Universidade Federal de Viçosa
Departamento de Matemática
III Semana Acadêmica de Matemática
Comissão Organizadora:
Ariane Piovezan Entringer
Fernanda Moura de Oliveira
Gláucia Aparecida Soares Miranda
Luciana Maria Mendonça Bragança
Marli Regina dos Santos
Rogério Carvalho Picanço
Discentes:
Aline Jaqueline de Oliveira Andrade
Diego Vieira Trindade
Hugo Alves Marinho
Isadora Maria Miranda Guedes
Jady Karina de Viveiros Carvalho
Lucas Coelho da Silva
Neemias Silva Martins
Nivaldo Guilherme Martins Silá
Rafael Toledo Amorim
Comitê Cientı́fico:
Anderson Luis Albuquerque de Araújo - UFV
Catarina Mendes de Jesus - UFV
Frederico da Silva Reis - UFOP
Mário Jorge Dias Carneiro - UFMG
Olı́mpio Hiroshi Miyagaki - UFJF
Viçosa, 05 a 07 de novembro de 2015.
2
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
3
¨
Conteúdo
Minicursos
7
Algumas Possibilidades do Uso do GeoGebra nas Aulas de Matemática
Fontes, B. C., Mello, C. N., Braga, L. e Albino, T. S. L.
11
Introdução às equações diferenciais parciais
Melo, J. L. F.
11
Grupo de matrizes na geometria plana
Moraes, S. M.
12
Um curso focado em Atividades Matemáticas para Deficientes Visuais
e Surdos
Segadas, C.
12
Matemágicas: a arte de envolver os alunos
Toledo, R. V. F.
13
Algumas coisas que aprendi com história da matemática
Tomei, C.
Comunicações Cientı́ficas
13
15
Um ensaio sobre a Educação Matemática e as Novas Tecnologias
Albino, T. S. L.
17
Análise da equação de difusão não-linear com potências fracionárias
do laplaciano via grupo de renormalização
Alves, N.
19
O Algoritmo de McEliece e a Criptografia Pós-Quântica
Andrade, A. J. O.
21
4
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Um estudo acerca do perfil dos estudantes dos cursos de Licenciatura
do Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade
Federal de Viçosa-MG
Nascimento, M. P.
23
Perspectivas de Psicologia Cognitiva e de Educação no Processo de
Resolução de Problemas Matemáticos: estudo correlacional
Rocha, M. S.
26
Pesos e Medidas Usuais no Vale do Jequitinhonha e Norte de Minas
Santos, V. G.
Relatos de Experiência
28
31
Atividades diferenciadas de Matemática para o Ensino Fundamental
I e II e Ensino Médio: Um relato de Experiência
Brasiel, M. E. C. P.
33
A atuação do Projeto de extensão “Matemática para a vida: criando
um novo cenário para o ensino-aprendizagem”na Escola Estadual
Antônio Moreira de Queiroz.
Carmo, M. A.
36
Semana de Matemática na Escola Estadual Antônio Carlos: Formação
de Professores e Transformação da Comunidade Escolar
Ferreira, G. F.
38
Capacitação para a prova da OBMEP
Martins Júnior, J. A.
40
Brincando com a Matemática: Um auxı́lio ao ensino-aprendizagem
da Matemática para o 6o e 7o anos do Ensino Fundamental das
escolas públicas do municı́pio de Diamantina-MG através dos jogos
matemáticos
Santos, D. R.
43
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
5
A Tecnologia como Ferramenta de Ensino da Matemática
Silva, E. A.
45
A criação de jogos matemáticos no PIBID- UFJF e sua aplicação nas
aulas de Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental
Valentim, M. A.
Pôsteres
47
51
Algumas Aplicações de Equações Diferenciais Ordinárias
Alves, D. N. S.
53
O número de reprodutibilidade basal em um modelo compartimental
de Tuberculose com falha no tratamento
Assis, D. F.
54
Matemática sob o olhar do surdo
Costa, J.
56
Teorema Global de Quine em Teoria de Singularidades
Costa, M. D. V.
57
Aprendendo matemática com materiais alternativos
Gomes, J. V.
59
Introdução à Análise Funcional e Aplicações
Guimarães, R. M. M.
61
Dinâmica de Difeomorfismos do Cı́rculo
Nascimento, R. F. D.
64
Grupos de Matrizes
Neto, S. C.
66
A construção dos números: Dos naturais aos reais
Oliveira, A. P.
67
6
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Dispor ou não as fórmulas matemáticas durante avaliação da
aprendizagem? Dilema em Sala
Pereira, A. J.
Uma abordagem complexa:
70
Os Teoremas de Cauchy, Liouville e
Morera
Rocha, M. R. V.
72
Cantor e Lioville: A existência dos números transcendentes
Sa, G. C.
74
A matemática e a economia de água
Santos, F. L.
76
Modelagem matemática do sistema imune humano: estado da arte
Santos-Moraes, C. G.
78
Sistemas de Raı́zes e seus Grupos de Weyl
Silva, C. C.
80
Aplicações do Teorema Central do Limite
Soares, D. J. M.
81
Frações Contı́nuas: Transformação de Gauss
Sorice, L.
83
Tratando a informação: uma abordagem matemática e social
Trindade, D. V.
85
As ações do pibid/matemática presencial e suas implicações na
comunidade escolar
Valentim, M. A.
87
Introdução a Equações Dinâmicas em Escalas Temporais
Werneck, E. M.
89
III Semana Acadêmica de Matemática
Minicursos
8
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
9
Relação de Minicursos
MC1 Origami - Profa . Caroline Mendes dos Passos (DMA/UFV)
MC2 Construções de aplicações entre variedades - Profa . Catarina Mendes
de Jesus (DMA/UFV)
MC3 Iniciação à Astronomia e visão geral do universo: como os vemos o
universo fı́sico que nos cerca - Prof. Orlando Pinheiro da Fonseca Rodrigues DPF/UFV.
MC4 Introdução às equações diferenciais parciais - Profa . Jéssyca Lange
Ferreira Melo Gurjão - DMA/UFV.
MC5 Matemágicas: a arte de envolver os alunos - Profa . Rogéria Viol Ferreira
Toledo - DMA/UFV.
MC6 Algumas coisas que aprendi com história da matemática - Prof. Carlos
Tomei - PUC-Rio.
MC7 Um curso focado em Atividades Matemáticas para Deficientes
Visuais e Surdos - Profa . Cláudia Segadas Vianna - UFRJ.
MC8 Grupo de matrizes na geometria plana - Profa . Simone Maria de Moraes
- UFBA.
MC9 Geometria de órbitas adjuntas via exemplos - Prof. Lino Anderson da
Silva Grama - IMECC/UNICAMP.
MC10 Algumas Possibilidades do Uso do GeoGebra nas Aulas de
Matemática - Profa . Bárbara Cunha Fontes (UFV), Cristiane Neves Mello (UFV),
Lahis Braga Souza (UNESP), Thais Sena de Lanna Albino (UFJF).
MC11 Educação Financeira - Prof. Marco Aurélio Kistemann (UFJF) e Prof.
Reginaldo Britto (PJF).
10
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
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Algumas Possibilidades do Uso do GeoGebra nas Aulas de Matemática
Bárbara Cunha Fontesa , Cristiane Neves Mellob , Lahis Braga Souzac e
Thais Sena de Lanna Albinod
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. Email [email protected]
b Estudante de Graduação em Matemática. Universidade Federal de Viçosa - UFV. Viçosa - MG.
c Estudante de Mestrado em Educação Matemática. Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho UNESP - Rio Claro - SP.
d Estudantes de Mestrado Profissional em Educação Matemática. Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF MG.
Neste minicurso serão realizadas atividades com o software GeoGebra, envolvendo
conteúdos de Matemática do Ensino Fundamental II. O público-alvo são professores
e futuros professores de Matemática, que tenham conhecimentos básicos sobre o
GeoGebra e gostariam de aprimorar seus conhecimentos sobre este software. Serão
abordadas atividades para o ensino da Matemática, focando nos seguintes conteúdos:
Teorema de Pitágoras, Simetria, Polı́gonos, Trigonometria, dentre outros. Partindo
disto as atividades que trabalharemos no curso são exploratórias e investigativas e
foram elaboradas pensando na prática do professor e do futuro professor do Ensino
Fundamental II.
Introdução às equações diferenciais parciais
Jéssyca Lange Ferreira Melo Gurjão
a
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. Email [email protected]
Nesse minicurso pretendemos definir e classificar alguns tipos de equações
diferenciais parciais, e apresentar um problema fı́sico modelado por uma EDP. No
caso especı́fico de equações de 2a ordem do tipo elı́ptico, daremos uma noção do
método variacional. Pré-requisito: Cálculo III.
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Grupo de matrizes na geometria plana
Simone Maria de Moraesa
a
Universidade Federal da Bahia. Avenida Adhemar de Barros Ondina. CEP 40170110 - Salvador, BA.
A proposta deste minicurso é apresentar uma interface entre Álgebra e Geometria
utilizando matrizes, um conceito básico da Álgebra Linear. Iniciamos com uma
sucinta descrição histórica do conceito de Grupo, da Álgebra Abstrata, e de
transformações geométricas, da Geometria. Em seguida introduzimos os principais
grupos de matrizes utilizados na Geometria Plana e as isometrias planas, que são
transformações geométricas que preservam a distância entre dois pontos, assim como
os grupos associados a elas. Finalizamos apresentando o Teorema de Classicação das
Isometrias Planas e alguns exemplos de grupos especiais associados as isometrias,
tais como os grupos de rosáceas, os grupos de tas e os grupos cristalogracos. A
expectativa é que a abordagem adotada propicie ao estudante a compreensão do
conceito de Grupo e sua interpretação geométrica na Geometria Plana.
Um curso focado em Atividades Matemáticas para
Deficientes Visuais e Surdos
Cláudia Coelho de Segadas Viannaa
a
Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matematica. Caixa Postal 68530. Ilha do Fundão. CEP
21945-970 - Rio de Janeiro, RJ.
Apresentaremos nesta oficina algumas atividades de matemática que foram
adequadas para deficientes visuais e surdos, mostrando as adaptações realizadas
e recursos didáticos utilizados. Temos como intenção sensibilizar o licenciando ou
professor para as especificidades de cada grupo. Buscamos também, através dos
exemplos, inspirá-lo para a criação de novos recursos.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
13
Matemágicas: a arte de envolver os alunos
Rogéria Viol Ferreira Toledo
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. [email protected]
Esse minicurso pretende deixar sua contribuição aos estudantes de licenciatura e
aos professores de Ensino Básico desenvolvendo algumas brincadeiras que envolvem
geometria, topologia geométrica e lógica. Almeja-se, assim, mostrar alternativas
de ensino-aprendizagem de matemática, tornando as aulas mais prazerosas, além
de fornecer aos participantes propostas de atividades matemáticas com elementos
lúdicos, aliando o prazer ao ato de aprender.
Algumas coisas que aprendi com história da matemática
Carlos Tomeia
a
Pontifı́cia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Centro Técnico-Cientı́fico, Departamento de Matemática. Rua
Marquês de São Vicente, 225 Gávea. CEP 22453-900 - Rio de Janeiro, RJ.
Existem várias abordagens para um curso de História da Matemática. A que estou
seguindo esse semestre me deixou especialmente satisfeito. Vou falar um pouco da
experiência, alternando entre aspectos metodológicos e exemplos.
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III Semana Acadêmica de Matemática
Comunicações Cientı́ficas
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
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Um ensaio sobre a Educação Matemática e as Novas Tecnologias
Albino, T. S. L.a , Kistemann Jr, M. A.b
a
Aluna do Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF, Minas
Gerais, Brasil. E-mail: [email protected]
b Professor Adjunto 3 do Departamento de Matemática (UFJF), do Programa de Mestrado Profissional em
Educação Matemática (UFJF) e do Programa de Mestrado Profissional em Gestão e Avaliação da Educação Pública
(CAED/UFJF). Email: [email protected]
Nos últimos anos, as discussões em torno do processo de ensino e aprendizagem
de matemática ganhou muita força com o aparecimento de novas tendências em
Educação Matemática e aperfeiçoamento das já conhecidas.
O uso das Novas
Tecnologias de Informação e Comunicação (NTIC) como ferramentas educacionais
já é um tema discutido por diversos autores e pesquisadores da área, devido à
necessidade do professor aproximar os conteúdos da realidade vivida pelos alunos.
Diante do grande avanço tecnológico, as formas de vida e de trabalho das pessoas
foram mudando e tendo que se adaptar a uma nova geração, pois as tecnologias
fazem parte do nosso cotidiano e “[...] estão tão próximas e presentes que nem
percebemos mais que não são coisas naturais” (KENSKI, 2007, p. 24). Como
ressalta Lyotard (1988 e 1993 apud KENSKI, 2007), a tecnologia é um grande desafio
para a espécie humana e, também, para a educação. Com a presença marcante e
dominante delas no cotidiano das pessoas, faz-se necessária a incorporação também
nas práticas educacionais.
Borba e Penteado (2007) defendem que o acesso à
informática deve ser visto como direito do aluno e, portanto, ele deve poder usufruir
de uma educação que tenha no mı́nimo uma “alfabetização tecnológica”. Além
disso, a utilização das NTIC nas salas de aula pode trazer grandes benefı́cios para
o processo de ensino e aprendizagem, em especial, de matemática. Entretanto, nas
escolas ainda nos deparamos com práticas tradicionais e conservadoras de ensino
em que professores apresentam ideias, técnicas e regras, e alunos trabalham com
listas de exercı́cios de forma mecanizada. É fato notório essas práticas serem as
que prevalecem nas instituições de ensino, mas sendo a matemática um instrumento
de produção de conhecimento, a mesma não pode ser trabalhada desta forma pelos
docentes. Além disso, o ensino utilizando somente os métodos tradicionais ficou
ultrapassado, fazendo com que os professores sintam a necessidade de se atualizar
18
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
e buscar metodologias inovadoras e atuais para auxiliar durante as aulas. Sabendo
que os alunos estão cada vez mais conectados ao mundo da tecnologia, surge daı́
novas metodologias de ensino que despertam o interesse e motivação dos mesmos e
que facilitam o processo de ensino-aprendizagem. Mas, a simples inserção das NTIC
ao ambiente educacional não significa aprendizagem, é preciso grandes mudanças.
D’Ambrósio (1996) defende a necessidade de modernização dos currı́culos, e
afirma que as dificuldades de implementação das novas tecnologias nas escolas
esbarram com a insistência de se manter os conteúdos e os objetivos tradicionais.
Neste trabalho, iniciaremos apresentando um pouco da trajetória da Educação
Matemática, ressaltando o surgimento das Tendências em Educação Matemática,
em especial as tecnologias. Em seguida, aprofundaremos nas tecnologias apontadas
para, então, falar sobre a utilização das NTIC nas salas de aula de matemática.
Focaremos, ainda, em algumas mudanças que são necessárias ocorrer para a
incorporação das novas tecnologias como ferramentas educacionais, enfatizando que
a utilização das mesmas pode trazer grandes benefı́cios e é muito importante para
o processo de ensino e aprendizagem, principalmente de matemática. Pois, já que
fazemos parte de uma “geração digital”, é interessante que os alunos tenham contato
com tecnologias no ambiente escolar.
Referências
[1] BORBA, Marcelo C.; PENTEADO, Miriam G. Informática e Educação
Matemática. 3a ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
[2] D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à prática, Campinas,
SP: Papirus, 1996 (Coleção Perspectivas em Educação Matemática).
[3] KENSKI, Vani Moreira. Educação e Tecnologias: O novo ritmo da Informática.
2a Edição. Campinas, SP: Papirus, 2007.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
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Análise da equação de difusão não-linear com potências fracionárias do
laplaciano via grupo de renormalização
Alves, N.a , Toon, E.b , Moreira, J.c
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, CEP 36036-330, Minas Gerais,
Brazil. Email: [email protected]
b Departamento de Matemática, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, CEP 36036-330, Minas Gerais,
Brazil. Email: [email protected]
c Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos, 6627- Bairro Pampulha,
CEP 31270-901 - Belo Horizonte - MG. [email protected]
O método do Grupo de Renormalização(RG) surgiu no final dos anos 50 em Teoria
Quântica de Campos sendo em seguida utilizado para estudar Fenômenos Crı́ticos de
Mecânica Estatı́stica. No inı́cio dos anos 90, foi aplicado ainda na análise assintótica
de soluções de equações diferenciais [2], através da utilização de conceitos como
invariância por escalas e universalidade, na busca por conjuntos de dados iniciais
e perturbações de equações cujas soluções apresentassem mesmo comportamento
assintótico. Tal método envolve um problema de escalas múltiplas, cuja idéia é
procurar por uma solução que seja invariante por mudança de escalas, e esta solução
surge então como um ponto fixo de um operador.
O principal objetivo deste trabalho é descrever e aplicar as técnicas do Grupo
de Renormalização (RG) no estudo do comportamento assintótico da solução do
problema de valor inicial (PVI):
ut = M u − uxxx − up ux , t > 1, x ∈ R
u(x, 1) = f (x), f ∈ B3 ,
(1)
em que M ≡ −(−4)β , com 12 < β ≤ 1 e p > 3, é um operador definido no espaço
du = |w|2β û e B3 é um espaço de Banach definido por
de Fourier por M
B3 ≡ {f : R → R | fˆ ∈ C 1 (R) e kf k < ∞},
(2)
h
i
kf k = sup (1 + |w|3 ) |fˆ(w)| + |fˆ0 (w)| .
(3)
sendo
w∈R
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Na primeira parte do trabalho, aplicamos o método do RG à equação linear
(ut = M u) e obtivemos o comportamento assintótico da mesma. Esse estudo foi
realizado com base na dissertação [3], uma vez que essa equação é uma generalização
da equação do calor. Em seguida, com base em [1], aplicamos a técnica à equação
linear com termo dispersivo (ut = M u − ηuxxx ), e vimos que o comportamento é o
mesmo que o caso anterior. Mostramos que, em ambos os casos, o comportamento
assintótico é dado por
u(x, t) ∼
fˆ(0)
1
t 2β
f
∗
x
1
,
t 2β
2β
sendo fb∗ (w) = e−|w| .
A segunda parte do trabalho (em andamento) consiste em aplicar o método no
problema de valor inicial (1) e mostrar que o comportamento será análogo aos casos
lineares. Assim, soluções de equações que diferem apenas quanto à pertubação
podem ser consideradas em uma mesma classe de universalidade.
