Demonstrações Geométricas, Algébricas e Solução de Equações
Discretas utilizando as Sequências de Números Figurados
José Antonio Salvador
Departamento de Matemática - CCET - Universidade Federal de São Carlos
13565-905, Via Washington Luiz, km 235 – São Carlos, SP
E-mail: [email protected]
Resumo:
Os povos antigos como os babilônios, maias e outras culturas antigas atribuíam aos números
significados místicos e divinos. No século VI a. C. os pitagóricos consideraram as coisas da
natureza diversas mas organizadas e relacionadas com os números. Introduziram os números
figurados, expressos como reunião de pontos numa determinada configuração geométrica.
Neste trabalho propomos a utilização de sequências de números figurados e de Fibonacci
como atividades lúdicas estabelecendo um elo entre a geometria e a aritmética para motivar e
explorar conceitos matemáticos como os envolvidos na resolução de equações discretas.
Partimos de exemplos de construção de modelos matemáticos dos números figurados ou de
Fibonacci no intuito ressaltar a importância da utilização de ferramentas matemáticas simples
para a investigação, generalização e demonstração de resultados juntamente com os recursos
da visualização geométrica e geometria dinâmica. Estudantes de disciplinas básicas do curso
de Licenciatura em que foram aplicadas estas atividades mostraram-se motivados e avaliaram
positivamente a experiência que também pode ser aplicada em turmas do Ensino Médio.
1. A construção geométrica das sequências de números figurados
Começamos propondo aos estudantes a investigação de modelagem de situações bem
simples como fizeram os pitagóricos que construíram representações geométricas para
sequências de números figurados. No caso dos números ímpares representados por pontos
formando um ângulo reto com metade menos um na horizontal e metade menos um na vertical,
chamados de gnomons pelos antigos gregos, conforme a Figura 1:
Figura 1: Primeiros números gnomons
Para um gnomon de ordem n, n = 1, 2, 3,... temos G(n) pontos, construídos passo a
passo, partindo de um ponto, G(1) = 1, acrescentamos mais dois pontos, um de cada lado da
figura e obtemos o gnomon de ordem 2, G(2) = 3, até um gnomon de ordem n-1, que
acrescentado mais um ponto de cada lado nos dá o gnomon de ordem n, G(n). Levamos os
estudantes a escreverem a sequência G : N → N , definida por G(n) = 2 n -1, para n ∈ N , N
= {1, 2, 3,...}. G(n) é a sequência de números ímpares representada geometricamente pelos
gnomons.
De um modo geral, definimos uma sequência real como um função s : N → R .
Uma propriedade interessante que podemos deduzir é a soma dos primeiros números
desta sequência. Somando os números gnomons até o 2n - 1, os pitagóricos obtinham os
números quadrados 1; 1 + 3 = 22 = 4; 1+ 3 + 5 = 32 = 9; 1+ 3 + 5 + 7 = 42= 16 de modo que
1 + 3 + 5 +... + (2 n -1) = n2
672
Pensando no gnomon G(1) = 1 representado por um quadrado degenerado a um ponto,
o G(2) com mais 3 pontinhos na forma de ângulo reto complementa o gnomon G(1) de modo a
representar um quadrado, ou seja, sempre que acrescentarmos o gnomon seguinte ao anterior
obtemos o quadrado seguinte. De fato, a soma dos termos da progressão aritmética de primeiro
termo G(1) = 1 e razão r = 2, é um quadrado
1 +3 + 5 + ... + (2n − 1) = n(
(2n − 1) + 1
) = n2
2
Por sua vez, os números quadrados também são números figurados. De fato,
observamos na Figura 2, eles são definidos como o número de elementos de um conjunto de
pontos necessários para formar uma sequência de quadrados encaixantes 1, 4, 9, 16, etc.
Figura 2: Primeiros números quadrados
Escrevemos os números quadrados da sequência Q : N → N definida por Q(n) = n2.
Ao construirmos os números quadrados exploramos o princípio da generalização, escrevendo
passo a passo: Q(1) = 1; Q(2) = 4 = 1 + 3 = Q(1) + 2*2-1; Q(3) = 9 = Q(2) + 5 = Q(2) + 2 *
3 – 1; Q(4) = 16 = Q(3) + 7 = Q(3) + 2* 4 – 1. Desse modo, para todo n maior ou igual a 1,
obtemos a equação discreta de primeira ordem não homogênea:
Q(n) = Q(n − 1) + 2n − 1
Geometricamente observamos que todo número quadrado é igual à soma de dois
números triangulares sucessivos como na Figura 3:
Figura 3: Número quadrado Q(5) = T(5) + T(4)
Os números triangulares, são definidos como o número de pontos que são necessários
para formar uma sequência de triângulos: 1, 3, 6, 10,...
