Matemática Aplicada às Ciências Naturais
Agronomia, Biologia e Biologia Marinha
09/10
Folha 1
Matrizes
1. Dê um exemplo, em cada alı́nea, de uma matriz A = [aij ]m×n com:
(a) m = 3, n = 2 cuja soma das entradas principais seja 10.
(b) m = n = 4 com a23 ̸= a32 e a14 = a41 .
(c) m = n = 3 tal que aij = i + j.


 1, i < j
(d) m = 3, n = 4 com aij =
2, i = j .


3, i > j
(e) m = 2, n = 5 com a1j = −3a2j .
{
(f) m = 5, n = 2 tal que ai+j =
1, i + j ı́mpar
.
2, i + j par
2. Se possı́vel, dê um exemplo de uma matriz A de ordem 3:
(a) triangular superior com apenas 4 entradas não nulas.
(b) triangular inferior com apenas 4 entradas nulas.
(c) diagonal com apenas 2 entradas não nulas.
(d) escalar com apenas 2 entradas não nulas.
3. Determine as matrizes transpostas dos exercı́cios anteriores e indiques as que são simétricas.
4. Considere as matrizes






3 1
0 −2
1 0
4
2
0
0
1 −2






A =  1 1 −1
2  , B =  −1 2 −1
2  e C =  −2 −2 −1
1 .
0 1
1
0
2 2
1 −1
2
2
1 −1
(a) Indique:
i. aij , i ≥ j.
ii. bij , i < j.
iii. cii .
iv. i e j tais que aij = bij = cij .
(b) Determine:
i. A + B.
ii. (A + B) + C.
iii. A + (C + B).
iv. −B e −(−B).
v. −3A − 3B.
vi. (2A + 2B) + 2C.
1
vii. C.
2
(c) Determine a matriz X tal que:
i. A + X = 03×4 .
ii. A − 2X = X − B.
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09/10
Agronomia, Biologia e Biologia Marinha
5. Considere as matrizes
[
A=
1 2
3
0 2 −1
]




1 2 −1 0



, B =  1 1 −1 1  , C = 


2 1
0 2
2
−1
2
3
Folha 2
Matrizes



 , D = C T e E = I2 .


Sempre que seja possı́vel, determine os produtos:
(a) AB, AE, EA, e BC.
(b) (AB)C e A(BC).
(c) DDT e DT D.
6. Considere as matrizes








−1
0
2
1 1 1
0
0
1
1 1 1








A =  1 1 1 , B =  0
1 −2  , C =  1 1 0  e D =  0
1 −1  .
1 1 1
1 −1
0
1 0 0
1 −1
0
Determine:
(a) AB, BA, AC, CD, DC e B 2 .
(b) B T B e BB T .
(c) BAAC e (BC)D.
(d) A(2B), (−A)(−B) e (−2A)(3B).
(e) (A + D)C e A(B + C).
7. Considere as matrizes


i=j
 1,
A = [aij ]3×4 , aij =
2,
i=
̸ j, i + j par


i + j, i ̸= j, i + j ı́mpar

1
2 −1 3


e B= 1
0
1 0 .
−2 −1
0 1

Se for possı́vel, determine:
(a) A − 2B.
(b) AB.
(c) AB T .
8. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas para as matrizes:




]
[ √
−3 −5 −4
0 −1 1
3
1




2
2
√
.
A =  −5
8 −7  , B =  −1
1 0  e C=
− 21 23
−4 −6 −9
1
0 0
(a) A é uma matriz simétrica.
(b) A entrada (1, 3) de (−7A)(2B) é 29.
(c) B é uma matriz

9 25

2
(d) A =  25 64
16 36
triangular superior.

16

49 .
81
(e) C é uma matriz invertı́vel tal que C −1 = C T .
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Folha 3
Matrizes
Agronomia, Biologia e Biologia Marinha
9. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a) as entradas de uma

1 2

 0 0
(b) as matrizes 
 0 0

0 0
matriz em forma condensada são sempre 0 ou 1.

 
0 1 0 1 2 4 −2
3

 

4 
4 
e 0 0 0 0 3 0
 estão em forma de escada

8 
1 

  0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
6
0


1
2
3
([
][
])


 0 0 4 
2
1
1 −3
 = 3.

