MATRIZES 2
1. (Fgv 99) Considere a equação matricial AX=B, onde
a) Para que valores de m a equação tem solução única?
b) Resolva a equação para m=0.
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2. (Ita 2002) 1. Mostre que se uma matriz quadrada não-nula A satisfaz a equação
A¤ + 3A£ + 2A = 0 (1)
então (A + I)¤ = A + I, em que I é a matriz identidade.
2. Sendo dado que a matriz A satisfaz à equação (1) acima, encontre duas matrizes não-nulas
B e C tais que B¤ + C¤ = B + C = A. Para essas matrizes você garante que o sistema de
equações:
tem solução (x, y) · (0, 0)? Justifique.
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3. (Puc-rio 2000) Calcule a vigésima potência da matriz
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4. (Uerj 2000) Considere as matrizes A e B:
A = (aÖŒ) é quadrada de ordem n em que
aÖŒ = 1, se x é par e aÖŒ = -1, se x é ímpar
B = (bÖŒ) é de ordem n × p em que bÖŒ = jÑ
a) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A.
b) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB é igual a 4094.
Calcule o número de linhas da matriz B.
5. (Ufc 99) Dê exemplo de três matrizes 2×2, A, B e C tais que: a matriz A não seja nula,
A.B=A.C e B·C.
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6. (Ufes 99) Considere a matriz mostrada na figura a seguir
Determine A¢ªª©.
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7. (Ufscar 2000) Seja A uma matriz 2 × 2 cujos coeficientes são números reais. Vamos chamar
de transposta de A à matriz A mostrada na figura adiante.
Dizemos que uma matriz A é simétrica se A=A e dizemos que A é anti-simétrica se A=-A .
a) Dada uma matriz A qualquer, verifique que B=(1/2).(A+A ) é uma matriz simétrica e que
C=(1/2).(A-A ) é uma matriz anti-simétrica.
b) Mostre que toda matriz 2 × 2 é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz
anti-simétrica.
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8. (Ufscar 2002) Seja a matriz M = (m‹Œ)‚Öƒ, tal que m‹Œ = j£ - i£.
a) Escreva M na forma matricial.
b) Sendo M a matriz transposta de M, calcule o produto M.M .
9. (Ufv 2001) Seja a matriz
a) Verifique se M é inversível.
b) Determine M£.
c) Determine M¨¤.
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10. (Unirio 2000) Um proprietário de dois restaurantes deseja contabilizar o consumo dos
seguintes produtos: arroz, carne, cerveja e feijão. No 1Ž restaurante são consumidos, por
semana, 25kg de arroz, 50kg de carne, 200 garrafas de cerveja e 20kg de feijão. No 2Ž
restaurante são consumidos, semanalmente, 28kg de arroz, 60kg de carne, 150 garrafas de
cerveja e 22kg de feijão.
Existem dois fornecedores, cujos preços, em reais, destes itens são:
A partir destas informações:
a) uma matriz 2 × 4 que descreva o consumo desses produtos pelo proprietário no 1Ž e no 2Ž
restaurantes, e uma outra matriz 4 × 2 que descreva os preços dos produtos nos dois
fornecedores;
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b) o produto das duas matrizes anteriores, de modo que este represente o gasto semanal de
cada restaurante com cada fornecedor e determine o lucro semanal que o proprietário terá
comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes.
11. (Unirio 2002) Para que valor(es) real(is) de x a matriz
é invertível?
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12. (Fatec 99) Se A¢ é a matriz inversa de
e M=A+A¢, então o determinante da matriz M é
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
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13. (Fatec 2000) A matriz inversa da matriz em destaque, mostrada adiante é
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14. (Fatec 2003) Seja a matriz
É verdade que a + b é igual a
a) 0
b) 1
c) 9
d) - 1
e) - 9
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15. (Fgv 2001) A matriz A é inversa da matriz B.
Nessas condições, podemos afirmar que a soma x+y vale:
a) - 1
b) - 2
c) - 3
d) - 4
e) - 5
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16. (Fgv 2003) A, B e C são matrizes quadradas de ordem 3, e I é a matriz identidade de
mesma ordem. Assinale a alternativa correta:
a) (A + B)£ = A£ + 2AB + B£
b) B . C = C . B
c) (A + B) . (A - B) = A£ - B£
d) C . I = C
e) I . A = I
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17. (Fgv 2003) A matriz mostrada na figura a seguir
admite inversa, se e somente se:
a) x · 5
b) x · 2
c) x · 2 e x · 5
d) x · 4 e x · 25
e) x · 4
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18. (Ita 2000) Considere as matrizes mostradas na figura adiante
Se X é solução de M¢NX=P, então x£+y£+z£ é igual a
a) 35.
b) 17.
c) 38.
d) 14.
e) 29.
