PR
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS DE CURITIBA
DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
E DE MATERIAIS - PPGEM
RUBEM MATIMOTO KOIDE
ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS
APLICADO À OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS
COMPOSTOS LAMINADOS
CURITIBA
FEVEREIRO – 2010
RUBEM MATIMOTO KOIDE
ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS
APLICADO À OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS
COMPOSTOS LAMINADOS
Dissertação apresentada como requisito parcial
à obtenção do título de Mestre em Engenharia,
do
Programa
de
Pós-Graduação
em
Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de
Concentração em Mecânica dos Sólidos e
Vibrações, do Departamento de Pesquisa e
Pós-Graduação, do Campus de Curitiba, da
UTFPR.
Orientador: Prof. Marco A. Luersen, Dr. Eng.
CURITIBA
FEVEREIRO – 2010
TERMO DE APROVAÇÃO
RUBEM MATIMOTO KOIDE
ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS
APLICADO À OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS
COMPOSTOS LAMINADOS
Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia,
área de concentração em Mecânica dos Sólidos e Vibrações, e aprovada em sua
forma final pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de
Materiais.
_________________________________
Prof. Giuseppe Pintaúde, Dr. Eng.
Coordenador de Curso
Banca Examinadora
______________________________
_________________________________
Prof. Marco Antônio Luersen, Dr. Eng.
(UTFPR)
Prof. Pablo Andrés Muñoz-Rojas, Dr. Eng.
(UDESC)
______________________________
_________________________________
Prof. Jucélio Tomás Pereira, Dr. Eng.
(UTFPR)
Prof. Lauro César Galvão, Dr. Eng.
(UTFPR)
Curitiba, 23 de fevereiro de 2010
iii
Dedico este trabalho a Deus que é a fonte
de toda criação.
Aos meus pais Masaaki Koide e Fugico
Matimoto Koide que iniciaram minha
educação.
À minha esposa Ângela R. Kampa M.
Koide e meu filho Rubem Kenzo Kampa
Koide pelo apoio e compreensão.
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por tornar tudo possível.
Agradeço a minha família, em especial minha esposa Ângela, pelo incentivo, pela
compreensão e apoio durante o curso.
Ao professor e orientador Marco Antonio Luersen por auxiliar na conquista deste
desafio.
Aos professores do PPGEM por transmitirem seus conhecimentos.
Ao PPGEM e CITEC/LAMES pela infraestrutura e administrações disponibilizadas.
À centenária UTFPR pela infraestrutura física e administrativa.
Aos colegas do LAMES ao compartilhar as idéias e pela amizade.
Ao colega Gustavo Von Zeska de França pela colaboração na programação em
MATLAB.
À Capes por proporcionar os recursos para a pesquisa.
v
“Vá em frente, que a fé virá até você.”
Conselho dado por D’Alembert a Laplace
vi
KOIDE, Rubem Matimoto, Algoritmo de colônia de formigas aplicado à
otimização de materiais compostos laminados, 2010, Dissertação (Mestrado em
Engenharia) - Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais,
Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 113 p.
RESUMO
O algoritmo de colônia de formigas é uma heurística que foi formulada na
década de 1990 por Marco Dorigo. A idéia foi inspirada no comportamento de
formigas reais, relacionada às suas habilidades em encontrar o caminho mais curto
entre o ninho e o alimento. Esta busca é efetuada através da exploração das trilhas
de feromônio, substância química depositada pelas formigas durante seu percurso.
Devido a este comportamento cooperativo e eficaz de busca, elas vão construindo
alternativas melhores no caminho para encontrar o alimento. Este comportamento foi
então simulado em algoritmos de otimização, conhecidos como otimização com
colônia de formigas (ACO, do inglês Ant Colony Optimization). Assim, esta
dissertação tem por objetivo estudar e aplicar o método de colônia de formigas à
otimização de materiais compostos laminados. Tais materiais são formados pelo
empilhamento de lâminas, sendo que uma lâmina é composta por uma matriz,
geralmente polimérica, reforçada por fibras. Normalmente sua otimização está
relacionada às melhores configurações dos ângulos de orientação das lâminas, e
consequentemente das fibras. A variante Ant Colony System (ACS) é implementada
na plataforma Matlab e aplicada a problemas de otimização de placas compostas
laminadas como a maximização da resistência, a minimização do peso, a
minimização do custo e a maximização da frequência fundamental. Este último
problema foi também resolvido com uma interface com o programa de elementos
finitos ABAQUS, possibilitando assim a otimização de problemas cuja resposta
estrutural não possui solução analítica. Os testes numéricos realizados indicam que
o método é competitivo, em relação às outras técnicas encontradas na literatura,
para a otimização de materiais compostos laminados.
Palavras-chave: Otimização com colônia de formigas, Meta-heurística, Materiais
compostos laminados.
vii
KOIDE, Rubem Matimoto, Ant colony optimization applied to laminated
composite materials, 2010, Thesis (Master in Engineering) - Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica
Federal do Paraná, Curitiba, 113 p.
ABSTRACT
The ant colony algorithm is a heuristic formulated in the decade of the 1990s by
Marco Dorigo. The idea was inspired by the behavior of real ants, related to their
ability to find the shortest path between the nest and the food. This search is run by
exploiting pheromone trails, a chemical substance deposited by the ants during their
journey. Due to this cooperative behavior and effective search, they build better
alternatives on the path to find food. This behavior was then simulated in optimization
algorithms, called Ant Colony Optimization (ACO). Thus, this dissertation aims to
study and apply the ant colony method to the optimization of laminated composite
materials. This kind of material is made by stacking plies where each ply is
composed by a usually polymeric matrix, reinforced by fibers. Usually, its optimization
is related to the best settings of the orientation angles of the plies, and consequently
the fibers. The variant Ant Colony System (ACS) is implemented and applied to
laminated composite plate problems, such as the maximization of the strength, the
minimization of the cost and the maximization of the fundamental frequency. This last
problem was also solved using an interface with the finite element program ABAQUS,
allowing the optimization of problems without analytical solution for the structural
response. The numerical tests carried out indicate that the method is competitive
compared to other techniques found in the literature for optimization of composite
laminates materials.
Keywords: Ant colony optimization, Meta-heuristic, Laminated composite materials.
viii
SUMÁRIO
RESUMO.................................................................................................................... vi
ABSTRACT ............................................................................................................... vii
LISTA DE FIGURAS .................................................................................................. xi
LISTA DE TABELAS .................................................................................................xiii
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS .................................................................... xv
LISTA DE SÍMBOLOS.............................................................................................. xvi
1
INTRODUÇÃO......................................................................................................1
1.1
Considerações Gerais ............................................................................................................. 1
1.2
Objetivos e Organização do Trabalho ..................................................................................... 2
2
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................4
2.1
Otimização e Problemas de Otimização.................................................................................. 4
2.2
Otimização Estrutural de Materiais Compostos....................................................................... 5
2.3
Algoritmo de Colônia de Formigas Aplicado a Materiais Compostos Laminados................. 10
3
CONCEITOS DA MECÂNICA DOS MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS .13
3.1
Definições e Generalidades................................................................................................... 13
3.2
Comportamento Macromecâmico de uma Lâmina................................................................ 16
3.3
Comportamento Macromecânico dos Laminados via Teoria Clássica dos Laminados ........ 21
3.4
3.5
3.6
4
3.3.1
Tensões e Deformações em Laminados .......................................................................... 22
3.3.2
Forças e Momentos Resultantes no Laminado ................................................................ 25
Critérios de Falha................................................................................................................... 30
3.4.1
Teoria da Máxima Tensão ................................................................................................ 30
3.4.2
Teoria da Máxima Deformação ........................................................................................ 31
3.4.3
Teoria de Tsai-Hill............................................................................................................. 31
3.4.4
Teoria de Hoffman ............................................................................................................ 32
3.4.5
Teoria de Tsai-Wu ............................................................................................................ 32
Frequência Natural e Carga Crítica de Flambagem de Laminados ...................................... 32
3.5.1
Frequência Natural ........................................................................................................... 33
3.5.2
Carga de Flambagem ....................................................................................................... 34
Alguns Aspectos sobre o Projeto de Compostos Laminados................................................ 35
ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS .....................................................38
ix
4.1
4.1.1
Algoritmo Ant System - AS ............................................................................................... 42
4.1.2
Algoritmos de Otimização de Colônia de Formigas (ACO) .............................................. 44
4.2
Aplicações da Técnica de Otimização de Colônia de Formigas ........................................... 49
4.3
Ant Colony System (ACS) Aplicado a Materiais Compostos Laminados .............................. 50
4.4
ACO Associado ao Método dos Elementos Finitos (ABAQUS) ............................................ 58
5
6
Origem dos Algoritmos de Colônia de Formigas ................................................................... 38
RESULTADOS NUMÉRICOS E DISCUSSÃO ...................................................61
5.1
Caso 1 - Maximização do Fator Crítico de Carga.................................................................. 61
5.2
Caso 2 - Minimização do Peso com Restrição na Carga de Flambagem para Laminado
Híbrido.................................................................................................................................... 69
5.3
Caso 3 - Minimização do Custo com Restrição na Carga de Flambagem e no Peso para
Laminado Híbrido................................................................................................................... 72
5.4
Caso 4 - Maximização da Frequência Fundamental de Placas Retangulares...................... 75
5.5
Maximização da Frequência Fundamental de Placas Quadradas e Retangulares com um
Furo Central ........................................................................................................................... 79
5.5.1
Caso 5 - Placa Quadrada com Furo Central .................................................................... 80
5.5.2
Caso 6 - Placa Retangular com Furo Central................................................................... 82
CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ....................85
PRODUÇÃO CIENTÍFICA NO PERÍODO (Março 2008 – Fevereiro 2010)...............87
REFERÊNCIAS.........................................................................................................88
APÊNDICE A – PRINCIPAIS ALGORITMOS de COLôNIA DE FORMIGAS ............95
APÊNDICE B – FLUXOGRAMA DO ALGORITMO ACO APLICADO AOS
MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS...............................................................100
APÊNDICE
C
–
MODOS
DE
VIBRAÇÃO
FUNDAMENTAL
DE
PLACAS
APRESENTADAs NAS SEÇÕES 5.4 E 5.5 ............................................................101
ANEXO A – TEORIA DOS GRAFOS ......................................................................105
A. INTRODUÇÃO..................................................................................................105
A.1
Definição .............................................................................................................................. 105
A.2
Representação do Grafo...................................................................................................... 106
A.3
Exemplo do Grafo ................................................................................................................ 106
A.4
Algumas Definições e Características dos Grafos .............................................................. 106
A.4.1
Grafo Simples ................................................................................................................. 106
x
A.4.2
Peso do Grafo................................................................................................................. 106
A.4.3
Grafo Direcionado........................................................................................................... 107
A.4.4
Circuito Euleriano............................................................................................................ 107
A.4.5
Grafo Euleriano............................................................................................................... 107
A.4.6
Ciclo Hamiltoniano .......................................................................................................... 108
A.4.7
Grafo Hamiltoniano ......................................................................................................... 108
A.4.8
Grafo Bipartido................................................................................................................ 108
A.4.9
Grafo Valorado................................................................................................................ 109
A.5
Grafo Aleatório ..................................................................................................................... 109
A.6
Teorias de Probabilidade Estocástica ................................................................................. 110
A.6.1
Probabilidade Condicional .............................................................................................. 110
A.6.2
Fórmula da Probabilidade Total...................................................................................... 110
A.6.3
Fórmula de Bayes........................................................................................................... 110
GLOSSÁRIO ...........................................................................................................112
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.1 - Material composto laminado. .................................................................14
Figura 3.2 - Sistema de coordenadas principais do material.....................................16
Figura 3.3 - Sistemas de coordenadas x-y e 1-2.......................................................20
Figura 3.4 - Deformação de um laminado segundo a TCL........................................23
Figura 3.5 - Geometria e definição das coordenadas ao longo das camadas do
laminado.............................................................................................................26
Figura 3.6 - Representação do sentido positivo das forças e momentos resultantes
no laminado........................................................................................................27
Figura 3.7 - Acoplamentos dos termos das matrizes constitutivas............................29
Figura 3.8 - Placa retangular sujeita a carregamentos compressivos. ......................35
Figura 4.1 - Experimento da ponte dupla para trilha de formigas..............................39
Figura 4.2 - Formação da trilha de feromônio na busca do alimento. .......................40
Figura 4.3 - Pseudocódigo do algoritmo ACO. ..........................................................45
Figura 4.4 - Representação de ACO aplicado a material composto laminado. .........51
Figura 4.5 - Representação esquemática do grafo para um laminado de 4 lâminas e
3 opções de orientações (0°, 45° ou 90°)...........................................................54
Figura 4.6 - Exemplo do grafo para um laminado [0, 45, 90,45]................................55
Figura 4.7 – Exemplo de grafo para um laminado híbrido [ 45mat1 , 0mat 2 , 0mat1 , 90mat 2 ]. .56
Figura 4.8 - Pseudocódigo do ACO aplicado a material composto laminado............57
Figura 4.9 - Pseudocódigo para a busca local. .........................................................58
Figura 4.10 - Fluxograma da integração do ACO, desenvolvido em Matlab, com o
ABAQUS. ...........................................................................................................60
Figura 5.1 - Placa quadrada com furo de diâmetro D . .............................................80
Figura 5.2 - Malha da placa quadrada com furo de diâmetro D = 0,08 m................81
xii
Figura 5.3 - Primeiro modo de vibração da placa quadrada com furo de diâmetro D
= 0,08 m. ............................................................................................................82
Figura 5.4 - Primeiro modo de vibração da placa retangular com furo de diâmetro D
= 0,06 m. ............................................................................................................84
Figura A.1 - Exemplo de grafo.................................................................................105
Figura A.2 - Exemplo de grafo direcionado. ............................................................107
Figura A.3 - Exemplo de grafo Euleriano (As pontes de Königsberg). ....................107
Figura A.4 - Exemplo de grafo bipartido. .................................................................108
xiii
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 - Influência dos parâmetros no projeto de compostos laminados (HAFTKA
e GÜRDAL, 1992). ...............................................................................................7
Tabela 3.1 - Número de possíveis soluções em função da quantidade de lâminas e
de orientações....................................................................................................37
Tabela 3.2 - Número de possíveis soluções em função da quantidade de lâminas e
de materiais........................................................................................................37
Tabela 4.1 - Correspondência entre a natureza e o ACO. ........................................41
Tabela 4.2 - Parâmetros para o ACS. .......................................................................49
Tabela 4.3 - Representação do ACO aplicado a materiais compostos laminados. ...52
Tabela 5.1 - Propriedades da lâmina de grafite/epóxi. ..............................................63
Tabela 5.2 - Cargas aplicadas no laminado. .............................................................63
Tabela 5.3 - Caso 1: Comparação de resultados entre ACO (presente trabalho) x
ACO de AYMERICH e SERRA (2008)* para o carregamento 2. .......................64
Tabela 5.4 - Ótimos práticos para o carregamento 1 (KOGISO et al., 1994a). .........65
Tabela 5.5 - Ótimos práticos para o carregamento 2 (KOGISO et al., 1994a). .........65
Tabela 5.6 - Ótimos práticos para o carregamento 3 (KOGISO et al.,1994a). ..........66
Tabela 5.7 – Parâmetros adotados nos testes do caso 1 com ACO. ........................67
Tabela 5.8 - Comparação do desempenho sem busca local do ACO x AG..............68
Tabela 5.9 - Comparação do desempenho com busca local do ACO x AG..............68
Tabela 5.10 - Propriedades das lâminas. ..................................................................69
Tabela 5.11 - Valores mínimos para o fator crítico de flambagem e cargas aplicadas
no laminado........................................................................................................70
Tabela 5.12 - Caso 2: Comparação ACO (presente trabalho) x AG (GIRARD, 2006).
...........................................................................................................................72
xiv
Tabela 5.13 - Valor mínimo para o fator crítico de flambagem e cargas aplicadas no
laminado.............................................................................................................73
Tabela 5.14 - Caso 3: Comparação ACO (presente trabalho) x AG (GIRARD, 2006).
...........................................................................................................................75
Tabela 5.15 - Características da placa de laminado. ................................................76
Tabela 5.16 - Propriedades do grafite/epóxi. ............................................................77
Tabela 5.17 - Caso 4: Sequência ótima de empilhamento de placa retangular. .......77
Tabela 5.18 - Caso 4: Sequência ótima de empilhamento de placa retangular obtida
via ACO/ABAQUS. .............................................................................................79
Tabela 5.19 - Caso 5: Sequência de empilhamento ótima da placa quadrada com
furo com ACO/ABAQUS.....................................................................................81
Tabela 5.20 - Sequência de empilhamento da placa retangular com furo com
ABAQUS. ...........................................................................................................83
Tabela 5.21 - Caso 6: Sequência ótima de empilhamento da placa retangular com
furo (ACO/ABAQUS). .........................................................................................83
xv
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ACO
- Ant Colony Optimization
ACOR
- Ant Colony Optimization for Contínuos Domains
ACS
- Ant Colony System
AF
- Avaliação da Função Objetivo
AG
- Algoritmo Genético
AS
- Ant System
ASRANK
- Rank – Based Ant System
CAE
- Computer Aided Design, Módulo do ABAQUS, extensão do
nome do arquivo
C-E
- Carbono-Epóxi
DP
- Desvio Padrão
MATLAB®
- MATrix LABoratory - Programa de computação científica
MCLACA
- Multi City-Layer Ant Colony Algorithm
MCLACAW1
- Multi City-Layer Ant Colony Algorithm Without Interchange
ME
- Média
MEF
- Método dos Elementos Finitos
MMAS
- MAX-MIN Ant System
PSO
- Particle Swarm Optimization
S-ACO
- Simple Ant Colony Optimization
SIMPLE-ACO
- Simple Ant Colony Optimization
TCL
- Teoria Clássica dos Laminados
U
- Unidade Monetária
V-E
- Vidro-Epóxi
xvi
LISTA DE SÍMBOLOS
a
A
- Comprimento do laminado
- Conjunto das arestas dos nós do grafo
Aij
- Matriz de rigidez extensional
Amn
- Coeficientes da série de Fourier da frequência natural
b
- Largura do laminado
Bij
- Matriz entre flexão e membrana de acoplamento
C
- Conjunto dos componentes
C bs
- Comprimento do circuito da melhor solução da iteração
Cij
- Coeficientes da matriz constitutiva do material
C nn
- Comprimento do circuito
D
- Diâmetro
Dij
- Componentes da matriz de flexão
e
- Espessura da lâmina
E
- Módulo de Young (Subseção 3.2)
- Conjunto de arestas ou pares de vértices (Subseção A.1)
f
- Função a ser minimizada
fBL
- Solução gerada com a rotina de busca local
fmin
- A melhor solução da iteração
f(x)
- Função objetivo
f*
- A melhor solução
Fs
- Fator de segurança
F( x )
- Função penalizada
F12
- Coeficiente de acoplamento do critério de Tsai_Wu
g
- Aceleração da gravidade
g j( x )
- Funções de restrições de desigualdade
g min
- Soma mínima da restrição
g soma
- Soma das restrições
xvii
g( x )
- A restrição
g1
- Restrição para λcb
g2
- Restrição para W
G
- Módulo de cisalhamento
G( n )
- Grafo aleatório com n vértices
G( N , A )
- Grafo dos nós N e arestas A
h
- Espessura do laminado
hi ( x )
- Funções de restrições de igualdade
J
- Variável randômica selecionada pela probabilidade pijk
k
- Índice que indica o número da camada de laminado (Subseção 3.3.1)
l
- Formiga (Subseção 4.1.1)
- Candidato do conjunto de soluções
m
- Material da lâmina (Seção 3.1)
- Modo de vibração da frequência natural (Subseção 3.5.1)
- Quantidades de formigas artificiais do ACS (Subseção 4.1.2.1)
mat k
- Material correspondente a cada par de lâmina
Mx
- Momento fletor resultante proveniente da distribução de tensões na
direção x
M xy
- Momento torsor resultante em relação ao plano xy
My
- Momento fletor resultante proveniente da distribuição de tensões na
direção y
- Número de lâminas do laminado (Seção 3.1)
n
- Modo de vibração da frequência natural (Subseção 3.5.1)
- Número de pontos no circuito das formigas (Subseção 4.1.2.1)
- Número de pares de lâminas (Seção 5.1)
ne
- Número de restrições de igualdade
ng
- Número de restrições de desigualdade
N
- Conjunto de nós do grafo (Subseção 4.1)
- Unidade de medida de força Newton (Seção 5.1)
Ν ik
- Conjunto das soluções das k -ésimas formigas
NI
- Número de iterações
NL
- Número total de lâminas
xviii
Nx
- Força resultante (por unidade de comprimento) na direção x
Ny
- Força resultante na direção y
N xy
- Força cisalhante resultante em relação ao plano xy
p
- Meia onda na direção x na equação para modo de flambagem
- Probabilidade da formiga k escolher o próximo nó j estando no nó
pijk
i
P ( A)
- Probabilidade de ocorrência do evento A
P ( B)
- Probabilidade de ocorrência do evento B
P ( A / B ) - Probabilidade condicional de A dado B
P (n)
- Propriedade do grafo aleatório
- Meia onda na direção y na equação para modo flambagem
(Subseção 3.5.2)
- Variável randômica entre 0 e 1 (Subseção 4.1.2.1)
q
q
q0
- Parâmetro do ACS que indica a probabilidade do melhor movimento
( 0 ≤ q0 ≤ 1)
Q
- Matriz constitutiva reduzida
Qij
- Componentes da matriz constitutiva reduzida nas direções principais
do material
Q ij
- Componentes da matriz constitutiva reduzida em direções quaisquer
ℜn
- Conjunto dos números reais n -dimensional
s*
- Solução ótima
S
- Domínio das variáveis da função objetivo (Seção 2.1)
- Matriz de complacência (Subseção 3.2)
- Resistência mecânica ao cisalhamento no plano 1-2 (Subseção
3.4.1)
Sij
- Coeficientes da matriz de complacência
S12
- Tensão cisalhante no plano 1, 2
Sε
- Deformação máxima cisalhante de falha
t
- Tempo
T
u
bs
- Conjunto com as melhores soluções das iterações
- Deslocamento na direção x
xix
uc
- Deslocamento u no ponto c
u0
- Deslocamento na direção x no plano médio da placa
U
- Unidade monetária
v
- Deslocamento na direção y
v0
- Deslocamento na direção y no plano médio da placa
V
- Conjunto de vértices ou nós do grafo
V1
- Subconjunto de vértices ou nós do grafo do conjunto V
V2
- Subconjunto de vértices ou nós do grafo do conjunto V ( V 1 ≠ V 2 )
w
- Deslocamento na direção z
w0
- Deslocamento na direção z no plano médio da placa
W
- Peso do laminado
Wmax
- Peso máximo do laminado
X
- Resistência na direção longitudinal às fibras
- Conjunto das soluções (Seção 4.3)
X
- Conjunto das soluções factíveis
Xc
- Resistência mecânica em compressão da lâmina na direção
longitudinal às fibras
x, y
- Deformação de falha à compressão da lâmina na direção longitudinal
das fibras
- Deformação de falha à tração da lâmina na direção longitudinal das
fibras
- Resistência mecânica em tração da lâmina na direção longitudinal às
fibras
- Coordenadas do plano x, y
Y
- Resistência na direção transversal às fibras
Yc
- Resistência mecânica em compressão na direção transversal
Yεc
- Deformação de falha à compressão da lâmina na direção transversal
às fibras
- Deformação de falha à tração da lâmina na direção transversal às
fibras
X εc
X εt
Xt
Yεt
Yt
- Resistência mecânica em tração na direção transversal
z
- Direção perpendicular ao plano x, y (Seção 3.3)
- Índice da sequência de empilhamento das lâminas (Subseção 3.3.2)
zc
- Deslocamento na direção z do ponto c
zk
- Espessura da lâmina k
xx
zk −1
- Espessura da lâmina k − 1
z0
- Espessura do laminado no ponto inicial
1,2
- Coordenadas do plano 1, 2
%
- Comentário no pseudocódigo
α
- Parâmetro de controle de influência de feromônio (Seção 2.3)
- Parâmetro de controle de influência de feromônio do AS (Subseção
4.1.1)
β
γ
- Ângulo, declive do laminado após deformação (Subseção 3.3.1)
- Parâmetro de controle da informação heurística do AS (Subseção
4.1.1)
- Parâmetro de controle da informação heurística do ACS (Subseção
4.1.2.1)
- Deformação cisalhante
γk
- Deformação cisalhante na direção principal da k -ésima lâmina
γ xy
- Deformação cisalhante no plano x, y
γ 0xy
- Deformação cisalhante xy no plano médio da placa
γ xz
- Deformação cisalhante em relação ao plano x,z
γ yz
- Deformação cisalhante em relação ao plano y,z
γu
- Deformação cisalhante admissível de falha
γ12
- Deformação cisalhante no plano 1,2
Δb
- Valor de bonificação
Δg
- Fator de relaxamento
Δp
- Valor de penalização
Δτ k
- Quantidade de feromônio a depositar pela formiga k
Δτ ijbs
- Quantidade de feromônio para a melhor solução da iteração
εj
- Componentes de deformação
εk
- Deformação normal na direção principal da k -ésima lâmina
εu
- Deformação normal admissível de falha
εx
- Deformação normal na direção x
εy
- Deformação normal na direção y
ε0x
- Deformação normal na direção x , atuando no plano médio da placa
xxi
ε0y
- Deformação normal na direção y , atuando no plano médio da placa
εz
- Deformação normal na direção z
ε2
- Deformação normal na direção 2
η
- Informação heurística ou valor heurístico
nf
- Número total de avaliações da função objetivo
θ
- Ângulo de orientação da fibra na lâmina (Seção 3.1)
- Ângulo do eixo x, y para o eixo 1,2 (Seção 3.2)
θk
- Ângulo de orientação de duas lâminas contíguas
κx
- Curvatura em x na superfície média após o deslocamento u0
κy
- Curvatura em y na superfície média após o deslocamento u0
κz
- Curvatura em xy na superfície média após o deslocamento u0
λc
- Menor valor entre o fator crítico da carga de flambagem e o fator
crítico de falha
λcb
- Fator crítico da carga de flambagem
λcf
- Fator crítico de falha
λmin
- Carga crítica mínima de flambagem
ν
- Coeficiente de Poisson
ξ
- Parâmetro da taxa de evaporação local de feromônio do ACS
π
ρ
- Número PI
- Parâmetro da taxa de evaporação de feromônio (Seção 2.3)
σi
- Densidade média ao longo da espessura (Subseção 3.5.1)
- Parâmetro da taxa de evaporação de feromônio do AS (Subseção
4.1.1)
- Parâmetro da taxa de evaporação global de feromônio do ACS
(Subseção 4.1.2.1)
- Componentes de tensão
σx
- Tensão normal na direção x
σy
- Tensão normal na direção y
σ1
- Tensão normal na direção 1
σ2
- Tensão normal na direção 2
τ
- Tensão cisalhante
xxii
τ xy
- Tensão cisalhante no plano x, y
τ 12
- Tensão cisalhante no plano 1,2
τ ij
- Feromônio artificial
τ0
- Valor inicial de quantidade de feromônio
ω
- Frequência natural
ωmax
- Máxima frequência fundamental
Ω
- Restrições do problema (Seção 4.3)
- Conjunto não vazio (Subseção A.6.1)
Capítulo 1 Introdução
1
1 INTRODUÇÃO
1.1
Considerações Gerais
Os materiais compostos laminados são usados atualmente em peças e
componentes estruturais nas indústrias aeronáutica, automobilística, militar,
espacial, principalmente devido às suas excelentes características de alta rigidez e
baixo peso, e facilidade de adaptá-los às geometrias complexas. As aplicações têm
se expandido também às indústrias de produtos esportivos, construção civil e de
autopeças. Com o objetivo de melhorar o desempenho de compostos laminados via
otimização de seu projeto estrutural, estuda-se qual a melhor configuração para a
espessura das lâminas, os ângulos de orientação das fibras e diferentes tipos de
materiais das lâminas. Geralmente estas variáveis têm valores discretos definidos
em um espaço finito (por exemplo, comumentemente as opções de orientações das
fibras são 0°, ± 45º e 90º para um dado material onde a espessura da lâmina é prédefinida). A conjugação destes parâmetros visando a otimização da estrutura leva a
um problema de otimização combinatória em função dessas variáveis discretas.