(c) car
= 0 e car 

−2 −1
−2
6
 0 0 1 
0 0 0

 
 



1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
 

 



(d)  2 1 0   0 1 0   0 1 0  =  2 1 0  =  0 1 0   0 1 0
4 0 1
0 5 1
0 5 1
4 5 1
4 0 1
0 0 1
10. Se for possı́vel, complete a seguinte matriz de modo que:

1 −3 −3
1


2 −1


2

0
de linhas.


1 0 0


  2 1 0 .
0 0 1






(a) seja triangular superior com caracterı́stica igual a 2.
(b) esteja em forma de escada de linhas com caracterı́stica igual a 3.
(c) tenha a última linha não nula e caracterı́stica igual a 2.
(d) tenha caracterı́stica igual a 4.
11. Coloque as
terı́stica:

1

 0
(a) 
 0

0

seguintes matrizes em forma de escada, em forma condensada e determine a sua carac2
0
0
0
0 0

 0 0
(d) 
 2 2

0 4
3
4
1
0
0
0
2
8




.


0 1

 0 0
(b) 
 0 0

0 0




.


0
0
0
0
1
0
0
0
2
3
0
0

4 −2

0
4 
.
1
8 

0
6
0
0
0
1 −2

 0 −2 −3 −5
1
(e) 
 0
2
3
1 −1

0
2
3
5 −1
12. Efectue a decomposição LU das seguintes matrizes:




2
2 7
6 −2 0




(a)  1
(b)  9 −1 1 .
3 3 .
−2 −5 1
3
7 5



.






(c) 







(f) 






(c) 


1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
0
3
4
5
1
2
0
4
5
1
2
3
0
5
1
2
1
2 −1 −3
4
1
2
3
3 −1




.



1
2
3
4
0




.



−1
−2
−4
−3



.


Matemática Aplicada às Ciências Naturais
09/10
Agronomia, Biologia e Biologia Marinha
Folha 4
Sistemas
13. Considere o sistema de equações lineares


 x−y+z+w =3
2x − 2y + 3w = 2


x + z + w = −1
(a) Verifique se (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) e (−6, −4, 3, 2) são soluções do sistema.
(b) Classifique o sistema.
(c) Resolva o sistema pelo método de eliminação Gauss-Jordan e indique a solução geral.
14. Equacione e resolva os seguintes problemas:
(a) Sabendo que uma caneta, 5 cadernos e uma borracha custam 14 euros, duas caneta e duas
borrachas custam 5 euros e uma caneta, três cadernos e cinco borrachas custam 13 euros,
quanto custa cada caneta, cada caderno e cada borracha?
(b) Determine os coeficientes da função y = ax3 +bx2 +cx+d que passa pelos pontos de coordenadas
(−1, 0), (0, 1), (1, 0) e (2, 3).
15. Determine a solução geral dos seguintes sistemas utilizando um dos métodos de eliminação dados nas
aulas teóricas:




x − y − 3z + 4w = 1





2x
−
2y
+
z
=
3
x
−
y
+
z
=
3
 x + y + z + 2w = −1


(c)
(b)
(a)
2x − 2y + 2z = 3
2x − 2y + 2z = 3
 −y − 2z + w = 1






x − 2y + z = 3
x + y + z = −1

 x + 2y + 3z + w = −2






 2x − 4y + 6z = −4
 x − 2y + 3z = −2
 3x − 2y + 5z + w = 1
(f)
(e)
(d)
x − 3y − z = 7
x − 3y − z = 7
x + y − 3z + 2w = 2






6x + y − 4z + 3w = 7
3x − 7y + 6z = 4
3x − 7y + 5z = 3






−x + 2y − z = 0
4x − y + 3z − t = −4
2x + 3y − 3z = 2









 3x + 2y − z + 2t = −8
 2x − y + z = 2
 x − 2y + z = 0
(h)
(i)
(g)
 3x + z = 4
 x + 2y − t = 1
 3x + 8y − 7z = 4