Um número triangular T(n) é igual à soma dos n primeiros inteiros positivos. De fato;
T(1) = 1; T(2) = 3 = 1 + 2 = T(1) + 2; T(3) = 6 = (1 + 2) + 3 = T(2) + 3; T(4) = 10 = (1 + 2 +
3) + 4 = T(3) + 4, etc. Generalizando, obtemos a equação discreta de primeira ordem não
homogênea como Chiconello [1] aplicou no Ensino Médio:
T (n) = T (n − 1) + n
cuja solução representa os números triangulares. Da mesma forma, um número n é a diferença
entre dois números triangulares consecutivos T (n) e T (n − 1) : n = T ( n) − T (n − 1) . Os
estudantes podem ser levados a verificar que os números triangulares estão dispostos na terceira
diagonal do triângulo de Pascal e provar algebricamente que todo número quadrado é a soma de
dois números triangulares sucessivos.
673
De fato, considerando o n-ésimo número triangular Tn = 1 + 2 +3 + ... + n , ele é escrito
como a soma da progressão aritmética de primeiro termo a1 =1 e an = n e razão igual a 1:
Tn = 1 + 2 +3 + ... + n = n(
n + 1 n(n + 1)
)=
2
2
Por outro lado, considerando o n-ésimo número quadrado Qn, podemos decompô-lo da
seguinte forma:
Qn = n 2 = n(
n +1
n
) + (n − 1) = Tn + Tn−1
2
2
o que demonstra a afirmação.
Outros números figurados interessantes são os oblongos que possuem um padrão
retangular. Eles são representados pela sequência de pontos 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90,...
Geometricamente, dobrando um número triangular obtemos um número oblongo:
Ob(n) = 2Tn
Do mesmo modo, introduzimos os números figurados pentagonais: 1, 5, 12, 22, 35,...
O primeiro número pentagonal também é reduzido à unidade, P(1) = 1. O segundo é o
menor número de pontos com que podemos formar um pentágono, ou seja, P(2) = 5 = 1 + 4 =
P(1) + 4. Para construir P(2) a partir de P(1) juntamos mais 4 pontos. Assim, acrescentando
pontos de modo a formar um novo pentágono cujos lados possuem três pontos. O total de
pontos obtido é o terceiro número pentagonal, cuja construção geométrica passo a passo nos dá:
P(3) = P(2) + 7 = (1 + 4) + 7 = 12; P(4) = P(3) + 10 = (1 + 4 + 7) + 10 = 22; P(5) = P(4) +
13 = (1 + 4 + 7 + 10) + 13 = 35,... Neste caso, estudantes encontram mais dificuldades de
desenhar manualmente, então orientamos a utilização do software GeoGebra. Ao passarmos de
um número pentagonal de ordem n-1, P(n-1) ao seguinte P(n), precisamos juntar três lados de
comprimento igual a n, descontando as duas sobreposições que aparecem nos cantos. Este fato,
nos leva a equação discreta ou de recorrência de primeira ordem não homogênea para os
números pentagonais:
P (n) = P (n − 1) + 3n − 2
Os números pentagonais estão relacionados com os triangulares, pois um número
pentagonal de ordem n pode ser decomposto em três números triangulares de ordem n -1 mais n
pontos, conforme Figura 4, de modo que: P (n) = 3T (n − 1) + n .
Figura 4: Números pentagonais e triangulares: 1, 5, 12, 22,...
Observamos que n-ésimo número pentagonal, P(n) é dado pela soma de uma sequência
de primeiro termo P1 = 1 razão rn = 3n − 2 :
Pn = 1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2) =
n(3n − 1)
3n(n − 1)
3n 2 − n
=n+
= 3Tn−1 + n =
2
2
2
Assim, decompomos o n-ésimo número pentagonal P(n) como três vezes o (n-1)-ésimo
número triangular, T(n-1), mais n.
674
Do mesmo modo, obtemos os outros números figurados como os hexagonais,
heptagonais, etc. e as suas respectivas equações discretas.
A sequência de Fibonacci, com os dois primeiros termos F(1) = 1, F(2) =1 e cada um a
partir do terceiro igual à soma dos dois anteriores: F(n+2) = F(n+1) + F(n), n = 1, 2, 3,...
também é figurada como uma sequência de quadrados com a caracol conforme Figura 5:
35
Fibonacci
30
25
f
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
n
6
7
8
9
Figura5: a) Ilustração figurada da Sequência de Fibonacci e b) Numericamente
Os primeiros números figurados e a sequência de Fibonacci são fáceis de serem
obtidos, mas se quisermos o termo geral de ordem n, para n grande? Neste caso, se tivermos
uma equação discreta ou de recorrência regendo um fenômeno de modo que relaciona um termo
de ordem n com o(s) anterior(es), a solução da mesma com as condições iniciais pode ser obtida
iterativamente ou encontrando uma expressão para a sequência solução em função de n.
