REVISÃO VEST-UFES 2010 (2ª ETAPA) – AULAS 01/02/03 – PROFESSOR MARCELO RENATO
1
AULA-01-QUESTÃO-01
1) (UNESP 2006) Considere a figura, onde estão sobrepostos os quadrados OX1Z1Y1, OX2Z2Y2, OX3Z3Y3,
OX4Z4Y4,..., OXnZnYn, ..., n ≥ 1, formados por pequenos segmentos medindo 1 cm cada um. Sejam An e Pn a
área e o perímetro, respectivamente, do n-ésimo quadrado.
a) Mostre que a seqüência (P1, P2,..., Pn,...) é uma progressão aritmética, determinando seu termo geral, em
função de n, e sua razão.
b) Considere a seqüência (B1, B2, ..., Bn, ...), definida por Bn = An/Pn. Calcule B1, B2 e B3. Calcule, também, a soma
dos 40 primeiros termos dessa seqüência, isto é, B1 + B2 + ... + B40.
Resolução:
a)
P1 = 4 
r

1
P2 = 8 
 ⇒ P2 − P1 = P3 − P2 = ⋯ = Pn − Pn−1 = 4 ⇒
P3 = 12 

⋮

b)
A1 = 1
P1 = 4
A2 = 4
P2 = 8
A3 = 9
P3 = 12
 PA ( 4 , 8 , 12 , ⋯ , Pn ) ⇒ razão r1 = 4

⇒ Pn = 4n , { n ∈ IN | n ≥ 1 }
 Pn = 4 + (n − 1) ⋅ 4
Valores em cm
A1 1
B1 =
=
r
2 1
P1 4
B2 − B1 = B3 − B2 = B 4 − B3 = ⋯ = Bn − Bn−1 =
A
1
4
B2 = 2 =
P2
2
1
1 1 3

PA  , , , 1 , ⋯  ⇒ razão r2 =
A3 3
4
2
4
4


=
B3 =
P3
4
1 1 3

A soma dos 40 primeiros termos da PA  , , , 1 , ⋯  será:
4 2 4

S 40 =
a1 =
(a1 + a 40 ) ⋅ 40
2
1
cm
4
a 40 = a1 + 39 ⋅ r2 ⇒ a 40 =
S 40 =
1
1
+ 39 ⋅ ⇒ a 40 = 10 cm
4
4
(1/ 4 + 10 ) ⋅ 40
⇒ S 40 = 205 cm
2
Respostas:
a) Termo geral Pn = 4n , { n ∈ IN | n ≥ 1 } e razão igual a 4.
b) B1 =
1
1
3
, B2 =
e B3 = . A soma dos 40 primeiros termos é igual a 205 cm.
4
2
4
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2
AULA-01-QUESTÃO-02
2) (UERJ 2007) João recorta um círculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio
várias vezes, conforme ilustrado na figura 1. Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o número 1
nas duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas
dobras anteriores, João escreve a soma dos números que estão nas extremidades de cada arco.
A figura 2 a seguir ilustra as quatro etapas iniciais desse processo.
João continuou o processo de dobradura, escrevendo os números, conforme a descrição anterior, até concluir
dez etapas.
Calcule a soma de todas os números que estarão escritos na etapa 10.
Resolução:
Acompanhando a soma dos números (figura 2): os resultados formam uma Progressão Geométrica de razão 3.
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
2
6
18
54
Assim, na PG, a10 = 2 ⋅ 39 ⇒ a10 = 39 366 .
Resposta: 39366.
...
Etapa 10
a10
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3
AULA-01-QUESTÃO-03
3) (UFLA 2007) Um foguete, partindo da origem O, realiza um movimento espiralado como na figura. As
distâncias a 0 , a 1 , ⋯ , a n estão em progressão aritmética de razão r = 2 e as distâncias b 0 , b 1 , ⋯ , b n
estão em progressão geométrica de razão q = 0,01.
Determine o número aproximado de termos da progressão
geométrica para que o deslocamento à direita seja
aproximadamente igual ao deslocamento à esquerda.
Tem-se a0 = 1, b0 = 99 e, como q é pequeno, assuma q n = 0 ,
se n ≥ 2.
Resolução:

