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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
CENTRO DE ENGENHARIAS
NÚCLEO DE MATEMÁTICA APLICADA
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Professor: Guilherme J. Weymar
APLICAÇÕES
1. Cabos Suspensos
O problema que abordaremos é o da determinação da forma tomada por um cabo
flexı́vel e inextensı́vel, suspenso em dois pontos, e sujeito a seu próprio peso. A Figura
(1) apresenta duas aplicações deste problema: Fios telefônicos suspensos entre dois
postes e os cabos suspensos em uma ponte. O conceito de flexı́vel neste modelo,
Figura 1: Cabos suspensos
significa que a tensão no cabo é sempre no sentido da tangente.
Consideremos um sistema de coordenadas cartesianas com origem no ponto mais
baixo da curva e eixo y coincidente com a vertical, conforme a figura abaixo. Será
considerado que o trecho OP do cabo está em equilı́brio, assim: H + T + V = 0. Onde
H é a tensão do cabo em seu ponto mais baixo, T é a tensão no P = (x, y) e V é o peso
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do trecho OP do cabo: V = αs, α é o peso por unidade de comprimento e s é o comprimento do arco OP. Projetando essa equação de equilı́brio sobre os eixos coordenados
XY, obtemos:
• Balanço das forças na direção do eixo X:
−H + T cos(θ) = 0
(1)
• Balanço das forças na direção do eixo Y:
−V + T sin(θ) = 0
(2)
Dividindo a equação (2) por (1), temos:
α
s
(3)
H
Note que α e H são constantes, logo podemos substituir: c = α/H, e que tan(θ) = y′ ,
assim a equação (3) fica:
y′ = cs
(4)
tan(θ) = +
Derivando a equação (4) em relação à ”x”, obtemos:
ds
(5)
dx
Lembre-se de que o cálculo do comprimento de arco de uma curva plana em certo
intervalo é:
√
√
∫ b
[ dy ]2
[ dy ]2
ds
s=
1+
dx ↔
= 1+
(6)
dx
dx
dx
a
y′′ = c
Concluimos que y(x) deve satisfazer à equação diferencial:
√
′′
y = c 1 + [y′ ]2
(7)
Para resolver a E.D. (7), façamos uma troca de variável p = y′ , assim obtemos a seguinte
E.D. 1a ordem separável:
∫
∫
√
dp
′
p = c 1 + p2 −→
=
cdx
(8)
√
1 + p2
Para calcular a integral indefinida do lado esquerdo da equação (8) façamos a seguinte
substituição de variável: p = cot(t), dp = − csc2 (t)dt:
∫
∫
∫
( )
)
(√
dp
− csc2 (t)dt
t
dt
=
= − ln tan
p2 + 1 − p
(9)
=−
= − ln
√
√
sin(t)
2
1 + p2
1 + cot2 (t)
Portanto as soluções da equação (8):
(√
)
− ln
p2 + 1 − p = cx + c1
(10)
Substituindo p = y′ , chegamos na seguinte equação:
)
(√
(y′ )2 + 1 − y′ = cx + c1
− ln
(11)
Lembrando as propriedades das funções hiperbólicas, concluimos que as soluções da
equação (11) são da forma:
y(x) = c−1 cosh(cx) + c1
(12)
E com y(0) = 0 concluı́mos que: c1 = −c−1 , assim y(x) = c−1 (cosh(cx) − 1)
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2. Trajetórias Ortogonais:
Lembre-se de que a solução geral da equação (13) representa uma famı́lia de curvas
que satisfazem a equação diferencial.
dy
= f (x, y)
dx
(13)
As curvas de uma famı́lia G(x, y, c1 ) dizem-se ortogonais às curvas da famı́lia H(x, y, c2 ),
se e somente se cada curva de uma dada famı́lia é intersectada por uma curva qualquer
da outra famı́lia, sendo que no ponto de intersecção as respectivas tangentes formam
um ângulo reto, conforme mostra a figura (2).
Figura 2: Trajetórias Ortogonais
Por exemplo, no estudo de geometria analı́tica, de que duas retas R1 e R2 não
paralelas aos eixos coordenados são perpendiculares se, e somente se, seus respectivos
coeficientes angulares satisfazem a relação m1 ∗ m2 = −1. [R1 : y = m1 x + b1 R2 : y =
m2 x + b2 ].
Exemplo 1: Considere as curvas C1 : y = x3 e C2 : x2 + 3y2 = 4, mostre que são
curvas ortogonais nos pontos de intersecção.
Solução: Pontos de Intersecção: x2 + 3x6 = 4 7→ x = 1 x = −1. Pontos: (1, 1) e (−1, −1)
dy
dy dy dy
2
2
=
= 3x ⇒
= 3x =
=3
C1 =
dx
dx
dx x=1 dx x=−1
dy
dy
dy dy x
1
2
=
C2 =
=−
⇒
= 3x =
=−
dx
3y
dx
dx x=1 dx x=−1
3
Assim: (1, 1) e (−1, −1), temos:
( dy )
dx
C1
×
( dy )
dx
C2
= −1
Definição Trajetórias Ortogonais: Quando todas as curvas de uma famı́lia F(x, y, c1 ) =
0 interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra famı́lia G(x, y, c2 ) = 0, então
dizemos que as famı́lias são trajetórias ortogonais uma da outra.
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Modo Geral: Para determinar as trajetórias ortogonais de uma dada famı́lia de
curvas, inicialmente encontramos a equação diferencial que descreve a famı́lia:
dy
= f (x, y)
dx
A famı́lia ortogonal é conjunto de funções que satisfazem a seguinte equação diferencial:
dy
1
=−
dx
f (x, y)
( )
, assim garantimos que:
dy
dx
C1
×
( )
dy
dx
C2
= −1
Exemplo 2: Encontre as trajetórias ortogonais da famı́lia das hipérboles,
y=
c1
x
Solução: Note que:
dy
dy
y
c1
= − 2 −→ c1 = yx −→
=−
dx
x
dx
x
Para encontrar a famı́lia de curvas ortogonais a y =
Diferencial:
c1
,
x
dy x
=
−→ y2 − x2 = c2
dx y
Exemplo 3: Encontre as trajetórias ortogonais de:
y=
c1 x
1+x
Solução: Derivando a função em relação à ”x”:
dy
c1
=
dx (1 + x)2
deve satisfazer a seguinte Equação
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onde c1 =
y(x+1)
,
x
assim
dy
y
=
= f (x, y)
dx x(1 + x)
Para encontrar as trajetórias ortogonais devemos resolver a equação diferencial:
dy
x(1 + x)
1
=−
=−
dx
f (x, y)
y
Resolvendo a E.D. por separação de variáveis, temos:
3y2 + 3x2 + 2x3 = c2
Referências:
FIGUEIREDO, D. G., NEVES, A. F. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio de Janeiro:
IMPA,2012.
ZILL, D. G., CULLEN, M. R. Equações Diferenciais, volume 1. São Paulo: Pearson
Makron Books, 2007.
ZILL, D. G., CULLEN, M. R. Matemática Avançada para Engenharia Equações diferenciais elementares e transformada de Laplace Volume 1. Porto Alegre: Bookman,
2009.