Permeabilidade dos solos
Fluxo de Água em Solos
Fluxo Unidimensional
Prof. Fernando A. M. Marinho
Permeabilidade
Por que existe água subterrânea?
• Efeito da gravidade
• Presença de rochas e solos menos permeáveis
Princípios gerais
• Conservação de ENERGIA
• Conservação de MASSA
Conservação de energia: sólidos
indeformáveis
• Energia potencial (ou de posição):
Trabalho realizado pelo corpo para ir de um ponto a outro
força x deslocamento = massa x aceleração x deslocamento
• Energia cinética:
massa x (velocidade)2 / 2
Conservação de energia: sólidos
deformáveis
• Energia potencial (ou de posição):
Trabalho realizado pelo corpo para ir de um ponto a
outro
força x deslocamento = massa x aceleração x
deslocamento
• Energia cinética:
massa x (velocidade)2 / 2
• Energia de deformação (elástica)
tensão x deformação / 2
Conservação de energia: fluidos
• Energia potencial (ou de posição):
Trabalho realizado pelas partículas do volume V de
fluido para ir de um ponto a outro
força x deslocamento =
= massa x aceleração x deslocamento =
= volume x densidade x aceleração x deslocamento
• Energia cinética:
volume x densidade x (velocidade)2 / 2
• Energia de pressão:
volume x pressão
Conservação de energia: fluidos
• Energia potencial (ou de posição):
Volume V de fluido a uma altura he
Energia potencial: Ee = V x ρw x g x he
• Energia cinética:
Volume V de fluido com velocidade v
Energia cinética: Ec = V x ρw x (v)2 / 2
• Energia de pressão:
Volume V de fluido a uma pressão u
Energia piezométrica: Ep = V x u
Energia total
• Energia total = energia potencial + energia
cinética + energia de pressão
• E = Ee + Ec + Ep
• E = V x ρw x g x h + V x ρw x (v)2 / 2 +
+Vxu
• Dividindo-se tudo por (V x ρw x g) ...
Equação de Bernoulli
• E / (V x γw) = he + (v)2 / (2 x g) + u / (γw)
• H = he + hc + hp
Carga altimétrica
Carga piezométrica =
Carga cinética
u / γw
Equação de Bernoulli
• H = he + hc + hp
• Carga hidráulica total = carga altimétrica +
+ carga cinética + carga piezométrica
Carga hidráulica depende da cota de
referência, porque a carga altimétrica
depende da cota de referência
Fluxo em meios porosos
• Velocidades baixas, fluxo laminar (baixo
número de Reynolds)
– Por exemplo, se v = 10-3 m/s (alta!)
– hc = (v)2 / (2 x g) ≅ 5 . 10-6 m (muito baixa!)
• Portanto, H ≅ he + u / γw
Carga hidráulica na percolação
• H ≅ h e + u / γw
• H ≅ he + hp
he = z + constante
• Carga hidráulica total ≅ carga altimétrica +
+ carga piezomética
Recapitulando: Equação de Bernoulli (conservação de
energia em fluxo sem perdas por dissipação)
carga total
v2
+ he +
= constante = h
γw
2g
u
carga de pressão
carga de elevação
carga de velocidade
uA
γw
uB
γw
heA
heB
referencial
Harr (1962)
Conservação
de energia:
hB = hA - ∆h
No caso de fluxo em solo deve-se considerar a perda de energia
devida à resistência ao fluxo pelos poros,
logo temos:
uA
2
2
vA
uB
vB
+ heA +
=
+ heB +
+ ∆h
γw
2g
γ
2g
Perda de carga
A carga de velocidade em problemas de fluxo em solos é normalmente
muito pequena e pode ser desprezada, assim temos que:
uA
γw
+ heA ≅
uB
γw
+ heB + ∆h
A carga total em qualquer ponto do domínio de fluxo vale:
h=
u
γw
+ he
Na tentativa de melhorar o sistema de purificação de água do
sistema de abastecimento de água de Dijon, na França em 1856,
Henry Darcy, estabeleceu a relação que governa o fluxo de água em
meios porosos saturados.
