A Estatística é um ramos da Matemática que
dispõe de processos apropriados para
recolher, organizar, classificar, apresentar e
interpretar determinados conjuntos de dados.
População
é o conjunto de todos os elementos que estão a ser estudados
(pessoas, instituições, animais, objectos, acontecimentos, etc…).
Ao número de elementos da população, chama-se efectivo da população.
Exemplos:
Temperatura
Pressão Atmosférica
Alunos de uma escola
População de um país ou de um distrito
Recenseamento é um estudo estatístico que abrange todos
os elementos da população.
Sondagem é a observação de apenas alguns elementos da
população. Os elementos observados constituem a amostra.
As razões que levam à utilização de uma amostra e não da população:
- a população ser demasiado grande;
- economia de dinheiro;
- economia de tempo;
- comodidade.
Amostra é o subconjunto finito da população que foi
observado no estudo estatístico. A dimensão da amostra é o
número de elementos da amostra.
Tipos de Dados
Os dados estatísticos nem sempre são da mesma natureza. É diferente estudar a
cor dos olhos ou a cor do cabelo do que fazer o estudo sobre a altura ou o
número de pessoas de um agregado familiar.
As primeiras duas variáveis (cor dos olhos e cor do cabelo) são expressas através
de uma qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas
de classificação. São chamados dados qualitativos.
As outras duas variáveis (altura e número de pessoas do agregado familiar)
representam informação resultante de características susceptíveis de serem
medidas. São chamados dados quantitativos.
Os dados quantitativos podem ser de natureza discreta ou contínua.
O número de pessoas de um agregado familiar é expresso através de um número
inteiro (diz-se que a variável é quantitativa Discreta), enquanto que a Altura pode
admitir qualquer valor decimal (diz-se que a variável é quantitativa Continua).
Tipos de Dados
Quantitativa – Quando se exprime por um número
(Ex: Idade, Altura, preço, Altitude)
Variável
Qualitativa – Quando não se exprime por um número
(Ex: Nacionalidade, sexo, cor, etc.)
Dado estatístico é cada um dos valores (numéricos ou
qualitativos) observados em cada elemento da população.
Medidas de localização central
Moda é o valor da variável a que corresponde a maior
frequência. Uma distribuição pode ter mais que uma moda.
Média é o quociente entre a soma de todos os valores
observados e o número de elementos da amostra.
Medidas de localização central
Exemplo:
O número de pessoas de um agregado familiar é expresso através de um número
inteiro, por exemplo:
1, 5, 6, 3, 3, 4, 2, 3, 6, 3, 2, 5
Moda é 3 (valor que se repete mais vezes)
Média é calculada por (1 + 5 + 6 + 3 ++ 3 + 4 + 2 + 3 + 6 + 3 + 2 + 5)/12 = =3,58
Medidas de localização central
A mediana (Med) é o valor que ocupa a posição central
quando se ordenam os dados estatísticos. Quando o
número de dados N é impar, há um dado estatístico que
está exactamente a meio, ocupando a posição (N+1)/2.
Quando o número de dados N é par, nenhum dado está no
meio. Considera-se então os dois valores centrais, nas
posições N e N + 1 sendo a mediana a média destes dois
valores.
- Gráfico circular
- Gráfico de Barras
-- Histograma
Gráfico Circular
Gráfico circular é representado por um círculo que está
dividido em sectores (desenhados por raios) cujas amplitudes
são proporcionais à frequência correspondente.
O gráfico circular costuma utilizar-se quando o número de categorias para a
variável é pequeno (normalmente menor ou igual a 6).
Nos gráficos circulares tem de se ter em atenção que:
- o gráfico deve ter um título;
- A área de cada sector é proporcional à frequência;
- a legenda pode ser inscrita no interior de cada sector assim como
a percentagem;
- Normalmente,utiliza-se uma cor para cada um dos sectores
Gráfico Circular
Exemplo:
Clube Favorito
- O ângulo de cada sector pode-se
obter multiplicando a frequência
relativa e 360º
Clube
Freq.
