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Entre Monstros e Teoremas:
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2. ENUMERAÇÃO POR RECURSO
7
Validade de um argumento
A validade de um argumento dedutivo depende
da conexão lógica entre as premissas e a conclusão
Argumento
É a relação que associa um conjunto de
do argumento e não do valor de verdade das
proposições p1, p2, p3, ... pn, chamadas premissas do
proposições que constituem o argumento. A validade é
argumento, a uma proposição C, a qual chamamos de
uma propriedade diferente da verdade, a verdade é
conclusão do argumento.
uma propriedade das proposições que constituem os
No lugar dos termos premissa e conclusão
argumentos (mas não dos argumentos). E a validade
podem ser usados os correspondentes hipótese e
é uma propriedade dos argumentos (mas não das
tese respectivamente.
proposições). Sendo assim, pode-se ter as seguintes
combinações para os argumentos validos dedutivos:
Exemplos:
p1 : Todo golfinho é mamífero.
a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira
p2 : Ora, nenhum mamífero é peixe.
Exemplo:
C : Logo, a golfinho não é peixe.
Todos os apartamentos são pequenos. (V)
Todos os apartamentos são lares. (V)
p : Todos os brasileiros são sul-americanos.
Portanto, alguns lares são pequenos. (V)
C : Logo, alguns sul-americanos são brasileiros.
b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma
p1 : João e Maria são alunos do cursinho.
conclusão verdadeira
C : Logo, João é alunos do cursinho.
Exemplo:
Todos os peixes têm asas. (F)
Nas proposições, há alguns indicadores de
conclusão, os mais utilizados são o logo e o portanto.
Todos os pássaros são peixes (F)
Logo, todos os pássaros tem asas. (V)
A tabela abaixo mostra outros indicadores de
c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma
premissas e conclusões.
conclusão falsa
Indicadores de Premissa
Indicadores de conclusão
pois
por isso
porque
por conseguinte
Todos os peixes têm asas. (F)
dado que
implica que
Todos os cães são peixes (F)
como foi dito
logo
visto que
portanto
devido a
então
a razão é que
daí que
admitindo que
segue-se que
sabendo-se que
pode-se inferir que
assumindo que
consequentemente
Exemplo:
Logo, todos os cães tem asas. (F)
Todos os argumentos acima são validos, pois
se suas premissas fossem verdadeiras então as
conclusões também seriam.
Lembrando
que
um
argumento
é
valido
somente quando todas as suas premissas forem
verdadeiras o que acarretará numa conclusão também
Lembrando que nem sempre as premissas e a
conclusão são precedidas por indicadores.
verdadeira. Portanto, um argumento é não valido se
existir a possibilidade de suas premissas serem
verdadeiras e sua conclusão falsa.
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8
Silogismo
Um argumento formado por exatamente 3
proposições, sendo duas como premissas e a outra
3) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B.
como conclusão, é denominado silogismo.
Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto,
necessariamente que:
Exemplos:
a) todo C é B
p1 : Todos os artistas são apaixonados.
b) todo C é A
p2 : Todos os apaixonados gostam de flores.
c) algum A é C
C : Todos os artistas gostam de flores.
d) nada que não seja C é A
e) nenhuma das alternativas anteriores
p1 : Todos os apaixonados gostam de flores
p2 : Maria gosta de flores.
4) Chama-se tautologia a toda proposição que é
C : Maria é uma apaixonada.
sempre verdadeira, independentemente da verdade
dos termos que a compõem. Um exemplo de
Exercícios
tautologia é:
1) Em uma empresa, o cargo de chefia só pode ser
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é
preenchido por uma pessoa que seja pós-graduada
gordo
em administração de empresas. José ocupa um cargo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é
de chefia, mas João não. Partindo desse princípio,
podemos afirmar que:
a)
José é pós-graduado em
administração de
empresas e João também pode ser.
b)
José é pós-graduado em
administração de
José é pós-graduado em
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então
Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é
alto e Guilherme é gordo
empresas, mas João, não.
c)
gordo
administração de
e) nenhuma das alternativas anteriores.
empresas e João também.
d) José pode ser pós-graduado em administração de
5) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a
empresas, mas João, não.
governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi
e) Nem José e nem João é pos graduado em
administração.
efetivamente cometido por um ou por mais de um
deles, já que podem ter agido individualmente ou não.
