol
por R$ 200, valor este, que seria dividido igualmente
entre todos. Sabendo que no dia do jogo alguns
desistiram e, por este motivo, cada jogador teve que
pagar R$ 15,00 a mais, temos que o número de
jogadores que não apareceram no dia do jogo é:
- Se os coeficientes a e c tem mesmo sinal os sinais das
raízes também serão iguais. Isso não implica que os
sinais das raízes e dos coeficientes sejam iguais.
- Se os coeficientes a e c tem sinais diferentes, os sinais
das raízes também serão deferentes.
a) 11
b) 10
c) 13
d) 12
e) 14
Se   0 , a equação possui duas raízes reais e
diferentes.
Se
  0 , a equação possui duas raízes reais e iguais.
Se 
Reais.
 0,
a equação não possui raiz nos números
GABARITO:
TESTES:
0
01. A equação
soluções:
x  10 x  25  0
2
tem as seguintes
a) somente 5
b) somente 10
c) -5
d) 5 e 10
e) n.d.a.
02. As raízes da equação
a) 1 e 5
b) 2 e 3
c) -1 e 5
d) -1 e -5
e) n.d.a.
0
1
A
2
C
3
B
4
D
5
D
6
7
8
9
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
Observe os quadrados a seguir, cuja a medida do lado
varia conforme está indicado
2 x 2  10  8x  0
Calculando a área de cada quadrado obtemos.
2
1x1 =1 mt
2
2x2 = 4 mt
2
3x3 = 9 mt
2
4x4 = 16 mt
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Usando uma tabela para auxiliar. Onde L para a medida
do lado do quadrado e A para sua área:
L
A
1 mt
1 mt
2 mt
3 mt
4 mt
2
9 mt
4 mt
16 mt
MATEMÁTICA(parte 02)
Na arquitetura.
2
2
2
Analisando em um gráfico a variação da área de um
quadrado em relação a seu lado, temos:
Entre outras.
Definição
Uma função f: de R em R é denominada de função
quadrática quando, existem números reais a, b e c, com
a ≠ 0, tais que:
2
y= f(x) = a x + b x + c
Com a, b, c, e x Є R.
Exemplo de função quadrática:
2
I- y= 2x + 4x -3
Logo percebemos que o único jeito de traçar este gráfico
é utilizando uma curva. Pois os pontos encontrados não
estão alinhados, diferentemente do que acontecia na s
funções polinomiais do 1º grau.
Isso ocorre por que antes trabalhávamos com a seguinte
equação: f(x)= ax + b, e neste caso especifico das áreas,
2
temos como lei de formação f(x)= x . E é exatamente
esse x elevado ao quadrado que passará a ser usado nas
funções que nos estaremos estudando na seqüência.
A esse modelo matemático usado no caso para a área do
quadrado que chamamos de função quadrática ou
função do segundo grau.
E a essa “curva” realizada pelas funções que estaremos
estudando chamaremos de parábola.
Existem inúmeros exemplos de parábolas encontradas
em nosso dia a dia, aqui estão alguns:
Antenas Parabólicas
a
2
b
4
c
-3
II - f(x) = -2x + x
a
b
-2
1
c
0
2
2
III - y= 9x -21
a
b
9
0
C
-21
Gráfico de uma função quadrática
Ex:
2
f(x) = x + x
Um arremesso de uma bola em um jogo de basquete
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SIMETRIA E CONCAVIDADE
Note que agora dois ou três pontos ainda não definem de
maneira clara a parábola. Por isso na construção de
gráficos de função polinomial de 2º grau, deve-se traçar
vários pontos para poder visualizar a parábola. Porém
existem algumas características que são similares em
toda parábola. Agora estaremos estudando duas dessas
propriedades das funções quadráticas.
MATEMÁTICA(parte 02)
Para achar a y podemos substituir 2 no lugar de x para se
encontrar a outra coordenada.
Ou aplicar a formula para a coordenada y.
Em resumo basta usar estas equações para
encontrar o vértice da parábola.
CONCAVIDADE.
Facilmente percebemos que todas as parábolas possuem
uma concavidade. O que influencia ou o que altera a
concavidade de uma parábola é o valor de a. Observe a
seguir:
Máximos e mínimos
O vértice além de ser o ponto de intersecção entre o eixo
de simetria e a parábola da função, é também uma
importante ferramenta no estudo de máximos e mínimos.
Pois se tivermos uma função com concavidade para
cima, logo teremos o vértice como o seu ponto extremo
inferior(mínimo).
E com uma parábola tendo concavidade para baixo, o
vértice será o ponto superior extremo dessa parábola.
Conforme a figura.