Referências
[1] J. Bona, K. Promislow e G. Wayne, On the asymptotic behavior of solutions
to nonlinear,dispersive, dissipative wave equations. Math. Comput. Simulation,
37:265–277, 1994.
[2] J. Bricmont, A. Kupiainen and G. Lin, Renormalization Group and Asymptotics
of Solutions of Nonlinear parabolic Equations, Comm. Pure appl. Math.,v.47,
p.893- 922,(1994).
[3] J. M. Moreira, O Comportamento Assintótico de Soluções da Equação do
Calor Não- linear via Grupos de Renormalização. Master’s thesis, UFMG, Belo
Horizonte, Minas Gerais, 2002.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
21
[4] J. M. Moreira, Análise via grupos de renormalização de equações de difusão
não- lineares com coeficientes dependentes do tempo. Doctor’s thesis, UFMG,
Belo Horizonte, Minas Gerais, 2007.
O Algoritmo de McEliece e a Criptografia Pós-Quântica
Andrade, A. J. O.a , Moura, A. O.b
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. Email [email protected]
b Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. Email: [email protected]
Um código é o acréscimo de redundâncias para corrigir uma palavra enviada,
deste modo pode-se dizer que um código manipula o significado da mensagem
para poder corrigir possı́veis erros no envio da mensagem, ao invés da cifra que
funciona como uma alteração da representação da mensagem para poder escondê-la.
Esses códigos são base para o estudo da Criptografia Pós-Quântica. A criptografia
clássica, que utilizamos atualmente, apresenta-se como uma solução para o envio e
recebimento de informações as quais queremos que sejam mantidas em segredo. Os
métodos usados podem ser ou não eficazes dependendo do tempo que se pretenda
que a mensagem seja secreta, isto porque é possı́vel decifrar as mensagens cifradas
usando computadores.
Os reticulados têm sido bastante utilizados na teoria das comunicações,
pois permitem encontrar ou identificar erros nas transmissões de informações.
Normalmente isto não constituiria um problema, pois pode-se ter uma encriptação
o quão complexa quanto necessária para que a desencriptação demore um tempo
superior ao tempo que se pretende que a mensagem se mantenha segura, com o
intuito de que uma mensagem fique segura durante anos viu-se a necessidade de
desenvolver criptografias alternativas e assim foi criada a Criptografia Pós-Quântica.
Os códigos quânticos são utilizados em computadores quânticos, computadores estes
que realizam cálculos utilizando algumas propriedades da Mecânica Quântica.
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Um criptosistema muito importante no estudo de Criptografia Pós-Quântica é
o criptosistema de McEliece. Ele é conhecido por possuir um algoritmo eficiente para
a correção em uma classe de código escolhida em conjunto com uma permutação. A
escolha dos parâmetros de segurança para o McEliece, um criptosistema de chave
privada, tem de ser tomada em relação aos ataques conhecidos. A escolha ótima
de parâmetros para um dado nı́vel de segurança (em termos de tamanho de chave
pública) pode infelizmente não ser determinado como uma fórmula fechada.
Neste trabalho apresentaremos o criptosistema de McEliece,
mais
especificamente o Algoritmo de McEliece, este algoritmo pode ser dividido em
três, um algoritmo que gera um par de chaves pública e privada, um algoritmo de
criptografia e um algoritmo de descriptografia. Este algoritmo é muito importante,
pois foi o primeiro a tentar sobrevier aos computadores quânticos.
Referências
[1] Shannon, C. E., A mathematical theory of communication, Bell System Tech.
J. 27 (1948), 379-423, 623-656.
[2] Huffman, W. C. and Pless, V. S., Fundamentals of error-correcting codes,
Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
[3] Hefez, A. and Villela, M.L.T., Códigos Corretores de Erros, Rio de Janeiro,
IMPA, 2002.
[4] Lidl, R. and Niederreiter, H., Finite Fields, second edition, Cambridge
University Press, 1997.
[5] MacWilliams, F. J. e Sloane, N. J. A., The Theory of Error-Correcting Codes,
The Mathematical Association of America, vol. 21, 1983.
[6] Blake, I. F. and Mullin, R.C., The Mathematical Theory of Coding, Academic
Press, New York, 1975.
[7] Pless, V. S. and Huffman, W. C., Handbook of Coding Theory, vol. I, Elsevier
Amsterdam Lausanne New York Oxford Shannon Singapore Tokyo, 1998.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
23
[8] Van Lint, J. H., An Introduction to Coding Theory, Springer-Verlang New York
Inc., 1982.
[9] Gonçalves, A., Introdução à Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro,
1979.
[10] Dean, R. A., Elementos de Álgebra Abstrata, Livros Técnicos e Cientı́ficos
Editora, Rio de Janeiro, 1974.
[11] Bernstein, D. J., Buchmann, J. and Dahmen, E., Post-Quantum Cryptography,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2009.
Um estudo acerca do perfil dos estudantes dos cursos de Licenciatura
do Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade
Federal de Viçosa-MG
Nascimento, M. P.a , Brasiel, M. E. C. P.b , Picanço, Rogério Carvalhoc
a
Professor de Matemática. [email protected].
Professor de Matemática. [email protected].
c Departamento de Matematica, Universidade Federal de Vicosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitario,
CEP 36570-000 - Vicosa - MG. [email protected].
b
Os cursos de Licenciatura, possuem, historicamente, um alto ı́ndice de evasão, que
ocorre cada vez mais cedo, já nos primeiros perı́odos letivos destes cursos. Uma
das preocupações para o agravamento deste quadro está relacionada à nova forma
de ingresso na Universidade, o Sistema de Seleção Unificada (Sisu). Por isso, um
dos objetivos desta pesquisa foi conhecer o perfil dos estudantes que ingressaram
nos cursos de licenciatura em Matemática, Fı́sica e Quı́mica do Centro de Ciências
Exatas e Tecnológicas (CCE) da UFV, principalmente após o Sisu ser adotado como
forma de ingresso, para que, assim, pudéssemos entender o quanto o novo sistema
de acesso pôde ou não aumentar a evasão nos cursos de licenciatura. Existem
três tipos de evasão no ensino superior: evasão de curso, evasão de instituição e
24
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
evasão de sistema. Segundo Bargadi (2007) apud Alkimin et al (2013), a evasão
de curso é a saı́da definitiva do aluno de seu curso de origem; evasão de instituição
é a migração de uma instituição para outra, podendo ou não mudar de curso e
evasão de sistema é o abandono do ensino superior. Estudamos a evasão nos três
âmbitos citados. Para isso, nos propomos a conhecer os alunos a fim de, entre outros
fatores, observar o que vem ocorrendo nos cursos de licenciaturas, que estão cada
dia com as salas mais vazias. Além disso, buscou-se pesquisar como as polı́ticas
educacionais criadas pelo governo federal vem afetando os cursos de licenciatura,
especificamente as três supracitadas. Para tanto, foi aplicado um questionário não
identificado, com 23 questões, para alunos dos três cursos, em disciplinas do primeiro
perı́odo. Após a etapa da coleta de dados, foram feitas a apuração, apresentação
e análise dos dados. Com a aplicação dos questionários, pudemos identificar que a
maioria dos alunos tem até 20 anos e terminou o Ensino Médio em escola regular e
pública. Além disso, eles encontraram como as maiores dificuldades a falta de base de
conteúdos do Ensino Médio, falta de tempo para estudar e falta de suporte, como
monitorias e atendimentos por parte do professor. Uma quantidade significativa
ingressou no curso por ser o único que tinha pontos para entrar ou visando uma
futura mudança curso. No curso de Fı́sica, mais de 20% não ingressariam no curso
caso o processo seletivo fosse o vestibular tradicional. Já nos cursos de Matemática
e Quı́mica, esses números ultrapassam os 40%. Estes números são preocupantes
e, muitas vezes, mais da metade dos estudantes entram no curso já pensando em
sair. E este percentual aumenta bastante à medida que as dificuldades naturais do
curso, já expostas anteriormente, emergem. Uma grande parte dos alunos adentrou
no curso pela nota de corte baixa e para aproveitar as disciplinas em outro curso
posteriormente. Quando questionado sobre os motivos que afastam as pessoas de
serem professores, os mais citados são baixo salário, desprestı́gio da carreira e falta
de condições de trabalho. Isto quer dizer que se investe com programas de incentivo
na formação inicial do docente (PIBID, PLI, etc.), mas não se investe na formação
continuada, o que desestimula os licenciandos a continuarem ou ingressarem na rede
básica. Quanto aos ı́ndices de evasão dos cursos de Fı́sica, Matemática e Quı́mica,
vale ressaltar os dados dos alunos que entraram no curso de 2006 a 2010. No curso
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
25
de Fı́sica, evadiram 76,3% e apenas 20,4% conseguiram a diplomação. No curso de
Matemática, 70,2% dos alunos evadiram e 28,6% conseguiram a diplomação. No
curso de Quı́mica, a evasão é significativamente menor, isto é, 38,1% e 53,1% se
formaram. Já os cursos de Licenciatura em Fı́sica e em Matemática foram criados
em 2009, então, os ı́ndices de evasão significativos estão entre os anos de 2009 e
2010. No curso de Licenciatura em Fı́sica, 96,3% dos alunos evadiram e apenas
3,7% conseguiram diplomação. Já no curso de Licenciatura em Matemática, 73,5%
dos alunos evadiram e 14,7% dos alunos se formaram. Podemos perceber que,
principalmente nos cursos de Fı́sica e Matemática, tanto integral quanto noturno, o
ı́ndice de evasão é muito grande. E esse ı́ndice é maior ainda no curso de Licenciatura
em Fı́sica, que quase 100% dos alunos evadiram do curso. Dessa forma, é preciso
que, além da criação e aprimoramento das polı́ticas públicas e incentivo aos cursos de
licenciatura, sejam implementadas polı́ticas de valorização da profissão docente. Os
paı́ses com bons rendimentos nas avaliações internacionais, como o PISA, possuem
os alunos que obtiveram o mais alto desempenho no Ensino Básico nos cursos de
licenciatura, já que o governo investe nesses alunos. Portanto, o ideal seria que
os alunos que ingressem nos cursos de licenciatura sejam aqueles que realmente
pretendem atuar na carreira docente, e não que ela sirva de base para mudanças de
curso ou desmotive o aluno de ser professor.
Referências
[1] M. E. F. Alkimin et al, Abandono Escolar no Curso de Licenciatura em
Matemática do IFNMG - Campus Januária. Canoas, 2013. Disponı́vel em:
http://www.conferencias.ulbra.br/index.php/ciem/vi/paper/viewFile/1312/312.
Acesso em: 01 set. 2015.
[2] M. P. Bagardi, Evasão e Comportamento Vocacional de Universitários: estudos
sobre o desenvolvimento de carreiras na graduação. 2007. P. 242. Tese
(Doutorado em Psicologia) ? Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Rio
Grande do sul, 2007.
[3] M. Bittar et al,
A Evasão em um Curso de Matemática em 30
26
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Anos. EM TEIA - Revista de Educação Matemática e Tecnológica
Iberoamericana, [S.1], v. 3, n. 1, ago. 2012. ISSN 2177-9309. Disponı́vel em:
http://www.gente.eti.br/revistas/index.php/emteia/article/view/60.
Acesso
em: 01 set. 2015.
[4] U. D’Ambrósio, Prefácio. In: M. C. Borba; J. L. Araújo (Org). Pesquisa
qualitativa em educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
[5] B. A. Gatti, Formação de professores e carreira: problemas e movimentos de
renovação. Campinas, SP: Autores Associados, 1997. 135 p.
[6] Ministério da Educação. Disponı́vel em
http://portal.mec.gov.br/?option=com content&id=16185&Itemid=1101. Acesso em
01 set. 2015.
Perspectivas de Psicologia Cognitiva e de Educação no Processo de
Resolução de Problemas Matemáticos: estudo correlacional
Rocha, M. S.a
a
Campus Pouso Alegre, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Sul de Minas Gerais, Av. Maria
da Conceição Santos, 1730, Bairro Parque Real, CEP 37550-000 - Pouso Alegre - MG. [email protected].
A presente investigação trata-se de uma pesquisa concluı́da, a qual teve como
objetivo geral estudar a resolução de problemas do ponto vista cognitivo, a partir
de suas possı́veis relações com o raciocı́nio inferencial e a flexibilidade cognitiva,
em 234 alunos do 3o ao 5o anos do ensino fundamental de uma escola pública
localizada em uma cidade de pequeno porte do sul de Minas Gerais. Para tal,
promoveu-se um exame exploratório, transversal, descritivo e correlacional, sendo
utilizados, como instrumentos de coleta de dados: o Teste de Resolução de Problemas
(BORGES; FERNANDES, 2014), o Teste de Raciocı́nio Inferencial - RIn (SISTO,
2006), e o Teste de Trilhas (MONTIEL; SEABRA, 2012). Os resultados foram
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
27
descritos e analisados ora quantitativamente, utilizando-se de técnicas estatı́sticas
como: aplicação do teste t de Student, Análise de Variância (ANOVA), prova
ad hoc de Tukey e teste de correlação de Pearson; ora qualitativamente, por
meio da investigação baseada em reflexões indutivas sustentadas em pesquisas
abrigadas tanto pela psicologia (os processos cognitivos), quanto pela educação (a
aprendizagem). Aderiu-se a esta averiguação a possibilidade de que a mesma possa
contribuir para o aprofundamento de pesquisas que têm seus objetos comungados
entre o estudo dos processos cognitivos e da educação matemática. O presente estudo
apontou relação estatisticamente insignificante entre os constructos analisados.
Porém, tais dados devem ser apreciados com prudência, visto que a aplicação dos
instrumentos de coleta de dados se deu em uma única instituição de ensino e um
dos testes, o de Resolução de Problemas, demanda por futuras análises quanto à
validade, pois foi nesta oportunidade de pesquisa em que ocorreu a primeira grande
aplicação do mesmo. Futuras análises deverão ser conduzidas a tı́tulo de variar a
amplitude amostral, validar o teste elaborado por Borges e Fernandes (2014); além
de complementar os questionamentos aqui delineados, confirmando ou refutando
nossas conclusões. Este estudo se relaciona diretamente com o tema: Pesquisa em
Psicologia da Educação Matemática (GD5) ao analisar a contribuição da psicologia
cognitiva e da neuropsicologia para a educação matemática. Às entrelinhas deste
estudo o leitor poderá entrever demandas diversas ao profissional docente da área de
educação matemática, para com a prática em sala de aula; e também ao pesquisador,
sobre a investigação da aprendizagem e dos processos cognitivos atinentes. Advogase que esta pesquisa cumpriu com seu fim de produção de conhecimento cientı́fico,
portando-se como um ferramental pró-avanço transdiciplinar no que se refere aos
campos cientificos em combinação/partilha teórica. Constitui-se, pois, como um
recurso teórico afim à compreensão das relações estabelecidas pela criança entre as
habilidades matemáticas para a resolução de problemas, as funções cognitivas e a
aprendizagem matemática.
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Referências
[1] BORGES, R. A. S; FERNANDES, D. C. Teste de Resolução de Problemas.
(manuscrito). Universidade do Vale do Sapucaı́ - Univás. Pouso Alegre, 2014.
[2] MONTIEL, J. M.; SEABRA, A. G. Teste de Trilhas - Partes A e B. In:
SEABRA, A. G.; DIAS, N. M. (Orgs.). Avaliação Neuropsicológica Cognitiva:
Atenção e funções executivas. p. 69-75. São Paulo: Memnon. 2012.
[3] SISTO, F. F. Teste de raciocı́nio inferencial RIn: manual, São Paulo: Vetor
Editora. 2006.
[4] STERNBERG, R. J. Psicologia Cognitiva. 4 ed. Porto Alegre: Artes Médicas.
2008.
Pesos e Medidas Usuais no Vale do Jequitinhonha e Norte de Minas
Rocha, A. L.a , Santos, V. G.b
a
Departamento de Matematica, Faculdade Vale do Gorutuva - FAVAG, Av. Trancredo Neves, 302, Centro, CEP
39525-000 - Janaúba - MG. [email protected]
b Faculdade Vale do Gorutuva - FAVAG, Av. Trancredo Neves, 302, Centro, CEP 39525-000 - Janaúba - MG.
[email protected]
Este artigo emergiu da verificação no Vale do Jequitinhonha e Norte de Minas,
da existência de alguns tipos de medidas que não são padronizadas pelos órgãos
competentes. Existindo objetos para comercializar as mercadorias, principalmente
nas feiras. Os objetivos são: padronizar os pesos e medidas usuais na região;
compilação com os padrões de medidas oficiais e consequentemente subsidiando os
professores no ensino dos sistemas de pesos e medidas, uma vez que, são utilizados
sistemas próprios de medidas. Para mensuração das medidas, serão adquiridos
alguns objetos, serão realizadas entrevistas e aplicação de questionários. A pesquisa
caracteriza-se como pesquisa quali-quantitativa, o método a ser utilizado será uma
pesquisa de campo, com as seguintes indagações: Qual o contexto histórico de tais
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
29
medidas? Como introduzir sistemas métricos, sistemas de medidas, se a realidade
do aluno é vender ou até mesmo trocar utilizando as medidas não padronizadas?
Qual a equivalência entre os sistemas de medidas padronizados e esses adotados?
Referências
[1] FACHIN, ODÍLIA. Fundamentos de metodologia. 5a ed. SP: Saraiva, 2005.
[2] GUERREIRO, JOÃO COSME SANTOS. História Concisa das Matemáticas. 2a
ed. Gradiva, 1992.
[3] LOPES, LUÍS SEABRA. A cultura da medição em Portugal ao longo da história.
2005: http://www.spmet.pt/medidas edimat.pdf. Acesso em 20 jul 15.
[4] LOPES, LUÍS SEABRA. O Moio-medida e o Moio dos Preços em Portugal nos
Séculos XI a XIII. http://sweet.ua.pt/lsl/h/moio-medida-publicado.pdf. Acesso:
20 jul 15.
[5] LOPES, LUÍS SEABRA. Sistemas Legais de Medidas de Peso e Capacidade, do
Condado Portucalense ao Século XVI.
http://ler.letras.up.pt/uploads/ficheiros/3876.pdf. Acesso: 20 jul 15.
[6] MARTINS, GILBERTO DE ANDRADE. Manual para elaboração de
monografias e dissertações. 2a ed. São Paulo: Atlas, 2002.
