O que é permutação?
Série O que é
Objetivos
1. Discutir o significado da palavra
permutação no contexto da Matemática;
2. Apresentar os casos clássicos de
problemas de análise combinatória;
3. Apresentar o Princípio Fundamental da
Contagem.
O que é
permutação?
Série
O que é?
Conteúdos
Análise combinatória.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Discutir o significado da
palavra permutação no
contexto da Matemática;
2. Apresentar os casos clássicos
de problemas de análise
combinatória;
3. Apresentar o Princípio
Fundamental da Contagem.
Sinopse
Neste programa, o apresentador
discute com um convidado
especial, contando com algumas
participações de ouvintes, o
significado da palavra
permutação no contexto da
Matemática, e acaba por discutir
também as palavras arranjo e
combinação, sempre usando o
Princípio Fundamental da
Contagem como referência.
Material relacionado
Experimentos: De quantas
maneiras posso passar meu
cadarço? Táxi e combinatória;
Softwares: Geometria do táxi –
contagem;
Vídeos: De malas prontas.
Introdução
Sobre a série
A proposta da série “O que é?” é fazer uma discussão introdutória e
sem grandes aprofundamentos de alguns conceitos do currículo de
Matemática do Ensino Médio que contenham palavras “incomuns” fora
do contexto da Matemática, como logaritmo, baricentro, hipérbole,
etc.
A série simula um programa de entrevistas em uma rádio, na qual o
entrevistador apresenta a palavra que servirá de tema e chama um
convidado relacionado com Matemática para explicar o significado da
tal palavra. Nessa conversa, são discutidos significados dentro e fora
do contexto da Matemática, apresentada alguma aplicação daquele
conceito e, no final do programa, é feita uma sugestão de pesquisa ou
aprofundamento em torno do tema.
Devido a sua proposta, os programas desta série são mais
adequados para introduzir os conceitos discutidos. Outra possibilidade
é usá-los como tarefa, para que os alunos ouçam e, na aula seguinte,
iniciem com uma discussão sobre os significados da palavra em
questão.
Sobre o programa
Este programa começa discutindo a palavra permutação, mas
depois se estende até as palavras arranjo e combinação, que são os
três métodos clássicos de contagem.
Contudo, os três podem ser entendidos se tivermos clareza sobre o
Princípio Fundamental da Contagem:
Princípio Fundamental da Contagem: Se uma decisão d1 pode ser
tomada de n maneiras diferentes e uma decisão d2 de m maneiras
diferentes, sendo que uma decisão não interfere no número de
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maneiras de tomar a outra, então o número de maneiras de tomar as
decisões d1 e d2 consecutivamente é igual a m.n.
Tenha em mente que uma vez que o Princípio Fundamental da
Contagem seja entendido pelos estudantes, não é necessário decorar
uma fórmula para cada caso. Por outro lado, é importante que os
alunos saibam identificar, de acordo com o problema, as
características que deverão ser levadas em conta na hora de realizar os
cálculos, como a relevância ou não da ordem dos elementos, o total de
elementos disponíveis e os números de elementos que serão
considerados, a independência das decisões, etc.
Sugestões de atividades
Antes da execução
Uma possibilidade de atividade com os alunos em torno deste
áudio é pedir que eles escrevam em um papel qual o significado que
eles atribuem à palavra que será discutida antes e depois de ouvirem o
programa.
Essa pode ser uma boa maneira de conhecer melhor a formação
prévia dos seus alunos e, no final, o que eles entenderam daquilo que
ouviram.
Depois da execução
Depois da execução, sugerimos a resolução de exercícios
relacionados à análise combinatória, de preferência sem distinguir a
priori se eles tratam de arranjo, permutação ou combinação. Deixe que
seus alunos identifiquem os elementos importantes e realizem os
cálculos.
O primeiro capítulo de “Métodos de contagem e probabilidade” faz
uma abordagem dessa natureza sobre problemas de contagem e traz
exemplos e exercícios bem variados.
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Por fim, sugerimos um problema (não elementar) que não é
permutação, arranjo nem combinação.
Problema: em um supermercado, há cinco marcas de refrigerantes
disponíveis (todas com número suficiente de latas em estoque). Eu
quero comprar exatamente três latas. De quantas maneiras posso
fazer isso?
Resolução: Se você calcular o número de arranjos de 5 elementos 3
a 3, estará considerando a ordem das latinhas, o que não é relevante
para uma compra. Se você calcular o número de combinações de 5
elementos 3 a 3, estará apenas considerando os casos em que as 3
marcas escolhidas são diferentes. Por fim, permutação não fez sentido
neste problema por querermos apenas 3 elementos de um universo de
5 possibilidades.
Portanto, teremos que partir para outra estratégia. Nossa sugestão
é dividir em 3 casos:
Caso 1: 3 latinhas de marcas diferentes
Nesse caso, o número de possibilidades é igual a
5.4.3
= 10 .
3.2.1
Caso 2: 3 latinhas de marcas iguais
Nesse caso, o número de possibilidades é igual a 5, que é o
número de marcas disponíveis.
Caso 3: 2 latinhas de marcas iguais e 1 de marca diferente
Nesse caso, temos uma primeira decisão que é escolher a marca
das 2 primeiras latinhas, que admite 5 possibilidades, e uma segunda
decisão que é escolher a marca da última latinha, mas como ela deve
ser diferente da primeira marca, temos apenas 4 possibilidades. Como
a primeira e a segunda decisão têm efeitos diferentes não precisamos
nos preocupar com a ordem, portanto, o número de possibilidades
para esse caso é igual a 5.4 = 20 .
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Resposta: portanto, a resposta ao problema é
possibilidades.
10 + 5 + 20 = 35
O experimento De quantas maneiras posso passar o meu cadarço?,
disponível no portal www.m3.mat.br, também explora um problema
semelhante a este, que deve ser abordado com o Princípio
Fundamental da Contagem sem se encaixar em nenhum dos 3 casos
clássicos.
Sugestões de leitura
P. C. P. Carvalho (2009). Métodos de contagem e probabilidade. SBM.
Ficha técnica
Conteudista Leonardo Barichello
Revisão Samuel Rocha de Oliveira
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Jayme Vaz Jr.
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira
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