FÍSICA – 12.º ANO
Leis de kepler
Lei da Gravitação Universal
ANO LECTIVO 2012/2013
Ficha de Trabalho 9
1. Um planeta descreve uma órbita elíptica em torno do Sol.
Em 3 de Janeiro, a Terra está no periélio (inverno no hemisfério Norte, verão no
hemisfério Sul), à distância mínima de 147x106 km do Sol, e em 3 de Julho está
no afélio, à distância máxima de 152 x 106 km do Sol.
Em qual dos dois hemisférios é maior a duração do verão ? Justifica.
2. Verifica a 3ª lei de Kepler para três dos satélites de Júpiter.
Satélite
lo
Europa
Ganimedes
Callisto
Período de revolução
(em horas)
Distância média ao centro de
Júpiter (em raios de Júpiter)
42,47
6,049
85,23
171,72
400,53
9,623
15,763
26,998
3. Três satélites artificiais A, B e C, encontram-se em órbita circular em torno da Terra. Os raios das órbitas de
A e B são iguais, enquanto que C se encontra mais afastado da Terra. Supondo que mA > mB > mC:
a) O período de A é maior, menor ou igual ao de B ?
b) O período de C é maior, menor ou igual ao de A ?
4. A distância média de Marte ao Sol é 1,52 vezes a distância média da Terra ao Sol.
Calcula a duração do ano marciano.
5. Conforme foi visto nas aulas, Newton obteve a sua lei de Gravitação Universal apoiando-se nas leis de
Kepler. For referido também que Newton mostrou ser possível obter as leis de Kepler a partir da lei de
Gravitação Universal. Seguindo as orientações dadas abaixo, poderás verificar como se obtém a 3º. lei de
Kepler (supondo órbitas circulares), teoricamente, a partir das leis de Newton.
a) Lembrando que a velocidade de um planeta de massa m, em uma órbita de raio r e período T, pode ser
escrita sob a forma
v=
função de m, r e T.
2π r
, obtém uma expressão para a força centrípeta que actua no planeta em
T
b) Sendo esta força centrípeta a força de atracção gravitacional do Sol sobre o planeta, ela é dada
por
F =G
Mm
F, onde M é a massa do Sol. Determina o valor da relação T2/r 3.
r2
c) De que grandezas depende a relação T2/r 3? O seu valor é o mesmo para todos os planetas que giram
em torno do Sol?
6- A partir da solução do exercício anterior, poder-se-á concluir que a relação T2/r 3 para o movimento da
Lua em torno da Terra, seria igual à relação T2/r 3 para:
a) o movimento de Júpiter em torno do Sol?
b) o movimento de um satélite artificial da Terra?
7 A balança de Cavendish, ao permitir obter o valor da constante universal G, abriu as portas à determinação
da massa do Sol e dos planetas. Por isso ficou conhecida como balança pesa-mundos.
Determina a massa do Sol a partir dos seguintes dados:
raio médio da órbita terrestre (considera-se circular): r = 1,494 x 10"m;
período de revolução da Terra: T = 365,25 d;
constante de gravitação: G = 6,67x 10-11Nm2kg -2
8. No dia 17 de Julho de 1975 a cápsula soviética Soyuz 19 e a cápsula americana Apolo atracaram a 225 km
de altitude, tendo os respectivos astronautas confraternizado durante algum tempo.
a) Qual é o valor da aceleração da gravidade àquela altitude?
b).Qual foi a velocidade aproximada com que as cápsulas, quando ligadas, gravitaram em torno da Terra?
c) Qual era o período de revolução das cápsulas ligadas?
(rT = 6,37 X 106 m; go = 9,80 ms-2)
9.
a) Determina o valor aproximado da aceleração de um satélite (A) que gravita em órbita circular à volta da
Terra a uma altitude igual a três vezes o raio terrestre (go = 9,8 ms- 2).
.
b). 0 período deste satélite será igual ou inferior ao de outro satélite (B) que gravita a uma altitude igual a
cinco vezes o raio terrestre? Justifica.
c) Determina a relação entre as velocidades dos satélites (vA/vB).
10. Um satélite geoestacionário, utilizado em transmissão TV via satélite, permanece fixo no plano equatorial
da Terra, relativamente a esta. O seu período de revolução é, pois, T = 24 horas = 8,6x 10 4 s.
Determina a altitude h a que o satélite gravita.