[7] MORAES, GIOVANNI. Elementos do Sistema de Gestão de SMSQRS - Sistema
de Gestão Integrada. 2a ed. Verde Editora, 2010.
[8] Site do INMETRO: http://www.inmetro.gov.br/inmetro/oque.asp, Acesso em
21 jul 15.
[9] Tabela de Medidas Agrárias Não Decimais.
http://sistemas.mda.gov.br/arquivos/TABELA MEDIDA AGRARIA NAO DECIMAL.pdf.
Acesso 13 jul 15.
30
III Semana Acadêmica de Matemática
Relatos de Experiência
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
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Atividades diferenciadas de Matemática para o Ensino Fundamental
I e II e Ensino Médio: Um relato de Experiência
Brasiel, M. E. C. P.a , Nascimento, M. P.b , Baquim, C. A.c
a
Professor de Matemática. [email protected]
de Matemática. [email protected]
c Departamento de Educação, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, s/n - Campus Universitário,
CEP 36570-900 - Viçosa - MG. [email protected]
b Professor
O presente trabalho visa relatar o desenvolvimento de três minicursos realizados
por dois Licenciados em Matemática na Universidade Federal de Viçosa (UFV).
Os minicursos são resultados de atividades realizadas pelos graduados, que visavam
compartilhar saberes de alternativas lúdicas para a sala de aula do Ensino Básico
de Matemática. O ensino da matemática, muitas vezes, é tido como um grande
desafio para os professores. Além disso, para muitos alunos, as aulas de matemática
são desmotivadoras e sem atrativos. Dessa forma, nossa proposta de oficinas visou
oferecer condições ao professor de utilizar atividades lúdicas em sala de aula, a
fim de tornar suas aulas mais atrativas e motivadoras, sem perder o conteúdo
matemático. As oficinas aqui relatadas, continham em média, quinze atividades
lúdicas, direcionadas para o Ensino Fundamental I, Ensino Fundamental II e Ensino
Médio. Nessas atividades, exploramos conteúdos matemáticos, como geometria,
funções, as quatro operações e raciocı́nio lógico, além de apresentar demonstrações
lúdicas de alguns teoremas da matemática aprendidos na Educação Básica. Estudos
e pesquisas comprovam a importância de atividades lúdicas no desenvolvimento
das potencialidades dos estudantes, uma vez que “o educando explora muito mais
sua criatividade, melhora sua conduta no processo de ensino-aprendizagem e sua
autoestima” (BORGES, NEVES, s/d). Como destaca Chaguri (2006), “o lúdico
como instrumento educativo já se fazia presente no universo criativo do homem desde
os primórdios da humanidade”, por isso é tão importante explorar estes recursos em
atividades de ensino. O estudante se expressa e assimila conhecimentos quando
está praticando alguma atividade lúdica. Ele também espelha a sua experiência,
modificando a realidade de acordo com seus gostos e interesses.
Constata-se,
na maioria das aulas com uso de materiais lúdicos, um grande envolvimento dos
alunos e interesse pelas atividades propostas. Assim, utilizar recursos como jogos e
34
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
brincadeiras nas aulas tem mostrado a importância de pesquisar novas abordagens
em sala de aula, uma vez que “o lúdico propicia uma compreensão de mundo e
de conhecimento mais ampla para a aprendizagem do aluno” (CHAGURI, 2006).
Para auxiliar no desenvolvimento matemático do aluno, o professor precisa ter um
sólido conhecimento dos conceitos e procedimentos da área e, também, conhecer e
experienciar diversas metodologias didáticas que possam auxiliar na sua prática
docente.
As propostas curriculares recomendam o uso de recursos didáticos,
incluindo alguns materiais especı́ficos. No entanto, nem sempre há clareza do papel
desses recursos no processo de ensino-aprendizagem. Nota-se também que, para a
grande maioria dos professores, a formação, tanto a inicial quanto a continuada,
pouco contribuiu para muni-los de recursos e metodologias que possam auxiliar no
ensino da disciplina. Não tendo oportunidade e condições para aprimorar sua prática
e utilizar novos recursos em suas salas de aula, os professores, muitas vezes, apoiamse quase exclusivamente nos livros didáticos e em um ensino expositivo, no qual os
alunos são telespectadores que pouco interagem no processo de ensino aprendizagem.
Por isso, torna-se essencial possibilitar ao licenciando experiências nas quais eles
possam entrar em contato com a realidade escolar, utilizar novas abordagens e
refletir sobre elas. O interesse em oferecer tais oficinas surgiu através de duas
pesquisas de iniciação cientı́fica. Os professores do Ensino Básico da nossa região,
que estávamos em contato, sentiram a necessidade de um minicurso voltado para o
tema e solicitaram que realizássemos nas escolas. Todas as oficinas foram realizadas
no ano de 2014 em uma escola estadual da rede pública de ensino de São Geraldo,
no VI Seminário da Licenciatura em Matemática, em Cachoeiro de Itapemirim, e no
Simpósio de Integração Acadêmica da UFV. Ao refletir sobre as atividades realizadas
nas oficinas oferecidas, percebemos que não se deve perder de vista a realidade do
ambiente escolar e das condições de atuação do professor da Educação Básica. Em
muitos casos, a falta de tempo, salas superlotadas, falta de recursos humanos e
materiais acabam fazendo com que o professor não se arrisque a sair de uma “zona de
conforto”, na qual a aula tradicional e o livro didático são os principais mediadores.
É importante conhecer e experienciar novas metodologias e recursos, mas também é
necessário ter condições para implementá-las na prática cotidiana. As atividades
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
35
apresentadas buscaram capacitar os licenciandos e professores, colocando-os em
contato com metodologias variadas, estimulando o hábito de proporcionar aos alunos
atividades diferenciadas daquelas com quadro e giz, estimulando a criatividade e
participação dos alunos. O intuito não é criticar uma aula tradicional, pois ela
também tem grande importância na disciplina de matemática, mas possibilitar a
oportunidade de conhecer ações diferenciadas, para, então, analisar a relevância
de cada uma delas e o momento mais adequado para utilizá-las. As mais variadas
atividades se tornam relevantes por contribuı́rem para o processo de aprendizagem e
desenvolvimento dos alunos, favorecendo a busca e a construção do conhecimento de
forma individual e coletiva. Espera-se assim, contribuir com a formação dos futuros
e atuais professores, para que possam proporcionar momentos lúdicos, auxiliando
na aprendizagem significativa dos alunos e despertando o interesse pela disciplina
de Matemática.
Referências
[1] C. J. Borges, L. O. R. O. Neves, Lúdico nas Interfaces das Relações Educativas.
Disponı́vel em:
https://sites.google.com/site/professoralisandrarte/formacao-
de-professor. Acesso em: 01 set. 2015.
[2] M. E. C. P. Brasiel, M. P. Nascimento, Atividades Diferenciadas para o Ensino de
Matemática: Alternativas para a Sala de Aula, In: VI Seminário da Licenciatura
em Matemática, 2014.
[3] J. P. O. Chaguri, Uso de Atividades Lúdicas no Processo de Ensino/
Aprendizagem de Espanhol como Lı́ngua Estrangeira para Aprendizes Brasileiros.
Disponı́vel em: http://www.unicamp.br/iel/site/alunos/publicacoes/. Acesso
em: 01 set. 2015.
36
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
A atuação do Projeto de extensão “Matemática para a vida: criando um
novo cenário para o ensino-aprendizagem”na Escola Estadual
Antônio Moreira de Queiroz.
Carmo, M. A.a , Bragança, L. M.b
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-900 - Viçosa - MG. [email protected]
b Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-900 - Viçosa - MG. [email protected]
Como forma de despertar o interesse dos estudantes da Escola Estadual Antônio
Moreira de Queiroz, do municı́pio de Teixeiras, MG, quanto à disciplina Matemática,
a equipe do projeto de extensão “Matemática para a vida: criando um novo cenário
para o ensino-aprendizagem”realiza encontros semanais com duas turmas de alunos
do nono ano do Ensino Fundamental nesta escola.
Durante os encontros são discutidos conteúdos matemáticos de forma a sanar
lacunas no aprendizado e despertar o interesse por novos temas, dentro da
proposta curricular para esta etapa de formação. Para alcançar este propósito, são
desenvolvidas atividades lúdicas que estimulam o interesse, a curiosidade, o espı́rito
de investigação e a capacidade para resolver problemas. São propostas análises
de vı́deos, experimentos, construções de figuras geométricas e jogos que permitem
uma interação dos estudantes com os conteúdos abordados, despertando um maior
interesse pela Matemática e levando-os a usufruir do conhecimento adquirido, tanto
em sua vida escolar, quanto fora dela.
Para diagnosticar as dificuldades e possibilidades dos estudantes, corrigir distorções
e apoiar aqueles estudantes com déficit de aprendizagem, são propostas algumas
situações-problema no final de cada encontro. A equipe de trabalho fica atenta
às estratégias utilizadas, para saber o quão maduro está o aluno em relação à
aprendizagem e como ele consegue relacionar o tema matemático estudado com o
conhecimento de mundo que já possui. Assim, tem-se uma ideia de que rumo tomar
e quais formas serão mais eficientes para obtenção de uma aprendizagem significativa
dos conteúdos matemáticos. Um exemplo disso foi o uso de materiais concretos para
construção de figuras espaciais (cubo, tetraedro, pirâmide). Além de identificar em
cada figura a sua respectiva planificação, os estudantes perceberam as dificuldades
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
37
de construir algumas estruturas devido a sua forma geométrica. Outro exemplo foi o
uso de espelhos planos e transferidores durante um experimento que visava trabalhar
o conceito de ângulo usando simetrias. Mais uma atividade que chamou bastante
atenção dos estudantes foi uma oficina com o tema de unidade e medidas, em que
foram utilizadas ferramentas de medições e conversão de unidades de medidas, com
o objetivo de resolver situações-problema que aparecem no cotidiano.
Este projeto tem buscado mecanismos para que os estudantes desenvolvam a
memória visual, o sentido crı́tico, o raciocı́nio lógico, além de aumentar a criatividade
e a persistência dos estudantes nas tarefas escolares e no seu dia a dia. Além
disso, tem oportunizado a interação entre professores e estudantes dos cursos
de Matemática, aproximando-os da realidade do ensino nas escolas públicas,
mostrando-lhes o caminho necessário para a excelência do ensino público no Paı́s.
Referências
[1] Ministério da Educação. Secretariada Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: Matemática. Brası́lia: MEC/SEF, 1997.
[2] Matemática
Multimı́dia.
Espelhos
e
Simetria.
Disponı́vel
em:
http://m3.ime.unicamp.br. Acesso em: 12 de setembro de 2015.
[3] Souza J. e P. M. Pataro. Coleção Vontade de Saber Matemática. Segunda edição,
São Paulo, editora FTD S. A., 2012.
38
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Semana de Matemática na Escola Estadual Antônio Carlos: Formação
de Professores e Transformação da Comunidade Escolar
Ferreira, G.F.a , Sousa, C.D.b , Menon, T.b , Dantas, L.F.A.b ,
Aquino, R. L. A.b , Bortolassi, R. F.b e Takahashi, L. T.b
a
E.E. Antônio Carlos, Av. Cel. Vidal, 180, B. Mariano Procópio, Juiz de Fora - MG. CEP 36.080-080. Email:
[email protected]
b Depto de Matemática, Universidade Federal de Juiz de Fora, Rua José Lourenço Kelmer, S/n - Martelos, Juiz de
Fora - MG, CEP 36036-230. Email [email protected]
Este trabalho trata-se de um relato de experiência, baseado em Rodrigues [3], sobre
os resultados alcançados na II Semana de Matemática realizada entre os dias 31
de agosto e 04 de setembro de 2015 na Escola Estadual Antônio Carlos (EEAC),
no municı́pio de Juiz de Fora - MG. Este evento foi organizado pelos bolsistas,
licenciandos em Matemática, do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à
Docência (PIBID) da Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF), alunos do
Instituto de Pesquisas Antônio Carlos (IPAC), professores, coordenação, direção
e demais funcionários da escola. A II Semana de Matemática foi direcionada aos
alunos do 1◦ e 2◦ anos do Ensino Médio e constituiu-se de cinco palestras com os
mais variados temas e de uma Gincana da Matemática.
Foram promovidas cinco palestras - Código de Barras, Projeto Conta de Luz, Jogo
do Nim, CPF e dı́gitos verificadores SDCode, Educação Financeira - ao longo da
semana e no último dia foi realizada a Gincana da Matemática com os alunos do 1◦
ano do Ensino Médio, num momento de maior descontração e de aprendizado.
As palestras tiveram como proposta levar aos alunos uma realidade distinta da que
muitas vezes têm em sala de aula, ora por meio de assuntos atuais, como os códigos
de barras e a educação financeira - este último bastante recorrente devido ao cenário
econômico atual - ora por intermédio de metodologias alternativas como no caso dos
jogos. Observou-se por parte dos palestrantes uma preocupação em concatenar as
teorias estudadas com o cotidiano presente (D?AMBROSIO, 1996 [1]).
Na gincana, pudemos observar que os alunos interagiram e demonstraram um
espı́rito competitivo latente, pois tiveram muita garra para realizar as provas
aplicadas (MUNIZ, 2010 [2]). Algumas provas privilegiaram o raciocı́nio geométrico
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
39
como, por exemplo, na prova dos pneus, em que os alunos tiveram de utilizar os
conceitos de perı́metro numa circunferência para então conseguirem medir a quadra.
A prova Jogo do Nim fez com que os participantes pensassem no algoritmo euclidiano
para então conseguirem ganhar, sendo assim um teste de raciocı́nio. Esse foi um
aspecto interessante, pois, apesar da energia que os alunos traziam consigo, as
atividades que exigiam mais concentração eram feitas no maior silêncio possı́vel,
numa clara e manifesta demonstração de respeito tanto das equipes envolvidas na
atividade como das demais. Na prova de Raciocı́nio Lógico, os alunos tiveram de
lidar com a pressão ao responder as perguntas, porém essa “pressão”motivou o
trabalho em equipe e o que se viu foi o senso de grupo que os integrantes tinham
com suas equipes. Houve provas mais dinâmicas, como a do Quadradão e a do jogo
do Aladin, que privilegiou a inteligência espacial das equipes. A prova de verificar
se os objetos afundavam ou não promoveu um raciocı́nio sobre a relação entre as
densidades da água e dos objetos que seriam colocados no aquário.
A II Semana da Matemática foi enriquecedora para todos os envolvidos, tanto na
organização, quanto na participação e execução das tarefas. Nos alunos, provocou a
construção de conhecimentos sobre a Matemática e reflexões sobre o cotidiano. Para
os bolsistas do PIBID/UFJF foi a oportunidade de conhecerem melhor os alunos e
vivenciarem a organização e realização de um evento em uma escola. Quanto aos
professores envolvidos, foi uma oportunidade de apresentarem algo novo naquele
ambiente, demonstrando outra vertente no ensino de Matemática.
Referências
[1] D’AMBROSIO, U. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática.,
2a ed. São Paulo: Sumus Editorial, 1996.
[2] MUNIZ, C. A. Brincar e Jogar: enlaces teóricos e metodológicos no campo da
educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010.
[3] RODRIGUES, L. A matemática ensinada na escola e sua relação com o
cotidiano. UCB. Disponı́vel em:
40
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
https://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/12005/LucianoLimaRodrigues.pdf
Acesso: outubro de 2015.
Capacitação para a prova da OBMEP
Martins Júnior, J. A.a
a
Departamento de Matematica, Universidade Federal de Vicosa, Av. Peter Henry Rolfs, s/n - Campus Universitario,
CEP 36570-000 - Vicosa - MG. Email [email protected]
Com os novos tempos que vivemos surge a crescente demanda de profissionais
nas mais diferentes áreas de pesquisa, a fim de suprir a necessidade do Brasil
em desenvolver sua ciência com autonomia e qualidade. Desta forma, se torna
necessário investir e estimular nos jovens o interesse pelas ciências.
No caso
deste projeto o interesse pela matemática, que é suporte para formar engenheiros,
biólogos, estatı́sticos, entre outros profissionais. Buscando levar um conhecimento
diversificado de Matemática à rede pública, a Olimpı́ada Brasileira de Matemática
das Escolas Públicas (OBMEP) visa revelar por sua singularidade alunos que tenham
um talento criativo e excepcional para a resolução de problemas matemáticos.
A prova da OBMEP se divide em duas etapas. A primeira etapa foi realizada em
junho e compunha-se de vinte questões de múltipla escolha. Os 5% que se destacam
em cada escola classificam-se para a próxima fase. Na segunda etapa, que fora
realizada em setembro, a prova foi composta por seis questões discursivas, onde o
aluno devera expor seu raciocı́nio a fim de conseguir uma boa colocação. Aqueles
que obtêm melhor desempenho na prova da segunda fase têm a oportunidade de
participar de um curso chamado PIC (Projeto de Iniciação Cientı́fica Jr.) pelo
perı́odo de um ano para aprimorarem seus talentos matemáticos, e é válido ressaltar
que eles recebem uma bolsa da CAPES equivalente a doze parcelas de cem reais.
O projeto “Capacitando Estudantes de 6o e 7o Anos do Ensino Fundamental Para
a Olimpı́ada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas” é realizado desde 2007
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
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pela Universidade Federal de Viçosa e visa aproximar os alunos do sexto e sétimo ano
de uma Matemática instigante através da resolução de exercı́cios selecionados das
provas dos anos anteriores. Foram realizados para a primeira fase seis encontros em
Viçosa, três em São Geraldo, sete em Visconde do Rio Branco e seis em Teixeiras. Já
para a segunda fase foram realizados cinco encontros em Viçosa, nove em Coimbra
e sete em Teixeiras. Vale ressaltar também que todos os encontros tinham duração
de duas horas e que o projeto é realizado com a colaboração de graduandos do curso
de Matemática da Universidade Federal de Viçosa.