Uma forma bastante eficiente de resolver problemas de otimização combinatória é
através de meta-heurísticas (BLUM e ROLI, 2003). Diversas meta-heurísticas foram
testadas e usadas com o objetivo de otimizar materiais compostos laminados, como
por exemplo, algoritmos genéticos (AG), busca tabu, simulated annealing, entre
outros.
Um dos mais atuais e promissores algoritmos heurísticos, que têm evoluído
desde sua publicação na década de 1990 por Marco Dorigo (DORIGO e STÜTZLE,
2004), é o algoritmo denominado de otimização de colônia de formigas (ACO, do
inglês Ant Colony Optimization). Ele baseia-se na simulação do comportamento real
das formigas forrageiras que buscam seu alimento através das trilhas de feromônio e
no comportamento denominado estimergia (em inglês stigmergy), que é o tipo de
comunicação indireta entre as formigas, na qual elas rastreiam os melhores
caminhos. Da aplicação deste conhecimento, via comportamento simulado com
formigas artificiais, criou-se o algoritmo ACO. Este algoritmo busca melhores
Capítulo 1 Introdução
2
soluções, nas trilhas em que se encontra maior quantidade de feromônio, com o
controle de seu depósito e evaporação. Realizam-se também atualizações locais e
globais de feromônio, melhorando assim a busca de resultados e alternativas por
caminhos não trilhados.
O avanço desta técnica em diversos problemas de otimização combinatória
tem-lhe creditado razões para que se amplie sua aplicação, especificamente no
presente caso aos problemas de otimização de estruturas de materiais compostos
laminados. Normalmente tais problemas de otimização visam o mínimo custo ou
peso, ou a maximização da rigidez da estrutura, como é detalhado posteriormente
neste texto.
1.2
Objetivos e Organização do Trabalho
Esta dissertação tem como objetivo a implementação e aplicação do método de
colônia de formigas na otimização estrutural de materiais compostos laminados.
Podem ser encontradas na literatura diversas técnicas de otimização aplicadas a
compostos laminados como: algoritmos genéticos, simulated annealing, artificial
immune system, busca tabu, método de Nelder–Mead, entre outras. Entretanto, o
algoritmo de colônia de formigas ainda é pouco explorado para este tipo de
aplicação. A proposta de sua implementação proporciona, assim, uma opção às
técnicas já existentes, além de possibilitar seu estudo detalhado bem como a
comparação com outros métodos.
Para fundamentar o estudo, é feita primeiramente uma revisão sobre
otimização, alguns conceitos e definições, a qual é a base para as formulações dos
problemas de otimização aqui estudados. As definições e teorias relacionadas ao
comportamento mecânico dos materiais compostos laminados também são descritas
e formuladas.
O algoritmo de colônia de formigas, sendo o objeto do presente estudo, é
detalhado para a sua melhor compreensão. A origem e a construção do algoritmo
são explicadas. As variantes do mesmo e a escolha pelo Ant Colony System (ACS)
para a aplicação corrente também são detalhadas. As características fundamentais
Capítulo 1 Introdução
3
do algoritmo, como a construção via grafos, o feromônio e suas atualizações em
nível local e global de modo a tornar o algoritmo mais eficiente, também são
descritas.
Partindo-se da construção do algoritmo de colônia de formigas particularizado
para problemas de materiais compostos laminados, foram testados diversos casos
encontrados na literatura, como a maximização da resistência, a minimização do
custo, a minimização do peso e maximização da frequência fundamental
considerando placas retangulares ou quadradas. Na sequência, associou-se o
algoritmo de colônia de formigas ao programa de elementos finitos ABAQUS, para a
otimização de geometrias complexas.
A dissertação está dividida em seis capítulos, os quais apresentam os assuntos
descritos abaixo.
O Capítulo 1 contempla a introdução do trabalho focando principalmente o
objetivo, bem como sua estruturação.
O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica de otimização e técnicas de
otimização envolvidas nos problemas de compostos laminados.
O Capítulo 3 resume a teoria da mecânica dos materiais compostos laminados
e os critérios de falha usualmente utilizados para estes materiais. Os conceitos
mostrados neste capítulo servirão de base para a compreensão dos problemas de
otimização estudados.
O Capítulo 4 está organizado de modo a descrever a origem do algoritmo de
colônia de formigas, os procedimentos que compõem o mesmo e a justificativa de
escolha pelo algoritmo Ant Colony System (ACS) dentre as diversas variantes. Os
fundamentos do algoritmo de colônia de formigas aplicados aos materiais compostos
laminados também são expostos.
O Capítulo 5 descreve os diversos problemas solucionados aplicando o
algoritmo desenvolvido e implementado. Os resultados de testes numéricos são
apresentados e discutidos.
Para finalizar, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões deste trabalho e
as sugestões para futuras pesquisas complementares, e no Glossário alguns termos
específicos relacionados com o tema do trabalho.
4
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 Otimização e Problemas de Otimização
Otimização refere-se, como define CASTRO (2006), aos conceitos, métodos e
aplicações relacionadas com a determinação da melhor ou das melhores soluções
para um dado problema. Envolve o estudo das condições ótimas, desenvolvimento e
análise de algoritmos, aplicações e experimentações computacionais. Para resolver
através de algoritmos um problema de otimização, é necessário desenvolver
inicialmente a formulação matemática do problema. Em seguida descrever todos os
aspectos do problema, o que proporcionará definir a função objetivo a minimizar ou a
maximizar, respeitando os critérios de restrições impostas pelo problema, do qual se
extraem as soluções factíveis e, a partir destas, as ótimas ou melhores soluções.
Outro aspecto importante relativo aos algoritmos de otimização, que se baseiam em
processos iterativos de busca da solução, diz respeito à convergência. Deve-se
garantir as condições de convergência, velocidade de convergência para uma
solução de boa qualidade.
Normalmente o objetivo da otimização de um projeto é melhorar a sua
eficiência e diminuir seu custo. A otimização busca, portanto, determinar qual é o
melhor projeto, sem que seja necessário computar todas as possíveis alternativas.
Os problemas de otimização podem ser representados por uma função
objetivo, por vezes também denominada função custo ou de mérito, que é a função
a ser avaliada, buscando a sua maximização ou minimização, sob determinadas
restrições (ARORA, 2004). A função objetivo e as funções de restrições dependem
das variáveis de projeto. As variáveis de projeto são aquelas que sofrem alterações
durante o processo de otimização. As restrições são funções que estabelecem
limites permitidos pelas variáveis.
Matematicamente a função objetivo pode ser escrita como
f(x), tal que x ∈ S ⊂ ℜn ,
Eq. 2.1
5
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
onde x são as variáveis de projeto pertencentes ao domínio S destas variáveis.
Estas podem ser do tipo: reais, inteiras, mistas (reais e inteiras em um mesmo
problema), discretas, contínuas, limitadas, etc.
As restrições são representadas por
hi(x) = 0
gj(x) ≤ 0
i = 1,...,ne ,
j = 1,..., ng ,
Eq. 2.2
sendo que hi(x) são as funções de restrições de igualdade e gj(x) as funções de
restrições de desigualdade.
A otimização combinatória considera o problema dentro de um conjunto finito
de variáveis, e a otimização contínua resolve o problema em um domínio infinito,
pois as variáveis possuem variação contínua. As restrições determinam os campos
das soluções factíveis e das infactíveis. As factíveis significam que as possíveis
soluções candidatas respeitam as restrições, e as infactíveis é o conjunto de
soluções que violam as condições impostas pelas restrições. Um problema de
otimização busca sempre uma solução ótima factível (PHAM e KARABOGA, 2000).
Por vezes, alguns problemas de otimização são classificados como difíceis (do
inglês hard). A interpretação para difícil diz respeito principalmente ao tempo
computacional necessário para se encontrar a solução. Um problema difícil é
definido por CORNE et al. (1999) como um problema que não garante a obtenção da
melhor solução em um tempo aceitável. Além disso, não existe um método ou
algoritmo de otimização que seja eficiente para todos os tipos de problemas. Os
métodos estocásticos (processos de busca com algum elemento randômico) têm se
destacado na solução de problemas em que outros métodos não conseguem
apresentar bons resultados (SPALL, 2003).
2.2 Otimização Estrutural de Materiais Compostos
Estudos sobre a mecânica dos materiais compostos se intensificaram a partir
de 1960, com pesquisadores como Dr. Stephen Tsai, Dr. Rozen, Dr. Broustman,
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
6
Dow e outros, como relata CHAMIS (2007). Estes desenvolveram a base teórica da
mecânica dos materiais compostos que considera a análise da micromecânica e da
macromecânica, evoluindo da teoria clássica dos laminados, para o campo das
estruturas dos compostos. Várias teorias foram desenvolvidas, também, para a
análise de falhas em termos das tensões, como as teorias de Tsai-Hill, Tsai-Wu,
Hoffmann, entre outras.
O projeto de estruturas de compostos laminados, como qualquer outro projeto
estrutural, normalmente visa a redução de custo e peso, além de buscar uma
maximização da resistência. Assim, os projetos de compostos reforçados podem se
tornar muitas vezes um problema de otimização multiobjetivo, sendo necessário
computar a espessura ótima do laminado, o ângulo das lâminas, o material de cada
lâmina. Além disso, devido às restrições de fabricação, o ângulo e a espessura da
lâmina são selecionados de valores discretos e o projeto torna-se um problema de
otimização discreta (DEKA et al., 2005). Como descrevem BLOOMFIELD et al.
(2009) a otimização do empilhamento é inerentemente um problema com variáveis
discretas. Em projeto de laminados, a espessura da lâmina é geralmente fixada e as
orientações das lâminas têm valores discretos. A determinação da sequência de
empilhamento de uma placa de espessura dada usando as orientações das lâminas
como variáveis de projeto é um problema combinatório. Outra restrição dos
laminados está relacionada à quantidade de lâminas adjacentes de mesma
orientação. A ocorrência de mais de quatro lâminas adjacentes com a mesma
orientação pode deixar a matriz quebradiça, devido aos efeitos de tensões térmicas
geradas durante o processo de cura (GÜRDAL et al., 1999).
Decidir o número de lâminas de orientação específica não é suficiente para
definir o melhor laminado (HAFTKA e GÜRDAL, 1992), mas sim conhecer a
sequência de empilhamento, as orientações para cada lâmina e os respectivos
materiais. O que determinará a melhoria no projeto de laminados compostos são as
escolhas dos valores das variáveis de projeto, o que significa projetar as
propriedades do laminado (WIDMAIER, 2005). A Tabela 2.1 mostra a influência da
variação dos parâmetros no projeto de compostos laminados.
7
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
Tabela 2.1 - Influência dos parâmetros no projeto de compostos laminados
(HAFTKA e GÜRDAL, 1992).
Parâmetros do projeto
Influência principal
Ângulo de orientação da lâmina
Direção da resistência
Espessura da lâmina
Resistência global
Sequência de empilhamento
Rigidez e acoplamento entre as matrizes
constitutivas
Resumindo, um projeto eficiente de compostos laminados não computa
somente a área e a espessura que determinada aplicação deve alcançar, mas
também as propriedades global e local dos materiais através do uso seletivo da
orientação, número e sequência de empilhamento das lâminas que constituem o
laminado (HAFTKA e GÜRDAL, 1992). Assim, em função do número de variáveis de
projeto, a otimização de compostos laminados torna-se complexa. Encontrar o
melhor projeto, sem que se violem as restrições, é normalmente muito difícil e é
onde muitas das soluções encontradas podem ser ótimos locais. Considerando, por
exemplo, um laminado com 20 lâminas, sendo que cada uma dessas lâminas pode
assumir 2 orientações (0° e 90°), há aproximadamente 220 ≈ 1.000.000 possíveis
alternativas de soluções para o projeto (GÜRDAL et al., 1999).
O projeto de otimização de estruturas de compostos laminados é um problema
de otimização global, com múltiplos ótimos locais e um espaço de projeto complexo,
destaca ERDAL e SONMEZ (2005). A otimização com algoritmo determinístico pode
tender para um ponto de ótimo local em vez de um ótimo global, dependendo do
ponto inicial. Além disso, se o ponto inicial estiver em uma região infactível, ou seja,
inviável, o algoritmo pode convergir para um ótimo local infactível. Muitos métodos
de otimização também não são adequados para variáveis discretas, por exemplo, o
número de lâminas do laminado ou valores discretos para as orientações das
lâminas. Por estas razões, as técnicas de otimização estocásticas têm se destacado
por não serem sensíveis ao ponto inicial, efetuando a busca em uma região grande,
escapando de estagnar num ótimo local e poder tratar problemas em variáveis
contínuas, discretas ou mistas com a mesma facilidade. Assim, recentemente, têm
surgido métodos não determinísticos para a otimização de materiais compostos
laminados, como os algoritmos heurísticos, que são algoritmos exploratórios não
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
8
exatos e meta-heurísticos, que buscam solucionar problemas genéricos onde não se
tem um algoritmo eficiente. Em uma meta-heurística utilizam-se estratégias guiadas
por processos de busca heurística e estocástica na exploração do espaço da
solução (CASTRO, 2006). A mesma utiliza técnica de busca de modo a escapar de
um mínimo local.
Uma meta-heurística é um tipo de algoritmo exploratório inteligente onde
técnicas de alto nível (meta = alto nível, do prefixo grego) são aplicadas nos
procedimentos heurísticos (do grego heuriskein = descobrir). A mesma é usada para
resolver problemas difíceis, para encontrar a melhor alternativa, a mais próxima da
solução ótima, com menor custo computacional. Meta-heurísticas vêm sendo
aplicadas na solução de problemas específicos dentre os quais problemas de
otimização combinatória. Exemplos de meta-heurísticas são o simulated annealing, a
busca tabu, algoritmos genéticos, algoritmo de colônia de formigas, entre outros.
Podem ser encontrados na literatura inúmeros trabalhos aplicando-se
diferentes técnicas de solução a problemas de otimização de materiais compostos
laminados, entretanto há predominância dos algoritmos genéticos. Dentre estes
trabalhos evidenciam-se aqui os seguintes: LE RICHE e HAFTKA (1993) estudaram
o uso de algoritmos genéticos para otimizar a sequência de empilhamento na
maximização da carga de flambagem e analisaram também os efeitos das lâminas
adjacentes como restrição; TODOROKI et al. (1996) otimizaram a sequência ótima
de empilhamento com a técnica de decisão sequencial orientados a objeto e pelo
método branch and bound; LIU et al. (2000) desenvolveram um algoritmo genético
com novas características permutativas, a fim de obterem a sequência de
empilhamento das lâminas, para resolver o problema da máxima carga de
flambagem; GANTOVNIK et al. (2002) adotaram um algoritmo genético no qual
incluíram uma memória para as variáveis contínuas, para a minimização do peso, e
assim obterem a melhor sequência de empilhamento, neste caso com variáveis
discretas e contínuas; SOREMEKUN et al. (2002) utilizaram um algoritmo genético
para resolver o problema de minimização de peso e custo de estruturas com
quantidades diferentes de lâminas; TERADA et al. (2001) maximizaram a carga de
flambagem utilizando o método fractal branch and bound na otimização da
sequência de empilhamento para uma placa retangular; SPALLINO e RIZZO (2002)
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
9
otimizaram estruturas de compostos laminados utilizando estratégias evolucionárias
e teoria dos jogos em problemas discretos multiobjetivos. LUERSEN e LE RICHE
(2004) aplicaram o método Globalized Nelder-Mead na maximização da carga de
flambagem; DEKA et al. (2005) combinaram algoritmos genéticos com o método de
elementos finitos para a otimização multiobjetivo de minimização de custo e peso
combinados; ZEHNDER e ERMANNI (2006) pesquisaram a técnica de algoritmos
evolucionários na otimização de rigidez de estruturas; AKBULUT e SONMEZ (2008)
investigaram a aplicação do algoritmo simulated annealing na minimização da
espessura do laminado. LOPEZ et al. (2008) analisaram os efeitos dos critérios de
falha na minimização do peso dos materiais compostos laminados. Estes
pesquisadores também desenvolveram e aplicaram um algoritmo genético na
otimização de materiais compostos híbridos (LOPEZ et al., 2009).
As soluções ótimas muitas vezes requerem um tempo elevado de
processamento computacional em relação às partes heurísticas. Por outro lado, a
inclusão de uma rotina de busca local muitas vezes tende a reduzir este tempo.
Dessa forma, surgem os algoritmos híbridos, como por exemplo, um algoritmo
genético com busca local, como apresentado por LEE et al. (2005).
De forma a complementar às técnicas de otimização, tem-se o método dos
elementos finitos como ferramenta auxiliar no projeto e otimização de estruturas.
Como avalia ACEVES et al. (2008), o avanço do método dos elementos finitos e sua
combinação com algoritmos de otimização permitiu o seu uso como estratégia na
otimização do projeto de estruturas de material composto com geometrias
complexas.
Um aspecto importante destas estruturas está relacionado ao comportamento
dinâmico das placas de laminados compostos. A melhoria do desempenho dinâmico
do material composto está diretamente relacionada com a otimização dos valores
das frequências naturais para diminuir os riscos da ressonância causada por
excitações externas. Em função desta necessidade, muitos pesquisadores vêm
realizando estudos desta natureza, adotando o método dos elementos finitos,
incorporando ou analisando via programas comerciais, como citado a seguir.
TESSLER et al. (1995) estudaram a vibração de placas finas de laminados
compostos utilizando a técnica de elementos finitos com o ABAQUS, comparando
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
10
com a solução analítica e com uma teoria de ordem superior para placas de
laminados. LEE e KIM (1996) compararam os resultados analíticos da frequência
fundamental com os resultados obtidos pelo ABAQUS. HU e JUANG (1997)
utilizaram o método da programação linear sequencial em combinação com o
ABAQUS para a otimização das orientações das fibras no problema de maximização
da frequência fundamental. DANO et al. (2000) desenvolveram, via ABAQUS, um
modelo em elementos finitos para análise de falha em laminados simétricos
balanceados. Problemas de maximização de frequências fundamentais foram
resolvidos por NARITA e HODGKINSON (2005) e NARITA e ROBINSON (2006)
onde abordam a otimização considerando que as lâminas externas têm um maior
efeito na rigidez em relação às internas. Assim, a sequência ótima de empilhamento
pode ser obtida determinando-se a melhor orientação das fibras para cada camada
ordenadamente de fora para dentro. Muitos pesquisadores têm desenvolvido
trabalhos para analisar a vibração em laminados compostos utilizando teorias de
ordem superior, como por exemplo, PRADYUMNA e BANDYOPADHYAY (2007),
que analisaram o comportamento estático e dinâmico de laminados via elementos
finitos de casca de ordem superior.
2.3 Algoritmo de Colônia de Formigas Aplicado a Materiais Compostos
Laminados
Poucos trabalhos apresentam a aplicação do ACO em compostos laminados.
Dentre estes se destacam os trabalhos de AYMERICH e SERRA (2008) e
ABACHIZADEH e TAHANI (2009).
No primeiro artigo é utilizada a variante Ant System (AS) para otimizar a
sequência de empilhamento de placas laminadas. Foi maximizada a carga de
flambagem de uma placa retangular de espessura fixa, sujeita a forças de
compressão biaxiais e restrições de resistência. Os resultados, comparados com
aqueles obtidos com um algoritmo genético e busca tabu, foram semelhantes ou
melhores. A seleção dos parâmetros do ACO apropriados que controlam o processo
durante a busca são essenciais para melhorar o desempenho do algoritmo. Um valor
alto de α , que é o parâmetro de controle de influência de feromônio, tende a
aumentar a importância probabilística do conhecimento acumulado. Por outro lado, o
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
11
aumento da taxa de evaporação ρ evita o acúmulo excessivo de feromônio,
diminuindo o risco de estagnação do algoritmo e promove a procura por soluções em
novas regiões. Os testes realizados por AYMERICH e SERRA (2008) conduziram a
valores de α = 0,95 e ρ = 0,91. Outro ponto importante observado pelos autores
acima diz respeito às restrições do problema. Elas foram introduzidas na construção
das soluções viáveis no fim de cada iteração de processamento do algoritmo ACO.