2. Equações discretas
Quando tratamos de problemas que envolvem variáveis inteiras geralmente podemos
obter uma ou mais equações discretas ou de recorrência. Também é comum quando
trabalhamos com modelagem matemática discreta ou resolvemos numericamente problemas de
valores iniciais e/ou de contorno envolvendo equações diferenciais.
Para definir uma equação discreta, consideramos o conjunto dos números naturais N e
um subconjunto S do conjunto dos números reais R. Uma função f : N × S → X , em que
xn = f (n, xn −1 ), n ∈ N é uma equação discreta linear de primeira ordem, em que a incógnita é
uma função inteira x(n). Comumente denotamos x(n) por xn o seu n-ésimo termo. A solução da
equação discreta com uma condição inicial x(0) = x0, é uma sequência {xn} cujos elementos são
x0 , x1 = f (1, x0 ) , x2 = f (2, x1 ) = f (2, f (1, x0 )) ,...
Um exemplo da aplicação de uma equação discreta autônoma é a equação
xn = qxn−1 , n ∈ N , em que q é uma constante não nula. A solução desta equação com a
condição inicial x0, é uma sequência {xn}, conhecida como P. G. (Progressão Geométrica) de
razão q.
Para obtermos uma solução desta equação linear em termos da condição inicial x0 e n,
supomos que a mesma é do tipo potência: xn = λn , com λ ≠ 0 e n ∈ N . Assim, xn−1 = λn−1 ,
que substituídos na equação discreta nos dá: λn = qλn−1 , (λ − q )λn−1 = 0 . Segue que λ = q .
Logo a solução é múltipla de q n e com a condição inicial obtemos xn = x0 q n .
A representação da equação discreta em que a expressão do termo geral é escrita
diretamente em função da variável n:
xn = g (n), n ∈ N
é chamada equação discreta funcional.
Assim, seus elementos podem ser obtidos diretamente, como x100 = x0 q100 . Certamente
se fossemos escrevendo passo a passo, cada elemento a partir do seu anterior: x0, x1 = q x0, x2 =
q x1 = q (q x0) = q2 x0, x3 = q x2 = q (q2 x0) = q3 x0,... depois de algum tempo razoável também
chegaríamos em x100 = qx99 = ... = x0 q100 .
675
Quando a razão 0 < q < 1, temos modelos matemáticos de decaimentos geométricos
como do tipo: decaimento radioativo, de poluentes, de temperatura, de drogas no organismo,
etc. e se q > 1, aparecem em problemas de crescimentos geométricos como de bactérias, etc.
O método gráfico representa a função discreta xn num sistema de coordenadas
cartesianas, escolhendo a variável n no eixo horizontal e a variável dependente xn no eixo
vertical como a Figura 5b. Vejamos as equações discretas oriundas dos números figurados.
3. Equação discreta funcional para os números figurados
Para resolver as equações discretas pelo método teórico devemos transformá-la numa
equação funcional, de modo a obter o termo geral em função de n.
Questionamos como escrever Tn da equação discreta não homogênea Tn = Tn −1 + n , n
∈ N, representando os números triangulares com a condição inicial T(1) = 1, em função de n.
Procuramos uma solução geral da equação não homogênea, como no caso de equações
h
diferenciais lineares, decomposta numa soma da solução da equação homogênea Tn mais uma
solução particular T p n da equação não homogênea.
A equação discreta linear homogênea associada Tn = T h n −1 tem solução do tipo
h
Tn = λn , com λ ≠ 0 . De fato, substituindo-a na equação homogênea, obtemos λn = λn −1 , e o
valor de λ = 1 . Assim a solução da equação homogênea é constante, um múltiplo de 1n = 1.
A solução particular T p n da equação não homogênea deveria ser um polinômio de
primeiro grau em n, c1 + c2 n , já que o termo não homogêneo é deste tipo; Mas como já temos
uma constante como solução da equação homogênea, devemos escolher T p n = (c1 + c2 n)n .
1 1
Substituindo na equação geral, obtemos os valores c1, c2 e T p n = ( + n) n . Assim, a solução
2 2
1 1
h
geral obtida Tn = Tn + T p n = c + ( + n) n deve satisfazer T(1) = 1. Logo c = 0, e portanto
2 2
n +1
Tn = (
)n , n = 1, 2, 3,... que coincide, evidentemente, com a obtida ao somarmos os termos
2
h
da Progressão Aritmética Tn = 1 + 2 + 3 + ... + n.