Logo concluímos que:
se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada
para cima;
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada
para baixo
VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA
Conforme estudado até agora, vimos que para
construção de uma parábola de uma função polinomial do
2º grau. O principal ponto para auxiliar nessa construção
e o que chamamos de vértice da parábola.
Porém para encontrar este ponto existe uma maneira
mais pratica do que ficar tentando valores aleatoriamente.
Para encontrar o par ordenado que determina o vértice
da parábola V(Xv,Yv). Precisamos encontrar Xv e Yv.
Para a coordenada Xv do vértice basta calcular
xv 
b
2a
E para a coordenada Yv do vértice calcular
yv 

4a
RAIZ DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Como foi visto em funções polinomiais do 1º grau, raiz ou
zero de uma função é quando o eixo x é interceptado
pelo gráfico da função. O conceito permanece o mesmo,
ou seja, raiz de uma função continuará sendo quando a
função se anula, a diferença é que antes em toda a
função do 1º grau havia uma, só uma raiz.
Agora na função do 2º, nem sempre haverá raiz.
Podemos dividir as raízes de uma função quadrática em
três tipos. Discriminante igual a zero, menor que zero e
maior que zero.
Obs. Discriminante é o valor que se obtém calculando o Δ
de uma equação de Bháskara.
2
Δ= b – 4 a c
A formula de Bhaskara para resolução de equação do 2º
grau é:
Veja no exemplo:
Determine as coordenada do vértice da parábola y=x² 4x + 3
Discriminante igual à zero (uma raiz)
Quando isso acontecer parábola terá apenas uma raiz.
Que será exatamente o vértice da parábola.
Temos: a=1, b=-4 e c=3
2
0=Δ= b – 4 a c
Observe o exemplo.
Logo, a coordenada x será igual a 2.
y=f(x)=x²+2x+1
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MATEMÁTICA(parte 02)
2
x²+2x+1=0
0<Δ=b –4ac
Calculando o discriminante
No exemplo:
y = f(x) = x²-x+2
x²-x+2=0
No gráfico fica
Graficamente.
Discriminante maior que zero ( duas raízes)
Se o valor do discriminante assumir valor positivo, o
gráfico da função terá duas raízes.
2
0<Δ=b –4ac
Acompanhe o exemplo:
Exercício Resolvido.01. Determine o número de raízes,
se existir, da seguinte função.
y = f(x) = x²-4x+3
a) x²+5x+6= f(x)
x²-4x+3=0
Primeiro devemos calcular o discriminante.
2
Δ = b – 4 a c sendo a função x²+5x+6= f(x)
2
Δ= 5 – 4 .1. 6
Δ= 25 – 24
Δ= 1 >0
Logo essa função tem duas raízes.
b- Calculando o discriminante.
2
Δ = b – 4 a c sendo a função f(x) = x²
2
Δ = 0 – 4 .1. 0
Δ=0
Logo essa função tem apenas uma raiz.
x`=1 e x``=3
Graficamente:
TESTES:
2
01. O gráfico de y = x - 8x corta o eixo 0x nos pontos de
abscissa:
a) -2 e 6
b) -1 e -7
c) 0 e -8
d) 0 e 8
e) 1 e 7
02. O número de pontos de intersecção das duas
2
2
parábolas y=x e y=2x -1 é:
Discriminante menor que zero ( nenhuma raiz)
Quando isso acontecer a função não terá nenhuma raiz
real, ou seja, o eixo das abscissas não será cortado pela
parábola da função.
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
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03. A função real f, de variável real, dada por
2
f(x)=-x +12x+20, tem um valor
b) y = 7
x
c) y = 13
a) mínimo, igual a -16, para x = 6
b) mínimo, igual a 16, para x = -12
c) máximo, igual a 56, para x = 6
d) máximo, igual a 72, para x = 12
e) máximo, igual a 240, para x = 20
MATEMÁTICA(parte 02)
x
Gráficos:
Vamos
observar
os
gráficos
das
funções
exponenciais, com base maior ou menor que 1.
04. Um ônibus de 54 lugares foi fretado para uma
excursão. A empresa cobrou de cada passageiro a
quantia de R$ 55,00 e mais R$ 2,50 por lugar vago. O
número de passageiros que dá à empresa rentabilidade
máxima é:
1) f: R  R, sendo f (x) = 2
x
a) 16
b) 24
c) 38
d) 49
e) 54
05. (UEPI-PI) O lucro mensal de uma fábrica é dado por
2
L(x) = –x + 60x – 10 onde x é a quantidade mensal de
unidades fabricadas e vendidas de um certo bem,
produzido por esta empresa e L é expresso em Reais
(Obs.: Real  unidade monetária).
Quando a  1 , a função y = ax é CRESCENTE.
