UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS
ESCOLA DE INFORMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM INFORMÁTICA
Introdução ao Estudo das Coimplicações
Fuzzy Valoradas Intervalarmente
por
Gesner Antônio Azevedo dos Reis
Trabalho Individual I
TI-2009/2-003
Orientadora: Profa. Dr. Renata Hax Sander Reiser
Pelotas, março de 2010
AGRADECIMENTOS
Agradeço:
• a Simone e a Marina pela motivação;
• a orientação da Professora Renata que sempre buscou a excelência do trabalho;
• aos colegas pelo incentivo;
• aos Professores por indicarem o conhecimento necessário para concluir os deveres;
• a Deus pela oportunidade de adquirir um pouco mais de conhecimento.
“Comece fazendo o que é necessário, depois o que é possı́vel,
e de repente você estará fazendo o impossı́vel”.
— S̃ F  A
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1 INTRODUÇÃO . . . . .
1.1
Motivação . . . . . . .
1.2
Objetivos . . . . . . .
1.3
Atividades . . . . . . .
1.4
Organização do Texto
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14
2 MATEMÁTICA INTERVALAR
2.1
Aritmética Intervalar . . . .
2.2
A Topologia de IR . . . . . . .
2.3
Representação Intervalar . .
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3 LÓGICA FUZZY . . . . . . . . . . . . .
3.1
Aplicações da Lógica Fuzzy . . . . . .
3.2
Teoria dos Conjuntos Fuzzy . . . . . .
3.3
Representações de um Conjunto Fuzzy
3.4
Operações entre Conjuntos Fuzzy . .
3.5
Números Fuzzy . . . . . . . . . . . . .
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4 FUNÇÕES DE AGREGAÇÃO FUZZY E COMPLEMENTO FUZZY
4.1
Complemento Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1
Conceitos e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2
Complemento Fuzzy Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Norma e Conorma Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1
T-norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2
T-conorma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3
T-norma Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4
T-conorma Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Relação de Dualidade entre T-norma e T-conorma . . . . . . . . . .
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4.3.1
4.3.2
T-norma e T-conorma Duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Versão intervalar de T-norma e T-conorma Duais . . . . . . . . . . . . . .
5 IMPLICAÇÃO FUZZY INTERVALAR . . . . . . . .
5.1
Implicação Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1
(S,N)-implicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2
QL-implicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3
D-implicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4
R-implicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1
Automorfismo agindo em negação fuzzy e t-conorma
5.2.2
Automorfismo agindo em (S,N)-implicação . . . . .
5.2.3
Automorfismo agindo em QL-implicação . . . . . .
5.3
Implicação Fuzzy Intervalar . . . . . . . . . . . . . .
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6 COIMPLICAÇÃO FUZZY INTERVALAR . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
Coimplicação Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Coimplicação Fuzzy Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
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7
CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.1
Figura 3.2
Figura 3.3
Figura 3.4
Figura 3.5
Conjunto fuzzy dos números inteiros próximos de zero. . . . . . . . .
Conceito fuzzy de “Quente”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conjunto fuzzy dos números reais em torno de 6. . . . . . . . . . . .
Representação gráfica das operações união e intersecção entre conjuntos fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representação gráfica de números fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . .
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27
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1
Alunos e correspondentes graus de estudo. . . . . . . . . . . . . . .
23
Tabela 4.1
Exemplos de T-normas e T-conormas básicas e suas propriedades. . . . . .
32
Tabela 5.1
Exemplos de Operadores de Implicação Fuzzy Nominados
Notação: P = Probabilidade, B = Borda (limite), E = Extremo, D
Disjunção e C = Conjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemplos de Operadores de Implicação Fuzzy . . . . . . . . . . . . .
Exemplos de (S,N)-implicações básicas e suas propriedades . . . . . .
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Exemplos de operadores de coimplicação fuzzy nominados
Notação: P = Probabilidade, B = Borda (limite), E = Extremo, D =
Disjunção e C = Conjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemplos de operadores de coimplicação fuzzy . . . . . . . . . . . . . .
63
64
Tabela 5.2
Tabela 5.3
Tabela 6.1
Tabela 6.2
=
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
UCPel Universidade Católica de Pelotas
CIR
Representação Canônica Intervalar
dist
Distância entre dois intervalos
diam
Diâmetro de um intervalo
med
Ponto médio de um intervalo
supp
Suporte de um conjunto fuzzy
RESUMO
A lógica digital tradicional lida com variáveis assumindo apenas dois possı́veis
estados: falso e verdadeiro. Mas para grande número de modelagens do mundo real desejamos valores intermediários. O conceito de dualidade, estabelecendo que algo pode e
deve coexistir com o seu oposto, faz a lógica difusa parecer natural, até mesmo inevitável.
Assim, a lógica fuzzy introduz a habilidade em inferir conclusões e gerar respostas baseadas em informações vagas, ambı́guas e qualitativamente incompletas e imprecisas. Neste
contexto, os sistemas de base fuzzy apresentam uma forma de raciocinar semelhante aos
humanos, representando as expressões da linguagem natural de maneira muito simples e
intuitiva, levando à construção de sistemas compreensı́veis e de fácil manutenção. Outra
importante área de pesquisa baseada em modelos matemáticos para tratamento da incerteza considera a matemática intervalar, a qual vem sendo aplicada na representação de
dados inexatos. Em matemática intervalar, o princı́pio da corretude consiste na garantia
de que, na computação de um algoritmo, a saı́da intervalar contém todos os possı́veis resultados pontuais correspondentes aos dados pontuais referentes à entrada intervalar. E, o
princı́pio da optimalidade, determina que a saı́da intervalar seja a menor possı́vel satisfazendo a corretude. Assim, a corretude é a condição mı́nima enquanto que a optimalidade
é a condição ideal a ser satisfeita por computação intervalar.
Com base nestes critérios, os intervalos podem ser aplicados para representar valores desconhecidos e para representar valores contı́nuos em algoritmos da Computaçao
Cientı́fica. Lógica fuzzy intervalarmente valorada é considerar as construções fuzzy intervalares como construções fuzzy que são corretas e analisar critérios que garantam optimalidade. A extensão intervalar dos conetivos da lógica fuzzy em estudo neste trabalho
está baseada na representação intervalar canônica de funções reais introduzida e, neste
caso, restrita ao intervalo unitário [0, 1] da reta real, que sempre retorna o menor intervalo contendo a imagem da função. Consideram-se conceitos e fundamentos de ambas
abordagens, da lógica fuzzy e da matemática intervalar, para estudar os operadores definidos como coimplicações, caracterizados como estrutura dual das implicações fuzzy, buscando introduzir a extensão intervalar das coimplicações fuzzy, analisando a satisfação de
propriedades análogas às respectivas classes de coimplicações fuzzy valoradas pontualmente. Em particular, mostra-se que coimplicações fuzzy intervalarmente valoradas são
representações de coimplicações fuzzy satisfazendo estes dois princı́pios.
Palavras-chave: Lógica fuzzy Intervalar, Coimplicações.
TITLE: “INTRODUCTION TO THE STUDY OF FUZZY COIMPLICATION INTERVAL VALUED”
ABSTRACT
Traditional digital logic deals with variables assuming only two possible states:
false and true. But for a large number of modeling real world values we want intermediaries. The concept of duality, stating that something can and must coexist with its
opposite, makes the fuzzy logic seem natural, even inevitable. Thus, the logic fuzzy introduces the ability to infer conclusions and generate responses based on information vague,
ambiguous and qualitatively incomplete and inaccurate. In this context, the way of thinking of fuzzy-based systems are similar to the way that humans things, representing the
expressions of natural language in a very simple and intuitive, leading to the construction
of systems to understand and easy to maintain. Another important area of research based
on mathematical models for the treatment of uncertainty considers interval mathematics,
which has been applied in the representation of inaccurate data. In interval mathematics, the principle of correctness is the assurance that the computation of an algorithm, the
output interval contains all possible outcomes corresponding point to point data for entry
interval. And the principle of optimality, determines that the output interval is the smallest
possible satisfying accuracy. Thus, the correctness is the minimum condition while the
optimality is the ideal condition to be satisfied by interval computations.
Based on these statement, intervals can be used to represent unknown values and
to represent continuous values in scientific computing algorithms. Interval valued fuzzy
logic is to consider the buildings fuzzy interval as fuzzy constructs that are correct and
analyze criteria to ensure optimality. The extension of the interval connectives of fuzzy
logic in this study work is based on the canonical interval representation of real functions
introduced and in this case, restricted to the unit interval [0, 1] of the real line, that always
returns the smallest interval containing the image of the function. Considered concepts
and foundations of both approaches, fuzzy logic and interval mathematics, to study the
operators defined as coimplications, characterized as dual structure of the implications
fuzzy, seeking to introduce the extension of the interval fuzzy coimplications, analyzing
the satisfaction of properties similar to the respective classes of fuzzy coimplications point
value. In particular, we show that coimplications fuzzy interval valued are representations
of fuzzy coimplications satisfy these two principles.
Keywords: Fuzzy Logic Interval, Coimplication.
11
1
INTRODUÇÃO
A lógica clássica, ou lógica tradicional lida com variáveis assumindo apenas dois
possı́veis estados: falso e verdadeiro. Em boa parte dos casos, esta representação é suficiente, mas para grande número de modelagens do mundo real desejamos que os estados
sejam modelados por valores intermediários ou aproximados (DWYER, 1951).
O conceito de dualidade, estabelecendo que algo pode e deve coexistir com o seu
oposto, faz a lógica difusa parecer natural, até mesmo inevitável. Na verdade, entre a
certeza de ser e a certeza de não ser, existem infinitos graus de incerteza.
Esta imperfeição intrı́nseca à informação representada numa linguagem natural
tem sido tratada, matematicamente, com o uso da teoria das probabilidades. Assim,
também a lógica fuzzy introduz a habilidade em inferir conclusões e gerar respostas
baseadas em informações vagas, ambı́guas e qualitativamente incompletas e imprecisas (ROSS, 2004; SHAM; SIMOES, 2001).
Neste contexto, os sistemas de base fuzzy apresentam uma forma de raciocinar
semelhante aos humanos, representando as expressões da linguagem natural de maneira
muito simples e intuitiva, levando à construção de sistemas compreensı́veis e de fácil
manutenção.
Outra importante área de pesquisa baseada em modelos matemáticos para tratamento da incerteza considera a matemática intervalar, a qual vem sendo aplicada na
representação de dados inexatos, aproximações e erros de arredondamento e de truncamento nos procedimentos computacionais (SUNAGA, 1958; OLIVEIRA; DIVERIO;
CLAUDIO, 1997).
Na computação cientı́fica, os intervalos podem ser aplicados para representar valores desconhecidos e para representar valores contı́nuos. Fundamentada na teoria intervalar, a utilização da aritmética intervalar tem alcançado resultados significativos no
desenvolvimento de algoritmos numéricos autovalidáveis e com controle automático de
erro para as aproximações em um sistema de ponto flutuante, garantindo a máxima exatidão no resultado final (BURKILL, 1924).
Nesta proposta, consideram-se conceitos e fundamentos de ambas abordagens, da
lógica fuzzy e da matemática intervalar. Ou seja, considera-se o estudo da lógica fuzzy
intervalar (MOORE, 1979; RUMP, 1999; MOORE, 1962; WILKINSON, 1965), quando
intervalos podem ser considerados como tipos particulares de conjuntos fuzzy, modelando
a imprecisão dependente do contexto e referente às informações de especialistas quanto
ao grau de pertinência de um objeto.
A extensão intervalar dos conetivos da lógica fuzzy em estudo neste trabalho está
baseada na representação intervalar canônica de funções reais introduzida em (A. TA-
12
KAHASHI, 2006; BEDREGAL; TAKAHASHI, 2006a) e, neste caso, restrita ao intervalo
unitário U=[0,1] da reta real. Esta representação, indicada por CIR (Canonical Interval
Representation) (BEDREGAL; REISER; DIMURO, 2009; BEDREGAL et al., 2007a),
sempre retorna o menor intervalo contendo a imagem da função, formalizando a noção de
otimalidade.
Sendo assim, a principal motivação para o desenvolvimento deste trabalho é colaborar para a integração destas áreas, visando desenvolvimento do estudo da lógica fuzzy
intervalar como fundamentação para o desenvolvimento de sistemas computacionais, com
ênfase na modelagem matemática e considerando tanto o tratamento da incerteza nos dados como o controle automático de erros e imprecisão nos cálculos numéricos (HICKEY;
JU; EMDEM, 2001).
Este trabalho está focado no estudo dos operadores definidos como coimplicações,
caracterizados como estrutura dual das implicações fuzzy. Tais operadores são definidos
a partir das negações fuzzy e operadores de agregação, os quais são, no escopo deste
trabalho, basicamente divididas em duas classes: as normas triangulares (indicadas por
t-normas) e as estruturas duais das normas triangulares, denominadas conormas triangulares e indicadas pela expressão t-conormas (BAETS, 1997; OH; KANDEL, 1991a;
RUIZ-AGUILERA; TORRENS, 2004).
A análise de propriedades e correlações entre implicações fuzzy e coimplicações
fuzzy tem sido objeto de pesquisa, considerando o relevante papel que esses conectivos
desempenham nos sistemas de inferência baseados na lógica fuzzy (WOLTER, 1998;
KANDEL; LAST, 2007; LIN; XIA, 2006).
Este trabalho considera uma revisão destes conceitos, já consolidados na literatura,
como fundamentação para extensão intervalar das coimplicações, considerando diferentes
metodologias que direcionaram o estudo de implicações fuzzy intervalar (BAETS, 1997;
REISER et al., 2008; OH; KANDEL, 1991a; RUIZ-AGUILERA; TORRENS, 2004; SUNAGA, 1958; WOLTER, 1998; KANDEL; LAST, 2007; LIN; XIA, 2006).
1.1
Motivação
A lógica fuzzy modela, matematicamente, a imprecisão da linguagem natural, utilizando graus de pertinência (valores entre 0 e 1). Contudo, nem sempre é simples especificar com precisão esses graus de pertinência. Existem infinitas formas de generalizar o
comportamento dos conectivos lógicos clássicos valoradas por números reais no intervalo
unitário U = [0, 1] e a aplicação da álgebra Boleana.
As t-normas, t-conormas, implicações, coimplicações e negações são operações
sobre [0, 1] satisfazendo certas propriedades que generalizam os conectivos da lógica
clássica de conjunção, disjunção, implicação, coimplicação e negação, respectivamente.
Esta generalização é construı́da de forma a preservar as propriedades dos conectivos da
lógica clássica.
Sendo assim, a principal motivação para o desenvolvimento deste trabalho é colaborar para a integração destas áreas, visando o desenvolvimento do estudo da lógica fuzzy
intervalar como fundamentação para o desenvolvimento de sistemas computacionais, com
ênfase na modelagem matemática e considerando tanto o tratamento da incerteza nos dados como o controle automático de erros e imprecisão nos cálculos numéricos.
13
1.2
Objetivos
A proposta deste trabalho tem com objetivo o estudo da lógica fuzzy intervalar,
considerando a extensão da lógica fuzzy baseada no princı́pio da representação canônica
de funções intervalares.
Mais especificamente, este estudo está direcionado para uma análise dos conetivos fuzzy, centrado na análise de coimplicação fuzzy e de suas propriedades estabelecidas na literatura. O trabalho também introduz a extensão intervalar de coimplicação
fuzzy baseada na representação canônica de funções intervalares definidas no conjunto de
subintervalos do intervalo unitário U.
Mais detalhadamente, os objetivos especı́ficos são:
• Revisar os fundamentos da matemática intervalar, propriedades da aritmética e da
topologia, representação de funções e o princı́pio da representação canônica intervalar;
• Revisar os fundamentos da lógica fuzzy, as atuais aplicações, incluindo os conceitos
e principais propriedades dos conetivos fuzzy;
• Caracterizar o estado da arte da lógica fuzzy valorada intervalarmente, e as
aplicações no desenvolvimento de aplicações cientı́ficas e tecnológicas;
• Estudar e analisar as principais caracterı́sticas de coimplicação fuzzy;
• Aplicar o princı́pio da representação canônica na definição de coimplicação fuzzy
intervalar.
1.3
Atividades
• Revisão bibliográfica da matemática intervalar.
1. Proposta, principais aplicações e grupos de pesquisa;
2. Estudo das operações aritméticas e topológicas, incluindo principais propriedades;
3. Estudo da CIR de funções reais.
• Revisão bibliográfica da lógica fuzzy.
1. Proposta, principais aplicações e grupos de pesquisa;
2. Identificação das principais propriedades dos operadores de agregação na
lógica fuzzy;
3. Estudo de t-norma, t-conorma e negação fuzzy e análise das principais propriedades.
• Revisão bibliográfica da lógica fuzzy intervalar.
1. Proposta e fundamentação da lógica fuzzy intervalarmente valorada;
2. Estudo da extensão intervalar dos operadores de agregação baseados na CIR.
14
• Introdução da representação intervalar canônica de coimplicação.
1. Estudo das principais propriedades de coimplicação fuzzy;
2. Estudo das correlações entre implicação fuzzy e coimplicação fuzzy;
3. Introduzir a coimplicação valoradas intervalarmente.
1.4
Organização do Texto
A apresentação deste texto está organizada em 7 capı́tulos, brevemente resumidos
logo a seguir.
O Capı́tulo 1 é a corrente introdução, onde estão registrados a motivação, os objetivos e as atividades propostas para o trabalho descrito neste texto.
No Capı́tulo 2 apresenta-se com fundamentos e um breve estudo sobre matemática
