PUC-Rio - Certificação Digital Nº 9716035/CA
Leonardo Navarro de
Carvalho
Automorsmos genericos de
cubos com alcas
TESE DE DOUTORADO
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Programa de P
os{graduac~ao em
Matematica
Rio de Janeiro
Novembro de 2002
Leonardo Navarro de Carvalho
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 9716035/CA
Automorsmos genericos de cubos com
alcas
Tese de Doutorado
Tese apresentada ao Programa de Pos{graduac~ao em
Matematica do Departamento de Matematica da PUC{Rio
como parte dos requisitos parciais para obtenc~ao do ttulo
de Doutor em Matematica
Orientador: Prof. Paul A. Schweitzer
Co{Orientador: Prof. Ulrich Oertel
Rio de Janeiro
Novembro de 2002
Leonardo Navarro de Carvalho
Automorsmos genericos de cubos com
alcas
Tese apresentada ao Programa de Pos{graduac~ao em
Matematica do Departamento de Matematica do Centro
Tecnico Cientco da PUC{Rio como parte dos requisitos
parciais para obtenc~ao do ttulo de Doutor em Matematica.
Aprovada pela Comiss~ao Examinadora abaixo assinada.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 9716035/CA
Prof. Paul A. Schweitzer
Orientador
Departamento de Matematica | PUC{Rio
Prof. Ulrich Oertel
Co{Orientador
Departamento de Matematica e Ci^encia da Computac~ao
| Rutgers University { Newark
Prof. Sebasti~ao Firmo
Instituto de Matematica | UFF
Prof. Carlos Gutierrez
Departamento de Matematica | ICMC { USP
Prof. Derek Hacon
Departamento de Matematica | PUC-Rio
Prof. Rafael O. Ruggiero
Departamento de Matematica | PUC-Rio
Prof. Nicolau Corc~ao Saldanha
Departamento de Matematica | PUC-Rio
Prof. Ney Augusto Dumont
Coordenador Setorial do Centro Tecnico Cientco |
PUC{Rio
Rio de Janeiro, 01 de Novembro de 2002
Todos os direitos reservados. E proibida a reproduca~o
total ou parcial do trabalho sem autorizac~ao da universidade, do autor e do orientador.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 9716035/CA
Leonardo Navarro de Carvalho
Graduou-se em Matematica pela PUC-Rio em 1994,
ja manifestando interesse na area de topologia. Imediatamente ingressou no programa de Mestrado em
Matematica do mesmo departamento, defendendo a dissertac~ao \A estrutura das folheaco~es de Lie" em 1996.
Durante o doutorado direcionou sua pesquisa a area de
Topologia em dimens~ao 3. Alem da pesquisa, esteve envolvido com varias atividades de ensino em matematica,
tanto em nvel superior quanto em projetos de atualizaca~o de professores do nvel secundario.
Carvalho, Leonardo Navarro de
Ficha Catalograca
Automorsmos genericos de cubos com alcas/
Leonardo Navarro de Carvalho; orientador: Paul A.
Schweitzer; co{orientador: Ulrich Oertel. | Rio de
Janeiro : PUC{Rio, Departamento de Matematica,
2002.
[10], 132 f: il. ; 30 cm
1. Tese (doutorado) - Pontifcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro, Departamento de
Matematica.
Inclui refer^encias bibliogracas.
1. Matematica { Teses. 2. Topologia em dimens~ao
tr^es. 3. Cubos com alcas. 4. Automorsmos. 5. Laminac~oes. I. Schweitzer, Paul A.. II. Oertel, Ulrich. III.
Pontifcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro. Departamento de Matematica. IV. Ttulo.
CDD: 510
Para meus pais.
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Agradecimentos
Ao Paul, pela orientac~ao e pelo apoio, paci^encia e conanca.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 9716035/CA
Ao Ulrich, por toda a energia investida.
Carol, por tudo, tanto que n~ao pode ser listado.
A
Aos meus pais, ao Jo~ao e Cris, portos seguros incondicionais.
Nina, cujo sorriso restaurou, tantas vezes, ^animos perdidos.
A
Aos meus amigos, me recebendo com calor e afeto no Brasil, me dando
apoio e forcas nos Estados Unidos.
A todos os professores do departamento, cuja dedicaca~o e paix~ao
determinaram muito da minha relaca~o com a matematica.
