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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 21 a 24 de outubro, 2013
O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIMÉTRICOS
Marco Antonio Travassos1, Fernando Pereira Sousa2
1
2
Aluno do Curso de Matemática – CPTL/UFMS, bolsista do Grupo PET Matemática/CPTL/UFMS; Professor do Curso de
Matemática – CPTL/UFMS. E-mail [email protected]
RESUMO
Neste presente trabalho trataremos sobre diagonalização de operadores, ou seja, dado um
operador linear
, queremos determinar uma base de , em relação a qual, a matriz de
seja a mais simples possível. Na verdade esta matriz será uma matriz diagonal. Aqui estaremos
interessados num tipo particular de operadores, os operadores simétricos. Na álgebra linear existe
um resultado importante conhecido como o teorema Espectral para operadores auto-adjuntos. O
teorema Espectral para operadores simétricos é um caso particular deste resultado e
apresentaremos uma demonstração, para esse caso particular, de uma maneira mais simples e
rápida. Também, apresentaremos uma demonstração do teorema espectral para operadores
simétricos, no contexto das matrizes reais.
Palavras-chave: Autovetores, diagonalização, operador adjunto, operadores simétricos, teorema
espectral.
INTRODUÇÃO
O presente trabalho é sobre o teorema Espectral para operadores simétricos. A teoria
espectral tem como objetivo principal estudar espaços vetoriais e operadores lineares, buscando
descrever de forma simples a atuação dos operadores. Os teoremas espectrais são fundamentais
na álgebra linear, por garantirem a existência de uma base ortonormal de autovetores para alguns
tipos de operadores, isto implica que o operador seja diagonalizável, o que facilita bastante os
cálculos.
O objetivo desse trabalho é fazer a prova do teorema Espectral para operadores simétricos
de uma maneira simples e que possa ser compreendida integralmente por qualquer estudante
que tenha concluído um curso introdutório de álgebra linear.
O trabalho está organizado em duas secções, sendo que na primeira secção contém
algumas definições para que o leitor possa se familiarizar com o texto e também uma condição
necessária e suficiente para que
seja um operador diagonalizável. Por fim, na segunda
secção apresentaremos o teorema Espectral para operadores simétricos e uma demonstração do
teorema Espectral para operadores simétricos no contexto das matrizes reais, que é o principal
objetivo deste trabalho.
Colloquium Exactarum, vol. 5, n. Especial, Jul–Dez, 2013, p. 31-37. ISSN: 2178-8332. DOI: 10.5747/ce.2013.v05.nesp.000050
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METODOLOGIA
O trabalho é resultado de uma pesquisa teórica, desenvolvido através de discussões do
tema com o orientador e apresentações de seminários como parte das atividades do programa
PET - Matemática no estudo de Introdução à Álgebra Linear. O trabalho incluiu uma etapa de
leitura e resoluções de exercícios, desenvolvimento das atividades propostas e a tabulação dos
resultados obtidos. O estudo e as atividades desenvolvidas foram avaliados através da
apresentação de seminários de discussão.
RESULTADOS
1. Conceitos Básicos
Para que a leitura posterior deste trabalho seja feita de maneira mais rápida, decidimos
expor aqui os conceitos básicos que serão usados neste trabalho. Tais definições, proposições,
lemas e teoremas podem ser encontrados em , -. Uma observação a ser feita é que neste
trabalho estaremos considerando apenas espaços vetoriais de dimensão finita e munidos de
produto interno.
Definição 1. Seja
um espaço vetorial de dimensão finita, munido de produto interno. Para cada
operador linear
〈
( )〉 para quaisquer
Quando
tal que 〈 ( ) 〉
existe um único operador linear
. O operador
dizemos que
é chamado de operador adjunto de
.
é um operador simétrico.
O resultado a seguir mostra como podemos obter
a partir de uma representação
matricial de .
Proposição 1. Para toda base ortonormal
de
,
e para todo operador linear
em , temos que
(, - )
-
Para demonstrarmos a proposição acima, vamos precisar do seguinte resultado, cuja
demonstração omitiremos.