Conservação de massa:
QE = QS = Q
Henry Darcy (1803 to 1858)
∆h
hentrada
L
hsaída
QE
A
(
h
Q≈
entrada
)
− hsaída
A
L
QS
Lei de Darcy
Q - vazão
k – condutividade hidráulica
A - área do permeâmetro
∆h
Q=k
A
L
∆h
= i ⇒ gradiente hidraúlico (médio)
L
v = ki
Q
= velocidade de percolação
A
Se i=1, k é a própria velocidade de percolação da água
∆h representa a perda de carga
total do fluido na distância ∆s
uA
γw
uB
γw
heA
∆h
i=
∆s
heB
Gradiente hidráulico médio
referencial
Harr (1962)
∆h dh
i s = lim
=
∆s →0 ∆s
ds
Gradiente hidráulico pontual
Gradiente hidráulico é VETOR.
Pensar sempre também na sua direção
e no seu sentido.
Operador gradiente (geral)
∂H
ix =
∂x
∂H
iy =
∂y
∂H
iz =
∂z
H – campo escalar
3 componentes do VETOR
gradiente
Aponta, em cada ponto, na
direção de maior variação do
campo escalar (H)
Gradiente hidráulico (3D)
∂H
ix =
∂x
∂H
iy =
∂y
∂H
iz =
∂z
3 componentes do VETOR
gradiente hidráulico
Aponta, em cada ponto, na
direção de maior variação
da carga hidráulica
Lei de Darcy generalizada
v = −ki
∂H
v x = −k x
∂x
∂H
v y = −k y
∂y
∂H
v z = −k y
∂z
v – vetor
velocidade de
percolação
i - vetor gradiente
hidráulico
Velocidade de percolação
2
v ∝ d (solo )
v ∝ ρg (fluido )
v∝
1
µ
(fluido )
∆h
v∝
(intensidade da ação )
L
Permeabilidade versus Condutividade
2
ρg
v∝
µ
v∝d
v=C
Aplicando Darcy
µ
∇ht
 ρg 

k = Cd 
 µ 
(
2
Sendo a permeabilidade intrinseca é definida como:
A condutividade hydráulica vale:
d ρg
K = Cd 2
 ρg 

k = K 
 µ 
2
)
Princípios gerais (recapitulação)
• Solo saturado por fluido incompressível
• Condutividade hidráulica e peso específico
do fluido são constantes
• Lei de Darcy
• Conservação de massa (em qualquer ponto,
massa de fluido que entra = massa de fluido que sai )
O fluxo em regime permanente se refere a condição onde:
As propriedades do fluido num ponto dentro do sistema não mudam.
Esta propriedades são:
Temperatura
Pressão
Velocidade
Uma das mais significantes propriedades que é constante no regime permanente é a
conservação de massa.
Isto significa que:
Não existe acumulação de massa dentro de qualquer componente do sistema
Fluxo em valas
Sem Fluxo
Fluxo Ascendente
σ, u
h
z
L
(z + L) γw
z γw + L γn
(
h
Q=k
entrada
)
− hsaída
A
L
k = condutividade
(h
entrada
− hsaída
L
) = gradiente hidráulico = i
A = área da sessão transversal
Lei de Darcy
Q = kiA
ENSAIOS DE PERMEABILIDADE
CARGA CONSTANTE
CARGA VARIÁVEL
Relativamente alta permeabilidade
Relativamente baixa permeabilidade
Hazen (1911)
k = CD10
2
• Areia limpa em estado fofo
• C varia de 50 a 200
• Usualmente se usa 100
k = f ( S , e, estrutura )
Anisotropia
Velocidade de descarga e a velocidade real da água
vs
Av
v
A
Q = Av = Av vs
A
AL
V v
vs = v
=
=v =
Av Av L
Vv n
1
n
n = porosidade
Cargas hidráulicas
Altimétrica
Piezométrica
Total
Carga Total = Carga Altimétrica + Carga Piezométrica
hP
hT h
A
hP
hA
hT
Força de Percolação
h
z
Diferença de carga
∆h = hγw
Força de arraste
L
F = hγwA
A é a área do corpo de prova
Dissipação uniforme em todo o volume
hγ w
Força de percolação
hγ w A h
= γ w = iγ w
j=
AL
L
Forças exercidas pela água em uma amostra de solo
h
+
Solo
(L+Z)Aγw
(L+Z+h)Aγw
Solo
hAγw
=
Solo
Forças periféricas
L
ZAγw
ZAγw
z
=
Empuxo de Arquimedes (estático)
+
Forças de percolação
Lambe & Whitman (1969)
Tensão Efetiva em situação de fluxo
σ ' = ( zγ w + L γ n ) − ( zγ w + L γ w + h γ w )
h
z
L
σ = L(γ n − γ w ) − hγ w
'
 Lh 
σ = L(γ n − γ w ) −  γ w
 L 
σ ' = Lγ sub − Liγ w
'
σ = L(γ sub − iγ w )
'
Se o fluxo for descendente:
σ = L(γ sub − j )
'
σ = L(γ sub + j )
'
Areia Movediça
Fluxo ascedente
Gradiente Crítico
h
z
L
hγ w
'
σ =0
• Resistência das areias é proporcional a
tensão efetiva.