 −x + z − 2t = 6
 4x + y + z = 5
 2x + 10y − 8z = 4
16. Determine a solução geral dos sistemas homogéneos associados relativamente aos sistemas do exercı́cio
anterior.
17. Considere o sistema de equações lineares


 x + 2y + z = 3
−3x − 6y + 8z = 2


4x + +8y − 5z = 3
(a) Verifique se (1, 1, 0) e (−4, 3, 1) são soluções do sistema.
(b) Determine a solução geral do sistema homogéneo associado.
(c) Utilize as alı́neas anteriores para indicar a solução geral do sistema completo.
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09/10
Folha 5
Sistemas
Agronomia, Biologia e Biologia Marinha



2 1
β
β




18. Sejam A =  0 2
0
 e B =  −2 . Determine os valores de β tais que o sistema
0 0 2β + β 2
β+2
AX = B:
(
)
(a) tenha solução 12 , −1, 1 .

(b) seja impossı́vel.
(c) seja possı́vel e indeterminado (qual é o grau de indeterminação?).
(d) seja possı́vel e determinado.
19. Classifique os seguintes sistemas em função do parâmetro α ∈ R:



x + y + z = −2




 x−y+z =3
 x + 2y − 3z = 4
(a)
(b)
3x − y + 5z = 2
 x + z = 21




4x + y + (α2 − 14)z = α + 2

 3x − y + 3z = α

1 −1 2

20. Se possı́vel, complete A = 
−1 2
2




eB=
1


 de modo que o sistema AX = B:
1
(a) seja impossı́vel.
(b) seja possı́vel e determinado.
(c) seja possı́vel e indeterminado (qual é o grau de indeterminação?).
(d) tenha solução (−1, 1, 1, 1).
21. Sem recorrer a métodos de eliminação, determine a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes:






1
0 0
5 0
0
1 2 3






(a)  0
(b)  0 18
(c)  0 1 4 .
1 0 .
0 .
0 −4 1
0 −19


1 2 3


(e)  0 4 5 .
0 0 6
0


5
0
0


1
(d)  0
0 .
8
0 −4 −19
0 0 1


1 2 3


(f)  1 6 8 .
0 0 6


1
1 1


22. Considere a matriz A =  1
2 3 , k ∈ R.
−1 −2 k
(a) Determine os valores de k para os quais a matriz A é invertı́vel.
(b) Determine A−1 para k = 0.
23. Se possı́vel, determine as inversas das seguintes matrizes:
[
(a)
2 1
1 2

]
.

1 0 0


(b)  1 1 0 .
1 1 1


(c) 

1
0 1

1
1 0 .
−3 −4 1



(d) 


2
0
2
1
1
1
3
3
0
−2 −2 −2
2
1
3
0



.