Durante cada encontro para a primeira fase, o objetivo era discutir com os alunos, de
forma crı́tica, uma lista com aproximadamente seis questões selecionadas de provas
da OBMEP dos anos anteriores. E para a segunda fase eram trabalhadas provas
dos anos anteriores para que os alunos se familiarizassem com o nı́vel da prova e seu
estilo. Em alguns casos fazia-se uma leitura da questão, mas geralmente era deixado
que os alunos lessem e praticassem sua interpretação a respeito da questão. Em
seguida esperava-se em torno de dez minutos, dependendo do nı́vel de dificuldade
da questão, para que o aluno pudesse tentar resolvê-la, e durante esse perı́odo os
alunos recebiam o auxı́lio dos colaboradores através de uma sugestão, ou então
sanando alguma dúvida relacionada a parte teórica embutida na questão e que às
vezes era desconhecida pelo aluno. Como foram atendidas várias cidades e escolas,
foram verificadas particularidades em cada agrupamento, o que influenciavam o
desenvolvimento e uma adaptação da metodologia do projeto, que variava de um
local para outro.
Nos encontros para a primeira fase foram atendidos aproximadamente duzentos
alunos, e para a segunda fase trinta e cinco alunos. Ao final das atividades para a
primeira fase foi aplicado um questionário e também foi solicitado aos alunos que
redigissem um texto relatando sobre suas impressões sobre o projeto e sugerindo algo
que fosse relevante. Com as redações pudemos ver que eles se encontram satisfeitos
e muito motivados com a realização dos encontros. No geral, o entrosamento entre
os alunos e os colaboradores foi um fator decisivo para que houvesse esse retorno
positivo por parte dos alunos. Outro fator que corrobora esta hipótese é a frequência
assı́dua de alguns alunos que eram incentivados por seus familiares a se dedicarem
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
às atividades do projeto.
Para a segunda fase os atendimentos realizados em Coimbra estenderam-se também
aos alunos nı́vel II (7o e 8o anos), como ocorrera ano passado. Em Teixeiras os
alunos ansiavam pelo inı́cio das atividades do projeto mesmo pouco tempo após a
realização da prova da primeira fase. Aqui em Viçosa, algumas escolas reforçaram
junto a seus alunos a importância de se conseguir algum destaque na prova da
OBMEP, e incentivaram os mesmos a participarem assiduamente dos encontros,
como foi constatado.
BIBLIOGRAFIA
Referências
[1] Domingues, H. H. e Corbo, O. A resolução de problemas na matemática escolar.
Atual Editora. São Paulo, 1998.
[2] Zacchi, J. D. Problemas Olı́mpicos. Análise quanto às Diferentes Técnicas de
Resolução. In: Revista da Olimpı́ada Regional de Matemática Santa Catarina,
no 03, 2006.
[3] Banco de questões da OBMEP. Disponı́vel em:
http://www.obmep.org.br/provas.html. Acesso em: 22 de out. de 2015.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
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Brincando com a Matemática: Um auxı́lio ao ensino-aprendizagem da
Matemática para o 6o e 7o anos do Ensino Fundamental das escolas públicas
do municı́pio de Diamantina-MG através dos jogos matemáticos
Santos, D. R.a , Oliveira, M. S.b
a
Graduanda em Bacharelado em Ciência e Tecnologia, Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e
Mucuri, Rodovia MGT 367, Km 583, 5000 - Alto da Jacuba - Campus JK, CEP 39100-000 - Diamantina - MG.
[email protected]
b Professora Assistente, Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri, Rodovia MGT 367, Km 583,
5000 - Alto da Jacuba, CEP 39100-000 - Diamantina - MG. [email protected]
O projeto de extensão e cultura intitulado “Brincando com a matemática: Um
auxı́lio ao ensino-aprendizagem da Matemática para o 6o e 7o anos do Ensino
Fundamental das escolas públicas do municı́pio de Diamantina-MG através dos
jogos matemáticos” se encaixa na linha temática da educação e tem como
principal objetivo a melhoria do ensino-aprendizagem de Matemática para o
ensino fundamental nas escolas públicas da cidade de Diamantina-MG, através da
implementação dos jogos e/ou desafios ao programa escolar; que são atividades
lúdicas, espontâneas e interessantes.
A escolha por trabalhar com os alunos do 6o e 7o anos se justifica por buscar
“fortalecer a base” do ensino e da aprendizagem em Matemática, uma vez que
temos observado que muitos alunos têm chegado ao ensino superior apresentando
dificuldades consideráveis em conteúdos das séries iniciais.
Nas séries iniciais é que vamos encontrar as maiores possibilidades de trabalhar
o problema e o jogo como elementos semelhantes.
O que os unifica é
predominantemente o lúdico, proporcionando-lhes a possibilidade da construção de
novos conhecimentos.
O ensino da Matemática passou por diversas mudanças significativas ao longo dos
anos. Todavia, essas mudanças não foram suficientes para suprir as dificuldades
enfrentadas pelos estudantes dessa disciplina. São questões como conceitos préformados, a metodologia tradicional com ênfase excessiva ao cálculo, a busca
inadequada a novos recursos pedagógicos, a falta de contextualização e a linguagem,
que acabam por dificultar a aprendizagem. Para isso, precisamos renovar o ensino.
Apesar dos esforços no sentido de propor mudanças no ensino da Matemática, esta
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
disciplina continua sendo considerada a grande vilã dentre as áreas do conhecimento,
responsável pelos altos ı́ndices de reprovação dos alunos. Uma solução para os
problemas que os educadores encontram no dia-a-dia da sala de aula parece ser a
aplicação de jogos didáticos.
O jogo se convenientemente planejado, pode ser um recurso pedagógico eficaz
para a construção do conhecimento matemático. Vigotsky afirmava que através
do brinquedo a criança aprende a agir numa esfera cognitivista, sendo livre para
determinar suas próprias ações. Segundo ele, o brinquedo estimula a curiosidade e
a autoconfiança, proporcionando o desenvolvimento da linguagem, do pensamento,
da concentração e da atenção.
O jogo para ensinar Matemática deve cumprir o papel de auxiliar no ensino
do conteúdo, propiciar a aquisição de habilidades, permitir o desenvolvimento
operatório do sujeito e mais, estar perfeitamente localizado no processo que leva
a criança do conhecimento primeiro ao conhecimento elaborado.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais “além de ser um objeto sociocultural
em que a Matemática está presente, o jogo é uma atividade natural no
desenvolvimento dos processos psicológicos básicos; supõe um fazer sem obrigação
externa e imposta, embora demande exigências, normas e controle”.
A Matemática é componente importante na construção da cidadania, na medida em
que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos cientı́ficos e recursos
tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar. Na busca por explorar cada
vez mais o espı́rito crı́tico dos alunos e, não menos importante a isso, o raciocı́nio
lógico dos mesmos é que se justifica a relevância deste projeto de extensão.
Nosso objetivo é investigar de que forma o lúdico irá influenciar o ensino
aprendizagem dos alunos das séries iniciais de algumas escolas públicas do municı́pio
de Diamantina - MG e quais as influências desta metodologia para as escolas,
professores e alunos envolvidos.
Para alcançar este objetivo temos realizado visitas semanais a quatro escolas
participantes do projeto, elaborado materiais didático-pedagógicos e analisado,
através de questionários e conversas, o impacto do projeto aos alunos dos sexto
e sétimos anos destas escolas.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
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Referências
[1] BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares
Nacionais:
Matemática. Secretaria de Educação Fundamental, Brası́lia:
MEC/SEF, 1998.
[2] DRUCK, S. A crise no ensino de matemática no Brasil. Revista do Professor de
Matemática. v. 53, n. 53, p. 01-05, 2004.
[3] MOURA, M. O. O Jogo e a Construção do Conhecimento Matemático.
Publicação séries e ideias, no 10, São Paulo, 1992.
[4] MORETTI, M. T. A utilização de jogos no ensino de matemática. Departamento
de matemática, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2006.
A Tecnologia como Ferramenta de Ensino da Matemática
Silva, E. A.a , Ferreira, A. G. S. S.b
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-900 - Viçosa - MG. E-mail: [email protected]
b E. E. Dr. Mariano da Rocha, Teixeiras-MG, [email protected]
Diante dos problemas e desafios que surgem a cada momento nas aulas de
Matemática, o professor tem se deparado com uma constante: a dificuldade dos
estudantes do Ensino Fundamental e Médio em dominar as operações básicas e
resolver problemas simples de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Refletindo sobre a importância e a necessidade do uso de recursos tecnológicos como
ferramenta de ensino da matemática e destacando o papel do lúdico na formação
dos alunos, o presente trabalho apresenta a proposta de desenvolver atividades que
englobem as operações básicas da Matemática de forma lúdica e divertida, utilizando
uma ferramenta bem conhecida dos alunos: a internet. Foram selecionados alguns
conteúdos apresentados em sala de aula para serem trabalhados também através de
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
jogos online. Estas atividades têm sido possı́veis na “E.E. Dr. Mariano da Rocha”,
que tem disponı́vel uma sala de informática. O público alvo deste projeto são alunos
dos sextos e sétimos anos da referida escola.
Dentre as muitas vantagens dos jogos podemos destacar: a possibilidade de acesso
aos mesmos pelos alunos fora do ambiente escolar, uma vez que eles estão sempre
conectados à internet; o interesse dos mesmos já que a tecnologia e o lúdico quase
sempre lhes prende a atenção; a possibilidade de mostrar que a matemática está em
vários lugares e inserida em seu dia a dia e de que o estudo de conteúdos matemáticos
pode ser interessante e divertido, buscando com isto desvincular a matemática da
imagem de carrasco.
Os jogos trabalhados são selecionados previamente de acordo com o nı́vel dos
alunos e suas necessidades, geralmente são selecionados no mı́nimo dois jogos com
diferentes nı́veis de dificuldade para que nenhum aluno deixe de participar das
atividades; caso algum aluno apresente alguma dificuldade com certo jogo proposto
é possı́vel apresentá-lo outro com o qual consiga trabalhar. As atividades são sempre
acompanhadas de objetivos especı́ficos a serem alcançados pelos estudantes.
Em suma, o que se pretende com esta atividade é despertar o interesse dos alunos
pelo estudo da matemática, pois acreditamos que o lúdico torna o ensino mais
prazeroso para o estudante e isto faz com que o processo de aprendizagem se torne
mais produtivo. Quadro e giz não são suficientes diante de tanta tecnologia; os
alunos esperam por aulas mais dinâmicas, em especial, aulas que envolvam estas
tecnologias que lhes são tão familiares. Acreditamos que existam alternativas para
o ensino da matemática, aulas mais dinâmicas nas quais os alunos sejam desafiados
e envolvidos com certeza acarretarão em melhor desempenho dos mesmos.
Referências
[1] BRASIL. Ministério da Educação. Secretariada Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brası́lia: MEC/SEF, 1997.
[2] DEMO, Pedro. Educação Hoje: Novas Tecnologias, Pressões e Oportunidades.
São Paulo: Editora Atlas S.A, 2009.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
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[3] D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação-Reflexão sobre educação
matemática. São Paulo: Campinas, Summus. Ed. Da Universidade Estadual
de Campinas, 1986.
[4] SMOOTHEY, Marion. Atividades e jogos com números/ Smoothey Marion:
Ilustração Ted Evans; Trad. Sérgio Quadros:
Revisão Técnica:
Marı́lia
Centurión. São Paulo Scipione, 1997-Coleção: Investigação Matemática.
A criação de jogos matemáticos no PIBID- UFJF e sua aplicação
nas aulas de Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental
Valentim, M. A.a , Peluso, G. G.b , Kirchmair, I. K.b , Costa, N.O.b ,
Glanzmann, R. B.b , Silva, K. C.b e Takahashi, L. T.b
a
Prefeitura de Juiz de Fora, Av. Brasil, 1.150, Juiz de Fora - MG. CEP 36. 060-070 - [email protected]
Depto de Matemática, Universidade Federal de Juiz de Fora, Rua José Lourenço Kelmer, S/n - Martelos, Juiz
de Fora - MG, CEP 36036-230 - MG. Emails [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected], [email protected] e [email protected]
b
O quadro atual vivenciado por nós educadores pode em parte ser descrito da seguinte
forma: por um lado os estudantes cada vez mais têm acesso a tecnologia que, em
geral, vem acompanhada com diversos meios de recreação e por outro lado percebese uma estática no sistema educacional. Assim, as dificuldades enfrentadas pelos
professores para atrair a atenção dos estudantes se tornou mais uma luta no processo
de ensino e aprendizagem. O uso de jogos é uma alternativa metodológica que
pode ser usada como instrumento facilitador nesse processo, daı́ a sua importância
e relevância, mas destacamos que esta ação deve estar atrelada ao envolvimento
do educador e a sensibilidade deste para o grau de desenvolvimento das múltiplas
inteligências por parte dos estudantes, apud [3]. O presente relato de experiência tem
como objetivo apresentar as ações de bolsistas do subprojeto PIBID/Matemática
Presencial, licenciandos do curso de Matemática, da Universidade Federal de Juiz
de Fora (UFJF), na construção de jogos matemáticos e as consequências da aplicação
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
dos mesmos nas aulas de Matemática.
O PIBID/Matemática presencial está
presente em três escolas parceiras, na cidade de Juiz de Fora- MG, com cinco
bolsistas em cada, sendo duas do sistema Estadual de Educação e uma do sistema
Municipal, no qual realizou-se esta experiência.
Destacamos que para os bolsistas a construção dos jogos dentro do contexto
do programa de Matemática do Ensino Fundamental permitiu uma ampliação
significativa na formação destes futuros professores.
Todo o processo envolveu
leituras e debates tanto sobre os conteúdos a serem abordados em cada jogo quanto
sobre o papel do lúdico nas aulas de Matemática, o que permitiu um conhecimento
maior sobre a relação do jogo com os respectivos conteúdos.
A utilização de jogos nas aulas de Matemática é mencionada nos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) como um dos caminhos para “fazer matemática”.
Apesar dele mencionar que não existe um caminho único e ou melhor para o ensino
em qualquer disciplina, conhecer diversas possibilidades de metodologias auxilia o
trabalho do professor. Nesse sentido o recurso de jogos é destacado.
Além de ser um objeto sociocultural em que a
matemática está presente, o jogo é uma atividade
natural no desenvolvimento dos processos psicológicos
básicos; supõe um “fazer sem obrigação externa
e imposta”, embora demande exigências, normas e
controle. [1]
Para o PCN (2007, p. 48 e 49), o recurso aos jogos contribui para desenvolver
o autoconhecimento, o aprender a lidar com sı́mbolos e a pensar por analogia, a
compreender e a utilizar convenções e regras, e aqueles que são em grupos também
auxiliam na conquista cognitiva, emocional, moral e social.
Para alguns autores os jogos é um meio muito eficaz para a aprendizagem [2],
proporcionam uma autonomia de se inventar e expressar o próprio desejo convivendo
com as diferenças [4] e nos casos de jogos em grupo, a possibilidade de trabalharem
com regularidade, respeito e disciplina exigidas pelas regras do jogo [5].
Os bolsistas elaboraram e aplicaram quatro jogos, apresentados a seguir com um
pequeno resumo das regras.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
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A corrida matemática consistiu na elaboração de exercı́cios, que envolve todas
as séries finais do E.F., e são apresentados em fichas 6cmx10cm de cartolina
plastificadas. O professor pode escolher as fichas de acordo com o ano escolar e
ou conhecimentos dos estudantes em que vai trabalhar. A cada sorteio e acerto o
grupo ou estudante dá um passo em direção a fita final.
Dominó Matemático dispõe sobre expressões numéricas. O jogo é semelhante ao
jogo de dominó original, porém as fichas (peças) possuem expressões numéricas
que resultam nas quantidades dos valores impressos nas peças originais. Cabe ao
estudante, ou grupo de estudantes, descobrir o valor de sua peça e verificar se ela
pode ser colocada na mesa.
Jogo vai e vem das equações. Esse é um jogo que trabalha essencialmente a equação
polinomial do primeiro grau, mas pode ser trabalhado com equações polinomiais do
segundo grau, equação biquadrada, equação fracionária e equação irracional. Cada
jogador resolve sua questão, em dois minutos. O valor encontrado o faz andar nas
casas, positivo vai para o lado direito e negativo para o lado esquerda. Quem perde
o tempo ou não resolve não movimenta sua peça. Ganha quem chegar no final em
um dos lados.
Batalha cartesiana. Semelhante a batalha naval. Cada jogador dá uma coordenada
para seu adversário identificando os quadrantes e as coordenadas. A pontuação
sobre acertos e aproximações são combinados ao inı́cio da partida.
O trabalho de pesquisa, por parte dos bolsistas, para a construção dos jogos e
utilização do lúdico em sala de aula permitiu ao grupo conhecer as potencialidades
dessas atividades no ensino e ampliar o conhecimento sobre metodologias para os
conteúdos do programa nos quais o jogos foram criados.
Verificou-se, durante a aplicação dos jogos nas salas de aula, que os estudantes se
mostram muito mais interessados em resolver as questões propostas e naqueles em
que eram realizados em grupos houve maior interação entre os estudantes e uma
maior discussão sobre o conteúdo o que provocando ajuda mútua. Os jogos causam
um clima de competição, mas também de cooperação. Cabe ao professor analisar e
avaliar as potencialidades educativas dos jogos a serem aplicados e sempre pautando
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
numa competição saudável.
Referências
[1] Brasil. Parâmetros curriculares nacionais: matemática/ Secretaria de Educação
Fundamental. v.3 - Brası́lia: MEC./SEF, 2007.
[2] M. G. Lopes. Jogos na Educação: criar, fazer e jogar. São Paulo: Cortez, 2001.
[3] R. Miranda. Estudo das formas geométricas através da utilização do TANGRAM.
Dissertação de Mestrado Profissional em Matemática, Universidade Federal de
Juiz de Fora, 2015.
[4] R. F. Pereira, P. Fusinato. LUDOASTRONOMIA: Um jogo de tabuleiro para o
ensino de Astronomia. Anais do XIX SNEF. 2011.
[5] E. H. Schaeffer. O jogo matemático como experiência de diálogo: análise
fenomenológica da percepção de professores de matemática. 2006. 178p.
Dissertação - Mestrado em Educação para a Ciência e o Ensino de Matemática,
UEL, Maringá.
III Semana Acadêmica de Matemática
Pôsteres
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
53
Algumas Aplicações de Equações Diferenciais Ordinárias
Alves, D. N. S.1 , Teixeira, E. J.2
1
Departamento de Fı́sica, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário, CEP
36570-000 - Viçosa - MG. Email: [email protected]
2
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. Email: [email protected]
Muitos fenômenos que aparecem em nosso cotidiano podem ser modelados
através de taxas de variação. Uma vez que taxa de variação instantânea é uma
derivada, não é surpreendente que tais princı́pios sejam modelados por equações
envolvendo derivadas, ou seja, Equações Diferenciais Ordinárias ou Parciais. Uma
vez conhecida a equação diferencial que modela um determinado fenômeno, é
importante saber resolver tal equação diferencial para analisarmos o comportamento
de tal fenômeno. Nem sempre encontrar uma fórmula explı́cita para uma equação
diferencial é possı́vel.
