ANO 6 – Nº 06, AGOSTO 2015
Ano
Luiz Alberto Modesto Junior
Jorge Antônio Vaz Guerra
Neilo Marcos Trindade
06
n.
06
p.31-50
APLICAÇÃO DE MÉTODOS DE
SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
PARA PEQUENOS
EMPREENDIMENTOS
Faculdade de Engenharia e Arquitetura – FEA
Centro Universitário Nossa Senhora do Patrocínio
CEUNSP – Salto-SP
Adriana Petito de Almeida Silva Castro, Fernanda Otávia Dias A. Nascimento,
Alexandre Vergel Ferreira, Rogério De Marchi - ASFALTOS NA PAREDE
RevistaComplexus – Instituto Superior de Engenharia Arquitetura e Design –
Ceunsp, Salto-Sp, Ano. 02, N.3, P.23-28, Maio de 2011. Disponível Em:
www.engenho.info
1
ANO 6 – Nº 06, AGOSTO 2015
RESUMO
O artigo trata de um assunto além de necessário muito inovador, que é a necessidade de otimização constante.
Para transcrever sobre o assunto o mesmo foi embasado em um projeto piloto, que utilizou como matriz uma
barbearia de uma cidade do interior paulista. Todos os dados foram coletados e compilados e por fim aplicados
em um software de simulação. O artigo apresenta a interpretação e aplicações de ações corretivas, para um plano
de ação de otimização. Outro ponto importante do artigo é que no final do estudo temos um escopo de um produto
de consultoria pronto.
Palavras-Chave: Teoria das Filas. Simulação de Processos. Distribuição Probabilística.
1. INTRODUÇÃO
Conceitua-se Simulação de Processos como o desenvolvimento de modelos, de
base matemática, que imite as variáveis e restrições de um modelo real, visando obter eventos
sobre um determinado período de análise.
Para o desenvolvimento de modelos discretos para simulação de processos,
existem quatro grandes etapas (Planejamento, Modelagem, Experimentação e Tomada de
decisão). Na fase de Planejamento, realiza-se a formulação do problema alvo e cronograma
de atuação. Na fase de Modelagem, coleta os dados, tradução do modelo (no caso, software
ARENA). Na fase de Experimentação, os dados estatísticos de entrada e de saída do modelo
serão analisados. Por fim, na fase de Tomada de Decisão, são considerados os resultados e
determinada as possibilidades para otimização do modelo atual.
2. REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 Pesquisa operacional
Define-se como Pesquisa Operacional, o uso de metodologia científica e
fundamentada em base matemática, aplicada à tomada de decisão. Para tal auxílio na tomada
de decisão, são desenvolvidos sistemas, representando uma situação real, com o objetivo e
restrições explícitas, visando melhor desenvolvimento do sistema, isto é, obtendo o melhor
resultado frente às restrições apontadas.
Conforme Da Silva et al (1998) e Moreira (2010), as fases características no estudo de
Pesquisa Operacional são:
• Determinação do problema a ser analisado;
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• Desenvolvimento do modelo matemático;
• Resolução do modelo desenvolvido;
• Validação do modelo e resolução;
• Controle das variáveis significativas do modelo;
• Implementação da solução do modelo analisado.
2.2 Teorias das filas
Conceitua-se a Teoria das filas como um ramo da Pesquisa Operacional que visa
estudar os fenômenos relacionados a problemas de congestionamento (filas) de sistemas e
suas respectivas dinâmicas.
Através das análises desenvolvidas, é possível estimar importantes medidas de
desempenho, permitindo dimensionar um sistema segundo a demanda dos clientes, evitando
desperdícios e gargalos.
Define-se fila como acumulo de elementos como pessoas, peças, dados, entre
outros tipos, que aguardam a liberação de servidor.
Na figura 1, caracteriza os elementos de um fila:
Figura 1 – Elementos de uma fila
Fonte: Autor
A população trata-se da origem de elementos (clientes). A população pode ser
definida como infinita ou finita. Parreira (2010) define que a população infinita pressupõe ser
tão grande que sempre haverá possibilidade de um ou mais usuários chegarem para serem
atendidos, gerando eventos independentes. Quanto à população finita consiste de um número
contável de usuários potenciais, gerando eventos interdependentes.
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O cliente trata-se dos elementos de entrada em um sistema, de origem da
população. De acordo com o número de servidores, bem como o desenvolvimento e agilidade
das atividades nestes, existe o acúmulo de elementos aguardando o processamento do
servidor (fila).
