MATEMÁTICA 1ª QUESTÃO A Prefeitura de certa cidade construiu, num parque, uma pista retangular ABCD para caminhadas, de forma que AB = 100 m e AD = 250 m. Deseja, então, fazer uma trilha retilínea AP, com P pertencente a BC, tal que o circuito ABPA seja exatamente a metade do comprimento total da pista retangular. Pede-se: a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule qual deve ser a distância BP para que o objetivo da Prefeitura seja alcançado. Resolução: O teorema de Pitágoras no triângulo ABP fornece AP = 10000 x2 Assim, 100 + x + metros. 10000 x2 = 350 ou x = 105 2ª QUESTÃO O bar do Paulão é abastecido com chopp proveniente de 6 máquinas, cada uma possuindo uma produção de 1.100 litros de chopp por mês. Paulão pretende aumentar o número de máquinas; porém, para cada máquina adicional comprada e integrada à linha de produção, estima-se que a produção por máquina diminui em 25 litros por mês, isso devido à disponibilidade de mão de obra e insumos utilizados. Por exemplo, com uma máquina adicional integrada, a vazão de cada uma das 7 máquinas fica em 1075 litros por mês. a) Calcule o tempo que as 6 máquinas iniciais levam para fornecer um volume de 17.600 litros de chopp. b) Dê a expressão da produção total mensal de chopp em função do número de máquinas adicionais integradas à linha de produção. c) Determine o número de máquinas adicionais a serem integradas de modo que a produção total seja a maior possível e calcule essa produção máxima. Resolução: a) 17600/6600= 2,66 MESES b) p(x)=(6+x)(1100-25x), , em que x é o número de máquinas adicionais inseridas na linha produção. c) Basta calcular o xv da função p(x): xv=-950/2(-25)= 19 unidades adicionais. O valor máximo de P(x) é o yv da função, yv=15625 litros 1 3ª QUESTÃO 9x Considere as matrizes A a 0 16 y 4 3x ,B 1 b 1 42y 1 2 1 1 e C 27 b 13 2y 1 2 6 10 c . Calcule: a) 6B. b) A soma dos quadrados das constantes x, y, a, b e c que satisfazem a equação matricial A 6B C é? Resolução: 6 3 a) 6B 9x b) 4 9x x 6b 6 6 6 42y 1 3 a 0 16 y 6 3x 1 6b 6 6 3x 6 4 1 27 6 2 10 13 6 2y 1 b 4 13 2y 1 b 3 6 6 42y 27 6 2y 1 a 6b 16 y 2 , 2 10 c c . Igualando os termos correspondentes, segue que: b 2, c 4 e a 6b 13 a 1. Além disso, 9x 6 3x (3 x )2 27 (3 x 3 x 2 3 3x 3)2 x 27 36 6 3 2 e 16y 6 42y 1 22y 1 10 (22y )2 22y 22y y 1 2 9 2 22y 2 20 81 4 1 2 1. Portanto, a soma pedida é: x2 y2 a2 b2 c2 22 12 12 ( 2)2 ( 4)2 26. 4ª QUESTÃO Diogo precisa que sua mulher, Cristina, retire dinheiro no caixa eletrônico e manda entregar-lhe o cartão magnético, acreditando que ela saiba qual é a senha. Cristina, entretanto, recorda que a senha, composta de seis algarismos distintos, começa por 75 (os dois algarismos finais indicativos do ano em que se casou com Diogo); lembra, ainda, que o último algarismo da senha é ímpar. Determine o tempo máximo necessário (horas e minutos) para Cristina descobrir a senha da conta de Diogo, caso ela gaste 20 segundos no teste de cada uma das possíveis senhas. Resolução: 2 Considerando N a o número máximo de possíveis senhas correspondentes às condições do enunciado, teremos: Na 1 1 7 6 5 3 Na 630 Como em cada teste de uma possível senha são gastos 20 segundos, o tempo máximo (T) para que se encontre a senha correta será: T 20 630 T 12 600 segundos 12 600 T T 3 , 5 horas 3 600 Resposta: a) 3,5 horas. 5ª QUESTÃO Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na margem oposta, ele identificou dois pontos B ˆ ˆ e C, na margem na qual se encontra tais que os ângulos ABC e ACB medem 135° e 30°, respectivamente. O topógrafo, então, mediu a distância entre B e C, obtendo 20 metros. Considerando-se o exposto: Dado: 3 1,7. a) Faça uma figura ilustrativa do problema b) Calcule a largura do rio Resolução: a) Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC. 180 b) Como ABC 135 , segue que ABH ABC isósceles. Logo, AH HB. Do triângulo AHC, obtemos tg ACB AH HB BC AH tg30 3 3 AH AH 20 AH AH 20 20 3 3 3 AH 10( 3 1) AH 27 m. 3 45 e, portanto, o triângulo ABH é retângulo