Sabe-se, ainda, que:
2) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o
jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o
A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é
culpada;
passarinho canta. Logo:
B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é
a) o jardim é florido e o gato mia
culpada, mas não os dois;
b) o jardim é florido e o gato não mia
C) o mordomo não é inocente.
c) o jardim não é florido e o gato mia
d) o jardim não é florido e o gato não mia
e) nenhuma da alternativas anteriores.
Logo:
a) a governanta e o mordomo são os culpados
b) somente o cozinheiro é inocente
c) somente a governanta é culpada
d) o cozinheiro e o mordomo são os culpados
e) falta dados para a conclusão do crime
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9
6) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras
10) Todos os marinheiros são republicanos. Assim
e que a proposição r é falsa, analise cada uma das
sendo:
afirmativas abaixo.
a) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos
I. p  ~r  q  ~r
republicanos.
II. (p  r)  (q  ~r)
b) o conjunto dos republicanos contém o conjuntos dos
III. (~p  ~r)  (~q  ~r)
marinheiros.
Tem valor verdadeiro(s) apenas a(s) afirmativa(s):
c) todos os republicanos são marinheiros.
a) I.
b) I, II.
d) algum marinheiro não é republicano
d) II, III.
e) I, II, III.
c) I, III.
e) nenhum marinheiro é republicano.
7) Considere as afirmativas referentes as proposições,
11) A seção “Dia a dia”, do Jornal da Tarde de 6 de
assinalando V nas verdadeiras e F nas falsas.
janeiro de 1996, trazia esta nota:
Sabendo-seque v(p) = V, v(q) = F e v(r) = F.
“Técnicos
( ) v(p  (~q  r))  ~(q  (p  ~r))=V
retirado até o fim da tarde de ontem, 75
( ) v((p  ~q)  r))  ~((q  p)  ~r)=F
litros da gasolina que penetrou nas
( ) v((p  ~q)  r)  ((q  p)  ~r)=V
galerias de águas pluviais da Rua João
A seqüência correta é
Boemer,
a) V V F
gasolina se espalhou pela galeria
b) F V V
devido ao tombamento de um tambor
c) V F V
num posto de gasolina desativado.”
da
CETESB
no Pari,
já
tinham
Zona Norte.
A
d) F V F
De acordo com a nota, a que conclusão se pode
e) F F V
chegar a respeito da quantidade de litros de gasolina
vazado do tambor para as galerias pluviais?
8) Das afirmativas abaixo quais são tautológicas.
I. p  q  (p  q)
II. p  (q  ~q)  p
III. p  (q  ~q)  p
É (são) apenas:
a) I
b) I e II.
a) Corresponde a 75 litros.
b) É menor do que 75 litros.
c) É maior que 75 litros.
d) É impossível ter qualquer idéia a respeito da
quantidade de gasolina.
e) Se se considerar a data de publicação do jornal e o
dia do acidente vazaram 150 litros de gasolina.
c) I e III.
d) II e III.
e) Todas.
9) Todo cavalo é animal. Logo:
a) Toda cabeça de animal é cabeça de cavalo.
b) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal.
c) todo animal é cavalo.
d) nem todo cavalo é animal.
e) nenhum animal é cavalo.
12) Sejam a, b e c números reais distintos, sobre os
quais afirma-se:
I – Se b > a e c > b, então c é o maior dos três
números
II – Se b > a e c > a, então c é o maior dos três
números.
III – Se b > a e c > a, então a é o menor dos três
números.
É (São) correta(s) a(s) afirmativa(s):
a) I, somente.
b) II, somente. c) III, somente.
d) I e III, somente.
e) I, II e III.
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03)
13)Considerando as afirmativas abaixo, marque a
AGEC G NLI
:
D J H F ..........
a) M
S
O
Q
b) J
M
O
Q
II – Assinale a letra C, se B for incorreta.
c) J
Q
P
L
III – A letra E será o gabarito, se D for a opção
d) J
Q
O
M
verdadeira.
e) G
O
M
J
única opção logicamente possível:
I – Assinale a letra A, se E estiver certa.
10
IV – Se D estiver correto, B também estará.
b) B
a) A
c) C
d) D
e) E
04)
BCFHMO
OFC
ACDFOR
ADGIQV
ID
DFHINO
CEHLRT
.............
BDELST
14) Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto
de gasolina e a banca de jornal, e o posto de gasolina
fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo:
a) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria.
b) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a
padaria.
a) T E C
c) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca
b) ELT
de jornal.
c) TL
d)
d) LE
a padaria fica entre a sapataria e o posto de
gasolina.
e) TLE
e) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a
padaria.