Coordenaca~o de Pos do Departamento de Matematica da PUC-Rio.
A
Creuza, Linda, Tereza, Katia, Vera, Orlando, Otavio e Kleber, que
A
fazem com que ainda me sinta em casa no departamento.
Ao pessoal da CCPG: Celia, Jorge, Miltinho e, em especial, ao Prof.
Bergmann.
Ao CNPq, CAPES e PUC-Rio pelos auxlios e bolsas.
Ao Peter, cujo programa (e auxlio em seu uso) me poupou horas de
trabalho manual.
Ao Departamento de Matematica e Ci^encia da Computaca~o de
Rutgers{Newark, pela hospitalidade durante o estagio.
Resumo
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 9716035/CA
Carvalho, Leonardo Navarro de; Schweitzer, Paul A.; Oertel, Ulrich.
Automorsmos genericos de cubos com alcas. Rio de Janeiro,
2002. 142p. Tese de Doutorado | Departamento de Matematica,
Pontifcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro.
Automorsmos genericos de cubos com alcas (\handlebodies") aparecem do
estudo de classes the isotopia de automorsmos de variedades orientaveis de
dimens~ao tr^es. Automorsmos genericos permanecem como uma das partes
menos entendidas desse estudo.
Dado um automorsmo generico de um cubo com alcas, e conhecida uma
forma de se construir uma laminaca~o bidimensional que e invariante pelo automorsmo. A essa laminac~ao se associa um fator de crescimento. E sabido
que, no caso de tal fator de crescimento ser minimal { uma caracterstica
importante, pois mede a complexidade essencial do automorsmo { a laminac~ao deve gozar de uma certa propriedade de incompressibilidade. Nessa
tese mostramos que o processo de se achar uma laminaca~o com tal propriedade e algortmico. Por outro lado, mostramos que tal propriedade n~ao
garante que o respectivo fator de crescimento seja minimal. Propomos uma
outra propriedade, tens~ao transversal, mais forte que incompressibilidade,
que conjecturamos tambem ser condica~o necessaria para que o fator de
crescimento seja minimal. Provamos a conjectura em alguns casos.
Alem dos resultados mencionados acima, desenvolvemos metodos para gerar
automorsmos genericos de cubos com alcas, que usamos para apresentar
alguma variedade de exemplos.
Palavras{chave
Topologia em dimens~ao 3; Difeomorsmos de variedades; Cubos com
alcas; Laminac~oes; Difeomorsmos pseudo-Anosov.
Abstract
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 9716035/CA
Carvalho, Leonardo Navarro de; Schweitzer, Paul A.; Oertel, Ulrich. Generic automorphisms of handlebodies. Rio de Janeiro,
2002. 142p. PhD. Thesis | Departamento de Matematica, Pontifcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro.
Generic automorphisms of handlebodies appear naturally in the study of
isotopy classes of automophisms of orientable three-dimensional manifolds.
Generic automorphisms remain as one of the least understood parts of this
study.
Given a generic automorphism of a handlebody one can construct a bidimensional lamination that is invariant under the automorphism. There is
a growth rate associated to this lamination. It is known that, when this
growth rate is minimal among all possible choices (an important property,
for it measures the essential complexity of the automorphism), the lamination must have a certain incompressibility property. On this thesis we show
that the process of nding a lamination with such a property is algorithmic.
On the other hand, we show that this said incompressibility property is
not suÆcient for the minimality of the growth rate. We propose a stronger
property, which we called transverse tightness, and conjecture that it is a
necessary condition for the growth rate to be minimal. We prove the conjecture in some particular cases.
In addition to the results mentioned above, we develop methods to generate
generic automorphisms of handlebodies, which we use to present some
variety of examples.
Keywords
Three-dimensional topology; Dieomorphisms of manifolds; Handlebodies; Compression bodies; Laminations; Pseudo-Anosov dieomorphisms.
