CURSO ON-LINE – PROFESSOR: VÍTOR MENEZES
Caríssimos.
Recebi alguns e-mails pedindo ajuda para recursos na prova de RLQ da Receita Federal.
No texto abaixo, seguem comentários rápidos sobre as questões. Como de costume, não
escrevi o recurso propriamente dito. Tentei apenas explicar o que achei de cada questão
para que vocês, se concordarem, escrevam os recursos da forma que preferirem.
Questão 31
Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”.
Sendo assim, pode-se afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
Resolução
Num condicional, podemos inverter as parcelas, negando-as.
Se o chão fica seco, então não chove e não neva.
Gabarito: E.
Possibilidade de recurso.
Na minha opinião, cabe recurso para anulação da questão.
Na resolução acima, encontramos qual alternativa traz uma proposição equivalente
àquela fornecida no enunciado.
Ocorre que a questão não pediu para identificarmos uma proposição equivalente. A
questão perguntou o que é que podemos afirmar, o que é totalmente diferente.
Precisamos partir da seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica
molhado”.
Partindo desta proposição, o que é que podemos afirmar? Ou ainda, o que é que
podemos concluir?
Podemos concluir muita coisa.
Vamos dar nomes às proposições:
c: Chove
n: Neva
m: O chão fica molhado.
Temos:
1
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(c ∨ n) → m (1)
De (1), usando a equivalência lógica, chegamos a:
~ m → (~ c ∧ ~ n) (2)
Esta foi a conclusão apontada pela questão, que realmente está correta. Mas ela não é a
única. Há outra alternativa com uma conclusão correta.
Pela regra da simplificação, temos:
~ c ∧ ~ n →~ c (3)
Pela regra da adição, temos:
~ c →~ c∨ ~ n (4)
De (2), (3) e (4), usando a regra do silogismo hipotético, chegamos a:
~ m →~ c ∨ ~ n
Que está expressa na alternativa D.
Ou seja, as conclusões das alternativas D e E decorrem da proposição fornecida no
enunciado.
Ficou em dúvida?
Basta fazer a tabela verdade.
c
n
m
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
(c ∨ n ) → m
V
F
V
F
V
F
V
V
~ m → (~ c ∧ ~ n)
V
F
V
F
V
F
V
V
~ m →~ c∨ ~ n
V
F
V
V
V
V
V
V
A proposição dada no enunciado foi “ (c ∨ n) → m ”. Em todas as linhas da tabela
verdade em que a proposição dada é verdadeira, as proposições apresentadas nas letras
D e E também são verdadeiras.
Ou seja, partindo de (c ∨ n) → m , realmente podemos concluir tanto que:
- Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
- Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
Como há mais de uma alternativa correta, a questão deve ser anulada.
Questão 32
Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas
contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e
de cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de
Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja – ; a
cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são,
respectivamente:
2
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a) cão, cobra, calopsita.
b) cão, calopsita, cobra.
c) calopsita, cão, cobra.
d) calopsita, cobra, cão.
e) cobra, cão, calopsita.
Sem comentários. Não vi possibilidade de recurso.
Questão 33
Se α = 3 e , então β = 3 e .
Se α = e 3 , então β ou δ são iguais a 3 e
Se δ = e 3 , então β = e 3
Se δ = 3 e , então α = 3 e .
Considerando que as afirmações acima são verdadeiras, segue-se, portanto, que:
Resolução.
A Esaf sempre cobra questões desse tipo. Talvez seja o tipo de questão mais cobrado
nas provas de raciocínio lógico. Só que ela costuma cobrar usando qualidades,
adjetivos. Assim, podemos ter proposições sobre Pedro ser inocente ou culpado, sobre
Alberto ser aprovado ou reprovado, sobre o chão estar seco ou molhado. Às vezes
temos situações como: Maria foi ao cinema ou não foi ao cinema.
Em todas estas situações, sempre temos exatamente duas possibilidades: a pessoa é
sempre culpada ou inocente. É um ou outro. Não tem outra opção.
Neste exercício, faltou a questão informar que α , β , δ são números que ou são iguais a
e 3 ou são iguais a
opção.
3
e . Faltou a questão dizer isso. Faltou dizer que não havia outra
Supondo isso (ou seja, considerando esta “premissa adicional”), temos:
Se α = 3 e , então β = 3 e . (1)
3
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Se α = e 3 , então β ou δ são iguais a 3 e (2)
Se δ = e 3 , então β = e 3 (3)
Se δ = 3 e , então α = 3 e . (4)
De (1) e (2), temos que:
β ou δ são iguais a 3 e (5)
De (3), chegamos a:
δ = 3 e ou β = e 3 (6)
De (5) e (6), temos:
δ = 3 e (7)
De (4) e (7), temos:
α = 3 e (8)
De (1) e (8), temos:
β =3 e
Gabarito: D
Possibilidade de recurso.
