Controle de Sistemas Mecânicos
Introdução
Sistemas de controle
Malha aberta
Malha fechada
Realimentação
Visão histórica
Controle hoje
Sistemas de Controle
Controlar é atuar sobre um dado sistema de modo a atingir
resultados de acordo com objetivos previamente
estabelecidos.
O sistema controlado é chamado de planta ou processo.
Há um atuador transformando os objetivos em esforço de
atuação
Os resultados obtidos na saída da planta, devem se
aproximar dos objetivos desejados.
Métodos Básicos
●
Controle em malha aberta
– disparo de uma flecha
– chuveiro elétrico comum
– máquina de lavar
●
Controle em malha fechada
– nível do tanque/pressão d’água
– míssil teleguiado
– ar-condicionado
Controle em malha aberta
●
Esquema geral
objetivos
atuação
Controlador
resultados
Planta
Controle em malha fechada
●
Esquema geral
objetivos
erro
atuação
Controlador
resultados
Planta
medição
Realimentação negativa
●
Sistemas de controle
– Controle de temperatura
– Controle de nível
●
Sistemas naturais
– relação predador/presas
– temperatura do corpo/evaporação do suor
Visão histórica
Interação leme/vela em embarcações
● Controle de nível
● Fontes decorativas
● Relógios mecânicos
● Caixas de música
● Controle de temperatura e pressão
● Controle de rotação de máquina a vapor
●
Visão histórica
●
Controle de nível
Visão histórica
●
Controle de rotação de máquina a vapor
Modelagem de Sistemas Lineares
Equação Diferencial Geral
Solução da Equação Homogênea
Solução da Equação Particular
Solução Completa
Diagrama de Blocos
Resposta ao Impulso e Convolução
Modelagem matemática
●
Linearidade
– obedece aos princípios da superposição e
homogeneidade
●
Parâmetros concentrados
– equações diferenciais ordinárias no tempo contínuo
●
Invariância no tempo
– coeficientes da equação constantes
●
Causalidade
– sistemas só respondem após a excitação
Linearização
Quando o modelo matemático de um dado sistema é não
linear, adota-se um método de linearização.
O método mais comum é a linearização pela expansão da
função em série de Taylor em torno do ponto de operação
da planta.
Trunca-se a série de Taylor respectiva, desprezando-se os
termos de derivadas de segunda ordem e acima.
Os resultados são bons apenas para pequenas variações em
torno do ponto de operação.
Expansão em serie de Taylor
( x − x0 )
( x − x0 ) 2
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 )
+ f ′′( x 0 )
+L
1!
2!
Equação Diferencial Geral
●
●
●
●
Sistemas Lineares
Parâmetros concentrados
Invariantes no tempo
Mônico (an = 1)
u(t )
y( t )
R
d n y (t )
d n −1 y ( t )
dy ( t )
+
+
...
+
+ a 0 y (t ) =
a
a
n −1
1
n
n −1
dt
dt
dt
d m u (t )
+ ... + b0 u ( t )
bm
m
dt
●
Admite-se sempre
m ≤ n
Operador derivativo
d n y (t )
d n −1 y ( t )
dy ( t )
+
+
...
+
+ a 0 y (t ) =
a
a
n −1
1
n
n −1
dt
dt
dt
d m u (t )
+ ... + b0 u ( t )
bm
m
dt
Definindo o operador
derivativo
p = d
dt
( p n + a n − 1 p n −1 + ... + a 1 p + a 0 ) y ( t ) =
( b m p m + ... + b1 p + b 0 ) u ( t )
Equação Geral Simplificada
( p n + a n − 1 p n − 1 + ... + a 1 p + a 0 ) y ( t ) = ( b m p m + ... + b1 p + b 0 ) u ( t )
D( p)
N ( p)
O resultado fica
D ( p) y (t ) = N ( p)u(t )
Operador do Sistema
D ( p) y (t) = N ( p)u(t)
N ( p)
y (t ) =
u (t )
D ( p)
y (t ) = L ( p )u (t )
L( p)
Operador do Sistema
m≤n
Sistema próprio
m=n
Sistema bi-próprio
m<n
Sistema estritamente próprio
Comportamento do sistema
●
Excitação nula
– Equação homogênea
– Condições iniciais nulas: permanece em repouso
– Condições iniciais não nulas: resposta natural
●
Excitação não nula
– Integral particular
– Resposta forçada
– Resposta completa: natural+forçada
Solução da Equação Diferencial
D ( p) y (t ) = N ( p)u(t )
Solução da equação homogênea
● Solução da equação particular
● Solução completa
●
Equação Homogênea
●
Equação diferencial
D ( p) y (t ) = N ( p)u(t )
●
Equação característica
D ( p) y (t) = 0
●
Polinômio característico
p n + a n − 1 p n − 1 + ... + a 1 p + a 0 = 0
Sistema mecânico de translacão
A figura abaixo apresenta um sistema
massa/mola/amortecedor, para o qual é aplicada
uma força u(t) e obtido como resposta o
deslocamento y(t).
K
c
m
y
u
Exemplo Lei de Newton
Aplicando-se a 2ª Lei de Newton, obtém-se a equação
diferencial do sistema
m&y& + cy& + ky = u
Aplicando o operador derivativo a equação fica
( mp 2 + cp + k ) y = u
Polinômio característico
Dividindo-se pela massa (para a eq. ficar mônica)
k
1
 2 c
 p + p + y = u
m
m
m