Abs.
Freq.
Rel.
Ângulo
FCP
10
0,28
0,28x360=100º
SCP
10
0,28
0,28x360=100º
SLB
12
0,33
0,33x360=120º
BFC
4
0,11
0,11x360=40º
Totais
36
1,00
360º
BFC
11%
FCP
28%
SLB
33%
SCP
28%
Gráfico de Barras
- o eixo horizontal assinala os valores possíveis da Característica;
- no eixo vertical as frequências absolutas;
- por cima das marcas dos pontos do eixo horizontal traçam-se barras ou
“linhas” verticais com altura directamente proporcional à frequência
absoluta.
Idade dos alunos
Freq.
Abs.
Freq.
Rel.
11
2
0,10
12
6
0,30
13
8
0,40
14
3
0,15
15
1
0,05
Totais
20
1,00
10
N.º Alunos
Idade
8
6
4
2
0
11
12
13
Idade
14
15
Organização e representação de dados
Dados Qualitativos
Relativamente a uma amostra de 20 portugueses, com mais de 18 anos, obtiveram-se
os seguintes dados relativos ao seu estado civil.
Solteiro
Solteiro
Casado
Solteiro
Divorciado
Solteiro
Viúvo
Casado
Divorciado
Solteiro
Casado
Solteiro
Solteiro
Casado
Casado
Solteiro
Solteiro
Casado
Divorciado
Solteiro
Casado
Casado
Solteiro
Solteiro
Viúvo
Organização e representação de dados
Dados Qualitativos
1.º deve-se proceder à organização dos dados através da construção de uma
tabela de frequências:
Estado Cívil
N.º de pessoas
% de pessoas
(Valores da variável estatística)
(Frequência absoluta)
(Frequência relativa)
Solteiro
12
12/25 x 100 = 48%
Casado
8
8/25 x 100 = 32%
Viúvo
2
2/25 x 100 = 8 %
Divorciado
3
3/25 x 100 = 12%
Total
25
1 ou 100 %
A soma das frequências absolutas corresponde à dimensão da amostra.
A soma das frequências relativas corresponde a 1 ou a 100% (caso de traduza
em percentagem)
Organização e representação de dados
Dados Qualitativos
Como as variáveis qualitativas não tomam valores numéricos não existe a
possibilidade de se determinar a média ou a mediana.
No entanto, pode determinar-se a moda da distribuição.
No exemplo, a moda corresponde ao estado cívil “Solteiro”, uma vez que é
a característica (valor da variável qualitativa) que se repete com maior
frequência.
Organização e representação de dados
Dados Qualitativos
Estado Civil
14
12
10
8
6
4
2
0
Solteiro
Casado
Divorciado
Viúvo
As variáveis qualitativas podem ser representadas recorrendo a gráficos de
barras e gráficos circulares.
Organização e representação de dados
Dados Quantitativos Discretos
Numa escola recolheram-se as respostas de 135 alunos (amostra) quanto
ao seu número de irmãos (variável quantitativa), tendo-se obtido os
seguintes resultados:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3,
3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5
Organização e representação de dados
Dados Quantitativos Discretos
A tabela de frequências :
N.º de irmãos
N.º de alunos
% de alunos
0
60
44,5%
1
40
29,6%
2
20
14,8%
3
10
7,4%
4
3
2,2%
5
2
1,5%
Total
135
100 %
Ano Lectivo
Matemática
Organização e representação de dados
Dados Quantitativos Discretos
N.º de
irmãos
N.º de
alunos
% de
alunos
0
60
44,5%
1
40
29,6%
2
20
14,8%
3
10
7,4%
4
3
2,2%
5
2
1,5%
Total
135
100 %
Neste caso, como se trata de uma variável
quantitativa, é possível determinar além da
moda que é 0 (o número de irmãos que mais
se repete), a média e a mediana.