Em nenhum momento a questão informa que α , β , δ são números que ou são iguais a
e 3 ou são iguais a
opção.
3
e . Faltou a questão dizer isso. Faltou dizer que não havia outra
Imaginem que α , β , δ são iguais a zero. Neste caso, teríamos:
- todas as premissas fornecidas seriam verdadeiras (isto porque teríamos diversos
condicionais em que os antecedentes são verdadeiros).
- todas as conclusões dispostas nas alternativas seriam falsas.
Nesta situação, dizemos que as premissas não suportam as conclusões dispostas nas
alternativas. Não haveria resposta correta.
Não havendo reposta correta, a questão deve ser anulada.
Questão 34
Considere as inequações dadas por:
4
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Sabendo-se que A é o conjunto solução de f (x) e B o conjunto solução de g(x) , então o
conjunto Y = A∩ B é igual a:
Resolução
f ( x) = ( x − 1) 2
f ( x) ≤ 0 ⇒ ( x − 1) 2 ≤ 0 ⇒ x = 1
Ou seja, o conjunto A só tem um elemento. Como conseqüência, o conjunto
correspondente à intersecção de A e B ou terá apenas o elemento 1, ou será vazio. Como
as alternativas não contemplam o conjunto vazio, já dá para marcar letra C.
Apenas para garantir, calculando g(1), chegamos em 3, que é maior que zero. Isto
confirma que a intersecção de A e B só tem o elemento 1.
Gabarito: C
Possibilidade de recurso
Nesta questão eu não vi possibilidade de recurso.
Questão 35
Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total dos
funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total dos
funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as opções abaixo, é o valor mais
próximo da porcentagem do total dos funcionários dessa repartição que são homens não
concursados?
a) 21%
b) 19%
c) 42%
d) 56%
e) 32%
5
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Sem comentários. Não vi possibilidades de recursos.
Questão 36
Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal.
Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que
sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em
relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o
lançamento?
a) 0,333 km
b) 0,625 km
c) 0,5 km
d) 1,3 km
e) 1 km
Resolução
Em 1 hora, a bala percorreria 900 km. Em 5 segundos, ela percorre 45/36 km (basta
fazer regra de três).
Representando a trajetória da bala, temos:
sen30 = h /(45 / 36) → h = 0,625
Gabarito: B
Possibilidade de recurso
Nesta questão eu não vi possibilidade de recurso.
Questão 37.
Com relação ao sistema
onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que:
a) é impossível.
6
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b) é indeterminado.
c) possui determinante igual a 4.
d) possui apenas a solução trivial.
e) é homogêneo.
Resolução.
Reescrevendo o sistema, temos:
x + y + z =1
2 x − y − 3z = 2
2x + y − z = 1
O determinante da matriz composta pelos coeficientes de x, y e z, de fato, é igual a 4.
Com isso, classificamos o sistema como possível e determinado.
Como os termos independentes são diferentes de zero, não falamos em sistema
homogêneo nem em solução trivial.
Gabarito: C
Possibilidade de recurso.
A um sistema nós podemos associar diversas matrizes. Cada uma delas terá um
determinante diferente. A questão simplesmente não indicou a qual matriz ela estava se
referindo. De fato, para a matriz dos coeficientes de x, y e z o determinante é 4. Mas em
nenhum momento a questão disse que estava se referindo a esta matriz.
Diante da imprecisão do enunciado, cabe anulação da questão.
Questão 38
Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam
o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando
ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a
esfera?
a) 4
b) 5
c) 3
d) 2
e) 1
Sem comentários. Não vi possibilidade de recurso.
Questão 39
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Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é
divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da
divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da
divisão desse polinômio pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a:
Resolução.
Temos:
f (1) = 5
f (−3) = −2
Seja o resto da divisão dado por ax + b .
Temos:
a+b =5
− 3a + b = −2
Destas duas equações, tem-se que a = 7 / 4 e b = 13 / 4
Gabarito: C
Possibilidade de recurso.
Não vi possibilidade de recurso
Questão 40
Sabe-se que os pontos A,B,C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no
mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja,
estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete
pontos é igual a:
a) 16
b) 28
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c) 15
d) 24
e) 32
Resolução.
C 7 , 2 − C 4, 2 + 1 = 16
Gabarito: A
Possibilidade de recurso.
Quaisquer dois pontos distintos sempre estarão ao longo de uma mesma reta. Qualquer
combinação de dois pontos, dentre aqueles indicados no enunciado, define uma reta. Ou
seja, quaisquer dois pontos são colineares.