2) f: R  R, sendo f (x) = 1/2
x
O maior lucro mensal possível que a empresa poderá ter
é dado por:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 890,00
R$ 910,00
R$ 980,00
R$ 1.080,00
R$ 1.180,00
06. (EsPCEX) Um curral retangular será construído
aproveitando-se um muro pré-existente no terreno, por
medida de economia. Para cercar os outros três lados,
serão utilizados 600 metros de tela de arame. Para que a
área do curral seja a maior possível, a razão entre as
suas menor e maior dimensões será:
Quando 0  a  1 , a função y = ax é DECRESCENTE.
RESUMINDO
a) 0,25
b) 0,50
c) 0,75
d) 1,00
e) 1,25
a > 1 – Curva crescente
GABARITO:
0
1
D
0
2
C
3
C
4
C
5
A
6
B
7
8
9
FUNÇÃO EXPONENCIAL
É uma função do tipo y = a , sendo a  IR , a  0 , a  o.
x
Exemplos:
a) y = 2
x
0 < a < 1 – Curva decrescente
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MATEMÁTICA(parte 02)
TESTES:
06. (BOMB-2004) Experiências feitas com um certo tipo
de bactéria mostraram que o número de indivíduos numa
cultura, em função do tempo, pode ser aproximado pela
0,4.t
expressão F(t) = 50.2 , sendo t o tempo medido em
horas. Após quantas horas essa cultura terá 800
indivíduos?
01. Suponha que o crescimento de uma cultura de
bactérias obedece à lei
N (t )  m.2
t
2
na qual N representa o número de bactérias no momento
t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura
tinha 200 bactérias, ao fim de 8 horas o número delas era
a) 3 600
b) 3 200
c) 3 000
d) 2 700
e) 1 800
02. Uma população de bactérias começa com 100 e
dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias
após t horas é dado pela função
t
3
n(t )  100.2
Nessas condições, pode-se afirmar que a população será
de 51.200 bactérias depois de:
a) 1 dia e 3 horas.
b) 1 dia e 9 horas.
c) 1 dia e 14 horas.
d) 1 dia e 19 horas.
a) 10 horas
b) 12 horas
c) 15 horas
d) 18 horas
e) 24 horas
GABARITO:
0
0
1
b
2
a
3
c
4
a
5
e
6
a
7
8
9
LOGARITMOS
Dados os números reais a
e b, ambos positivos com b
 1, existe sempre um único real x tal que b = x .
Este expoente x , que deve ser colocado na base b para
que o resultado seja a , recebe o nome de logaritmo de a
na base b.
a
Exemplos:
2 = 8  log28 = 3
3
03. (Unifor CE/Janeiro/1998) Suponha que, após t dias
de observação, a população de uma cultura de
0,05 t
a)
b)
c)
d)
e)
bactérias é dada pela expressão P ( t)  Po . 2
,
na qual Po é a população inicial da cultura (instante
t = 0). Quantos dias serão necessários para que a
população dessa cultura seja o quádruplo da inicial?
20
30
40
50
60
04. (PUC RS/Julho/2004) Os gráficos das funções
x–1
x
definidas por f (x) = 2
e g (x) = 4 se encontram no
ponto de coordenadas:
a)
b)
c)
d)
e)
1
(1, )
4
1
(1, )
2
(–1, 2)
(0, 1)
(2, 4)
2 = 5  log2 5 = x
x
Propriedades
1) Logc (A.B) = Logc A + Logc B
2) Logc (A/B) = Logc A - Logc B
3) Logc (An) = n.Logc A
Função logarítmica
Vamos considerar a função logarítmica
f (x) = log2 x
05. (UFOP MG/Julho/1998) O valor de x que satisfaz a
x
x
equação seguinte é um número: 4 – 15 . 2 – 16 = 0
a)
b)
c)
d)
e)
ímpar
irracional
negativo
primo
par
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MATEMÁTICA(parte 02)
07. (UFSCar SP/1ªFase/2001) A altura média do tronco
de certa espécie de árvore, que se destina à
produção de madeira, evolui, desde que é plantada,
segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 +
log3(t+1), com h(t) em metros e t em anos. Se uma
dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu
3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do
momento da plantação até o do corte foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
TESTES:
01. Se log(3x+23) - log(2x-3) = log4, encontrar x.
a) 4
b) 3
c) 7
d) 6
e) 5
9.
8.
5.
4.
2.
08. (UFLA MG/2005) Uma população de insetos diminui
em conseqüência da aplicação de um inseticida segundo
02. Admitindo-se que log5 2=0,43 e log5 3=0,68, obtém-se
para log512 o valor
a) 1,6843
b) 1,68
c) 1,54
d) 1,11
e) 0,2924
03. (UFMG) O valor da expressão log2 128 – log3 243 é
igual a:
a função P(t) 300 (10) t , em que P(t) é o número de
insetos no tempo t, medido em semanas, sendo t  0 o
tempo em que o inseticida foi aplicado.