Mediana é o valor central, ou seja, o valor
que ocupa a posição 68: 1
Média:
60 x 0 + 40 x 1 + 20 x 2 + 10 x 3 + 3 x 4 + 2 x 5
135
= 132/135 = 0,98
Organização e representação de dados
Dados Quantitativos Discretos
Estes dados podem ser apresentados através de um gráfico de barras ou
um gráfico circular:
Organização e representação de dados
Dados Quantitativos Contínuos
Para efectuarmos um estudo sobre o peso dos alunos do 3.º ciclo da escola,
escolheu-se uma amostra aleatória constituída por 30 alunos.
Os dados obtidos, em Kg, foram os seguintes:
50
45,2
52,4
67,1
60
55
54
58
68
54
65
69
68
58
64,5
64
63
49,6
59,4
57
56
64
61,3
56
48,2
52
51,3
56
62,2
58
Organização e representação de dados
Dados Quantitativos Contínuos
Como se trata de uma variável quantitativa contínua, isto significa que os dados
obtidos terão que ser organizados por classes ou intervalos de valores. Para tal
deve-se proceder da seguinte forma:
Valor máximo – valor mínimo = 69 – 45 = 24 (Amplitude dos valores)
Determinar o número de classes de forma que não sejam poucas ou demasiadas,
evitando assim, a concentração dos dados ou a dispersão excessiva.
Podes considerar a equação 2k ≥ n , sendo n o número de observações (30) e k o
número de classes. Assim, facilmente se verifica que para k = 5, se obtém 32 > 30.
Considere-se 5 classes, sendo amplitude de cada classe dada por 24/5  5
Organização e representação de dados
Dados Quantitativos Contínuos
Para organizar os dados numa tabela de frequências considera-se o procedimento já
realizado:
Nota:
Valor mínimo: 45
Amplitude do intervalo: 5
Ao limite inferior de cada
classe, soma-se a amplitude
45 + 5 = 50, obtendo-se o intervalo de valores [45; 50[
da classe de modo a se
50 + 5 = 55 , obtendo-se o intervalo de valores [50; 55[ determinar o respectivo
55 + 5 = 60 , obtendo-se o intervalo de valores [55; 60[ limite superior.
60 + 5 = 65 , obtendo-se o intervalo de valores [60; 65[
65 + 5 = 70 , obtendo-se o intervalo de valores [65; 70]
O último intervalo é fechado à direita ], incluindo o último valor.
Organização e representação de dados
Dados Quantitativos Contínuos
Tabela de frequências:
Classes
(Peso dos alunos)
N.º de alunos
% de alunos
[45, 50[
3
10%
[50, 55[
6
20%
[55, 60[
9
30%
[60, 65[
7
23,3%
[65, 70]
5
16,7%
Total
30
100 %
Organização e representação de dados
Dados Quantitativos Contínuos
Classes
(Peso dos
alunos)
N.º de
alunos
% de
alunos
[45, 50[
3
10%
[50, 55[
6
20%
[55, 60[
9
30%
[60, 65[
7
23,3%
[65, 70]
5
16,7%
Total
30
100 %
Pela observação da tabela, é possível
verificar que existe uma classe que
apresenta um valor mais elevado de
alunos. Essa classe designa-se por classe
modal. Neste exemplo é a classe [55; 60[.
Organização e representação de dados
Dados Quantitativos Contínuos
Os dados desta variável, por ser contínua, devem ser representados por um gráfico que
têm um aspecto diferente dos gráficos de barras das variáveis de dados discretos. Neste
caso chamam-se histogramas.
Repara que num histograma as
barras são contíguas, ou seja, são
unidas umas às outras. Esta é
uma consequência dos valores
serem representados no eixo
horizontal como na recta real,
atendendo à sua continuidade.
Organização e representação de dados
Dados Quantitativos Contínuos
É também usual traçar-se uma linha que une os pontos médios das barras do
histograma. À região limitada por essa linha chama-se polígono de frequências.