Do mesmo modo, investigamos o termo geral das equações discretas que representam
os outros números figurados resolvendo-as do mesmo modo.
Números Hexagonais: 1, 6, 15, 28,... dados por H n = H n −1 + 4n − 3 , que podem ser
vistos como combinação de números triangulares H n = Tn + 3Tn −1 donde H n = 2n 2 − n
Números Heptagonais: 1, 7, 18,... dados pela equação Hep n = Tn + 4Tn −1 .
Números Octogonais: 1, 8,... provindos da equação On = Tn + 5Tn −1 .
Generalizando, obtemos os números K-gonais, formados por polígonos de k lados, de
modo que obtemos K n = Tn + ( k − 3)Tn −1 .
Eles podem ser vistos como uma combinação de números triangulares e, representados
por sequências polígonos de k lados, satisfazendo uma equação discreta linear que pode ser
resolvida algebricamente, obtendo uma sequência na forma de uma equação funcional, ou seja
em função de n (e de k).
De modo geral, para obter uma solução de uma equação discreta Akxn+k + Ak-1 xn+k-1 + ...
+ A0 xn = 0, n ∈ N, obtemos a equação característica associada à equação discreta
Ak λn+ k + Ak −1λn+ k −1 + ... + A0 λn = 0 . Supondo que esta equação característica possui raízes
λ1 , λ2 ,..., λr com multiplicidade α1 , α 2 ,..., α r ∈ N respectivamente, então as soluções são
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xn = p1 (n)λ1 + p2 (n)λ2 + ... + pr (n)λr em que pi(n) são
polinômios com grau grau ( pi ( n)) < α i , para 1 ≤ i ≤ r . Se λi é uma raiz simples da equação
n
sequências xn da forma:
n
n
característica associada, então o polinômio pi(n) se reduz a uma constante.
Vimos que a equação discreta homogênea de segunda ordem com coeficientes
constantes, Fibonacci, Fn + 2 − Fn +1 − Fn = 0 , para n ≥ 0 , com F0 = 1 e F1 = 1 , nos dá como
solução os números de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5,...
Procuramos a sua solução também supondo que Fn = λn , ( λ ≠ 0 ) que substituído na
equação de Fibonacci, obtemos a equação característica associada λ
− λn +1 − λn = 0 cujas
1+ 5 n
1− 5 n
1+ 5
1− 5
e λ2 =
. Assim a solução geral Fn = c1 (
) + c2 (
) .
raízes são λ1 =
2
2
2
2
1 1 + 5 n +1 1 1 − 5 n +1
Com as condições iniciais, obtemos a solução: Fn =
(
) −
(
) .
2
2
5
5
n+ 2
Interessante fazer os estudantes observar o fato de que a combinação de números
irracionais pode gerar um número natural como na solução Fn da equação de Fibonacci.
No espaço tridimensional, como em Gullberg [2], podemos explorar os números
poliédricos como os Tetraédricos: 1, 4, 10, 20,... obtidos passo a passo, representando o
número de pontos necessários para construir uma sequência de tetraedros, cujas bases da
pirâmide e seções paralelas são triangulares e, portanto, constituídas por números triangulares,
satisfazendo Te( n) =
n
∑T
i =1
i
=
n(n + 1)(n + 2)
, em que Te(n) é o n-ésimo número tetraédrico e
6
Ti o i-ésimo número triangular como na Figura 6.
Figura 6: Número tetraédrico: Te(3) = 10
Os números tetraédricos também estão localizados na quarta diagonal do triângulo de Pascal.
4. Conclusão
As atividades de exploração dos números figurados foram avaliadas positivamente
numa experiência com estudantes do curso de Licenciatura em Matemática da UFSCar.
Exploramos também números cúbicos, pentatopes e supertetraedros para incentivar os
estudantes e aguçar a visualização geométrica, explorar a construção (manual e computacional)
dos termos das sequências passo a passo, obtenção do termo geral, demonstrações geométricas
e algébricas bem como resolução de equações discretas, geralmente pouco abordadas. As
descobertas pelos estudantes de relações envolvendo números figurados, contempla vários
tópicos e demonstraram interessantes e motivadoras conforme apontaram.
Referências
[1] Chiconello, L. A., "Números Figurados e as sequências recursivas: uma atividade didática
envolvendo números triangulares e quadrados", Dissertação de Mestrado, UFSCar, 2013.
[2] Gullberg, J., Mathematics from the birth of number, W. W. Norton & Company, NY,
(1997).
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