REFLEXÃO
•
Uma reflexão no plano é um movimento rígido que move um objecto para
uma nova posição, que é imagem pelo espelho da posição inicial.
A duas dimensões o espelho é apenas uma linha chamada o eixo da
reflexão.
ROTAÇÃO
•
A rotação de centro O e amplitude x é a transformação que envia O em
si mesmo e envia um ponto P diferente de O num ponto P' tal que
|OP| = |OP'| e tal que o ângulo orientado  ( OP, OP’ ) tem amplitude x.
TRANSLAÇÃO
•
A translação definida por um vector AB é a transformação que a cada
ponto C do plano faz corresponder um ponto D tal que:
D = C + AB
REFLEXÃO DESLIZANTE
•
Uma reflexão deslizante, tal como o nome sugere, é um movimento rígido
que consiste numa translação seguida de uma reflexão ou vice-versa. O
eixo da reflexão deve ser paralelo à direcção de translação.
PADRÕES
O que é um padrão?
 É a repetição de forma regular de uma figura inicial, denominada o
motivo do padrão, obedecendo a uma determinada disposição que
caracteriza esse padrão.
Classificação de padrões
 Os padrões classificam-se em dezassete tipos diferentes, cada um deles
relacionado com um grupo de simetria. Esta classificação é feita atendendo aos
tipos de simetria que cada padrão contém.
Grupo 1 - p1
Contém apenas translações. Os dois
eixos de translação podem fazer
um ângulo qualquer entre eles.
Grupo 2 - p2
Contém rotações de 180º.
Grupo 3 - pm
Contém reflexões, cujos eixos são paralelos
a uma direcção da translação e perpendicular a outra.
Grupo 4 - pg
Contém reflexões deslizantes, cuja direcção
é paralela a uma direcção da translação e
perpendicular a outra.
Grupo 5 - cm
Contém reflexões e reflexões deslizantes
com eixos paralelos. Os eixos de reflexão
bissectam o ângulo formado pelas direcções
das translações.
Grupo 6 - pmm
Contém eixos de reflexão
perpendiculares.
Grupo 7 - pmg
Contém reflexões e rotações de 180º .
Grupo 8 - pgg
Contém reflexões deslizantes e rotações
de 180º. Os centros de rotação não se
encontram nos eixos de reflexão que são
perpendiculares.
Grupo 9 - cmm
Contém eixos de reflexão
perpendiculares e rotações de 180º.
Os centros de rotação não se
encontram nos eixos de reflexão.
Grupo 10 - p4
Contém rotações de 90º e de 180º. Os
centros de rotação de 180º estão
entre os centros de rotação de 90º.
Grupo 11 - p4m
Contém rotações de 90º e de
180º e também reflexões. Os
centros de rotação encontram-se
nos eixos de reflexão.
Grupo 12 - p4g
Contém rotações de 90º e de 180º e
também reflexões. Os eixos de
reflexão são perpendiculares.
Grupo 13 - p3
Contém rotações de 120º.
Grupo 14 - p31m
Contém rotações de 120º, mas
também reflexões cujos eixos fazem
um ângulo de 60º.Alguns centros de
rotação encontram-se nos eixos de
reflexão, outros não.
Grupo 15 - p3m1
Contém rotações de 120º, mas também
reflexões cujos eixos fazem um ângulo
de 60º. Os centros de rotação
encontram-se todos nos eixos de
reflexão.
Grupo 16 - p6
Contém rotações de 60º, de 120º e
de 180º.
Grupo 17 - p6m
Todos os centros de rotação estão em
eixos de reflexão.
FRISOS
O que é um friso?
 Os frisos são padrões em que existem apenas translações de simetria
numa direcção.
Classificação dos frisos
 Existem apenas sete tipos possíveis de frisos.
Cada friso é identificado com dois símbolos.
O primeiro símbolo – m ou 1 – indica se o friso tem ou não eixo de simetria
vertical.
O segundo símbolo – 1, 2, g ou m – indica se existe outro tipo de simetria.
m: se for o primeiro símbolo, tem uma simetria vertical – reflexão de eixo
vertical;
se for o segundo símbolo, tem uma simetria horinzontal – reflexão de
eixo horizontal.
1: se for o primeiro símbolo, não tem simetria vertical;
se for o segundo símbolo, não tem mais nenhuma simetria além da
indicada pelo primeiro símbolo.
2: rotação de 180º
g: simetria horizontal seguida de translação – reflexão deslizante
Friso
1.
Isometria
Notação
Translação
11
Rotação de 180º
12
Reflexão horizontal
1m
Exemplo
2.
Exemplo
3.
Exemplo
4.
Reflexão deslizante
1g
Reflexão vertical
m1
Exemplo
5.
Exemplo
6.
Reflexão vertical seguida
de reflexão deslizante
mg
Exemplo
7.
Exemplo
Reflexão vertical seguida
de horizontal
mm
PAVIMENTAÇÕES
O que é uma pavimentação?
 É um conjunto numerável de mosaicos ou ladrilhos (que são conjuntos
planos cuja fronteira é uma curva simples fechada, isto é, sem se cruzar
a si própria e sem ramos) que cobrem o plano sem espaços intermédios
nem sobreposições.