Neste trabalho apresentaremos alguns modelos, que seremos capazes de
encontrar soluções explı́citas para o mesmo. Com isso, apresentaremos tal solução
e uma análise de seu comportamento.
Referências
[1] Doering, C. I.; Lopes, A. O., Equações Diferenciais Ordinárias. Coleção
Matemática Universitária. Rio de Janeiro: Impa, 2012.
[2] Figueiredo, D. G.; Neves, A. F., Equações Diferenciais Aplicadas. Coleção
Matemática Universitária. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.
[3] Boyce, W. E.; DIPRIMA, R. C., Equações Diferenciais Elementares e Problemas
de Valores de Contorno. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, Livros Técnicos e
Cientı́ficos, 7a ed, 2001.
[4] SANTOS, R. J., Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias. Belo
Horizonte:
Imprensa Universitária da UFMG, 2011. Disponı́vel em:
http://www.mat.ufmg.br/˜regi/eqdif/iedo.pdf. Acesso em: 29 de junho de 2015.
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
[5] SANTOS, R. J., Tópicos de Equações Diferenciais. Belo Horizonte, 2011.
Disponı́vel em: http://www.mat.ufmg.br/˜regi/eqdif/topeqdif.pdf. Acesso em: 29
de junho de 2015.
O número de reprodutibilidade basal em um modelo
compartimental de Tuberculose com falha no tratamento
Assis, D. F.a , Takahashi, L. T.b
a
Depto de Matemática, Universidade Federal de Juiz de Fora, Rua José Lourenço Kelmer, s/n - Martelos, Juiz de
Fora - MG, CEP 36036-230 - MG. [email protected]
b Depto de Matemática, Universidade Federal de Juiz de Fora, Rua José Lourenço Kelmer, s/n - Martelos, Juiz de
Fora - MG, CEP 36036-230 - MG. [email protected]
A Epidemiologia é uma importante área de pesquisa da Biomatemática, e é onde
pesquisadores vêm obtendo importantes informações sobre a dinâmica de diversas
doenças, em muitos casos, utilizando modelos matemáticos baseados em sistemas de
equações diferenciais. A importância deste tipo de pesquisa fica evidente quando o
hospedeiro é o ser humano. Uma das mais importantes preocupações sobre qualquer
tipo de doença infecciosa é a sua habilidade de invadir uma população.
Neste trabalho abordamos um dos conceitos fundamentais em Epidemiologia o
Número de Reprodutibilidade Basal, R0 , que tem por finalidade descrever se uma
doença infecciosa tem ou não essa habilidade para invadir uma população.
E
baseados no trabalho “Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria
for compartmental models of disease transmission”de Driessche, P. van den e
Watmough, J., de 2005 [2], apresentamos um método para obter o R0 , para uma
classe de sistemas de equações diferenciais. A ideia se baseia em que muitos modelos
epidemiológicos têm um equilı́brio livre de doença (ELD) no qual a população
permanece sem a doença [1] [3] [4], e nestes modelos usualmente podemos determinar
R0 , tal que, se R0 < 1 então o ELD é assintóticamente estável, e a doença não
consegue invadir a população, mas se R0 > 1 então o ELD é instável e a invasão é
sempre possı́vel.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
55
E aplicamos o método descrito para um modelo EIST para a tuberculose, onde
uma população fixa, N , é subdividida em quatro compartimentos: E a população
de indivı́duos expostos, I a população de indivı́duos infectados, S a população de
indivı́duos suscetı́veis e T a população de indivı́duos tratados. Logo, N = E + I +
S +T . Para este modelo EIST consideramos que os indivı́duos suscetı́veis e tratados
S
T
entram no compartimento de expostos com taxas β1 e β2 , respectivamente, que
N
N
os indivı́duos expostos progridem para o compartimento de infectados a uma taxa
v, que todos os rescém nascidos são suscetı́veis e que todos os indı́viduos morrem
com taxa d > 0. As taxas de tratamento são r1 para indivı́duos expostos e r2
para indivı́duos infectados. Entretanto, consideramos que apenas uma fração q do
tratamento dos indivı́duos infectados são bem suscedidos. Os indivı́duos em que
o tratamento falha são reintroduzidos ao compartimento dos infectados com taxa
p = 1 − q. Desta forma temos o seguinte modelo [2]:


















dE
β1 SI β2 T I
=
+
− (d + v + r1 )E + pr2 I
dt
N
N
dI
dt
= vE − (d + r2 )I
(4)


dS
β1 SI



= b(N ) − dS −


dt
N








dT
β2 T I


= −dT + r1 E + qr2 I −
.
dt
N
Referências
[1] Doering, Claus Ivo Equações diferenciais ordinárias, Instituto de Matemática
Pura e Aplicada, 2012
[2] Driessche, P. van den e Watmough, J., Reproduction numbers and subthreshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission,
Mathematical Biosciences, Vol. 180, pag. 29 − 48 2005.
[3] Sotomayor Tello, J. M., Lições de equações diferenciais ordinárias, Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, 1979.
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
[4] Wiggins, S., Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems And Chaos,
Springer-Verlag, Berlim, 1990.
Matemática sob o olhar do surdo
Costa, J.a , Valadares, C.b , Abrantes, A.c e Gomes, E.,A.d
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. [email protected]
b Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. cristiane [email protected]
c Departamento de Quı́mica, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. [email protected]
d Departamento de Quı́mica, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. [email protected]
A Libras é a lı́ngua materna dos surdos, ela é fundamental para formação de um
indivı́duo como parte integrante da sociedade e permite a comunicação entre surdos e
ouvintes. Assim, com o propósito de buscar a valorização e reconhecimento da lı́ngua
de sinais pela sociedade, começou em 2007 o projeto “Surdo Cidadão”, vinculado ao
Departamento de Matemática da UFV. O projeto se consolida idealizando uma
proposta que defende a acessibilidade dos surdos por meio das atividades que
são desenvolvidas, sendo estas: minicursos, palestras, aulas interdisciplinares para
surdos e grupo de estudos.
Os minicursos são voltados para as comunidades universitária, viçosense e região
e tem a finalidade de promover para muitos o primeiro contato com o surdo e
proporcionar um ensino básico de Libras. Em contrapartida, as palestras buscam
popularizar a lı́ngua de sinais e assim despertar o interesse das pessoas para a
aprendizagem e conscientização da importância da lı́ngua, motivando desta forma a
formação de professores bilı́ngues.
Ainda, o projeto oferece aulas interdisciplinares sejam teóricas ou práticas de
Quı́mica e Matemática para alunos surdos de Viçosa e região.
Por meio
destas e através de estudos em grupo, busca-se ampliar o conhecimento sobre
Libras e melhorar a prática pedagógica, valorizando assim a cultura surda e
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
57
consequentemente garantindo um ensino significativo.
Nas aulas de matemática e quı́mica procura-se utilizar uma metodologia diferenciada
que atende tanto alunos surdos quanto ouvintes. Materiais concretos, como por
exemplo, material dourado; aulas expositivas ou práticas contribuem muito para
aprendizagem dos surdos.
No decorrer do desenvolvimento das atividades, observou-se que principalmente os
surdos tem mais facilidade de adquirir o conhecimento partindo de algo que faça
parte da realidade deles. As fórmulas, algoritmos, expressões, entre outros; pouco
fazem sentido se estes não estiverem dentro de um contexto em que eles possam
entender a motivação para chegar a tal resultado. Por isto, as atividades do projeto
atendem em grande parte os objetivos do mesmo, pois por meio destas, todos são
impulsionados a compreender melhor a realidade dos surdos para que estes possam
igualmente ter acesso aos benefı́cios da sociedade.
Teorema Global de Quine em Teoria de Singularidades
Costa, M. D. V.a e Sanchez. C. M. J.b
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. Email: [email protected]
b Reitoria, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn, CEP 36570-000 - Viçosa - MG. Email:
[email protected]
O estudo de aplicações do plano no plano foi introduzido, primeiramente, em 1955
por Hassler Whitney, onde determinou que um germe (pequena vizinhança de um
ponto) de aplicação em cada ponto é equivalente a um ponto regular ou é equivalente
a um ponto singular do tipo dobra ou cúspide. Whitney também determinou que
o conjunto de aplicações estáveis entre duas superfı́cies formam um subconjunto
aberto e denso no espaço de todas as aplicações suaves. As aplicações estáveis
entre duas superfı́cies, localmente podem ser vistas como aplicações do plano no
plano. Para cada classe de homotopia de uma aplicação f entre dois conjuntos M e
N existe uma aplicação estável. Quando f é estável, existe o conjunto singular da
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
aplicação, que consiste de uma coleção de curvas simples, mergulhadas e disjuntas na
superfı́cie. A imagem do conjunto singular é conhecido como conjunto de ramificação
e consiste de uma coleção de curvas fechadas e imersas no conjunto N com possı́veis
interseções transversais e singularidades correspondentes às cúspides sendo ambas
em número finito. A caracterı́stica de Euler é um invariante topológico muito
importante na classificação de objetos. Em 1978, Quine introduziu um teorema
global para aplicações entre superfı́cies fechadas e orientadas, o qual relaciona a
soma do grau local da cúspide com a caracterı́stica de Euler do contradomı́nio e de
dois conjuntos da aplicação: um conjunto com o fecho das regiões regulares os quais
possuem a orientação preservada pela aplicação, e, outro conjunto contendo o fecho
das regiões regulares os quais possuem orientação invertida. A demonstração dada
por Quine para seu Teorema Global, apoia-se, de modo geral, na teoria de Variedades
Diferenciais. Catarina Mendes de Jesus Sanchez obteve resultados que levaram a
uma nova demonstração do teorema global de Quine, via transições de codimensão
um e cirurgias em aplicações estáveis. O objetivo deste trabalho é apresentar os
principais resultados que levaram a esta demonstração. A metodologia adotada para
alcançar os objetivos foi a metodologia própria utilizada na pesquisa em matemática,
que consiste na revisão bibliográfica de livros seguida de exposição e discussão dos
tópicos em reuniões realizadas entre bolsista e a orientadora. Os resultados obtidos
até o presente são teóricos e fruto do aprofundamento dos estudos.
Referências
[1] D. Hacon , C. Mendes de Jesus and M. C. Romero Fuster, Stable maps from
surfaces to the plane with prescribed branching data. Topology and Its Appl.,
154 (2007) 166-175.
[2] C. Mendes de Jesus, Invariants of maps between closed surfaces, preprint 2014.
[3] T. Ohmoto and F. Aicardi, First Order Local Invariants of Apparent Coutours,
Topology, 45 (2006) 27-45.
[4] J. R. Quine, A global theorem for singularities of maps between oriented 2manifolds, Trans. AMS, 236 (1978) 307-314.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
59
[5] H. Whitney, On Singularities of Mappings of Euclidean Spaces, I, Mappings of
the Plane into the Plane, Ann. of Math., 62 (1955) 374-410.
Aprendendo matemática com materiais alternativos
Gomes, J. V.a , Lopes, B. B;
b
e Lima, L. P.c
a
Licencianda no curso de Matemática pela Universidade Federal de Viçosa - Campus Florestal. Atua como bolsista
do trabalho. Rodovia LMG 818, km 06, Florestal/MG - CEP: 35690-000. Email: [email protected].
b Licencianda no curso de Matemática pela Universidade Federal de Viçosa - Campus Florestal.
Atua
como voluntária do trabalho.
Rodovia LMG 818, km 06, Florestal/MG - CEP: 35690-000.
Email:
bruninha [email protected].
c Professor do departamento de matemática da Universidade Federal de Viçosa - Campus Florestal. Atua como
orientador do trabalho. Rodovia LMG 818, km 06, Florestal/MG - CEP: 35690-000. Email: [email protected].
A disciplina Matemática é vista como “difı́cil” pela maioria dos alunos em todos
os nı́veis do ensino. Existem dificuldades inerentes ao ensino da Matemática que
passam inclusive pelo processo de transferência do conhecimento. Para superar essas
dificuldades, se faz necessária uma interferência no processo de ensino aprendizagem
de modo a detectar as deficiências e buscar metodologias que possibilitem o acesso
a esse conhecimento por todos os conteúdos de matemática. Por acreditar que os
professores desejam tornar o processo educativo mais interessante e motivador, o
projeto Aprendendo Matemática com Materiais Alternativos, pretende servir de
apoio a esses, com o objetivo de possibilitar melhorias no ensino-aprendizagem
de Matemática, através do desenvolvimento e aplicação de materiais alternativos
em sala de aula, de modo que o educando tenha participação ativa, havendo uma
interação aluno-conteúdo-professor.
Iniciou-se o projeto levantando materiais para a elaboração dos jogos, buscando em
diversas fontes e adaptando para melhor se encaixar nos nossos objetivos. Fizeramse correções necessárias em jogos e planejou-se um questionário como forma de
avaliação. Na construção dos jogos, entre eles um baralho especı́fico sobre geometria,
um bingo que contém operações elementares, um jogo de dados para trabalhar
probabilidade, um show de perguntas e respostas baseado em provas do ENEM e um
60
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
tabuleiro com alguns pontos que ajudam a aprimorar a compreensão dos intervalos
numéricos, identificar as propriedades da circunferência, apropriar-se de sua equação
e representar pontos no plano cartesiano. Dedicou-se à confecção desses cinco jogos
e na aplicação deles. Conseguiu-se aplicar quatro jogos. Após as avaliações, nota-se
que o jogo, além de divertido e instrutivo, contribuiu para a fixação dos conteúdos.
O interessante é que boa parte dos alunos que responderam o questionário foram
capazes de perceber que métodos tradicionais e métodos modernos se completam.
Apesar de preferirem os jogos e materiais concretos, reconhecem a importância de
uma aula de quadro e giz. Enfim, busca-se testar a eficácia do ensino lúdico e
resultados que demonstrem uma mudança no interesse dos alunos pela matemática
a partir do jogo e de sua maneira descontraı́da de ensinar.
Referências
[1] E. B. M. Espı́ndola; J. A. Santana; R. C. M. André, Matemática - Projeto
Aprender Mais. Secretaria de Educação de Pernambuco, Pernambuco, 2011.
[2] E. F. S. Chaves, O lúdico e a matemática. 2009. Monografia (Licenciatura
em Matemática) - Instituto Superior De Educação, Faculdade Pedro II, Belo
Horizonte, 2009.
[3] L. P. R. Strapason, O uso de jogos como estratégia de ensino e aprendizagem
da matemática no 1o ano do Ensino médio. 2011. Dissertação (Mestrado
Profissionalizante em ensino de fı́sica e de matemática) - Pró-Reitoria de Pósgraduação, Pesquisa e Extensão, Centro Universitário Franciscano de Santa
Maria, Santa Maria, 2011.
[4] P. L. W. M. Neusa, Jogos e matemática: uma proposta de trabalho para o ensino
médio. 2009. Relato de atividades - Colégio Estadual São José - Ensino Médio e
Profissionalizante, Lapa, Paraná.
[5] I. P. Sá, Os jogos e atividades lúdicas nas aulas de matemática da educação
básica. 2010. Universidade Severino Sombra, Rio de janeiro, 2010.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
61
[6] J. R. Reis; D. S. P. Machado; W. S. Fonseca, Fabricação de jogos a
partir de materiais recicláveis como meio de conscientização e responsabilidade
socioambiental. 2012. Relato de atividades - XL Congresso Brasileiro de
Educação em Engenharia, Universidade Federal do Pará - Campus Universitário
de Tucuruı́, Belém - Pará. 2012.
Introdução à Análise Funcional e Aplicações.
Guimarães, R. M. M.a , Ferreira, W. M.b , Martins, E. M.
c
a
Aluno do curso de Bacharelado em Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto, Campus Morro do
Cruzeiro, CEP 35400-000 - Ouro Preto - MG. Email: [email protected]
b Departamento de Matemática, Universidade Federal de Ouro Preto, Campus Morro do Cruzeiro, CEP 35400-000
- Ouro Preto - MG. Email: [email protected]
c Departamento de Matemática, Universidade Federal de Ouro Preto, Campus Morro do Cruzeiro, CEP 35400-000
- Ouro Preto - MG. Email: [email protected]
O estudo dos espaços de funções, tema ao qual a Análise Funcional dedica sua
atenção, é fundamental dentro da Matemática e também dentro de suas aplicações a
diversas áreas como fı́sica, engenharia e economia. Este ramo da Matemática originase da Análise clássica, principalmente devido aos estudos relativos a Equações
Diferenciais Ordinárias e Parciais, Análise Numérica, Cálculo das Variações, dentre
outros.
Na graduação, o cálculo diferencial é abordado em espaços de dimensão finita mas
diversas aplicações demandam um tipo de cálculo em espaços de funções (espaços
vetoriais de dimensão infinita) e ilustram a necessidade de se dominar as teorias
abordadas pela Análise Funcional. Desta forma, o conhecimento de resultados
clássicos das “funções cujo argumento é uma função” torna-se tema de grande
importância dentro da Matemática e o domı́nio de seus principais conceitos é de
grande importância nas aplicações.
Neste sentido, pretendemos estabelecer formalmente a noção de convergência e em
seguida estudar alguns teoremas fundamentais da Análise Funcional: o Teorema
de Hahn-Banach da extensão dominada de funcionais lineares e seus corolários; o
62
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Teorema da Aplicação Aberta nos dá condições suficientes para que uma aplicação
linear entre espaços de Banach seja contı́nua e invertı́vel, com inversa contı́nua; e o
Teorema do Gráfico Fechado que estabelece uma relação entre a continuidade de um
operador e o fato de seu gráfico ser fechado. Baseados principalmente nas referências
[1, 2, 3, 4, 5, 8], estabeleceremos as demonstrações dos teoremas anteriormente
citados, explorando sempre que possı́vel sua interpretação geométrica e explorando
exemplos relativos a eles.
Pretendemos também, baseados no que foi feito em [6] e [7], aplicar os resultados
teóricos estudados na resolução de um problema prático referente à maximização do
lucro de uma empresa que extrai determinado mineral em uma região.