A geração de uma fila é um fator que em determinadas situações, inevitáveis para
um sistema. Para um gerenciamento consciente de uma fila, devem ser feitas as análises nos
seguintes aspectos:
•
Área para alocação da fila;
•
Atendimento prioritário ou preferencial (exemplo: gestantes e idosos);
•
Quantidade de postos de atendimento (servidores);
•
Investimentos para redução das filas geradas.
Moreira (2010) descreve que para uma estrutura de uma fila, conceitua os
seguintes processos envolvidos conforme apresentado na figura 2:
Figura 2– Etapas envolvidas em uma fila – Fonte: Moreira (2010)– adaptado.
Considera-se como processo de chegada, a representação do ritmo em que os
clientes entram a um sistema. A métrica responsável para avaliação deste ritmo é a taxa de
chegada (λ), determinado pela unidade de elementos de entrantes no sistema em razão de
tempo, isto é, um processo estocástico.
Moreira (2010) determina dois grandes grupos que caracterizam o comportamento
da chegada: determinístico (taxa de chegada é igual em determinado intervalo de tempo) e
probabilístico (a taxa de chegada ocorre independente de chegadas anteriores e também não
influenciará nas chegadas futuras (“sem memória”)).
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Para este trabalho, será adotado o comportamento probabilístico através da
distribuição de Poisson.
Define-se a distribuição de Poisson, como uma distribuição probabilística contida
no grupo de variáveis aleatória discretas, isto é, uma função real (assume valores em ℝ)
definida no espaço amostral de um experimento.
Define-se então a distribuição de Poisson, conforme seguinte equação abaixo:
(1)
Onde:
λ = Taxa de chegada de clientes ao sistema (número de elemento por um intervalo
de tempo);
e = base do logaritmo neperiano (2,718281828);
x! = fatorial de x;
x = número natural (de 1 à x).
A disciplina de chegada em uma fila é a regra adotada pela fila para seleção e
atendimento aos clientes. A regra mais comum para disciplina de chegada é o FCFS (First
Come – First Serve), do qual apresenta o mesmo conceito do FIFO (First In – First Out).
Porém, vale ressaltar a existência de outras regras como LCFS (Last Come – First Served),
Menor tempo de processamento (MPT), Triagem, Randômica e Priorização.
Moreira (2010) cita que adoção da regra para disciplina da fila varia de acordo
com o tipo de sistema aplicado. Um exemplo a ser citado é que a regra utilizada em hospitais
não pode ser aplicada a uma fila de peças em uma empresa e vice-versa.
Define como a taxa de atendimento (µ), o tempo de atendimento utilizado para o
processamento de uma atividade aos clientes por um período de tempo.
A distribuição probabilística de aplicação da taxa de atendimento (µ) para
problemas de filas é a distribuição exponencial.
A distribuição Exponencial é uma distribuição continua de probabilidade, isto é, de
possibilidade de eventos constantes, calculando as probabilidades para certo tempo e espaço
entre eventos sucessivos, ocorrendo em um processo de Poisson.
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Mirshawka (1987) descreve que determinando a variável aleatória T representa
os tempos entre chegadas. Para isto, tem-se a função de distribuição:
para
≥0
(2)
e
para ≥ 0
(3)
D.G. Kendall (1953) desenvolveu uma notação, que classifica as três
características de um modelo de fila. A. Lee (1966) acrescentou mais duas características
nas classificações das filas. E por fim, H.A. Taha (1976) inseriu a sexta característica para
classificação das filas.
A notação completa é composta pelos estágios A / B / c / K / N /Z, a saber:
A – Distribuição das chegadas ou entre chegadas;
B - Distribuição dos tempos de processamento;
c - Número de Servidores;
K – Capacidade do Sistema, isto é, máximo comprimento de fila ou tamanho de
buffer;
N - Tamanho da População;
Z – Disciplina da Fila.
Os códigos utilizados para definir a característica A e B, seguem abaixo:
M – A taxa de chegada (λ) ao sistema seguindo a lei de Poisson (modelo
Markoviano) ou taxa de atendimento (µ) conforme distribuição exponencial;
D – Tempo entre chegadas ou atendimentos conforme distribuição determinística;
Ek – Distribuição entre chegadas ou tempos de atendimentos seguindo Erlang
com parâmetro k ou distribuição gama;
GC – Distribuição de chegada geral independente (ou tempos entre chegadas);
Hk – Distribuição Hiperexponencial, com o parâmetro k;
G – Distribuição geral de partidas (tempos de serviços);
O estudo de caso analisado nesta pesquisa, é de característica M/M/1 / 7 / ∞ / FCFS.