Os autores implementaram uma rotina de ação daemon, cujo termo significa um
programa específico para executar uma determinada tarefa, para melhorar o
desempenho do algoritmo com a introdução de uma rotina de busca local. O terceiro
ponto considerado diz respeito à quantidade de formigas, sendo adotada apenas
uma formiga por iteração. Isto para diminuir a complexidade computacional e limitar
o número de parâmetros a serem observados que poderiam afetar ou aumentar os
custos computacionais, como destacam os autores. Embora os mesmos ressaltem
que evidências experimentais apontam que uma colônia de formigas apresente
melhores resultados, o número de formigas a ser utilizado deve ser avaliado de
acordo com o problema específico em análise.
O segundo artigo (ABACHIZADEH e TAHANI, 2009) trata da otimização da
frequência fundamental e da minimização do custo de compostos laminados. O
algoritmo implementado neste caso é o Ant Colony System, ACS, que é outra
variante do ACO. As restrições são impostas através da penalização da função
objetivo e os valores dos parâmetros do algoritmo foram adotados conforme as
sugestões de DORIGO e STÜTZLE (2004). Os autores detectaram uma rápida
convergência para um ótimo global nas primeiras iterações. Os resultados obtidos,
quando comparados com algoritmos genéticos e simulated annealing, revelam que o
ACO apresenta ótimos resultados e supera-os em determinados casos. Não foram
adotadas as ações daemon para rastrearem uma busca localizada. Porque este
algoritmo já atua com a atualização local e global de feromônio, melhorando o seu
desempenho, além de considerar a evaporação e depósito nestas instâncias durante
os percursos realizados pelas formigas.
Recentemente, BLOOMFIELD et al. (2009) analisaram e compararam um AG,
um ACO e um PSO (otimização por enxame de partículas, do inglês particle swarm
optimization). Tais algoritmos foram aplicados na minimização do peso sujeito às
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
12
restrições de resistência e flambagem de materiais compostos laminados. Estes
pesquisadores concluíram que, para os problemas analisados, o ACO é um dos
melhores métodos para determinar a sequência de empilhamento do laminado
composto.
WANG et al. (2009) aplicaram o algoritmo de colônia de formigas na
maximização do fator crítico de carga e realizaram testes de desempenho do
algoritmo comparando com trabalhos desenvolvidos em AG e ACO. A otimização da
rigidez de painéis T e a sequência de empilhamento do laminado foram estudados
por WANG et al. (2010) para a maximização da carga de flambagem sob restrição
do peso utilizando um ACO.
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
13
3 CONCEITOS DA MECÂNICA DOS MATERIAIS COMPOSTOS
LAMINADOS
3.1 Definições e Generalidades
Material composto, ou também chamado material compósito, significa a união
de dois ou mais materiais que são combinados para formar um terceiro material
(JONES, 1999). Ou, como define STAAB (1999), material composto é considerado
um material que contenha dois ou mais constituintes com comportamentos
macroscópicos significativamente diferentes, unidos para formar um terceiro material
com comportamento diferente dos dois primeiros.
Os materiais compostos têm sido usados na natureza desde tempos remotos.
Pode-se identificar seu uso através da história, como os tijolos, placas de madeira
utilizadas pelos egípcios, fibras de plantas utilizadas pelos povos Maias e Incas e
espadas dos samurais, fabricadas em multicamadas. Outros exemplos da natureza
considerados como compostos são: bambu, tecido dos músculos e ossos, como
exemplifica STAAB (1999).
Os materiais compostos têm evoluído principalmente devido aos avanços
tecnológicos em diversas áreas como: espacial, aeronáutica e automobilística. As
novas tecnologias têm levado estas indústrias a adotarem e projetarem estruturas
com tais materiais, pois eles são ideais para aplicações onde são requeridas altas
relações resistência-peso ou rigidez-peso (JONES, 1999).
A partir de 1960, estes materiais tiveram seu uso intensificado pela indústria
militar, mas vêm sendo atualmente utilizados também em outras aplicações, tais
como: raquetes de tênis e tacos de golfe, bicicletas, contêineres, na construção civil
e em satélites.
Um caso particular dos materiais compostos são os compostos laminados,
objeto do presente estudo. Eles são formados pela união (empilhamento) de várias
lâminas, onde cada lâmina é composta pela matriz, que é sua fase contínua, e pelas
fibras. Neste trabalho são consideradas que as fibras são contínuas, unidirecionais e
paralelas, alinhadas segundo uma orientação. Este arranjo fornece um caráter
14
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
ortrotópico ao material, onde sua resistência e rigidez são muito maiores na direção
das fibras do que na direção transversal (perpendicular) a elas. A Figura 3.1
apresenta, de forma esquemática, como é formado um material composto laminado.
As fibras têm a função de reforço, aumentando a rigidez do conjunto. Como exemplo
de fibras comumentemente utilizadas tem-se as fibras de vidro, carbono e boro. Já a
matriz, tem a função de suportar e proteger as fibras e distribuir de forma
homogênea o carregamento para estas. Ela possui normalmente baixa densidade,
rigidez e resistência em relação às fibras. Como exemplo de materiais utilizados
para matrizes tem-se o poliéster e o epóxi.
Figura 3.1 - Material composto laminado.
Os laminados podem ser compostos de diferentes lâminas com materiais e
orientações diferentes. Assim, pode-se desenvolver elementos estruturais com
características voltadas às necessidades específicas de cada aplicação.
A nomenclatura para a sequência de empilhamento do laminado apresenta
uma notação padrão. Este padrão lista as orientações das diferentes lâminas em
relação a um sistema de referência, iniciando da lâmina superior para a inferior, e é
representado como
⎡⎣ θ1 , θ2 , … ,θn ⎤⎦ ou ⎡⎣ θ1 /
θ2 / … / θn ⎤⎦ .
Eq. 3.1
15
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
Esta expressão indica a sequência de empilhamento de um laminado composto de
n lâminas, todas de um mesmo material e espessura, onde θi representa o ângulo
de orientação da lâmina i. Os laminados podem ter diversas lâminas adjacentes com
a mesma orientação. Nesses casos, para simplificar a notação, escreve-se o ângulo
e a quantidade correspodente de lâminas que possuem a mesma orientação. Por
exemplo, ⎡⎣ 02 , 903 , 45⎤⎦ representa um laminado que possui um total de 6 lâminas, 2
orientadas a 0°, 3 orientadas a 90° e uma orientada a 45°, cuja notação estendida é
[0 , 0, 90, 90, 90, 45] .
Em alguns casos têm-se duas lâminas adjacentes onde uma é o par negativo
da outra (+θ e −θ). Neste caso, o sinal ± é indicado na frente do ângulo que
representa a orientação do par de lâminas. Por exemplo, [ ± 45] indica duas lâminas,
uma orientada a +45° e outra a -45°. Se cada lâmina do laminado possuir seu par
negativo, não necessariamente em posição adjacente, o laminado é dito
balanceado.
Os laminados também podem ser simétricos em relação a um plano de
empilhamento, ou seja, apresentam a configuração das orientações espelhada
abaixo e acima do plano médio, que é o plano de simetria. A letra s em subscrito
representa a notação para simétrico. Por exemplo, [ 0 , 60]s , indica o empilhamento
de 4 lâminas, com as seguintes orientações: 0°, 60°, 60° e 0°.
No caso de material composto laminado híbrido (possui diferentes tipos de
lâminas), a indicação dos diferentes materiais e suas respectivas espessuras é feita
adicionando
novos
índices,
normalmente
superescritos,
à
sequência
de
empilhamento. Assim, o empilhamento é indicado por
⎡⎣ θ1,m ,e , θ2 ,m ,e , … , θn ,m ,e ⎤⎦ ,
Eq. 3.2
onde m representa o material e e a espessura das respectivas lâminas da
sequência de empilhamento.
A seguir são descritos os conceitos básicos do comportamento mecânico de
laminados, baseados na Teoria Clássica dos Laminados (JONES, 1999 e GÜRDAL
16
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
et al. 1999). Isto permite um equacionamento analítico da resposta estrutural do
laminado, o qual é utilizado nos problemas propostos e solucionado no Capítulo 5.
3.2 Comportamento Macromecâmico de uma Lâmina
O comportamento mecânico do laminado está diretamente relacionado ao
comportamento da lâmina. Dessa forma, para analisar o laminado, é necessário
compreender primeiramente uma lâmina.
A lâmina (do tipo matriz-fibra) é estudada aqui do ponto de vista
macromecânico, onde ela é presumida homogênea e os efeitos dos materiais
constituintes são detectados como uma média das propriedades do composto.
Devido à sua constituição, a lâmina pode ser considerada ortotrópica e assim
apresenta diferentes propriedades mecânicas em 3 direções mutualmente
perpendiculares (JONES, 1999). Uma dessas direções é dada pelo eixo na direção
longitudinal às fibras, outra pelo eixo na direção transversal às fibras e a terceira
pelo eixo ortogonal aos dois anteriores. Tais direções são representadas por 1, 2 e 3,
respectivamente, como mostrado na Figura 3.2 e designadas por direções principais
do material ou direções de ortotropia.
Figura 3.2 - Sistema de coordenadas principais do material.
Partindo
da
relação
tensão-deformação
elástica-linear
generalizada), que em notação compactada pode ser escrita como
(lei
de
Hooke
17
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
6
σ i = ∑ Cij ε j , i = 1,...,6 ,
Eq. 3.3
j =1
onde σ i são as componentes de tensão, Cij a matriz constitutiva do material e ε j as
componentes de deformação. Para o caso de material completamente anisotrópico,
a matriz Cij é simétrica e a relação tensão-deformação pode ser escrita na forma
explícita como
⎧σ 1 ⎫ ⎡ C11
⎪ ⎪ ⎢
⎪σ 2 ⎪ ⎢C12
⎪⎪σ 3 ⎪⎪ ⎢C13
⎨ ⎬=⎢
⎪τ23 ⎪ ⎢C14
⎪τ31 ⎪ ⎢C15
⎪ ⎪ ⎢
⎪⎩τ12 ⎪⎭ ⎢⎣C16
C12
C22
C13 C14
C23 C24
C15
C25
C23
C33
C34
C35
C24
C34
C44
C45
C25
C26
C35
C36
C45
C46
C55
C56
C16 ⎤ ⎧ε1 ⎫
⎪ ⎪
C26 ⎥⎥ ⎪ε 2 ⎪
C36 ⎥ ⎪⎪ε3 ⎪⎪
⎥⎨ ⎬,
C46 ⎥ ⎪ γ 23 ⎪
C56 ⎥ ⎪ γ 31 ⎪
⎥⎪ ⎪
C66 ⎥⎦ ⎪⎩ γ12 ⎭⎪
Eq. 3.4
onde σ i , neste caso, representam as tensões normais, τ ij as tensões cisalhantes, ε i
as deformações longitudinais e γ ij as deformações cisalhantes.
Quando o material apresenta o plano de simetria (z = 0) é chamado
monoclínico, e sua equação constitutiva fica
⎧σ 1 ⎫ ⎡ C11
⎪σ ⎪ ⎢
⎪ 2 ⎪ ⎢C12
⎪⎪σ 3 ⎪⎪ ⎢C13
⎨ ⎬=⎢
⎪τ23 ⎪ ⎢ 0
⎪τ31 ⎪ ⎢ 0
⎪ ⎪ ⎢
⎩⎪τ12 ⎭⎪ ⎢⎣C16
C21
C31
0
0
C22
C23
0
C32
C33
0
0
0
C44
0
0
C45
0
C26
0
C36
C45
0
C55
0
C16 ⎤ ⎧ε1 ⎫
⎪ ⎪
C26 ⎥ ⎪ε 2 ⎪
⎥
C36 ⎥ ⎪⎪ε3 ⎪⎪
⎥⎨ ⎬.
0 ⎥ ⎪ γ 23 ⎪
0 ⎥ ⎪ γ 31 ⎪
⎥⎪ ⎪
C66 ⎥⎦ ⎩⎪ γ12 ⎭⎪
Eq. 3.5
Finalmente, para material ortotrópico (três planos de simetria mutualmente
perpendiculares), tem-se
18
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
⎧σ 1 ⎫ ⎡ C11
⎪σ ⎪ ⎢
⎪ 2 ⎪ ⎢C12
⎪⎪σ 3 ⎪⎪ ⎢ C13
⎨ ⎬=⎢
⎪τ23 ⎪ ⎢ 0
⎪τ31 ⎪ ⎢ 0
⎪ ⎪ ⎢
⎩⎪τ12 ⎭⎪ ⎣⎢ 0
C21
C22
C31
C32
0
0
0
0
C23
0
0
0
C33
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
C55
0
0 ⎤ ⎧ε1 ⎫
⎪ ⎪
0 ⎥ ⎪ε2 ⎪
⎥
0 ⎥ ⎪⎪ε3 ⎪⎪
⎥⎨ ⎬
0 ⎥ ⎪ γ 23 ⎪
0 ⎥ ⎪ γ 31 ⎪
⎥⎪ ⎪
C66 ⎦⎥ ⎩⎪ γ12 ⎭⎪
Eq. 3.6
A relação inversa da lei de Hooke é expressa como
6
εi = ∑ Sij σ j , i = 1,...,6
Eq. 3.7
j =1
onde Sij é matriz de complacência.
Similarmente, pode-se obter as formas matriciais para a relação deformaçãotensão. A relação deformação-tensão para material anisotrópico é expressa como
⎧ε1 ⎫ ⎡ S11
⎪ε ⎪ ⎢
⎪ 2 ⎪ ⎢ S12
⎪⎪ε3 ⎪⎪ ⎢ S13
⎨ ⎬=⎢
⎪ γ 23 ⎪ ⎢ S14
⎪ γ 31 ⎪ ⎢ S15
⎪ ⎪ ⎢
⎩⎪ γ12 ⎭⎪ ⎣⎢ S16
S12
S13
S14
S15
S 22
S 23
S 24
S 23
S 33
S 34
S 24
S 34
S 44
S 25
S 35
S 45
S 25
S 26
S 35
S 36
S 45
S 46
S55
S56
S16 ⎤ ⎧σ 1 ⎫
⎪ ⎪
S 26 ⎥ ⎪σ 2 ⎪
⎥
S 36 ⎥ ⎪⎪σ 3 ⎪⎪
⎥⎨ ⎬
S 46 ⎥ ⎪τ23 ⎪
S56 ⎥ ⎪τ31 ⎪
⎥⎪ ⎪
S66 ⎦⎥ ⎩⎪τ12 ⎭⎪
Eq. 3.8
A matriz de complacência pode ser escrita em termos das constantes de
engenharia. Estas constantes são medidas por testes de tensão uniaxial ou testes
de cisalhamento puro. Tais constantes são o módulo de elasticidade ou módulo de
Young, E , o coeficiente de Poisson, ν e o módulo de cisalhamento, G .
Considerando um material ortotrópico, a matriz de complacência pode ser
escrita como
19
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
⎡ 1/E1
⎢-ν /E
⎢ 12 1
⎢ -ν /E
[S] = ⎢ 130 1
⎢
⎢ 0
⎢
⎣⎢ 0
-ν 21 /E2
1/E2
-ν 31 /E3
-ν 32 /E3
0
0
0
0
-ν 23 /E2
1/E3
0
0
0
0
1/G23
0
0
0
0
0
0
0
1/G31
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
0 ⎥
⎥
1/G12 ⎦⎥
Eq. 3.9
Como será visto na Seção 3.3, sob as hipóteses da Teoria Clássica dos
Laminados, pode-se considerar a lâmina e o laminado em um estado plano de
tensões. Assim, particulizando-se as relações deformação-tensão para este estado
de tensões,
⎧ε1 ⎫ ⎡ S11
⎪ ⎪ ⎢
⎨ε 2 ⎬ = ⎢ S 21
⎪γ ⎪ ⎢ 0
⎩ 12 ⎭ ⎣
S 21
S 22
0
0 ⎤ ⎧σ 1 ⎫
⎪ ⎪
0 ⎥⎥ ⎨σ 2 ⎬
S66 ⎥⎦ ⎪⎩τ12 ⎪⎭
Eq. 3.10
e
σ3 = 0
τ23 = 0
τ31 = 0
ε3 = S13σ 1 + S 23σ 2
Eq. 3.11
γ 23 = 0
γ 31 = 0
Invertendo-se a Eq. 3.10, obtém-se a relação tensão-deformação, expressa
como
⎧σ 1 ⎫ ⎡ Q11 Q12
⎪ ⎪ ⎢
⎨σ 2 ⎬ = ⎢Q12 Q22
⎪τ ⎪ ⎢ 0
0
⎩ 12 ⎭ ⎣
0 ⎤ ⎧ε1 ⎫
⎪ ⎪
0 ⎥⎥ ⎨ε 2 ⎬
Q66 ⎥⎦ ⎪⎩ γ12 ⎪⎭
Eq. 3.12
onde Qij são os componentes da matriz constitutiva, que em termos das constantes
elásticas de engenharia podem ser escritos como
20
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
Q11 =
E1
1 − ν12ν 21
Q12 =
ν 21 E1
1 − ν12ν 21
Q22 =
E2
1 − ν12 ν 21
Eq. 3.13
Q66 = G12
Como as direções principais do material no plano da lâmina (1-2) nem sempre
coincidem com as direções das coordenadas de referência x-y, é necessário realizar
uma transformação de coordenadas de um sistema para outro. A expressão desta
transformação é dada em função do ângulo θ , que é o ângulo que relaciona o
sistema x-y com o sistema 1-2 (ver Figura 3.3). Para a relação tensão-deformação
ortotrópica, em estado plano de tensões, tem-se (JONES, 1999)
⎧σ x ⎫ ⎡ cos 2 θ
sen 2 θ
-2senθcosθ ⎤ ⎧σ 1 ⎫
⎪ ⎪ ⎢
⎥⎪ ⎪
2
cos 2 θ
2senθcosθ ⎥ ⎨σ 2 ⎬ .
⎨σ y ⎬ = ⎢ sen θ
⎪ ⎪ ⎢ senθcosθ − senθcosθ cos 2 θ − sen 2θ ⎥ ⎪τ ⎪
⎦ ⎩ 12 ⎭
⎩τ xy ⎭ ⎣
Eq. 3.14
Figura 3.3 - Sistemas de coordenadas x-y e 1-2.
Substituindo a relação tensão-deformação no sistema principal do material (Eq. 3.12)
na Eq. 3.14, obtem-se
21
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
⎧σ x ⎫
⎧ε x ⎫ ⎡ Q11 Q12
⎪ ⎪ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎢
⎨σ y ⎬ = ⎢Q ⎥ ⎨ε y ⎬ = ⎢Q12 Q 22
⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎢
⎩τ xy ⎭
⎩ γ xy ⎭ ⎣⎢Q16 Q 26
Q16 ⎤ ⎧ε x ⎫
⎥⎪ ⎪
Q 26 ⎥ ⎨ε y ⎬ ,
⎥⎪ ⎪
Q 66 ⎦⎥ ⎩ γ xy ⎭
Eq. 3.15
onde ⎡⎣Q ⎤⎦ é a matriz constitutiva reduzida cujas componentes Qij são expressas por
Q11 = Q11 cos 4 θ + 2( Q12 + 2Q66 )sen 2θ cos 2 θ + Q22 sen 4θ
Q12 = ( Q11 + Q22 − 4Q66 )sen 2 θ cos 2 θ + Q12 ( sen 4 θ + cos 4 θ)
Q 22 = Q11sen 4 θ + 2( Q12 + 2Q66 )sen 2 θ cos 2 θ + Q22 cos 4 θ
Q16 = ( Q11 − Q12 − 2Q66 )senθ cos 3 θ + ( Q12 − Q22 + 2Q66 )sen3θ cos θ
Eq. 3.16
Q 26 = ( Q11 − Q12 − 2Q66 )sen3θ cos θ + ( Q12 − Q22 + 2Q66 )senθ cos 3 θ
Q 66 = ( Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 )sen 2θ cos 2 θ + Q66 ( sen 4θ + cos 4 θ)
A Eq. 3.15 relaciona as tensões em uma lâmina no sistema x-y, com as
respectivas deformações, em função da orientação das fibras e das propriedades
elásticas dadas no sistema principal do material.
3.3 Comportamento Macromecânico dos Laminados via Teoria Clássica dos
Laminados
O desenvolvimento teórico para análise de tensões e deformação considera
alguns pressupostos ou condições especiais. Estas suposições são baseadas nas
hipóteses de Kirchhoff nos estudos de placas e nas hipóteses de Kirchhoff-Love nos
estudos de cascas. Aplicadas aos materiais compostos laminados, as principais
hipóteses são (JONES, 1999 e GÜRDAL et al. 1999):
As lâminas são perfeitamente coladas;
•
A colagem ou a resina utilizada para unir as lâminas é infinitamente fina
e não deformável por cisalhamento, possibilitando deslocamento
contínuo através das lâminas;
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
•
22
O laminado é considerado fino, ou seja, trata-se de uma placa ou casca
de pequena espessura;
•
Baseado na hipótese acima, a superfície de referência permanece reta e
perpendicular à geometria da estrutura. Assim, as deformações
cisalhantes transversais são nulas ( γ xz = γ yz = 0 );
•
Não há deformações normais na direção perpendicular à superfície de
referência. Ou seja, ε z = 0
e, portanto a espessura permanece
constante.
As hipóteses acima levam à chamada Teoria Clássica dos Laminados (TCL),
que não considera as seguintes tensões: σ z , τ zx , τ zy . Somente as tensões:
σ x , σ y , τ xy são não nulas. Ou seja, resume-se ao estado plano de tensões. Ao
mesmo tempo tem-se ε z = γ xz = γ yz = 0 , isto é, estado plano de deformação (não há
deformação alguma no plano z).
Devido a estas considerações, JONES (1999) destaca algumas observações
que dizem respeito a esta teoria, como:
•
A teoria clássica dos laminados é incapaz de predizer algumas tensões,
que normalmente causam falhas no laminado;
•
Existência de valores de τ xy que não são possíveis obter via TCL, como
nas bordas dos laminados.
3.3.1 Tensões e Deformações em Laminados
Com base nas hipóteses apresentadas anteriormente, os deslocamentos são
analisados a partir de um estado não deformado para o deformado, conforme
representado na Figura 3.4. Adotando as hipóteses de Kirchhoff para placas e as de
Kirchhoff-Love para cascas, pode-se obter os deslocamentos, u , v , w do laminado
para os respectivos eixos x, y e z.
Considerando uma dada seção transversal, o deslocamento u0 é aquele
relacionado com o ponto B, no plano médio do laminado (Figura 3.4 (b)). O
23
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
deslocamento uc do ponto C, em uma posição z = zc, com a linha ABCD
permanecendo reta após a deformação, é expresso por
uc = u0 − z c β ,
Eq. 3.17
onde β é o ângulo de rotação da seção transversal que, para pequenos
deslocamentos, é dado por
β=
∂w0
.
∂x
Eq. 3.18
(a)
(b)
Figura 3.4 - Deformação de um laminado segundo a TCL.
24
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
Assim, para qualquer ponto do laminado, o deslocamento na direção x é
u = u0 − z
∂w0
.
∂x
Eq. 3.19
Similarmente para o deslocamento na direção y tem-se
v = v0 − z
∂w0
.
∂y
Eq. 3.20
As deformações do laminado ficam reduzidas a ε x , ε y , γ xy , em virtude das
hipóteses de Kirchhoff. Considerando pequenas deformações e elasticidade linear,
tem-se
εx =
∂u
∂v
∂u ∂v
.