Problema 1 Uma mineradora de cobre deseja remover todo o cobre de uma região,
que contem cerca de Q toneladas, durante um perı́odo de T anos. À medida em que
extraı́rem o cobre, venderão a tonelada a um preço de
p = P − ax(t) − bx0 (t),
em que P, a e b são constantes positivas; x(t) denota o total de toneladas vendidos
no tempo t. A companhia deseja maximizar seu lucro, dado por
Z
I(x) =
T
[P − ax(t) − bx0 (t)] x0 (t)dt,
(5)
0
em que x(0)=0 e x(T)=Q. Como ela deve proceder?
Resolver tal problema corresponde a associar a cada uma das curvas cujo ponto
inicial é (0,0) e cujo ponto final é (T, Q), um número (que denominaremos “lucro”),
e obter “a forma da curva”que maximizará este número. Em outras palavras,
procuramos a curva que minimiza a aplicação
I : {Conjunto das curvas entre (0,0) e (Q,T)} → R+ .
Situações similares a esta podem ser encontradas em diversos ramos das ciências
e, consequentemente, o estudo do tema de maneira abstrata e o entendimento das
técnicas para abordá-los torna-se importante.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
63
Referências
[1] Bueno, H., Ercole, G., Zumpano, A. Introdução à Análise Funcional. Em
preparação.
[2] Kreyszig, Erwin, Introductory Functional Analysis with Applications, 1◦ ed. 1989,
John Wiley & Sons, 704p.
[3] Guimarães, Ricardo M. Mendes. Ferreira, Wenderson M. Introdução aos
Espaços de Sobolev, 2015, 62p.(Projeto de Iniciação Cientı́fica integrante do
PROBIC/FAPEMIG/UFOP).
[4] Lima, Elon Lages, Curso de Análise, Vol.1 , 14o edição. Rio de Janeiro: IMPA,
2013, 431p (Projeto Euclides).
[5] Oliveira, Cézar. R. Introdução à Análise Funcional. (2a edição). Rio de Janeiro,
IMPA, 2012, 257p. (Publicações Matemáticas)
[6] Sasane, Amol. Functional Analysis and its Applications. (1a edição). Londres,
Department of Mathematics, London School of Economics, 85p. (disponı́vel na
internet na página http://personal.lse.ac.uk/sasane/ma412.pdf).
[7] Sasane, Amol. Optimisation in Function Spaces. (1a edição). Londres,
Department of Mathematics, London School of Economics, 83p. (disponı́vel na
internet na página http://personal.lse.ac.uk/sasane/ma412.pdf).
[8] Zumpano, A. O Teorema da Função Aberta e sua Consequência na Análise
Local de Funções de Classe C 1 . Junho/Dezembro 1996 - pp 46-59. (Matemática
Universitária)
64
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Dinâmica de Difeomorfismos do Cı́rculo
Nascimento, R. F. D.a , Munis Júnior, J.
b
a
Estudante, Universidade Federal de Viçosa Campus Florestal, Email: [email protected]
de Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade Federal de Viçosa Campus Florestal, Rodovia LMG 818,
KM 06, Campus Universitário, CEP 35690-000 - Florestal - MG
b Instituto
Dado uma aplicação f : S 1 → S 1 no cı́rculo, dizemos que f é um difeomorfismo
Morse-Smale se satisfaz duas condições: 1) f possui pelo menos um ponto periódico;
2) todo ponto periódico de f é hiperbólico.
Dado um ponto fixo x ∈ S 1 , dizemos que x é um ponto hiperbólico se |f 0 (x)| =
6 1.
Se |f 0 (x)| < 1 então x é ponto fixo atrator. Se |f 0 (x)| > 1, então x é dito ponto
fixo repulsor. Se x é um ponto periódico de perı́odo n, dizemos que x hiperbólico
(atrator ou repulsor) se x é ponto fixo hiperbólico (atrator ou repulsor) de f n . Um
ponto fixo (ou periódico) com derivada igual a 1 ou −1 é dito não-hiperbólico.
O Closing Lemma, garante que apenas transformações com número de rotação
racional podem ser estruturalmente estáveis. Aliado a esse resultado utilizamos
”bump function”a fim de perturbarmos um difeomorfismo do cı́rculo f preservando
sua classe de diferenciabilidade, de modo a se obter que f é um difeomorfismo
Morse-Smale de S 1 se, e somente se, é estruturamente estável. Dizer que f é C r estruturalmente estável, significa dizer que todo difeomorfismo g : S 1 → S 1 tal que
d(f, g) < é topologicamente conjugado a f .
Para realização deste trabalho foram estudados alguns conceitos e demonstrações de
Topologia de Espaços Métricos, Sistemas Dinâmicos e Homeomorfismos do Cı́rculo.
Estudamos definições e demonstrações envolvendo Hiperbolicidade e Estabilidade,
os Difeomorfismos Morse-Smale do Cı́rculo e a construção da bump-function.
O objetivo foi aprofundar o conhecimento em Sistemas Dinâmicos e Topologia. Em
paticular, estudar a dinâmica de difeomorfismo do cı́rculo, como por exemplo os
Difeomorfismos Morse-Smale.
Após o conteúdo sobre os difeomorfismos Morse-Smale, que preservam orientação,
pode-se observar que os resultados obtidos são válidos para difeomorfismos MorseSmale que invertem orientação e na topologia C r . Além disso, a equivalência entre
Morse-Smale ser estruturalmente estável vale apenas no contexto dos difeomorfismos
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
65
do cı́rculo.
Referências
[1] Robinson, C., Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dybamics and Chaos,
CRC Press, 1995.
[2] Domingues, H. H., Espaços Métricos e Introdução à Topologia, São Paulo:
Atual, 1982.
[3] Godbillon, C., Dynamical Systems on Surfaces. Springer-Verlag, Berlim
Heidelberg.
[4] Brim, M. and Stuck, G., Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.
[5] Katok, A. and Hasselblatt, B. Introduction to the Modem Theory of Dynamical
Systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
[6] Lima, E. L., Curso de Análise, Vol.1. 14a edição, IMPA, Rio de Janeiro, 2013.
[7] Munkres, J. R. Topologia, Prentice Hall, 2a Edición; Madrid, 2002.
[8] Abdenur, F. e França, L. F. N., Hiperbolicidade, Estabilidade e Caos em
Dimensão Um, 26o Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, 2007.
[9] França, L. F. N., Estabilidade e Densidade dos Difeomorfismos Morse-Smale do
Cı́rculo. 2008. Dissertação de Mestrado em Matemática - Do Programa de PósGraduação em Matemática, Departamento de Matemática do Centro Tecnico
Cientı́fico, PUC-Rio, Rio de Janeiro, 2008.
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Grupos de Matrizes
Neto, S. C.a e dos Santos, L. Jb
a
Depto de
36036-230 b Depto de
36036-230 -
Matemática, Universidade Federal de Juiz de Fora, Rua José Lourenço Kelmer, sn - Martelos, CEP
Juiz de Fora - MG. Email [email protected]
Matemática, Universidade Federal de Juiz de Fora, Rua José Lourenço Kelmer, sn - Martelos, CEP
Juiz de Fora - MG. Email [email protected]
O objetivo desse trabalho é estudar algumas propriedades de grupos de matrizes.
Esses grupos são exemplos centrais de grupos de Lie, já que boa parte das técnicas
utilizadas aqui são, também, utilizadas na teoria geral de grupos de Lie. O trabalho
é baseado, principalmente, nas referências [1] e [2]. O conjunto Gl(n, K), formado
por todas as matrizes inversı́veis com n linhas e n colunas e com entradas em K,
satisfaz os axiomas de grupo, em relação a multiplicação de matrizes e é chamado
grupo linear geral. Aqui, K denota o corpo dos reais ou dos complexos, ou o
conjunto dos quatérnios. Consideramos os subconjuntos, do grupo linear geral,
formados por todas as matrizes que preservam o produto interno canônico em K n .
Esses subconjuntos são, na verdade, subgrupos de Gl(n, K) e são chamados grupo
ortogonal, grupo unitário e grupo simplético, nos casos em que K é o conjunto dos
reais, dos complexos ou dos quatérnios, respectivamente. Notemos que variando n
e K obtemos diversos grupos de matrizes.
Como esses grupos são definidos de maneiras diferentes, uma pergunta natural que
surge, nesse contexto, é a seguinte: quais desses grupos são isomorfos? Essa questão
se insere no problema de classificação de grupos de matrizes, é muito frequente,
em Matemática, quando se define uma nova estrutura e, em geral, é um problema
difı́cil de ser resolvido. Nesse sentido, começamos estudando alguns invariantes de
grupos de matrizes, que são propriedades que não se alteram sob isomorfismos. Os
principais invariantes que consideramos são: dimensão, centro e posto. Isto significa,
por exemplo, que se as respectivas dimensões de dois grupos são distintas então eles
não são isomorfos.
Para determinarmos esses invariantes, nos grupos de matrizes, precisamos
desenvolver alguns conceitos algébricos e topológicos, por exemplo, espaço tangente,
exponencial e logaritmo de matrizes, subgrupos a um parâmetro, conexidade por
caminhos, toro maximal, dentre outros.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
67
Por fim, a questão do isomorfismo, entre os principais grupos definidos, é solucionada
e, por meio deste estudo, novas questões podem ser levantadas encaminhando-nos
para estudos posteriores.
Referências
[1] A. Baker, Matrix Groups: An introduction to Lie Group Theory. Springer Verlag, 2012.
[2] M. L. Curtis Matrix Groups. Springer - Verlag, 1984.
A construção dos números: Dos naturais aos reais
Oliveira, A. P.a , Bragança, L. M.b
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. [email protected]
b Detartamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn, CEP 36570-000 Viçosa - MG. [email protected]
Este trabalho tem como objetivo o estudo detalhado da construção dos números
inteiros, racionais e reais a partir dos números naturais, este introduzido através
dos axiomas de Peano. As construções dos conjuntos numéricos propostas neste
trabalho foram dotadas de fundamentação teórica, com demonstrações e método
axiomático. A parte central deste estudo foi a construção dos números reais a partir
dos racionais, utilizando os Cortes de Dedekind.
Para obter uma base teórica
necessária, foram estudados alguns tópicos como Lógica matemática, Modelos
Axiomáticos, Convenções Matemáticas, Técnicas e estratégias de demonstração,
Números naturais: Axiomática de Peano, Operações com números naturais e
Relação de ordem.
Para dar sentido aos números negativos, foi utilizada a
estrutura aritmética dos naturais, noções básicas de Teoria de conjuntos e relações de
equivalência. Foi definido, então, um número inteiro como uma classe de equivalência
dada pela seguinte relação: R = {[(a, b), (c, d)] ∈ N × N : a + d = b + c}, e o conjunto
68
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
dos números inteiros, denotado por Z, sendo o conjunto quociente constituı́do por
essas classes. Em seguida foram definidas duas operações em Z, a adição e a
multiplicação, e uma relação de ordem. Além disso, estudou-se algumas propriedades
deste conjunto, por exemplo, a sua enumerabilidade, ou seja, sua bijeção com o
conjunto dos números naturais.
Ao tentar definir os números fracionários de modo análogo ao que foi feito no caso
da subtração em Z, onde a soma a−b, é, por definição, a+(−b), teria-se a÷b = a·b−1 ,
onde b−1 é o inverso multiplicativo de b. Entretanto, os únicos elementos inversı́veis
de Z são o 1 e -1, logo essa definição de divisão não faz sentido. Por esse motivo, foi
necessário trabalhar novamente com o conceito de relação de equivalência, definindo
um número racional como uma classe de equivalência dada pela seguinte relação:
R = {[(a, b), (c, d)] ∈ Z × Z : ad = bc} e o conjunto dos números racionais, denotado
por Q, sendo o conjunto quociente constituı́do por essas classes. Foram definidas
também duas operações em Q, a adição e multiplicação, além de uma relação de
ordem e vistas algumas propiedades, por exemplo, a sua enumerabilidade, assim
como nos inteiros e o fato de Q ser um corpo ordenado.
A construção dos números reais foi obtida dos racionais através dos Cortes de
Dedekind. Entende-se por corte um conjunto próprio α ⊂ Q diferente de vazio, tal
que em α não existe elemento máximo e, além disso, se r ∈ α e s < r (s racional),
então s ∈ α. Foi visto também que r é cota superior de α, se e somente se, r
∈ Q \ α. Ainda, se r ∈ Q e α = {x ∈ Q : x < r}, então α é um corte e r é
a menor cota superior de α, definindo este tipo de corte como um corte racional,
denotado por r∗ . Logo após, foram vistos cortes não racionais, os quais chamamos
de irracionais, por exemplo, α = {x ∈ Q+ : x2 < 2} ∪ Q∗− . Assim como nos
inteiros e racionais, definiu-se uma relação de ordem sobre o conjunto dos cortes,
dizendo que α é menor que β quando β \ α 6= ∅. Neste conjunto também é válido
a propriedade da tricotomia, ou seja, para α e β cortes, tem-se ou α = β ou α < β
ou α > β. As operações de adição e multiplicação foram definidas da seguinte
maneira: α + β = {r + s : r ∈ α e s ∈ β} e α · β = Q∗− ∪ {r ∈ Q : r = pq, com
p ∈ α, q ∈ β, p ≥ 0 e q ≥ 0}. Novamente, assim como nos racionais, foi visto
que ambas operações definidas neste novo conjunto possuem as propriedades da
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
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comutatividade, associatividade, distributividade, a existência do elemento neutro,
o elemento inverso na multiplicação e o elemento simétrico na adição, além da
compatibilidade da relação de ordem com tais operações. Resgatando a linguagem
algébrica, o conjunto dos cortes é como o conjunto dos racionais, um corpo ordenado.
Sendo C o conjunto dos cortes, a aplicação j : Q → C definida por j(r) = r∗ é
injetora e preserva adição, multiplicação e ordem. Consequentemente j(Q) é uma
cópia de C em Q, e j(Q) é precisamente o conjunto dos cortes racionais. Finalmente,
este novo conjunto C é denominado de conjunto dos números reais, denotado por
R. Os cortes racionais são identificados, via aplicação j, com os números racionais
e todo corte não racional será denominado número irracional.
Referências
[1] D. C. Morais Filho, Um Convite à Matemática, SBM, 2012.
[2] H. H. Domingues, Fundamentos de Aritmética, Atual Editora Ltda., 1991.
[3] J. Ferreira, A construção dos números, 3a Ed., SBM, 2013.
[4] E. L. Lima, Análise Real, vol.1., 8a Ed. Coleção Matemática Universitária, IMPA,
2004.
[5] I. Niven, Números Racionais e Irracionais. 1a Ed., SBM, 2012.
70
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Dispor ou não as fórmulas matemáticas durante avaliação da
aprendizagem? Dilema em Sala
Pereira, A. J.
a
Departamento de Matemática, Faculdade Vale do Gorutuba, A. Tancredo Neves, 302F, CEP 39525 - 000 - Nova
Porteirinha - MG. Email: andre [email protected]
Este resumo apresenta resultados de um estudo que teve como objetivo investigar a
opinião dos professores e alunos sobre duas metodologias de avaliação do ensino da
matemática ambas encontradas durante nosso estágio de graduação em uma escola
pública de ensino do municı́pio de Janaúba-MG no 3◦ ano (ensino médio). Uma se
o professor deve disponibilizar as fórmulas durante a verificação da aprendizagem
e a outra não. Queremos entender, com a pesquisa, é entender se o professor
pode dispor ou não as fórmulas durante a verificação da aprendizagem. Destarte,
levantamos a seguinte problemática: Os alunos tem a dificuldade em memorizar?
Qual a justificativa para dispor as fórmulas? O que pode prejudicar na aprendizagem
dos alunos? Para responder tais questionamentos realizamos uma pesquisa de cunho
qualitativo, em que aplicamos um questionário aos professores e alunos dessa mesma
escola, além disso, uma prova para aos alunos, divididos em duas etapas, para a
primeira com as fórmulas na prova e para a segunda sem.
Diante das informações proporcionadas pela pesquisa que as metodologias de
avaliação na matemática, utilizando o instrumento prova, no qual uma delas é a
disponibilização existe, e que a maior parte dos professores utilizam como prática
avaliativa. Pois, os alunos apresentam dificuldade em memorizar.
Essas metodologias são aplicadas nas provas onde as fórmulas, de acordo com os
professores, ás vezes ajudam os alunos a compreenderem melhor o conteúdo da
questão, ou seja, o que está sendo perguntado. Quando a matéria trabalhada em
sala tem grande ı́ndice de fórmulas para ser trabalhadas, dependendo do aluno, pode
atrapalhar na hora da prova.
Para compreendermos o efeito que disponibilização de fórmulas na prova tem sobre a
aprendizagem dos alunos, buscamos os pontos positivos e negativos da metodologia
onde encontramos como pontos negativos, o rendimento nos vestibulares, concursos,
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
71
prejudicando também nas habilidades de memorização, no dia-dia ou até mesmo no
mercado de trabalho.
Por outro lado, em relação aos pontos positivos, a disponibilização pode incentivar o
aluno a fazer boa prova, pois o ficará mais a vontade para estudar, ou mais confiante
em resolver uma prova.
A avaliação somativa onde usamos como instrumento a prova escrita mostrou que o
aproveitamento dos alunos é melhor usando as fórmulas matemáticas, confirmando
assim nossa hipótese inicial, a disponibilização de fórmula realmente ajuda o aluno
a tirar uma nota melhor, sendo também um benefı́cio para o aluno.
Finalmente, o professor deve ou não dispor as fórmulas na prova?
Chegamos à conclusão que isso é de acordo com as propostas e objetivos do
aluno e professor, resultado já dito por Hoffman (2011) quando afirma que as
metodologias avaliativas são adquiridas ao longo da carreira profissional do docente
e são sustentadas de acordo com seus objetivos. Percebemos que se o objetivo
do professor é preparar o aluno para os vestibulares, concursos e/ou mercado de
trabalho, ele não deve dispor as fórmulas matemáticas, por que irá prejudicá-lo.
Por outro lado, sabemos que o desempenho escolar varia de aluno para aluno, ou
seja, nem todos consegue ter boa memoria para lembrar das fórmulas, sendo assim
se o objetivo for incentivá-lo a estudar, tentando reduzir a“decoreba” e/ou mostrar
que a matemática não é mecânica, que só se reproduz através de fórmulas até mesmo
equações, ele deverá dispor as fórmulas.