Matemática Aplicada às Ciências Naturais
09/10
Folha 6
Derivadas
Agronomia, Biologia e Biologia Marinha
24. Determine, por definição, a derivada das seguintes funções:
√
(a) f (x) = x2 .
(b) f (x) = x3 .
(c) f (x) =
(d) f (x) = sin x.
(e) f (x) = cos x.
(f) f (x) = ex .
(g) f (x) = ax , a > 0.
(h) f (x) = ln x.
(i) f (x) = loga x, a > 0.
x.
25. Utilize as regras de derivação para determinar as derivadas das seguintes funções:
x6 x5 x2
−
+
− 33x + 45.
3
20
2
(a) f (x) = 3x4 − 6x3 + 5x2 − 7x + 8.
(b) f (x) =
(c) f (x) = (ex + 10x7 ) sin x.
(d) f (x) = x2 10x .
(e) f (x) = tgx.
(f) f (x) = ctgx.
cos x + x
.
ln x
ln x
(i) f (x) =
.
x
x5
.
ex
2x
(j) f (x) = .
x
(g) f (x) =
(h) f (x) =
(k) f (x) = log7 x(7x + 3x2 ).
(l) f (x) = ln(x) log(x) − ln(a) loga (x).
√
7
3
(n) f (x) = 10 + x x2 .
x
3
(p) f (x) = 5 sin x.
x
1
1
1
(m) f (x) = + 2 + 3 .
x x
x
(
)(
)
√
8
1
1
(o) f (x) =
+
x− 2 .
x4 x
x
26. Utilize as regras de derivação para determinar as derivadas das seguintes funções:
)
(
(
x)
8
.
(b) f (x) = cos ex −
(a) f (x) = sin 3x3 − 5x2 +
.
x
6
2 +3x
(c) f (x) = e5x
.
(e) f (x) = ln(ln x).
√
(g) f (x) = 3 2ex − 2x + 1 + ln5 x.
(i) f (x) = ln(cos x).
√
x
(k) f (x) = log7
.
8
(
)
1
x
(m) f (x) = ctg 2 + 6 .
x
(o) f (x) =
2x2 +1
3
.
+ cos(4x)
(q) f (x) = x2+sin x .
(s) f (x) = arccos(4x − 1).
(u) f (x) = arcsin
1
.
x2
(w) f (x) = ln(ex + 5 sin x − 4arctgx).
(y) f (x) =
1
.
arcctg(x3 )
(d) f (x) = 5tgx .
(f) f (x) = log5 (e3x + x3 ).
(h) f (x) = x sin(3x ).
√
√
(j) f (x) = ln(5x + 2 x + 10).
4x + 5
.
7x + 3
( )
1
3
(n) f (x) = ctg
.
x
(
)
3
5
(p) f (x) = log9
−
.
x x7
(l) f (x) = ln
(r) f (x) = (3x − 1)x .
√
(t) f (x) = arctgx − (arcsin x)3 .
(
)
7
2
(v) f (x) = arcctg x +
.
x
(x) f (x) = earctgx .
(z) f (x) =
arccos(ex )
.
x
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09/10
Folha 7
Integrais Indefinidos
Agronomia, Biologia e Biologia Marinha
27. Calcule os seguintes integrais:
∫
(a)
(6x2 + 8x + 3) dx.
∫
(d)
∫
(g)
∫
(b)
∫
√
(e)
(h)
2
dx.
6 − 2x2
(k)
28. Calcule os seguintes integrais:
∫
dx
(a)
.
7x + 1
∫
dx
(d)
.
1 + (2x)2
(d)
sen
∫
5
cos
(x)
5
∫
(j)
3 e dx.
√
∫
(e)
sen2
dx
(x
5
(b)
dx.
(e)
∫
∫
(k)
( )
arctg x2
(m)
dx.
4 + x2
∫ √
arcsenx
(p)
dx.
1 − x2
∫ √x
5
√ dx.
(s)
x
∫
−5x + 2
dx.
(v)
x2 + 4
∫
(y)
sen6 x cos x dx.
∫
(n)
∫
(q)
(t)
∫
(w)
∫
(z)
(f)
e senx dx.
3(5x + 3)2 dx.
∫
2x
dx.
2x + 3
(c)
∫
x
dx.
2
x +1
(i)
x2
dx.
1 + x6
∫
√
∫
3 − 4x dx.
x2
dx.
x6 − 1
−(x2 +1)
x dx.
3 − 2x
dx.
5x2 + 7
3x + 1
√
dx.
5x2 + 1
tgx dx.
(l)
(c)
(g)
x2
√
(o)
∫
∫
dx
.
9x2 − 4
2x − 5
dx.
3x2 − 2
(u)
∫
(x)
∫
x+3
√
dx.
x2 − 4
ctgx dx.
∫
x
dx.
2x
x
dx.
−5
3
dx.
(4x + 7)5
(r)