; ε y = ; γ xy =
+
∂x
∂y
∂y ∂x
Eq. 3.21
Substituindo agora as Eq. 3.19 e Eq. 3.20 na Eq. 3.21, tem-se as deformações,
dadas por
⎧ε x ⎫ ⎧ε 0x ⎫ ⎧ κ x ⎫
⎪ ⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎨ε y ⎬ = ⎨ε y ⎬ + z ⎨ κ y ⎬
⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪
⎩ γ xy ⎭ ⎩⎪ γ xy ⎭⎪ ⎩ κ xy ⎭
Eq. 3.22
onde ε 0x , ε 0y , γ 0xy são as deformações na superfície média, expressas por
⎧ ∂u0 ⎫
⎪
⎪
⎧ ε 0x ⎫ ⎪ ∂x
⎪
⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪ ∂v0 ⎪
⎨ εy ⎬ = ⎨
⎬
⎪ 0 ⎪ ⎪ ∂y
⎪
⎪⎩ γ xy ⎪⎭ ⎪ ∂u ∂v ⎪
0
+ 0⎪
⎪
∂
y
∂x ⎭
⎩
Eq. 3.23
25
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
e κ x , κ y , κ xy as curvaturas da deformação na superfície média, dadas por
⎧ ∂ 2 w0 ⎫
⎪
2 ⎪
⎪ ∂x ⎪
⎧ κx ⎫
⎪⎪ ∂ 2 w0 ⎪⎪
⎪ ⎪
⎨ κy ⎬ = − ⎨
2 ⎬
⎪ ⎪
⎪ ∂y ⎪
⎩ κ xy ⎭
⎪ ∂2w ⎪
0
⎪2
⎪
∂
x
∂
y
⎪⎩
⎭⎪
Eq. 3.24
Substituindo a Eq. 3.22 na expressão das tensões (Eq. 3.15) e utilizando as
Eq. 3.23 e Eq. 3.24, obtem-se a distribuição de tensões ao longo da espessura do
laminado,
⎧σ x ⎫ ⎡ Q11 Q12
⎪ ⎪ ⎢
⎨σ y ⎬ = ⎢Q12 Q22
⎪ ⎪ ⎢Q
Q26
⎩τ xy ⎭k ⎣ 16
Q16 ⎤
⎥
Q26 ⎥
Q66 ⎥⎦
k
⎧⎧ε 0x ⎫ ⎧ κ ⎫⎫
⎪⎪⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪ x ⎪⎪⎪
⎨⎨ε y ⎬ + z ⎨ κ y ⎬⎬
⎪⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪⎪
κ
⎩⎪⎩⎪ γ xy ⎭⎪ ⎩ xy ⎭⎭⎪
Eq. 3.25
onde k representa a k -ésima lâmina. Note que os termos Qij são diferentes para
cada camada do laminado, e a variação das tensões através da espessura do
laminado não é necessariamente linear, apesar da variação da deformação ser
linear.
3.3.2 Forças e Momentos Resultantes no Laminado
Normalmente em um laminado não são as tensões ou deformações os
parâmetros conhecidos, mas sim as forças e momentos externos atuantes. Assim,
para relacionar tensões com os esforços atuantes, definem-se forças e momentos
resultantes, através da integração em relação à espessura total h do laminado.
A força resultante Nx em relação ao eixo x é expressa como
h/ 2
Nx =
∫
−h / 2
σ x dz.
Eq. 3.26
26
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
O momento resultante Mx, provocado pela distribuição das tensões σx, é dado
por
h/ 2
Mx =
∫
σ x z dz.
Eq. 3.27
−h / 2
Considerando as forças resultantes em todos os eixos e também substituindo a
integral contínua pela soma de integrais que representam a contribuição de cada
lâmina, tem-se
⎧Nx ⎫
⎧σ x ⎫
⎧σ x ⎫
NL zk
⎪
⎪ h/ 2 ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ N y ⎬ = ∫ ⎨σ y ⎬ dz = ∑ ∫ ⎨σ y ⎬ dz,
k =1 zk −1 ⎪
⎪
⎪ −h / 2 ⎪ ⎪
⎪
⎩ N xy ⎭
⎩τ xy ⎭
⎩τ xy ⎭k
Eq. 3.28
onde N L é o número total de lâminas. Os limites zk e zk −1 da integral da Eq. 3.28
são as variações nas espessuras do laminado, lâmina a lâmina, e z0 = −h / 2 ,
corresponde o ponto inicial, conforme visualizado na Figura 3.5.
Figura 3.5 - Geometria e definição das coordenadas ao longo das camadas do
laminado.
27
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
Da mesma forma, os momentos resultantes são dados por
⎧M x ⎫
⎧σ x ⎫
⎧σ x ⎫
NL zk
⎪
⎪ h/ 2 ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ M y ⎬ = ∫ ⎨σ y ⎬ z dz = ∑ ∫ ⎨σ y ⎬ z dz.
k =1 zk −1 ⎪
⎪
⎪ −h / 2 ⎪ ⎪
⎪
⎩ M xy ⎭
⎩τ xy ⎭
⎩τ xy ⎭k
Eq. 3.29
As direções e convenção de sentido positivo das forças e momentos
resultantes estão representadas na Figura 3.6.
Figura 3.6 - Representação do sentido positivo das forças e momentos resultantes
no laminado.
Substituindo a Eq. 3.25, nas Eq. 3.28 e Eq. 3.29 e colocando a matriz
constitutiva reduzida, Qij , para fora da integral, pois é constante ao longo da
espessura de uma lâmina k , obtêm-se as forças resultantes em função da matriz
constitutiva reduzida e das deformações,
⎧Nx ⎫
⎡ Q11 Q12
⎪ ⎪ NL ⎢
⎨ N y ⎬ = ∑ ⎢Q12 Q22
⎪ ⎪ k =1 ⎢Q Q
26
⎣ 16
⎩ N xy ⎭
Q16 ⎤
⎥
Q26 ⎥
Q66 ⎦⎥
k
⎧ ⎧ε 0x ⎫
⎫
⎧κ x ⎫
zk
⎪⎪ zk ⎪⎪ 0 ⎪⎪
⎪ ⎪
⎪⎪
ε
+
κ
dz
zdz
⎨∫ ⎨ y ⎬
∫ ⎨ y⎬ ⎬
zk −1 ⎪
⎪ zk −1 ⎪ 0 ⎪
⎪
⎪
⎩κ z ⎭
⎩⎪ ⎪⎩ γ xy ⎪⎭
⎭⎪
Eq. 3.30
bem como os momentos resultantes em função dessas mesmas quantidades,
28
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
⎧M x ⎫
⎡ Q11 Q12
⎪
⎪ NL ⎢
⎨ M y ⎬ = ∑ ⎢Q12 Q22
⎪
⎪ k =1 ⎢Q Q
26
⎣ 16
⎩ M xy ⎭
Q16 ⎤
⎥
Q26 ⎥
Q66 ⎥⎦
k
⎧ ⎧ε 0x ⎫
⎫
⎧κ x ⎫
zk
⎪⎪ zk ⎪⎪ 0 ⎪⎪
⎪ ⎪ 2 ⎪⎪
⎨ ∫ ⎨ε y ⎬ zdz + ∫ ⎨ κ y ⎬ z dz ⎬ .
zk −1 ⎪
⎪ zk −1 ⎪ 0 ⎪
⎪
⎪
⎩κ z ⎭
⎪⎩ ⎪⎩ γ xy ⎪⎭
⎭⎪
Eq. 3.31
Como ε 0x , ε 0y , γ 0xy e κ x , κ y , κ xy não são funções de z, pois são valores na
superfície média, estes termos podem ser removidos para fora da integral. Assim, as
Eq. 3.30 e Eq. 3.31 podem ser reescritas da seguinte forma
⎧ N x ⎫ ⎡ A11
⎪ ⎪ ⎢
⎨ N y ⎬ = ⎢ A12
⎪ ⎪ ⎢A
⎩ N xy ⎭ ⎣ 16
⎧ M x ⎫ ⎡ B11
⎪
⎪ ⎢
⎨ M y ⎬ = ⎢ B12
⎪
⎪ ⎢B
⎩ M xy ⎭ ⎣ 16
A12
A22
A26
B12
B22
B26
0
A16 ⎤ ⎧ε x ⎫ ⎡ B11
⎪
⎪ ⎪⎪
A26 ⎥⎥ ⎨ε 0y ⎬ + ⎢⎢ B12
A66 ⎥⎦ ⎪ γ 0 ⎪ ⎢⎣ B16
⎩⎪ xy ⎭⎪
0
B16 ⎤ ⎧ε x ⎫ ⎡ D11
⎪⎪ ⎪⎪
B26 ⎥⎥ ⎨ε 0y ⎬ + ⎢⎢ D12
B66 ⎥⎦ ⎪ γ 0 ⎪ ⎢⎣ D16
⎪⎩ xy ⎪⎭
B12
B22
B26
D12
D22
D26
B16 ⎤ ⎧ κ x ⎫
⎪ ⎪
B26 ⎥⎥ ⎨ κ y ⎬
B66 ⎥⎦ ⎪ κ xy ⎪
⎩ ⎭
D16 ⎤ ⎧ κ x ⎫
⎪ ⎪
D26 ⎥⎥ ⎨ κ y ⎬ ,
D66 ⎥⎦ ⎪ κ xy ⎪
⎩ ⎭
Eq. 3.32
onde Aij é a matriz constitutiva (ou também chamada de matriz de rigidez) de
extensão (ou de membrana), dada por
NL
⎛ ⎞
Aij = ∑ ⎜ Q ij ⎟ ( zk − zk −1 ) ,
k =1 ⎝
⎠k
Eq. 3.33
Bij é a matriz de acoplamento flexão-extensão, expresssa por
Bij =
1 NL ⎛ ⎞ 2 2
∑ ⎜ Qij ⎟ ( zk − zk −1 ) ,
2 k =1 ⎝ ⎠ k
Eq. 3.34
e Dij a matriz constitutiva de flexão, obtida por
Dij =
1 NL ⎛ ⎞ 3 3
∑ ⎜ Qij ⎟ ( zk − zk −1 ) .
3 k =1 ⎝ ⎠ k
Eq. 3.35
29
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
Os termos A16 e A26 da matriz de extensão representam o acoplamento entre
extensão e cisalhamento e os termos D16 e D26 representam o acoplamento entre
flexão e torção. A Figura 3.7 resume os termos de acoplamentos da matriz
constitutiva do laminado. Para um laminado simétrico, que ocorre frequentemente
em aplicações, a matriz Bij é nula, e não se tem o acoplamento entre flexão e
membrana. Casos contrários, quando os termos de Bij não são todos nulos, implica
em que um carregamento de membrana no laminado provoca também uma flexão
sobre ele.
Figura 3.7 - Acoplamentos dos termos das matrizes constitutivas.
A Eq. 3.32 pode ser escrita em forma compacta como
⎧ N ⎫ ⎡ A B ⎤ ⎧ ε0 ⎫
⎨ ⎬=⎢
⎥⎨ ⎬.
⎩ M ⎭ ⎣B D⎦ ⎩ κ ⎭
Eq. 3.36
Como geralmente os esforços solicitantes são os valores conhecidos e as
deformações desconhecidas, inverte-se a Eq. 3.36, e desta forma obtêm-se as
30
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
deformações e curvaturas no plano médio em função dos esforços resultantes e da
inversa da matriz constitutiva,
−1
⎧ ε0 ⎫ ⎡ A B ⎤ ⎧ N ⎫
⎨ ⎬=⎢
⎥ ⎨M ⎬ .
B
D
κ
⎣
⎦ ⎩ ⎭
⎩ ⎭
Eq. 3.37
Obtendo-se ε0 e κ a partir da Eq. 3.37 , utilizam-se as Eq. 3.25 e Eq. 3.14 para
se obter as tensões nos sistemas x- y e 1-2, para qualquer lâmina k do laminado.
3.4 Critérios de Falha
Nesta seção são apresentados alguns critérios para prever a falha de um
laminado, todos baseados na falha da primeira lâmina (do inglês first-ply failure).
Nesses critérios, se qualquer lâmina falhar, é considerado que o laminado falhou.
Tais critérios são amplamente aplicados no projeto estrutural de materiais
compostos laminados e alguns deles são utilizados nos problemas de otimização
solucionados no presente trabalho.
3.4.1
Teoria da Máxima Tensão
Na teoria da máxima tensão, para não ocorrer a falha, o valor das tensões nas
direções principais do material ( σ 1 , σ 2 e τ 12 ) devem ser menores que as
correspondentes resistências do material. Estas condições são expressas por
X c < σ1 < X t
Yc < σ 2 < Yt
Eq. 3.38
− S < τ12 < S
onde Xc e Xt são as resistências da lâmina em compressão e tração,
respectivamente, na direção longitudial às fibras, Yc e Yt as resistências em
compressão e tração, respectivamente, na direção transversal às fibras e S a
resistência ao cisalhamento no plano 1-2.
31
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
3.4.2
Teoria da Máxima Deformação
A teoria da máxima deformação limita as deformações do material aos
correspondentes valores de suas deformações de falha. Ela é expressa como
X εc < ε1 < X εt
Yεc < ε 2 < Yεt
Eq. 3.39
− Sε < γ12 < Sε
onde X ε c e X ε t são as deformações normais de falha em compressão e tração,
respectivamente, na direção longitudinal, Yε c e Yε t as deformações normais de falha
em compressão e tração, respectivamente, na direção transversal, e Sε
a
deformação cisalhante de falha no plano 1-2.
3.4.3
Teoria de Tsai-Hill
O critério de Tsai-Hill foi baseado no critério de escoamento de Von Mises,
adaptando-o para materiais ortotrópicos. Para não ocorrer a falha da lâmina, a
seguinte inequação deve ser atendida
σ 12
X2
−
σ 1σ 2
X2
+
σ 22
Y2
+
2
τ12
<1
S2
Eq. 3.40
onde X e Y são as resistências nas direções longitudinal e transversal às fibras,
respectivamente. Entretanto, X e Y devem ser usados adequadamente de acordo
com os sinais das tensões σ 1 e σ 2 . Caso σ 1 for positivo, X = Xt, do contrário, X = Xc.
Da mesma forma, se σ 2 for positivo, Y = Yt, do contrário Y = Yc.
32
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
3.4.4
Teoria de Hoffman
O critério de Hoffman é uma generalização do critério de Tsai-Hill, que leva em
conta as diferenças entre as resistências em tração e compressão. Este critério é
escrito como
2
⎛ 1
⎛1 1⎞
⎛ τ12 ⎞
1 ⎞
+
−
+⎜
−
⎟σ1 + ⎜ − ⎟σ 2 + ⎜
⎟ <1
X t X c YY
Xt Xc ⎝ Xt Xc ⎠
t c
⎝ S12 ⎠
⎝ Yt Yc ⎠
σ 12
3.4.5
σ 22
σ1σ 2
Eq. 3.41
Teoria de Tsai-Wu
Uma forma mais geral de critério de falha, de forma a melhorar a correlação
com resultados experimentais, é dada pela teoria de Tsai-Wu. Para o estado plano
de tensões tal critério é expresso como
2
⎛ 1
⎛1 1⎞
⎛ τ12 ⎞
1 ⎞
+
+ 2 F12
+⎜
−
⎟σ1 + ⎜ − ⎟σ 2 + ⎜
⎟ <1
X t X c YY
Xt Xc ⎝ Xt Xc ⎠
t c
⎝ S12 ⎠
⎝ Yt Yc ⎠
σ 12
σ 22
σ1σ 2
Eq. 3.42
onde F12 é um parâmetro obtido de ensaios experimentais e denominado de
coeficiente de acoplamento entre as tensões normais. Segundo PEREIRA (2003),
pode variar de −1 < F12 < 1 . Note que se F12 = −1/ 2 , recai-se no critério de Hoffman.
3.5
Frequência Natural e Carga Crítica de Flambagem de Laminados
Nesta seção são apresentadas formulações analíticas para prever as
frequências naturais e a carga crítica de flambagem de placas laminadas, utilizando
a TCL e certas hipóteses adicionais. As equações resultantes são utilizadas em
alguns dos problemas resolvidos no Capítulo 5.
33
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
3.5.1
Frequência Natural
Muitas vezes a melhoria da performance dinâmica de uma estrutura está
diretamente relacionada com a otimização de suas frequências naturais, de forma a
diminuir os riscos de ressonâncias causadas por excitações externas. Não é
diferente no caso de materiais compostos laminados. Assim, torna-se importante
prever seu comportamento dinâmico e suas frequências naturais.
Considere uma placa retangular simplesmente suportada nas quatro arestas,
com comprimento a, na direção x e largura b, na direção y, e com espessura total h
na direção z. As lâminas têm espessuras iguais, são caracterizadas por serem
ortotrópicas e o empilhamento é simétrico e balanceado. A seguinte equação
diferencial governa o comportamento dinâmico da placa (GÜRDAL et al. (1999),
JONES (1999) e REDDY (2004)),
D11
∂4w
∂4w
∂4w
∂4w
∂4w
∂2w
+
+
+
+
+
=
−
4
D
2
D
2
D
4
D
D
ρ
h
, Eq. 3.43
(
)
16
12
66
26
22
∂x 4
∂x3∂y
∂x 2 ∂y 2
∂x∂y 3
∂y 4
∂t 2
onde w é a deflexão na direção z, h a espessura total do laminado e ρ a densidade
média ao longo da espessura, dada por
ρ=
1 h / 2 (k )
1 NL (k )
ρ
dz
=
∑ρ
h ∫h / 2
NL k =1
Eq. 3.44
sendo ρ ( k ) a densidade do material na k -ésima lâmina, NL o número total de
lâminas e Dij os componentes da matriz de rigidez de flexão.
Segundo JONES (1999), a presença dos termos D16 e D26 da rigidez de flexão e
que estão associados ao acoplamento flexão-torção na Eq. 3.43 resulta em uma
solução
impossível.
Entretanto,
é
considerado
que
esses
termos
são
negligenciáveis, o que pode ser obtido, exceto para placas muito finas, empilhandose uma lâmina com orientação +θ próxima de uma com orientação −θ (GÜRDAL et
al. , 1999).
34
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
Aplicando as condições de contorno para a placa simplesmente suportada,
dadas por
w = 0 e M x = 0 em
x = 0 e em x = a
w = 0 e M y = 0 em
y = 0 e em y = b
Eq. 3.45
onde M x e M y são os momentos resultantes, definidos na sub-seção 3.3.2, e
fazendo uso de uma abordagem por Rayleigh-Ritz, a solução geral para o
deslocamento transversal w é expressa por (JONES, 1999)
∞
∞
w( x, y,t ) = ∑∑ Amn sin
m =1 n =1
mπ x
n π y i ωmn t
sin
e
,
a
b
Eq. 3.46
onde ωmn é a frequência natural do modo de vibração (m, n), i o número complexo
definido como i = −1 , t a variável tempo e Amn os coeficientes da série de Fourier.
Substituindo a Eq. 3.46 na Eq. 3.43 obtém-se a equação para as frequências
naturais (JONES, 1999)
4
2
2
4
π2 ⎡ ⎛ m⎞
⎛m⎞ ⎛n⎞
⎛m⎞ ⎤
ωmn =
⎢ D11 ⎜ ⎟ + 2 ( D12 + 2 D66 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + D22 ⎜ ⎟ ⎥ ,
ρ h ⎣⎢ ⎝ a ⎠
⎝ a ⎠ ⎝b⎠
⎝ b ⎠ ⎦⎥
Eq. 3.47
m,n = 1, 2 ,3...
3.5.2
Carga de Flambagem
Como as estruturas de materiais compostos laminados possuem geralmente
pequena espessura, se ocorrerem tensões compressivas, elas poderão estar
sujeitas à flambagem. Assim, a previsão da carga de flambagem se torna importante
no projeto de tais estruturas.
Uma formulação para determinar a carga crítica de flambagem para uma placa
retangular simplesmente apoiada nas quatro arestas, com empilhamento simétrico
de lâminas e somente com carregamentos de membrana compressivos Nx e Ny (Nxy =
0), conforme mostra a Figura 3.8, é apresentada por GÜRDAL et al. (1999). Os
35
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
modos de flambagem são senoidais e o fator crítico de flambagem λ cb , que
representa a razão entre carga de flambagem e carga aplicada é dado por
2
2
4
⎛ 2 ⎡ ⎛ p ⎞4
⎛ p⎞ ⎛q⎞
⎛q⎞ ⎤⎞
+
+
+
D
D
D
D
π
2
2
⎜ ⎢ 11 ⎜ ⎟
( 12
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎥⎟
66 ) ⎜
22 ⎜
⎝ a⎠ ⎝b⎠
⎝ a ⎠ ⎥⎦ ⎟
⎜ ⎢⎣ ⎝ a ⎠
λ cb = min ⎜
2
2
⎟
p ,q
⎛ p⎞
⎛q⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟ Nx + ⎜ ⎟ N y
⎜
⎟
a
b
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
Eq. 3.48
onde p e q são os números de meias ondas nas direções x e y, a o comprimento, b
a largura da placa e Dij os componentes da matriz de flexão. Note que a flambagem
ocorre quando o fator crítico de flambagem for menor que 1 ( λ cb < 1 ).
Figura 3.8 - Placa retangular sujeita a carregamentos compressivos.
3.6 Alguns Aspectos sobre o Projeto de Compostos Laminados
O projeto de uma estrutura eficiente de compostos laminados significa
encontrar, para uma determinada aplicação específica, não somente a sua forma ou
espessura, mas projetar as propriedades do material através da escolha das
orientações, número e sequência de empilhamento das lâminas (GÜRDAL et al.,
1999). Os ângulos de orientações das lâminas variam entre -90° e 90° e, por razões
práticas e comerciais normalmente são valores discretos, como por exemplo, 0°,
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
36
±45° e 90°, ou entre 0° e 90°, com incrementos de 15°. Também, como já
mencionado, é possível combinar, em um mesmo laminado, diferentes tipos de
lâminas. Por exemplo, lâminas reforçadas com fibras de vidro e lâminas reforçadas
com fibras de carbono. As primeiras normalmente apresentam menor rigidez e
resistência, mas também um custo menor em relação às segundas.
Assim, o projeto de um laminado visa encontrar a sequência de empilhamento,
com diferentes propriedades em diferentes direções, utilizando as propriedades
naturais de cada lâmina. No entanto, encontrar a melhor sequência de
empilhamento pode se tornar um problema complexo, em função das inúmeras
possibilidades para um determinado número de variáveis. Considerando, por
exemplo, as orientações 0°, 45° e 90°, os números de possíveis soluções para
diferentes números de lâminas do laminado são apresentados na Tabela 3.1. Se
considerarmos agora somente o material como variável, tendo-se a opção de dois
materiais, as quantidades de possíveis soluções são mostradas na Tabela 3.2.
Para os casos de otimização de materiais híbridos têm-se então as
possibilidades para a sequência de orientação de empilhamento multiplicadas pelas
possibilidades obtidas com a sequência de materiais do laminado.
Outro aspecto que está relacionado aos materiais compostos é o projeto com
menor custo em combinação com a otimização do seu comportamento mecânico.
Por exemplo, caso deseja-se minimizar o custo e maximizar a rigidez, ou minimizar o
custo e também o peso, recai-se em um problema de otimização multiobjetivo. A
otimização multiobjetivo de compostos laminados não é abordada no presente
trabalho, podendo o leitor interessado consultar os trabalhos de SOREMEKUM
(1997) e ABACHIZADEH e TAHANI (2009), entre outros.
37
Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados
Tabela 3.1 - Número de possíveis soluções em função da quantidade de lâminas e
de orientações
Quantidade de
lâminas
Quantidade de ângulos
(0°, 45° e 90°)
Número de
possíveis soluções
1
3
3
2
3
9
5
3
243
8
3
6561
10
3
59049
20
3
3486784401
n
3
3n
Tabela 3.2 - Número de possíveis soluções em função da quantidade de lâminas e
de materiais
Quantidade de
lâminas
Quantidade de materiais
(grafite/epoxy-vidro/epoxy)
Número de
possíveis soluções.