Essa proposta vem sendo estudada por Soistak (2014), a ideia de sua pesquisa
comunga com nossa conclusão quando afirma que:
A memorização pode vir a contribuir muito para
modificação destes conceitos negativos, pois a partir
do momento que o aluno domine o básico através da
memorização pode vir a compreender e a aprender
matemática, realizando as atividades com prazer,
além de sua auto-estima estar sendo valorizada neste
momento. (SOISTAK 2014, P. 9)
Portanto, a disponibilização das fórmulas na prova é um incentivador para o aluno
que tem dificuldades em matemática e, mais especifico, na memorização. Porém, de
certa forma, prejudica os alunos que pretendem prestar vestibulares ou no dia-a-dia.
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Referências
[1] Bloom, S.B., Manual de avaliação formativa e somativa do aprendizado escolar.
São Paulo: Livraria Pioneira, 1983.
[2] Hoffman, Jussara. Avaliar para promover: as setas do caminho. Porto Alegre:
Mediação, 2009.
[3] Luckesi, Cipriano Carlos, Avaliação da aprendizagem escolar:
estudos e
preposições. 22.ed. - São Paulo 2011.
[4] Soistak,
Maria Marilei,
Ensinando a ciência matemática através da
memorização: uma possı́vel estratégia. IV Senept 2014.
Uma abordagem complexa: Os Teoremas de Cauchy, Liouville e Morera
Rocha, M. R. V.a
a
Instituto de Ciência e Tecnologia, Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri, Rod. MGT 367,
Km 583, n◦ 5000 - Alto da Jacuba - Campus Universitário, CEP 39100-000 - Diamantina - MG.
maira− [email protected]
No conjunto dos números reais aprendemos limites, derivadas e integrais. Desta
mesma forma, esses conceitos são apresentados no conjunto dos números complexos,
sendo que a maioria das propriedades conhecidas também são válidas no corpo
C dos complexos, ocorrendo uma variação significante somente quando nos são
apresentadas as integrais, quando devemos recorrer à ajuda de alguns teoremas
importantes, sem os quais não seria possı́vel terminar nosso estudo.
Como metodologia, tratamos inicialmente as funções elementares, tais como a
exponencial, o logaritmo, trigonométrica e a função potência. Na forma exponencial,
um número complexo z = x + iy, devido as propriedades multiplicativas, é
escrito como exp(z) = ez = ex+iy := ex expiy = ex (cos y + i sin y). As funções
trigonométricas são representadas por sin z =
eiz −e−iz
, cos z
2i
=
eiz +e−iz
,z
2
∈ C,
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
73
devido à propriedades trazidas das exponenciais. A função complexa log : C − {0}
é definida como: log(z) := log |z| + i arg z, z ∈ C − {0}, e a função potência definida
por ab := eb log(a) , com a, b ∈ C, e a 6= 0.
Apresentadas as formas complexas das funções conhecidas, fazemos nossa primeira
abordagem, à qual faz menção aos limites de uma função. Para isso seja z0 ∈ A.
Dizemos que s é limite da função f (z) no ponto z0 quando ∀ > 0, ∃δ > 0 tal que z ∈
D0 (z0 , δ) ⇒ |f (z) − s| < . Quando o limite de f existe e é igual a s, escrevemos
limz→z0 f (z) = s, desta forma, se o limite existe ele também é único.
Seguindo a definição de limite, uma função f é C-diferenciável ou diferenciável
no sentido de variável complexa, num ponto z0 ∈ A, quando limz→z0
existe. E quando o limite existe denotamos o seu valor por f0 (z0 ), ou
f (z)−f (z0 )
z−z0
df
(z ), e
dz 0
diremos que a derivada de f no ponto z0 é f0 (z0 ), sendo suas propriedades análogas
ao caso real. Nos complexos, uma função é diferenciável se ela satisfaz as condições
de Cauchy-Riemann. Para isso tomemos f = u + iv, onde u = u(x, y) e v = v(x, y)
são funções de duas variáveis reais. Com isso, podemos escrever as equações de
Cauchy-Riemann como
∂u
∂x
=
∂v
∂y
e
∂u
∂y
∂v
= − ∂x
.
Terminamos nosso estudo com as integrais, que no caso de funções complexas são
R
definidas com curvas γ f (z)dz. Uma curva, um contorno ou um caminho é uma
função contı́nua γ : [a, b] → R × R ou C de um caminho fechado [a, b] ⊂ R no R2 ou
no plano C. O caminho é diferenciável ou suave quando γ é uma funçao diferenciável.
Os pontos γ(a) e γ(b) são respectivamente o ponto inicial e o final da curva γ, e isso
determina uma direção sobre γ. Dizemos que a curva é fechada quando γ(a) = γ(b).
Com os estudos necessários chegamos a um resultado muito importante, que é o
R f (z)
teorema de fórmula da integral de Cauchy, dado por γ z−z
dz = 2πif (z0 ) · I(γ, z0 ).
0
Nosso objetivo neste trabalho é estudar os Teoremas de Cauchy, Liouville e Morera,
que são um dos resultados mais elegantes neste estudo inicial de variáveis complexas.
A desigualdade de Cauchy diz que sendo f uma função analı́tica num conjunto
aberto e conexo A e γ um cı́rculo de raio R virando somente uma vez em volta de
seu centro z0 contido em A e supondo também que o disco D(z0 , R) está contido em
A, existe um número M tal que |f (s)| ≤ M para todo s ∈ γ, então para qualquer
k = 0, 1, · · · temos que |f (k) (z0 )| ≤
k!
M.
Rk
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
O Teorema de Liouville diz que se f é uma função inteira tal que para um número
constante M a desigualdade |f (z)| ≤ M seja verdadeira para todo z ∈ C, então f é
constante.
O Teorema de Morera diz que sendo f uma função contı́nua num conjunto aberto
R
e conexo A. E supondo que γ f (z)dz = 0 para toda curva fechada γ e suave por
partes no A. Então f é analı́tica e existe uma função F tal que f = F 0 .
Todos estes resultados serão devidamente demonstrados.
Referências
[1] Salahoddin, Variável complexa I. Brası́lia: Editora Universidade de Brası́lia.
(2002).
Cantor e Lioville: A existência dos números transcendentes
Sa, G. C.a , Bragança, L. M.b
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. [email protected]
b Detartamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn- Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. [email protected]
O principal objetivo deste trabalho é estudar uma importante página da
história da matemática: a existência dos números transcendentes. Desde o século
XVIII, a incapacidade de exibir exemplos de números transcendentes fascinou os
matemáticos, tornando uma área central da Teoria dos Números. Posteriormente,
com o desenvolvimento dessa área foi possı́vel resolver três problemas da antiguidade:
a “trissecção de um triângulo”, “duplicação do cubo”e “quadratura do cı́rculo”
usando régua e compasso.
Iniciamos o nosso estudo classificando os números reais em duas categorias:
algébri-cos e transcendentes. Se um número satisfizer alguma equação da forma
cn xn +cn−1 xn−1 +cn−2 xn−2 +· · ·+c2 x2 +c1 x+c0 = 0, com coeficientes inteiros, dizemos
√
que ele é um número algébrico. Os números racionais, 3, e a unidade imaginária
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
75
i são alguns exemplos de números algébricos. Por outro lado, se um número não
satisfizer nenhuma equação desse tipo ele é dito transcendente. Entretanto, essa
definição não é suficiente para mostrar que os números transcendentes existem.
Matemáticos renomados como Hilbert e Euler embarcaram na tarefa de exibir um
número transcendente, dando importantes contribuições nessa linha de pesquisa. Em
1851, Joseph Lioville provou a transcendência de um número que ficou conhecido
como constante de Lioville. Esse número é formado essencialmente de zeros quando
escrito na forma decimal e pode ser representado da seguinte maneira:
α = 0, 1100010000···
em que os “uns”ocorrem nas casas decimais 1!, 2!, 3!, 4!, 5!··· .
Para provar sua
transcendência foi necessário usar alguns preliminares da algébra como, por exemplo,
o Teorema de d’Alembert. Esta prova foi feita por contradição. Supomos que α era
algébrico, isto é, que α era raiz do polinômio:
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
Foram consideradas algumas hipóteses básicas sobre f (x), tais como, os
coeficientes de f (x) são inteiros, f (α) = 0 e o número α não é raiz de nenhuma
equação de coeficiente inteiros e de grau menor do que n. Chamamos de β a soma
dos j primeiros termos de α, isto é
β = 10−1! + 10−2! 10−3! + · · · + 10−j! .
A ideia da demostração é olhar para o f (α) − f (β) sob dois aspectos.
Primeiramente, analisamos −f (β) como um polinômio em β, com coeficientes
inteiros. Como β é racional, −f (β) também será racional e seu valor absoluto é
relativamente grande. Em seguida, analisamos f (α) − f (β) como uma diferença de
dois polinômios e mostramos que essa diferença é de grandeza muito pequena. Com
essa contradição, concluı́mos que α é transcendente.
Outros
matemáticos
também
foram
essencialmente
importantes
no
desenvolvimento de questões envolvendo a origem transcendental dos números.
Charlies Hermite, em 1873, provou que o número de Euler e é transcendente.
76
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Quase uma década após, Ferdinand Von Lindeman publicou uma demonstração da
transcendência do número π. No ano de 1874, George Cantor provou a existência dos
números transcendentes. Ele demonstrou que o conjunto dos números algébricos é
enúmerável e consequentemente, o conjunto dos algébricos reais entre 0 e 1 também
é enumerável. Como o conjunto dos números reais entre 0 e 1 é não enumerável,
devem existir números reais não algébricos. Esses são os números transcendentes,
cuja existência fica assim demonstrada.
Referências
[1] D. C. Morais Filho, Um Convite à Matemática, SBM, 2012.
[2] D. G. Figueiredo, Números Irracionais e Trancendentes, 3a Ed., SBM, 2011.
[3] I. Niven, Números Racionais e Irracionais. 1a Ed., SBM, 2012.
A matemática e a economia de água
Santos, F. L.a
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. [email protected]
Este trabalho foi elaborado para associar e incentivar a utilização dos conteúdos
matemáticos na questão da economia de água e foi realizado na Escola Estadual Dr.
Mariano da Rocha, no municı́pio de Teixeiras (MG), com o intuito principal de fazer
com que os alunos tenham consciência de que os recursos hı́dricos são esgotáveis,
cabendo a cada um de nós, através de pequenas ações, promover a economia dos
30% de água estimados pelo governo mineiro e, ao mesmo tempo, aprender conceitos
matemáticos contextualizados na conta de água, bem como o desenvolvimento dos
conteúdos conceituais e atitudinais tão necessários para a construção da cidadania.
Partiu-se da realidade de que enfrentamos uma grande seca, em 2014, situação
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
77
atı́pica em nossa região, visto que a água é um bem comum que precisamos preservála, bem como existe uma relação direta entre a quantidade do consumo e o valor a
ser pago, e que este consumo pode ser mensurado com dados matemáticos.
O objetivo geral foi o de trabalhar os conceitos relacionados à importância da
água para o ser humano e a relação da matemática como instrumento de aferição;
verificando por meio de dados matemáticos a economia gerada por algumas
pequenas ações tomadas a partir da sensibilização do projeto; e aprimorar os
conteúdos matemáticos, como: porcentagem, regra de três, gráficos, tabelas, média,
transformação de medidas e operações fundamentais.
Espera-se com esse projeto atrair a atenção dos alunos para o quanto a
matemática está envolvida em assuntos de interesse público e social, trabalhar
conceitos matemáticos de forma contextualizada com ações simples do cotidiano
e conscientizar os alunos sobre a economia da água.
Referências
[1] http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1684
[2] http://www.pucrs.br/famat/viali/tic literatura/artigos/planilhas/Maldonado Andrade.pdf
78
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Modelagem matemática do sistema imune humano: estado da arte
Santos-Moraes, C. G.a , e Siqueira-Batista, R.b
a
Laboratório de Métodos Epidemiológicos e Computacionais em Saúde (LMECS), Departamento de Medicina e
Enfermagem, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário, CEP 36570-000 Viçosa - MG. [email protected]
b Laboratório de Métodos Epidemiológicos e Computacionais em Saúde (LMECS), Departamento de Medicina
e Enfermagem, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn, CEP 36570-000 - Viçosa - MG.
[email protected]
Introdução: A imunologia é uma ciência recente e que investiga as diversas interações
biológicas do sistema imune (SI). Seu estudo é importante para (1) o entendimento
fisiopatológico e (2) o desenvolvimento de estratégias diagnósticas, terapêuticas e
profiláticas de dı́spares condições mórbidas. Diferentes técnicas para o estudo SI
têm sido desenvolvidas, com destaque para a articulação com as ciências exatas,
mormente a computação e a matemática. Nesse último domı́nio, há diferentes
grupos de investigadores que tem empregado modelos matemáticos para descrição
das interações no SI. Com base nesses breves apontamentos, o objetivo dessa
comunicação é apresentar aspectos recentes da modelagem matemática do SI.
Metodologia: Procedeu-se revisão bibliográfica no PubMED (U. S. National Library
of Medicine http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/), utilizando-se os descritores
“Mathematics” e “Immune System”, ambos listados no DeCS (Descritores de
Ciências da Saúde-http://decs.bvs.br/). A data limite de busca foi 30/09/2015.
Com tal procedimento foram obtidas 378 citações. Procedeu-se a leitura dos tı́tulos
e dos resumos, para eleição dos artigos. Foram, então, selecionados 40 textos, dos
quais sete foram utilizados para a feitura dessa comunicação.
Discussão/resultados: Os dados preliminares-referentes à leitura dos setes textos
utilizados-apontam para uma ampla variação de temas investigados no âmbito
da imunologia matemática [1]. De fato, estudos envolvendo (i) a imunologia dos
tumores (p. ex., neoplasias do sistema nervoso central, melanoma e desordens
hematológicas) [2, 3], (ii) as doenças autoimunes (p. ex., alterações dermatológicas)
[4] e (iii) a resposta imune às doenças infecciosas (p. ex., Aids, moléstias parasitárias
e terapia antimicrobiana) [5, 6, 7] têm sido desenvolvidos por investigadores de
diferentes instituições do mundo. A modelagem utilizando equações diferenciais
vem recebendo destaque nas pesquisas dirigidas ao SI.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
79
Considerações finais: A imunologia matemática - entendida como modelagem
matemática do SI - tem se apresentado como uma ferramenta importante para
o estudo das doenças humanas. Os modelos matemáticos conferem concisão à
descrição da realidade biológica - no caso, o SI - e podem ser extremamente úteis
para confirmar ou infirmar hipóteses. Os próximos passos da presente investigação
incluirão (1) o mapeamento das principais estratégias matemáticas de modelagem
do SI com vistas à (2) averiguar sua aplicabilidade no estudo da resposta imune às
doenças infecciosas.
Referências
[1] Louzoun Y., The evolution of mathematical immunology Immunol Rev, 2007;
216:9-20.
[2] Bi P., Ruan S., Zhang X., Periodic and chaotic oscillations in a tumor and
immune system interaction model with three delays. Chaos, 2014; 24(2):023101.
[3] Banerjee S., Khajanchi S., Chaudhuri S., A mathematical model to elucidate
brain tumor abrogation by immunotherapy with T11 target structure. PLoS One
2015; 10(5):e0123611.
[4] Dobreva A., Paus R., Cogan NG., Mathematical model for alopecia areata. J
Theor Biol. 2015; 380:332-45.
[5] Rivadeneira PS, , et al.Mathematical modeling of HIV dynamics after
antiretroviral therapy initiation: a review. Biores Open Access 2014; 3(5):233-41.
[6] Vermolen FJ, Mul MM, Gefen A.Semi-stochastic cell-level computational
modeling of the immune system response to bacterial infections and the effects
of antibiotics. Biomech Model Mechanobiol 2014; 13(4):713-34.
[7] McCaig C, , et al. Using process algebra to develop predator-prey models of withinhost parasite dynamics. J Theor Biol 2013; 329:74-81.
80
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
Sistemas de Raı́zes e seus Grupos de Weyl
Silva, C. C.a e Guerreiro, M.b
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. [email protected]
b Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitário,
CEP 36570-000 - Viçosa - MG. [email protected]
Um sistema de raı́zes é um conjunto de vetores de um espaço euclidiano satisfazendo
determinadas propriedades geométricas. Este conceito é fundamental nas teorias de
Grupos e Álgebras de Lie. Os grupos de Lie (e alguns análogos, tais como os
grupos algébricos) e álgebras de Lie se tornaram importantes em muitas partes
da Matemática durante o século XX e os sistemas de raı́zes têm um papel de
destaque no desenvolvimento dessas teorias. Além disso, a classificação de esquemas
dos sistemas de raı́zes, por diagramas Dynkin, aparece em diversos ramos da
Matemática, muitos dos quais sem ligações evidentes com a Teoria de Lie (como
a Teoria de Singularidades).
O conceito de sistema de raı́zes foi originalmente introduzido por Wilhelm Killing
por volta de 1889. Ele usou-os em sua tentativa de classificar todas as álgebras de
Lie simples sobre o corpo dos números complexos. Killing originalmente cometeu
um erro na classificação, listando dois sistemas de raı́zes excepcionais de posto 4,
quando na verdade existe um só, conhecido como F4 . Élie Cartan depois corrigiu
este erro, mostrando que os dois sistemas de raı́zes de posto 4 eram isomorfos.