(A)
xsen(2x) dx.
et
dt.
1 − e2t
∫
∫
∫
x
dx
.
x2 − 6
x
(f)
∫
dx
.
9 + x2
e 4 −1 dx.
(ln(3x2 ))5
dx.
x
√
dx
.
x−8
∫
(f)
e
∫
30. Calcule os seguintes integrais:
∫
∫
(a)
x ln x dx.
(b)
arctgx dx.
dx.
(l)
(c)
√
cos( x)
√
dx.
x
√
(h)
1
x e
∫
3
dx.
2
x − 25
).
−8
∫
ex
dx.
x2
2 3x
(i)
cos(8x − 3) dx.
(b)
∫
(e)
∫
x x
∫
∫
(f)
∫
42−3x dx.
(g)
5sen(x + 1) dx.
∫
29. Calcule os seguintes integrais:
∫
(a)
5xsen(3x2 + 9) dx.
(x)
18
∫
∫
dx
√ .
x
(c)
∫
2
∫
x(x + 1)(x + 2) dx.
∫
(x2 + 1)(x2 − 2)
√
dx.
3
x2
tg x dx.
(j)
∫
(d)
ln x
dx.
x3
∫
(h)
arcsenx dx.
Matemática Aplicada às Ciências Naturais
09/10
Agronomia, Biologia e Biologia Marinha
Folha 8
Integrais Indefinidos
31. Utilize a integração por partes para mostrar que:
∫
dx
1 x−1
(a)
= ln
.
2
x −1
2 x+1
∫
dx
1
x−a
=
ln
, a ̸= 0.
(b)
x2 − a2
2a x + a
32. Calcule os seguintes integrais:
∫
dx
(a)
.
2
x + 2x + 5
∫
dx
(c)
.
2
2x − 5x + 7
∫
3x − 2
(e)
dx.
2
x − 4x + 5
∫
x
(g)
dx.
2
x − 7x + 13
∫
33. Mostre que
∫
dx
.
+ 2x
∫
dx
(d)
.
2
3x − x + 1
∫
(x − 1)2
(f)
dx.
x2 + 3x + 4
∫
x2
(h)
dx.
x2 − 6x + 10
(b)
x2
dx
x+1
= ln
através de:
(x + 1)(x + 2)
x+2
(a) integração por partes.
(b) fracções elementares.
34. Calcule os seguintes integrais:
∫
dx
(a)
.
(x − 1)(x + 2)(x + 3)
∫
dx
(c)
.
x(x + 1)2
∫
dx
(e)
.
3
x +1
∫ 2
x − 5x + 9
dx.
(g)
x2 − 5x + 6
∫
5x2 + 6x + 9
(i)
dx.
(x − 3)2 (x + 1)2
∫ 3
x +x+1
dx.
(k)
x(x2 + 1)
35. Utilize
∫
(a)
∫
(b)
∫
(c)
∫
(d)
∫
(e)
∫
(b)
∫
(d)
∫
(f)
∫
(h)
∫
(j)
∫
(l)
x3 − 1
dx.
4x3 − x
x4
dx.
x4 − 1
2x2 + 41x − 91
dx.
(x − 1)(x + 3)(x − 4)
5x3 + 2
dx.
x3 − 5x2 + 4x
x4 − 6x3 + 12x2 + 6
dx.
x3 − 6x2 + 12x − 8
dx
.
(x2 − 4x + 3)(x2 + 4x + 5)
uma mudança de variável para calcular os seguintes integrais:
x
dx.
− 4x2 + 3
cos(x)
dx.
sen2 (x) − 6sen(x) + 12
ex
dx.
e2x + 2ex + 2
dx
.
2
x(ln x − 6 ln x + 3)
dx
.
cos2 x(tg2 x + 2tgx)
x4
Matemática Aplicada às Ciências Naturais
09/10
Folha 9
Integrais Definidos
Agronomia, Biologia e Biologia Marinha
36. Mostre que:
∫ 2
7
(a)
(x2 − 2x + 3) dx = .
3
1
∫ 1
( 7
)
(c)
8x + x5 + x dx = 0
(b)
(d)
−1
∫ 3
10
2x3 − 4x2 + 5
dx = .
x2
3
(e)
(f)
1
∫ 2π
(g)
senx dx = 0.
∫
0
(i)
∫
(h)
√
π
4
3
sec2 α dα = 1 −
.
3
π
6
2
(k)
1
1
(o)
∫
0
∫
∫
π
2
1
(u)
0
0
5
(y)
3
−3
∫
1
(n)
∫
√
0
∫
(t)
dx
= arctg3 − arctg2.
x2 + 4x + 5
(v)
dx
π
= .
2
4
1−x
dx
2
=− .
3
25 + 3x
z3
π
dz = .
8
z +1
16
e2
(p)
π
.
4
x sin(2x) dx =
1
(w)
∫
√
0
(l)
(r)
0
∫
2
2
(j)
π
− 1.
2
x cos xdx =
0
(s)
sen(ln x)
1 − cos 1
dx =
.
2x
2
π
ex
dx = arctge − .
1 + e2x
4
π
2
(q)
√
0
e
(m)
∫
0
∫
0
∫
)
x3
789
3x −
+ 3 dx =
.
2
40
1
∫ 8 (√
√ )
100
2x + 3 x dx =
.
3
0
∫ 4
√
1+ y
7
dy = .
2
y
4
1
∫ π
√
4
tgx dx = ln 2.
4
∫