Portanto, a característica de pertencer a uma mesma reta não se restringe aos 4 pontos
comentados no enunciado. O fato de haver 4 pontos colineares não impede que haja
mais pontos ao longo de uma mesma reta, pois, como já dissemos, para quaisquer 2 dos
7 pontos escolhidos, teremos uma reta.
Sejam A, B, C e D os 4 pontos colineares. Assumir que só os 4 pontos indicados são
colineares é o mesmo que dizer que os pontos E e G não estarão sobre uma mesma reta,
o que é falso.
Com isso, pode-se afirmar que, para resolver a questão, era necessário supor algo que o
enunciado não afirmou.
Sejam A, B, C e D os 4 pontos colineares. Para resolver a questão, tivemos que supor
que não há qualquer conjunto de 3 pontos colineares que inclua pelo menos um dos
pontos restantes (E, F, G). Mas a questão, em nenhum momento, afirmou isso.
Como exemplo, considere a figura abaixo:
Temos 4 pontos colineares? Sim, temos. E temos outros três que também são. E temos
as combinações de pontos tomados dois a dois, que também são colineares.
Com isso, não é possível formar 16 retas diferentes.
Num caso destes, não haveria resposta. Dada a imprecisão do enunciado, a questão deve
ser anulada.
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Questão 41
De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa
redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres
e uma mulher entre dois homens?
a) 72
b) 36
c) 216
d) 720
e) 360
Resolução.
O que a banca quis que o candidato fizesse era:
Primeira posição de homem: 3 opções
Segunda posição de homem: 2 opções
Terceira posição de homem: 1 opção
Primeira posição de mulher: 3 opções
Segunda posição de mulher: 2 opções
Terceira posição de mulher: 1 opção
Multiplicando tudo: 36.
Possibilidade de recurso
Eu não concordo com a resolução acima.
Sempre que as questões de concursos/vestibulares cobram este tipo de questão, o
pressuposto é outro.
Quando se fala em “mesa redonda sem cabeceira”, a idéia é que não haja referência
espacial. Ou seja, de início, todas as posições são equivalentes. Isto quer dizer que as
duas figuras abaixo representariam a mesma solução (houve um mero giro da mesa, o
que é irrelevante, pois a mesa é circular e não temos referência espacial fora dela):
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Só depois de alocada a primeira pessoa (tanto faz ser homem ou mulher) aí teremos uma
referência. Exemplo: alocado o primeiro homem, aí temos 2 e 1 opção de cadeira para
os demais homens, e 3, 2 e 1 opções de cadeira para as mulheres. Multiplicando tudo,
teríamos: 12.
A resposta correta é 12. Como não há alternativa correta, a questão deve ser anulada.
A resolução acima é aquela que, pra mim, é correta.
Mas, como em recurso vale tudo, vamos lá. Se você quiser pedir alteração de gabarito
(para a letra A), dá para argumentar assim.
Caso se entenda que, mesmo que a mesa seja redonda, há referência física antes de
qualquer pessoa ser alocada (exemplo: poderíamos imaginar a mesa em uma sala –
haveria a cadeira mais próxima da porta, a cadeira mais perto da janel, etc), aí a solução
muda. Aí, as duas figuras acima representam soluções diferentes.
Aí teríamos o seguinte. Poderíamos iniciar preenchendo as cadeiras dos homens
Primeira posição de homem: 3 opções
Segunda posição de homem: 2 opções
Terceira posição de homem: 1 opção
Primeira posição de mulher: 3 opções
Segunda posição de mulher: 2 opções
Terceira posição de mulher: 1 opção
Multiplicando tudo: 36.
E poderíamos também trocar. Onde antes tínhamos homens podemos alocar as
mulheres. E vice-versa. Teríamos mais 36 casos.
Somando tudo, são 72 casos, o que está expresso na letra A.
Em resumo:
- se considerarmos que, de início, não há referência espacial, a resposta é 12 (questão
deve ser anulada – essa é a interpretação que me parece mais razoável)
- se considerarmos que, de início, há referência espacial, a resposta é 72 (alteração de
gabarito).
Questão 42
Considere um retângulo formado por pequenos quadrados iguais, conforme a figura
abaixo. Ao todo, quantos quadrados de quaisquer tamanhos podem ser contados nessa
figura?
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a) 128
b) 100
c) 64
d) 32
e) 18
Sem comentários. Não vi possibilidade de recurso.
Questão 43
Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um
curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta:
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28,
24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.
b) A moda e a média das idades são iguais a 27.
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.
Resolução.
Rol:
23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28,
28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41
A mediana e a moda são iguais a 27.
Gabarito: E
Possibilidade de recursos.
Não vi possibilidade de recurso.
Questão 44
Na análise de regressão [...].Desse modo, o Método de Mínimos Quadrados consiste em
minimizar a expressão dada por:
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Resolução.