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Caracterizam-se o modelo de sistema M/M/1, os seguintes aspectos:
.. λ = taxa de chegada ao sistema conforme a distribuição de Poisson;
.. µ = taxa de atendimento ao sistema dada a distribuição Exponencial;
.. Disciplina de chegada conforme FCFS (ou FIFO);
.. População de clientes infinita;
.. Fila de comprimento infinito;
Como citado no tópico anterior, à fila M/M/1 é classificada como um dos modelos
Markoviano, conhecido como Processo de Nascimento e Morte.
Com base neste nos Processos de Nascimento e Morte de Markov, determina-se
os seguintes conceitos:
Fator de utilização de um sistema:
(4)
Destaca duas condições elementares, para interpretação dos valores de ρ:
• ρ< 1 : Condição de estabilidade do sistema;
• ρ> 1: O sistema está instável e a fila tende a crescer infinitamente.
Com base no fator de utilização, desdobra-se para análise da fila M/M/1:
• Probabilidade de que o sistema esteja ocioso:
(5)
• Probabilidade de n clientes presentes no sistema:
(6)
• Número médio de clientes no sistema:
(7)
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• Número médio de clientes na fila:
(8)
Conforme Mirshawka (1987) destaca que se define como fórmula de Little, a
seguinte equação:
(9)
Com base nesta equação, desdobra-se para outros dois importantes parâmetros
para fila M/M/1:
• Tempo médio de espera, de um cliente no sistema:
(10)
• Tempo médio de espera, de um cliente na fila:
(11)
• Número médio de clientes na fila (LQ) e tempo médio de espera do cliente na
fila (W Q):
(12)
• Tempo médio de espera do cliente em fila (W Q) e o tempo médio gasto no
sistema (W S):
(13)
• Número médio de clientes no sistema (LS) e o tempo médio gasto por cliente
no sistema (W S):
(14)
• Número médio de clientes na fila (LQ) e o número médio de clientes no sistema
(LS):
(15)
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3. SIMULAÇÃO
Considerando as definições apresentadas por Moreira (2010), Freitas (2001) e
Santos (1999), conceitua-se como Simulação como modelagem de um sistema/processo,
com características mais similares do processo/sistema real sob um intervalo t de tempo,
buscando através de este modelo analisar, compreender o comportamento do sistema real.
Consideram-se como vantagens para a aplicação da simulação:
• A possibilidade da análise dos elementos envolvidos no sistema, bem como
motivo de determinados fenômenos que podem afetar o bom funcionamento.
• O número de testes, bem como modificação de arranjos físicos na simulação,
sem nenhuma modificação no sistema real;
• Análise “e se” pode ser respondida, sendo muito útil no desenvolvimento de
projeto de processos;
• Através da simulação, é possível realizar estudos de redução de custos
financeiros no desenvolvimento de projetos, trazendo ganhos e benefícios. Os custos destas
análises são insignificantes se comparado com os benefícios;
• A facilidade de aplicação de simulação é maior, se comparado com os métodos
analíticos.
As desvantagens para a aplicação da simulação compõem nos seguintes
elementos:
• A modelagem e interpretação dos dados obtidos através da simulação requerem
pessoal altamente treinado. O tempo e a experiência dos analistas são fundamentais, para o
amadurecimento da técnica.
• A montagem de modelos para serem aplicados em simulação, consome um
tempo muito grande. A construção de modelos sintetizados, pode levar a resultados
insatisfatórios e imprecisos. Em determinadas situações, a aplicação de métodos analíticos é
mais adequado, do que a modelagem de sistemas.
Freitas (2001) considera que os modelos de simulação apresentam características
específicas, classificando em seguinte aspecto:
Modelos voltados para previsão
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Este modelo pode ser utilizado para prever o estado de um sistema em algum
ponto no futuro, baseado com seu comportamento atual e de como continuará se
comportando ao longo do tempo t.
Modelos voltados à investigação
Modelos desenvolvidos no intuito de busca de informações e ao desenvolvimento
de hipóteses sobre o comportamento do sistema. Para tal obtenção de dados, são
inseridos dados de entrada (estímulos) e avalia os sinais de saída, seja ele normal
ou anormal.
Modelos voltados à comparação
São modelos onde são geradas várias rodadas, com determinadas variáveis de
controle, cabendo ao analista avaliar os efeitos desta variação.