(t2 − 1)3 t dt = 10.
2(
∫
e
e
dx
= ln 2.
x ln x
ln x dx = 1.
1
∫ 1
x
9
dx = ln .
x2 + 3x + 2
8
(x)
dx
3
= ln √ .
x(x − 2)
5
(z)
xe4x dx =
∫
0
∫
3
−2
∫
−3
0
4
3e4 + 1
.
16
dx
4
= ln .
x2 − 3x + 2
3
2x + 1
5
dx = ln 2 − π.
x2 + 6x + 10
4
245
2x2 + 41x − 91
= ln 11 .
3
−2 (x − 1)(x + 3)(x − 4)
37. Utilize integrais definidos apropriados para mostrar que a área da região limitada pelos seguintes
gráficos:
x
(a) y = 3, y = 0, x = −1 e x = 3 é 12.
(b) y = , y = 0 e x = 6 é 9.
2
22
.
(c) y = sin x, y = 0, x = 0 e x = π é 2.
(d) y = 4 − x2 , y = 0, x = −1 e x = 1 é
3
1
(e) y = ln x, y = 0 e x = e é 1.
(f) y = x(x − 1)(x − 2) e y = 0 é .
2
9
(g) y = x(x − 2)(x − 4) e y = 0 é 8.
(h) y = 1 − x2 e y = x − 1 é .
2
√
1
1
(i) y = x2 e y = x é .
(j) y = ex , y = e−x e x = 1 é e + − 2.
3
e
√
32
.
(l) y = (x + 1)2 − 4 e y = 2x é 4 3.
(k) y = x2 e y = 2x2 − 4 é
3
x
(m) y − x = 6, y − x3 = 0 e 2y + x = 0 é 22.
(n) y = x2 − 4, y = −4x + 1 e y = + 1 é 9.
2
Matemática Aplicada às Ciências Naturais
09/10
Folha 10
EDs
Agronomia, Biologia e Biologia Marinha
38. Verifique se as seguintes funções são soluções das equações diferenciais dadas:
(a) xy ′ − 2y = 0, y = x2 , y = x3 , y = 3x2 .
(b) 2yy ′′ − (y ′ )2 = 0, y = x2 , y = x3 , y = 3x2 + 2.
(c) y ′′′ − 2y ′′ + y ′ = 0, y = x, y = xex , y = ex , y = 3, y = 4 + 3ex + 2xex , y = x2 , y = e2x .
39. Repita o exercı́cio anterior para as seguintes equações diferenciais:
1
.
x
(a) xy ′ = 2y, y = 5x2 .
(b) y ′′ = x2 + y 2 , y =
d2 x
+ 25x = 0, x = cos(5t) + sin(5t).
dt2
1 − x2
(e) x + y + xy ′ = 0, y =
.
2x
(d) (x − y + 1)y ′ = 1, y = x + 2ey .
(g) y ′′ + y = 0, y = 3 sin(x) − 4 cos(x).
(h) y ′′ − 2y ′ + y = 0, y = xex .
(i) y ′′ − 2y ′ + y = 0, y = x2 ex .
(j) y ′′ − 7y ′ + 12y = 0, y = e3x − e4x .
(c)
(k) x2 y ′′′ + 4 = 6y ′ , y =
1
+ 4x.
x
(m) y ′′′ − 6xy ′ = 8x3 y, y = ex .
2
(o) x + yy ′ = 0, x2 + y 2 = 9.
(f) y ′′ − 5x = 2, y = x3 + x2 + x.
(l) y ′′′ + 4y ′ = 0, y = 2 cos(2x) + 3 sin(2x) + 4.
(n) (x − 2y)y ′ = 2x − y, x2 − xy + y 2 = 8.
y
(p) xy ′ =
, y = ln(xy).
y+1
40. Determine a equação diferencial cuja solução é a famı́lia de curvas dada:
(a) x2 + y 2 = C 2 .
(b) y = C1 + C2 ex + C3 xex .
(c) y = C1 cos(3x) + C2 sen(3x).
(d) y = C1 + C2 cos(3x) + C3 sen(3x).
(e) y = C1 + C2 ex .
41. Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
(a) x + 2yy ′ = 0.
(c)
y′
1
−
= 0.
y
x+1
(b) xy ′ = 2y.
(d) yy ′ =
1 − x2
.
x
(e) (4y + yx2 )dy − (2x + xy 2 )dx = 0.
(f) xy ′ = y + y 3 .
dy
= 2x.
dx
3ex tgy
(1 − ex )
(i)
dx +
dy = 0.
x
x cos2 y
x
(k) dx + dy = 0, y(4) = 3.
y
(h) xsen(x)e−y − y
(m) (xy 2 + x)dx + (x2 y − y)dy = 0, y(0) = 1.
