Departamento de Matemática
Resolução Numérica da Equação de
Condução do Calor em Uma Placa
Bidimensional
Eliandro R. Cirilo
Estrutura da Apresentação:
1 – Aspectos Históricos
2 – Equação de Condução do Calor
3 – Questões Numéricas
4 – Resultados Numéricos
5 – Consideração Finais
1 – Aspectos Históricos
• A condução do calor está ligada a fenômenos físicos difusivos.
• O seu estudo teve inicio por volta de 1800.
• A primeira investigação importante foi desenvolvida por Joseph B.
Fourier (1768-1830), ele enunciava que uma função totalmente arbitrária
podia ser representada por uma série da forma
a0 ∞ 
mπx
mπx 
+ ∑  am cos
+ bm sen

2 m =1 
l
l 
• Em homenagem a ele as séries dessa forma são denominadas séries de
Fourier, e são fundamentais na solução analítica do PVC da condução do
calor unidimensional.
• Para problemas mais complexos, ainda não é disponível a solução de
forma fechada.
2 – Equação de Condução do Calor
A equação diferencial parcial que descreve a condução do calor numa
placa retangular, do espaço bidimensional, é da forma:
 ∂ 2T ∂ 2T 
∂T
= α  2 + 2 
∂t
∂y 
 ∂x
onde:
t ∈ [ 0, ∞ ) é a variável temporal;
( x , y ) ∈ [ 0,l1 ] × [ 0,l2 ]
T ( t , x, y)
l1
l2
é o ponto discreto do espaço 2D
l1 ; l2 ∈ R
T ≡ T ( t , x , y ) é a temperatura no tempo e espaço
α é o coeficiente de difusividade térmica do meio
2.1 – Solução Analítica
∂T
Admitindo por hipótese que
= 0 a equação de condução fica:
∂t
∂ 2T ∂ 2T
+ 2 = 0 “Equação de Laplace”
2
∂x
∂y
considerando
T ( 0 , x , y ) = 50
T ( t , 0, y ) = 0 T ( t , 2, y ) = 10 T ( t , x ,0 ) = 0
T ( t , x ,1 ) = 0
foi demonstrado que a solução do problema é dada por:
 1 − cos( nπ ) 

T ( x , y ) = 20∑ 
senh( nπx ).sen( nπy )

n =1  nπ .senh( 2nπ ) 

∞
Malha de 50x50
Isolinhas
Gradiente
Mas e os casos onde:
1. a geometria é complexa
2. as condições de contorno são variáveis
3. há geração de calor internamente
4. há transferência de calor pelo contorno
5. há troca de calor com o meio externo
6. Etc…
nestas, e outras, situações ainda não há solução na forma fechada, logo se
faz necessária à abordagem numérica.
3 – Questões Numéricas
Da fórmula de Taylor infinitesimal tem-se:
1 2
1 3
f ( φ + h ) = f ( φ ) + hf ′( φ ) + h f ′′( φ ) + h f ′′′( φ ) + 
2
6
1
1
f ( φ − h ) = f ( φ ) − hf ′( φ ) + h 2 f ′′( φ ) − h 3 f ′′′( φ ) + 
2
6
onde f ( φ ) é uma função “n” vezes derivável em φ , e h ∈ R.
( )
Negligenciando termos da O h 2
e O( h ) obtém-se:
d 2 f (φ ) f (φ + h ) − 2 f (φ ) + f (φ − h)
≅
2
dφ
h2
df ( φ ) f ( φ + h ) − f ( φ )
≅
dφ
h
que substituídas na equação do calor nos dá a forma discretizada da mesma.
Considerando um esquema implícito, então T ( t , x , y ) ≡ T ( k ,i , j ) logo:
∂T
∂T
T ( k + 1,i , j ) − T ( k ,i , j )
( t , x, y ) =
( k ,i , j ) ≈
∂t
∂t
∆t
∂ 2T
∂ 2T
T ( k + 1,i + 1, j ) − 2T ( k + 1,i , j ) + T ( k + 1,i − 1, j )
( t , x , y ) = 2 ( k ,i , j ) ≈
2
∂x
∂x
∆x 2
∂ 2T
∂ 2T
T ( k + 1,i , j + 1 ) − 2T ( k + 1,i , j ) + T ( k + 1,i , j − 1 )
(
t
,
x
,
y
)
=
(
k
,
i
,
j
)
≈
∂y 2
∂y 2
∆y 2
Substituindo-as na equação
obtemos
 ∂ 2T ∂ 2T 
∂T
∂ 2T
∂ 2T
= α  2 + 2  = α 2 + α 2
∂t
∂y 
∂x
∂y
 ∂x
T ( k + 1,i , j ) − T ( k ,i , j )
=
∆t
 T ( k + 1,i + 1, j ) − 2T ( k + 1,i , j ) + T ( k + 1,i − 1, j ) 
α
+
2
∆x