Simulação Manual
Para o desenvolvimento de uma simulação manual, inicia-se com a coleta dos
dados de um evento analisado. O agrupamento destes dados se dá através da
formação de histograma.
Para determinação das classes, utiliza-se a fórmula de Sturges:
n (K) = 1+3,3log n (16)
Onde n é o número de informações.
Após adequação das classes, realiza-se a contagem dos elementos contidos em
cada intervalo, conhecida como frequência absoluta:
(17)
Através da frequência absoluta (contagem por classe), cria-se uma nova coluna
denominada como frequência relativa, onde é determinada a participação da quantidade
analisada em relação ao montante:
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ANO 6 – Nº 06, AGOSTO 2015
(18)
Vale citar que a somatória de fri deve ser igual à 1:
(19)
Com a formação das frequências relativas, determina-se a frequência relativa
absoluta, para início das atividades de simulação. Define-se a condição relativa acumulada é
a somatória da relativa da i-ésima classe com as frequências relativas das classes anteriores,
seguindo o conceito da equação (19).
Na figura 3, apresenta um exemplo de tabulação, dividida por classes, ponto
médio da classe e a frequência.
Classes
0
6
11
16
21
26
31
36
41
a
a
a
a
a
a
a
a
a
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Ponto
Médio
2,5
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
Frequencia
0,35
0,19
0,19
0,13
0,03
0,07
0,01
0,02
0,01
Tabela de Classes
Fonte: Freitas (2001).
Com posse dos dados relacionados à frequência relativa e relativa absolutas,
nota-se que para um dado evento, é possível n possibilidades entre 0 e 1. Entende-se então,
a necessidade da aleatoriedade, para uma melhor simulação da situação real.
Freitas (2001) cita que existe vários meios de gerar aleatoriedade necessária para
simulação manual, tais como sorteios de números através de urnas, tabelas padronizadas e
geradores de números aleatórios (GNA).
Freitas (2001) analisa que a aplicação de simulação manual apresenta limitações
e que os resultados obtidos através destes devem ser analisados com cuidado, visto que o
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número de elementos adotados para simulação manual é muito pequeno para tal tomada
decisão.
Fatores como variabilidade dos dados e pequena quantidade de elementos
simulados são os principais fundamentos que influenciam para tomada de decisão com
elementos analisados.
Para aperfeiçoar o uso destes recursos de simulação, bem como minimizando os
impactos de poucas rodadas de simulação, adota-se a utilização de simulação através de
microcomputadores.
Com avanço tecnológico nas últimas técnicas, a utilização do microcomputador
para auxiliar em resolução de modelos matemáticos é muito frequente. Modelos matemáticos
de alta complexidade são resolvidos com o auxílio das ferramentas de informática, permitindo
que haja significativos avanços no meio científico.
Este desenvolvimento também inclui ações na área e em softwares de auxílio à
simulação. Classifica a existência de quatro tipos de softwares de simulação:
•
Planilha de Software ou Planilha Eletrônica;
•
Linguagens de Programação genérica;
•
Linguagem de Simulação específica;
•
Simuladores orientados a aplicações (ou simuladores).
Foram utilizados 2 tipos de softwares como apoio no desenvolvimento dos
modelos: Microsoft Excel (Planilha Eletrônica) e software ARENA (Linguagem de Simulação
Genérica).
4. MÉTODOS DE PESQUISA
A pesquisa foi desenvolvida sob aspecto exploratório, visando desenvolver e
propor soluções ao empresário, frente aos problemas apresentados, conforme os parágrafos
a seguir deste tópico. O estudo de caso trata-se de uma barbearia localizada na região
sudeste da cidade de Salto/SP. O estabelecimento tem uma média de 400 cortes de cabelos
/ mês. O estabelecimento fica aberto ao público, todos os dias da semana, exceto as terçasfeiras.
O público alvo da barbearia é exclusivamente o masculino e tem como uma
margem de lucro aproximadamente de 472%, frente aos custos de manutenção da barbearia.
Por fim, a jornada adotada pelo empresário é realizada das 8h30 até 19h30, com a parada de
1 hora de almoço, gerando como período útil de 10 horas diárias.
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Com base nos passos na formulação de um estudo envolvendo simulação
proposto por Freitas (2001), as etapas da análise utilizadas neste trabalho seguiram o modelo
da figura 4:
Figura 4 –Sequência de atividades
desenvolvidas para o estudo
Fonte: Freitas (2001) –adaptado
Com base nos aspectos coletados com o proprietário, os problemas que foram
abordados são:
•
Analisar as filas com base em observações coletadas na semana de trabalho;
•
Modelar sistema avaliando os intervalos de agendamento, bem como os
atrasos dos clientes.