05) Na figura abaixo cada retângulo vazio deve
conter um número de tal forma que, da segunda
Gabarito:
1) A
2) C 3) C 4) A 5) D 6) B 7) D 8) C
9) B 10) B 11) C 12) D 13) C 14) E
camada para cima, o número de cada retângulo
seja sempre a soma dos números escritos nos
dois retângulos em que ele se apóia. Nestas
condições, qual será o valor de X?
Exercícios Gerais
Para responder às questões números 01 a 05,
utilizes o alfabeto oficial que NÃO inclui as letras
K, W e Y.
01) Complete a série: B D G L Q .......
a) R
b) T
c) V
d) X
e) Z
a) – 35.
02) A D F I : C F H .....
a) I
b) J
c) L
d) N
e) P
b) – 27.
c) – 10.
d) 8.
e) 17.
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06)
1 16 25 64 .........
; ;
;
;
4 9 36 49 ........
a)
82
90
b)
81
100
c)
100
72
d)
e)
09)
a) 19T
99
72
b) 20U
100
81
d) 22X
07)
11
c) 21V
e) 23Z
Observe
a
seqüência
de
triângulos
eqüiláteros:
10) Se considerarmos que cada valor expresso
nos círculos representa a soma dos números que
estão
nos dois
vértices que
delimitam
o
respectivo lado do triângulo, a soma dos valores
correspondentes aos vértices deste triângulo
Esses números, associados a cada um desses
triângulos,
são
chamados
de
será igual a:
números
triangulares. Desse modo, podemos dizer que o
oitavo número dessa seqüência é:
a) 45.
b) 36.
c) 32.
d) 28.
a) 21. b) 25. c) 30.
e) 21.
11)
08)
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
a) 160.
b) 135.
c) 120.
d) 108.
e) 100.
d) 35. e) 40.
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15) Continuando a seqüência de letras
12) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29,
N, G, M, H, ......, temos, respectivamente:
26, ...... temos:
a) O, P.
a) 21. b) 22. c) 23.
d) 24. e) 25.
12
F,
b) I, O.
c) E, P.
13) Considere a seguinte equivalência:
d) L, I.
e) D, L.
2=J=%
V=5=@
&=L=3
H=7=#
8=?=X
16) O esquema abaixo mostra, passo a passo, a
seqüência de operações a serem efetuadas a
Agora relacione a coluna da esquerda com a
partir de um certo número, a fim de obter o
coluna da direita e assinale a opção que contém
resultado final 10,4.
a numeração correta.
O número que deve ser considerado como ponto
(1)J3#XV
( )%LH5X
(2)2H@L8
( )2H3?@
(3)J&7 V ?
( )J#V&X
(4) %#L85
( )%L78@
de partida está compreendido entre
a) 3 4 2 1
a) 1000 e 1050.
b) 2 4 3 2
b) 1050 e 1100.
c) 3 2 4 1
c) 1100 e 1150.
d) 4 3 2 1
d) 1150 e 1200.
e) 1 4 3 2
e) 1250 e 1300.
14) No esquema abaixo é apresentado uma
17) Uma pessoa tem 7 bolas de mesmo peso e,
seqüência de operações que devem ser feitas, a
para calcular o peso de cada uma, colocou 5
partir de um numero X, até que se obtenha como
bolas em um dos pratos de uma balança e o
resultado final o número 75.
restante junto com uma barra de ferro de 546
gramas, no outro prato. Com isso, os pratos da
balança ficaram totalmente equilibrados. O peso
de cada bola, em gramas, é um número
O número X está compreendido entre
a) maior que 190.
a) 0 e 30.
b) entre 185 e 192.
b) 30 e 50.
c) entre 178 e 188.
c) 50 e 70.
d) entre 165 e 180.
d) 70 e 80.
e) menor que 170.
e) 80 e 100.
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18) Na seqüência seguinte o número
13
que
viagem a 90 km/h. Considerando que nenhum
aparece entre parênteses é obtido segundo uma
dos dois realizou nenhuma parada no trajeto,
lei de formação.
podemos afirmar que
63 (21) 9; 186 (18) 31; 85 (?) 17
I - Quando os dois se cruzarem na estrada, o
O número que está faltando é
ônibus 175 estará mais perto de Bonito do que o
a) 15.
165.
b) 17.
II - Quando os dois se cruzarem na estrada, o
c) 19.