Neste trabalho, apresentaremos os sistemas de raı́zes e seus correspondentes grupos
de Weyl, que são um subgrupo do grupo das isometrias desses sistemas, gerados pelas
reflexões ao longo dos hiperplanos ortogonais às raı́zes. Os grupos de Weyl formam
uma classe de grupos de Coxeter e são exemplos importantes destes. Abordaremos a
ação simplesmente transitiva dos grupos de Weyl nas câmaras fundamentais. Além
disso, apresentaremos também a classificação dos sistemas de raı́zes por diagramas
de Dynkin, as propriedades dos sistemas de raı́zes irredutı́veis e os sistemas de raı́zes
das subálgebras de Cartan das álgebras de Lie semissimples de dimensão finita sobre
os complexos. Finalmente, discutiremos brevemente sobre os sistemas de raı́zes afins
das álgebras de Kac-Moody.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
81
Referências
[1] R. W. Carter, Lie algebras of finite and affine type. New York: Cambridge
University Press, 2005. (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, v. 96)
[2] J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory. New
York: Springer-Verlag, 1972. (Graduate Texts in Mathematics, v. 9)
[3] J. E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. New York: Cambridge
University Press, 1997. (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, v. 29)
Aplicações do Teorema Central do Limite
Soares, D. J. M.a , Emiliano, P. C.b e Oliveira, G. B.c
a Departamento
de Matematica, Universidade Federal de Vicosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitario,
CEP 36570-000 - Vicosa - MG. [email protected]
b Departamento de Estatı́stica, Universidade Federal de Vicosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitario,
CEP 36570-000 - Vicosa - MG. [email protected]
c Departamento de Matematica, Universidade Federal de Vicosa, Av. Peter Henry Rolfs, sn - Campus Universitario,
CEP 36570-000 - Vicosa - MG. [email protected]
O estudo de estatı́stica vem ganhando notoriedade nos últimos anos devido ao grande
leque de aplicações presentes nos cálculos atuariais, nos estudos demográficos, no
estudo de jogos de azar, entre outros. À função que determina probabilidades aos
eventos ou proposições denominamos função de probabilidade.
Para um melhor tratamento dos dados, trabalhamos com as variáveis aleatórias,
que por sua vez se dividem em dois grupos: as discretas e as contı́nuas. A diferença
principal entre esses dois grupos está nos valores aos quais as quantidades aleatórias
podem assumir.
Enquanto que, na variável discreta, as quantidades aleatórias
descritas podem assumir valores finitos e particulares, na variável contı́nua elas
podem tomar qualquer valor em um intervalo real especı́fico.
O objetivo principal da primeira parte de nossa pesquisa foi o de estudar uma
importantı́ssima distribuição contı́nua de probabilidade: a distribuição normal, que
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
descreve uma série de fenômenos fı́sicos e financeiros, nos proporcionando uma ampla
variedade de aplicações estatı́sticas muito empregadas atualmente na ciência e no
comércio. Para isto, trabalhamos com o Teorema Central do Limite, um teorema
fundamental para a teoria da inferência estatı́stica, que diz que quanto maior o
tamanho de uma determinada amostra, mais próxima estará de uma distribuição
normal, a distribuição amostral de sua média.
Finalizados os estudos teóricos
propostos, começamos a ter contato com uma parte prática. Nosso objetivo então
passou a ser o de mostrar, empiricamente, que a distribuição amostral do tamanho
médio de folhas de uma determinada árvore converge para uma distribuição normal.
Desse modo, recolhemos, aleatoriamente, uma grande quantidade de folhas de tal
árvore e fizemos uma medição precisa de seu comprimento, montando um histograma
a partir de uma tabela de distribuição de frequências descrita com base nos valores
encontrados. Para isto, utilizamos como instrumento facilitador o software R, cuja
linguagem é largamente utilizada entre estatı́sticos e sua utilização é livre para a
computação estatı́stica e construção de gráficos.
Assim, com base nos dados obtidos, encontramos a média dos comprimentos das
folhas, a variância e o desvio-padrão e observamos que tais valores caracterizavam
uma distribuição normal, aproximada pelo teorema central do limite, concluindo que
o tamanho médio das folhas da árvore segue assintoticamente a distribuição normal.
Referências
[1] CASELLA, G.; BERGER, R. L. Inferência estatı́stica. São Paulo: Cengage
Learning, 2010. 588 p.
[2] DAVID, H. A. Tables related to the normal distribution: a short history. The
American Statistician, Washington, 12, n. 4, (2005) 309-11.
[3] DAW, R. H. Why the normal distribution. Journal of the Institute of Actuaries
Student’s Society, London, 18, n. 1, (1966) 2-15.
[4] DAW, R. H.; PEARSON, E. S. Studies in the history of probability and statistics:
Abraham De Moivre’s 1733 derivation of the normal curve: a bibliographical
note. Biometrika, Oxford, 59, n. 3, (1972) 677-680.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
83
[5] FISCHER, H. A history of the central limit theorem: from classical to modern
probability theory. New York: Springer, 2011. 402 p.
[6] MEMÓRIA, J. M. P. Breve história da estatı́stica. Brası́lia:
EMBRAPA
Informação Tecnológica, 2004. 111 p.
[7] MOOD, A. M.; GRAYBILL, F. A.; BOES, D. C. Introduction to the theory of
statistics. Singapore: McGraw-Hill, 1974. 564 p.
[8] PETERNELI, L. A.; MELLO, M. P. Conhecendo o R: uma visão estatı́stica.
Viçosa: UFV, 2012. 185 p.
[9] R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: a language and environment for
statistical computing. Vienna: R Foundation for Statistical Computing, 2014.
Disponı́vel em: Acesso em: 27 novembro 2014.
[10] STAHL, S. The evolution of normal distribution. Mathematics Magazine, 79,
n. 2, (2006) 96-112.
[11] VIALI, L. Some considerations about the named normal curve. Vidya, Santa
Maria, 34, n. 1, (2014) 99-116.
Frações Contı́nuas: Transformação de Gauss
Sorice, L.a e Paccori, L.b
a
Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade Federal de Viçosa - Campus Florestal, LMG-818, sn Campus Florestal, CEP 35690-000 - Florestal - MG. Email: [email protected]
b Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade Federal de Viçosa - Campus Florestal, LMG-818, sn Campus Florestal, CEP 35690-000 - Florestal - MG. Email: [email protected]
Há uma forma de representar números reais, que recorre a uma sucessão de frações
encaixadas umas nas outras, cujo nome é frações contı́nuas, que esteve em particular
destaque nos séculos XVII e XIX. Inicialmente, foi estudada a parte aritmética dos
números racionais como expansão finita de frações contı́nuas, logo usando técnica
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III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
semelhante, escreveu-se os números irracionais como expansão infinita de frações
contı́nuas. Para um melhor estudo das frações contı́nuas, é essencial o estudo dos
quocientes e das convergências dessas, que foram estudados também.
As frações contı́nuas podem ser utilizadas para expandir algumas funções, assim
como existe a expansão em série Taylor, foram analisadas algumas dessas funções
que aproximam mais rápido do resultado (convergem mais rápido) por meio de
frações contı́nuas do que por meio da série de Taylor. Logo após, utilizando o
algoritmo da divisão é possı́vel obter a expansão em frações contı́nuas de números
racionais e iterações do número que se deseja obter, por esse estudo, será possı́vel
entender as transformações de Gauss, pelo ponto de vista dinâmico e também
algumas partes da teoria ergódica. É importante destacar que os números racionais
e irracionais possuem transformações distintas.
Prosseguindo com o estudo de
números irracionais e de alguns conceitos da álgebra, tal como um número algébrico,
isto é, se for raiz de um polinômio com coeficientes inteiros, e também de um número
transcendente, ou seja, um número que não é algébrico. Utilizando o Teorema de
Liouville é obtido um algoritmo, que utiliza frações contı́nuas para construir números
transcendentes.
Para conseguir concluir o trabalho, será estudado a medida de Lebesgue. Então será
necessário abordar algumas noções de análise, como conjuntos densos e residuais,
importantes para a dinâmica da Transformação de Gauss.
Referências
[1] L. J. Dı́az; D. R. Jorge, Uma Introdução aos Sistemas Dinâmicos via Frações
Contı́nuas. 26o Colóquio Brasileiro de Matemática.
[2] J. P. O. Santos, Introdução à Teoria dos Números. Coleção Matemática
Universitária, 3a ed., IMPA, 139 - 159. 12 (1988), 1203 - 1219.
[3] E. X. L. Andrade; C. F. Bracciali, Frações contı́nuas: algumas propriedades e
aplicações. II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática. UFBA - 2004.
[4] H. M. Becknh. Traduzido por: P. Lima, Fracções Contı́nuas. Editora MIR
MOSCOVO, 1980, 1987.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
85
[5] J. C. Paixão, Sucessões e Frações Contı́nuas. Gazeta de Matemática. 38 - 43.
Tratando a informação: uma abordagem matemática e social
Trindade, D. V.a ,
Saraiva, A.b e
Bragança, L. M. M.c
a
Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, Alojamento Pós - Campus Universitário, CEP 36570-000
- Viçosa - MG. Email: [email protected]
b Escola Estadual Dr. Mariano da Rocha, Av. Castelo Branco, 33, Teixeiras - MG, CEP 36580-000. Email:
[email protected]
c Departamento de Matemática, Universidade Federal de Viçosa, Av. Peter Henry Rolfs, s/n, CEP 36570-000 Viçosa - MG. Email: [email protected]
Com o advento da tecnologia, tem-se visto grande parte das notı́cias, informações,
gastos, investimentos e dados sendo abordados de forma gráfica e estatı́stica; a
internet, um dos principais meios de comunicação do momento, utiliza muito desse
modelo de dados. Tendo em vista a importância desse meio de comunicação e
atentos aos requisitos que a atual sociedade tem cobrado dos estudantes, observa-se,
com certa frequência, que alguns têm chegado ao Ensino Médio com dificuldades em
analisar as informações que aparecem na forma de dados estatı́sticos e gráficos.
Diante desta problemática, os bolsistas do Programa PIBID desenvolveram um
trabalho na “Escola Estadual Dr. Mariano da Rocha”, no municı́pio de Teixeiras,
MG, com o objetivo de proporcionar aos estudantes do primeiro ano do Ensino
Médio um meio capaz de auxiliá-los e motivá-los a praticarem a análise de dados;
não somente do ponto de vista matemático, mas também, no âmbito social. Foram
propostas atividades na forma de oficinas, realizadas em horário extraclasse na
escola, tendo como material de análise um Boletim Epidemiológico apresentado pelo
Ministério da Saúde a respeito do HIV-AIDS no Brasil em 2014.
Durante as oficinas, os bolsistas distribuı́ram a turma em grupos de estudantes e os
orientaram a analisar certas tabelas e textos com informações sobre o assunto, bem
como a coletar dados numéricos em algumas tabelas e transformá-los em gráficos
dos mais variados tipos. Foram também relembrados conceitos de porcentagem
para uma melhor interpretação do assunto. Posteriormente, os grupos trocaram
86
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
entre si os gráficos elaborados e foi solicitado para que cada um analisasse que tipo
de informação estava sendo tratado na produção do outro grupo. Após a elaboração
desse material, foram discutidas quais medidas poderiam ser tomadas em prol do
tema, atitudes que têm contribuı́do e como o tema é encarado ao redor do mundo.
Espera-se que este trabalho tenha possibilitado aos estudantes a prática da leitura,
interpretação de informações de forma crı́tica e construtiva, tanto na forma de
gráficos quanto de tabelas. Essa atividade não supriu todas as deficiências dos
alunos, mas serviu de motivação para continuarem a refletir a respeito das imagens
e dados que aparecem em seu cotidiano e também de perceberem a importância
do conhecimento matemático e estatı́stico no desenvolvimento das habilidades
necessárias para uma melhor análise das informações.
Referências
[1] BRASIL. Ministério da Educação. Secretariada Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brası́lia: MEC/SEF, 1997.
[2] D. L. Colodel, M. A. T. Brandalise, Tratamento da Informação nos anos
iniciais do ensino fundamental: entre concepções e práticas. Disponı́vel em:
< http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/19deboralaranjeira.pdf >.
Acesso em: 13 de setembro de 2015.
[3] F. Salla, Gráficos e tabelas para organizar informações. 2015. Disponı́vel em:
<http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-1/graficos-tabelas-organizarinformacoes-646489.shtml>. Acesso em: 13 de setembro de 2015.
[4] BOLETIM EPISTEMIOLÓGICO HIV-AIDS: Ministério da Saúde, a. III, n. 01,
Brası́lia, jun. 2014, ISSN 1517 1159.
[5] G1. Bem Estar, 2014.
Disponı́vel em: <http://g1.globo.com/bemestar/noticia/2014/07/infeccoes-poraids-caem-no-mundo-mas-crescem-no-brasil-diz-onu.html>. Acesso em: 10 set.
2015.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
87
As ações do pibid/matemática presencial e suas implicações
na comunidade escolar
Valentim, M. A.a , Glanzmann, R. B.b e Takahashi, L. T.c
a
Prefeitura de Juiz de Fora, Av. Brasil, 1.150, CEP 36.060-070 - Juiz de Fora - MG. Email [email protected]
Depto de Matemática, Universidade Federal de Juiz de Fora, Rua José Lourenço Kelmer, sn - Martelos, CEP
36036-230 - Juiz de Fora - MG. Email [email protected]
c Depto de Matemática, Universidade Federal de Juiz de Fora, Rua José Lourenço Kelmer, sn - Martelos, CEP
36036-230 - Juiz de Fora - MG. Email [email protected]
b
O presente trabalho apresenta uma das atividades elaboradas pelos bolsistas do
programa PIBID e seus resultados parciais. O PIBID é um programa de incentivo e
valorização do magistério e de aprimoramento do processo de formação de docentes
para a educação básica, vinculado a Diretoria de Educação Básica Presencial - DEB
- da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior - CAPES.
A escola Municipal Santa Cândida é parceira do PIBID/Matemática da UFJF e
localiza-se no bairro de mesmo nome, periférico, da cidade de Juiz de Fora em
Minas Gerais, com algumas caracterı́sticas vinculadas a um ambiente de violência
nos bairros vizinhos. A escola foi inaugurada em 30 de agosto de 1987 e tem um
histórico de grandes lutas comunitárias. Atualmente, a escola possui quinze turmas
entre as pré-escolares e as iniciais do Ensino Fundamental e nove turmas dos anos
finais, com aproximadamente 583 alunos. O espaço fı́sico é composto por doze salas
de aula sendo quatro no prédio antigo (com estrutura de madeira), seis em um
prédio novo e dois em um prédio em anexo que dista da sede aproximadamente 500
metros. Uma secretaria, uma sala de professores que funciona juntamente com a
sala da coordenação, uma biblioteca comunitária, um banheiro de professores, um
banheiro coletivo masculino e um feminino, um pátio coberto, um refeitório e uma
cozinha. O muro da escola é um espaço para atividades extraclasses de grafite, ou
seja, está sempre em mudança com visuais novos.
Os bolsistas do PIBID/Matemática realizaram uma atividade diagnóstica nesta
escola que consistiu de duas avaliações uma, de cunho matemático,e outra associada
88
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
às questões sócio-histórico-culturais, e foram aplicadas aos alunos, no ano de 2014.
Subsidiaram parte das questões levando em consideração a teoria sócio-histórica
de Vigotski [1]. O conhecimento, pelos bolsistas, das questões sócio-culturais dos
alunos são de extrema importantes para o trabalho, pois Vygotsky[2], influenciado
pelas ideias marxistas, [...]
concluiu que as origens das formas superiores de
comportamento consciente deveriam ser achadas nas relações sociais que o individuo
mantém com o mundo exterior (p.25).
Tiveram como objetivos: apresentar
aos bolsistas a comunidade do bairro homônimo pelo olhar dos alunos/filhos,
diagnosticar as prováveis deficiências no conhecimento Matemático dos alunos em
suas respectivas séries/ano, proporcionar aos bolsistas a oportunidade de conhecer
mais um referencial teórico e suas implicações, na prática, para o ensino de
Matemática.
A atividade foi composta de 20 questões sendo as 19 primeiras de perguntas sóciohistórico-culturais, aplicadas em todas as séries/anos escolares e a última especı́fica
de conhecimento Matemático por série/ano escolar. Os resultados das questões
sócio-histórico-culturais foram representados por meio de gráficos e a questão de
conhecimento Matemático analisado por conteúdo associado à série/ano escolar.
Com os resultados foi possı́vel elaborar um plano de curso mais realista, ou seja, de
acordo com as necessidades e possibilidades dos alunos. Também foi percebida uma
relação mais amorosa entre os alunos e os bolsistas, visto que conhecer um pouco
da estrutura familiar e escolar facilitou a escolha de uma didática mais apropriada.
Referências
[1] L. S. Vigotski, Pensamento e Linguagem. Lisboa - Portugal: Edições Antı́doto,
1979.
[2] L.S. VIGOTSKI, A.R. LÚRIA, A.N. LEONTIEV Linguagem, desenvolvimento
e aprendizagem. Trad. Maria da Penha Villalobos. São Paulo: Ícone: Editora da
Universidade de São Paulo, 1988.
III Semana Acadêmica de Matemática da UFV / Novembro 2015
89
Introdução a Equações Dinâmicas em Escalas Temporais
Werneck, E. M.a e Toon, E.b
a
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Juiz
Universitário, Bairro São Pedro, CEP 36036-900 - Juiz de Fora
b Departamento de Matemática, Universidade Federal de Juiz
Universitário, Bairro São Pedro, CEP 36036-900 - Juiz de Fora
de Fora, Rua José Lourenço Kelmer, sn - Campos
- MG. [email protected]
de Fora, Rua José Lourenço Kelmer, sn - Campos
- MG. [email protected]
O objetivo deste trabalho é apresentar a teoria de Equações Dinâmicas em Escalas
Temporais. Esta teoria foi desenvolvida por Stefan Hilger, em 1988, com o objetivo
de unificar a Análise discreta e contı́nua.
Uma Escala Temporal é qualquer
subconjunto fechado e não vazio dos números reais. Neste trabalho foram usadas
ferramentas básicas para o cálculo em Escalas Temporais, como delta derivadas,
integrais em escalas temporais, funções exponenciais em escalas temporais e, por
fim, foi estudado um modelo descrito em termos de Equações Dinâmicas em
Escalas Temporais. Modelamos uma população de plantas com um comportamento
contı́nuo em um perı́odo de tempo e que desaparecem em outro perı́odo. Com
estas ferramentas, exibimos um resultado de existência de solução para a Equação
Dinâmica em Escalas Temporais que modela o fenômeno descrito acima.
Referências
[1] Ravi Agarwal, Martin Bohner, Donal O’Regan, Allan Peterson, Dynamic
equations on time scales: a survey, Journal of Computational and Applied
Mathematics. 141 (2002) 1-26.
[2] Martin Bohner, Allan Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, An
Introduction with Aplications. BIRKHAU5ER, 2001.
[3] Jaqueline Godoy Mesquita, Minicurso: Uma introdução à teoria de escalas
temporais. In: II Colóquio da Região Norte, 25 de Fevereiro a 02 de Março
de 2013.
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Universidade Federal de Viçosa Departamento de - DMA

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Prova III de MAP

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3a lista de exercıcios - SMA0341 - Elementos de Matemática

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