intervalar, discursando sobre aritmética intervalar, topologia de IR e representação intervalar.
O Capı́tulo 3 discorre sobre conceitos básicos da lógica fuzzy. Considerando
aplicações nas diversas áreas, as principais definições sobre conjuntos fuzzy, suas
representações e principais operações entre conjuntos fuzzy e além disso considera-se
a noção de números fuzzy.
O capı́tulo 4, por sua vez, trata de funções de agregação e complemento fuzzy,
onde são abordados conceitos, exemplificação e propriedades de complemento fuzzy e
de norma e conorma triangular bem como as suas extensões intervalares e a relação de
dualidade entre t-norma e t-conorma e também a versão intervalar de t-norma e t-conorma
duais.
No Capı́tulo 5 são enumeradas as implicações fuzzy, tratando-se das classes de
(S,N)implicação, QL-implicação, D-implicação e R-implicação, abordando conceitos,
exemplificação e propriedades. Trata-se de automorfismo agindo sobre negação fuzzy
e t-conorma, sobre (S,N)-implicação e QL-implicação, bem como implicação fuzzy intervalar com conceitos e propriedades.
No Capı́tulo 6, apresenta-se um estudo sobre coimplicação fuzzy, tratando-se de
conceitos, propriedades, exemplificações e a relação entre implicação e coimplicação
fuzzy e sua extensão coimplicação fuzzy intervalar, bem como propriedades e
demonstrações.
O Capı́tulo 7 destaca as principais frentes exploradas no texto e as conclusões.
15
2
MATEMÁTICA INTERVALAR
A matemática é a ciência do raciocı́nio lógico e abstrato. Ela procura a verdade,
com rigor e precisão. Embora muitas das teorias descobertas há longos anos ainda hoje se
mantenham válidas e úteis, a matemática continua, permanentemente, a modificar-se e a
desenvolver-se. Para que os fenômenos do mundo fı́sico possam ser modelados matematicamente, necessitamos mensurar algumas grandezas como tempo, distância, temperatura,
ângulos, etc, que são obtidas através de instrumentos com precisão limitada e a incerteza
destes parâmetros nos levará a imprecisão dos resultados.
Na computação cientı́fica existem três principais fontes de erros, sendo: (i) a
propagação de erros de dados e parâmetros iniciais; (ii) o erro de arredondamento e (iii)
o erro de truncamento. Na década de 60, nos artigos de Moore e em particular a sua
monografia (MOORE, 1963), introduziu-se a aritmética intervalar, sendo estes textos os
principais responsáveis pelo despertar de um trabalho cientı́fico de investigação ativo e
contı́nuo.
A matemática intervalar (MOORE, 1979) tem como objetivo fundamental o tratamento automático de erros em computação cientı́fica, onde os parâmetros e dados iniciais são geralmente imprecisos. Busca-se também a aplicação do princı́pio da máxima
exatidão, garantindo o controle automático dos erros de resultados em computações
numéricas.
2.1
Aritmética Intervalar
Esta seção resume as principais operações aritméticas e suas principais propriedades algébricas.
Definição 1. Intervalo: Seja R o conjunto dos números reais, e sejam x1 e x2 ∈ R, tais
que x1 ≤ x ≤ x2 . Então o conjunto {x|x ∈ R e x1 ≤ x ≤ x2 } é um intervalo de reais
ou simplesmente um intervalo, e será denotado por X = [x1 ;x2 ], X tem x1 e x2 como os
extremos inferior e superior de X, denotados por X = x1 e X = x2 , respectivamente.
Seja X = [X; X], se X = X é denominado intervalo degenerado.
O conjunto dos intervalos assim definidos é indicado por IR.
Definição 2. Operações aritméticas em IR: Sejam A=[a1 ; a2 ] e B=[b1 ; b2 ] ∈ IR. As
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão em IR são definidas por
A ∗ B = {a ∗ b | a ∈ A, b ∈ B}
(2.1)
16
onde ∗ ∈ {+, –, ×, ÷} é qualquer uma das quatro operações aritméticas. Se ω for uma
operação aritmética unária, então ω(X) é definida por
ω(X) = {ω(x) | x ∈ X}.
Salienta-se que, na Definição 2, para a operação de divisão, precisamos assumir
que 0 < B.
As proposições sobre operações aritméticas e suas propriedades não serão provadas, por se tratar de conceitos básicos já bastantes difundidos na literatura, mas sua prova
pode ser encontrada, por exemplo, em (OLIVEIRA; DIVERIO; CLAUDIO, 1997; MOORE, 1962, 1979; KEAFORT, 1996; TRINDADE, 2009) na forma de vários teoremas,
lemas e corolários.
Proposição 1. Sejam A e B ∈ IR, então:
1. Adição intervalar:
A + B = [(A + B); (A + B)]
(2.2)
2. Pseudo inverso aditivo intervalar:
−A = [−A; −A]
(2.3)
A − B = A + (−B) = [(A − B); (A − B)]
(2.4)
3. Subtração intervalar:
4. Multiplicação intervalar:
A.B = [min{A.B, A.B, A.B, A.B}; max{A.B, A.B, A.B, A.B}]
(2.5)
5. Pseudo inverso multiplicativo intervalar:
A−1 =
1
1 1
= [ ; ] e 0 < [A; A]
A
A A
(2.6)
6. Divisão intervalar:
A A A A
A A A A
A
= [min{ , , , }; max{ , , , }] com 0 < [B; B]
B
B B B B
B B B B
(2.7)
Prova. Veja em (OLIVEIRA; DIVERIO; CLAUDIO, 1997; MOORE, 1962, 1979; KEAFORT, 1996; TRINDADE, 2009).
Proposição 2. Sejam A,B e C ∈ IR, então, ∀ A,B e C ∈ IR, as seguintes propriedades
algébricas da adição em IR são satisfeitas:
• Fechamento:
S e A ∈ IR e B ∈ IR então A + B ∈ IR;
(2.8)
17
• Associatividade:
A + (B + C) = (A + B) + C;
(2.9)
A + B = B + A;
(2.10)
∃ ! 0 = [0; 0] ∈ IR | A + [0, 0] = [0, 0] + A = A.
(2.11)
• Comutatividade:
• Elemento Neutro:
Prova. Veja em (OLIVEIRA; DIVERIO; CLAUDIO, 1997; MOORE, 1962, 1979; KEAFORT, 1996; TRINDADE, 2009).
Proposição 3. Sejam A,B e C ∈ IR, então, ∀ A,B e C ∈ IR, valem as seguintes propriedades algébricas da multiplicação em IR:
• Fechamento:
S e A ∈ IR e B ∈ IR então A.B ∈ IR;
(2.12)
A.(B.C) = (A.B).C;
(2.13)
A.B = B.A;
(2.14)
∃ ! 1 = [1; 1] ∈ IR | A.[1, 1] = [1, 1].A = A;
(2.15)
• Associatividade:
• Comutatividade:
• Elemento Neutro:
• Subdistributividade:
A.(B + C) ⊆ (A.B) + (A.C).
(2.16)
Prova. Veja em (OLIVEIRA; DIVERIO; CLAUDIO, 1997; MOORE, 1962, 1979; KEAFORT, 1996; TRINDADE, 2009).
2.2
A Topologia de IR
Nesta seção, mostraremos algumas propriedades topológicas do espaço IR. Tais
propriedades estão baseadas principalmente nas noções de proximidades e limite, como
por exemplo, a distância. Convém ressaltar que, a maioria dos conceitos topológicos
aqui apresentados tem naturalmente uma interpretação geométrica muito intuitiva (OLIVEIRA; DIVERIO; CLAUDIO, 1997).
Apresentaremos a seguir, um conjunto de definições básicas sobre a topologia de
IR.
Definição 3. Distância entre dois intervalos: Sejam A = [a1 ; a2 ] e B = [b1 ; b2 ] ∈ IR,
definimos a distância entre A e B como sendo um número real não negativo.
dist(A, B) = max{| a1 − b1 |, | a2 − b2 |} > 0.
(2.17)
18
Corolário 1. A=B⇔ dist (A,B)=0
Definição 4. Módulo de um intervalo: Seja A = [a1 ; a2 ] ∈ IR, definimos o módulo de A
como sendo o número real não negativo que corresponde à distância entre A e zero.
| A |= dist(A, 0) = max{| a1 |, | a2 |} > 0.
(2.18)
Definição 5. Diâmetro de um intervalo: Seja A = [a1 ; a2 ] ∈ IR, definimos o diâmetro de
A como sendo um número real não negativo.
diam(A) = diam([a1 , a2 ]) = a2 − a1 > 0.
(2.19)
Definição 6. Ponto Médio de um intervalo: Seja A = [a1 ; a2 ] ∈ IR, definimos como ponto
médio de A como sendo um número real.
med(A) = med([a1 , a2 ]) =
2.3
a1 + a2
.
2
(2.20)
Representação Intervalar
Considere o intervalo real unitário U=[0,1] ⊆ R. Seja U o conjunto dos subintervalos de U, isto é U = {[a, b] | 0 ≤ a ≤ b ≤ 1}.
Um intervalo X ∈ U é dito ser uma representação intervalar de um número real
α se α ∈ X. Considerando-se duas representações intervalares X e Y de um número
real α, X é dito uma melhor representação de α que Y se X é mais restrito do que Y, ou
seja, se X ⊆ Y. Este conceito pode ser facilmente estendido para tuplas de n intervalos
~
X=(X
1 , ..., Xn ) (BEDREGAL et al., 2007b).
Definição 7. Representação intervalar: (cf. (SANTIAGO; BEDREGAL; ACIóLY, 2006))
A função F : Un → U é uma representação intervalar de uma função f : U n → U se,
~ ∈ Un e ~x ∈ X,
~ f(~x) ∈ F(X).
~
para cada X
Uma função intervalar pode ser vista como uma representação de um subconjunto de números reais. Assim, estendendo a definição anterior, uma função intervalar F : Un → U é uma melhor representação intervalar da função f : U n → U do que
~ ∈ Un , a inclusão F(X)
~ ⊆ G(X)
~ está
G : Un → U, denotada por G v F, se para cada X
garantida.
Definição 8. Melhor representação intervalar: (cf. (SANTIAGO; BEDREGAL; ACIóLY,
2006)) Para cada função real f : U n → U, a melhor representação intervalar é a função
intervalar b
f : Un → U é definida por
b
~ = [in f { f (~x) | ~x ∈ X},
~ sup{ f (~x) | ~x ∈ X}].
~
f (X)
(2.21)
A função intervalar b
f está bem definida e para qualquer outro tipo de representação
b
intervalar F de f, F v f . A função intervalar b
f retorna um intervalo mais estreito do que
qualquer outra representação intervalar de f. Portanto, a função b
f satisfaz a propriedade
de optimalidade mencionada por Hickey em (HICKEY; JU; EMDEM, 2001), quando ela
é vista como um algoritmo para calcular uma função real f.
Observe que se f é contı́nua no sentido usual, tem-se, para cada X∈ Un ,
19
b
~ = { f (~x) | ~x ∈ X}
~ = f (X).
~
f (X)
(2.22)
O principal resultado em (SANTIAGO; BEDREGAL; ACIóLY, 2006) pode ser
restrito ao contexto deste estudo, isto é, para U n em vez de R, como mostra o seguinte:
Teorema 1. (BEDREGAL et al., 2007)[Theorem 2.3] Seja f:U n → U é uma função. As
seguintes afirmações são equivalentes:
(i) f é contı́nua; (ii) b
f é contı́nua para Scott; (iii) b
f é contı́nua para Moore.
A continuidade de Scott e Moore são as duas noções de continuidade mais comuns
utilizadas na matemática intervalar (SANTIAGO; BEDREGAL; ACIóLY, 2006). Outra
abordagem baseada em Espaços Coerentes pode ser encontrada em (DIMURO; COSTA;
CLAUDIO, 1999; DIMURO et al., 2000).
Uma função intervalar F : Un → U é preservada para intervalos degenerados
quando, para cada x1 , ..., xn ∈ U, existe y ∈ U tal que F([x1 , x1 ], ..., [xn , xn ]) = [y, y]. Note
que, para cada função f : U n → U, a função intervalar b
f é preservada para o intervalo
degenerado.
20
3
LÓGICA FUZZY
Este capı́tulo apresenta os princı́pios da Lógica Fuzzy, definindo e exemplificando
os conjuntos fuzzy. Detalhes em maior profundidade podem ser encontrados na literatura,
por exemplo em (ZADEH, 1965, 1975, 1994; BARROS; BASSANEZI, 2006; CARLSSON; FULLER, 2002; ROSS, 2004; MITRA; PAL, 2005).
3.1
Aplicações da Lógica Fuzzy
Usamos, no cotidiano, conceitos subjetivos para analisar ou considerar certas
situações tais como: estamos com uma moeda “estável”, o dia está “parcialmente” nublado e preciso perder “alguns” quilos para ficar “bem”.
Nos exemplos acima, os termos entre aspas são conceitos vagos, que envolvem
imprecisão, são termos fuzzy. O conceito fuzzy pode ser entendido como uma situação
onde não podemos responder simplesmente “sim” ou “não”. Mesmo conhecendo as
informações necessárias sobre a situação, torna-se mais apropriado dizer algo entre “sim”
e “não” como por exemplo “talvez”, “quase”.
Considere, por exemplo, informações como “homens altos” , “dias quentes” ou
“vento forte”. Nada existe que determine exatamente qual a “altura”, “temperatura” ou
“velocidade” que podemos considerar como limites para tais informações. Se considerarmos como alto todos os homens com mais de 1,90m, então um homem com 1,88m não
seria “alto” e sim “quase alto”.
As primeiras noções da lógica dos conceitos “vagos” foi desenvolvida por um
lógico polonês Jan Lukasiewicz (FONT; HAJEK, 2000) (1878-1956) em 1920 que introduziu conjuntos com graus de pertinência.
Segundo (ALTROCK, 1996), a primeira publicação sobre lógica fuzzy data de
1965, quando recebeu este nome. Seu autor foi Lotfi Asker Zadeh (ZADEH, 1965),
professor em Berkeley, Universidade da Califórnia, USA. Zadeh criou a lógica fuzzy
combinando os conceitos da lógica clássica e os conjuntos de Lukasiewicz, definindo
graus de pertinência.
Entre 1970 e 1980 as aplicações industriais da lógica fuzzy aconteceram com
maior importância na Europa e após 1980, o Japão iniciou seu uso com aplicações tecnológicas e indústriais. Algumas das primeiras aplicações foram em um tratamento de
água feito pela Fuji Electric em 1983 e pela Hitachi em um sistema de metrô, inaugurado
em 1987.
Por volta de 1990, a lógica fuzzy despertou um maior interesse em empresas dos
Estados Unidos, devido ao desenvolvimento e as inúmeras possibilidades práticas dos
21
sistemas fuzzy. Pelo grande sucesso comercial de suas aplicações, a lógica fuzzy é considerada hoje uma técnica standard e tem uma ampla aceitação na área de controle de
processos industriais (MAMDANI; ASSILIAN, 1975; MITRA; PAL, 2005).
A seguir são ilustradas algumas aplicações dos conceitos de lógica fuzzy no controle de sistemas mecânicos:
• Aspiradores de pó Matsushita usam controladores de 4 bits rodando algoritmos para
sensores de pó que ajustam o poder de sucção;
• Máquinas de lavar Hitachi usam controladores fuzzy para controle de peso,
verificação de tipo de tecido, e sensores de sujeira e automaticamente designam
os ciclos de lavagem para uso otimizado de potência, água e detergente;
• Um ar condicionado industrial projetado pela Mitsubishi usa 25 regras de resfriamento e 25 regras de aquecimento. Comparado com o projeto anterior, o ar condicionado com controlador fuzzy aquece 5 vezes mais rápido, reduz o consumo de
potência em 24%, incrementa a estabilidade da temperatura por um fator de 2, e usa
um número mais reduzido de sensores;
• Uma máquina de lavar pratos “inteligente” baseado em um controlador fuzzy;
• Utilização de lógica fuzzy em serviços prestado a bibliotecas, gerando indicadores
de desempenho dos serviços realizados por essa. São definidas variáveis como
“tempo de resposta”, “acesso”, “cortesia” e “confiança”;
• Usa-se lógica fuzzy na determinação de parâmetros de controle de altitude e guiamento de aeronaves não tripuladas, onde existem uma série de regras baseadas em
variáveis e valores lingüı́sticos.
3.2
Teoria dos Conjuntos Fuzzy
Na teoria clássica de conjuntos são definidos os limites para determinar a pertinência de um elemento a um conjunto com toda a certeza, onde cada proposição é
tratada como definitivamente falsa ou verdadeira, então um elemento pertence ou não
pertence a um determinado conjunto. Porém, a maioria dos conjuntos e proposições não
podem ser caracterizados de maneira tão exata. Um exemplo é o conjunto de pessoas
altas, um conjunto onde o limite exato não pode ser precisamente definido (JAFELICE;
BARROS; BASSANEZI, 2005; SIVANANDAM; SUMATHI; DEEPA, 2007; DUBOIS;
OSTASIEWICZ; PRADE, 2000; CHEN; PHAM, 2001; LEE, 2005; MCNEIL; THRO,
1994; JENSEN; SHEN, 2008; JANTZEN, 1998).
Segundo (BARROS; BASSANEZI, 2006), a caracterı́stica mais evidente da
Lógica Fuzzy é considerar que entre dois valores (zero e um) pode existir valores intermediários e estes valores são analisados de acordo com um grau de pertinência, que
indica o nı́vel que a informação pertence a um conjunto especı́fico em universo de contexto (domı́nio).
Definição 9. Função de Pertinência: A função de pertinência estabelece uma correspondência entre um elemento no domı́nio e um valor verdade que indica o grau de pertinência do elemento no conjunto, isto é, quanto é possı́vel para um elemento x de U
pertencer ao conjunto A.
22
µA :U→ {0, 1}.
Os valores µA (x) = 1 e µA (x) = 0 indicam, respectivamente, a pertinência plena e
a não pertinência do elemento x em A.
Do ponto de vista formal, a definição do subconjunto fuzzy foi obtida simplesmente ampliando-se o contra domı́nio da função caracterı́stica do conjunto crisp
(clássico), que é o conjunto {0, 1}, para o intervalo [0, 1]. A Exemplificação 1 apresenta
um caso tı́pico de subconjunto fuzzy.
Exemplificação 1. (JAFELICE; BARROS; BASSANEZI, 2005) Considere o subconjunto
fuzzy F dos números inteiros próximos de zero:
F = {n ∈ Z : n é próximo de zero}.
O número 0 (zero) pertence a esse conjunto? E o número 1000? Dentro do
espı́rito da lógica fuzzy, poderı́amos dizer que ambos pertencem a F porém com diferentes graus de pertinência, de acordo com a propriedade que caracteriza o conjunto. Ou
seja, a função de pertinência de F deve ser “construı́da” de forma coerente com o termo
“próximo de zero” que caracteriza seus elementos no conjunto universo dos números
inteiros. Uma possibilidade para a função de pertinência de F é
1
µF (n)= 2
n +1
Se esse for o caso, poderı́amos dizer que o número 0 pertence a F com grau
de pertinência µF (0) = 1, enquanto 1000 pertence a F com grau de pertinência
µF (1000) 10−6 , representados na Figura 3.1.
Observa-se que o atributo “próximo de zero” é subjetivo, no sentido que existe
uma infinidade de funções que poderiam modelar, matematicamente, o conceito de
número próximo de zero. É claro que, a escolha dessas funções deve estar relacionada
com o contexto da situação analisada.
3.3
Representações de um Conjunto Fuzzy
As representações das funções que definem os elementos de um conjunto fuzzy
compreendem a forma tabular (ou de lista), a forma gráfica ou a forma analı́tica (JAFELICE; BARROS; BASSANEZI, 2005).
Exemplificação 2. Forma tabular: Seja A o conjunto dos alunos “estudiosos” de uma
sala de aula de uma faculdade, e sejam os alunos desta sala: R, S , T e U. Este conjunto
A é um subconjunto do conjunto universo X, contendo todos os alunos da faculdade. Nem
todos os alunos do conjunto A estudam diligentemente, logo alguns tem um grau de mais
estudioso, outros de menos estudiosos, variando entre os valores 1 e 0. Para os alunos
citados, tem-se a representação na Tabela 3.1.
Alternativamente à Tabela 3.1, pode-se listar os pares consistindo de cada elemento com seu grau de estudo, da seguinte forma:
A= R + S + T + U
0,3
0,7
0,8
0,9
23
Figura 3.1: Conjunto fuzzy dos números inteiros próximos de zero.
Estudante Grau de estudo
R
0,3
S
0,7
T
0,8
U
0,9
Tabela 3.1: Alunos e correspondentes graus de estudo.
Observação: Aqui a apresentação em forma de frações serve apenas para associar
o elemento do conjunto universo X e seu grau de pertinência ao conjunto fuzzy A, bem
como o sinal de adição não significa soma, simplesmente conecta os elementos do grupo.
Exemplificação 3. Representação Gráfica: Essa representação é a mais usada na literatura fuzzy por ter uma interpretação mais intuitiva e basicamente apresenta três componentes, representados na Figura 3.2:
• um eixo horizontal, de valores crescentes monotonicamente, que constituem o conjunto que representa o domı́nio;
• um eixo vertical, com valores no intervalo [0,1], que indicam o grau de pertinência
ao conjunto;
• uma função, que estabelece a relação entre os dois eixos.
Exemplificação 4. Forma analı́tica: A expressão analı́tica da função de pertinência µ é
bastante utilizada em teoria de conjuntos fuzzy, permitindo análise de correspondentes
24
Figura 3.2: Conceito fuzzy de “Quente”.
propriedades analı́ticas, sendo de fundamental importância para as informações fornecidas pelo especialista da área do fenômeno estudado. A expressão 3.1 indica a forma
analı́tica para a função de pertinência referente ao conjunto fuzzy dos números reais em
torno de 6:


x − 5 se 5 ≤ x < 6;



7
− x se 6 ≤ x ≤ 7;
µA (x) = 


 0
caso contrário.
(3.1)
Na Figura 3.3, tem-se a representação analı́tica dos números reais em torno de 6.
3.4
Operações entre Conjuntos Fuzzy
Nesta seção são consideradas as definições das operações de união, interseção,
complemento (negação) e diferença entre conjuntos na Teoria dos Conjuntos, incluindo
as extensões para a Teoria dos Conjuntos Fuzzy (LEE, 2005).
Definição 10. Operações entre conjuntos: Sejam A e B subconjuntos clássicos do conjunto universo U. As operações de união (A ∪ B), intersecção (A ∩ B), complemento (A)
e diferença (A|B), são definidas pelas expressões:
A ∪ B = {x ∈ U; x ∈ A ou x ∈ B},
(3.2)
A ∩ B = {x ∈ U; x ∈ A e x ∈ B},
(3.3)
A = {x ∈ U; x < A}, e
(3.4)
25
Figura 3.3: Conjunto fuzzy dos números reais em torno de 6.
A|B = {x ∈ U; x ∈ A e x < B},
(3.5)
respectivamente.
Pensando em conjuntos fuzzy como sendo caracterizados pelas funções de pertinência que são extensões de funções caracterı́sticas, podemos definir união, intersecção,
complemento e diferença de conjunto fuzzy.
Definição 11. Operações entre conjuntos fuzzy definidos por função de pertinência: Sejam A e B conjuntos fuzzy, as funções de pertinência para a união, intersecção, complemento e diferença de conjuntos fuzzy são dadas por: (para todo x ∈ U)
µA∪B (x) = max{µA (x), µB (x)}
(3.6)
µA∩B (x) = min{µA (x), µB (x)}
(3.7)
µA (x) = 1 − µA (x)
(3.8)
µA|B (x) = µA∩B
(3.9)
Exemplificação 5. Para a interpretação gráfica de operações entre conjuntos fuzzy
utiliza-se de uma escala de 0 a E , o universo de discurso, no eixo horizontal, e uma
escala [0, 1] no eixo vertical, para os valores de pertinência. Na Figura 3.4, tem-se a
representação gráfica das operações união e intersecção entre os conjuntos fuzzy A e B.
26
Figura 3.4: Representação gráfica das operações união e intersecção entre conjuntos fuzzy
Definição 12. Nı́vel de um conjunto fuzzy: Seja A um conjunto fuzzy e α ∈ [0, 1] definimos
como α-nı́vel ou α-corte de A o conjunto
[A]α = {x ∈ U; µA (x) ≥ α}, 0 < α ≤ 1
(3.10)
Observação: Chama-se de Conjunto Fuzzy Normal aquele em que todos os
α-cortes são não vazios.
Definição 13. Suporte de um conjunto fuzzy: Sendo A um conjunto fuzzy de um universo
U definimos como suporte de A ao conjunto de todos os elementos de U que tem pertinência diferente de zero em A e denotamos por supp(A).
supp(A) = {x ∈ U; µA (x) > 0}
(3.11)
Definição 14. Core de um conjunto fuzzy: Seja A um conjunto fuzzy de um universo U
definimos como core de A ao conjunto de todos os elementos de U que tem pertinência
igual a um em A e denotamos por core(A).
core(A) = {x ∈ U; µA (x) = 1}
3.5
(3.12)
Números Fuzzy
Os números fuzzy são utilizados em problemas com informações imprecisas que
envolvem valores numéricos, como por exemplo, os números próximos de 0 (Figura 3.1)
e o conjunto dos números reais em torno de 6 (Figura 3.3).
Segundo (BUCKLEY; ESLAMI, 2002; MUSSI, 2009), os números fuzzy são de
grande importância em sistemas fuzzy. Existem casos especiais de números fuzzy, que
são os números reais e intervalos fechados.
Definição 15. Número Fuzzy: O número fuzzy é um subconjuntos muito especial dos
números reais. Pode-se definir um número fuzzy N dizendo que ele é um subconjunto
fuzzy de R que satisfaz as seguintes propriedades:
1. Os core de N são não vazio;
2. Os α-cortes de N são todos fechados, limitados e definidos por intervalos de
números reais;
27
3. O suporte de N é limitado.
Os números fuzzy mais utilizados em aplicações são os: triangulares (a), trapezoidais (b) ou gaussianos (c), representados graficamente na Figura 3.5.
Os números fuzzy, também podem ser representados da seguinte maneira:
(a) Triangulares: N = (a, b, c) ou N = (a | b | c)
(b) Trapezoidais: T = (a, b, c, d) ou T = (a | b | c | d)
(a)
(b)
(c)
Figura 3.5: Representação gráfica de números fuzzy
Exemplificação 6. (MUSSI, 2009)
(i)Um número fuzzy triangular N é definido por três números a < b < c, onde o vértice
equivale a “b” e a base é o intervalo [a; c].
(ii)Um número fuzzy trapezoidal T é definido por quatro números a < b < c < d, onde
T (x) = 1 em [b; c] e a base é o intervalo [a; d].
(iii)O suporte de N é o intervalo [a; c] e o suporte de T é o intervalo [a; d].
28
4 FUNÇÕES DE AGREGAÇÃO FUZZY E
COMPLEMENTO FUZZY
A teoria de conjuntos fuzzy generaliza a teoria de conjuntos clássicos. Isso significa que conjuntos fuzzy permitem operações de união, interseção e complemento. Este
capı́tulo resume as principais operações e conceitos relacionados (conjunção, disjunção
e complemento) para os conjuntos fuzzy. Uma vez que essas extensões são inicialmente
definidas pontualmente, revisamos os conceitos básicos sobre as operações no intervalo
unitário, tais como negações, t-normas e t-conormas.
4.1
Complemento Fuzzy
Apresentaremos o complemento fuzzy a partir das principais definições, propriedades, exemplos e conceitos relacionados apresentados em (BUSTINCE; BURILLO;
SORIA, 2003; KLEMENT; MESIAR; PAP, 2000).
4.1.1
Conceitos e exemplos
A função N : U → U é uma negação fuzzy se satisfaz as duas seguintes proprie-
dades:
N1 : N(0) = 1 e N(1) = 0;
N2 : Se x ≥ y então N(x) ≤ N(y), para todo x, y ∈ U.
As negações fuzzy que satisfazem a propriedade involutiva
N3 : N(N(x)) = x, para todo x ∈ U.
são chamadas de negação fuzzy forte.
Além disso, uma negação fuzzy contı́nua é estrita quando
N4 : Se x > y então N(x) < N(y), para todo x, y ∈ U.
Proposição 4. Seja N uma negação fuzzy forte. N é uma negação estrita.
Prova. Seja x > y. Se N(x) é forte, por N4, temos que N(N(x)) > N(N(y)),
por N2, tem-se que N(x) < N(y).
Portanto N é uma negação fuzzy forte estrita.
29
N5 : N(e) = e, quando um elemento e ∈ U é dito ser um ponto de equilı́brio de uma
negação fuzzy N.
Proposição 5. Se N é uma negação fuzzy estrita, então existe um único ponto de equilı́brio
eN ∈ U tal que N(x) ≥ eN , para todo x ≤ eN . Inversamente, temos que N(x) ≤ eN , para
todo x ≥ eN .
Exemplificação 7. Um exemplo tı́pico de uma negação fuzzy forte é o complemento da
negação, que é a função Nc (x) = N s = 1 − x, chamada de Negação Padrão ou Negação
Standart.
Exemplificação 8. Outros exemplos de negação fuzzy forte são:
(
1, se x = 0
Nl (x) =
0, caso contrário;
(
Nu (x) =
1,
0,
se x , 1
caso contrário
(4.1)
(4.2)
Neste caso, para qualquer que seja a negação fuzzy N : U → U, tem-se que
Nl ≤ N ≤ Nu .
Definição 16. (BAETS, 1997)[Definition 12] Seja N uma negação fuzzy forte em U e
f : U n → U uma função real. A função dual N de f é a função
fc (x1 , x2 , ..., xn ) = N −1 ( f (N(x1 ), N(x2 ), ..., N(xn ))).
(4.3)
Neste trabalho, tal como considerado em (KLEMENT; MESIAR; PAP, 2004; LI;
FANG, 2009; MAES; BAETS, 2009), quando N = N s a Eq. 4.3 é dada por:
fc (x1 , x2 , ..., xn ) = 1 − ( f (1 − x1 , 1 − x2 , ..., 1 − xn )).
(4.4)
Assim, f e fc são chamadas de mutuamente duais.
4.1.2
Complemento Fuzzy Intervalar
Existem diversas maneiras, referenciadas na literatura, para transformar o conceito
de negação fuzzy em negação fuzzy intervalar, veja por exemplo (GORZALCZANY,
1987; GEHRKE; WALKER; WALKER, 1996; NGUYEN; WALKER, 1999; BEDREGAL; TAKAHASHI, 2006b). Neste trabalho foi adotado a extensão proposta em (BEDREGAL; TAKAHASHI, 2006b) e (REISER et al., 2007).
Definição 17. Negação fuzzy intervalar: Uma função intervalar N : U → U é uma
negação fuzzy intervalar se, para qualquer X, Y ∈ U, as seguintes propriedades são
satisfeitas (REISER et al., 2007):
N1 : N([0, 0]) = [1, 1] e N([1, 1]) = [0, 0].
N2 : Se X ≥ Y então N(X) ≤ N(Y).
N3 : Se X ⊆ Y então N(X) ⊇ N(Y).
Se N também satisfaz a propriedade involutiva:
30
N4 : N(N(X)) = X, para todo X ∈ U.
então N é denominada de negação fuzzy intervalar forte (REISER et al., 2007).
b é dada por:
Se N : U → U é uma negação fuzzy. A caracterização de N
b
N(X)
= [N(X), N(X)].
(4.5)
b é uma negação fuzzy
Teorema 2. Se N : U → U é uma negação fuzzy (forte). Então N
intervalar (forte) (REISER et al., 2007).
N1: Trivialmente, N1 está satisfeita.
N2: Se X ≥ Y então Y ≤ Y ≤ X ≤ X e N(X) ≤ N(X) ≤ N(Y) ≤ N(Y). Portanto, por N2,
b
b
b
N(X)
= [N(X), N(X)] ≤ [N(Y), N(Y)] e N(X)
≤ N(Y).
b
N3: Se X ⊆ Y então X ≤ Y e Y ≤ X. Portanto, por N2, N(X)
= [N(X), N(X)] ⊆
b
b
[N(Y), N(Y)] e N(X) ⊆ N(Y).
b N(X))
b
b
b N(X))
b
N4: N(
= N([N(X),
N(X)]) quando N é uma negação forte. Portanto, N(
=
b N(X))
b
= X.
[N(N(X)), N(N(X))] e N(
Exemplificação 9. A representação canônica da negação forte NC , apresentada na ExemcC (X) = [1 − X, 1 − X].
plificação 7, é dada pela equação: N
4.2
Norma e Conorma Triangular
Funções que qualificam as intersecções fuzzy e uniões fuzzy são geralmente referidas na literatura como t-normas e t-conormas, respectivamente. Nesta seção será abordada
a representação fuzzy para a conjunção e a disjunção, bem como as suas correspondentes
extensões intervalares.
4.2.1
T-norma
Uma t-norma, ou norma triangular, é uma operação binária utilizada geralmente
para representar o operador lógico de conjunção ou a operação intersecção entre conjuntos.
Definição 18. Norma Triangular (cf. (LESKI, 2003a,b)): Uma norma triangular
(t-norma) é uma função T : U 2 → U, onde [0, 1] é o intervalo unitário, satisfazendo
as seguintes propriedades, para todo u, v, x, y, z ∈ U:
(T1) T (x, y) = T (y, x) (Comutatividade)
(T2) T (x, T (y, z)) = T (T (x, y), z) (Associatividade)
(T3) T (x, y) ≤ T (u, v), se x ≤ u, y ≤ v (Monotonicidade)
(T4) T (x, 1) = x (Elemento neutro)
Exemplificação 10. O operador min é uma t-norma (cf. pag.133 (DUBOIS; PRADE,
2000))
31
1. Intersecção Padrão:
T M (x, y) = min {x, y}
(4.6)
T P (x, y) = x.y
(4.7)
2. Produto Algébrico:
3. Intersecção Drástica:
(
T D (x, y) =
0,
min{x, y},
se x < 1 e y < 1
caso contrário;
(4.8)
4. Łukasiewicz:
T L (x, y) = max{x + y − 1, 0}
(4.9)
5. Nilpotente Mı́nimo:
(
T n M(x, y) =
0,
min{x, y},
se x + y ≤ 1
caso contrário.
(4.10)
Proposição 6. (cf. Def. 3 pag. 132 (DUBOIS; PRADE, 2000))
Se T é uma t-norma, então T (0, x) = 0
Prova. Pelas propriedades (T3) e (T4), tem-se que: T (0, x) ≤ T (0, 1) = 0.
Portanto, T (0, x) = 0
Proposição 7. (cf. Prop. 5.1.2 pag. 83 (NGUYEN; WALKER, 1999))
Para todo x, y ∈ [0, 1],T M (x, y) ≥ T (x, y) ≥ T D (x, y)
4.2.2
T-conorma
A noção de t-conorma na lógica fuzzy é consistente com a operação de união entre
conjuntos, ou ainda, com a operação de disjunção na lógica clássica.
Definição 19. Conorma Triangular (cf. (LESKI, 2003a,b))
Uma t-conorma triangular (s-norma) é uma função S : U 2 → U, satisfazendo as
seguintes propriedades, para todo u, v, x, y, z ∈ U:
(S1) S (x, y) = S (y, x) (Comutatividade)
(S2) S (x, S (y, z)) = S (S (x, y), z) (Associatividade)
(S3) S (x, y) ≤ S (u, v) se x ≤ u, y ≤ v (Monotonicidade)
(S4) S (x, 0) = x (Elemento neutro)
Exemplificação 11. Os principais exemplos de t-conormas são apresentados logo a seguir: (cf. pag.133 (DUBOIS; PRADE, 2000))
1. União Padrão:
S M (x, y) = max {x, y}
(4.11)
S P (x, y) = x + y − xy
(4.12)
2. Soma Probabilı́stica:
32
3. União Drástica:
(
S D (x, y) =
1,
max{x, y},
se 0 < x e 0 < y
caso contrário;
(4.13)
4. Łukasiewicz:
S L (x, y) = min{x + y, 1}
(4.14)
5. Nilpotente Máximo:
(
S n M(x, y) =
1,
max{x, y},
se x + y ≥ 1
caso contrário.
(4.15)
Proposição 8. (cf. Def. 3 pag. 132 (DUBOIS; PRADE, 2000))
Se S é uma t-conorma, então S (1, x) = 1
Prova. Pelas propriedades (S3) e (S4), tem-se que: S (1, x) ≤ S (1, 0) = 1.
Portanto, S (1, x) = 1