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19. (Ita 2000) Sendo x um número real positivo, considere as matrizes mostradas na figura a
seguir
A soma de todos os valores de x para os quais (AB)=(AB) é igual a
a) 25/3.
b) 28/3.
c) 32/3.
d) 27/2.
e) 25/2.
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20. (Ita 2001) Sejam A e B matrizes n × n, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:
(I) AB + BA é simétrica.
(II) (A + A + B) é simétrica.
(III) ABA é simétrica.
temos que:
a) apenas (I) é verdadeira.
b) apenas (II) é verdadeira.
c) apenas (III) é verdadeira.
d) apenas (I) e (III) são verdadeiras.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
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21. (Ita 2001) Considere a matriz
A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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22. (Ita 2002) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB=A e BA=B.
Então, [(A + B) ]£ é igual a
a) (A + B)£.
b) 2(A . B ).
c) 2(A + B ).
d) A + B .
e) A B .
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23. (Ita 2002) Seja A uma matriz real 2 x 2. Suponha que ‘ e ’ sejam dois números distintos,
e V e W duas matrizes reais 2 x 1 não-nulas, tais que
AV = ‘V e AW = ’W.
Se a, b Æ IR são tais que aV + bW é igual à matriz nula 2x1, então a + b vale
a) 0.
b) 1.
c) -1.
d) 1/2.
e) -1/2.
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24. (Ita 2003) Sejam A e P matrizes n x n inversíveis e B = P¢ AP.
Das afirmações:
I. B é inversível e (B )¢ = (B¢) .
II. Se A é simétrica, então B também o é.
III. det(A - —) = det(B - —), ¯ — Æ IR.
é(são) verdadeira(s):
a) todas.
b) apenas I.
c) apenas I e lI.
d) apenas I e III.
e) apenas lI e III.
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25. (Mackenzie 99) Dada a matriz M, mostrada na figura adiante
, se M¢=M , então K pode ser:
a) Ë(3)/4
b) - Ë(3)/4
c) 1/4
d) - Ë(3)/2
e) 1/2
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26. (Mackenzie 2001) Dadas as matrizes
se M.A-2B=0, det M¢ vale:
a) 2
b) 1/2
c) 4
d) 1/4
e) 1
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27. (Puccamp 2000) Em um laboratório, as substâncias A, B e C são a matéria-prima utilizada
na fabricação de dois medicamentos. O Mariax é fabricado com 5g de A, 8g de B e 10g de C e
o Luciax é fabricado com 9g de A, 6g de B e 4g de C. Os preços dessas substâncias estão em
constante alteração e, por isso, um funcionário criou um programa de computador para
enfrentar essa dificuldade. Fornecendo-se ao programa os preços X, Y e Z de um grama das
substâncias A, B e C, respectivamente, o programa apresenta uma matriz C, cujos elementos
correspondem aos preços de custo da matéria-prima do Mariax e do Luciax. Essa matriz pode
ser obtida de
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28. (Uel 99) Sejam as matrizes A=(a‹Œ)ƒÖ‚, tal que a‹Œ=2i-3j e B=(bŒÙ)‚Öƒ, tal que bŒÙ=y-j . O
determinante da matriz A . B é igual a
a) -12
b) - 6
c) 0
d) 6
e) 12
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29. (Uel 99) A soma de todos os elementos da inversa da matriz M mostrada na figura é igual a
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
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30. (Uel 2001) Sabendo-se que a matriz mostrada na figura adiante
é igual à sua transposta, o valor de x + 2y é:
a) -20
b) -1
c) 1
d) 13
e) 20
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31. (Ufal 99) Dada a matriz A mostrada na figura adiante, se A¢ é a matriz inversa de A, então
a soma de A+A¢ é igual a
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32. (Ufal 99) Dada uma matriz A, indica-se por A¢ a matriz inversa de A, por A a matriz
transposta de A e por det A o determinante de A.
(
) Se A é matriz do tipo 3x2 e B é matriz do tipo 2x4, então a matriz produto A.B é do tipo 2x2.
(
) Se A é uma matriz quadrada inversível então A¢.A=A.A¢.
(
) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e B=2.A, então o detB=4.detA.