• Se σ’ = 0 a resistência é nula e teremos
areia movediça
σ = L(γ sub − iγ w ) = 0
'
icrit
γ sub
=
γw
Areia fina
Areia grossa
Coeficiente de Segurança (areia movediça)
i = 0,75
icrit
γ sub
=
γw
γ = 19kN / m 3
icrit = 0,90
0,90
FS =
= 1,20
0,75
Exercícios
Ex. 1
h
D
z
L
•
•
•
•
•
•
•
B
Y
y
A
Determinar:
A vazão
O gradiente hidráulico
Cargas hidráulicas ao longo do c.p.
Pressão na água no ponto Y
Tensão total e tensão efetiva em Y
O gradiente crítico
O valor de h para que haja a formação de
areia movediça
γ = 19 kN/m3
h = 30 cm
z = 10 cm
L = 40 cm
y = 20 cm
D = 30 cm
k = 10-5 m/s
Ex. 2
h
D
z
B
k1
L/2
Y
L/2
X
x
y
A
k2
Determinar:
A vazão
O gradientes hidráulicos
Cargas hidráulicas ao longo do c.p.
Pressão na água nos pontos X e Y
Tensões totais e tensões efetivas em X e Y
O gradiente crítico
O valor de h para que haja a formação de
areia movediça
• O que acontece se invertermos as posições
das areias 1 e 2
•
•
•
•
•
•
•
γ1 = γ2 = 19 kN/m3
h = 30cm
z = 10cm
y = 20cm
x = 10cm
L = 40cm
D = 30cm
k1 = 10-4 m/s
k2 = 10-5 m/s
Determinar:
Ex. 3
h
D
C
k1
z
L/2
B
k1
Y
D
L/2
X
x
A
y
k2
A vazão
O gradientes hidráulicos
Cargas hidráulicas ao longo do c.p.
Pressão na água nos pontos X e Y
Tensões totais e tensões efetivas em X e Y
O gradiente crítico
O valor de h para que haja a formação de
areia movediça
• O que acontece se invertermos as posições
das areias 1 e 2
•
•
•
•
•
•
•
γ1 = γ2 = 19 kN/m3
h = 30cm
z = 10cm
y = 20cm
x = 10cm
L = 40cm
D = 30cm
k1 = 10-4 m/s
k2 = 10-5 m/s
Ex. 4
Em um ensaio de permeabilidade, com permeâmetro de carga variável,
como mostrado na figura 6.4 do livro do Prof. Carlos Pinto, quando a carga
h era de 60 cm acionou-se o cronômetro. Vinte segundos após a carga h
era de 40 cm. L = 20 cm e A = 77 cm2 são as dimensões do corpo de prova.
A área da bureta é de 1,2 cm2. Pergunta-se:
a)
Qual o coeficiente de permeabilidade do solo em estudo?
b)
Estime o coeficiente de permeabilidade, aplicando diretamente a Lei
de Darcy, para uma carga média durante o ensaio.
c)
Em quanto tempo a carga hidráulica caíu de 60 cm para 50 cm?