O tempo para que a população atinja 20% do tamanho
inicial é de, aproximadamente,
(Dado: log105  0,7)
a) 15 dias
b) 1 mês
c) 5 dias
d) 1 dia
e) 20 dias
09. (UEL-2008) Se 2 log(x) = log(2x − 5) + log(5), então
x deve ser
a) 3
b) 1
c) 0
d) 4
e) 2
04. (FATEC) Trabalhando com log10 3 = 0,477 e log10 2 =
0,301 assinale a opção cujo valor mais se aproxima de
log10 15:
a) 2,079
b) 1,255
c) 1,556
d) 1,176
e) 1,886
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
GABARITO:
0
0
1
c
2
c
3
e
4
d
5
a
6
c
7
b
8
c
9
d
TESTES FUNÇÕES CESGRANRIO
05. (PUCPR) Se log (3x + 23) – log (2x-3) = log 4,
encontrar x:
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
01. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) A população P
de certa cidade cresce de acordo com a função P(t)
t
56.000 (1,01) , onde t significa o tempo, em anos. O
gráfico que melhor representa essa função é
a)
b)
c)
d)
06. (U. Santa Ursula – RJ) A solução da equação log 2
(x-5) + log 2 (x-2) = 2 :
a) {1,6}
b) {1}
c) {6}
d) {3,4}
e) N.d.a.
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Um fazendeiro investiu U$50.000,00 na montagem de
uma fazenda marinha, mais U$9.000,00 em sementes de
vieira. Se todas as vieiras cultivadas forem vendidas,
todos os custos serão cobertos e o fazendeiro lucrará, em
dólares,
(A) 40.250,00
(B) 82.250,00
(C) 97.500,00
(D) 128.500,00
(E) 137.500,00
e)
02. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) No Brasil, um
motorista não pode dirigir se o nível de álcool no seu
sangue for superior a 0,2 g por litro. Considere que o
nível N de álcool por litro de sangue de um homem
adulto, em gramas, decresça de acordo com a função
t
N(t) = N0.(1/2) , onde t representa o tempo, em horas, e
N0 representa o nível inicial de álcool por litro de sangue.
Certo homem, adulto, ingeriu grande quantidade de
bebida alcoólica e o nível de álcool em seu sangue
chegou a 2 g por litro (N0 = 2). Quanto tempo ele terá
que esperar para poder dirigir?
(Use log 2 = 0,3).
(A) 3h e 20 minutos.
(B) 3h e 33 minutos.
(C) 4h e 40 minutos.
(D) 5h e 22 minutos.
(E) 6h e 30 minutos.
03. (CESGRANRIO-PETROBRAS-2008) O Programa de
Fazendas Marinhas da Ilha Grande oferece treinamento
para o cultivo de moluscos no litoral sul do Rio de
Janeiro. Os gráficos abaixo apresentam o custo da
semente e o preço de venda, depois do cultivo, de
vieiras, um molusco dotado de grande valor comercial.
04.
(CESGRANRIO-PETROBRAS-2008)
Em
um
laboratório de pesquisas científicas, um cientista
observou que a população de certa colônia de bactérias
dobrava a cada hora. Se, após t horas, essa população
de bactérias correspondia a dez vezes a população
inicial, pode-se afirmar que t é um número que pertence
ao intervalo
(A) ] 1; 2 [
(B) ] 2; 3 [
(C) ] 3; 4 [
(D) ] 4; 5 [
(E) ] 5; 6 [
2
05. (CESGRANRIO -2007) Sejam f(x) = – x + x + 6 e
g(x) = x + 2 funções reais de variáveis reais. Essas
funções assumem valores, exclusivamente, no intervalo
[0,3]. Seja P(a,b) o ponto em que f e g se intersectam.
Nessas condições, a + b vale:
(A) 6
(B) 4
(C) 3
(D) 2
(E) 1
06. (CESGRANRIO -2007) Um copo está vazio, e nele
são colocadas bolas de vidro idênticas, sucessivamente,
uma a uma. O gráfico que melhor representa a função
que associa ao número de bolinhas o peso do conjunto
composto por copo e bolas é:
a)
b)
c)
d)
e)
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MATEMÁTICA(parte 02)
07. (CESGRANRIO) As funções y = 2x + k e y = x + (2
k) se interceptam no
ponto P, de abscissa 4. Pode-se concluir que k é igual a
(A) 3
(B) 1
(C) +3
(D) +5
(E) +7
GABARITO:
0
0
1
B
2
A
3
D
4
C
5
A
6
C
7
E
8
9
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