Proposição 9. (cf. Prop. 5.1.2 pag. 83 (NGUYEN; WALKER, 1999))
Para todo x, y ∈ [0, 1],S M (x, y) ≥ S (x, y) ≥ S D (x, y)
Definição 20. Seguem outras propriedades que podem ser incluı́das para t-normas
(t-conormas) de acordo com (KLEMENT; MESIAR; PAP, 2000; DUBOIS; PRADE,
2000)[Theorem 3]:
T5 (S5) contı́nua, se for contı́nua em ambos os argumentos;
T6 (S6) contı́nua à esquerda, se for contı́nua à esquerda em cada componente;
T7 (S7) contı́nua à direita, se for contı́nua à direita em cada componente;
T8 (S8) idempotente, se T (x, x) = x (S (x, x) = x, respectivamente) para todo x ∈ U;
Observação 1. T M e T P são t-normas positivas enquanto T L , T D e T nM não são. Similarmente, S M e S P são t-conormas positivas enquanto S L , S D e S nM não são.
A Tabela 4.1 lista as t-normas e as t-conormas básicas com as propriedades que
satisfazem (BACZYNSKI; JAYARAM, 2008).
T-norma
TM
TP
TD
TL
T nM
T-conorma
SM
SP
SD
SL
S nM
Propriedades
Contı́nua, Idempotente
Estrita
Arquimediana, Não-contı́nua
Nilpotente
Não-Arquimediana, Contı́nua à esquerda
Não-Arquimedian, Contı́nua à direita
Tabela 4.1: Exemplos de T-normas e T-conormas básicas e suas propriedades.
33
4.2.3
T-norma Intervalar
Considerando-se a generalização proposta em (BEDREGAL; TAKAHASHI,
2006a), uma norma triangular intervalar (t-norma intervalar) pode ser considerada uma
representação intervalar de uma t-norma. Esta generalização se enquadra com o princı́pio
fuzzy, significando que o grau de pertinência intervalar pode ser pensado como uma
aproximação do grau de pertinência exato.
Observe que uma t-norma é uma função T : U 2 → U que é comutativa, associativa, monotônica e tem o 1 como elemento neutro. Na próxima definição apresenta-se
a extensão intervalar para a função t-norma baseada na abordagem introduzida em (BEDREGAL; TAKAHASHI, 2006a).
Definição 21. T-norma intervalar: (BEDREGAL et al., 2007) A função T : U2 → U é
uma t-norma intervalar se é comutativa, associativa, monotônica com respeito à relação
de ordem e à relação de inclusão e [1, 1] é o elemento neutro.
Proposição 10. A função T : U2 → U é uma t-norma intervalar se existem t-normas T 1 ,
T 2 : U 2 → U tal que T 1 ≤ T 2
T(X, Y) = [T 1 (X, Y), T 2 (X, Y)]
(4.16)
Prova. Veja em (BEDREGAL; TAKAHASHI, 2006b).
b : U2 → U é uma t-norma intervalar.
Proposição 11. Se T é uma t-norma, então T
Prova. Veja em (BEDREGAL; TAKAHASHI, 2006b).
b : U2 → U é uma t-norma intervalar. A
Proposição 12. Seja T é uma t-norma e T
b pode ser expressa por:
caracterização da função intervalar T
b(X, Y) = [T (X, Y), T (X, Y)].
T
(4.17)
A Prova da Proposição 12 pode se verificada em (BEDREGAL; TAKAHASHI,
2006b).
b uma t-norma intervalar,
Sejam X, Y, Z, W ∈ U e T : U 2 → U uma t-norma e T
então as seguintes propriedades são satisfeitas (A. TAKAHASHI, 2006):
Prova. Comutativa :
b(X, Y) = [T (X, Y), T (X, Y)] Prop. (12)
T
= [T (Y, X), T (Y, X)] Propriedade T1 Def. (18)
b(Y, X) Prop. (12).
= T
Associativa :
b(X, T
b(Y, Z)) = T
b(X, [T (Y, Z), T (Y, Z)]) Prop. (12)
T
= [T (X, T (Y, Z)), T (X, T (Y, Z))] Prop. (12)
= [T (T (X, Y), Z), T (T (X, Y), Z)] Propriedade T2 Def. (18)
b([T (X, Y), T (X, Y)], Z) Prop. (12)
= T
b(T
b(X, Y), Z) Prop. (12).
= T
34
Monotônica com respeito à relação de ordem:
Se X ≤ Z e Y ≤ W, então X ≤ Z, X ≤ Z, Y ≤ W e Y ≤ W. Logo, T (X, Y) ≤
T (Z, W) e T (X, Y) ≤ T (Z, W). Assim, [T (X, Y), T (X, Y)] ≤ [T (Z, W), T (Z, W)] e portanto
b(X, Y) ≤ T
b(Z, W).
T
Monotônica com respeito à relação de inclusão:
Se X ⊆ Z e Y ⊆ W, então Z ≤ X ≤ X ≤ Z e W ≤ Y ≤ Y ≤ W. Por definição,
b(Z, W) = [T (Z, W), T (Z, W)]. Logo, por monotonicidade
b
T (X, Y) = [T (X, Y), T (X, Y)] e T
b(X, Y) ⊆ T
b(Z, W).
de T, T (Z, W) ≤ T (X, Y) ≤ T (X, Y) ≤ T (Z, W). Portanto T
Elemento Neutro :
b(X, [1, 1]) = [T (X, 1), T (X, 1)] Prop. (12)
T
= [X, X] Prop. T4 Def. (18)
= X Def. (1).
4.2.4
T-conorma Intervalar
Considera-se que uma conorma triangular intervalar (t-conorma intervalar) pode
ser considerada uma representação intervalar de uma t-conorma (A. TAKAHASHI, 2006).
Esta generalização se enquadra com o princı́pio fuzzy, significando que o grau de pertinência intervalar pode ser pensado como uma aproximação do grau de pertinência exato.
Uma t-conorma e uma função S : U 2 → U que e comutativa, associativa, monotônica e tem o 0 como elemento neutro. Na próxima definição apresenta-se a extensão intervalar para a função t-conorma baseada na abordagem introduzida em (A. TAKAHASHI, 2006) .
Definição 22. T-conorma Intervalar (A. TAKAHASHI, 2006): A função S : U2 → U
é uma t-conorma intervalar se é comutativa, associativa, monotônica com respeito à
relação de ordem e à relação de inclusão e [0, 0] é o elemento neutro.
Proposição 13. A função S : U2 → U é uma t-conorma intervalar se existem t-conorma
S 1 , S 2 : U2 → U tal que S 1 ≤ S 2
S(X, Y) = [S 1 (X, Y), S 2 (X, Y)]
(4.18)
Prova. Veja em (BEDREGAL; TAKAHASHI, 2006b).
Proposição 14. Se S é uma t-conorma, então b
S : U2 → U é uma t-conorma intervalar.
Prova. Veja em (BEDREGAL; TAKAHASHI, 2006b).
Proposição 15. Se S é uma t-conorma e b
S : U2 → U é uma t-conorma intervalar. A
caracterização de b
S pode ser expressa por:
b
S (X, Y) = [S (X, Y), S (X, Y)].
(4.19)
35
A Prova da Proposição 15 pode se verificada em (BEDREGAL; TAKAHASHI,
2006b).
Sejam X, Y, Z, W ∈ U e S : U 2 → U uma t-conorma e b
S uma t-conorma intervalar,
então as seguintes propriedades são satisfeitas (BEDREGAL; TAKAHASHI, 2006b):
Prova. Comutativa :
b
S (X, Y) = [S (X, Y), S (X, Y)] Prop. (13)
= [S (Y, X), S (Y, X)] Prop. S1 Def. (19)
= b
S (Y, X) Prop. (13).
Associativa :
b
S (X, b
S (Y, Z)) = b
S (X, [S (Y, Z), S (Y, Z)]) Prop. (13)
= [S (X, S (Y, Z)), S (X, S (Y, Z))] Prop. (13)
= [S (S (X, Y), Z), S (S (X, Y), Z)] Propriedade S2 Def. (19)
= b
S ([S (X, Y), S (X, Y)], Z) Prop. (13)
= b
S (b
S (X, Y), Z) Prop. (13).
Monotônica com respeito à relação de ordem:
Se X ≤ Z e Y ≤ W, então X ≤ Z, X ≤ Z, Y ≤ W e Y ≤ W. Logo, por monotonicidade de S, S (X, Y) ≤ S (Z, W) e S (X, Y) ≤ S (Z, W). Assim, [S (X, Y), S (X, Y)] ≤
[S (Z, W), S (Z, W)] e portanto b
S (X, Y) ≤ b
S (Z, W).
Monotônica com respeito à relação de inclusão:
Se X ⊆ Z e Y ⊆ W, então Z ≤ X ≤ X ≤ Z e W ≤ Y ≤ Y ≤ W. Por definição,
b
S (X, Y) = [S (X, Y), S (X, Y)] e b
S (Z, W) = [S (Z, W), S (Z, W)]. Logo, por monotonicidade
de S, S (Z, W) ≤ S (X, Y) ≤ S (X, Y) ≤ S (Z, W). Portanto b
S (X, Y) ⊆ b
S (Z, W).
Elemento Neutro :
b
S (X, [0, 0]) = [S (X, 0), S (X, 0)] Prop. (13)
= [X, X] Prop. S4 Def. (19)
= X Def. (1).
4.3
4.3.1
Relação de Dualidade entre T-norma e T-conorma
T-norma e T-conorma Duais
Proposição 16. Dualidade entre T-norma e T-conorma A função S (T ) : U 2 → U é uma
t-conorma (t-norma) se, e somente se, existe uma t-norma T (t-conorma S)tal que para
36
todo (x, y) ∈ U 2 , uma das seguintes equivalências são satisfeitas:
S T (x, y) = N(T (N(x), N(y))),
(4.20)
T S (x, y) = N(S (N(x), N(y))).
(4.21)
A t-conorma dada pela equação 4.20 é denominada de t-conorma derivada de T e,
analogamente a t-norma dada pela equação 4.21 é chamada de t-norma derivada de S, com
respeito ao complemento da negação (NC ). Obviamente, (T M , S M ), (T P , S P ) , (T D , S D ),
(T L , S L ) e (T n M, S n M) são pares de t-normas e t-conormas que são mutuamente duais
entre si em relação a NC .
Prova.
T M (x, y) =
=
=
=
=
=
min{x, y}
1 − min{1 − x, 1 − y}
max{1 − (1 − x); 1 − (1 − y)}
max{1 − 1 + x; 1 − 1 + y}
max{x; y}
S M (x, y).
Logo existe T M , S M , e pela prova anterior, (T M , S M ) consiste num par dual.
T P (x, y) =
=
=
=
=
=
x.y
1 − {(1 − x).(1 − y)}
1 − (1 − x − y + xy)
1 − 1 + x + y − xy
x + y − xy
S P (x, y).
Logo existe T P , S P , e pela prova anterior, (T P , S P ) consiste num par dual.
37
(i) T D (x, y) =
=
=
=
0, se (x, y) ∈ [0, 1[2
1−0
1
S D (x, y).
(ii) T D (x, y) =
=
=
=
=
=
min{x, y} , caso contrário.
1 − min{1 − x, 1 − y}
max{1 − (1 − x); 1 − (1 − y)}
max{1 − 1 + x; 1 − 1 + y}
max{x; y}
S D (x, y).
Logo existe T D , S D , e pela prova anterior, (T D , S D ) consiste num par dual.
T L (x, y) =
=
=
=
=
=
max{x + y − 1, 0}
1 − max{(1 − x) + (1 − y) − (1 − 1), (1 − 0)}
min{1 − (1 − x) + 1 − (1 − y) − 1 − (1 − 1); 1 − (1 − 0)}
min{1 − 1 + x + 1 − 1 + y − 1 − 1 + 1; 1 − 1 + 0}
min{x + y − 1; 0}
S L (x, y).
Logo existe T L , S L , e pela prova anterior, (T L , S L ) consiste num par dual.
(i) T n M(x, y) =
=
=
=
0, se x + y ≤ 1
1−0
1
S n M(x, y), se x + y ≥ 1.
(ii) T n M(x, y) =
=
=
=
=
=
min{x, y} , caso contrário.
1 − min{1 − x, 1 − y}
max{1 − (1 − x); 1 − (1 − y)}
max{1 − 1 + x; 1 − 1 + y}
max{x; y}
S n M(x, y).
Logo existe T n M, S n M, e pela prova anterior, (T n M, S n M) consiste num par dual.
38
4.3.2
Versão intervalar de T-norma e T-conorma Duais
b(b
Proposição 17. (cf. (A. TAKAHASHI, 2006)) Seja T
S ) uma t-norma (t-conorma) inter2
2
bS : U → U) definida por
valar. Então b
S T : U → U (T
b
S T (X, Y) = N(T (N(X), N(Y)))
(4.22)
bS (X, Y) = N(S (N(X), N(Y))).
T
(4.23)
é uma t-conorma (t-norma) intervalar, denominada de t-conorma (t-norma) intervalar
b(b
dual de T
S ).
A seguir será provado que b
S é uma t-conorma intervalar, ou seja, que satisfaz as
seguintes propriedades, para todo X, Y, Z, W ∈ I[0, 1]:
Prova. Comutativa :
b
b(N(X), N(Y)) Prop. (17)
S (X, Y) = [1, 1] − T
b(N(Y), N(X)) Prop. T1 Def. (18)
= [1, 1] − T
= b
S (Y, X) Prop. (17).
Associativa :
b
S (X, b
S (Y, Z)) =
=
=
=
=
=
=
b
b([1, 1] − Y, [1, 1] − Z)) Prop. (17)
S (X, [1, 1] − T
b([1, 1] − X, [1, 1] − ([1, 1] − T
b([1, 1] − Y, [1, 1] − Z))) Prop. (17)
[1, 1] − T
b([1, 1] − X, T
b([1, 1] − Y, [1, 1] − Z)))
[1, 1] − T
b(T
b([1, 1] − X, [1, 1] − Y), [1, 1] − Z)
[1, 1] − T
b([1, 1] − ([1, 1] − T
b([1, 1] − X, [1, 1] − Y)), [1, 1] − Z) Prop. (17)
[1, 1] − T
b
b([1, 1] − X, [1, 1] − Y), Z) Prop. (17)
S ([1, 1] − T
b
S (b
S (X, Y), Z). Prop. (17).
Monotônica com respeito à relação de ordem:
Se X ≤ Z e Y ≤ W, então [1, 1] − X ≤ [1, 1] − Z e [1, 1] − Y ≤ [1, 1] − W. Logo,
b, T
b([1, 1] − X, [1, 1] − Y) ≤ T
b([1, 1] − Z, [1, 1] − W). Portanto,
por monotonicidade de T
b
b
[1, 1]− T ([1, 1]− X, [1, 1]−Y) ≤ [1, 1]− T ([1, 1]−Z, [1, 1]−W). Assim, b
S (X, Y) ≤ b
S (Z, W)
Monotônica com respeito à relação de inclusão:
Se X ⊆ Z e Y ⊆ W, então [1, 1] − X ⊆ [1, 1] − Z e [1, 1] − Y ⊆ [1, 1] − W. Logo,
b, T
b([1, 1] − X, [1, 1] − Y) ⊆ T
b([1, 1] − Z, [1, 1] − W). Portanto,
por monotonicidade de T
b([1, 1]−X, [1, 1]−Y) ⊆ [1, 1]− T
b([1, 1]−Z, [1, 1]−W). Assim, b
[1, 1]− T
S (X, Y) ⊆ b
S (Z, W).
39
Elemento Neutro :
b
S (X, [0, 0]) =
=
=
=
b([1, 1] − X, [1, 1] − [0, 0]) Prop. (17)
[1, 1] − T
b([1, 1] − X, [1, 1]) Subtração intervalar
[1, 1] − T
[1, 1] − ([1, 1] − X) Prop. T4 - elemento neutro de T
X Prop. aritmética de intervalos.
Exemplificação 12. Com base nas considerações apresentadas nas Proposições 12 e 13,
algumas t-normas intervalares e t-conormas intervalares são agora consideradas:
1. T-norma do Mı́nimo e T-conorma do Máximo:
Tc
M (X, Y) = [min(X, Y), min(X, Y)] = inf{X, Y} = T M (X, Y); e
ScM (X, Y) = [max(X, Y), max(X, Y)] = sup{X, Y} = S M (X, Y).
2. T-norma Produto e Soma Probabilı́stica:
cP (X, Y) = [XY, XY] = TP (X, Y), e
T
ScP (X, Y) = [X + Y − XY, X + Y − XY] = SP (X, Y);
3. T-norma de Łukaziewski e T-conorma de Łukaziewski
TbL (X, Y)=[max(X+Y− 1, 0), max(X+Y− 1, 0)]=sup(X + Y −[1; 1], [0; 0])=TL (X, Y),
ScL (X, Y) = [min(X + Y, 1), min(X + Y, 1)] = sup(X + Y, [1; 1]) = SL (X, Y).
Deste modo,