Lema 1. Seja
*
+ uma base ortonormal de
representa um operador
〉, para todos
Demonstração 1. Considere as matrizes , 〈 ( )
〉e
〈
,
-
é a matriz que
.
e,
-
,
〉, para todos
( )
-
, - , então
em , com relação à base , ou seja,
〈 ( )
,
. Se
-
. Pelo Lema 1,
.
Logo,
〈
( )
〉
〈
(
)〉
〈 ( )
〉
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para todos
, provando o resultado.
Pela Proposição 1, observamos que se
base ortonormal
de
é um operador simétrico em , então para toda
temos
, -
(, - )
é simétrico se, e somente se, , - é uma matriz simétrica. Observemos que o
Assim,
fato de um operador ser simétrico não depende da base ortonormal escolhida. Portanto, se , for uma matriz simétrica em uma determinada base ortonormal
, então , - será também
simétrica para qualquer outra base ortonormal .
Definição 2. Um operador linear
Em outras palavras,
é dito ser um operador ortogonal quando
é um operador ortogonal quando
.
( ) é dita ser ortogonal quando
Definição 3. Uma matriz
Em outras palavras,
é uma matriz ortogonal se
é invertível e
Segue imediatamente da definição que uma matriz
matriz
é invertível e
.
é ortogonal se, e somente se, a
.
Proposição 2. Se
e
são bases ortonormais de , então a matriz mudança de base , -
é
uma matriz ortogonal.
Proposição 3. Um operador linear
diagonal se, e somente se, essa base
*
Suponhamos que
, -
Como, para cada
em relação á qual a matriz , - é
admite uma base
for formada por autovetores de .
+ é uma base de
tal que , - é diagonal, digamos,
[
]
,
( )
segue que
é um autovalor de
,
e
é um autovetor de
associado a
. Portanto,
base formada de autovetores de .
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é uma
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*
Reciprocamente, suponhamos agora que
por autovetores de . Existem, então, números reais
( )
. Observamos que os
+ é uma base de
formada
tais que, para cada
,
's não são necessariamente todos distintos. Pela definição de
, - , temos
, -
[
]
ou seja, , - é uma matriz diagonal.
Na demonstração da Proposição 3 fica claro que, se um operador linear
tem uma
representação por uma matriz diagonal , - , então as entradas da diagonal principal de , - são
dadas pelos autovalores de . Mais ainda, a ordem em que os autovalores aparecem na diagonal
principal da matriz é a mesma em que seus respectivos autovetores são dados na base .
Se
é um operador linear em um espaço
diagonalizável se, e somente se,
se
tem
tem
autovalores distintos, então
Vimos que
de dimensão , a proposeção 3 nos diz que
é
autovetores linearmente independentes. Em particular,
é diagonalizável.
é um operador diagonalizável se, e somente se, existe uma base de
formada por autovetores de .
Veremos que se
é um espaço com produto interno e se
simétrico, então existe uma base ortonormal de
é um operador
formada por autovetores de . Em particular,
todo operador simétrico é diagonalizável.
Proposição 4. Seja
simétrico e
um espaço vetorial de dimensão finita sobre
uma base de
. Se
é um operador
, então, todas as raízes do polinômio característico
, -
são
números reais.
2. O Teorema Espectral
O próximo resultado nos garante que todo operador simétrico é diagonalizável. Este
resultado é conhecido como Teorema Espectral e é um dos resultados mais importantes da
Álgebra Linear.
Teorema 1. Seja
um espaço de dimensão finita sobre. Se
então existe uma base ortonormal
de
é um operador simétrico,
tal que , - é diagonal.