1
2
2
2
2
4
5
2
32
8
2
256
10
2
1024
20
2
1048576
n
2
2n
38
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
4 ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS
4.1 Origem dos Algoritmos de Colônia de Formigas
Os algoritmos de colônia de formigas (ACO, do inglês Ant Colony Optimization)
como o próprio nome indica, foram inspirados nas formigas, principalmente no
comportamento que elas apresentam na busca por alimento, mas também no que
diz respeito à organização do trabalho e cooperação entre si. Uma colônia de
insetos é muito organizada e as atividades coletivas dos insetos são realizadas com
a auto-organização. A auto-organização relacionada ao comportamento social dos
insetos é descrita por BONABEAU et al. (1999) como um mecanismo estrutural
dinâmico de um sistema de interações entre os seus componentes. O estudo da
auto-organização social dos insetos aplicado como uma ferramenta a outros campos
do
conhecimento
originou
projetos
de
sistemas
inteligentes
com
estas
características, dentre eles o algoritmo de colônia de formigas.
Outro fator de relevância observado por biologistas diz respeito à forma de
comunicação das formigas. A auto-organização dos insetos necessita de uma
interação entre si. Esta interação pode ser direta, através de antenas, contato das
mandíbulas, contato visual ou contatos químicos. Também pode ser de forma
indireta em que dois indivíduos interagem quando um deles modifica o ambiente e o
outro responde a esta mudança posteriormente (BONABEAU et al., 1999). Assim,
uma informação indireta é transferida através de modificações no ambiente. Esta
forma indireta de comunicação é denominada estimergia, em inglês stigmergy, e
significa estímulo dos trabalhadores para melhorar o seu desempenho (DORIGO e
STÜTZLE, 2004). Já segundo CASTRO (2006), estimergia é o método de
comunicação em que os indivíduos de um sistema se comunicam entre si pela
modificação do ambiente local. Este termo foi introduzido por Grassé (BONABEAU
et al., 1999) para explicar a coordenação de tarefas e a organização das formigas.
As formigas percebem as mudanças realizadas por outras formigas no ambiente e
este torna-se um meio de comunicação. O que torna isto aplicável a algoritmos é
que esta comunicação, estimergia, pode ser quantitativamente operacional, e a
mesma é flexível, cujas perturbações externas podem ser detectadas, observadas, e
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
39
relacionadas às formigas artificiais, porque estas respondem positivamente a estas
perturbações.
Detectou-se que uma forma de comunicação entre as formigas, ou entre as
formigas e o ambiente, baseia-se no feromônio, um elemento químico produzido
pelas formigas (DORIGO e STÜTZLE, 2004). Para algumas espécies de formigas,
como a Lasius niger ou a Argentine Iridomyrmex humilis, o feromônio é utilizado para
fazer trilhas e assim marcar caminhos ao seu redor. As trilhas de feromônio são
utilizadas pelas formigas para se moverem do ninho até uma determinada fonte de
alimentos.
Deneubourg, Aron, Goss, e Pasteels, citados por DORIGO e STÜTZLE (2004),
realizaram um experimento real de ponte dupla com formigas da espécie Argentine
em busca de alimento entre o ninho e a fonte de alimento, conforme representado
na Figura 4.1.
Figura 4.1 - Experimento da ponte dupla para trilha de formigas.
Inicialmente as formigas reais movem-se randomicamente em busca de
alimento, ou seja, realizam buscas exploratórias por possíveis soluções. Ao
encontrarem alimento elas retornam para o ninho depositando feromônio. A
quantidade maior de feromônio significa que mais formigas encontraram este
caminho e depositaram o feromônio, aumentando a probabilidade de este ser o
40
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
melhor caminho ou o mais curto. Assim, este caminho tornou-se uma solução que foi
otimizada em função do nível de feromônio encontrado na trilha.
Os resultados comprovaram que as formigas circulavam pelo caminho com
maior quantidade de feromônio, que também era o mais curto. O depósito de
feromônio estimulava cada vez mais as formigas a optarem pelo caminho com maior
concentração química desta substância, convergindo para um determinado caminho.
A trilha de feromônio está ilustrada na Figura 4.2.
Figura 4.2 - Formação da trilha de feromônio na busca do alimento.
Computando via feromônio a capacidade de se comunicar, marcar e rastrear
as trilhas como formigas artificiais, o algoritmo de colônia de formigas foi criado por
Marco Dorigo em 1992 (DORIGO e STÜTZLE, 2004). Assim, um modelo natural de
trilha de feromônio de insetos foi a base para um sistema artificial. As formigas
artificiais
são
comportamento
também
das
denominadas
formigas
agentes.
artificiais
partiu
A
do
análise
modelo
probabilística
do
estocástico
do
comportamento das formigas reais, conforme descrito por DORIGO e STÜTZLE
(2004).
O nível de feromônio artificial permite a formiga intensificar a busca por um
determinado caminho, ou trilha por um circuito menor e gastando, portanto, menos
41
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
tempo. Isto significa que, quanto maior a quantidade de feromônio na trilha, melhor é
o caminho.
A sensibilidade em relação ao elemento químico permite uma comunicação
interativa entre as formigas reais. A transposição matemática deste nível de controle
ou sensibilidade de feromônio leva à construção da solução heurística de colônia de
formigas artificiais para resolver problemas difíceis de otimização.
As características básicas do algoritmo de colônia de formigas, como explicam
BONABEAU et al. (1999), são: i) a retroalimentação positiva em função das trilhas
de feromônio, isto é, quanto maior o nível de feromônio melhor a qualidade da
solução; ii) o feromônio virtual, cuja quantidade é acrescida nas soluções boas e
decrescida em outras soluções não efetivamente boas evitando a estagnação; iii) o
comportamento cooperativo das formigas, cuja exploração é coletiva; e iv) o reforço
de feromônio nas trilhas de feromônio das formigas que atingiram melhores
desempenhos.
VIANA et al. (2008) apresentam a correspondência entre o que acontece na
natureza e o algoritmo ACO. Tal correspondência está representada na Tabela 4.1.
Tabela 4.1 - Correspondência entre a natureza e o ACO.
Natureza
ACO
Possíveis caminhos entre o ninho e
o alimento
Caminho mais curto
Ação via comunicação por feromônio
Conjunto de possíveis soluções (diferentes vetores das
variáveis de projeto)
Solução ótima
Procedimento de otimização
O processo de obtenção da solução com o algoritmo de colônia de formigas
pode adotar uma representação por grafos. Um grafo é designado por G( N , A ) ,
onde N é o conjunto de nós e A simboliza as arestas entre os nós, e as formigas
artificiais processam a construção da solução através da seleção probabilística dos
nós. Ao comportamento das formigas artificiais adiciona-se uma forma de memória
que armazena parcialmente as trilhas percorridas. Assim, a construção da solução
passa a ter as seguintes características:
42
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
•
Construção de uma solução probabilística para a trilha de feromônio,
sem uma atualização no percurso de ida do circuito;
•
O circuito de retorno é determinístico e com atualização de feromônio. A
atualização
corresponde
à
taxa
de
adição
de
feromônio
e
simultaneamente à taxa de diminuição do mesmo;
•
As soluções geradas são avaliadas pela sua qualidade, e esta avaliação
é usada para determinar a quantidade de feromônio a depositar e a
evaporar, de forma similar ao comportamento das formigas reais para
melhorar a busca pelo caminho de alimento.
4.1.1
Algoritmo Ant System - AS
O algoritmo S-ACO, Simple-ACO ou AS, foi o primeiro algoritmo baseado no
comportamento de formigas a ser desenvolvido por Marco Dorigo, na década de
1990 (DORIGO e STÜTZLE, 2004). Ele adaptou o comportamento das formigas
reais para a obtenção da solução, por meio de grafos para o problema do caixeiro
viajante (problema de caminho mínimo). Relacionou cada aresta (i,j) do grafo
G( N , A ) a uma variável τ ij , denominada trilha de feromônio artificial, ou
simplesmente trilha de feromônio. A construção da solução inicia com cada formiga
partindo de um determinado nó (ninho) e a seleção do próximo nó (alimento) se dá
de forma aleatória para a decisão da escolha, e as informações das arestas são
armazenadas justamente para a tomada de decisão. A quantidade inicial de
feromônio é constante para todos os arcos ou arestas.
As probabilidades pijk nas quais ocorrem as decisões para uma formiga k
percorrer a conexão i, j , são dadas por (DORIGO e STÜTZLE, 2004)
⎧ ⎡τ ⎤α ⎡η ⎤ β
⎪ ⎣ ij ⎦ ⎣ ij ⎦
,
α
β
⎪
pijk = ⎨ ∑ [τ il ] [ηil ]
k
⎪ l∈ Νi
⎪0 ,
⎩
j ∈ Ν ik
j ∉ Ν ik
Eq. 4.1
43
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
onde τ ij é a quantidade de feromônio, α é o parâmetro que controla a influência de
feromônio, ηij é a informação heurística ou valor heurístico que é definida em função
das características do problema, β é o parâmetro que controla a influência da
informação heurística, l é o candidato do conjunto de soluções, Ν ik é o conjunto de
nós de vizinhança viável do nó i , associado à k -ésima formiga.
A atualização de feromônio, dada por
τ ijk ← τ ijk + Δτ k ,
Eq. 4.2
ocorre no retorno do circuito da k -ésima formiga, depositando uma quantidade Δτ k
de feromônio nos arcos visitados. O valor de Δτ k é assumido constante para todas
as formigas. Esta variação de feromônio faz com que os caminhos mais curtos
sejam alcançados pela intensificação da quantidade de feromônio nos melhores
trechos.
A evaporação do nível de feromônio tende a permitir uma convergência das
formigas para um subótimo, ou seja, uma solução nas proximidades do ótimo. Como
a quantidade de feromônio diminui, isto leva à exploração de caminhos alternativos
durante o processo de busca, e a evaporação limita o nível máximo de feromônio,
evitando uma estagnação da solução em um ótimo local. A evaporação respeita a
equação
τ ijk ← (1− ρ )τ ijk ,
∀( i, j ) ∈ A ;
ρ ∈ [ 0,1]
Eq. 4.3
sendo ρ um parâmetro da taxa de evaporação de feromônio do algoritmo AS.
Segundo DORIGO e STÜTZLE (2004), as principais características do AS são:
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
•
44
Somente a adição de uma quantidade de feromônio, Δτ k , não é
suficiente para permitir uma solução efetiva de problemas de
otimização;
•
Uma convergência mais rápida é obtida com a atualização de
feromônio baseada na qualidade da solução;
•
O parâmetro ρ controla o nível de feromônio no AS. Valores muito
grandes do fator de evaporação pioram o comportamento do algoritmo,
em razão das flutuações randômicas;
•
O maior número de formigas eleva a perfomance do algoritmo,
entretanto aumenta o tempo de processamento;
•
A evaporação de feromônio se faz importante, principalmente na
resolução de problemas complexos.
Como o objetivo é a otimização de problemas considerados difíceis, a garantia
de convergência em solução é necessária para se ter resultados considerados
ótimos. A convergência do ACO foi testada e comprovada numericamente para a
função analítica OneMax por GUTJAHR (2008).
4.1.2 Algoritmos de Otimização de Colônia de Formigas (ACO)
O primeiro algoritmo de colônia de formigas (Ant System) deu origem a outros
algoritmos que foram denominados algoritmos de otimização de colônia de formigas,
ACO, do inglês Ant Colony Optimization. Suas principais variantes podem ser
encontradas no Apêndice A.
O algoritmo ACO resume-se em três procedimentos:
•
Construção das soluções com as formigas;
•
Atualização de feromônio;
•
Ações daemon.
O primeiro procedimento é a construção das soluções pelas formigas com base
em um grafo. As formigas movem-se entre os componentes do grafo, variáveis do
problema, estabelecendo uma conexão entre eles. Este movimento é determinado
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
45
estocasticamente e localmente pelas informações das trilhas de feromônio e pela
informação heurística, η , a qual é utilizada para melhorar a eficiência do algoritmo
sendo definida em função das características do problema.
O segundo procedimento está relacionado ao depósito ou à evaporação do
feromônio durante a construção na busca da solução. Quanto maior a quantidade de
feromônio maior a probabilidade de uma mesma conexão ou componente ser usado,
reforçando sua trilha. Por outro lado, a diminuição faz com que se busquem novas
regiões ainda não consideradas, podendo ser regiões próximas do ótimo.
O terceiro procedimento, ações daemon, diz respeito a rotinas que venham a
melhorar a busca em determinado local, ações de busca local, ou um conjunto de
ações globais que possibilitem tomar decisões positivas. O termo daemon, que é
originário da linguagem computacional, significa uma rotina ou um programa criado
para realizar determinada tarefa padrão, com fins específicos, a ser executado
sempre que solicitado.
Na Figura 4.3 é apresentado o pseudocódigo resumido do algoritmo ACO
segundo DORIGO e STÜTZLE (2004).
Figura 4.3 - Pseudocódigo do algoritmo ACO.
Destacam-se, entre as principais variantes dos algoritmos ACO, os seguintes:
MAX-MIN Ant System (MMAS), Ant Colony System (ACS) e o ASRANK. Mais
recentemente, outros pesquisadores vêm introduzindo métodos de melhoria para o
ACO, como XIA et al. (2008) e SOCHA e DORIGO (2008) com o algoritmo ACOR
para problemas com variáveis contínuas. O algoritmo MMAS apresenta melhores
resultados, embora com um tempo computacional maior (DORIGO e STÜTZLE,
46
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
2004). O Ant Colony System, ACS, é descrito e estudado com maiores detalhes em
razão das suas características e vantagens, além do mesmo ser adotado no
presente trabalho.
4.1.2.1
Algoritmo Ant Colony System – ACS
O ACS é uma variante ou extensão do algoritmo AS, e tem as seguintes
características que o torna mais eficiente:
•
Explora a experiência acumulada pelas formigas com mais intensidade
do que o AS;
•
A evaporação e o depósito de feromônio são alterados somente nos
circuitos de melhor qualidade;
•
Remove feromônio nas conexões dos circuitos aumentando a
exploração de outros caminhos diferentes.
Estas alterações no algoritmo AS possibilitaram execuções com tempos
computacionais menores, além de encontrar soluções factíveis ótimas e apresentar
prova de convergência. Estas razões determinaram sua seleção para a
implementação no problema de otimização do corrente trabalho.
O procedimento da construção de soluções na forma da representação por
grafos segue a regra pseudoaleatória proporcional. Para selecionar a próxima opção
j , a partir do ponto i , tal regra é dada por (DORIGO e STÜTZLE, 2004)
{
}
⎧ arg max [τ ] [η ]β ,
il
il
⎪
k
j = ⎨ l∈ Νi
⎪ J ( pijk ) ,
⎩
q ≤ q0 ,
Eq. 4.4
q > q0 ,
onde q é um parâmetro randômico uniformemente distribuído entre 0 e 1 e q0 é um
parâmetro constante, também entre 0 e 1, Ν ik é o conjunto de nós de vizinhança
viável do nó i , associado à k -ésima formiga e J a variável randômica selecionada
47
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
de acordo com a probabilidade pijk , dada pela primeira das equações (4.1). As
outras quantidades desta equação são as mesmas apresentadas na Eq. 4.1.
A parametrização do valor de q0 busca valores em torno da melhor solução ou
define a exploração de soluções alternativas. O parâmetro q0 determina a
importância
relativa
da
GAMBARDELLA, 1997).
investigação
versus
a
exploração
(DORIGO
e
Se q ≤ q0 , procede-se uma investigação na qual, o
elemento com a maior combinação de feromônio e informação heurística é
escolhido. Caso contrário, se q > q0 , a exploração de um novo elemento é
determinado proporcionalmente à sua distribuição probabilística (ABACHIZADEH e
TAHANI, 2009). Um valor alto de α , que é o parâmetro de controle de influência de
feromônio, tende a aumentar a importância probabilística do conhecimento
acumulado. E o valor do parâmetro β influência a importância da característica do
problema com o controle da informação heurística.
A matriz de feromônio, τ ij , é denominada também como medida de
desejabilidade. DORIGO e GAMBARDELLA (1997) observaram experimentalmente
que é a propriedade de desejabilidade que indica se as formigas exploram diferentes
caminhos, então há uma maior probabilidade de uma delas encontrar uma solução
melhor. Segundo estudos com experimentos numéricos realizados por DORIGO e
GAMBARDELLA (1997), a função heurística ηil , também denominada valor
heurístico ou matriz heurística, é importante para que o algoritmo encontre boas
soluções em tempo razoável.
Estes testes numéricos experimentais com o ACS
aplicado ao problema Oliver30, com mais de 30 execuções, e 10000 iterações por
execução, apontaram que a ausência da informação heurística piora o desempenho
do algoritmo (DORIGO e GAMBARDELLA, 1997).
O segundo procedimento das atividades da meta-heurística ACS é a
atualização de feromônio, que se processa via análise local e global. A atualização
local atua junto à construção das soluções, onde uma parcela de feromônio é
reduzida permitindo a exploração de regiões não consideradas e diminuindo a
tendência à estagnação do algoritmo. Realiza-se também um acréscimo de
feromônio favorecendo uma solução subótima, próxima da solução ótima,
48
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
correspondente ao trajeto i, j . A expressão da atualização local de feromônio é
dada por
τ ij ← (1− ξ)τ ij + ξτ 0 ,
0 < ξ < 1,
Eq. 4.5
onde ξ é um parâmetro da taxa de evaporação local de feromônio do algoritmo
ACS. O valor inicial de feromônio τ 0 é calculado por
τ0
=
1
n C nn
Eq. 4.6
sendo n o número de pontos do circuito e C nn o comprimento do circuito, ou a
função objetivo, simbolizada para o problema do caixeiro viajante.
A atualização local altera dinamicamente a desejabilidade ou o nível de
feromônio nas arestas. Toda vez que a formiga utilizar a mesma aresta esta se torna
menos desejável, pois existe perda de feromônio. Dessa maneira as formigas fazem
melhor uso da informação de feromônio (DORIGO e GAMBARDELLA, 1997).
A atualização global se faz a cada iteração do algoritmo, e a mesma se
processa tanto com a evaporação e depósito de feromônio, que são aplicados
somente à melhor solução, ou ao melhor percurso que as formigas encontram e
estão no conjunto T bs .
A aresta correspondente à melhor solução recebe um
reforço de feromônio (DORIGO e GAMBARDELLA, 1997). A atualização global é
dada por
τ ij ← (1− ρ )τ ij + ρΔτ ijbs
,
∀( i, j ) ∈ T bs ,
Eq. 4.7
onde ρ é um parâmetro da taxa de evaporação global de feromônio do algoritmo
ACS e T bs o conjunto das melhores soluções. O valor do feromônio para a melhor
solução da iteração é calculado por
49
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
Δτ ijbs = 1 / C bs ,
Eq. 4.8
sendo C bs o comprimento do circuito da melhor solução da iteração (no caso do
problema do caixeiro viajante), ou o melhor valor da função objetivo (no corrente
trabalho).
DORIGO e STÜLZLE (2004) sugeriram valores dos parâmetros para os
diferentes tipos de extensões de ACO. Para o ACS os parâmetros são ajustados
segundo suas recomendações, os quais estão mostrados na Tabela 4.2, onde m é o
número de formigas. Os demais parâmetros são aqueles explanados a partir das Eq.
4.4, Eq. 4.5 e Eq. 4.7. Os valores dos parâmetros para outras variantes de ACO
encontram-se no Apêndice A.
Tabela 4.2 - Parâmetros para o ACS.
m
α
β
q0
ξ
ρ
5
1
2
0,9
0,1
0,1
4.2 Aplicações da Técnica de Otimização de Colônia de Formigas
Originalmente, o algoritmo de colônia de formigas foi desenvolvido para
resolver o problema do caixeiro viajante, e tem evoluído aperfeiçoando-se com base
na sua característica principal, o feromônio. Em paralelo à sua evolução como
algoritmo, as aplicações que utilizam o ACO também vêm crescendo em diversos
campos que exigem a solução de problemas complexos de otimização.
O ACO tem se mostrado um algoritmo potencial, versátil e aplicável em
pesquisa operacional e aplicações científicas e tecnológicas. A seguir alguns
exemplos de aplicações envolvendo o ACO em diferentes áreas:
•
k-cardinality tree problem, o qual é considerado um problema de
otimização combinatória muito difícil (BLUM e BLESA, 2005);
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
50
•
problemas de sequenciamento de produção (GAJPAL et al., 2006);
•
otimização de estruturas treliçadas (SERRA e VENINI, 2006);
•
problema da mochila multidimensional (KONG et al., 2008);
•
rotas de coleta de lixo (KARADIMAS et al., 2007);
•
testes com funções multimodais e não convexas para encontrar o
mínimo global (TOKSARI, 2008);
•
análise do limite plástico de estruturas (KAVEH e JAHANSHAHI, 2008).
Estas e outras importantes aplicações têm potencializado o algoritmo ACO,
mas o mesmo ainda tem sido pouco usado em problemas de otimização de
estruturas de materiais compostos laminados.
4.3
Ant Colony System (ACS) Aplicado a Materiais Compostos Laminados
As características e vantagens do ACS, descritas na Subseção 4.1.2.1,
determinaram sua escolha para a investigação do presente trabalho, qual seja, a
aplicação a problemas de otimização de materiais compostos laminados. Segundo
DORIGO e STÜLZLE (2004) o ACS possibilita resolver problemas de otimização
com variáveis discretas, com tempo computacional menor em relação às outras
variantes, com atualizações locais e globais de feromônio para evitar estagnação em
mínimos locais. Além disso, é uma das variantes que evoluiu positivamente em
relação ao primeiro ACO.
A obtenção da melhor sequência de empilhamento de um laminado composto é
um problema de otimização combinatória cuja solução via ACO está representada
na Figura 4.4.
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
51
Figura 4.4 - Representação de ACO aplicado a material composto laminado.
A otimização de estruturas e componentes de materiais compostos laminados
geralmente recai em problemas de minimização do peso ou do custo e maximização
da rigidez, ou da carga de flambagem, além de possíveis conjugações multiobjetivos
como: peso e custo, peso e flambagem, etc. As restrições normalmente são os
critérios de falha e as características geométricas do laminado. A Tabela 4.3
apresenta uma correlação do ACS com problemas de otimização de materiais
compostos laminados.
52
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
Tabela 4.3 - Representação do ACO aplicado a materiais compostos laminados.
Características do
problema
Mapeamento do problema
Conjunto
componentes C
dos C = {c ,c ,...,c }
1 2
nc
Conjunto
soluções X
das
Aplicação em laminados
Possibilidades de ângulos de
orientação da lâmina, por exemplo:
C = {02 , ± 15, ±30,±45,±60,±75,902 }
x=
( c ,...,c ) ,( c ,...,c ) ...,
( c ,...,c ) ,...
i
j
j
h
i
h
Todas as soluções candidatas para n
lâminas
Subconjunto S de X
S⊆X
Soluções candidatas para n lâminas
Restrições Ω
Ω
- Simetria e balancemento do laminado;
- Máximo número de lâminas contíguas
com a mesma orientação;
- Falha da primeira lâmina;
- Carga máxima de flambagem
Conjunto
das x ∈ X
soluções factíveis X
Sequências de empilhamento factíveis,
isto é, que respeitem as restrições
Solução ótima s*
s* ∈ X
Sequência ótima de empilhamento
Função objetivo
f(x)
- Peso (a ser minimizado);
- Custo (a ser minimizado);
- Carga de flambagem (a ser
maximizada);
- Resistência (a ser maximizada).
Inicialmente, os caminhos de k formigas são gerados aleatoriamente. Cada
formiga constrói uma solução factível aplicando repetidamente a regra estocástica
(regra de transição de estado) dada pela Eq. 4.4. Enquanto está construindo a
solução, a formiga também modifica a quantidade de feromônio nas arestas
visitadas aplicando a regra de atualização de feromônio local.