99
99
PG  99 ,
,
, ⋯ , bn

100
100 2

a0 + a1 + a 2 + ⋯ + an = b0 + b1 + b 2 + ⋯ + bn
99
99
1 + 3 + 5 + ⋯ + an = 99 +
+
+ ⋯ + bn ............ ( 1 )
100 100 2
PA ( 1 , 3 , 5 , ⋯ , an )
n −1
 1 
an = 1 + (n − 1) ⋅ 2 ⇒ an = 2n − 1 e bn = 99 ⋅ 

 100
 Substituindo na equação ( 1 ):
 99  1

⋅
− 99
[ 1+ (2n − 1) ] ⋅ n  100n − 1  100
=
1
2
−1
100
 1

99 ⋅ 
− 1
n

 100n
 ⇒ n2 = 100 ⋅ 1 −  1  
n2 =


99
  100  
−


100
n
 1 
2
Para n ≥ 2 ⇒ 
 → 0 ⇒ n = 100 ⇒ n=
10
 100 
Resposta: 10 termos.




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4
AULA-01-QUESTÃO-04
4) (ITA–SP 2002) Considere n pontos distintos A1, A 2 , ⋯ , A n sobre uma circunferência de raio unitário, de
forma que os comprimentos dos arcos A1A 2 , A 2 A 3 , ⋯ , A n −1A n formam uma progressão geométrica de
termo inicial π e razão
1
.
2
Para que valores de n ∈ IN teremos o comprimento do arco A n A1 menor que
1
do comprimento da
512
circunferência?
Observação:
Para todo arco A i A j , o comprimento considerado é o do arco que une o ponto A i ao ponto A j no
sentido anti-horário.
Resolução:
a
1
3
1 2
n−
PG ( A 1A 2 , A 2 A 3 , A 3 A 4 , ⋯ , A n − 1A n )
a
a
a
( n − 1 termos )
A n − 1A n = an − 1 = a1 ⋅ q[ ( n − 1) − 1]
n−2
 1
A n − 1A n = a1 ⋅ qn − 2 ⇒ A n − 1A n = π ⋅  
......... ( 1)
2

n−2
PG ( π ,
π π
 1
, , ⋯ , π⋅ 
)
2 4
2

an − 1
a ⋅ q − a1
Sk = k
⇒ para k = (n − 1) :
q −1
 1
π⋅ 
2
Sn − 1 =  
n−2
⋅
1
−π
2
1
−1
2
Sn − 1 =
(an − 1 ⋅ q) − a1
q −1
n −1
⇒
 1
π⋅ 
−π
2

Sn − 1 =
⇒
1
−
2
Sn − 1 =
 1
π − π⋅ 
2
1
2
  1  n − 1

Sn − 1 = 2π ⋅ 1 −  
 2



2π.R − S n − 1 <
2π
, onde R = 1
512
  1 n − 1
2π
 <
2π.1 − 2π ⋅ 1 −  
512
 2



 1
2π − 2π + 2π ⋅  
2
 1
2π ⋅  
2
n −1
n −1
<
2π
512
n −1
<
2π
 1
⇒  
<
512
2
n −1 >
 1
 