Após a análise dos problemas citados, tem como objetivo, a obtenção de
sugestões e possíveis oportunidades de melhoria no processo.
5. RESULTADOS
Inicialmente, foi coletado uma da agenda mensal de trabalho e analisado o volume
de clientes / dia da semana.
Dias da Semana
Número de Clientes
Média Semanal
DOM
33
8,25
SEG
39
9,75
TER
0
0
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QUA
50
10
QUI
42
8,4
SEX
51
12,75
SAB
100
25
Tabela 1 – Quantidade de clientes recebidos na barbearia – Fonte: Autor
É possível uma ascendência de clientes, no período entre quarta a sábado, onde
fluxo de chegada pode acentuar e assim, em determinadas situações, gerar filas.
O empreendimento (barbearia) apresenta um posto de trabalho fixo, onde os
cortes de cabelo são realizados e mais sete cadeiras utilizadas como ponto de espera aos
clientes. Com base nas análises iniciais, a sistemática utilizada para obter os indicadores de
fila, bem como a notação do sistema será M/M/1.
Após a coleta dos dados, foram tabulados calculados os indicadores de chegada
e processamento, conforme descrito na tabela 2.
Dias da Semana
Número de
Observações
λ
µ
Domingo
30
21,70
18,53
Segunda-feira
27
36,00
22,93
Quarta-feira
29
49,17
19,52
Quinta-feira
29
29,97
21,48
Sexta-feira
35
45,34
20,14
Sábado
63
22,43
24,54
Tabela 2 – Dados de chegada e processamento do período analisado – Fonte: Autor
Após isto, o próximo adotado foi o fluxograma do processo (figura 5), através do
Software ARENA.
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Figura 5 – Fluxo do Processo da Barbearia – Fonte: Autor
Com o processo desenvolvido, serão replicados por 6 vezes, cada dia da semana
trabalhada do empreendimento, no intuito de verificar as variações apresentadas entre as
replicações.
O primeiro dado analisado, com base nas simulações realizadas foi à taxa de
ocupação do barbeiro. Na figura 6, apresenta a taxa média de ocupação da barbearia.
Figura 6 – Taxa de Ocupação da Barbearia – Fonte: Autor
Este dado foi obtido através do conceito WIP (Working In Process). Conceitua-se
WIP como termo em inglês que designa material em processamento em aguardo ou
processamento no posto de trabalho.
Na tabela 3, apresenta o valor médio do WIP gerado nos modelos analisados.
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Dias da Semana
Médio
Ponto Máximo
Segunda-feira
0, 984
5
Quarta-feira
0, 606
3
Quinta-feira
1, 429
6
Sexta-feira
0, 706
3
Sábado
4, 139
12
Domingo
1, 545
5
Tabela 3 – WIP no processo analisado – Fonte: Autor
Com os valores de WIP, para chegarmos à fila máxima do sistema é necessário
utilizar a seguinte equação:
− 1 (20)
max =
Outro fator analisado é o tempo de permanência do cliente nas filas. Na tabela 4,
consta o tempo médio de espera na fila:
Dias da Semana
Médio
Segunda-feira
0,33h (19,8 min.)
Quarta-feira
0, 010 h (0,6 min.)
Quinta-feira
0,33h (19,8 min.)
Sexta-feira
0, 070 h (4,2 min.)
Sábado
1,21h (72,6 min.)
Domingo
0, 263h (15,8 min.)
Tabela 4 – Tempo médio de espera na fila – Fonte: Autor
Verifica-se que a condição do sábado é crítica, visto que o cliente para o corte
deve aguardar em média 72 minutos, aproximadamente. Com os dados obtidos, o tempo em
sistema, isto é, a permanência do cliente no estabelecimento. Defini o tempo em sistema,
como a seguinte equação:
=
+
(21)
Com os dados coletados, chegaram-se as seguintes informações (tabela 5):
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ANO 6 – Nº 06, AGOSTO 2015
Tempo médio de
Dias da Semana
µ
Segunda-feira
22,93
19,8
42,73
Quarta-feira
19,52
0,6
20,12
Quinta-feira
21,48
19,8
41,28
Sexta-feira
20,14
4,2
24,34
Sábado
24,54
72,6
97,14
Domingo
18,53
15,8
34,33
Espera
Tempo total no sistema
Tabela 5 – Tempo total no sistema – Fonte: Autor
Para fins de comparação, foram feitos os cálculos manuais, com base nos dados
de sábado, conforme descrito na tabela 6.