As formigas movem-se através de um espaço de busca multidimensional onde
a dimensão do espaço de busca é igual ao número de lâminas multiplicadas pelas
quantidades que podem variar em cada lâmina. Se todas as lâminas forem de um
mesmo material, o espaço será igual ao número de lâminas. Quando houver
possibilidade de escolha de mais de um material, além da orientação, a dimensão do
espaço será duas vezes o número de lâminas. A cada iteração, cada formiga
seleciona um caminho (empilhamento) o qual muda de acordo com a sua própria
53
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
experiência e também com a experiência das outras formigas da colônia. No fim do
caminho, o percurso ou o empilhamento, é avaliado usando a função de avaliação, e
cada formiga deposita feromônio nas arestas (posição de uma dada lâmina) que
tenha sido visitada (BLOOMFIELD et al., 2009).
Na construção da solução, via representação por grafo, a função feromônio tem
valores para cada par de elementos ou para cada par de elementos localizado no
espaço de solução. Uma sequência utilizando todos, ou alguns, destes elementos, é
a solução final para o problema. Os elementos são caracterizados baseados na
natureza do problema (ABACHIZADEH e TAHANI, 2009).
A execução do algoritmo ACS aqui implementado é baseada nos três
procedimentos descritos na Subseção 4.1.2.1. O valor inicial do feromônio τ 0 é
informado no início do algoritmo. Sua quantidade, para o caso de laminados, foi
obtida baseada na Eq. 4.6. Tal equação tem uma relação com a quantidade de nós,
que no presente caso é dada pela quantidade de orientação dos ângulos das fibras
multiplicados pela quantidade de material das lâminas. Como as aplicações de
materiais compostos em estruturas buscam frequentemente a redução de peso, o
valor relativo a esta variável também tem importância na quantidade de feromônio.
Assim, o valor do feromônio inicial τ 0 é adotado como
τ0 =
1
,
NW
Eq. 4.9
onde N é o número de nós, o qual é obtido pela quantidade de orientações dos
ângulos multiplicada pela quantidade de materiais da lâmina, e W o peso inicial do
laminado, obtido com uma sequência aleatória do laminado.
A informação (ou matriz) heurística ηij tem uma relação com o problema a ser
resolvido com o ACO. Para o caso dos laminados que são formados de lâminas que
podem ter espessuras diferentes e formados com materiais também diferentes, a
informação heurística ou matriz heurística proposta no presente trabalho é dada por
54
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
ηij =
1
ej ρ j
Eq. 4.10
onde e j é a espessura da lâmina e ρ j a densidade do material da lâmina.
Os demais parâmetros para o ACS estão detalhados na Tabela 4.2, sugeridos
por DORIGO e STÜLZLE (2004).
O ACO é baseado em um grafo G( N , A ) , definindo N como o conjunto dos
componentes, ou seja, os ângulos das orientações das fibras, e A como a
combinação entre estes componentes, que resultará na sequência de empilhamento
dos ângulos. Uma representação esquemática do grafo mostrando todas as
possibilidades para um laminado de 4 lâminas e 3 opções de orientações para as
lâminas pode ser visualizada na Figura 4.5.
τ ij
Figura 4.5 - Representação esquemática do grafo para um laminado de 4 lâminas
e 3 opções de orientações (0°, 45° ou 90°).
Para um laminado nas mesmas condições anteriores e cuja sequência de
empilhamento é [0, 45, 90, 45] o respectivo grafo está representado na Figura 4.6.
55
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
+
τ
0
τ
ij
+
τ
0
τ
ij
τ0
+
τ ij
Figura 4.6 - Exemplo do grafo para um laminado [0, 45, 90,45].
O grafo G( N , A ) da Figura 4.6 é formado pelo conjunto de nós N = {{0, 45,
90}1, {0, 45, 90}2, {0, 45, 90}3, {0, 45, 90}4}, onde os índices 1, 2, 3 e 4 indica o
número da lâmina e pelo conjunto das arestas destes compontes A = {(0, 45), (45,
90), (90, 45)}, resultante da sequência de empilhamento das lâminas do laminado.
A matriz de feromônio, τ ij , é atualizada partindo de um valor inicial τ 0 igual
para todas as opções, e à medida que a formiga encontra uma lâmina melhor, o
nível de feromônio é atualizado. Para o exemplo em questão, se a sequência de
empilhamento construída θ i = [0, 45, 90, 45] for uma boa solução, um valor adicional
de feromônio é somado nas ligações selecionadas, conforme está representado na
Figura 4.6.
No caso de material composto híbrido as possíveis soluções das orientações dos
ângulos e materiais da sequência de empilhamento têm a sua complexidade com a
adição de diferentes materiais. Para um laminado de 4 lâminas com 3 possíveis
orientações [0°, 45°, 90°] e dois materiais, mat1 e mat2 , o grafo da sequência de
empilhamento [ 45mat1 , 0mat 2 , 0mat1 , 90mat 2 ] está representado na Figura 4.7.
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
56
Figura 4.7 – Exemplo de grafo para um laminado híbrido [ 45mat1 , 0mat 2 , 0mat1 , 90mat 2 ].
De forma resumida, o pseudocódigo do ACO aplicado aos materiais compostos
laminados, considerando somente as orientações como variáveis, está apresentado
na Figura 4.8. Neste pseudocódigo f representa a função a ser minimizada, m o
número de formigas, θ i o ângulo de orientação da lâmina i , NI o número total de
iterações, n o número total de lâminas, % comentário, f * a melhor solução obtida,
f min a melhor solução da iteração, l as soluções obtidas pelas formigas durante a
busca. Uma rotina de busca local foi desenvolvida, a qual é solicitada, caso o
problema a resolver utiliza-a. Esta se resume em construir uma nova solução a partir
de uma boa solução encontrada pelas formigas em uma dada iteração, f min , via
perturbação do ângulo da sequência de empilhamento. O seu pseudocódigo está
representado na Figura 4.9, onde f BL é a solução construída com a busca local. No
Apêndice B é também apresentado um fluxograma do ACO implementado.
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
Figura 4.8 - Pseudocódigo do ACO aplicado a material composto laminado.
57
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
58
Figura 4.9 - Pseudocódigo para a busca local.
4.4 ACO Associado ao Método dos Elementos Finitos (ABAQUS)
O método dos elementos finitos (MEF) é uma técnica de cálculo computacional
utilizada frequentemente para resolver problemas de engenharia. Esta técnica se
baseia em obter uma solução aproximada para as equações diferencias governantes
do problema, como descrito em HUTTON (2004). O MEF pode ser dividido em três
etapas básicas, a primeira etapa é a de pré-processamento, que consiste na
modelagem do problema. A segunda fase é a de solução, em que as equações que
representam o problema são resolvidas, e a última fase é a de pós processamento,
em que as soluções obtidas são avaliadas e analisadas.
O avanço do método de elementos finitos permitiu o seu uso como estratégia na
otimização do projeto de estruturas de material composto, em combinação com
algoritmos de otimização, como avalia ACEVES et al. (2008). Vários softwares
comerciais possibilitam a resolução de problemas com a utilização de materiais
compostos, dentre eles o ABAQUS. O mesmo realiza o cálculo estrutural do
laminado em função de diversos parâmetros como o tipo de material, tipo de
elemento e as condições de contorno (ABAQUS, 2008).
Para o processamento de compostos laminados com geometrias complexas, ou
que não tenham uma solução analítica prática, criou-se uma macro no ABAQUS,
denominada Matlab_Vib.py, cujo objetivo é a integração com o ACO, desenvolvido
em Matlab. O ACO gera a sequência de empilhamento e grava no diretório de
trabalho um arquivo denominado empilhamento.txt com as características do
laminado como: ângulo, material, número de lâminas. No ABAQUS, modela-se a
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
59
estrutura do composto laminado, definindo suas dimensões, condições de contorno,
a malha para o cálculo de elementos finitos, e as propriedades do material. O
arquivo do ABAQUS com essas informações recebe a extensão .cae. Em seguida,
no ABAQUS, a macro é executada. Os dados do arquivo empilhamento.txt são lidos,
o composto laminado é montado e o cálculo por elementos finitos é executado. Após
este cálculo é gerado o arquivo resultados.txt com as informações necessárias para
calcular o valor correspondente da função objetivo e das restrições para a iteração
corrente, e o mesmo é gravado no diretório de trabalho. O ACO, em Matlab, lê o
arquivo resultados.txt e processa os passos do algoritmo correspondentes àquela
iteração. A execução termina quando o número máximo de iterações é alcançado. O
fluxograma que representa este processo se encontra na Figura 4.10.
Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas
Figura 4.10 - Fluxograma da integração do ACO, desenvolvido em Matlab, com o
ABAQUS.
60
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
61
5 RESULTADOS NUMÉRICOS E DISCUSSÃO
Neste capítulo são apresentados os resultados de diversos testes numéricos
realizados com o algoritmo de colônia de formigas na otimização de placas
laminadas retangulares. Foram solucionados problemas de maximização da
resistência, minimização de custo e minimização do peso, nos quais a resposta
estrutural é dada pela Teoria Clássica dos Laminados (TCL). Os resultados obtidos
são comparados com soluções encontradas na literatura. Testes também foram
realizados para um problema de maximização da frequência fundamental de placas.
Nestes últimos, além da TCL, também foi utilizado o programa comercial de
elementos finitos ABAQUS para efetuar o cálculo estrutural.
5.1 Caso 1 - Maximização do Fator Crítico de Carga
O problema solucionado nesta seção também foi investigado por vários
pesquisadores, entre eles KOGISO et al. (1994a) através da otimização via
algoritmos genéticos (AG), e AYMERICH e SERRA (2008) e WANG et al. (2009)
utilizando ACO. Ele consiste em encontrar a sequência de empilhamento ótima que
maximize o fator de carga crítica, que corresponde ao menor valor entre o fator
crítico da carga de flambagem e o fator crítico de falha por deformação para uma
placa retangular simplesmente apoiada, submetida a carregamentos compressivos.
As orientações possíveis para as lâminas são 0°, +45°, -45° e 90°.
Considerou-se como restrição o número máximo de lâminas adjacentes com a
mesma orientação igual a quatro, e o laminado simétrico e balanceado. Para
respeitar a condição de simetria, opera-se somente com a metade das lâminas do
laminado, a outra metade possuindo orientações simétricas. Para o balanceamento
considera-se sempre empilhamento feito por duas lâminas contíguas, cujas
orientações possuem sinais opostos (por exemplo, +45° e -45°, designadas por ±45).
Note que para os ângulos de 0° e 90°, seus respectivos pares negativos são iguais.
Portanto, o número de variáveis (orientações dos pares de lâminas) será igual ao
número total de lâminas dividido por 4. A restrição de número máximo de lâminas
62
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
contíguas foi levada em conta durante a construção da solução, rejeitando-se uma
solução infactível.
O problema de otimização é então formulado como
Obter:
Maximizar:
Sujeito a:
θ k , θ k ∈ {02 , ± 45, 902 } , k = 1 a n ,
λc = min( λcb ,λcf )
- Máximo número de lâminas adjacentes com a mesma
Eq. 5.1
orientação = 4
- Laminado simétrico e balanceado
onde θ k representa as orientações de um par de lâminas contíguas, n é o número
total de pares de lâminas, λc é o menor valor entre λcb e λcf , sendo λcb o fator
crítico da carga de flambagem dado pela Eq. 3.48, λcf o fator crítico de falha dado
pela Eq. 5.2.
O fator crítico de falha por deformação, λcf , é expresso como
⎡
⎛ εu
ε 2u
γ 12u
1
,
,
⎜ Fs ε1k Fs ε 2k Fs γ 12k
⎝
λcf = min ⎢ min ⎜
k
⎢
⎣
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
Eq. 5.2
onde ε iu , i = 1,2 e γ 12u são as deformações de falha, ε ik , i = 1,2 e γ 12k são as
deformações normais e cisalhante, respectivamente nas direções principais do
material da k -ésima lâmina e Fs o fator de segurança. Para o cálculo do fator crítico
de falha λcf foi considerado os valores das deformações máximas de falha levandose em conta um fator de segurança Fs de 1,5.
O material das lâminas é grafite/epóxi, cujas propriedades são apresentadas na
Tabela 5.1.
63
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Tabela 5.1 - Propriedades da lâmina de grafite/epóxi.
Propriedades elásticas do material
Deformações admissíveis
E1 (GPa)
E2 (GPa)
G12 (GPa)
υ12
ε1u
ε 2u
γ 12u
127,59
13,03
6,41
0,30
0,008
0,029
0,015
O laminado é composto por um total de 48 lâminas onde cada lâmina tem uma
espessura e = 0,127 mm. A placa laminada possui comprimento a = 0,508 m e
largura b = 0,127 m e está sujeita a um carregamento biaxial compressivo N x e N y ,
conforme representado na Figura 3.8. Três casos de carregamento foram
considerados, sendo o valor de N y dado em função de N x , conforme apresentado
na Tabela 5.2.
Tabela 5.2 - Cargas aplicadas no laminado.
Carregamento
1
Nx
2
Ny
Nx
3
Ny
Nx
Ny
(N/m) (N/m) (N/m) (N/m) (N/m) (N/m)
175
N x /8
175
N x /4
175
N x /2
Uma análise preliminar foi realizada para o carregamento 2, fixando em 3500 o
número de avaliações da função objetivo. Os parâmetros utilizados no ACO desta
análise são aqueles mostrados na Tabela 4.2. Os resultados das melhores
sequências de empilhamento e fatores de carga encontrados são comparados com
aqueles obtidos por AYMERICH e SERRA (2008) e estão relatados na Tabela 5.3. A
melhor sequência de empilhamento não foi a mesma obtida por AYMERICH e
SERRA (2008), mas apresentam valores muito próximos para os fatores críticos de
flambagem e para os fatores críticos de falha por deformação.
64
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Tabela 5.3 - Caso 1: Comparação de resultados entre ACO (presente trabalho) x
ACO de AYMERICH e SERRA (2008)* para o carregamento 2.
Sequência de empilhamento
Referências
Fator de carga
λcb
λcf
[±452, 902, ±453, 02, ±45, 04, ±45, 02]s
AYMERICH e SERRA
(2008)
12743,45
12678,78
[±45, 902, ±454, (02, ±45, 02)2]s
AYMERICH e SERRA
(2008)
12725,26
12678,78
[902, ±455, (02, ±45, 02)2]s
AYMERICH e SERRA
(2008)
12674,85
12678,78
[±453, 904, ±452, 02, ±45, 04]s
Presente trabalho
12459,75
12690,69
[902, ±454, (02, ±45)3, 02]s
Presente trabalho
12418,12
12690,69
[±452, 902, ±452, 02, ±452, 02, ±45, 04]s
Presente trabalho
12634,43
12690,69
* problema baseado no trabalho de KOGISO et al. (1994a) usando AG.
Para medir o desempenho e a qualidade do algoritmo ACO implementado
foram realizados testes para os três carregamentos. Os indicadores de desempenho
e do custo computacional do processo de busca estão baseados em solucionar o
problema um determinado número de vezes, por exemplo, executá-lo 100 vezes e
em seguida obter: o “preço”; a “solução ótima prática”; a “confiabilidade prática” e o
“preço normalizado” para um número fixo de avaliações da função objetivo
(AYMERICH e SERRA, 2008).
O conceito de “solução ótima prática” é definido como uma fração específica da
solução ótima global de modo a avaliar a qualidade de um projeto. A “confiabilidade
prática” é definida como a probabilidade de alcançar um ótimo prático, isto é, a
relação entre o número de execuções em que foi encontrado um ótimo prático e o
número total de execuções. Por exemplo, se o algoritmo foi executado 100 vezes, e
em 80 delas obteve-se um ótimo prático, a confiabilidade prática é de 0,80 (WANG
et al., 2009). O “preço normalizado” é a média do número de avaliações da função
objetivo para alcançar um ótimo prático, chamado também de “preço”, dividido pela
confiabilidade prática (KOGISO et al., (1994b), WANG et al., (2009)).
65
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Para a definição de uma solução ótima prática foi considerada uma variação de
0,1% da solução ótima global (AYMERICH e SERRA, 2008). As soluções ótimas
práticas obtidas por KOGISO et al. (1994a) e utilizadas como padrão estão
apresentadas na Tabela 5.4, Tabela 5.5 e Tabela 5.6 para os carregamentos 1, 2 e
3, respectivamente.
Tabela 5.4 - Ótimos práticos para o carregamento 1 (KOGISO et al., 1994a).
Sequência de empilhamento
Fator de carga
Flambagem λcb
Falha λcf
[±455, 04, ±45, 04, 902, 02]s
14659,58
13518,66
[±455, 04, 902, 04, ±45, 02]s
14610,85
13518,66
[±452, 902, ±45, (±45, 04)2, ±45, 02]s
14421,31
13518,66
[±454, 02, ±45, 04, ±45, 04, 902]s
14284,15
13518,66
[±454, 02, ±45, 04, 902, 04, ±45]s
14251,66
13518,66
Tabela 5.5 - Ótimos práticos para o carregamento 2 (KOGISO et al., 1994a).
Sequência de empilhamento
Fator de carga
Flambagem λcb
Falha λcf
[±452, 902, ±453, 02, ±45, 04, ±45, 02]s
12743,45
12678,78
[±45, 902, ±454, (02, ±45, 02)2]s
12725,26
12678,78
[902, ±455, (02, ±45, 02)2]s
12674,85
12678,78
66
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Tabela 5.6 - Ótimos práticos para o carregamento 3 (KOGISO et al.,1994a).
Sequência de empilhamento
Fator de carga
Flambagem λcb
Falha λcf
[902, ±452, (902, ±45)2, ±455]s
9998,20
10398,14
[902, ±452, (902, ±45)2, ±454, 902]s
9997,61
10187,94
[(902, ±452)2, (902, ±45)2, ±452]s
9997,61
10187,94
[(902, ±45)2, ±452, (±45, 902, ±45)2]s
9994,84
10187,94
[±45, 904, ±452, 902, ±454, 902, ±45]s
9994,84
10187,94
[(±45, 902)2, 902, ±454, 902, ±452]s
9994,84
10187,94
[904, ±457, 902, ±452]s
9994,69
10398,14
[904, ±456, (±45, 902)2]s
9994,11
10187,94
[(902, ±45)2, ±453, (902, ±45)2, ±45]s
9994,11
10187,94
[±45, 904, (±452, 902, ±45)2, ±45]s
9994,11
10187,94
[904, ±457, 904, ±45]s
9990,61
10187,94
[±45, 904, ±453, 904, ±454]s
9990,61
10187,94
[902, ±453, 904, ±45, 902, ±454]s
9990,61
10187,94
De forma similar ao realizado por AYMERICH e SERRA (2008), os parâmetros
de influência de feromônio α e a taxa de controle de evaporação local de feromônio
ξ foram examinados para identificar quais os melhores valores para um custo
computacional menor possível e uma convergência para uma boa solução. Assim o
algoritmo ACO foi executado 100 vezes para diferentes pares de α e ξ para cada
um dos três carregamentos. Para α foram atribuídos os valores: 0,5; 0,75 e 1,0. A
taxa de controle de evaporação ξ recebeu os valores: 0,1; 0,5 e 0,75. O critério de
parada foi de 1000 avaliações da função objetivo, de modo a determinar o “preço”,
cujo desempenho seja atingido com uma “confiabilidade prática” mínima de 0,85, ou
seja uma probabilidade de 85% de alcançar um ótimo prático. A média dos melhores
valores alcançados, correspondentes aos menores preços e que superam uma
“confiabilidade prática” de 0,85 considerando os três carregamentos foi α = 0,82 e
ξ = 0,35.
Em seguida, com valores fixos dos parâmetros, foi realizada a análise de
desempenho. O preço, o preço normalizado e a confiabilidade prática foram obtidos
também com 100 execuções do ACO com 1000 avaliações em cada execução
67
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
adotando os seguintes valores dos parâmetros: m = 5; α = 0,82; ξ = 0,35; β = 2;
q0 = 0,90 e ρ = 0,1. KOGISO et al. (1994a) realizaram testes semelhantes com um
AG e AYMERICH e SERRA (2008) e WANG et al. (2009) realizaram também esses
testes com um ACO. AYMERICH e SERRA (2008) consideraram os parâmetros m =
1, α = 0,95, ρ = 0,91. WANG et al. (2009) desenvolveram algoritmos de colônia de
formigas denominados MCLACAW1 e MCLACA, sem busca local e com busca local
respectivamente. Os parâmetros do ACO utilizados por estes pesquisadores foram:
m = 10; α = 0,5; q0 = 0,8; ξ = 0,8; ρ = 0,6. A Tabela 5.7 apresenta os valores
adotados neste teste.
Tabela 5.7 – Parâmetros adotados nos testes do caso 1 com ACO.
Parâmetros
ACO
(presente trabalho)
ACO
(AYMERICH e SERRA, 2008)
ACO
(WANG et al., 2009)
m
5
1
10
α
0,82
0,95
0,5
ξ
0,35
-
0,8
β
2
-
-
q0
0,90
-
0,8
ρ
0,1
0,91
0,6
Os resultados comparativos do desempenho dos algoritmos sem a utilização
de uma busca local são apresentados na Tabela 5.8. Os valores para o preço do
ACO do presente trabalho apresentam números próximos ou melhores, entretanto,
neste caso sem busca local, a confiabilidade prática é inferior aos valores
encontrados nas outras referências. A Tabela 5.9 apresenta os testes realizados
com a utilização da rotina de busca local e observa-se que ocorre uma melhora na
confiabilidade prática e no preço, porém, para o carregamento 2, o algoritmo
apresenta um desempenho pior que os demais.
68
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Tabela 5.8 - Comparação do desempenho sem busca local do ACO x AG.
294
199
157
206
Confiabilidade
prática
0,84
0,99
0,52
0,98
Preço
normalizado
350
201
301
210
2
GA (KOGISO et al., 1994a)
ACO (AYMERICH e SERRA, 2008)
MCLACAW1 (WANG et al., 2009)
ACO (presente trabalho)
975
697
625
416
0,78
0,92
0,53
0,11
1250
758
1179
4157
3
GA (KOGISO et al., 1994a)
ACO (AYMERICH e SERRA, 2008)
MCLACAW1 (WANG et al., 2009)
ACO (presente trabalho)
674
487
474
466
0,81
0,71
0,36
0,34
832
686
1316
1374
GA (KOGISO et al., 1994a)
ACO (AYMERICH e SERRA, 2008)
MCLACAW1 (WANG et al., 2009)
ACO (presente trabalho)
* média ponderada pela confiabilidade prática.
639
452
418
284
0,81
0,87
0,47
0,48
789
518
889
596
Carregamento
Algoritmo
Preço
1
GA (KOGISO et al., 1994a)
ACO (AYMERICH e SERRA, 2008)
MCLACAW1 (WANG et al., 2009)
ACO (presente trabalho)
Média
ponderada*
Tabela 5.9 - Comparação do desempenho com busca local do ACO x AG.
154
125
148
141
Confiabilidade
prática
0,80
0,93
1
0,99
Preço
normalizado
193
134
148
142
2
GA (KOGISO et al., 1994a)
ACO (AYMERICH e SERRA, 2008)
MCLACA (WANG et al., 2009)
ACO (presente trabalho)
352
291
502
531
0,81
0,56
0,96
0,21
435
519
523
2586
3
GA (KOGISO et al., 1994a)
ACO (AYMERICH e SERRA, 2008)
MCLACA (WANG et al., 2009)
ACO (presente trabalho)
994
785
445
375
0,45
0,87
0,83
0,78
2209
902
536
481
GA (KOGISO et al., 1994a)
ACO (AYMERICH e SERRA, 2008)
MCLACA (WANG et al., 2009)
ACO (presente trabalho)
* média ponderada pela confiabilidade prática.
