Resumo
Conjuntos.
Sistemas e Sinais
Atribuição e asserção.
Conjuntos e Funções
Operadores, variáveis e predicados.
Quantificadores.
Luís Caldas de Oliveira
Produto cartesiano.
[email protected]
Funções.
Instituto Superior Técnico
Espaço de funções.
Cardinalidade.
Sistemas e Sinais – p.1/23
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.2/23
Luís Caldas de Oliveira
Aula de Hoje
Conjuntos
Como representar um intervalo de números de reais?
O que é uma asserção?
Um conjunto é uma colecção de elementos.
Exemplos de conjuntos:
Qual é a diferença entre uma asserção e um
predicado?
Naturais = {1, 2, 3, . . .}
Cidades = {Lisboa, Porto, Amadora, Faro, . . .}
O que é o conjunto potência de um conjunto?
Booleano = {Verdadeiro, Falso}
Qual é a diferenças entre o quantificador universal e o
existencial?
BolaT otoloto = {1, 2, 3, . . . , 49}
Qual é a diferença entre um conjunto e um tuplo?
O que é uma função unívoca?
Dê exemplo de um conjunto com cardinalidade aleph
zero.
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.3/23
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.4/23
Atribuição e Asserção
Intervalos
Para conjuntos de elevada cardinalidade podemos recorrer
ao conceito de intervalo na sua definição:
O sinal de igual (=) numa expressão pode ter duas
interpretações:
Atribuição: ao conjunto do lado direito do sinal de
igual dá-se o nome do lado esquerdo:
[0, 1[ conjunto de números reais entre 0 e 1 incluindo
o 0 mas excluindo o 1;
]0, ∞[ conjunto dos números reais maiores do que
zero;
MeusNumeros = {2, 6, 14, 23, 34, 39}
Asserção: uma expressão que pode ser verdadeira
ou falsa:
MeusNumeros = ChaveT otoloto
Sistemas e Sinais – p.5/23
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.6/23
Luís Caldas de Oliveira
Conjuntos de Conjuntos
Problema
Um elemento de um conjunto pode ser ele mesmo
um conjunto:
Se o conjunto X tiver n elementos, indique o número de
elementos de P(X), o conjunto potência de X.
PartidaT enis = {{Pedro, Joana}, {Paulo, Ana}}
Ao conjunto de todos os subconjuntos do conjunto X
dá-se o nome de conjunto potência de X e
representa-se por P(X).
Notar que ∅ ∈ P(X).
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.7/23
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.8/23
Predicados
Variáveis
Um predicado é uma expressão dependente de uma
variável e que pode ser avaliada como verdadeira ou
falsa.
Utilizamos uma variável para nos referirmos a um
elemento genérico de um conjunto:
n∈Ž
Os predicados podem ser usados para definir novos
conjuntos:
Neste caso n será um número natural.
NovoCon junto = {x ∈ Con junto|Pred(x)}
Exemplo:
NaturaisAtéCem = {n ∈ Ž|n < 100}
Sistemas e Sinais – p.9/23
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.10/23
Luís Caldas de Oliveira
Conjuntos Famosos
Quantificadores
Quantificador universal:
Números naturais: Ž = {1, 2, . . .}
Números inteiros: š = {. . . , −1, 0, 1, . . .}
∀x ∈ A, Pred(x)
Números inteiros não-negativos: š+ = {0, 1, 2, . . .}
A asserção é verdadeira se Pred(x) for verdade para
todos os elementos do conjunto A.
Números reais: ’ =] − ∞, +∞[
Números complexos: ƒ = {x + jy|x, y ∈ ’}
Quantificador existencial:
Valores binários: Binários = {0, 1}
∃x ∈ A, Pred(x)
Cadeia binária: Binários∗ = {0, 1}∗
A asserção é verdadeira se Pred(x) for verdade para
pelo menos um elemento do conjunto A.
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.11/23
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.12/23
Problema
Símbolos Famosos
Inclusão: ∈ (pertence a), < (não pertence a).
Usar a notação matemática para representar os conjuntos:
Contém: ⊂ (está contido em), ⊃ (contém).
A ∩ B.
União: ∪ (união com), ∩ (intersecção com).
Os números racionais ‘.
Lógicos: ∧ (e), ∨ (ou), ¬ (negação).
Os números inteiros representáveis com 16 bits:
Relações: =⇒ (implica), ⇐⇒ (equivalente).
Sistemas e Sinais – p.13/23
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.14/23
Luís Caldas de Oliveira
Conjunção e Dijunção de Predicados
Complemento
Se A e X forem conjuntos:
A conjunção e dijunção de predicados correspondem à
intersecção e união dos conjuntos:
X\A = {x|x ∈ X ∧ x < A}
{x ∈ X|P(x) ∧ Q(x)} = {x ∈ X|P(x)} ∩ {x ∈ X|Q(x)}
{x ∈ X|P(x) ∨ Q(x)} = {x ∈ X|P(x)} ∪ {x ∈ X|Q(x)}
X\A pode ser visto como a subtração de conjuntos
(X − A).
Se A ⊂ X, X\A é o complemento de A em X ou AC .
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.15/23
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.16/23
Negação do Predicado
Produto Cartesiano
Pode-se relacionar a negação de um predicado com o
complemento de um conjunto:
{x ∈ X|¬Pred(x)} = X\{x ∈ X|Pred(x)}
O produto cartesiano X × Y de dois conjuntos X e Y
consiste em todos os pares de elementos (x, y) com x ∈ X
e y ∈ Y, ou seja:
X × Y = {(x, y)|x ∈ X ∧ y ∈ Y}
O conceito pode-se estender ao produto de mais conjuntos
Sistemas e Sinais – p.17/23
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.18/23
Luís Caldas de Oliveira
Tuplos
Funções
(2, 7) é um par ordenado (2-tuplo)
Uma função caracteriza-se por ter:
(i, s, t) é um trio ordenado (3-tuplo)
um conjunto domínio
(t, a, g, u, s) é um 5-tuplo
um conjunto contra-domínio
Notar que {2, 7} = {7, 2} mas (2, 7) , (7, 2)
um gráfico (para elemento do domínio há um
elemento do contra-domínio)
f :X→Y
∀x ∈ X, f (x) = . . .
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.19/23
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.20/23
Espaço de Funções
Função Unívoca
O espaço de funções [X → Y] inclui todas as funções f
que têm como domínio X e contra-domínio Y, ou seja:
Uma função f : X → Y é unívoca se:
∀x1 ∈ X ∧ x2 ∈ X, x1 , x2 =⇒ f (x1 ) , f (x2 )
[X → Y] = { f |domı́nio( f ) = X ∧ contradomı́nio( f ) = Y}
Sistemas e Sinais – p.21/23
Luís Caldas de Oliveira
Cardinalidade
A cardinalidade de um conjunto finito é o número de
elementos do conjunto.
A cardinalidade de um conjunto infinito poderá ser ℵ0
(aleph zero), ℵ1 , ℵ2 , etc.
A cardinalidade de Ž vale |Ž| = ℵ0 .
Dados dois conjuntos A e B, |A| ≤ |B| se existir uma
função unívoca de A para B.
A e B têm a mesma cardinalidade (|A| = |B|) se
|A| ≤ |B| e se |B| ≤ |A|.
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.23/23
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.22/23