ônibus 165 terá andado mais tempo do que o
d) 23.
175.
e) 25.
a) Somente a hipótese (I) está errada.
b) Somente a hipótese (II) está errada.
19) Em quatro das alternativas que seguem, os
c) Ambas as hipóteses estão erradas.
pares de números apresentam uma característica
d) Nenhuma das hipóteses está errada.
comum. A alternativa cujo par NÃO tem tal
e) Depende do referencial adotado.
característica é
a) (6; 36)
b) (9; 54)
c) (11; 63)
d) (12; 72)
e) (15; 90)
20) Considere que os termos da seqüência
( 5, 12, 10, 17, 15, 22, 20, .....) obedecem a
uma lei de formação. Assim, o termo que vê após
o número 20 é
a) menor que 25.
22) Um certo jogo consiste em colocar onze
pessoas em círculo e numera-las de 1 a 11. A
partir da pessoa que recebeu o número 1,
incluindo-a, conta-se de 3 em 3, na ordem natural
do números, e cada 3ª pessoa é eliminada, ou
seja, são eliminadas as pessoas de números 3,
6, etc. Depois de iniciada, a contagem não será
interrompida, ainda que se complete a volta,
Nesse caso, a contagem continua normalmente
com aqueles que ainda não foram eliminados.
Vence quem sobrar. O vencedor é a pessoa de
número:
a) 2
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
b) maior que 30.
c) a metade de 52.
d) o triplo de 9.
e) par.
21) Uma companhia de ônibus realiza viagens
entre as cidades de Corumbá e Bonito. Dois
ônibus saem simultaneamente, um de cada
cidade, para percorrerem o mesmo trajeto em
sentido oposto. O ônibus 165 sai de Corumbá e
percorre o trajeto a uma velocidade de 120 km/h.
Enquanto isso, o 175 sai de Bonito e faz a sua
23) Em um quarto totalmente escuro, há uma
gaveta com 3 pares de meias brancas e 4 pares
de meias pretas. Devido à escuridão, é
impossível ver a cor das meias. Quantas meias
devem ser retiradas para que ser tenha certeza
de que, entre as meias retiradas, haja pelo
menos um par de meias pretas?
a) 8
b) 6
c) 5
d) 4
e) 2
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14
O número de quadrinhos brancos necessários
24) Uma loja de artigos domésticos vende garfos,
para formar uma faixa completa, de acordo com
facas e colheres. Cada um desses artigos tem
a figura, mas contendo 60 quadrinhos pretos é:
seu próprio preço. Comprando-se 2 colheres, 3
a) 292.
garfos e 4 facas, paga-se R$ 13,50. Comprando-
b) 297.
se 3 colheres, 2 garfos e 1 faca, paga-se R$
c) 300.
8,50. Pode-se afirmar que, comprando-se 1
d) 303.
colher, 1 garfo e 1 faca, pagar-se-á , em reais:
e) 480.
a) 3,60
b) 4,40
27)
c) 5,30
d) 6,20
e) 7,00
25) Na Consoantelândia, fala-se o consoantes.
Nessa língua existem 10 letras: 6 do tipo I e 4 do
tipo II.
As letras do tipo I são: b, d, h, k, l, t
As letras do tipo II são: g, p, q, y.
Nessa língua, só há uma regra de acentuação:
a)
b)
c)
d)
uma palavra só será acentuada se tiver uma letra
do tipo II precedendo uma letra do tipo I.
Pode-se afirmar que:
a) dhtby é acentuada.
b) pyg é acentuada.
c) kpth não é acentuada.
d) kydd é acentuada.
e) btdh é acentuada.
26) Observe a figura abaixo e verifique que a
faixa é formada por três linhas de quadrinhos, em
que a primeira e a terceira linha são formados
apenas por quadrinhos brancos. A segunda linha
alterna quadrinhos brancos com quadrinhos
pretos.
e)
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15
28) Observe a série de figuras. Veja que ao final
30) As pedras de dominó mostradas abaixo
da série, há espaço para ser colocada mais uma
figura. Abaixo da série você encontrará cinco
figuras. Escolha a que completa corretamente a
série e assinale a alternativa correta.
foram dispostas, sucessivamente e no sentido
horário, de modo que os pontos marcados
obedeçam a um determinado critério.
a)
Com base neste critério, a pedra de dominó que
completa corretamente a sucessão é
b)
a)
c)
b)
d)
c)
e)
29) Na seqüência de quadriláteros abaixo, as
d)
células pretas foram colocadas obedecendo a um
determinado padrão.
e)
31) Os quadrados abaixo têm todos o mesmo
tamanho.