[X + Y − 1, X + Y − 1], se X + Y ≥ 1,



b
T L (X, Y) = 
[0, 0],
se X + Y ≤ 1,



 [0, X + Y − 1],
caso contrário;


se X + Y ≤ 1,
[X + Y, X + Y],



c
S L (X, Y) = 
[1,
1]
se
, X + Y ≥ 1,


 T (X, Y) = [X + Y, 1], caso contrário.
L
40
5
IMPLICAÇÃO FUZZY INTERVALAR
Neste capı́tulo, primeiramente, faz-se um breve estudo de implicação fuzzy, analisando propriedades e algumas classes de implicações obtidas a partir da composição
de t-norma, t-conorma e negação, (S,N)-implicação, QL-implicação, D-implicação e Rimplicação.
Na continuidade, considera-se também objeto de estudo a noção de automorfismo bem como a análise da ação de automorfismos sobre as funções de agregação e
as implicações fuzzy.
Segue-se o estudo da versão intervalar de implicação fuzzy, baseadas na
representação canônica introduzida em (BEDREGAL; TAKAHASHI, 2007).
5.1
Implicação Fuzzy
Existem diversas maneiras de definir uma implicação fuzzy (ver, por exemplo, (BACZYNSKI, 2004; BACZYNSKI; JAYARAM, 2008; BACZYNSKI; JAYARAN,
2007; BALASUBRAMANIAM, 2007; BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003; FODOR;
ROUBENS, 1994; FODOR, 1995; MAS; MONSERRAT; TORRENS, 2007; MAS et al.,
2007; PEI, 2008; RUIZ-AGUILERA; TORRENS, 2009; RUAN; KERRE, 1993; SAINIO; TURUNEN; MESIAR, 2008; SHI; RUAN; KERRE, 2007; SHI et al., 2008; YAGER, 1983, 1999, 2004; LIN; XIA, 2006)). O único consenso em todas essas definições
é que “uma implicação fuzzy deverá apresentar o comportamento da implicação clássica
quando o caso crisp é considerado” (MAS et al., 2007).
Ou seja, uma implicação fuzzy estende uma implicação clássica, da Lógica Booleana, p ⇒ q significando que p é suficiente para deduzir q. Esta extensão refere-se
ao fato de que uma implicação fuzzy aplicada aos extremos do intervalo unitário sempre
coincide com a implicação clássica, mas considera todas as demais possibilidades deste
intervalo como argumentos, modelando a incerteza entre o totalmente verdadeiro (1) e o
totalmente falso(0).
Esta função é utilizado para modelar regras de inferência, em sistemas especialista,
do tipo se <premissa A> e <premissa B> então <conclusão>.
Definição 23. Uma função binária I : U 2 → U é uma implicação fuzzy desde que
satisfaça as seguintes condições de contorno:
I(1, 1) = I(0, 1) = I(0, 0) = 1 e I(1, 0) = 0.
(5.1)
Uma implicação fuzzy I : U 2 → U pode satisfazer diversas propriedades. As
41
propriedades consideradas neste trabalho estão listados abaixo, para todo x, y, z ∈ U:
I1 : Se x ≤ z então I(x, y) ≥ I(z, y) (primeiro argumento antimonotônico);
I2 : Se y ≤ z então I(x, y) ≤ I(x, z) (segundo argumento isotônico);
I3 : I(0, y) = 1 (dominância da falsidade);
I4 : I(x, 1) = 1 (dominância da verdade do conseqüente);
I5 : I(1, y) = y (princı́pio da neutralidade à esquerda);
I6 : I(x, I(y, z)) = I(y, I(x, z)) (princı́pio da troca);
I7 : x ≥ y se e somente se I(x, y) = 1;
I8 : N(x) = I(x, 0) é uma negação fuzzy forte;
I9 : I(x, y) ≥ y;
I10 : I(x, x) = 1 (princı́pio de identidade);
I11 : I(x, y) = I(N(y), N(x)), onde N é uma negação fuzzy forte (contra-positiva);
I12 : I é contı́nua em U 2 ;
I13 : Se x > 0, então I(x, 0) < 1; se y < 1, então I(1, y) < 1.
I14 : I(x, N(x)) = N(x), onde N é uma negação fuzzy forte,
Proposição 18. (BACZYNSKI; JAYARAN, 2007). Se I : U 2 → U é uma implicação fuzzy
satisfazendo a Propriedade I1, então a função NI : U → U definida por
NI (x) = I(x, 0)
(5.2)
é uma negação fuzzy.
Prova. Veja em (BACZYNSKI; JAYARAN, 2007).
Como exemplo apresentamos na Tabela 5.1 e 5.2 as expressões dos operadores de
implicação fuzzy de uso comum consideradas em (FEI; XIYANG; HONGXING, 2003;
FEI; YANBIN; HONGXING, 2004; LIN; XIA, 2006), bem como a sua classificação (YAGER, 2004; BACZYNSKI; JAYARAM, 2008; BACZYNSKI; JAYARAN, 2008).
5.1.1
(S,N)-implicação
Esta seção lida com uma classe de implicação fuzzy, que pode ser vista como uma
generalização da implicação clássica dada pela expressão:
p → q ≡ ¬p ∨ q.
(5.3)
Na próxima definição considera-se os resultados disponı́veis em (BACZYNSKI;
JAYARAM, 2008; BACZYNSKI; JAYARAN, 2007; BUSTINCE; BURILLO; SORIA,
2003; FODOR; ROUBENS, 1994; FODOR, 1995; MAS et al., 2007; RUIZ-AGUILERA;
TORRENS, 2009).
42
Nome
R0 :
Kleene-Dienes:
Reichenbach:
Łukasiewicz:
Goguen:
Gödel :
Dubois-Prade:
Zadeh:
Gaines-Rescher:
Yager:
Mandani:
P.C.:
B.C.:
E.C.:
P.D.:
B.D.:
E.D.:
Einstein C.:
Einstein D.:
Fodor:
Weber:
Maior S-implicação:
Operador(Fuzzy de Implicação
Classificação
I0 (x, y) =
-
1,
se x ≤ y;
(1 − x) ∨ y se x > y.
I1 (x, y) = max{1 − x, y}
I2 (x, y) = 1
( − x + xy
1,
se x ≤ y;
I3 (x, y) =
1
−
x
+
y
se x > y.
(
1,
se x = 0;
I4 (x, y) =
y
(
)
∧
1,
se
x > 0.
( x
1, se x ≤ y;
I5 (x, y) =
y, se x > y.


y,
se x = 1;



1 − x, se y = 0;
I6 (x, y) = 


 1,
se x < 1 e y > 0.
I7 (x, y) = (1
( − x) ∨ (x ∧ y)
1, se x ≤ y;
I8 (x, y) =
0, se x > y.
x
I9 (x, y) = y
I10 (x, y) = min{x, y}
I11 (x, y) = xy
I12 (x, y) = 0( ∨ (x + y − 1)
x ∧ y, se x ∨ y = 1;
I13 (x, y) =
0,
se x ∨ y < 1.
I14 (x, y) = x + y − xy
I15 (x, y) = 1( ∧ (x + y)
x ∨ y, se x ∧ y = 0;
I16 (x, y) =
1,
se x ∧ y > 0.
y
I17 (x, y) = 1+(1−x)(1−y)
x+y
I18 (x, y) = 1+xy
(
1,
se x ≤ y;
I19 (x, y) =
max{1
−
x,
y},
caso contrário;
(
1, se x = 0;
I20 (x, y) =
( y, x < 1 e x > 0
1, se x < 1;
I21 (x, y) =
y, x = 1
(S,N)
(S,N)
(S,N), QL, D, R
R
R
(S,N)
(S,N)
(S,N)
Tabela 5.1: Exemplos de Operadores de Implicação Fuzzy Nominados
Notação: P = Probabilidade, B = Borda (limite), E = Extremo, D = Disjunção e C = Conjunção
Definição 24. (cf. (BACZYNSKI; JAYARAN, 2007)[Definition 1.4]). Uma implicação
fuzzy I : U 2 → U é uma S,N-implicação se existe a t-conorma S e a negação fuzzy N
tal que
IS ,N (x, y) = S (N(x), y).
(5.4)
Pode-se verificar que uma (S,N)-implicação é uma fuzzy implicação, pois satisfaz
as condições da Eq. (5.1).
Se N é uma negação forte, então tem-se uma (S,N)-implicação forte. Definições
análogas podem ser introduzidas para (S,N)-implicação contı́nua e para (S,N)-implicação
43
Nome
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Operador (Fuzzy de Implicação
1, se x < 1;
y, se x = 1.
2
I23 (x, y) = (1
( − x + 2xy − x y) ∧ 1
1, se x < 1 ou y = 1;
I24 (x, y) =
0, caso contrário.
I25 (x, y) = x ∨ y
(
1,
se x ≤ y;
I26 (x, y) = 1−x
,
se x > y.
( 1−y
1, se x = 0;
I27 (x, y) =
 y, se x > 0.

1,
se x ≤ y;



 log x
,
se
x > y > 0;
I28 (x, y) = 

log y


 0,
se x > y = 0.
p
I29 (x, y) = (1 − x + y p ) ∧ 1
I30 (x, y) = xy + 1−x
2
I31 (x, y) = (x+y
2
1,
se x ≤ y;
I32 (x, y) =
1 − x + xy, se x > y.


1,
se x ≤ y;



1
(1
−
x)
∨
y
∨
,
se
0 < y < x < 1;
I33 (x, y) = 


 (1 − x) ∨ y, 2
caso contrário.
(
1,
se x ≤ y;
I34 (x, y) =
1 − x, se x > y.
I22 (x, y) =
Tabela 5.2: Exemplos de Operadores de Implicação Fuzzy
estrita.
De acordo com Alsina e Trillas (TRILLAS et al., 2005), se uma (S,N)-implicação
é gerada a partir de T-conorma e Negação, então, denota-se por IS ,N . Salienta-se que, o
nome S-implicação foi introduzido por Trillas e Valverde (ver (TRILLAS; VALVERDE,
1985, Definition 3.2),) com hipóteses restritivas (S é um t-conorma contı́nua e N é uma
negação forte). Segundo (BACZYNSKI; JAYARAN, 2007), alguns autores usam o nome
de S-implicação, mesmo que a negação N não seja forte (veja (KLEMENT; MESIAR;
PAP, 2000, Definition 11.5)). Também é importante observar que várias hipóteses sobre
a Negação N ainda são considerados em trabalhos recentes (cf. (KLEMENT; MESIAR;
PAP, 2000, Definition 11.5), (GOTTWALD, 2001, Definition 5.4.1), (BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003)).
Neste trabalho, a exemplo de outros textos (BUSTINCE; BURILLO; SORIA,
2003; FODOR; ROUBENS, 1994; FODOR, 1995), a definição de uma (S,N)-implicação
requer a negação fuzzy forte.
Trillas e Valverde em (TRILLAS; VALVERDE, 1985, Theorem 3.2) (veja
também (FODOR; ROUBENS, 1994, Theorem 1.13) e (BACZYNSKI; JAYARAN, 2007,
Theorem 1.6)) apresentam as seguintes caracterı́sticas de (S,N)-implicação forte em termos de algumas propriedades listadas acima:
Proposição 19. (cf. (BACZYNSKI; JAYARAN, 2007)[Theorem 1.6]) A função I : U 2 → U
é uma (S,N)-implicação forte se, e somente se, são satisfeitas as propriedades I1, I2, I5,
44
I6 e I11.
Prova. I1: Sejam x, y, z ∈ [0, 1] tais que x ≤ y , então:
IS ,N (x, z) = S (N(x), z) Eq. (5.4)
≥ S (N(y), z) Prop. N2
= IS ,N (y, z) Eq. (5.4)
I2: Sejam x, y, z ∈ [0, 1] tais que y ≤ z , logo:
IS ,N (x, y) = S (N(x), y) Eq. (5.4)
≤ S (N(x), z)
≤ IS ,N (x, z) Eq. (5.4)
I5: Seja x ∈ [0, 1], então:
IS ,N (1, x) = S (N(1), x) Eq. (5.4)
= S (0, x) Prop. 4.11
= x
I6: Sejam x, y, z ∈ [0, 1] e N é uma negação forte, portanto:
IS ,N (x, IS ,N (y, z)) =
=
=
=
=
=
=
IS ,N (x, S (N(y), z)) Eq. (5.4)
S (N(x), S (N(y), z)) Eq. (5.4)
S (S (N(x), N(y), z)) Prop. Comutativa
S (S (N(y), N(x)), z) Prop. Associativa
S (N(y), S (N(x), z)) Prop. Comutativa
S (N(y), IS ,N S (x, z)) Eq. (5.4)
IS ,N (y, IS ,N (x, z)) Eq. (5.4)
I11: Sejam x, y ∈ [0, 1] e N é uma negação forte, então:
IS ,N (N(y), N(x))) =
=
=
=
S (N(N(y)), N(x)) Eq. (5.4)
S (y, N(x)) Prop. N3
S (N(x), y) Prop. Comutativa
IS ,N (x, y) Eq. (5.4)
45
Suponha que I1, I2, I5, I6 e I11 são satisfeitas, então temos que:
S (N(x), y) ≤ S (N(x), 1) = N(x) = I(1, N(x)) = I(x, 0) < I(x, y). Ou ainda
S (N(x), y) ≥ S (N(x), 1) = 1 ≥ I(x, y). Portanto S (N(x), y) = I(x, y)
Baczynsky e Jayaram (BACZYNSKI; JAYARAN, 2007, Theorem 2.6) introduziram uma nova caracterização para S-implicação forte:
Proposição 20. A função I : U 2 → U é uma (S,N)-implicação forte se, e somente se, são
satisfeitas as propriedades I1, I6 e I8.
Prova. A demonstração das Propriedades I1 e I6 já foram realizadas na Prova 5.1.1.
I8: Seja x ∈ [0, 1] e N é uma negação forte, logo:
IS ,N (IS ,N (x, 0), 0)) =
=
=
=
=
=
IS ,N (S (N(x), 0), 0) Eq. (5.4)
S (N(S (N(x), 0), 0)) Eq. (5.4)
S (S (N(N(x), 0), 0)) Prop. Comutativa
S (S (x, 0), 0) Prop. N3
S (x, 0) Prop. S4
x
Proposição 21. A (S,N)-implicação forte satisfaz as propriedades I3, I4, I5, I9 e I11 e a
propriedade extra, indicada logo a seguir:
I15 : I(x, y) ≥ NI (x);
Prova. A demonstração da Propriedade I11 já foi realizada na Prova 5.1.1.
I3: Sejam x, y ∈ [0, 1] e N é uma negação forte, portanto:
IS ,N (0, x) = S (N(0), x) Eq. (5.4)
= 1 Prop. N1
I4: Sejam x, y, z ∈ [0, 1] e N é uma negação forte, logo:
IS ,N (x, 1) = S (N(x), 1) Eq. (5.4)
= 1
46
I5: Sejam x = 1 e y = 0 e N é uma negação forte, logo:
IS ,N (x, y) =
=
=
=
IS ,N (1, 0)
S (N(1), 0) Eq. (5.4)
S (0, 0) Prop. N1
0 Prop. S4
I9: Sejam x, y ∈ [0, 1] e N é uma negação forte, então:
IS ,N (x, y) =
≥
≥
≥
S (N(x), y) Eq. (5.4)
S (N(1), y)
S (0, y) Prop. N1
y Prop. 4.11
I15: Sejam x, y ∈ [0, 1] e N é uma negação forte, então:
IS ,N (x, y) ≥ S (N(x), 0) Eq. (5.4)
≥ IS ,N (x, 0)
= NI (x)
Proposição 22. A (S,N)-implicação IS ,N satisfaz as propriedades I1–I4, I5 e I9.
Prova. A demonstração das propriedades I1, I2 e I5 já foram realizadas na Prova 5.1.1
e I3, I4 e I9 na Prova 5.1.1.
Definição 25. Se uma implicação fuzzy I é uma (S,N)-implicação então NI , como dado
na Eq. (5.2), é a negação induzida por I:
NIS ,N (x) = IS ,N (x, 0) = S (N(x), 0) = N(x).
(5.5)
Proposição 23. NI é uma negação fuzzy estrita se, e somente se, I é uma (S,N)-implicação
estrita.
Prova. Veja em (BACZYNSKI; JAYARAN, 2007).
Baczynsky e Jayaram também introduziram uma caracterização para uma (S,N)implicação estrita que se considera na proposição seguinte.
Proposição 24. (BACZYNSKI; JAYARAN, 2007, Theorem 5.2) Uma (S,N)-implicação
IS ,N é estrita se, e somente se, NIS ,N é estrita e as propriedades I1 e I11 também forem
satisfeitas.
Prova. Todas as negações fortes são estritas, portanto veja a demonstração na
Prova 5.1.1.
47
Proposição 25. (BACZYNSKI; JAYARAN, 2007, Theorem 5.2) Se uma implicação fuzzy
I : U 2 → U é uma (S,N)-implicação forte, então I satisfaz I14 se, e somente se, a tconorma subjacente de I e a t-conorma do máximo S M , dada em Eq. (4.11), e, deste
modo, um tem que I = IS M ,N , onde N é uma negação fuzzy forte.
Prova. Veja em (BACZYNSKI; JAYARAN, 2007).
Proposição 26. A (S,N)-implicação forte IS M ,N satisfaz as propriedades I1–I4, I5, I8, I9
e I14.
Prova. A demonstração das propriedades I1, I2 e I5 já foram realizadas na Prova 5.1.1,
I8 na Prova 5.1.1 e I3, I4 e I9 na Prova 5.1.1.
Proposição 27. A (S,N)-implicação forte IS M ,N é a única S-implicação que satisfaz I14.
Proposição 28. Seja eN um ponto de equilı́brio. Se x ∈ U e x ≥ eN então tem que
IS M ,N (x, x) = x.
As proposições seguintes são relacionadas com as seguintes propriedades:
I16 : S (x, N(x)) = 1, lei do meio excluı́do;
I17 : I(x, y) = 0 se x ≤ y, propriedade da ordenação.
Observe que nem toda (S,N)-implicação satisfaz o princı́pio da identidade, por
exemplo IRC (x, y) = 1 − x + xy (Implicação de Reichenbach) e IKD (x, y) = max(1 −
x, y) (Implicação de Kleene-Dienes). No entanto, essas implicações satisfazem tanto o
princı́pio da neutralidade como o princı́pio da troca.
Proposição 29. (BACZYNSKI; JAYARAM, 2008, Lemma 4.5) Seja S uma t-conorma e
N uma negação fuzzy. A (S,N)-implicação IS ,N satisfaz I10 se, e somente se, IS ,N satisfaz
I16.
Prova. Veja em (BACZYNSKI; JAYARAM, 2008).
Proposição 30. (BACZYNSKI; JAYARAM, 2008, Theorem 4.7) Seja S uma t-conorma e
N uma negação fuzzy. A (S,N)-implicação IS ,N satisfaz I17 se, e somente se, N = NS é
uma negação forte e o par (S , NS ) satisfaz I16.
Prova. Veja em (BACZYNSKI; JAYARAM, 2008).
A Tabela 5.3 mostra alguns exemplos de (S,N)-implicação básicas e suas propriedades:
5.1.2
QL-implicação
Definição 26. Se S é uma t-conorma, N é uma negação fuzzy forte e T uma t-norma. A
implicação fuzzy, chamada de QL-implicação, é definida por
IS ,N,T (x, y) = S (N(x), T (x, y)), ∀(x, y) ∈ [0, 1].
(5.6)
Exemplificação 13. As QL-implicações definidas a partir de t-normas e de t-conormas
dadas nas Exemplificações 10 e 11 e a negação forte dada na Exemplificação 7 são as
seguintes:
48
S
SL
SL
SL
N
NC
NC
NC
S nM
NC
SD
NC
SM
NK
S
ND1
S
ND2
IS ,N
IK,D (x, y) = max(1 − x, y)
IR,C (x, y) = 1 − x + xy
IL (x, y) = min(1
− x + y, 1)
(
1,
se x ≤ y;
IF (x, y) =
max{1 − x, y}, caso contrário;


y,
se x = 1;



1
−
x,
se y = 0;
IDP (x, y) = 


 1,
x<1ey>0
I M,K (x, y) =(max(1 − x2 , y)
1, se x = 0;
ID1 (x, y) =
( y, x < 1 e x > 0
1, se x < 1;
ID2 (x, y) =
y, x = 1
Propriedades
I5, I6
I5, I6
I5, I6, I10, I17.
I5, I6, I10, I17.
I5, I6, I17.
I5, I6
I5, I6.
I5, I6, I10.
Tabela 5.3: Exemplos de (S,N)-implicações básicas e suas propriedades
1. IS M ,NC ,T M : U 2 → U, IS M ,NC ,T M (x, y) dada pela expressão:


1 − x,



min{x, y},
IS M ,NC ,T M (x, y)=max{1 − x, min{x, y}}= 


 max{1 − x, y},
se x ≤ 0.5
se min{x, y} ≥ 0.5
caso contrário.
2. IS P ,NC ,T P : U 2 → U, dada pela expressão IS P ,NC ,T P (x, y) = 1 + x2 y − x
IS P ,NC ,T P (x, y) =
=
=
=
=
=
S P (NC (x), T P (x, y)) Eq. (5.6)
S P (1 − x, T P (x, y)) Exemp. (7)
S P (1 − x, xy) Exemp. (4.7)
1 − x + xy − (1 − x)(xy) Exemp. (4.12)
1 − x + xy − xy + x2 y Desenvolvendo algebricamente
1 + x2 y − x
3. IS D ,NC ,T D : U 2 → U, IS D ,NC ,T D (x, y) dada pela expressão:


1,



y,
IS D ,NC ,T D (x, y) = 


 1 − x,
se y = 1;
se x = 1 e y < 1;
caso contrário.
4. IS L ,NC ,T L : U 2 → U, IS L ,NC ,T L (x, y) dada pela expressão:
(
1 − x, se x + y ≤ 1;
IS L ,NC ,T L (x, y) =
y,
caso contrário.
49
Proposição 31. I : U 2 → U é uma implicação fuzzy. I é uma QL-implicação então as
propriedades I2, I3 e I5 são satisfeitas.
Prova. I2: Sejam x, y, z ∈ [0, 1] tais que y ≤ z , logo:
IS ,N,T (x, y) = S (N(x), T (x, y)) Eq. (5.6)
≤ S (N(x), T (x, z)) Prop. T3
I3: Seja x ∈ [0, 1], então:
IS ,N,T (0, x) =
=
=
=
S (N(0), T (0, x)) Eq. (5.6)
S (1, T (1, x)) Prop. N1
S (1, x) Prop. T4
1 Def. (8) (vii)
I5: Seja x ∈ [0, 1], então:
IS ,N,T (1, y) =
=
=
=
S (N(1), T (1, y)) Eq. (5.6)
S (0, T (1, y)) Prop. N1
S (0, y) Prop. T4
y Prop. S4
As próximas três proposições proporcionam condições suficientes para que a lei do
terceiro excluı́do seja satisfeita por t-conorma subjacente e negações fuzzy relacionados
a QL-implicação.
Proposição 32. Se a QL-implicação IS ,N,T satisfaz a simetria contra-positiva em relação
a N (I11) então
S (x, N(x)) = 1, ∀x ∈ U.
Prova. I11: Seja N uma negação fuzzy forte contra − positiva, então:
S (x, N(x)) =
=
=
=
=
=
=
S (N(x), x) Prop. S1
S (N(x), T (x, 1)) Prop. T4
IS ,N,T (x, 1) Eq. (5.6)
IS ,N,T (0, N(x)) QL é contra-positiva
S (1, T (0, N(x))) Eq. (5.6)
S (1, 0) Def. (8) (vii)
1 Def. (8) (vii)
Proposição 33. Se uma implicação fuzzy I : U 2 → U é uma S-implicação forte, então I
satisfaz I14 se, e somente se, a t-conorma subjacente de I e a t-conorma do máximo S M ,
dada em Eq. (4.11), e, deste modo, um tem que I = IS M ,N , onde N é uma negação fuzzy
forte.
50
Prova. Veja demonstração em (FODOR, 1995).
Esta proposição foi expandida em (E. TRILLAS C. DEL CAMPO, 2000; E. TRILLAS C. ALSINA, 2005) substituindo a propriedade I6 pela propriedade I14. De I1 e I6,
é possı́vel obter I14 (BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003).
Proposição 34. Se a QL-implicação IS ,N,T satisfaz a propriedade do primeiro argumento
antimonotônico (I1) então
S (x, N(x)) = 1, paratodox ∈ U.
Prova. Ver em (E. TRILLAS C. DEL CAMPO, 2000; E. TRILLAS C. ALSINA, 2005).
Esta proposição foi novamente ampliada em (SHI et al., 2008) substituindo a
propriedade I14 pela propriedade I9. De I14 e condição de contorno, é possı́vel obter I9.
Proposição 35. Se a QL-implicação IS ,N,T satisfaz a propriedade da dominância da verdade do consequente (I4) então
S (x, N(x)) = 1, paratodox ∈ U.
Prova. Ver em (SHI et al., 2008, Prop. 3.2).
Proposição 36. Se a QL-implicação IS ,N,T satisfaz a propriedade do primeiro argumento
antimonotônico (I1) então IS ,N,T satisfaz I8 se, e somente se, existe uma t-conorma S 0 tal
que
IS ,N,T (x, y) = S 0 (N(x), y).
Prova. Ver em (MAS; MONSERRAT; TORRENS, 2006, Prop. 8).
Proposição 37. Se IS M ,N,T é uma QL-implicação então
(i)
(ii)
IS M ,N,T (x, N(x)) = N(x); e
IS M ,N,T (x, y) = 1 se, e somente se, x = 0 e y = 1 ou x = y = 1;
Prova.
(i) IS M ,N,T (x, N(x)) = S (N(x), N(x)) Eq. (5.4)
= N(x) Prop. (4.11)
(ii) IS M ,N,T (x, y) =
=
=
=
IS M ,N,T (0, 1) Prop. (5.7)
S (N(0), 1) Eq. (5.4)
S (1, 1)
1 Prop. (4.11)
(ii) IS M ,N,T (x, y) =
=
=
=
IS M ,N,T (1, 1) Prop. (5.7)
S (N(1), 1) Eq. (5.4)
S (0, 1)
1 Prop. (4.11)
(5.7)
(5.8)
51
5.1.3
D-implicação
Definição 27. Seja S uma t-conorma, T uma t-norma e N é uma negação fuzzy forte. A
implicação fuzzy, chamada de D-implicação, é definida pela expressão
IS ,T,N (x, y) = S (T (N(x), N(y)), y), para todo (x, y) ∈ [0, 1]
(5.9)
Proposição 38. Uma D-implicação corresponde a contraposição com respeito a Negação
de uma QL-implicação
IS ,T,N (x, y) = IS ,N,T (N(y), N(x)).
Seja N = NC → N(x) = 1 − x, então
IS ,T,N (x, y) = 1 − IS ,N,T (1 − y, 1 − x).
Sendo IS ,T,N (x, y) = S (T (N(x), N(y)), y) Eq. (5.9), então temos que:
Prova.
IS ,T,N (N(y), N(x)) =
=
=
=
S (T (N(N(y)), N(N(x))), N(x)) Eq. (5.9)
S (T (y, x), N(x)) Prop. N3
S (N(x), T (x, y)) Prop. Comutativa de S e T
IS ,N,T (x, y)
Sendo IS ,N,T (x, y) = S (N(x), T (x, y)), Eq. (5.6), então temos que:
N(IS ,N,T (N(y), N(x))) =
=
=
=
S (N(N(y), T (N(y), N(x)) Eq. (5.6)
S (y, T (N(y), N(x)) Prop. N3
S (T (N(x), N(y)), y) Prop. Comutativa de S e T
IS ,T,N (x, y)
Proposição 39. Seja S uma t-conorma, T uma t-norma e N é uma negação fuzzy forte,
se uma D-implicação satisfaz a equação
y ≤ z → I(x, y) ≤ I(x, z) Prop. I2.
Então, tem-se:
S (x, N(x)) = 1, ∀x ∈ [0, 1] (Prop. I17).
Prova.
S (x, N(x)) =
=
=
=
≥
=
S (x, T (N(x), 1)) Eq. (5.6)
S (x, T (N(x), N(0))) Prop. N3
S (T (N(0), N(x)), x) Prop. Comutativa de S e T
IS ,T,N (0, x)
IS ,T,N (0, 0)
1
52
Proposição 40. Seja S uma t-conorma, T uma t-norma e N é uma negação fuzzy forte,
se IS ,T,N é uma D-implicação, então:
IS ,T,N (x, 0) = N(x).
Pode-se escrever que:
Prova.
IS ,T,N (x, 0) =
=
=
=
S (T (N(x), N(0)), 0) Def. (27)
S (T (N(x), 1), 0) Prop. N1
T (N(x), 1) Prop. S4
N(x) Prop. T4
Proposição 41. Seja S uma t-conorma, T uma t-norma e N é uma negação fuzzy forte,
tal que uma D-implicação IS ,T,N satisfaz a Prop. (I11):
IS ,T,N (x, y) = IS ,T,N (N(y), N(x)).
Pode-se escrever que:
Prova.
IS ,T,N (N(y), N(x)) = IS ,T,N (N(y), I(x, 0)) Prop. (40)
= IS ,T,N (x, I(N(y), 0)) Prop. Comutativa
= I(x, y) Propos. (40)
5.1.4
R-implicação
Definição 28. Seja T uma t-norma. A função IT : U 2 → U, definida pela expressão:
IT (x, y) = sup{x0 ∈ [0, 1] | T (x, x0 ) ≤ y}
(5.10)
é uma R-implicação.
Exemplificação 14. Considerando a T-norma do mı́nimo (T M (x, y) = min{x, y}), temos
que:
(i) IT M (0, y) = 1
(ii) IT M (1, y) = y
Observação 2. Essa famı́lia de implicações está fortemente relacionada ao conceito
(resı́duo) da lógica intuicionista, nesse caso a definição de uma R-implicação só é
razoável se considerarmos t-normas contı́nuas à esquerda. Assim a Definição 28 pode
ser dada pela igualdade:
IT (x, y) = max{x0 ∈ [0, 1] | T (x, x0 ) ≤ y}
(5.11)
Exemplificação 15. (i) Sendo T L (x, y) = max{x + y − 1, 0} e IL = min{1 − x + y, 1},
temos que:
IT L = max{x0 ∈ [0, 1] | T L (x, y) ≤ y}
IT L = max{x0 ∈ [0, 1] | max{x + x0 − 1, 0} ≤ y}
53
(ii) T P (x, y) = xy (
1,
IGoguen (x, y) = y
,
x
se x ≤ y;
se x > y.
Numa abordagem dual é possı́vel definir uma t-norma a partir de uma Rimplicação.
Definição 29. Seja I uma R-implicação. A função T I : U 2 → U, definida por:
T I (x, y) = in f {x0 ∈ [0, 1] | I(x, x0 ) ≤ y}
(5.12)
é uma T-norma.
Proposição 42. Uma função I : U 2 → U é uma R-implicação induzida por uma tnorma contı́nua à esquerda se, e somente se, satisfaz as seguintes propriedades para todo
x, y, z ∈ U:
I2 : Se y ≤ z então IT (x, y) ≤ IT (x, z) (segundo argumento isotônico);
I6 : IT (x, IT (y, z)) = IT (y, IT (x, z)) (princı́pio da troca);
I18 : IT (x, y) = 1 se x ≤ y, propriedade da ordenação;
I19 : lim x→∞ IT (x, yn ) = IT (y, lim x→∞ yn ), contı́nua à direita.
Prova. Seja I uma R-implicação:
I2: Sejam x, y, z ∈ [0, 1] tais que y ≤ z , logo:
IT (x, y) =
≤
=
≤
sup{x0 ∈ [0, 1] | T (x, x0 ) ≤ y} Def. (28)
sup{x0 ∈ [0, 1] | T (x, x0 ) ≤ z} (Hipótese)
IT (x, z) Def. (28)
IT (x, z)
I6: Sejam x, y, z ∈ U e N é uma negação forte, portanto:
IT (x, IR (y, z)) =
=
=
=
sup{x0 ∈ [0, 1] | T (x, x0 ) ≤ IR (y, z)} Def. (28)
sup{x0 ∈ [0, 1] | T (x, x0 ) ≤ sup{y0 ∈ [0, 1] | T (y, y0 ) ≤ z}} Def. (28)
sup{x0 ∈ [0, 1] | T (y, y0 ) ≤ sup{x0 ∈ [0, 1] | T (x, x0 ) ≤ z}} Prop. Comutativa
IT (y, IR (x, z))) Def. (28)
I18: Seja x, y ∈ U, então:
IT (x, y)
=
sup{x0 ∈ [0, 1] | T (x, x0 ) ≤ y} = 1 Def. (28)
=
T (x, 1) ≤ y
logo, x ≤ y
54
I19: Sejam x, y ∈ U, logo:
lim IT (x, yn ) = lim sup{x0 ∈ [0, 1] | T (x, x0 ) ≤ y} Def. (28)
x→∞
x→∞
= sup{x0 ∈ [0, 1] | T (x, x0 ) ≤ lim yn } Def. (28)
x→∞
= IT (x, lim yn ) Def. (28)
x→∞
A prova de volta pode ser construı́da de forma análoga.
5.2
Automorfismos
Na lógica fuzzy, uma forma tı́pica de gerar novas implicações fuzzy a partir de
uma dada implicação fuzzy é obter através da ação de automorfismos definidos sobre o
intervalo real unitário U. Automorfismos são funções bijetoras em U que preservam a
ordenação natural. Encontrar conectivos fuzzy (t-normas e t-conorms e implicações) que
satisfaçam as propriedades realistas, como a lei iterativa boleana e a lei da contradição,
consiste em problema, cuja solução pode ser obtida pelo uso de automorfismos (BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003; KLEMENT; NAVARA, 1999; NAVARA, 1999). O
conjunto de todos os automorfismos é um grupo sob a composição de mapeamento e uma
estrutura fundamental para a representação dos teoremas relacionadas com os conectivos
fuzzy (t-normas, t-conorms, negações e implicações).
Em primeiro lugar, algumas proposições e teoremas propostos em (KLEMENT;
NAVARA, 1999; NAVARA, 1999; BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003; MAS; MONSERRAT; TORRENS, 2006, 2007; SHI; RUAN; KERRE, 2007; GEHRKE; WALKER; WALKER, 1996) descrevendo automorfismos agindo em S-implicações e QLimplicações são consideradas.
Definição 30. (KLEMENT; NAVARA, 1999; NAVARA, 1999) Um mapeamento ρ : U → U
é dito ser um automorfismo se é bijetor e monotonico (se, x ≤ y implica que ρ(x) ≤ ρ(y)).
Aut(U) denota o conjunto de todos os automorfismos.
Definição 31. Uma definição equivalente é dada em (BUSTINCE; BURILLO; SORIA,
2003), onde ρ : U → U é dito ser um automorfismo se é contı́nua e estritamente crescente
a função tal que ρ(0) = 0 e ρ(1) = 1.
Observe que o inverso de um automorfismo é também um automorfismo e automorfismos são fechadas sob a composição, isto é, se ρ e ρ0 são automorfismos então
ρ ◦ ρ0 (x) = ρ(ρ0 (x)) também é um automorfismo.
A ação de ρ em uma função f : U → U, denotada por f ρ , é definida como
f ρ (x1 , . . . , xn ) = ρ−1 ( f (ρ(x1 ), . . . , ρ(xn ))).
(5.13)
Em especial, quando f é uma t-norma, t-conorma ou uma negação fuzzy (forte)
então f ρ é também uma t-norma, t-conorma ou uma negação fuzzy (forte), respectivamente. Além disso, se I é uma S-implicação, então I ρ é também uma S-implicação.
Proposição 43. (BACZYNSKI, 2004, Proposition 21) Se S é uma t-conorma e N é uma
negação fuzzy forte. Então ele afirma que ISρ,N = IS ρ ,N ρ .
55
Prova.
IS ρ ,N ρ (x, y) =
=
=
=
=
=
5.2.1
S ρ (N ρ (x), y) Eq. (5.4)
ρ−1 S (ρN ρ (x), ρ(y)) Eq. (5.13)
ρ−1 S (ρ ◦ ρ−1 N(ρx), ρ(y))
ρ−1 S (N(ρx), ρ(y))
S ρ (N(x), (y)) Eq. (5.4)
ISρ,N (x, y)
Automorfismo agindo em negação fuzzy e t-conorma
Proposição 44. (BEDREGAL, 2009) Se ρ : U → U é um automorfismo e N : U → U é
uma negação fuzzy. Então, o mapeamento N ρ : U → U, definido por
N ρ (x) = ρ−1 (N(ρ(x))),
(5.14)
é uma negação fuzzy.
Prova.
(i) N ρ (0) =
=
=
=
ρ−1 (N(ρ(0))) Teorema (5.14)
ρ−1 (N(0)) Prop. N1
ρ−1 (1) Def. (31)
1
(ii) N ρ (1) =
=
=
=
ρ−1 (N(ρ(1))) Teorema (5.14)
ρ−1 (N(1)) Prop. N1
ρ−1 (0) Def. (31)
0
(iii) N ρ (N ρ (x)) =
=
=
=
=
N ρ (ρ−1 (N(ρ(x))) Teorema (5.14)
ρ−1 N(ρ ◦ ρ−1 (N(ρ(x)))) Prop. fechamento automorfismo
ρ−1 N(N(ρ(x))) Prop. N3
ρ−1 ρ(x) Prop. fechamento automorfismo
x
56
Se x ≤ y, então ρ(x) ≤ ρ(y), logo N(ρ(x)) ≥ N(ρ(x)).
(iv) N ρ (x) = ρ−1 (N(ρ(x)) Teorema (5.14)
≥ ρ−1 N(ρ(y))
≥ N ρ (y)
Proposição 45. (BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003)[Theorem 10] Se I é uma
QL-implicação associada a t-conorma contı́nua S, a uma negação forte N e a uma
t-norma contı́nua T tal que T (x, N(x)) = 0 para todo x ∈ U. Então existe um automorfismo φ no intervalo unitário, tal que:
I(x, y) = S (N(x), φ−1 (max(φ(x) + φ(y) − 1, 0)))
e
N(x) ≤ φ−1 (1 − φ(x)).
Prova. Ver Theorem 2 em (BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003)
Proposição 46. (BEDREGAL; TAKAHASHI, 2007, Proposition 7.1) Se ρ : U → U é
um automorfismo e S : U 2 → U é uma t-conorma. Então o mapeamento S ρ : U 2 → U,
definido por
S ρ (x, y) = ρ−1 (S (ρ(x), ρ(y))),
(5.15)
é uma t-conorma.
Um automorfismo agindo sobre uma t-conorma S deve preservar as propriedades
S1, S2, S3, S4, para todo x, y, z ∈ U.
Prova.
(S1) S ρ (x, y) = ρ−1 (S (ρ(x), ρ(y))) Eq. (5.15)
= ρ−1 (S (ρ(y), ρ(x))) Prop. Comutativa
= S (ρ(y), ρ(x)) Eq. (5.15)
(S2) S ρ (x, S ρ (y, z)) =
=
=
=
=
=
=
S ρ (x, ρ−1 (S (ρ(y), ρ(z))) Eq. (5.15)
ρ−1 (S (ρ(x), ρ ◦ ρ−1 (S (ρ(y), ρ(z)))
ρ−1 (S (ρ(x), (S (ρ(y), ρ(z)))
ρ−1 (S (S ρ(x), (ρ(y), ρ(z)))
ρ−1 (S (ρ ◦ ρ−1 (S ρ(x), (ρ(y), ρ(z)))))
S ρ (ρ−1 (S (ρ(x), ρ(y)), ρ(z)))
S ρ (S ρ (x, y), z)
57
Se x1 ≤ x2 , então ρ(x1 ) ≤ ρ(x2 )
(S3) S ρ (x1 , y) = ρ−1 (S (ρ(x1 ), ρ(y))) Eq. (5.15)
≤ ρ−1 (S (ρ(x2 ), ρ(y))) Def. (30)
≤ S ρ (x2 , y) Eq. (5.15)
De forma análoga temos que: S ρ (x, y1 ) ≤ S ρ (x, y2 ), sempre que y1 ≤ y2 .
(S4) S ρ (x, 1) =
=
=
=
5.2.2
ρ−1 (S (ρ(x), ρ(1))) Eq. (5.15)
ρ−1 (S (ρ(x), 1)) Def. (31)
ρ−1 (ρ(x)) Def. (8 - vii)
x
Automorfismo agindo em (S,N)-implicação
Na proposição a seguir, mostramos como o automorfismo age para gerar novas
implicações.
Proposição 47. (BACZYNSKI, 2004, Proposition 21) Se S é uma t-conorma e N é uma
negação fuzzy forte. Em seguida, ele afirma que ISρ,N = IS ρ ,N ρ .
Prova. Ver em (BACZYNSKI, 2004, Proposition 21)
5.2.3
Automorfismo agindo em QL-implicação
Quando T é uma t-norma contı́nua e N é uma negação estrita, a lei da contradição,
T (x, N(x)) = 0 para todo x ∈ U, é satisfeito se, e somente se, existe um automorfismo
ρ : U → U tal que T ρ (x, y)) = ρ−1 (max(ρ(x) + ρ(y) − 1, 0)) e NCρ (x). Com base nisso, a
seguinte proposição nos permite construir uma QL-implicação do automorfismo no intervalo unitário.
Proposição 48. Se IS ,N,T é uma QL-implicação, onde T é uma t-norma contı́nua dada por
T (x, N(x)) = 0. Então existe um automorfismo ρ : U → U tal que
IS ,N,T (x, y) = S (N(x), T Lρ (x, y)) e N(x) ≤ NCρ (x).
(5.16)
Neste caso, T Lρ (x, y) = ρ−1 (max(ρ(x) + ρ(y) − 1, 0)) é a ação de um automorfismo
ρ sobre a t-norma de Łukasiewicz, veja Exemplo 4.14.
Prova. Veja em (BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003, Theorem 10).
Pela última proposição, a lei da contradição é satisfeita quando a t-norma, a tconorma e a negação fuzzy estão associados com Łukasiewicz por um automorfismo sobre
o intervalo unitário real.
Proposição 49. (BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003, Corollary 6) Se IS ,N,T é uma
QL-implicação, onde T é uma t-norma contı́nua dada por T (x, N(x)) = 0, então
IS ,N,T (x, N(x)) = N(x), para todo x ∈ U.
58
Prova. Veja em (BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003, Corollary 6).
A proposição seguinte é baseada em (MAS; MONSERRAT; TORRENS, 2006)
e (MAS; MONSERRAT; TORRENS, 2007).
Proposição 50. Se ρ é um automorfismo, S é uma t-conorma contı́nua e T uma t-norma.
Então,
IS ,N ρ ,T (x, y) = ρ−1 (min(1 − ρ(x) + ρ(T (x, y)), 1))) = ρ−1 (1 − ρ(x) + ρ(T (x, y))).
C
(5.17)
Prova. Veja em (MAS; MONSERRAT; TORRENS, 2006, 2007).
Proposição 51. Se ρ e ρ0 são automorfismos em U tal que a QL-implicação IS ρ ,N,T ρ0 saL
L
tisfaz a propriedade I10 se, e somente se, N satisfaz
NCρ (x) ≤ N(x) ≤ NCρ (x).
0
e IS ρ ,N,T ρ0 pode ser expressa como
L
L