(
) detA=detA
(
) A solução do sistema
ý3x-6y=12
þ
ÿ-x+2y=8, é o par (0, 0)
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33. (Ufal 2000) O elemento localizado na segunda linha e terceira coluna da matriz A = (a‹Š)ƒÖƒ
definida por
a‹Š = Ëi, se i < n
a‹Š = log n, se i = n
a‹Š = i¾, se i >n
é
a) 8
b) log 3
c) log 2
d) Ë3
e) Ë2
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34. (Ufc 2002) Uma matriz é dita singular quando seu determinante é nulo. Então os valores de
c que tornam singular a matriz
são:
a) 1 e 3
b) 0 e 9
c) - 2 e 4
d) - 3 e 5
e) - 9 e - 3
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35. (Uff 2001) Alessandra, Joana e Sônia vendem saladas prontas, contendo porções de
tomate, pimentão e repolho.
A matriz M fornece o número de porções de tomate, pimentão e repolho usadas na
composição das saladas.
A matriz N fornece, em real, o custo das saladas:
Sabendo-se que o determinante de M é não-nulo, obtém-se a matriz que fornece, em real, o
custo de cada porção de tomate, pimentão e repolho, efetuando-se a operação:
a) MN
b) NM¢
c) MN¢
d) M¢N
e) N¢M
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36. (Ufpi 2000) Considere as matrizes mostradas na figura adiante.
Podemos afirmar corretamente que:
a) A = B¢
b) det A = det B
c) AB = BA
d) det (AB) = 0
e) A = B£
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37. (Ufpr 2000) Dadas as matrizes A e B mostradas na figura adiante.
É correto afirmar:
(01) B . A = B
(02) Todos os elementos da matriz A + B são números ímpares.
(04) O conjunto formado pelos elementos da matriz A.B é igual ao conjunto formado pelos
elementos da matriz B.
(08) det(3 . A) = det(B)
(16) A matriz inversa de A é a própria matriz A.
Soma (
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)
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38. (Ufrn 2002) Dada a matriz M mostrada na figura adiante podemos afirmar que
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39. (Ufrn 2003) Considere as matrizes
Sabendo que a + 2c =1, b + 2d =0, 3a - c = 0 e 3b - d =1, podemos afirmar que
a) O produto MN é diferente da matriz identidade 2x2.
b) Det (N) = 0.
c) O sistema linear ýx + 2y = 1
þ
ÿ3x - y = 0 não tem solução.
d) N é a inversa de M.
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40. (Ufrrj 2001) Após o falecimento do saudoso Renato Russo, em 11/10/96, os fãs do Legião
Urbana começaram a ouvir as músicas da banda regravadas pelos mais diversos intérpretes
da MPB. Um desses fãs percebeu que, ao longo do tempo, três cantores, em cada um dos
seus três discos mais recentes, gravaram as mesmas três obras de Renato Russo, cada qual
uma vez. Não podendo comprar os nove CD's, o fã resolveu comprar três, um de cada cantor C1, C2 e C3 - contendo diferentes músicas - M1, M2 e M3. Após uma pesquisa nas lojas de um
"shopping", o fã verificou que os vários CD's poderiam ser encontrados a preços diferentes e
organizou a seguinte matriz de preços, em R$:
A partir da análise, verifica-se que
a) a compra poderá ser feita por R$ 33,00.
b) o máximo a ser gasto na compra é R$ 43,00.
c) o mínimo a ser gasto na compra é R$ 38,00.
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d) não é possível efetuar a compra por R$ 44,00.
e) não é possível encontrar o menor valor da compra.
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41. (Ufrs 2001) Considere o quadrado da Figura I e o paralelogramo da Figura II.
Se as coordenadas cartesianas (u,v) dos vértices do paralelogramo são obtidas das
coordenadas cartesianas (x,y) dos vértices do quadrado pelo produto matricial anterior, então
os valores de a, b, c e d são, respectivamente,
a) 1, 1, 2, 3
b) 0, -1, 2, -1
c) 0, -1, 2, 3
d) -1, -1, 2, 3 ou -1, -1, 2, -1
e) 0, -1, 3, -1 ou -1, 0, -1, 3
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42. (Ufsc 99) Sejam A, B e C matrizes. Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. Se A é uma matriz de ordem n, então det(kA)=k¾.detA, kÆR.
02. (A ) . A¢ = I
04. det (A + B) = det A + det B.
08. Se A é uma matriz de ordem n×m e B é de ordem m×k, então A+B é uma matriz de ordem
n×k.
16. A . B só é possível quando A e B forem matrizes de mesma ordem.
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43. (Ufsc 2001) Considere as matrizes, mostradas na figura adiante:
e determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. A matriz A é inversível.
02. (A.B) = B .A , onde A significa a matriz transposta de A.