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Sumario
1 Introduc~ao
11
2 Preliminares
2.1 Variedades de dimens~ao tr^es.
2.2 Laminac~oes.
2.3 Automorsmos pseudo-Anosov.
2.4 Automorsmos de cubos com alcas.
2.5 Matrizes n~ao negativas.
2.6 Automorsmos de grupos livres.
2.7 Automorsmos genericos de cubos com alcas.
20
3 Construindo Exemplos.
3.1 Um exemplo.
3.2 Um metodo
3.3 Limitando o fator de crescimento.
3.4 Superfcie redutora fechada.
47
4 Algortmo
4.1 A procura por um nulogono.
4.2 A parada
67
5 Tens~ao transversal.
5.1 Discos tensores transversais.
5.2 Fator de crescimento
108
6 Conclus~ao
135
Refer^encias Bibliogracas
139
20
23
28
30
33
34
35
47
50
55
58
67
83
108
128
Lista de Figuras
3.1 A superfcie S e as curvas 0 , 1 . As tors~oes ser~ao para a esquerda
3.2
3.3
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 9716035/CA
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
em 0 e para a direita em 1 .
O efeito de ' em 1 (S ).
O automorsmo f e denido como composic~ao de tors~oes ao longo
dos aneis A0 , A1 e do disco .
O par de Penner em S e o arco dual .
A curva @ em @H .
esquerda: H0 com estrutura de alcas determinada por um grafo.
A
direita: H0 H1 deve ser visto como vizinhanca do grafo.
A
O padr~ao de intersec~ao D \ D 0 em D .
[ 0 bordam uma bola
O padr~ao de intersec~ao D \ D 0 em D 0 .
Cortando Q ao longo de D obtem-se Q0 (caso 1).
Cortando Q ao longo de D obtem-se Q0 (caso 2).
O disco 00 U f1g paralelo ao 0 . Os casos (a) e (b) dependem
de 00 \ D .
Orientac~ao dos arcos em @D 0 .
O disco 000 usado para simplicar D \ D 0 .
a) curva C0 bordando disco D0 H ; b) curva C1 bordando disco
D1 H .
a) curva C0 bordando disco D0 H ; b) curva C1 bordando disco
D1 H ; c) o toro invariante.
4.1 Um novo representante para g, produzindo um fator de crescimento
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
que n~ao e minimal.
A exist^encia de um disco compressor implica que ha um caminho
regressor livre.
O meio-disco compressor (; 0 ; ).
A famlia de sela de ndice i na carta folheada Ui .
A representac~ao, em H1 , dos trechos de 1-alcas de H0 que, em H2 ,
determinar~ao uma compress~ao.
O disco g 2 (B ) e compressvel em H2 H0 .
O processo de dobra: a) o grafo original ; b) por subdivis~ao das
arestas obtem-se 0 ; c) a dobra e realizada identicando c 1 com d
, obtendo-se 00 .
O quadro dual: depois de realizado o down-move vemos que a
laminac~ao e compressvel em H1 H0 .
Apos realizada a diversion.
O procedimento das cirurgias. Cada seta representa uma compress~ao
ao bordo realizada ao longo de um meio-disco cortado de D . As
compress~oes s~ao realizadas de forma equivariante
Um disco compressor D para Fi que n~ao e compressor para F
a) e b) tpicos discos bons; c) tpico disco ruim.
O caso em que i In(Fi )
48
48
49
54
54
57
59
59
60
60
61
61
62
62
65
66
71
73
73
76
79
80
81
82
82
85
86
88
89
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
i Out(Fi )
O meio-disco i separando Out(Fi )
Si0 = Si [ i
A escolha do arco .
Preparando a isotopia de D j .
O grafo H0 e ('^) 1 ( ) H0 .
O grafo H0 e H1 .
5.1 a) Um disco f (E1 ) dual a uma 1-alca de H1 , interceptando a 1-alca
e^i de H0 ; b) a operac~ao que reduz .
91
100
101
102
102
103
103
109
5.2 Um disco tensor transversal D0 em H1 .
111
5.3 A estrutura de produto em e^i , onde e horizontal e e vertical.
112
5.4 a) o disco D transversal a em e^i ; b) D e feito vertical em uma
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 9716035/CA
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
vizinhanca de uma folha L; c) D e colocado em posic~ao vertical em e^i . 113
A intersec~ao D \ e^i em D .
114
As duas possveis posic~oes relativas de D1 , D2 .
115
A cirurgia para simplicar o conjunto singular de D em ambos os
casos.
115
A curva @D separa um disco de um anel em L.
116
0
A construc~ao de D .
117
Um disco tensor transversal D com @D @H1 .
117
Apos realizar a isotopia.
121
A faixa be^ chegando sendo colada aos discos DV^ .
129
O grafo pode deixar de ser transversal as bras de N ( ) perto de
um vertice.
131