Tabela 6 – Indicadores da fila calculado – Fonte: Autor
A próxima análise realizada foi utilizando o tempo ideal para chegada (λ) (Tabela
7) e processamento (µ) de 20 minutos (Tabela 8)
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DE SIMULAÇÃO DE PROCESSOS PARA PEQUENOS EMPREENDIMENTOS REVISTA COMPLEXUS – FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA –
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Tabela 7– Número de clientes em fila sobre a condição de chegada ideal – Fonte: Autor
Tabela 8– Número de clientes em fila sobre a condição de processamento ideal – Fonte: Autor
6. CONCLUSÃO
Frente aos dados e resultados apresentados neste estudo, pode-se definir que o
dia de maior criticidade ao empresário é o sábado. Devido à taxa de chegada (λ) ser menor
do que o tempo de processamento (µ), resultando na formação da fila. Também, em um
determinado período no sábado, que o estabelecimento pode receber uma quantidade
superior a 10 clientes, não havendo cadeiras suficientes para acomodar os clientes. Por fim,
o tempo total de sistema, isto é, o tempo de entrada do cliente no salão até saída do cliente,
é de 1hora e 27 minutos, gerando aborrecimentos e desistência do corte de cabelo do cliente
são presentes, assim como a perda do cliente para outros prestadores de serviços.
Diante deste quadro e atendendo as perspectivas iniciais apresentadas, foram
apresentadas as seguintes sugestões ao empresário:
Priorização na redução do tempo de corte cabelo, realizado no sábado, tendo
como meta ideal, 20 minutos, através ações ligadas à organização dos equipamentos
utilizados durante o processamento. Uma técnica que foi explanada ao mesmo, foi à
metodologia 5S, que se baseia na organização e padronização.
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Outro aspecto importante, quanto aos atrasos realizados pelos clientes. Durante
a análise na semana (segunda-feira à sexta-feira), é possíveis “encaixes” dos clientes
atrasados, sem consequência aos demais clientes agendados, porém ao sábado e domingo,
recomenda-se que os clientes atrasados sejam remanejados, para que não afete os demais
clientes. Foi apresentada uma alternativa de remanejo para horas além do expediente, devido
ao custo hora dos encargos do salão, serem baixos (R$2,92 / hora) frente ao faturamento do
corte de cabelo (R$ 15,00).
A aplicação deste trabalho pode ser extensiva às aplicações ligadas à área
logística (dimensionamento e análise de recebimento de caminhões, aviões, navios sob uma
determinada agenda ou ocupação de uma área), áreas hospitalares (atendimentos de
pacientes) e aplicações industriais (alimentação e dinâmica de células de produção).
7. REFERÊNCIAS
BARNES, Ralph M. Estudo de Movimentos e de Tempos: Projeto e Medida do Trabalho. 5ª.
Edição. São Paulo: Edgar Blüncher, 1963
DA SILVA, Ermes Medeiros et al. Pesquisa Operacional. São Paulo: Atlas, 1998.
FREITAS Filho, Paulo José de. Introdução à Modelagem e Simulação de Sistemas – com
Aplicações em Arena. Florianópolis: Visual Books, 2001.
LAS CASAS, Alexandre Luzzi. Qualidade Total em Serviços – Conceitos, Exercícios e Casos
Práticos. São Paulo: Atlas, 2007.
MARANHÃO, Mauriti; MACIEIRA, Maria Elisa Bastos. O Processo nosso de cada dia –
Modelagem de Processos de Trabalho. 3ª. Edição. Rio de Janeiro: Qualitymark, 2004.
MARTINS, Petrônio G. LAUGENI, Fernando P. Administração da Produção. 2ª. Edição. São
Paulo: Saraiva 2005.
MIRSHAWKA, Victor. Pesquisa Operacional – Vol.2. São Paulo: Nobel, 1987.
MOREIRA, Daniel Augusto. Pesquisa Operacional: Curso Introdutório. 2ª. Edição. São Paulo:
Cengage Learning, 2010
PARAGON – Introdução à Simulação com Arena – PARAGON Consulting Solutions, 2006.
SANTOS, Mauricio dos. Introdução à Simulação Discreta. Rio de Janeiro: Universidade do
Estado do Rio de Janeiro, 1999.
SLACK, Nigel et al. Administração de Produção. 2ª. Edição. São Paulo: Atlas, 2002.
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