416
407
358
275
0,69
0,79
0,93
0,66
605
518
385
416
Carregamento
Algoritmo
Preço
1
GA (KOGISO et al., 1994a)
ACO (AYMERICH e SERRA, 2008)
MCLACA (WANG et al., 2009)
ACO (presente trabalho)
Média
ponderada
69
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Na análise de busca pelos melhores parâmetros, tomou-se como base o
trabalho de AYMERICH e SERRA (2008), assim variou-se somente α e ξ . No
entanto o ACS (variante do ACO utilizada no presente trabalho) utiliza os parâmetros
( m, α , ξ , β , q0 , ρ ), e somente a combinação de dois deles foram utilizados para a
análise do desempenho. Acredita-se que para a obtenção de valores melhores para
os parâmetros é necessário processar a combinação e variação de todos eles. Por
exemplo, variar o número de formigas de 1 a 10 com intervalos unitários, e para os
demais parâmetros iniciando em 0,1 até 1,0, com intervalos decimais. Desta forma
poderia se obter uma melhor correlação e influência de cada parâmetro no problema
a ser resolvido.
5.2 Caso 2 - Minimização do Peso com Restrição na Carga de Flambagem
para Laminado Híbrido
O problema de minimização do peso de uma placa composta laminada
formada por dois tipos de materiais e submetida a uma carga compressiva biaxial foi
formulado e solucionado via AG por GIRARD (2006). As possibilidades para as
orientações das lâminas são 0°, +45, -45 e 90°. As restrições são: um valor limite
mínimo para o fator crítico de flambagem, que depende do número de lâminas do
laminado, e o laminado deve ser simétrico e balanceado.
As características e propriedades dos dois materiais são apresentadas na
Tabela 5.10. Além da sequência ótima de empilhamento é necessária também a
determinação dos materiais. Note que o carbono/epóxi apresenta uma rigidez maior
que o vidro-epoxi.
Tabela 5.10 - Propriedades das lâminas.
Material
Carbono-Epoxi
(C-E)
Vidro-Epoxi
(V-E)
E1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa) υ12
e (mm)
ρ (Kg/m3)
138,0
9,0
7,1
0,30
0,127
1605
43,4
8,9
4,55
0,27
0,127
1993
70
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Os valores para λ min , fator crítico mínimo de flambagem sob carga
compressiva biaxial no laminado correspondente ao seu número total de lâminas,
NL , são mostrados na Tabela 5.11. A placa possui comprimento a = 0,9144 m e
largura b = 0,762 m.
Tabela 5.11 - Valores mínimos para o fator crítico de flambagem e cargas
aplicadas no laminado.
Número de lâminas Flambagem
Carregamento
NL
λ min
36
90
175
175
40
125
175
175
48
225
175
175
52
275
175
175
N x (N/m) N y (N/m)
O problema de otimização é escrito como
Obter:
{θ
k
}
,mat k , θ k ∈ {02 , ± 45, 902 } , mat k = {C − E,V − E} , k = 1 a n
Minimizar: W
Sujeito a: - λ cb ≥ λ min
Eq. 5.3
- Laminado simétrico e balanceado
onde mat k é o material correspondente a cada par de lâminas k , podendo ser de
carbono/epóxi (C-E) ou de vidro/epóxi (V-E), W é o peso do laminado, λ min é o
menor valor admissível para o fator crítico de flambagem e λ cb o fator crítico de
flambagem, este último definido como a relação entre a carga crítica de flambagem e
carga aplicada, conforme a Eq. 3.48. Para o cálculo do peso total em Newton do
laminado foi considerado o mesmo valor de aceleração da gravidade utilizado por
GIRARD (2006), g = 9,9 m/s2. A condição de simetria e balanceamento é tratada da
mesma forma que no caso 1.
71
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Para a restrição sobre o fator crítico de flambagem, λ cb , a função de avaliação
f ( x ) é penalizada. A penalização e a função de avaliação foram adaptadas do
trabalho de GIRARD (2006), e são dadas por
⎧⎪ f ( x ) − Δb g( x ) se g( x ) ≥ 0
F( x ) = ⎨
⎪⎩ f ( x ) + Δp g( x ) se g( x ) < 0
⎛ λ ( x)⎞
g( x ) = ⎜ cb
⎟ −1
⎝ λmin ⎠
Δb = 0,000001
Δp = 1
Eq. 5.4
onde Δb é um valor de bonificação e Δp um valor de penalização e g( x ) a
restrição. A função a minimizar f ( x ) , que no presente caso é o peso W , é
penalizada ou bonificada em função da restrição g( x ) . Se a mesma for menor ou
igual a zero recebe uma bonificação Δb e caso contrário, uma penalização Δp . Note
que a restrição é satisfeita para g( x ) > 0 .
Os parâmetros utilizados para o ACO são aqueles relacionados na Tabela 4.2.
Os resultados para a minimização do peso estão apresentados na Tabela 5.12, e
são comparados com aqueles obtidos por GIRARD (2006) em 50 execuções
independentes.
Para cada caso foram feitas 100 execuções independentes,
mantendo o padrão adotado no presente trabalho.
O valor n f representa a média do número total de avaliações da função
objetivo para encontrar a melhor solução e DP o respectivo desvio padrão. As
sequências de empilhamento (orientação e material) encontradas pelo ACO são
idênticas àquelas obtidas por GIRARD (2006). Os correspondentes valores de peso
e λcb apresentam pequenas diferenças, provavelmente devido a erros numéricos de
arredondamento. Os números de avaliações para o ACO obter cada um dos quatros
laminados ótimos foram um pouco inferior àqueles necessários através do AG.
Como esperado, todas as lâminas são de carbono-epoxi, pois este é mais rígido e
mais leve que o vidro-epoxi.
72
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Tabela 5.12 - Caso 2: Comparação ACO (presente trabalho) x AG (GIRARD, 2006).
Sequência de Material
NL λ min Método empilhamento (C-E-V-E) Peso (N)
λ cb
n f (DP)
36
90
AG
[±459]s
36/0
50,63
95,64
14320
40
125
AG
[±4510]s
40/0
56,26
131,20
18115
48
225
AG
[±4512]s
48/0
67,51
226,71
27180
52
275
AG
[±4513]s
52/0
73,14
288,24
27160
36
90
ACO
[±459]s
36/0
50,62
95,69 14314 (340)
40
125
ACO
[±4510]s
40/0
56,24
131,23 15439 (204)
48
225
ACO
[±4512]s
48/0
67,49
226,82 26517 (201)
52
275
ACO
[±4513]s
52/0
73,12
288,39 27051 (150)
5.3 Caso 3 - Minimização do Custo com Restrição na Carga de Flambagem e
no Peso para Laminado Híbrido
A minimização do custo de uma placa composta laminada, simétrica e
balanceada, formada por dois tipos de materiais e submetida à carga compressiva
biaxial foi também formulada e solucionada via AG por GIRARD (2006). As
possibilidades para as orientações das lâminas são as mesmas do caso 2: 0°, +45°,
-45° e 90°. As restrições são: máximo peso de 85 N e um limite mínimo para λcb ,
similar ao caso 2.
Os materiais utilizados no laminado são o carbono/epóxi (C-E), com um custo
de oito unidades monetárias por quilograma (8 U/Kg) e o vidro/epóxi (V-E), que tem
um custo de uma unidade monetária por quilograma (1 U/Kg). As características e
propriedades dos dois materiais são as mesmas apresentadas na Tabela 5.10.
São solucionados 3 casos, com os seguintes números totais de lâminas: 48, 52
e 60. Os valores para λ min e para a carga compressiva biaxial aplicada aos
73
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
laminados são mostrados na Tabela 5.13. A placa possui comprimento a = 0,9144
m e largura b = 0,762 m.
Tabela 5.13 - Valor mínimo para o fator crítico de flambagem e cargas aplicadas
no laminado.
Número de lâminas Flambagem
Carregamento
NL
λ min
48
150
175
175
52
250
175
175
60
375
175
175
N x (N/m) N y (N/m)
O problema de otimização é então escrito como
Obter:
{θ
k
}
,mat k , θ k ∈{02 , ± 45, 902 } , mat k = {C − E,V − E} , k = 1 a n
Minimizar: Custo do material do laminado
Sujeito a: - λ cb ≥ λ min
Eq. 5.5
- W ≤ Wmax = 85 N
- Laminado simétrico e balanceado
Similar ao caso 2, as restrições sobre λcb e W foram levadas em conta através
da penalização da função de avaliação f ( x ) . As penalizações consideradas e a
função de avaliação foram adaptadas de GIRARD (2006) e são dadas por
74
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
se g min = 0
⎧⎪ f ( x ) − Δb g soma
F( x ) = ⎨
se g min ≠ 0
⎪⎩ f ( x ) + Δp g min
g min = min ( 0; g1 ( x ) ; g 2 ( x ) )
g soma = g1 ( x ) + g 2 ( x )
g1 ( x ) =
λcb
− 1 + Δg
λmin
g2 ( x ) = 1 −
Eq. 5.6
W ( x)
+ Δg
Wmax
Δb = 0,000001
Δp = 1
Δg = 0, 01
onde f ( x ) é função a minimizar, ou seja, no presente caso o custo, g1 é a restrição
para λcb , g 2 a restrição para
W , Δb um fator de bonificação, Δp um fator de
penalização, Δg um fator de relaxamento sobre as restrições e F(x) a função
penalizada. Note que a violação das restrições, já considerando a relaxação, se dá
quando g1 < 0 e/ou g 2 < 0 . A condição g min = 0 corresponde à satisfação de ambas
as restrições, assim a função é bonificada, do contrário é penalizada.
O ACO foi utilizado sem a rotina de busca local. Os resultados dos testes desta
seção bem como os ângulos obtidos por GIRARD (2006) estão apresentados na
Tabela 5.14. Nas sequências de empilhamento os ângulos que estão sublinhados
correspondem às lâminas de material vidro/epóxi (V-E) e os demais às de
carbono/epóxi (C-E). O valor n f representa o número total médio de avaliações da
função objetivo necessário para o algoritmo encontrar a melhor solução e DP o
desvio padrão, obtidos com 100 execuções distintas do ACO e NL o número total de
lâminas. Os resultados de GIRARD (2006) são para 50 execuções.
75
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Tabela 5.14 - Caso 3: Comparação ACO (presente trabalho) x AG (GIRARD, 2006).
NL λ min Método
Sequência de
empilhamento
Material
(C-E-V-E)
Custo
(U)
Peso
(N)
λ cb
n f (DP)
48
150
AG
[±453, ±459]s
12/36
19,99
79,73
165,56
23945
52
250
AG
[±456, ±457]s
24/28
32,21
82,64
259,47
27345
60
375
AG
[±4515]s
60/0
68,19
84,39
442,79
24894
48
150
ACO
[±453, 904 , ±457]s
12/36
19,98
79,73
190,23
52
250
ACO
[902, ±455, 902 , ±455,
02]s
24/28
32,21
82,63
283,09
60
375
ACO
[±4515]s
60/0
68,17
84,36
443,02
23744
(1080)
25581
(1225)
25039
(935)
Da análise das sequências de empilhamento obtidas nota-se que, tanto para o
ACO como para o AG, as melhores configurações do laminado são obtidas com as
lâminas de carbono/epóxi nas superfícies externas. Esta configuração possibilita
satisfazer as restrições de flambagem, pois assim apresenta uma rigidez à flexão
maior e com peso menor. Apesar dos resultados para as orientações dos ângulos
apresentarem uma pequena diferença entre os dois métodos, a sequência de
materiais e os correspondentes custos obtidos, atingiram resultados semelhantes.
Para o laminado de 60 lâminas as sequências de empilhamento obtidas pelo ACO e
pelo AG são idênticas. Já para os laminados com 48 e 52 lâminas, as sequências de
empilhamento obtidas com o ACO não apresentaram todos os ângulos a ±45° e os
fatores críticos de flambagem foram também um pouco superiores.
Os números de avaliações da função objetivo n f foram também próximos para
os dois métodos, sendo que em dois dos três casos o n f para o ACO foi um pouco
inferior.
5.4 Caso 4 - Maximização da Frequência Fundamental de Placas Retangulares
Os problemas solucionados nesta seção são para placas retangulares
simplesmente apoiadas de diferentes relações comprimento/largura ( a / b ) onde
procura-se a sequência de empilhamento que maximize a frequência fundamental.
76
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Utilizando a Teoria Clássica dos Laminados a frequência fundamental ω para
uma dada placa retangular simplesmente apoiada com um dada relação a / b pode
ser obtida através da Eq. 3.47. As orientações das lâminas podem variar de -90° a
90°, com incrementos de 15°, e o laminado deve ser balanceado e simétrico.
Assim, similarmente ao utilizado nos problemas precedentes, considera-se
pares de lâminas, onde elas possuem o mesmo valor absoluto do ângulo de
orientação mas sinais opostos e opera-se somente com a metade do número de
lâminas do laminado, a outra metade possuindo sequência de empilhamento
simétrica.
O problema de otimização é formulado como
θ k , θ k ∈ {02 , ± 15, ± 30, ± 45, ± 60 , ± 75, 902 } , k = 1 a n ,
Maximizar: ω (frequência fundamental)
Obter:
Sujeito a:
Eq. 5.7
Laminado simétrico e balanceado
onde θ k representam as orientações de duas lâminas contíguas, n o número de
pares de lâminas correspondente à metade do laminado devido à condição de
simetria e ω a frequência fundamental a maximizar.
As características geométricas do laminado são apresentadas na Tabela 5.15.
A relação comprimento/largura ( a / b ) varia de 0,2 a 2, com incremento de 0,2. O
laminado possui 8 lâminas de espessura 0,25 mm cada. As propriedades do
material, o grafite/epóxi T300/5208 são informadas na Tabela 5.16.
Tabela 5.15 - Características da placa de laminado.
Número de lâminas Comprimento/Largura Largura
NL
a/b
b (m)
8
0,2 a 2,0
0,25
77
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Tabela 5.16 - Propriedades do grafite/epóxi.
Propriedades elásticas do material Densidade
E1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa)
181
10,3
7,17
υ12
ρ (Kg/m3)
0,28
1600
Os parâmetros do ACO adotados são aqueles apresentados na Tabela 4.2. As
sequências de empilhamento obtidas e respectivas frequências são apresentadas na
Tabela
5.17.
Os
resultados
são
comparados
com
aqueles
obtidos
por
ABACHIZADEH e TAHANI (2009), os quais também utilizaram um algoritmo de
otimização baseado em ACO. O número médio de avaliações n f correspondente a
100 execuções e o desvio padrão (DP) para alcançar a melhor solução via ACO são
também relatados. Nestes casos a melhor solução é a solução ótima do problema
pois ABACHIZADEH e TAHANI (2009) apresenta também os mesmos resultados
obtidos por enumeração de todas as possíveis soluções.
Tabela 5.17 - Caso 4: Sequência ótima de empilhamento de placa retangular.
ACO – ABACHIZADEH e TAHANI (2009)
ACO – Presente trabalho
a/b
Sequência de
empilhamento
ω (rad/s)
Sequência de
empilhamento
ω (rad/s)
n f (DP)
0,2
[04]s
24390
[04]s
24389,88
13,5 (1,7)
0,4
[04]s
6170
[04]s
6170,01
8,8 (2,6)
0,6
[±152]s
2801
[±152]s
2801,00
11,8 (1,0)
0,8
[±302]s
1797
[±302]s
1797,21
18,0 (3,5)
1,0
[±452]s
1413
[±452]s
1413,00
13,0 (3,5)
1,2
[±452]s
1189
[±452]s
1189,11
14,5 (1,7)
1,4
[±602]s
1078
[±602]s
1077,86
16,0 (1,2)
1,6
[±752]s
1016
[±752]s
1016,42
16,5 (0,6)
1,8
[904]s
1003
[904]s
1002,46
13,0 (4,6)
2,0
[904]s
996
[904]s
996,32
7,5 (0,6)
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
78
As sequências de empilhamento encontradas são idênticas àquelas obtidas por
ABACHIZADEH e TAHANI (2009) e as frequências apresentam pequenos desvios,
provavelmente devidos a arrendondamentos. Os números de avaliações médios
necessários são baixos, bem menores que o número de soluções possíveis, que em
cada um dos casos é igual a 49 (72).
Na Seção 4.4 foi apresentada a macro do programa ABAQUS, a qual foi
associada ao ACO, desenvolvido em Matlab. Ela possibilita a otimização via ACO e
cálculo estrutural por elementos finitos. Assim, para efeitos de teste, realizaram-se
as otimizações das placas apresentadas inicialmente nesta seção, mas com o
cálculo da frequência realizado através do ABAQUS.
Na modelagem das placas via elementos finitos utilizou-se elementos do tipo
casca, de 8 nós e 6 graus de liberdade por nó: elemento SR8 do ABAQUS, definido
como elemento de casca semi-espessa, a qual adota a teoria de Mindlin, com a
utilização do princípio variacional de Hu-Washizu (ABAQUS, 2008). A formulação do
elemento é baseada em deformações assumidas com subintegração e estabilização
de modos espúrios. Para solução do problema de autovalores e autovetores,
resultante do problema de vibração livre, foi selecionado o método de Lanczos
(ABAQUS, 2008).
As sequências de empilhamento encontradas foram idênticas àquelas
encontradas via ACO/TCL e estão apresentadas na Tabela 5.18, juntamente com os
correspondentes valores de frequências fundamentais. Na coluna da extremidade
direita desta tabela é mostrada a diferença percentual entre as frequências obtidas
analiticamente (TCL) e numericamente (ABAQUS). Nota-se que esta diferença é
bastante pequena. Os modos de vibração correspondentes às frequências ótimas se
encontram no Apêndice C, onde também podem ser visualizadas as malhas
utilizadas.
79
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Tabela 5.18 - Caso 4: Sequência ótima de empilhamento de placa retangular
obtida via ACO/ABAQUS.
Erro percentual
(Analítico/ABAQUS)
ABAQUS
a / h a / b Sequência de empilhamento
ω
(rad/s)
%
25
0,2
[04]s
24150,68
0,98
50
0,4
[04]s
6138,48
0,51
75
0,6
[±152]s
2791,31
1,03
100
0,8
[±302]s
1745,66
2,87
125
1,0
[±452]s
1385,25
3,56
150
1,2
[±452]s
1148,88
3,40
175
1,4
[±602]s
1053,94
2,45
200
1,6
[±752]s
1010,02
0,84
225
1,8
[904]s
1001,29
0,12
250
2,0
[904]s
995,19
0,11
5.5 Maximização da Frequência Fundamental de Placas Quadradas e
Retangulares com um Furo Central
Os problemas apresentados nesta seção têm seu foco em placas quadradas e
retangulares com furo central, caracterizando estruturas cuja resposta estrutural não
possui solução analítica. Assim, faz-se uso do cálculo por elementos finitos
associado à otimização por algoritmo de colônia de formigas. Para tal utiliza-se a
interface entre o ACO, desenvolvido em Matlab e o ABAQUS, como descrito na
Seção 4.4 e cujos testes iniciais estão mostrados na Seção 5.4.
A formulação do problema de otimização para os casos solucionados nesta
seção é a mesma da Eq. 5.7, alterando a geometria da placa, a qual possui um furo
central. As propriedades do material são as mesmas apresentadas na Tabela 5.16.
A espessura de cada lâmina é de 0,25 mm e o laminado possui um total de 8
lâminas. As dimensões de comprimento e largura são especificadas para cada placa
definidas nas subseções seguintes. Os parâmetros do ACO são os mesmos
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
80
utilizados nos problemas da seção anterior (ver Tabela 4.2). O tipo de elemento finito
e o método de solução do problema de autovalores e autovetores são os mesmos
da Seção 5.4.
5.5.1 Caso 5 - Placa Quadrada com Furo Central
A estrutura a ser estudada é uma placa quadrada, com arestas de 0,25 m e
com um furo central de diâmetro D (Figura 5.1), o qual foi variado de 0 a 0,08 m,
com incrementos de 0,02 m.
Figura 5.1 - Placa quadrada com furo de diâmetro D .
A Tabela 5.19 apresenta os resultados obtidos para este problema.
Devido à simetria do problema e a geometria utilizada é esperado que a solução
ótima encontre resultados com as orientações à ±45º para todas as lâminas,
portanto os resultados obtidos são coerentes.
81
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Tabela 5.19 - Caso 5: Sequência de empilhamento ótima da placa quadrada com
furo com ACO/ABAQUS.
D (m) Sequência de empilhamento ω (rad/s)
n f (DP)
0,00
[±452]s
1362,76
13,3 (1,0)
0,02
[±452]s
1350,26
12,3 (1,0)
0,04
[±452]s
1409,70
9,0 (0,8)
0,06
[±452]s
1632,75
10,5 (0,6)
0,08
[±452]s
2138,23
14,8 (0,5)
A malha da placa quadrada com furo de diâmetro D = 0,08 m está ilustrada na
Figura 5.2. O modo de vibração resultante com a melhor sequência de
empilhamento está representado na Figura 5.3. Os demais modos de vibração para
os diferentes valores do diâmetro D se encontram no Apêndice C. Nota-se
novamente que o número de avaliações para se obter a melhor solução foi bem
inferior ao número total de possíveis soluções (49).
Figura 5.2 - Malha da placa quadrada com furo de diâmetro D = 0,08 m.
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
82
Figura 5.3 - Primeiro modo de vibração da placa quadrada com furo de diâmetro
D = 0,08 m.
5.5.2 Caso 6 - Placa Retangular com Furo Central
Considera-se uma placa retangular com comprimento a = 0,50 m e largura b
= 0,25 m com furos de diâmetro D , no centro da placa, variando de 0 a 0,08 m, a
cada incremento de 0,02 m. Inicialmente foram realizados testes somente com o
ABAQUS, sem otimização, com o objetivo de observar o comportamento das
respostas das frequências para cada alteração nos diâmetros dos furos. Os
resultados são apresentados na Tabela 5.20, onde os valores correspondentes às
frequências fundamentais, foram obtidos com a modelagem de todas as lâminas
orientadas a ±45, ou seja, [±452]s, e no segundo teste todas as lâminas orientadas a
90: [904]s.
83
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
Tabela 5.20 - Sequência de empilhamento da placa retangular com furo com
ABAQUS.
D (m) Sequência de empilhamento ω (rad/s) Sequência de empilhamento ω (rad/s)
0,00
[±452]s
793,94
[904]s
995,19
0,02
[±452]s
783,89
[904]s
961,45
0,04
[±452]s
780,12
[904]s
913,14
0,06
[±452]s
806,89
[904]s
902,08
0,08
[±452]s
868,08
[904]s
926,82
A frequência natural foi maximizada via ACO. Os resultados obtidos são
apresentados na Tabela 5.21.
Tabela 5.21 - Caso 6: Sequência ótima de empilhamento da placa retangular com
furo (ACO/ABAQUS).
D (m) Sequência de empilhamento ω (rad/s)
n f (DP)
0,00
[904]s
995,19
13,3 (1,0)
0,02
[904]s
961,45
13,0 (0,8)
0,04
[±75, 902]s
916,28
12,5 (0,6)
0,06
[±75, 902]s
913,95
10,5 (0,6)
0,08
[±75, 902]s
942,79
15,0 (0,8)
Observando-se os valores obtidos para as frequências na Tabela 5.20 e Tabela
5.21, conclui-se que os mesmos são coerentes. O modo fundamental de vibração
para a placa retangular com furo de diâmetro D = 0,06 m e com a configuração
ótima de empilhamento está representado na Figura 5.4. Os modos fundamentais
para as outras placas com diferentes diâmetros D do furo estão ilustrados no
Apêndice C.
Para os diâmetros D = 0 e D = 0,02, as melhores configurações são todas as
lâminas a 90°. Já para diâmetros D = 0,04, D = 0,06, D = 0,08, os valores de
frequências ótimas são superiores aqueles inicialmente testados (Tabela 5.20) e
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão
84
apresentam lâminas com diferentes orientações. O número de avaliações n f para
se obter as melhores soluções também foi relativamente baixo.
Figura 5.4 - Primeiro modo de vibração da placa retangular com furo de diâmetro
D = 0,06 m.
Capítulo 6 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros
6
85
CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Devido ao crescimento da aplicação dos materiais compostos laminados em
diferentes setores industriais, eles vêm requerendo cada vez mais estudos para
melhorar seu desempenho. A otimização das estruturas formadas por estes
materiais necessitam acompanhar tal crescimento, daí a implementação de diversas
técnicas que estudem e viabilizem projetos desta natureza. O algoritmo de colônia
de formigas proposto neste trabalho e a interface com o programa de elementos
finitos ABAQUS vem contribuir com este objetivo.