Mantendo esse padrão, o número de células
brancas na Figura V será
a) 101.
b) 99.
c) 97.
d) 83.
e) 81.
Em qual deles a região sombreada tem a maior
área?
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
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e) V.
33) Qual das cinco se parece menos com as
32) Em cada linha do quadro abaixo, as figuras
outras quatro?
foram desenhadas obedecendo a um mesmo
padrão de construção.
a)
b)
c)
d)
e)_
34) Considere a figura abaixo.
Segundo esse padrão, a figura que deverá
substituir corretamente o ponto de interrogação é
a)
Supondo que as figuras apresentadas nas
alternativas abaixo possam apenas ser
deslizadas sobre o papel, aquela que coincidirá
com a figura dada, é
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
e)
e)
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35) Na figura abaixo, é dada uma grade do “jogo
da velha”, no qual X e O representam duas
jogadas assinaladas.
17
37) Considera a seqüência de figuras:
Mantendo-se esse comportamento, a alternativa
que corresponde a V figura é
A alternativa em que duas jogadas assinaladas
NÃO são equivalentes às que são mostradas na
grade dada é
a)
b)
a)
c)
d)
b)
e)
c)
38)
d)
Qual
das cinco
comparação?
e)
a)
36) Considere a figura abaixo:
b)
c)
Supondo que as figuras apresentadas nas
alternativas abaixo possam ser deslizadas sobre
d)
o papel, aquela que coincidirá com a figura dada
é
e)
a)
b)
d)
e)
c)
representa
a
melhor
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18
39) Das 5 figuras abaixo, 4 delas têm uma
41) Qual dos cinco desenhos se parece menos
mesma características geométrica em comum,
com os outros quatro?
enquanto
uma
delas
NÃO
tem
essas
características.
a)
b)
d)
e)
c)
42) Qual dos cinco desenhos se parece menos
com os outros quatro?
Afigura que NÃO possui a característica comum
a)
às outras é
a) I.
b)
b) II.
c) III
d) IV.
c)
d)
e) V.
e)
40) Qual dos cinco desenhos representa a
melhor comparação?
43) Qual das cinco figuras se parece menos com
as outras quatro?
a)
b)
a)
c)
b)
d)
c)
d)
e)
e)
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19
44) Nos dados habitualmente usados em jogos, a
soma dos pontos de duas faces opostas deve ser
46) Qual dos cinco desenhos se parece menos
sempre igual a 7. Assim, por exemplo, todas as
com os outros?
vistas possíveis de um dado cuja face da frente
tem 1 ponto marcado estão representados
abaixo.
a)
b)
c)
As figuras que representam todas as vistas
possíveis de um dado que tem 3 pontos na face
da frente é
a)
d)
e)
47) Qual dos cinco desenhos se parece menos
com os outros quatro?
b)
a)
c)
d)
b)
c)
d)
e)
e)
45) Qual dos cinco se parece menos com as
48) Qual das figuras a seguir não pertence a
outras quatro?
série?
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
e)
e)
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20
49) Sobre uma superfície plana têm-se 3 blocos
iguais empilhados, com 13 faces expostas,
conforme mostra a figura abaixo.
Se forem empilhados 25 desses blocos, o
a)
b)
c)
d)
número de faces expostas será
a) 125. b) 121. c) 111. d) 105. e) 101.
50) Qual das cinco figuras representa a melhor
e)
comparação?
52) Observe a figura seguinte:
a)
b)
d)
e)
c)
Qual figura é igual à figura acima representada?
a)
b)
c)
d)
51) Um quadrado de madeira é dividido em 5
pedaços como mostra a figura:
e)
01) D 02) C 03) D 04) E 05) A 06) B 07) B
08) A 09) A 10) A 11) B 12) C 13) A 14) A
15) D 16) A 17) C 18) A 19) C 20) D 21) C
Todas as figuras a seguir podem ser obtidos por
meio de uma reordenação dos 5 pedaços,
EXCETO uma. Indique-a.
22) C 23) A 24) B 25) D 26) D 27) E 28) E
29) A 30) E 31 E 32) B 33) D 34) B 35)B
36) B 37) A 38) C 39)B 40) B 41) E 42) B
43) B 44) B 45) E 46) D 47) D 48) D 49) E
50) C 51) D 52) D