04. O sistema homogêneo, cuja matriz dos coeficientes é a matriz A, é determinado.
08. A + C é a matriz nula de ordem 3.
16. A.C = C.A.
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44. (Ufu 99) Sejam A, B e C matrizes reais quadradas de ordem 3. Considere as seguintes
afirmações:
I - Se A=A e B=B , então AB = (AB) .
II - det(A+B)=detA+ detB.
III - Se AB=CB, então A=C.
IV - A£-B£=(A-B) (A+B).
A respeito dessas afirmações, assinale a alternativa correta.
a) Todas as afirmações são falsas.
b) Apenas a afirmação I é verdadeira.
c) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
d) Apenas a afirmação II é falsa.
e) Todas as afirmações são verdadeiras.
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45. (Ufv 2001) Seja a matriz a seguir:
x, y Æ IR, x·0, y·0.
Se det A=0, então é CORRETO afirmar que y/x é igual a:
a) 3
b) 2
c) - 1
d) 1
e) - 2
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46. (Unesp 2002) Considere três lojas, L, L‚ e Lƒ, e três tipos de produtos, P, P‚ e Pƒ. A matriz
a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de
dezembro. Cada elemento a‹Œ da matriz indica a quantidade do produto P‹ vendido pela loja LŒ,
i, j = 1, 2, 3.
Analisando a matriz, podemos afirmar que
a) a quantidade de produtos do tipo P‚ vendidos pela loja L‚ é 11.
b) a quantidade de produtos do tipo P vendidos pela loja Lƒ é 30.
c) a soma das quantidades de produtos do tipo Pƒ vendidos pelas três lojas é 40.
d) a soma das quantidades de produtos do tipo P‹ vendidos pelas lojas L‹, i=1,2,3, é 52.
e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P e P‚ vendidos pela loja L é 45.
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47. (Unesp 2003) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3.
Se
e B é tal que B¢=2A, o determinante de B será
a) 24.
b) 6.
c) 3.
d) 1/6.
e) 1/24.
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48. (Unifesp 2003) Uma indústria farmacêutica produz, diariamente p unidades do
medicamento X e q unidades do medicamento Y, ao custo unitário de r e s reais,
respectivamente. Considere as matrizes M, 1×2, e N, 2×1:
A matriz produto M×N representa o custo da produção de
a) 1 dia.
b) 2 dias.
c) 3 dias.
d) 4 dias.
e) 5 dias.
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49. (Ufes 2000) A equação matricial
a) tem infinitas soluções.
b) tem 4 soluções.
c) tem 2 soluções.
d) tem uma única solução.
e) não tem solução.
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50. (Ufpr 2001) Dadas as matrizes
é correto afirmar:
(01) O determinante de A nunca é negativo, qualquer que seja o valor de x.
(02) A - B = - A
(04) Sempre que o valor de x está no intervalo aberto (0, ™/2), a matriz A tem inversa.
(08) A matriz A . B é a transposta de A.
Soma (
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)
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GABARITO
1. a) m · 2/3
b) Observe a figura a seguir
2. 1) (A + I)¤ = A¤ + 3A£I + 3AI£ + I¤ =
= A¤ + 3A£ + 2A + A + I
Como A¤ + 3A£ + 2A = 0,
portanto (A + I)¤ = (A + I)
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2) Observe as matrizes a seguir:
O sistema apresentado é possível e indeterminado com as matrizes B e C.
3. Observe a matriz a seguir:
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4. a) 0, se n é par
-1, se n é ímpar
b) n = 11
5. Apresentamos um dos muitos exemplos:
6. Observe a figura a seguir:
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pag.53
7. Observe a figura a seguir
8. Observe as matrizes a seguir:
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9. a) det M = 0, logo M não é inversível.
b) M
c) M
10. a) Observe a figura a seguir:
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b) R$ 276,00
11. x · 1
12. [A]
13. [B]
14. [B]
15. [C]
16. [D]
17. [C]
18. [A]
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19. [B]
20. [E]
21. [A]
22. [C]
23. [A]
24. [D]
25. [E]
26. [B]
27. [B]
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28. [C]
29. [E]
30. [B]
31. [B]
32. F V V V F
33. [E]
34. [D]
35. [D]
36. [C]
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37. 02 + 04 + 08 + 16 = 30
38. [A]
39. [D]
40. [C]
41. [E]
42. 01 + 02 = 03
43. 02 + 08 + 16 = 26
44. [A]
45. [D]
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46. [E]
47. [E]
48. [B]
49. [D]
50. 01 + 04 = 05
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