A aplicação prática do ACO aos compostos laminados realizados em diversos
testes como a maximização da resistência, a minimização do custo, a minimização
do peso e a maximização da frequência fundamental comprovou ser uma técnica
competitiva com outras existentes na literatura. O desenvolvimento do presente ACO
iniciou com a formulação das características do algoritmo de colônia de formigas,
sua origem, os diferentes tipos existentes de algoritmos, a escolha pelo ACS, sua
formulação matemática e como aplicá-lo aos materiais compostos laminados. A
partir daí foi desenvolvida e implementada uma rotina ACO, considerando variáveis
discretas, representadas pela sequência dos ângulos de orientação das lâminas e
diferentes materiais.
Esta rotina, criada em MATLAB, foi testada em diversos
problemas de otimização formulados para os compostos laminados. Seus resultados
foram apresentados, comparados com soluções disponíveis na literatura e
comentados. O algoritmo executado com os parâmetros sugeridos por DORIGO e
STÜTZLE (2004) se mostrou eficiente na solução dos problemas propostos.
A partir dos diversos testes realizados com o ACO para placas retangulares
com soluções analíticas, iniciou-se o estudo da otimização de materiais compostos
laminados com geometrias mais complexas, ou sem solução analítica. Para estes
últimos problemas criou-se uma rotina ou macro no ABAQUS, interfaceando-o com o
ACO, o que possibilitou a otimização via algoritmo de colônia de formigas de placas
onde o cálculo estrutural é feito pelo método de elementos finitos. Os testes foram
realizados para a maximização da frequência fundamental. Primeiramente com o
ACO e a TCL, para certificar-se dos valores calculados, depois a modelagem e
cálculo no ABAQUS, efetuando-se a comparação e validação de resultados. Na
Capítulo 6 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros
86
sequência utilizou-se o ACO, desenvolvido em Matlab, conectado ao ABAQUS para
a otimização de placas com geometrias complexas, mais precisamente placas
quadradas e retangulares com um furo central.
Os resultados dos diversos testes comprovaram a possibilidade do cálculo e a
otimização via ACO de estruturas de materiais compostos laminados com geometria
relativamente complexa.
Testes numéricos foram realizados com dois parâmetros do ACO diferentes
daqueles sugeridos por DORIGO e STÜTZLE (2004) para avaliar o seu desempenho
através do preço, e da confiabilidade prática. Os valores médios obtidos para o
preço e para a confiabilidade prática foram próximos aos obtidos na literatura.
Entretanto, para um dos testes do caso 1, o desempenho foi pior que os resultados
apresentados por outros métodos. Existe assim a necessidade de realizar testes de
desempenho com uma quantidade maior de parâmetros do ACO, bem como uma
maior combinação de valores melhores para os parâmetros.
Como sugestões para a continuidade do presente trabalho pode-se citar:
•
Implementação de operações para acrescentar e eliminar lâminas,
possibilitando assim a resolução de problemas de otimização de peso com
número variável de lâminas;
•
Otimização de problemas envolvendo funções multiobjetivos, como por
exemplo minimização de peso e custo simultaneamente;
•
Aplicação do ACO na otimização de estruturas do tipo casca e estruturas
com geometrias mais complexas que as placas retangulares com e sem
furo;
•
Realização de um estudo mais detalhado dos diversos parâmetros do
ACO;
•
Realização de testes com outras variantes de ACO;
•
Desenvolvimento de otimização considerando variáveis contínuas (ACOR)
e discretas possibilitando assim ampliar o elenco de problemas de
otimização de estruturas de materiais compostos laminados a serem
resolvidos.
87
Referências
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Apêndice A Principais Algoritmos de Colônia de Formigas
95
APÊNDICE A – PRINCIPAIS ALGORITMOS DE COLÔNIA DE FORMIGAS
Tipos
Autores
Data
Construção da Solução
A formiga k constrói a solução aplicando
Evaporação :
Feromônio
Parâmetros
τ
ρ = [ 0 ,1]
k
ij
← (1− ρ )τ ijk
a regra de probabilidade abaixo:
AS
Ant System
Marco Dorigo
1992
Dorigo,
1992,
Maniezzo
&
1996
⎧ k
[τ ij ]α [ηij ]β
, j ∈ N ik
⎪ pij =
j=⎨
Σl ∈ Ν ik [τ il ]α [ηil ]β
⎪
k
⎩0, j ∉ N i
A informação heurística é dada por
Colorni
ηij =
1
dij
Elitist
System
Ant
Dorigo
1992
Dorigo,
1991,
Maniezzo
Colorni
&
1996
∑ Δτijk
são
k =1
A taxa de feromônio é dada por
k
k
⎪⎧1/ C , arc(i, j ) ∈ Τ ⎪⎫
Δτijk = ⎨
⎬
⎪⎩0, outro
⎭⎪
m é o número de formigas.
Idem AS
Evaporação
Idem
AS,
com
o
m
τ ij ← τ ij ∑ Δτijk + eΔτbsij ; Δτijk - Idem
k =1
AS; e a taxa de feromônio é dado por
C bs = comprimento de T bs
Esta variante pode ser sem busca
local – ou com busca local.
parâmetros
α é o parâmetro que influência o
que
feromônio.
determinam
β é o parâmetro que influência a
relativa
da
trilha
de
informação heurística.
feromônio.
feromônio dado por
bs
bs
⎪⎧1/ C , arc(i, j ) ∈ Τ ⎪⎫
Δτbs
⎬
ij = ⎨
⎪⎩0, outro
⎭⎪
os
a influência
C k = comprimento de T k
–
É o primeiro algoritmo ACO.
α , β e m
m
Ν = vizinhança de k
k
i
EAS
Depósito: τ ij ← τ ij
Características e vantagens
e
Parâmetro
=
Reforço adicional de feromônio às
melhores soluções.
Apêndice A Principais Algoritmos de Colônia de Formigas
Tipos
Autores
Data
96
Construção da Solução
Idem AS
ASRANK
Rank
Based
Bullnheimer,
1997,
Hartl & Strauss
1999
Feromônio
Parâmetros
Evaporação – Idem AS
Características e vantagens
A cada iteração somente é permitido
adicionar
w −1
τ ij ← τ ij + ∑ ( w − r ) Δτijr + wΔτbsij
feromônio
à
melhor
formiga da iteração.
r =1
Ant System
Δτijr = 1/ C r , onde r é o melhor da
iteração.
Δτbs
= 1/ C bs , e bs é a melhor de
ij
todas as soluções.
Idem AS
Idem AS com [ τ min, τ max ] dados por:
a
é
um
parâmetro.
MMAS
Stültze & Hoos
1996,
τ min
=
τ max
a
; τ max
=
MAX-MIN Ant
System
Stültze
1999
Δτbest
= 1/ C best
ij
Δτ
best
ij
= 1/ C
b) Intervalo definido de feromônio;
1
ρ C bs
2000
ib
C ib = melhor da iteração.
a) Exploração do melhor circuito;
c) τ ij - inicia em τ max ;
Com ρ
=
0,02
o
algoritmo
apresenta
d) Reinicializar após a estagnação
ou se não houver melhora em
determinado número de iterações.
bons
e) A exploração de soluções é maior;
resultados.
f) Prova da
convergência (com
GBAS e ACObs, τ min (θ);
g) Baixa taxa de evaporação;
h) Uma das melhores variantes do
AS, seguido do ACS e ASRANK.
Apêndice A Principais Algoritmos de Colônia de Formigas
Tipos
Autores
97
Data
Construção da Solução
Feromônio
A construção das soluções realiza-se
Atualização local de feromônio dado por
q0 = 0 ,90
τ ij ← (1− ξ)τ ij + ξτ 0
q
ξ é um parâmetro de evaporação local
variável
aplicando a regra pseudoaleatória dado
por
{
ACS
Ant Colony
Dorigo,
&
1997
Gambardella
}
⎧arg max [τ ] [η ]β ,
il
il
⎪ l∈ Νik
⎪
⎪
j = ⎨J ,
⎪
⎪
k
⎪⎩ J ( pij )
q ≤ q0 ,
Atualização
a
opção
(Evaporação
e
c) Existe a remoção de feromônio
para aumentar a busca de novas
ξ = 0,1
alternativas e evitar a estagnação;
em
função
da
global entre 0 < ρ < 1
inicial
é
dado
por
τ0
=
probabilidade p , semelhante ao AS
k
ij
A informação heurística é dada por
ηij =
longo do melhor trecho
O feromônio
τ ij ← (1− ρ)τ ij + ρΔτbsij ∀(i, j ) ∈ T bs
bs
Δτbs
ij = 1/ C
η
1
nC nn
a
h) Retornam soluções de melhor
qualidade
heurística
[0,1]
ANT-Q
(semelhante
ACS)
Gambardella &
1995
Dorigo
Dorigo,
Gambardella
&
1996
γ
é
um
parâmetro
para
curtos
tempos
computacionais;
=
parâmetro
Idem ACS, com τ 0 = γ max , j ∈ N ik ⎡⎣τ ij ⎤⎦
e) Regra de escolha pseudoaleatória
g) Explora locais não visitados;
é
ρ
Idem ACS
d) Valor de q0 = 0 ,90 alto
f) Busca muito agressiva;
informação
1
.
dij
b) A evaporação e depósito de
feromônio são alterados somente ao
[0,1]
ρ é um parâmetro de evaporação
aleatória
uma
Depósito)
q0 = parâmetro
J
Global
é
Características e vantagens
a) Explora a experiência acumulada;
randômica
entre 0 < ξ < 1
q > q0
q = variável randômica [0,1]
System
Parâmetros
i)
Prova
da
convergência
(com
GBAS e ACObs, τ min (θ).
A diferença entre o ACS e o ANT-Q
é a quantidade inicial de feromônio,
o termo τ 0 .
Apêndice A Principais Algoritmos de Colônia de Formigas
Tipos
Autores
Data
Construção da Solução
pijk =
ANTS
Approximate
Maniezzo
98
ζτ ij + (1− ζ)ηij
Σ
k
l ∈ Νi
ζτ il + (1 − ζ )ηil
Feromônio
1999
⎧ ⎛
⎫
C k − LB ⎞
k
1
ϑ
−
⎪ ⎜
⎟ , arc(i, j ) ∈ T ⎪
k
Δτij = ⎨ ⎝ Lavg − LB ⎠
⎬
⎪
⎪
⎩0
⎭
Tree
Características e vantagens
a) Usa limite inferior (LB);
b) Nova regra a construção da
k =1
Nondetermini
stic
0 < ζ <1
m
τ ij ← τ ij + ∑ Δτijk
, j ∈ σ N ik
Parâmetros
Search
ϑ
seleção;
c)
Modificação
do
depósito
de
feromônio;
d) Explora a idéia da programação
matemática.
m
τ ij ← (1− ρ)τ ij + ρ ∑ Δτijk
k =1
Soluções factíveis Srx
Blum, Roli &
Hyper-cube
2001
Dorigo
v ∈ Rn ,
combinações
vetores binários x ∈ B
convexas
n
AS
Blum, Dorigo
2004
v = ∑ γi xi , x ∈ Bn
dos
⎧ 1/ C k
⎫
, arc(i, j ) ⎪
⎪ m
⎪
⎪
Δτijk = ⎨ ∑ (1/ C k )
⎬
h
=
1
⎪
⎪
⎪⎩0,
⎭⎪
a)
Baseado
matemática
na
para
programação
problemas
otimização combinatória;
b) Vetores binários;
c) A quantidade de feromônio é
forçado a ficar no intervalo [0,1].
γi ∈ [0,1], ∑ γi = 1 ; e τ = (τ1, ..., τn )
de
Apêndice A Principais Algoritmos de Colônia de Formigas
Tipos
Autores
99
Data
Construção da Solução
pl =
Feromônio
A
wl
k
∑w
r
r =1
A probabilidade é escolhida com a função
Gaussiana dada por
ACOR
Ant Colony
Optimization
2006
k
1
l =1
σ li 2π
i
l =1
Marco Dorigo
for
Continuous
k
G ( x ) = ∑ wl g ( x ) = ∑ wl
i
onde
Domains
⏐sei − sli⏐
e =1 k − 1
k
σ li = ξ∑
ξ >0
| ω |=| μi |
| σ i |= k
de
feromônio
é
(
− x −μil
e
2σ li 2
)
2
ξ >0
Características e vantagens
a)
Desenvolvido
para
variável
armazenada como uma solução no
contínua;
arquivo T e cada solução Se , para um
b) A melhor solução é atualizada no
problema n - dimensional do ACOR
procedimento de busca local.
Armazena em T as n variáveis e os
Krzysztof
Socha,
informação
Parâmetros
valores da função objetivo f ( Se ) .
Apêndice B Fluxograma do Algoritmo ACO Aplicado aos Materiais Compostos Laminados
100
APÊNDICE B – FLUXOGRAMA DO ALGORITMO ACO APLICADO
AOS MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS
Apêndice C Modos de Vibração Fundamental de Placas Apresentadas nas Seções 5.4 e 5.5
101
APÊNDICE C – MODOS DE VIBRAÇÃO FUNDAMENTAL DE PLACAS
APRESENTADAS NAS SEÇÕES 5.4 E 5.5
Modos de vibração para a placa retangular com ABAQUS e ACO/ABAQUS
(a/b)
0,2
0,8
1,4
2,0
ABAQUS
ACO e ABAQUS
Apêndice C Modos de Vibração Fundamental de Placas Apresentadas nas Seções 5.4 e 5.5
Modos de vibração para a placa quadrada com furo de diâmetro D
Resultados
D = 0,02 m
θ k = [±452]s
ωmax = 1350,26 (rad/s)
D = 0,04 m
θ k = [±452]s
ωmax = 1409,70 (rad/s)
D = 0,06 m
θ k = [±452]s
ωmax = 1632,75 (rad/s)
D = 0,08 m
θ k = [±452]s
ωmax = 2138,23 (rad/s)
ACO e ABAQUS
102
Apêndice C Modos de Vibração Fundamental de Placas Apresentadas nas Seções 5.4 e 5.5
103
Modos de vibração para placa retangular com furo de diâmetro D com ABAQUS
D (m)
0,02
0,04
0,06
0,08
Lâminas com orientações a ±45°
Lâminas com orientações a 90°
Apêndice C Modos de Vibração Fundamental de Placas Apresentadas nas Seções 5.4 e 5.5
Modos de vibração para a placa retangular com furo de diâmetro D
Resultados
a = 0,50 m
b = 0,25 m
D = 0,02 m
θ k = [904]s
ωmax = 961,45 (rad/s)
a = 0,50 m
b = 0,25 m
D = 0,04 m
θ k = [±75, 902]s
ωmax = 916,28 (rad/s)
a = 0,50 m
b = 0,25 m
D = 0,06 m
θ k = [±75, 902]s
ωmax = 913,95 (rad/s)
a = 0,50 m
b = 0,25 m
D = 0,08 m
θ k = [±75, 902]s
ωmax = 942,79 (rad/s)
ACO e ABAQUS
104
Anexo A Teoria dos Grafos
105
ANEXO A – TEORIA DOS GRAFOS
A.
INTRODUÇÃO
Este anexo apresenta de forma resumida a teoria dos grafos e as formulações
sobre probabilidade estocástica. Estas teorias foram aplicadas no desenvolvimento
do algoritmo de colônia de formigas. A teoria dos grafos estuda objetos
combinatórios, onde os grafos são bons modelos para muitos problemas em vários
ramos da matemática, da informática, da engenharia e da indústria, segundo
FEOFILOFF et al. (2009).
A.1 Definição
A palavra grafo é originária do inglês graph. O grafo G é uma estrutura
matemática constituída pelos conjuntos V , e E . Onde V é o conjunto finito e não
vazio de n vértices ou nós, e E é o conjunto de m arestas, e as arestas são pares
formados pelos vértices de V . A Figura A.1 representa graficamente os vértices
a, b, c , as arestas {a,a} , {a,b} , {b,c} e o laço {a,a} .
Figura A.1 - Exemplo de grafo.
Anexo A Teoria dos Grafos
106
A.2 Representação do Grafo
A Equação A.1 apresenta a formulação para o grafo, cuja representação é
G (V ,E ) ou G = (V ,E )
Eq. A.1
onde G é o grafo, V é o conjunto dos vértices e E é o conjunto das arestas.
A.3 Exemplo do Grafo
A formulação de um exemplo de grafo é dada como
G (V ,E ) ou G = (V ,E )
V = {a,b,c}
Eq. A.2
E = {{a,a} ,{a,b} ,{b,c}}
Laço (loop) = {a,a}
onde a , b , c são os vértices de V , e os pares
{a,a} , {a,b} , {b,c}
são as arestas
de E . O par com o mesmo vértice forma um laço {a,a} .
A.4 Algumas Definições e Características dos Grafos
A teoria dos grafos é extensa e suas variações recebem nomes específicos.
Alguns destes grafos são explicados e denominados como seguem.
A.4.1
Grafo Simples
Os grafos simples não têm o laço nem múltiplas arestas.
A.4.2
Peso do Grafo
É a atribuição de um número real a uma aresta que representa um determinado
peso a esta aresta.
Anexo A Teoria dos Grafos
A.4.3
107
Grafo Direcionado
Grafo direcionado ocorre quando cada aresta tem uma direção atribuída, ou
seja, considera a direção das ligações dos vértices, como na Figura A.2.
Figura A.2 - Exemplo de grafo direcionado.
A.4.4
Circuito Euleriano
O circuito Euleriano é um circuito onde todas as arestas são usadas somente
uma vez. Ou o ciclo que possui todas as arestas do grafo exatamente uma vez.
A.4.5
Grafo Euleriano
O grafo Euleriano é o grafo contendo um circuito Euleriano. A Figura A.3
apresenta um grafo Euleriano, exemplificado para as pontes de Königsberg.
Figura A.3 - Exemplo de grafo Euleriano (As pontes de Königsberg).
Anexo A Teoria dos Grafos
A.4.6
108
Ciclo Hamiltoniano
O ciclo Hamiltoniano é o circuito que tenha todos os vértices, passando através
de cada ponto apenas uma vez. Ou seja, cada vértice só aparece uma vez no ciclo.
A.4.7
Grafo Hamiltoniano
O grafo Hamiltoniano é o grafo que contém um ciclo Hamiltoniano.
O problema do caixeiro viajante, cujo circuito é hamiltoniano, pode ser
formulado com a estrutura da teoria dos grafos como
G (V ,E )
V = {c1 ,c2 ,c3 ,...cn } ,n = 1, 2 ,...n
Eq. A.3
E = {( c1 ,c2 ) ,( c1 ,c3 ) ,( c1 ,c4 ) ,...( c1 ,cn )}
onde cn são as cidades e n é o número de cidades e os pares
( c1 ,cn )
representam
a distância entre as cidades.
A.4.8
Grafo Bipartido
O grafo bipartido ocorre quando seu conjunto de vértices V
pode ser
particionado em subconjuntos V 1 e V 2 , tais que toda aresta de G une um vértice
de V 1 e outro de V 2 , como exemplificado na Figura A.4.
Figura A.4 - Exemplo de grafo bipartido.
Anexo A Teoria dos Grafos
A.4.9
109
Grafo Valorado
O grafo valorado ocorre quando existe uma ou mais funções relacionando V e/ou
E com um conjunto de números.
A.5 Grafo Aleatório
Defini-se G( n ) a coleção de todos os grafos do conjunto de vértices
V = {1,...,n} .
G( n ) = 2 N ,
Eq. A.4
⎛n⎞
N =⎜ ⎟
⎝2⎠
onde n é o número de vértices e N a combinação dos pares formados pelos
vértices. E segundo FEOFILOFF et al. (2009), quase todo grafo tem uma
determinada propriedade P( n ) se a Eq. A.5 for verdadeira.
lim
n →∞
P( n )
=1
G( n )
Eq. A.5
O conjunto G( n ) é baseado na introdução de uma medida de probabilidade
nesse conjunto. Seja p um número no intervalo (0,1) e escolha cada elemento de
V , independentemente, com probabilidade p. Se A é o conjunto dos pares
escolhidos, então (V , A ) é um grafo aleatório em G( n ) . A probabilidade de que o
grafo G (V , A ) assim construído seja idêntico a um determinado elemento de G( n )
que tenha m arestas é de p m (1 − p )
N −m
. Num grafo aleatório as arestas são
dispostas ao acaso entre os diferentes pares possíveis de vértices, com certa
probabilidade p.
Anexo A Teoria dos Grafos
110
A.6 Teorias de Probabilidade Estocástica
Um resumo das fórmulas da teoria de probabilidade está formulada nas Eq.
A.6, Eq. A.7 e Eq. A.8, baseadas nas informações de VARES e SIDORAVICIUS
(2004).
A.6.1
Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional P ( A\ B ) de A dado B é dada pela Eq. A.6.
A é o subconjunto de um espaço amostral. Os conjuntos em A são chamados
eventos aleatórios (VARES e SIDORAVICIUS, 2004).
P ( A\ B ) =
P ( A ∩ B)
P ( B)
Eq. A.6
onde o espaço de probabilidade é dado por ( Ω, A, P ) e B ∈ A com P ( B ) > 0 e Ω
é um conjunto não vazio.
A.6.2
Fórmula da Probabilidade Total
A formulação para a probabilidade total de B dado A está representada por
n
P ( B ) = ∑ P ( B / Ai ) P ( Ai )
Eq. A.7
i =1
A.6.3
Fórmula de Bayes
A fórmula de Bayes relaciona as probabilidades de A e B com as respectivas
probabilidades condicionadas mútuas e é definida como
Anexo A Teoria dos Grafos
111
P ( Ai | B ) =
onde
P ( B) > 0 ,
Ai
∑
P ( Ai ) P ( B | Ai )
P ( Ai ) P ( B | Ai )
j =1
n
representam as hipóteses de ocorrência,
Eq. A.8
P ( Ai ) sua
probabilidade a priori e P ( Ai | B ) a probabilidade a posteriori, dada à ocorrência de
B.
112
Glossário
GLOSSÁRIO
Daemon
Termo originário da linguagem computacional. É uma
rotina ou programa criado para uma tarefa padrão, com
fins específicos, a ser executado sempre que solicitado.
Feromônio
Substância química usada pelos animais para se
comunicarem. Tratando-se de formigas, é a substância
química produzida pelas mesmas. Estas formam trilhas
marcadas com o feromônio.
Grafo
O grafo G é uma estrutura matemática constituída
pelos conjuntos C e L, onde C é um conjunto finito e
não vazio de n vértices ou nós e L é um conjunto de m
arestas, e as arestas são pares formados pelos vértices
de C. Um grafo é representado por G(C,L) ou G=(C,L).
Heurística
Algoritmos exploratórios não exatos. Heurística vem do
grego heuriskein, que significa descobrir.
Meta-heurística
Método
heurístico,
usualmente
sofisticado,
para
resolver problemas de otimização. Metas-heurísticas
são geralmente aplicadas a problemas que não se
conhece um algoritmo eficiente para solucioná-los.
Exemplos de metas-heurísticas em otimização são:
algoritmos genéticos, simulated annealing, busca tabu
e colônia de formigas.
Otimização combinatória
Ramo da otimização que aborda problemas de
otimização em conjuntos finitos.
Otimização estocástica
Ramo da otimização que trata os problemas por
processo de busca randômica controlada por critérios
probabilísticos.
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Glossário
Otimização determinística
Ramo da otimização baseada em cálculo. Requerem
na maioria dos casos a primeira derivada da função
objetivo em relação às variáveis de projeto.
Stigmergy
Estimergia. Do grego stigma que significa marca,
carimbo ou selo e ergon que significa trabalho. Forma
indireta de comunicação observada em insetos. Esta
comunicação indireta está relacionada com o meio
ambiente e com a interação dos seres no meio de
convívio, levando a cooperação e auto-organização
entre eles.