2
0
n > 10
Resposta: { n ∈ IN | n > 10 } .
9
n −1
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5
AULA-02-QUESTÃO-01
1) (Unifesp 2007) Colocam-se n³ cubinhos de arestas unitárias juntos, formando um cubo de aresta n, onde n > 2.
Esse cubo tem as suas faces pintadas e depois é desfeito, separando-se os cubinhos.
a) Obtenha os valores de n para os quais o número de cubinhos sem nenhuma face pintada é igual ao número de
cubinhos com exatamente uma face pintada.
b) Obtenha os valores de n para os quais o número de cubinhos com pelo menos uma face pintada é igual a 56.
Resolução:
Respostas: a) 8
b) 4.
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6
AULA-02-QUESTÃO-02
2) (UNIRIO) Uma pessoa quer comprar 6 empadas numa lanchonete. Há empadas de camarão, frango, legumes e
palmito. Sabendo-se que podem ser compradas de zero a 6 empadas de cada tipo, de quantas maneiras
diferentes esta compra pode ser feita?
Resolução:
Utilizando o esquema clássico de “bolas e traços”, conforme exemplo abaixo:
Considerando T o total de maneiras distintas de ser efetuada a compra nas condições do enunciado:
T = P93 , 6 ⇒ T =
9!
3 ! 6!
⇒ T = 84
Resposta: 84 maneiras distintas.
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7
AULA-02-QUESTÃO-03
3) (UERJ 2006 - MODIFICADA) A maioria dos relógios digitais é formada por um conjunto de quatro displays,
o
o
o
compostos por sete filetes luminosos. O 1 e o 2 displays do relógio mostrado abaixo indicam as horas, e o 3 e
o
o 4 indicam os minutos.
o
Admita que o referido relógio apresente um defeito no 4 display: a cada minuto acendem, ao acaso,
exatamente 5 filetes quaisquer. Determine a probabilidade de esse display formar, pelo menos, um número
em dois minutos seguidos.
Resolução:
Os números possíveis, com 5 filetes acesos, são: 2 ou 3 ou 5
Temos um total de filetes disponíveis para serem acesos: 7
7
Total de grupos distintos de 5 filetes acesos:   = 21
5
Casos favoráveis (formação dos números 2 ou 3 ou 5): 3 casos
•
•
3
1
= ;
21 7
1 6
A probabilidade de não termos acendimento favorável será: 1 − = ;
7 7
A probabilidade de termos 1 acendimento favorável será:
Analisando a condição imposta no enunciado (pelo menos 1 caso favorável em 2 minutos, ou seja, em dois
acendimentos sucessivos):
Considerando “SIM” para acendimento favorável e “NÃO” para não favorável:
1 6
6
⋅ =
, ou
7 7 49
6 1
6
2º caso: (NÃO, SIM) ⇒ P2 = ⋅ =
, ou
7 7 49
1 1
1
3º caso: (SIM, SIM) ⇒ P3 = ⋅ =
.
7 7 49
1º caso: (SIM, NÃO) ⇒ P1 =
Conclusão: A probabilidade pedida será: ⇒ P = P1 + P2 + P3 ⇒ P =
Resposta:
13
49
.
13
.
49
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8
AULA-02-QUESTÃO-04
4) (UERJ-2006) Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares, obedecendo à
seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de
seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração a seguir.
Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do Triângulo de Pascal pode ser calculada pela fórmula
 p   p + 1  p + 2 
 n   n + 1
n 
  + 
 + 
 + ⋯ +   = 
 , na qual n e p não números naturais, n ≥ p e   corresponde ao
p
p
p
p
p
1
+
  
 

  

p 
número de combinações simples de n elementos tomados p a p. Com base nessas informações, calcule:
 2 3  4
18 
a) a soma   +   +   + ⋯ +   ;
 2  2  2
2
b) o número total de laranjas que compõem 15 camadas.
Resolução:
a)
 2   2 + 1  2 + 2 
18  18 + 1
2 3  4
18  19 
  + 
 + 
 + ⋯ +   = 
 ⇒   +   +   + ⋯ +   =  
 2  2   2 
 2   2 +1 
 2  2  2
2 3
 2 3  4
18 
2 3  4
18  19.18.17.(16 ! )
19 !
  +   +   + ⋯ +   =
⇒   +   +   + ⋯ +   =
3.2.1⋅ (16 ! )
 2  2  2 
 2  3 ! 16 !
 2  2  2
2
 2 3  4
18  19.18.17
 2 3  4
18 
  +   +   + ⋯ +   =
⇒   +   +   + ⋯ +   = 969
2  2  2 
2
3.2.1
 2  2  2 
2

 b)
Sendo “S” a soma das laranjas presentes nas 15 camadas:
S = 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ⋯ + 15 ⋅ 16
Dividindo-se ambos os membros por 2 ...
S 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ⋯ + 15 ⋅ 16
=
2
2
S 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
15 ⋅ 16
=
+
+
+⋯ +
2
2
2
2
2