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Demonstração. Faremos a prova por indução sobre a dimensão de . Denotaremos a matriz , por . Se dim
, o resultado é óbvio. Suponhamos que
espaços de dimensão . Seja
seja
um espaço vetorial tal que dim
uma raiz complexa de polinômio
de . Seja
um autovetor unitário de
. Seja
. Pela Proposição 4,
uma base de
. Portanto,
e
é um autovalor
associado a . Consideremos o subespaço
〈
*
. Afirmamos que ( )
Note que
e que o resultado é válido para
〉
+
. De fato, seja
. Como
é um operador
simétrico, temos que
〈 ( ) 〉
donde ( )
〈
〈
( )〉
〉
〈
〉
,
. Assim, podemos considerar o operador restrição
(
),
que é também um operador simétrico. Além disso, como dim , Assim, podemos aplicar a hipótese de indução ao operador
base ortonormal *
+ de
*
Consequentemente,
, segue que dim
.
para garantir a existência de uma
formada por autovetores de
+ é uma base ortonormal de
(logo de
).
formada por autovetores de
. Daí, , - é diagonal.
Reciprocamente, se
é uma base ortonormal de
formada por autovetores. Então, pela
proposição 3 temos que , - é diagonal. Como , - é diagonal, então , - é simétrica. Logo,
é um operador simétrico.
O próximo resultado é a versão matricial do Teorema 1.
( ) é simétrica, então existe uma matriz ortogonal
Teorema 2. Se
( ) tal que
é diagonal.
( ) uma matriz simétrica. Então o operador
Demontração. Seja
é simétrico. Pelo Teorema 1, existe uma base ortonormal
é a base canônica de
,
-
. Como
matriz ortogonal, ou seja,
tal que , -
) também
é diagonal. Se
, então
, -
sendo
de
(
e
,
-
, - ,
-
,
são bases ortonormais, segue da Proposição 2 que
é uma
.
A recíproca deste resultado também é verdadeira. Para demonstra-la temos que provar
que
. Por hipótese, existe uma matriz
Entretanto, como
( ) tal que
é ortogonal então,
(
)
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é diagonal.
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(
(
)
(
)
(
Portanto,
)
)
como queríamos demonstrar.
DISCUSSÃO
O teorema espectral para operadores simétricos é fundamental na álgebra linear por
garantir a existência de uma base ortonormal de autovetores para operadores simétricos. Isto
implica que o operador seja diagonalizável o que facilita os cálculos. Desta forma podemos fazer o
reconhecimento de cônicas, quádricas e tornar o cálculo de composição de funções reais mais
simples entre outras aplicações.
Neste trabalho estudamos operadores lineares
em um espaço vetorial
mas poderíamos estender esses resultados para um espaço vetorial
sobre os reais,
sobre . Nesse último caso
os operadores são chamados de operadores hermitianos. O caso que tratamos aqui é um caso
particular do teorema Espectral para operadores auto-adjuntos. Os operadores auto-adjuntos são
compostos pelos operadores simétricos e os hermitianos. Também existem diversas
generalizações do teorema Espectral, bem como para operadores unitários, operadores normais e
operadores compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert.
CONCLUSÃO
Neste trabalho abordamos o assunto, diagonalização de operadores, Vimos que
um operador diagonalizável se, e somente se, existe uma base de
. Concluímos que se
base
formada por autovetores de
é um espaço vetorial de dimensão finita sobre
operador simétrico, então existe uma base ortonormal
de
é
e se
é um
tal que a matriz de
em relação à
é diagonal. Acreditamos que nosso objetivo principal foi atingido e como resultado obteve
um texto claro, bem estruturado, acessível a diversos estudantes, mesmo que não possuam muito
conhecimento sobre o assunto. Este trabalho foi muito importante para os meus estudos, pois me
permitiu o aprofundamento neste tema bem como aperfeiçoar competências de investigação,
organização e comunicação da informação.
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REFERÊNCIAS
1. HEFEZ, Abramo. Introdução à Álgebra Linear/Abramo Hefez; Cecília de Souza Fernandez. Rio de
Janeiro: SBM, 2012. 328p. (Coleção PROFMAT, 01).
2. Coelho, Flávio Ulhoa. Um Curso de Álgebra Linear/Flávio Ulhoa Coelho, Mary Lilian Lourenço.-2.
ed. rev. e ampl., 2. reimpr.-São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2010.-(Acadêmica,
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