os seguintes polinômios são obtidos
N ( p)
L( p ) =
D( p)
1
N ( p) =
m
k
c
D( p) = p + p +
m
m
2
Visualização do operador
●
1
m
L( p ) =
c
k
p2 + p +
m
m
Esquema geral
K
c
m
y
u
objetivos
erro
atuação
Controlador
resultados
Planta
medição
Circuitos elétricos
Aplica-se as leis de Kirchhoff: das malhas e dos nós;
Aplica-se a lei de cada elemento: resistência,
capacitor e indutância.
Circuito RC:
+
+
R
vC(t)
C
-
v(t)
-
Solução do circuito RC
Aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas, obtém-se a
equação
v = vR + vC
considerando a lei de Ohm
e do capacitor
e notando que estão em série
vR = RiR
dvC
iC = C
dt
iR = iC
Continuação circuito RC
Levando em conta o operador derivativo
a segunda equação fica
iC = CpvC
Substituindo na lei das malhas, obtém-se
v = RCpvC + vC
Continuação RC
Conduzindo à seguinte EDG
1 
1

u
 p+
y =
RC 
RC

e respectivo operador do sistema
1
N ( p)
RC
L( p ) =
=
D( p) p + 1
RC
Visualização do operador
●
L( p ) =
1
RC
p+ 1
RC
1
m
L( p ) =
c
k
p2 + p +
m
m
R
K
+
+
c
vC(t)
-
objetivos
C
erro
m
y
-
v(t)
u
atuação
Controlador
resultados
Planta
medição
Sistemas Mecânicos Rotativos
Modelo de um pêndulo torcional
Considerando uma inércia associada a uma mola
torcional e um amortecimento viscoso
K
c
J
Exemplo Rotativo
Aplicando-se a 2ª Lei de Newton, obtém-se a
equação diferencial do sistema
J θ&& + c θ& + k θ = τ
Aplicando o operador derivativo a equação fica
( Jp 2 + cp + k )θ = τ
Polinômio característico
Dividindo-se pela inércia
k
1
 2 c
 p + p + y = u
J
J
J

os seguintes polinômios são obtidos
N ( p)
L( p ) =
D( p)
1
N ( p) =
J
k
c
D( p) = p + p +
J
J
2
Circuitos RLC
Aplicando-se a lei das malhas para o circuito abaixo
L
C
v(t)
+
+
R
vC(t)
-
-
obtém-se
v = vR + vL + vC
Solução do circuito RLC
Considerando a lei de Ohm, do capacitor
e do indutor
vR = RiR
dvC
iC = C
= CpvC
dt
diL
vL = L
= LpiL
dt
e notando que estão em série
iR = iC = iL
Continuação RLC
Substituindo na lei das malhas, obtém-se
v = RCpvC + LCp 2 vC + vC
com a EDG
e o operador
1 
1
 2 R
p
+
+
p
y
=
u


L
LC 
LC

1
N ( p)
LC
L( p ) =
= 2
D( p ) p + ( L ) p + 1
R
LC
Uso do Matlab
●
Definição de vetor e matriz
– usar exemplo MMA: m=1, c=1, k=25
– pc=[1 1 25]; t=0:0.05:4; rz=[-1 -2];
●
Processamento de raízes de polinômio
– r=roots(pc); pol=poly(rz);
●
Determinação da função seno e cosseno
– y=sin(t); z=cos(t);
●
Traçar gráficos de função
– plot(t, y,’r’, t, z,’b’)
– usar help comando