Mesmo que o candidato nunca tenha estudado regressão linear, a questão deu todas as
informações necessárias para resolver a questão. Deseja-se minimizar a soma dos
quadrados das diferenças entre os valores de Y e as respectivas estimativas, dadas pela
reta de regressão. Este procedimento está exposto na letra “A”.
Derivando esta soma de quadrados de desvios em relação a alfa e beta, e,
posteriormente, igualando a zero, é que se obtém as equações que dão os estimadores
que entram no modelo de regressão linear.
Gabarito: A
Possibilidade de recurso.
Nesta questão eu não vi possibilidade de recurso.
Questão 45
O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma distribuição
de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a
refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a:
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Resolução.
P (0) + P(1) + P(2) + P(3) =
⎛ 4 0 41 4 2 4 3 ⎞
e − 4 × ⎜⎜ + +
+ ⎟⎟ =
⎝ 0! 1! 2! 3! ⎠
⎛ 71 ⎞
e −4 × ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
Gabarito: C
Possibilidade de recurso.
Nesta questão eu não vi possibilidade de recurso.
Questão 46
Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de ocorrerem dois
sucessos é doze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos. Desse modo, as
probabilidades de sucesso e fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a:
a) 80 % e 20 %
b) 30 % e 70 %
c) 60 % e 40 %
d) 20 % e 80 %
e) 25 % e 75 %
Resolução
⎛3⎞
⎛ 3⎞
⎜⎜ ⎟⎟ × p 2 × q = 12 × ⎜⎜ ⎟⎟ × p 3
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
3 × p 2 × q = 12 × p 3
q = 4× p
14
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p + 4p =1
p = 0,2
q = 0,8
Gabarito: D
Possibilidade de recurso.
Nesta questão eu não vi possibilidade de recurso.
Questão 47
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua x é dada por:
Para esta função, a média de x, também denominada expectância de x e denotada por
E(x) é igual a:
Resolução.
A média não varia. A média é um número, uma constante, algo fixo. Já descartamos as
letras D e E.
Como a variável aleatória só assume valores menores que zero, sua média certamente é
negativa. Já descartamos as alternativas A e B.
Por exclusão, marcamos a letra C.
Para quem quiser realmente calcular a esperança, aí temos:
∞
0
3x 4
E ( X ) = ∫ xf ( x)dx = ∫ 3x dx =
4
−∞
−1
0
= −3 / 4
3
−1
Possibilidade de recurso.
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Na minha opinião, uma prova aberta a candidatos de todas as áreas não pode adentrar
em utilização de integral. Acho que o certo seria apenas cobrar esperanças de variáveis
mais tranqüilas (como a variável uniforme contínua, por exemplo, ou então limitar
apenas à cobrança de esperança para variáveis discretas).
Questão 48
A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de uma
variável X:
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são,
respectivamente:
Resolução.
Como a soma das freqüências é igual a 1, temos que a = 0,1 .
A média de X fica:
− 1,2 + 0,1 + 0,6
= −0,5
1
A média de X2 fica:
2,4 + 0,1 + 1,2
= 3,7
1
E a variância fica:
3,7 − 0,5 2 = 3,45
Gabarito: A
Possibilidade de recurso.
Nesta questão eu não vi possibilidade de recurso.
Questão 49
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No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano à taxa de 10 %
ao ano com capitalização semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo
capital PV, aplicado durante um trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará no mesmo
valor final FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a:
a) 26,25 %
b) 40 %
c) 13,12 %
d) 10,25 %
e) 20 %
Resolução.
(1,05) 2 = 1 + i → i = 10,25%
Possibilidade de recurso.
Nesta questão eu não vi possibilidade de recurso.
Questão 50
Um corredor está treinando diariamente para correr a maratona em uma competição,
sendo que a cada domingo ele corre a distância da maratona em treinamento e assim
observou que, a cada domingo, o seu tempo diminui exatamente 10% em relação ao
tempo do domingo anterior. Dado que no primeiro domingo imediatamente antes do
início do treinamento, ele fez o percurso em 4 horas e 30 minutos e, no último domingo
de treinamento, ele correu a distância da maratona em 3 horas, 16 minutos e 49,8
segundos, por quantas semanas ele treinou?
a) 1
b) 5
c) 2
d) 4
e) 3
Resolução.
Ele começou gastando 16.200 segundos, e terminou com 11.809,8 segundos.
16.200 × 0,9 n = 11.808,8
0,9 n = 0,729 =
93
= 0,9 3
3
10
n=3
Possibilidade de recurso.
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Nesta questão eu não vi possibilidade de recurso.
É isso.
Espero que seja útil para vocês elaborarem os recursos.
Abraços
Vitor
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