ρ0

N(x),
T
(x, y) = 0;


L

0

IS ρ ,N,T ρ0 (x, y) = 
y,
0 < T Lρ (x, y) < NCρ (x);


L
L
0

 1,
T Lρ (x, y) ≥ NCρ (x).
Prova. Veja em (SHI; RUAN; KERRE, 2007, Theorem 15).
Proposição 52. A IS N,T ,N,T QL-implicação satisfaz a propriedade I9 se
T (x, N(x)) = 0.
(5.18)
Prova. Veja em (SHI; RUAN; KERRE, 2007).
5.3
Implicação Fuzzy Intervalar
Uma vez que grande parte das informações na base de conhecimento de um sistema especialista tı́pico é imprecisa e vaga, e sabemos que não podemos lidar com esses
tipos de incertezas usando ferramentas de lógica clássica. Na lógica fuzzy, o valor verdade
de uma fórmula pode assumir qualquer valor no intervalo [0, 1] e é usado para indicar o
grau de verdade representada por uma fórmula.
Seja X e Y conjuntos vazios ordinário e não-finitos. A = {hx, µA (x)i | x ∈ X} e
B = {hy, µB (y)i | y ∈ Y} seriam conjuntos fuzzy em X e Y, com os números µA (x) : X →
[0, 1] e µB (y) : Y → [0, 1] denotando, respectivamente, a composição do grau do elemento
x em A e o elemento y em B.
Segundo (LIN; XIA, 2006), uma regra condicional em sistemas especialistas tem
a forma
se x é A então y é B
(5.19)
onde x é uma variável tomando valores em A, y é uma variável tomando valores
em B e A e B são conjuntos fuzzy em X e Y, respectivamente. No âmbito do cálculo
59
das restrições fuzzy de Zadeh, a regra condicional fuzzy é interpretado como uma relação
fuzzy definida usando um implicação generalizada como função I, como sendo:
I : X × Y → [0, 1]
(x, y) 7→ I(µA (x), µB (y)) para todo (x, y) ∈ X × Y.
Sabe-se que I(µA (x), µB (y)) é sempre interpretado como o grau de verdade da regra
condicional (5.19).
De acordo com a idéia de que os valores crisp são identificados com intervalos
degenerados, as propriedades de implicações fuzzy podem ser naturalmente estendidas
para intervalos fuzzy.
Definição 32. Implicação fuzzy intervalar: Uma função I : U2 → U é uma implicação
fuzzy intervalar se as seguintes condições de contorno são satisfeitas (BEDREGAL et al.,
2007):
I([1,1],[1,1])=I([0,0],[0,0])=I([0,0],[1,1])=[1,1] e I([1,1],[0,0])=[0,0].
Sejam X, Y, Z ∈ I[0, 1]. As seguintes extensões intervalares das propriedades apresentadas na Seção 5.1 são considerados logo a seguir:
I1 : Se X ≤ Z então I(X, Y) ≥ I(Z, Y);
I2 : Se Y ≤ Z então I(X, Y) ≤ I(X, Z);
I3 : I([0, 0], Y) = [1, 1];
I4 : I(X, [1, 1]) = [1, 1];
I5 : I([1, 1], Y) = Y;
I6 : I(X, I(Y, Z) = I(Y, I(X, Z));
I7 : X ≥ Y, se e somente se I(X, Y) = [1, 1];
I8 : N(X) = I(X, [0, 0]) é uma negação fuzzy forte;
I9 : I(X, X) = X;
I10 : I(X, Y) ≥ Y;
I11 : I(X, Y) = I(N(Y), N(X)), onde N é uma negação fuzzy forte (contra-positiva);
I12a : IY (X) = I(X, Y) é contı́nua para Moore;
I12b : IY (X) = I(X, Y) é contı́nua para Scott.
I13 : Se X > [0, 0], então I(X, [0, 0]) < [1, 1]; se Y < [1, 1], então I([1, 1], Y) < [1, 1].
Considerando-se qualquer implicação fuzzy, é sempre possı́vel obter canonicamente uma implicação fuzzy intervalar. A implicação fuzzy intervalar também satisfaz a propriedade de otimalidade e preserva as mesmas propriedades satisfeitas para a
implicação fuzzy.
60
Proposição 53. Se I é uma implicação fuzzy então b
I é uma implicação fuzzy intervalar.
Prova. Veja em (BEDREGAL; TAKAHASHI, 2006b).
Proposição 54. Se I é uma implicação fuzzy. Temos em seguida, para cada
X1 , X2 , Y1 , Y2 ∈ U, se X1 ⊆ X2 e Y1 ⊆ Y2 então b
I(X1 , Y1 ) ⊆ b
I(X2 , Y2 ).
Proposição 55. Se I é uma implicação fuzzy. Se I satisfaz a propriedade Ik, para k =
1, . . . , 13, então b
I satisfaz a propriedade Ik.
Prova. I1: Se I satisfaz I1, então b
I(X, Y) = [inf{I(X, y)|y ∈ Y}, sup{I(X, y)|y ∈ Y}] e
b
I(Z, Y) = [inf{I(Z, y)|y ∈ Y}, sup{I(Z, y)|y ∈ Y}]. Deste modo, se X ≤ Z então, para cada
y ∈ Y, I(X, ) ≤ I(Z, y) e I(X, y) ≤ I(Z, y). Assim, inf{I(Z, y)|y ∈ Y} ≤ inf{I(X, y) : y ∈ Y} e
sup{I(Z, y)|y ∈ Y} ≤ inf{I(X, y)|y ∈ Y}. Portanto, b
I(X, Y) ≥ b
I(Z, Y).
I2: Se I satisfaz I2, então b
I(X, Y) = [inf{I(x, Y)|x ∈ X}, sup{I(x, Y)|x ∈ X}] e b
I(X, Z) =
[inf{I(x, Z)|x ∈ X}, sup{I(x, Z)|x ∈ X}]. Deste modo, se Y ≤ Z então, para cada x ∈ X,
I(x, Y) ≤ I(x, Z) e I(x, Y) ≤ I(x, Z). Assim, inf{I(x, Y)|x ∈ X} ≤ inf{I(x, Z) : x ∈ X} e
sup{I(x, Y)|x ∈ X} ≤ sup{I(x, Z)|x ∈ X}. Portanto, b
I(X, Y) ≤ b
I(X, Z).
I3: b
I([0, 0], Y) = [inf{I(0, y)|y ∈ Y}, sup{I(0, y)|y ∈ Y}]. Mas, porque I satisfaz I3,
I(0, y) = 1 para cada y ∈ Y. Assim, {I(0, y)|y ∈ Y} = {1} e portanto, b
I([0, 0], Y) = [1, 1].
I4: b
I(X, [1, 1]) = [inf{I(x, 1)|x ∈ X}, sup{I(x, 1)|x ∈ X}]. Mas, porque I satisfaz I4,
I(x, 1) = 1 para cada x ∈ X. Assim, {I(x, 1)|x ∈ X} = {1} e portanto, b
I(X, [1, 1]) = [1, 1].
I5: b
I([1, 1], Y) = [inf{I(1, y)|y ∈ Y}, sup{I(1, y)|y ∈ Y}]. Mas, porque I satisfaz I5,
I(1, y) = y para cada y ∈ Y. Assim, {I(1, y)|y ∈ Y} = Y e portanto, b
I([1, 1], Y) = Y.
I6: Primeiro nota-se que u ∈ b
I(X, Y) então existe x ∈ X e y ∈ Y tal como I(x, y) = u.
b
b
Deste modo, se u ∈ I(X, I(Y, Z)) então existe x ∈ X, y ∈ Y e z ∈ Z tal como I(x, I(y, z)) =
u. Mas, por I6, u = I(y, I(x, z)). Assim, u ∈ b
I(Y, b
I(X, Z)) e portanto b
I(X, b
I(Y, Z)) ⊆
b
b
b
b
I(Y, I(X, Z)). Analogamente, se u ∈ I(Y, I(X, Z)) então existe x ∈ X, y ∈ Y e z ∈ Z tal
como I(y, I(x, z)) = u. Mas, por I6, u = I(x, I(y, z)). Assim, u ∈ b
I(X, b
I(XY, Z)) e portanto
b
I(Y, b
I(X, Z)) ⊆ b
I(X, b
I(Y, Z)). Por isso, b
I(X, b
I(Y, Z)) = b
I(Y, b
I(X, Z)).
I7: b
I(X, Y) = [1, 1] se inf{I(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y} = 1 = sup{I(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y}. Mas isso
só é possı́vel se {I(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y} = {1}. Portanto, se I(x, y) = 1 para cada x ∈ X e
y ∈ Y. Por isso, porque I satisfaz I7, se para cada x ∈ X e y ∈ Y, x ≤ y e isso só é possı́vel
se X ≤ Y.
I8: A prova pode ser construı́da de forma análoga as demais.
I9: b
I(X, X) = [inf{I(x, y)|x ∈ X e y ∈ X}, sup{I(x, y)|x ∈ X e y ∈ X}]. Desde, I satisfaz
I10, {I(x, x)|x ∈ X} = X. Assim, {I(x, y)|x ∈ X e y ∈ X} ⊇ X e, portanto inf{I(x, y)|x ∈ X e
y ∈ X} ≤ X e sup{I(x, y)|x ∈ X e y ∈ X} ≥ X. Por isso, b
I(X, X) ⊇ X.
61
I10: b
I(X, Y) = [inf{I(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y}, sup{I(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y}]. Desde, I satisfaz
I9, I(x, y) ≥ y, para cada x ∈ X e y ∈ Y. Portanto, inf{I(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y} ≥ Y e
I(X, Y) ≥ Y.
sup{I(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y} ≥ Y. Assim, b
I11 A prova pode ser construı́da de forma análoga as demais.
I12: Para cada x ∈ X, a função I x : U → U definida por I x (y) = I(x, y). Deste modo, I é
contı́nua a direita para todo x ∈ X I x é contı́nua. Se I x é contı́nua então pelo Teorema 1,
b
I x é contı́nua para Scott (Moore).
Uma vez que,
b
I(X, Y) = [inf{I(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y}, sup{I(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y}]
= [inf{inf{I(x, y)|y ∈ Y} : x ∈ X}, sup{sup{I(x, y)|y ∈ Y}|x ∈ X}]
S
= x∈X [inf{I(x, y)|y ∈ Y}, sup{I(x, y)|y ∈ Y}]
S
= x∈X b
I x (Y).
Assim, pois, I x é contı́nua (topologicamente) e a união preserva a continuidade,
então b
I também é contı́nua para Scott (Moore).
I13: A prova pode ser construı́da de forma análoga as demais.
62
6
COIMPLICAÇÃO FUZZY INTERVALAR
Neste capı́tulo, considera-se um estudo introdutório de coimplicação fuzzy, analisando propriedades e alguns exemplos de coimplicações.
Segue-se um breve estudo da versão intervalar de coimplicação fuzzy, baseadas na
representação canônica introduzida em (BEDREGAL; TAKAHASHI, 2007).
6.1
Coimplicação Fuzzy
Em (OH; KANDEL, 1991a,b), o conceito de coimplicação fuzzy foi introduzido
como uma nova abordagem para o raciocı́nio aproximado de sistemas especialistas utilizando a relação de equivalência para o modus ponens da inferência em sistemas especialistas fuzzy em vez de implicação fuzzy.
Enquanto as implicações fuzzy consistem em extensões da Lógica Booleana para
as implicações clássicas (p ⇒ q significando que p é suficiente para deduzir q) as
coimplicações fuzzy são extensões da Lógica Booleana para as coimplicações clássicas
(p ; q significando que p não é necessário para deduzir q). Mostraremos na sequência a
dualidade entre coimplicações fuzzy e implicações fuzzy.
Este estudo se justifica considerando que ainda são restritos os estudos na literatura
de coimplicação fuzzy, mapeando seu relacionamento com implicação fuzzy e as principais propriedades. Com base nos trabalhos (OH; KANDEL, 1991a,b; COOMAN; BAETS, 1996; BAETS, 1997; WOLTER, 1998; LIN; XIA, 2006; RUIZ-AGUILERA; TORRENS, 2004; GERA; DOMBI, 2008; BUSTINCE; BARRENECHEA; V.MOHEDANO,
2004; KANDEL; LAST, 2007; WANG; FANG, 2009), apresentando definição e análise
de propriedades de uma coimplicação fuzzy estrutura-se e fundamentam-se os estudos
apresentados nesta seção.
Definição 33. (RUIZ-AGUILERA; TORRENS, 2004)[Definition 7] Uma função binária
J : U 2 → U é chamada coimplicação fuzzy se satisfaz as seguintes condições de contorno:
J(1, 1) = J(1, 0) = J(0, 0) = 0 e J(0, 1) = 1.
(6.1)
Esta definição assegura que uma coimplicação fuzzy satisfaz as condições que
definem uma coimplicação clássica.
A proposição abaixo indica a condição que uma implicação fuzzy dá origem a
uma coimplicação fuzzy, o que significa que podemos construir uma coimplicação fuzzy
J como uma correspondente da estrutura dual da implicação fuzzy I, expressa na Eq. 4.4.
63
Proposição 56. (LIN; XIA, 2006)[Proposition 3.1] A função J : U 2 → U é uma coimplicação fuzzy, se e somente se, existe uma implicação fuzzy I : U 2 → U e uma negação
fuzzy forte N : U → U tal que para todo (x, y) ∈ U 2 qualquer uma das duas igualdades
são funções equivalentes:
I(x, y) = N −1 (J(N(x), N(y)))
(6.2)
J(x, y) = N −1 (I(N(x), N(y)))
(6.3)
Exemplificamos 32 operadores de coimplicação fuzzy de uso comum celebrado
em (FEI; XIYANG; HONGXING, 2003; FEI; YANBIN; HONGXING, 2004) nas Tabelas 6.1 e 6.2.
Nome
Operador(Fuzzy de Coimplicação
R0 :
J0 (x, y) =
Kleene-Dienes:
Reichenbach:
Łukasiewicz:
Goguen:
Gödel :
Dubois-Prade:
Zadeh:
Gaines-Rescher:
Yager:
Mandani:
P.C.:
B.C.:
E.C.:
P.D.:
B.D.:
E.D.:
Einstein C.:
Einstein D.:
0,
se x ≥ y;
(1 − x) ∧ y se x < y.
J1 (x, y) = min{1 − x, y}
J2 (x, y) = y( − xy
0,
se x ≥ y;
J3 (x, y) =
y
−
x
se
x < y.
(
0,
se x = 1;
J4 (x, y) =
y−x
(
)
∨
0,
se
x < 1.
( 1−x
0, se x ≥ y;
J5 (x, y) =
y, se x < y.


y,
se x = 1;



1 − x, se y = 0;
J6 (x, y) = 


 1,
se x < 1 e y > 0.
J7 (x, y) = (1
( − x) ∧ (x ∨ y)
0, se x ≥ y;
J8 (x, y) =
0, se x < y.
J9 (x, y) = 1 − (1 − y)1−x
J10 (x, y) = max{x, y}
J11 (x, y) = x + y − xy
J12 (x, y) = 1( ∧ (x + y)
x ∨ y, se x ∧ y = 0;
J13 (x, y) =
1,
se x ∧ y > 0.
J14 (x, y) = xy
J15 (x, y) = 0( ∨ (x + y − 1)
x ∧ y, se x ∨ y = 1;
J16 (x, y) =
0,
se x ∨ y < 1.
x+y
J17 (x, y) = 1+xy
y
J18 (x, y) = 1+(1−x)(1−y)
Tabela 6.1: Exemplos de operadores de coimplicação fuzzy nominados
Notação: P = Probabilidade, B = Borda (limite), E = Extremo, D = Disjunção e C = Conjunção
Como considerado em (LIN; XIA, 2006) se uma função de implicação fuzzy deve
satisfazer as propriedades apresentadas no Seção 5.1, a coimplicação fuzzy pode também
64
Nome
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Operador Fuzzy
de Coimplicação
(
0, se x > 0;
y, se x = 0.
2
2
J20 (x, y) = (x
( + y − x − x y) ∨ 0
0, se x > 0 ou y = 0;
J21 (x, y) =
1, caso contrário.
J22 (x, y) = x ∧ y
(
0,
se x ≥ y;
J23 (x, y) = y−x
,
se x < y.
( y
0, se x = 1;
J24 (x, y) =
 y, se x < 1.