(n) (1 + ex )yy ′ = ex , y(0) = 1.
(g) ex
(o)
dy
= y 2 − 4, y(0) = 3.
dx
dy
= 0.
dx
y′
1
(j) √ = √ .
y
x
(l) y ′ tgx − y = 0, y
(p)
(π )
6
= 1.
( )
dy
= 4(y 2 + 1), y π4 = 1.
dx
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09/10
Folha 11
EDs
Agronomia, Biologia e Biologia Marinha
42. Resolva as seguintes equações diferenciais homogéneas:
x+y
(a) y ′ = −
.
x
(c)
(x2
−
3y 2 )dx
y
(b) y ′ = e x +
+ 2xydy = 0.
(d)
xy ′
−y−
y
x
x cos2
(y)
x
= 0.
(e) 2xyy ′ + x2 − 3y 2 = 0.
(f) xy ′ + x − 2y = 0.
1
y′
=
y2
x(y − x)
dy
(i) xy 2
= y 3 − x3 , y(1) = 2.
dx
x2 + y 2
.
xy − x2
y−x
(j) y ′ =
, y(1) = 8.
x
y
dy
(l) x
= y + xe x , y(1) = 0.
dx
x2 + y 2
, y(4) = 0.
(n) y ′ =
2xy
(h) y ′ =
(g)
(k) (x − y)dx + (x + y)dy = 0, y(1) = 0.
(m) (x − y)ydx − x2 dy = 0, y(1) = 1.
43. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de 1a ordem:
(a) y ′ − y = e−2x .
(b) xy ′ − y − x2 = 0.
y
dy
− = x.
dx x
dy
2y
(e)
+
= x3 .
dx
x
√
(d) (1 + x2 )dy = ( 1 + x2 sin(x) − xy)dx.
(g) y ′ + 2xy = x.
(h) x
(i) cos2 x sin xdy + (y cos3 x − 1)dx = 0.
(j) (1 + x2 )dy + (xy + x3 + x)dx = 0.
(k) y ′ cos x − y sin x = x, y(0) = 8.
(l) xy ′ + y − ex = 0, y(a) = b.
dx
x
=
, y(2) = 4.
dy
x−y
dy
1
(o)
=
, y(−2) = 0.
dx
x + y2
(n) y ′ − ytg(x) =
(c)
(m)
44. Resolva as seguintes equações diferenciais:
dy
(a) (x − 2)
= y + 2(x − 2)3
dx
(c) (2x + 3y)dx + (y − x)dy = 0.
(e) x ln x
dy
+ y − ln x = 0.
dx
(f) x2 dy − (2xy + 3)dx = 0.
dy
− 4y = x6 ex .
dx
1
, y(0) = 0.
cos(x)
(p) x2 y ′ + x(x + 2)y = ex , y(1) = e.
(b) (1 + x3 )y ′ − x2 y = 0.
(d) (x3 + y 3 )dx − 3xy 2 dy = 0.
(f) x2 (y + 1) + y 2 (x − 1)y ′ = 0.
dy
4y
=
.
dx
x(y − 3)
(g) y 2 dx − x2 dy = 0.
(h)
(i) 4xdy − ydx = x2 dy.
(j) xy ′ = y + x3 + 3x2 − 2x.
(k) dy + (yctgx − 5ecos x )dx = 0.
dy
+ (2 − 3x2 )y = x3 .
dx
(
)
x
x/y
x/y
(n) (1 + 2e ) + 2e
1−
y ′ = 0.
y
(m) y ′ + 2xy = 4x.
(o) dx + (1 − x2 )ctgydy = 0.
(l) x3
(p) (x3 + y 3 )dx + 3xy 2 dy = 0.
Matemática Aplicada às Ciências Naturais
09/10
Agronomia, Biologia e Biologia Marinha
Folha 12
Aplicações de EDs
45. Determine as trajectórias ortogonais das seguintes famı́lias de curvas:
(a) y = ax.
(b) y = ax2 .
(c) x2 + 2y 2 = C.
(d) xy = a.
(e) y = ax3 .
(f) y = Cex .
46. Resolva os seguintes problemas através de equações diferenciais:
(a) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce proporcionalmente à quantidade de bactérias presente em qualquer instante. Ao fim de uma hora observam-se 1000 bactérias na cultura e após
4h há 3000 bactérias. Determine o número de bactérias em qualquer instante assim como o
número inicial de bactérias na cultura.