 T (k + 1, i, j + 1) − 2T (k + 1, i, j ) + T (k + 1, i, j − 1) 

α 
2
∆y


que depois do reagrupamento fica
 1 
T ( k + 1,i , j ) =  ( AeTe + AwTw + AnTn + AsTs + T )
AP 

onde
 1
1 
α∆t
α∆t
AP = 1 + 2α∆t  2 + 2 
Ae = 2 = Aw
An = 2 = As
∆y 
∆x
∆y
 ∆x
Te = T ( k + 1,i + 1, j )
Tw = T ( k + 1,i − 1, j )
Ts = T ( k + 1,i , j − 1 )
Tn = T ( k + 1,i , j + 1 )
T = T ( k ,i , j )
e os índice, p, e, w, n e s, designam localizações cardeais.
 1 
O sistema de equações T ( k + 1,i , j ) =  ( AeTe + AwTw + AnTn + AsTs + T
 AP 
é resolvido pelo método das relaxações sucessivas, dado por:
T ( k + 1,i , j ) i , j
( IT +1)
onde
celula do interior
IT+1
( IT )
( IT +1)
r é o fator de relaxação tal que o método só converge se 0 < r < 2
IT é o nível iterativo.
celula do contorno
IT
= (1 − r ) .T ( k + 1,i , j ) i , j + r .T ( k + 1,i , j ) GS i , j
níveis iterativos
MALHA
SOLVER
EXECUTAR VISUALIZAR
)
4 – Resultados Numéricos
Observando as isolinhas, e conseqüentemente, os mapas do gradiente de
temperatura, abaixo, percebe-se que eles apresentaram uma significativa
similaridade
Solução analítica
Solução numérica
Considerando que a equação de condução (de uma chapa de
alumínio)
 ∂ 2T ∂ 2T 
∂T
= 0 ,86  2 + 2 
∂t
∂y 
 ∂x
é resolvida no mesmo domínio já abordado, e sujeita às condições:
T ( 0, x , y ) = 50 T ( t , 0, y ) = 150 T ( t , 2, y ) = 20 T ( t , x ,0 ) = 70 T ( 0, x ,1 ) = 10
As isolinhas e o mapa de cores para porcentagens de 25%, 50%, 75% e
100% do tempo para alcançar o estado permanente podem ser observadas
abaixo:
Considerando que a equação de condução (de uma chapa de tijolo)
 ∂ 2T ∂ 2T 
∂T
= 0 ,0038  2 + 2 
∂t
∂y 
 ∂x
é resolvida no mesmo domínio já abordado, e sujeita às condições:
T ( 0, x , y ) = 50 T ( t , 0, y ) = 150 T ( t , 2, y ) = 20 T ( t , x ,0 ) = 70 T ( 0, x ,1 ) = 10
ele necessitou de 15.4276 segundo para alcançar o estado permanente, e a
distribuição ficou:
5 – Consideração Finais
Tendo informações sobre o comportamento da distribuição de
temperatura pode-se:
• Analisar os gradientes em regiões específicas na geometria;
• Sugerir medidas de controle, mudanças de design, etc. Via
simulação numérica.
• Analisar o tempo necessário, em que intensidade, se alcança o
equilíbrio térmico;
• Etc...
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