0,
se x ≥ y;




1−y
 log 1−x
J25 (x, y) = 
se x < y < 1;

log (1−y) ,



 1,
se x < y = 1.
J19 (x, y) =
1
J26 (x, y) = (1 − (1 − (1 − x) p + (1 − y) p ) p ) ∨ 0
J27 (x, y) = y − xy + 2x
J28 (x, y) = (x+y
2
0,
se x ≥ y;
J29 (x, y) =
y − xy, se x < y.


0,
se x ≥ y;



1
(1
−
x)
∧
y
∧
,
se 0 < x < y < 1;
J30 (x, y) = 


 (1 − x) ∧ y, 2
caso contrário.
(
0,
se x ≥ y;
J31 (x, y) =
1 − x, se x < y.
Tabela 6.2: Exemplos de operadores de coimplicação fuzzy
ser exigida para satisfazer as propriedades correspondentes, além das condições de contorno (Definição 33), para todo x, y, z ∈ [0, 1]:
J1 : Se x ≤ z então J(x, y) ≥ J(z, y)(antimonotonicidade no primeiro argumento);
J2 : Se y ≤ z então J(x, y) ≤ J(x, z) (isotonicidade no segundo argumento);
J3 : J(x, 0) = 0;
J4 : J(1, y) = 0;
J5 : J(0, y) = y (princı́pio da neutralidade à esquerda);
J6 : J(x, J(y, z)) = J(y, J(x, z)) (princı́pio da troca);
J7 : J(x, y) = 0 se e somente se x ≥ y;
J8 : J(x, 1) = N(x), onde N é uma negação fuzzy;
J9 : J(x, y) ≤ y;
J10 : J(x, x) = 0 (princı́pio de identidade);
J11 : J(x, y) = J(N(y), N(x)), onde N é uma negação fuzzy forte;
65
J12 : J é contı́nua em U × U;
J13 : Se x < 1, então J(x, 1) > 0; se y > 0, então J(0, y) > 0.
Teorema 3. Essas propriedades não são independentes, relacionam-se da seguinte
forma:
(i) Se J11 é verificada, então, J1 e J2 são equivalentes.
(ii) J9 pode ser deduzida de J1, J4 e J5.
(iii) J4 pode ser inferida a partir J9 e J11.
(iv) Condição suficiente para J7 pode ser deduzida do J1 e J10.
Prova. (i) Se j , é uma Coimplicação Fuzzy que verifica a propriedade J11.
Inicialmente supondo que J1 é verificada, para todo x, y, z, t ∈ U[0,1] .
Se y ≤ t, então N(y) ≥ N(t) e portanto,
J(x, y) = J(N(y), N(x)) ≤ J(N(t), N(x)) = J(x, t)
isso significa que J satisfaz J2.
Agora, supondo que J2 é satisfeita. Deste modo,
se x ≤ z, portanto N(x) ≥ N(z) e,
J(x, y) = J(N(y), N(x)) ≥ J(N(y), N(z)) = J(z, y)
deste modo J1 também satisfaz.
(ii) Se J, é uma Coimplicação Fuzzy satisfazendo as propriedades J4 e J5.
Isso significa que J(1, y) = 0 e J(0, y) = y.
Desde que J1 é satisfeita, se x ≥ 0 então,
tem-se que J(x, y) ≤ J(0, y) = y.
(iii) Se J, é uma Coimplicação Fuzzy que satisfaz as propriedades J9 e J11.
J(1, y) = J(N(y), 0) ≤ 0, então J(1, y) = 0.
(iv) Se x ≥ y, então J(x, y) ≤ J(y, y) = 0.
Portanto J(x, y) = 0
6.2
Coimplicação Fuzzy Intervalar
Nesta seção, estudaremos as funções coimplicação fuzzy intervalar baseados na
sua representação canônica, como uma extensão da estrutura dual da implicação fuzzy
intervalar, para análise de suas propriedades relacionadas.
66
A partir da definição de implicação fuzzy em (BUSTINCE; BARRENECHEA;
V.MOHEDANO, 2004), sabemos que uma classe de coimplicação fuzzy pode ser construı́do com a utilização de operadores de implicação fuzzy e operadores de agregação,
obviamente I(µA (x), µB (y)) + J(1 − µA (x), 1 − µB (y)) = 1.
Nesta seção, a negação forte será considerada a Negação Padrão
Nc (x) = N s (x) = N(x) = 1 − x, para todo x ∈ [0, 1]. Sabe-se que I(µA (x), µB (y)) é
sempre interpretado como o grau de verdade das regra condicional em (5.19). Assim,
J(1 − µA (x), 1 − µB (y)) pode ser interpretado como o grau de não verdade da regra fuzzy
condicional em (5.19). A definição de coimplicação fuzzy tem sido considerada em
uma base dual da abordagem fuzzy (BAETS, 1997; BUSTINCE; BARRENECHEA;
V.MOHEDANO, 2004).
Definição 34. Coimplicação fuzzy intervalar: A função binária J : U2 → U é chamada
coimplicação fuzzy intervalar se satisfaz as seguintes condições de contorno:
J([1, 1], [1, 1]) = J([1, 1], [0, 0]) = J([0, 0], [0, 0]) = [0, 0] e J([0, 0], [1, 1]) = [1, 1].
Com base em representação canônica, Definição 8, uma coimplicação fuzzy intervalar pode ser obtida a partir de qualquer coimplicação fuzzy, preservando o princı́pio da
otimalidade e mesmas propriedades satisfeitas pela coimplicação fuzzy correspondente.
Proposição 57. Se J é uma coimplicação fuzzy então b
J é uma coimplicação fuzzy intervalar.
Prova. Pode ser facilmente verificado.
Proposição 58. A função J : U2 → U é uma coimplicação fuzzy intervalar, se e somente
se, existe uma implicação fuzzy intervalar I : U2 → U e uma negação fuzzy forte N :
U → U tal que para todo (X, Y) ∈ U2 qualquer uma das duas igualdades são funções
equivalentes:
I(X, Y) = N(J(N(X), N(Y)))
(6.4)
J(X, Y) = N(I(N(X), N(Y)))
(6.5)
As propriedades apresentadas a seguir, podem também ser naturalmente estendidas de uma abordagem pontual de J para intervalar J, além das condições de contorno
para todo X, Y, Z ∈ U:
J1 : Se X ≤ Z então J(X, Y) ≥ J(Z, Y)(antimonotonicidade no primeiro argumento);
J2 : Se Y ≤ Z então J(X, Y) ≤ J(X, Z) (isotonicidade no segundo argumento);
J3 : J(X, [0, 0]) = [0, 0];
J4 : J([1, 1], Y) = [0, 0];
J5 : J([0, 0], Y) = Y (princı́pio da neutralidade à esquerda);
J6 : J(X, J(Y, Z)) = J(Y, J(X, Z)) (princı́pio da troca);
J7 : J(X, Y) = [0, 0] se e somente se X ≥ Y;
J8 : J(X, [1, 1]) = N(X), onde N é uma negação fuzzy intervalar;
67
J9 : J(X, Y) ≤ Y;
J10 : [0, 0] ∈ J(X, X);
J11 : J(X, Y) = J(N(Y), N(X)), onde N é uma negação fuzzy forte;
J12 : J é contı́nua em [0, 1] × [0, 1];
J12a : JY (X) = J(X, Y) é contı́nua para Moore;
J12b : JY (X) = J(X, Y) é contı́nua para Scott;
J13 : Se X < [1, 1], então J(X, [1, 1]) > [0, 0]; se Y > [0, 0], então J([0, 0], Y) > [0, 0].
Teorema 4. Essas propriedades não são independentes, relacionam-se da seguinte maneira:
(i) Se J11 é verificada, então, J1 e J2 são equivalentes.
(ii) J9 pode ser deduzida de J1 e J5.
(iii) J4 pode ser inferida a partir J9 e J11.
(iv) Condição suficiente para J7 pode ser deduzida do J1 e J10.
Prova. J1: Se X ≤ Z.
Supondo que J(X, Y) ≤ J(Z, Y), para todo X, Y, Z ∈ U[0,1]
se X=[0,0]≤ Z=Y=[1,1], então
J([0, 0], [1, 1]) ≥ J([1, 1], [1, 1]) (pela Definição 34)
[1, 1] ≥ [0, 0]
logo, J(X, Y) ≥ J(Z, Y).
J2: Se Y ≤ Z.
Supondo que J(X, Y) ≤ J(X, Z), para todo X, Y, Z ∈ U[0,1]
se X=Y=[0,0]≤ Z=[1,1], então
J([0, 0], [0, 0]) ≤ J([0, 0], [1, 1]) (pela Definição 34)
[0, 0] ≤ [1, 1]
portanto, J(X, Y) ≤ J(X, Z).
J3: Sendo X ≥ [0, 0].
J(X, [0, 0]) ≤ J([0, 0], [0, 0]), (pela Definição 34)
J(X, [0, 0]) ≤ [0, 0],
pela Definição J ∈ [0, 1])
então, J(X, [0, 0]) = [0, 0] para todo X ∈ U[0,1] .
J4: Sendo Y ≤ [1, 1].
J([1, 1], Y) ≤ J([1, 1], [1, 1]), (pela Definição 34)
J([1, 1], Y) ≤ [0, 0],
68
pela Definição J ∈ [0, 1])
então, J([1, 1], Y) = [0, 0], para todo Y ∈ U[0,1] .
69
7
CONCLUSÃO
A matemática é a ciência do raciocı́nio lógico e abstrato que busca permanentemente desenvolver-se e atualizar-se. Para que os fenômenos do mundo fı́sico possam ser
modelados e estudados matematicamente necessitamos mensurar algumas grandezas para
que os estudos possam ocorrer, nesse momento tem inı́cio a geração de erros o que pode
fatalmente acarretar a produção de resultados incorretos.
Na década de 60, nos artigos de Moore e em particular a sua monografia (MOORE, 1963), foi o marco inicial da introdução da aritmética intervalar. A matemática
intervalar (MOORE, 1979) tem como objetivo fundamental o tratamento automático de
erros em computação cientı́fica, onde os parâmetros e dados iniciais são geralmente imprecisos. A utilização da aritmética intervalar tem alcançado resultados significativos no
desenvolvimento de algoritmos numéricos autovalidáveis e com controle automático de
erro para as aproximações em um sistema de ponto flutuante, garantindo a máxima exatidão no resultado final (BURKILL, 1924).
Neste trabalho o estudo da matemática intervalar esteve focado na aritmética intervalar, com ênfase em operações aritiméticas básicas, as propriedades algébricas para
adição e multiplicação, tópicos referentes a topologia intervalar, mais especificamente,
conceituação e exemplos de distância intervalar, módulo intervalar, diâmetro intervalar e
ponto médio intervalar, incluindo ainda um breve resumo da representação intervalar.
Na sociedade industrial, desde motores movidos a vapor até o estágio atual onde
há uma interação profunda com sistemas de informação e processos de fabricação a modelagem matemática de plantas e processos foi baseada na linearização. Atualmente,
chegou-se a um estágio em que a metodologia da modelagem matemática com precisão
tornou-se tarefa árdua ou até impossı́vel.
A natureza é indiferente aos nossos esforços em modelar matematicamente seus
processos, e frequentemente, é possı́vel que um operador humano seja capaz de controlar
diversos sistemas sem compreender a matemática, ou os detalhes fı́sicos envolvidos. O
operador é, no entanto, inteligentemente capaz de manejar variáveis de entrada que influenciem as saı́das do processo. Essa realização fundamental levou a um novo enfoque na
teoria de processos onde o conceito de ”inteligência artificial”através de caracterı́sticas
do comportamento humano no controle de processos surgiu como uma alternativa de controle e modelagem. A tarefa de modelagem matemática deu lugar ao favorecimento de
uma metodologia que possibilitasse a manipulação das variáveis de controle de maneira
a alcançar as saı́das desejadas.
A inteligência artificial compreende uma famı́lia de ferramentas para
experimentação nesses problemas complexos, e as técnicas fuzzy tem se mostrado, e se
70
firmado, com enfoques bem fundamentados e desenvolvidos.
A capacidade de lidar com processos bastante complexos, baseados em
informações imprecisas ou aproximadas é uma caracterı́stica dos seres humanos. Essa
habilidade humana pode geralmente ser expressa em termos lingüı́sticos, a teoria dos
conjuntos fuzzy e os conceitos da lógica fuzzy podem ser utilizados para realizar, matematicamente, a tradução desses termos para um conjunto de regras linguı́sticas. Se um
humano for capaz de articular sua estratégia de ação como um conjunto de regras da
forma “se ... então”, um algoritmo passı́vel de ser implementado em computador pode ser
construı́do.
Neste contexto, neste estudo, mostrou-se que, tal como acontece nos conjuntos
crisp, diferentes operações podem ser definidas sobre conjuntos fuzzy. Considerou-se
os operadores mais básicos sobre conjuntos fuzzy: a união, intersecção e complemento,
os quais estão relacionados com os conceitos de conjunção, disjunção e complemento
da lógica matemática. Pela fundamentação deste estudo, verificou-se que as operações
padrão fuzzy são generalizações das operações correspondentes para a teoria clássica de
conjuntos. As funções que qualificam como intersecções fuzzy, uniões fuzzy e complemento são geralmente referidos na literatura como t-normas, t-conorms e negações,
respectivamente.
O trabalho também descreve a extensão intervalar baseada na representação
canônica dos conetivos valorados intervalarmente, apresentando as construções fuzzy intervalares como construções fuzzy que são corretas e capazes de analisar critérios que
garantam optimalidade (BEDREGAL; TAKAHASHI, 2006a,b). A lógica fuzzy valorada
intervalarmente surgiu em 1975, com contribuições independentes de vários autores, visando o tratamento da incerteza no grau de pertinência (LODWICK, 2004; CORNELIS;
DESCHRIJVER; KERRE, 2006; DUBOIS; PRADE, 1991, 2005; GEHRKE; WALKER;
WALKER, 1996; KLIR; YUAN, 1995; MOORE; LODWICK, 2003; NGUYEN; WALKER, 1999; NGUYEN; KREINOVICH; ZUO, 1997; WU; MENDEL, 2007; YAGER,
2008). Neste sentido, as extensões intervalares dos conetivos fuzzy têm sido largamente
estudadas.
Enquanto as implicações fuzzy consistem em extensões da Lógica Booleana para
as implicações clássicas (p ⇒ q significando que p é suficiente para deduzir q) as
coimplicações fuzzy são extensões da Lógica Booleana para as coimplicações clássicas
(p ; q significando que p não é necessário para deduzir q). Assim como uma implicação
fuzzy consiste em uma ferramenta que é capaz de modelar, de forma efetiva e mesmo intuitiva, sistemas especialistas onde grande parte das informações se apresentam de forma
imprecisa e vaga, na concepção dual, as coimplicações também exercem um papel relevante na estruturação das regras, interpretando a noção de não-verdade, relevante para
lógica clássica, a lógica fuzzy e a lógica intuicionı́stica (BEDREGAL; TAKAHASHI,
2006a,b; BEDREGAL et al., 2007a; BEDREGAL; DIMURO; REISER, 2009; DIMURO
et al., 2008; REISER et al., 2007; SANTIAGO; BEDREGAL; ACIóLY, 2006).
Neste trabalho, procurou-se compreender como são estendias as principais propriedades, mapeando o relacionamento de implicação fuzzy com coimplicação fuzzy, e
estudando, principalmente, a relação de dualidade entre estes conetivos. A partir dessa
compreensão, introduz-se a extensão intervalar de coimplicação fuzzy.
Na continuidade, tem-se o foco desta pesquisa no estudo de propriedades para
as classes duais de coimplicação e as correspondentes extensões intervalares. Serão
também estudadas a ação de automorfismos sobre as classes de (S,N)-coimplicação, QL-
71
coimplicação, D-coimplicação e R-coimplicação.
72
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