(b) A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existente.
Em 1900 a população era de 30000 habitantes e em 1910 de 35000. Qual foi a população estimada
para 1950?
(c) Sabe-se que o núcleo de certa substância radioactiva diminui a uma taxa proporcional à quantidade existente numa amostra inicial. O meio-tempo de vida desta substância é de 1500 anos.
Quantos anos decorrem até se obter um décimo da amostra inicial?
(d) Uma colónia de bactérias cresce a uma razão proporcional ao número de bactérias existente.
Se o número de bactérias duplica em 24h, quantas horas são necessárias para que o número de
bactérias seja de 100 vezes a sua quantidade inicial?
(e) A população de mosquitos numa certa região cresce a uma razão proporcional à população actual.
Na ausência de outros factores, a população duplica em cada semana. Se existem inicialmente
200 000 mosquitos nesta região, em quantos dias é que a população atinge um milhão?
(f) O carbono radioactivo C14 representa uma importante ferramenta de datação. A razão entre C14
e o carbono (“normal”) C12 em seres vivos e na atmosfera é constante. Quando um organismo
morre, deixa de absorver C14 através da alimentação e respiração. Deste modo, é possı́vel
determinar a idade de um fóssil sabendo a razão entre os carbonos no fóssil e a da atmosfera
(W. Libby, Prémio Nobel da Quı́mica, 1960). Sabendo que o C14 se desintegra à proporção de
−1, 2 × 10−4 (aproximadamente) da quantidade de substância existente, determine:
i. o meio-tempo de vida do C14.
ii. a idade de um osso fossilizado que contém 25% de C14.
(g) Um corpo com peso igual a 2,5kg cai verticalmente partindo do repouso. A resistência do ar é
de 2v, onde v é a velocidade do corpo (em m/s). Ao fim de quantos segundos é que o corpo
atinge uma velocidade de 1 m/s? Indique um limite máximo para a velocidade do corpo.
(h) Dois remadores e um barco pesam 200kg. Os remadores exercem uma força de 30N no barco e
a resistência da água é igual a 3/2 da velocidade (em m/s). Se o barco partiu do repouso, qual
é a velocidade ao fim de um minuto?
(i) Um corpo com peso igual a 10kg cai verticalmente num meio em que a resistência é proporcional
a um décimo do quadrado da velocidade (em m/s). Sabendo que o corpo parte do repouso,
determine a velocidade que o corpo atinge ao fim de 2s.
(j) Uma carga, com peso igual a 40kg, parte do repouso e está a ser transportada sobre o gelo
sujeita a uma força de 20N. Desprezando a resistência do gelo e sabendo que a resistência do
ar é igual a 7, 5 vezes a velocidade (em m/s) da carga, determine a velocidade atingida em 8s.
Qual foi a distância percorrida?