(G=6,672x10 - 1 1 Nm 2 kg - 2 ;
M T =5,976x10 2 4 kg;
R T =6,371x10 6 m)
11 - A experiência de Cavendish foi repetida, recentemente, usando-se, como massas atractivas, uma
garrafa d'água (m1 = 0,75 kg) e um saco de areia (m2 = 12 kg), distanciadas de 25 cm. Nesta montagem, foi
possível perceber, claramente, o deslocamento sofrido pela garrafa, devido à força de atracção gravitacional
do saco de areia. Para ficares com uma ideia dos cuidados requeridos na montagem desta experiência,
calcule a ordem de grandeza:
a) da força gravitacional entre a garrafa e o saco de areia;
b) da aceleração que esta força tende a produzir na garrafa.
12. Dois corpos de massa igual são atraídos por forças de módulo igual, F .
Quais serão os módulos das forças que actuam nos aglomerados de dois e
quatro corpos iguais aos primeiros?
(A) 2F e 4F
(C) 4F e 4F
(B) 4F e 2F
(D) 4F e 8F
(E) 8F e 8F
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13-. Um objeto, colocado em um certo ponto P entre a Terra e a Lua, fica em
equilíbrio sob a acção das forças de atracção da Terra e da Lua sobre ele.
a) Sabendo-se que a massa da Terra é 81 vezes maior do que a massa da Lua,
determine a relação entre as distâncias r T e rL mostradas na figura.
b) Qual o movimento que o objecto adquiriria se fosse abandonado no ponto
A? E se fosse abandonado no ponto B?
14. Galileu descobriu o satélite Io de Júpiter e determinou o respectivo período: 1,77 dias. Sendo 4,22x108 m a
distância deste satélite ao centro de Júpiter, determina a massa deste planeta (G=6,672x10-11 Nm2kg-2).
15. O telescópio Hubble encontra-se a 600 km de altitude, acima da superfície da Terra
( G=6,672x10-11 Nm2kg-2 ; MT=5,976x1024 kg; RT=6,371x106 m).
a) Qual é a sua velocidade?
b) Qual é o período do seu movimento de translação?
16. O módulo da força de atração da Terra sobre um corpo diminui quando aumenta a distância ao centro da
Terra, o mesmo acontecendo ao módulo da energia potencial gravítica.
a) Para que um corpo veja o seu peso reduzido a um nono do seu valor à superfície da Terra, a que altura
deverá subir?
b) Quanto se reduziria, em relação ao seu valor à superfície da Terra, o módulo da energia potencial
gravítica no caso da alínea a) .
17. Pretende-se elevar um satélite, desde a superfície da Terra, até uma altitude igual a metade do raio da
Terra. Calcula:
a) A energia que é necessário fornecer-lhe à partida para que ele atinja essa altitude.
b) A energia que é necessário fornecer-lhe à partida para que ele atinja essa altitude e aí fique em órbita.
c) A energia mecânica total do satélite, nas condições da alínea b).
d) A velocidade orbital.
18. a) Calcula o valor mínimo da velocidade que é necessário imprimir a um corpo (velocidade de escape),
apenas sujeito às forças gravitacionais, inicialmente à superfície da Terra, para que este se possa
libertar da atracção do planeta
b) Calcula a que distância da Terra se encontra um satélite estacionário.
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RESPOSTAS
1.
No hemisfério Norte, pois no afélio (verão) a velocidade da Terra é menor (Lei das áreas)
2.
verificar que :
42,47 2
85,23 2
=
= ...
(6,049 R J ) 3 (9,623R J ) 3
3.
a)igual
b) maior
4. 687 d
F=
5. a)
4π 2 mr
T2
6. a) não
7.
1,98x1030 kg
8.
a) 9,16 m/s2
b)
T 2 4π 2
=
r 3 GM
c) Apenas da massa do Sol; Sim.
b) sim.
b) 7,8x103 m/s = 7,8 km/s
Nota: Para pontos próximos da superfície da Terra ( r
9.
a) 0,61 m s-2
10.
3,58x104 km
11. a) 10-8 N
12.
E
13.
a)
14.
2,01x1027 kg
16. a) 2
b)
1
3
b)
2 MT m
G
3
rT
MT m
3rT
18. a) 11,2 km/s
c) 1,2
b) acelerado para a Terra; acelerado para a Lua.
b) 5789 s=5,79x103 s=1h 36min
G
Mm
=
mg 0
rT2
b) 10-8 m s-2
15.a) 7,56 x103 m/s
17. a)
≈ rT ): Fg =
mg 0 ⇔ G
b) maior r → maior T (3ª lei Kepler)
rT
=9
rL
rT
c) T= 5,33x103 s = 88 min 50 s
c)
−G
MT m
3rT
d)
2 MT
G
3 rT
b) 3,58x107 m acima da superfície terrestre
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