16 
S  2 3  4 
=   +   +   + ⋯ +  
 ⇒
2  2  2  2 
2


S 17 
= 
2  3 
S
17 !
=
2 3 ! 14 !
S
= 680 ⇒ S = 1360 laranjas.
2
Respostas: a) 969.
b) 1 360 laranjas.
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9
AULA-03-QUESTÃO-01
1) (FGV-SP 2008-2) Maria comprou um aquário e deseja criar dois tipos de peixes: os vermelhos e os amarelos.
Cada peixe vermelho necessita de 5 litros de água e consome 10 gramas de ração por dia. Cada peixe
amarelo necessita de 3 litros de água e consome 4 gramas de ração por dia. O aquário de Maria tem 300
litros, e ela deseja gastar, no máximo, 500 gramas de ração por dia.
a) Considere as quantidades de peixes vermelhos e amarelos como valores de x e y, respectivamente. Determine
a região do primeiro quadrante do plano xy, cujos pares ordenados definem as quantidades de peixes
vermelhos e amarelos que podem estar no aquário.
b) Determine a quantidade de cada tipo de peixe no aquário, de forma a consumirem o total da ração disponível e
utilizarem o total da água do aquário.
Resolução:
REVISÃO VEST-UFES 2010 (2ª ETAPA) – AULAS 01/02/03 – PROFESSOR MARCELO RENATO
10
AULA-03-QUESTÃO-02
2. (UNIFESP 2008) Dado x > 0, considere o retângulo de base 4 cm e altura x cm. Seja y, em centímetros
quadrados, a área desse retângulo menos a área de um quadrado de lado x/2 cm.
a) Obtenha os valores de x para os quais y > 0.
b) Obtenha o valor de x para o qual y assume o maior valor possível, e dê o valor máximo de y.
Resolução:
REVISÃO VEST-UFES 2010 (2ª ETAPA) – AULAS 01/02/03 – PROFESSOR MARCELO RENATO
11
AULA-03-QUESTÃO-03
3. (UFRJ 2006) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma
assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de
R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações
locais é de R$ 1,50.
a) Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de 30 minutos em ligações locais.
b) Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o
plano A.
Resolução:
B (t)
A (t)
•
Considerando A( t ) e B( t ) os valores das contas nos planos A e B, em função do tempo:
A( t ) = 0,25 t + 50
 40 , 0 ≤ t ≤ 50
B( t ) = 
 1,5 ⋅ ( t − 50) + 40 , t > 50
 A(30) = 0,25 ⋅ (30) + 50 ⇒ A(30) = 57,50
a) Para t = 30 min. ⇒ 
 B(30 ) = 40
b) B ( t ) ≥ A ( t ) , para t > 50 min.
1,5 ⋅ ( t − 50) + 40 ≥ 0,25 t + 50 ⇒ 1,25 t ≥ 85 ⇒ t ≥ 68 min .
Respostas: a) No plano A: R$ 57,50 e no plano B: R$ 40,00
b) A partir de 68 minutos.
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12
AULA-03-QUESTÃO-04
4. (FGV-SP 2009) Uma editora decidiu disponibilizar o lançamento de um novo livro em duas versões: uma mais
elaborada, com capa dura, e outra, popular, com capa de papelão. Uma pesquisa contratada pela editora
registrou que, no dia do lançamento, o lucro da editora poderia ser estimado pela função:
L = (25 − 0,5 x )x + (30 − y )y − (50 − 0,5 x − y )2
em que x é o preço do exemplar de capa dura e y , o preço do exemplar com capa de papelão, em reais. O
departamento de produção da editora decidiu que o exemplar de capa dura deveria custar o dobro do preço do
exemplar de capa de papelão. Buscando obter o maior lucro possível, o diretor de vendas estabeleceu estes
preços para as duas versões:
capa dura → R$ 50,00
capa de papelão → R$ 25,00
Foi correta a decisão do diretor de vendas? Por quê?
Resolução:
Respostas:
−280
= 20 , ou seja, o preço y do exemplar de capa de
2.( −7)
papelão deve ser de R$ 20,00 e o preço x = 2y do exemplar de capa dura, R$ 40,00.
Logo, para obter o maior lucro possível, deve-se ter y =
Considerando o raciocínio anterior, podemos afirmar que a decisão do diretor de vendas NÃO foi correta.