Os vértices das pavimentações são os pontos de intersecção de três
ou mais ladrilhos ( e não, os vértices dos ladrilhos! ).
vértice
As arestas da pavimentação são os arcos, linhas poligonais ou
simples segmentos que são intersecção de dois ladrilhos ( e não, os
segmentos que constituem os lados dos ladrilhos! ).
aresta
Classificação das pavimentações
Pavimentações monoédricas ou puras:
São pavimentações formadas por um único ladrilho.
Pavimentações regulares:
São pavimentações monoédricas em que os ladrilhos são polígonos
regulares congruentes (ou seja, com o mesmo tamanho e forma).
Nota: Não são consideradas pavimentações regulares todas aquelas
em que a cada vértice concorre, pelo menos, um dos lados do polígono.
Sabias que...
Um polígono regular pavimenta se a soma dos ângulos internos em
torno de cada vértice for 360º.
Deste modo, as únicas pavimentações regulares possíveis são
aquelas em que o ladrilho é um triângulo equilátero, um quadrado ou
hexágono regular.
Assim, um pentágono não pavimenta.
Pavimentações arquimedianas ou semi-regulares:
São pavimentações formadas por 2 ou mais polígonos regulares e em que
os vértices da pavimentação são todas do mesmo tipo.
Dois vértices são do mesmo tipo se são da mesma espécie ( isto é, quando
os algarismos que constam do seu código são os mesmos, mesmo que por
uma ordem diferente ) e têm igualmente ordenados os números dos seus
códigos.
Dos 21 tipos de vértices apenas para 11 é possível construir uma
pavimentação.
Pavimentações demiregulares:
São pavimentações constituídas por mais de um tipo de polígonos
regulares e por mais de um tipo de vértices.
Pavimentações aperiódicas:
São pavimentações onde não existe um padrão que se repita, apesar de
ser possível haver uma cobertura total do plano, sem espaços
intermédios nem sobreposições.
Raphael Robinson apresentou um conjunto de seis ladrilhos que apenas
admite pavimentações não periódicas:
Conjunto de protoladrilhos aperiódicos de Robinson
De facto, cada um destes ladrilhos isolados, ou com alguns do mesmo
conjunto não admite pavimentações periódicas, mas o conjunto dos seis
admite pavimentações não periódicas.
Vejamos agora uma pavimentação aperiódica construída com este
conjunto de protoladrilhos, isto é, ladrilhos com os quais é possível
construir uma pavimentação do plano.
EMPACOTAMENTO
Algumas aplicações práticas
1. Empacotamento de caixas
Considere um contentor de 2 m de largura, 4 m de comprimento e 2.5 m de
altura, para transporte de mercadorias embaladas em caixas na forma de
paralelepípedos com 70 cm de comprimento, 50 cm de largura e 30 cm de
altura.
Admita que as caixas podem ser colocadas em qualquer uma das três posições
A.
B.
C.
 Pretende-se investigar qual o maior número de caixas que é
possível inserir no contentor, se estas forem colocadas na
posição B.
Efectuemos os cálculos. Assim, é possível inserir:
- na largura do contentor:
2 / 0.7 = 2.86, ou seja, 2 caixas
- no comprimento do contentor:
4 / 0.5 = 8 caixas
- na altura do contentor:
2.5 / 0.3 = 8.33, ou seja, 8 caixas
Logo, nesta posição, é possível inserir, no contentor, 2*8*8=128 caixas.
 Admitindo que as caixas são todas colocadas na mesma posição,
pretende-se agora investigar qual das posições indicadas se
deveria escolher para transportar o maior número possível de
caixas, no contentor.
Relativamente à posição A, é possível colocar:
-
na largura do contentor:
2 / 0.7 = 2.86, ou seja, 2 caixas
-
no comprimento do contentor: 4 / 0.3 = 13.33, ou seja, 13 caixas
-
na altura do contentor:
2.5 / 0.5 = 5 caixas
Portanto, nesta posição, é possível colocar, no contentor, 2*13*5=130
caixas.
No que diz respeito à posição B, já vimos anteriormente que se podiam
colocar, no contentor, 128 caixas.
Em relação à posição C, é possível inserir:
-na largura do contentor: 2 / 0.5 = 4 caixas
-no comprimento do contentor:
4 / 0.7 = 5.71, ou seja, 5 caixas
-na altura do contentor: 2.5 / 0.3 = 8.33, ou seja, 8 caixas
Isto significa que, ao todo, é possível inserir, no contentor, 4*5*8=160
caixas.
Conclusão: É possível transportar maior número de caixas dentro do
contentor se estas forem colocadas na posição C.
2. No hipermercado
Numa iniciativa promocional, de um hipermercado, vendem-se
conjuntos de três frascos de shampoo com oferta de um amaciador. O
gerente optou por agrupar os quatro frascos cilíndricos, todos de 6 cm
de diâmetro, envolvendo-os no mesmo tipo de fita.
 Pretende-se determinar qual das disposições apresentadas exige menor
quantidade de fita.
FIM