5910187 – Biofísica II – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 10
Transporte Iônico e o Potencial de Membrana
Até o momento, consideramos apenas o transporte de solutos neutros (sem carga
elétrica) através da membrana celular. A partir de agora, vamos passar a estudar o
transporte de solutos carregados (íons) pela membrana celular.
O fluxo iônico através das membranas das células nervosas é fundamental para o
controle das propriedades de excitabilidade e de geração de pulsos elétricos por
essas células. Esses pulsos elétricos são uma das principais formas de
comunicação entre as células nervosas, de maneira que o entendimento das
propriedades de transporte de íons pela membrana celular é essencial para uma
compreensão do funcionamento do sistema nervoso.
Existe uma diferença de potencial elétrico entre os dois lados da membrana de
qualquer célula viva, animal ou vegetal. O valor de repouso desse potencial é
chamado de potencial de repouso (veja a figura abaixo).
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O potencial de repouso pode ser medido colocando-se um eletrodo dentro da
célula, em contato com o seu citoplasma, e outro eletrodo em contato com a
solução extracelular.
Um esquema de um experimento típico para a medida do potencial de repouso de
uma célula está mostrado na figura abaixo.
Com o uso de técnicas como a ilustrada acima, o potencial de repouso pode ser
medido para diversos tipos de células de plantas e animais. Os resultados indicam
que, quase sempre, o potencial do citoplasma é negativo em relação ao potencial
do meio extracelular.
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Tomando-se como referência para o zero de potencial o seu valor no meio
extracelular, o valor da diferença de potencial Vm entre o interior e o exterior da
maioria das células está entre –100 mV e –10 mV. A figura abaixo dá um
exemplo de uma medida de Vm (o índice m indica membrana).
Existem também diferenças nas concentrações iônicas entre os dois lados da
célula e essas diferenças de concentração são mantidas constantes no repouso. Por
exemplo, o citoplasma tem maior concentração de íons de potássio em relação ao
exterior e menor concentração de íons de sódio em relação ao exterior.
A tabela a seguir dá os valores das concentrações de alguns íons, dentro e fora da
célula, para algumas células selecionadas.
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Concentração (mmol/L)
Íon
Lula
Sapo
Água
Humano
Citoplasma
Sangue
K+
400
20
10
124
2,25
150
5,35
Na+
50
440
460
10,4
109
12 – 20
144
Cl
40 – 150
560
540
1,5
77,5
73,5
111
Ca++
0,0001
10
10
4,9
2,1
–
6,4
Mg++
10
54
53
14,0
1,25
5,6
2,14
−
Salgada
Citoplasma Plasma Citoplasma
Plasma
Concentrações intra- e extracelulares de alguns íons para o axônio gigante de lula, a fibra
muscular do sapo e eritrócitos humanos.
A diferença na composição iônica entre os dois lados da membrana afeta as
propriedades elétricas das células.
As diferenças no potencial e na concentração de íons entre os dois lados da
membrana estão relacionadas, de maneira que mudanças no potencial podem
resultar em mudanças na concentração de íons e vice-versa. A relação entre o
potencial de repouso e a concentração de íons é controlada pela membrana.
Estudaremos a partir de agora esta relação e os mecanismos físico-químicos
responsáveis pela manutenção das diferenças de potencial e de concentração
iônica.
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Eletrodifusão
Nas aulas anteriores consideramos o transporte de partículas na presença de um
gradiente de concentração. Entretanto, se as partículas tiverem carga elétrica e
estiverem sob o efeito de um campo elétrico, haverá transporte de partículas
provocado por dois mecanismos físicos diferentes:
• Difusão, devido à existência de um gradiente de concentração de partículas
entre os dois lados da membrana celular; e
• Arrasto, devido à existência de um gradiente de potencial elétrico entre os
dois lados da membrana celular.
Lembrando das aulas de eletricidade e magnetismo, um gradiente de potencial
elétrico está associado a um campo elétrico pela relação:

E = −∇V
.
(1)
Em uma dimensão (por exemplo, a do eixo-x), que será o caso considerado aqui,
esta relação é:
E =−
∂V
∂x
.
(2)
E uma partícula de carga q movendo-se em um campo elétrico E
(unidimensional) sofre uma força F dada por:
f = qE .
(3)
Esta força elétrica é a força de arrasto (veja a Aula 1, páginas 17 e 18) atuando
sobre as partículas
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Como há dois mecanismos de transporte de partículas carregadas através de uma
membrana celular (difusão e arrasto), podemos escrever as expressões
correspondentes aos fluxos de partículas por esses dois mecanismos.
O fluxo por difusão é descrito pela lei de Fick (Aula 1, equação 1):
φ D = −D
∂c
,
∂x
(4)
onde c é a concentração de partículas (que tem valores diferentes dos dois lados
da membrana) e D é o coeficiente de difusão. Note que o subíndice D foi usado
em φD para indicar explicitamente que este é o fluxo por difusão.
Lembrando da Aula 2 (equação 4), o coeficiente de difusão D pode ser escrito
como
l2
D=
,
2τ
(5)
onde l pode ser interpretado como o livre caminho médio entre duas colisões e τ
pode ser interpretado como o tempo médio entre duas colisões.
Já o fluxo devido ao arrasto provocado pelo campo elétrico pode ser escrito como
(Aula 1, equações 13 e 14):
φ a = cv = ucf ,
(6)
onde:
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• v = velocidade de arrasto de um mol de partículas;
• f = força elétrica por mol de partículas;
• u = mobilidade mecânica molar (u = v/f).
Note o uso do subíndice a em φa para indicar explicitamente que este é o fluxo
por arrasto.
Vamos considerar que as partículas são íons (portanto, com carga) de valência z e
que a força f é causada por um campo elétrico com intensidade E = − ∂V ∂x , onde
V é o potencial elétrico.
Então, a força elétrica sobre um mol de partículas é
f = qE,
(7)
onde q é a carga de um mol de partículas.
A carga de um mol de partículas pode ser escrita em termos da constante de
Faraday F. A constante de Faraday é definida como a carga de um mol de
partículas monovalentes (z = 1).
A carga de uma partícula monovalente é a carga elétrica fundamental e:
e = 1,602 × 10−19 C.
(8)
O número de partículas em um mol é o número de Avogadro:
NA = 6,022 × 1023 mol−1.
(9)
Portanto, o valor de F é:
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F ≡ NA×e = 9,648 × 104 C/mol.
(10)
A carga de um mol de partículas de valência z qualquer é então,
q = zF,
(11)
de maneira que a força elétrica sobre um mol de partículas pode ser escrita como:
f = qE = zFE = −zF
∂V
.
∂x
(12)
.
(13)
Combinando as equações (6) e (12):
∂V
φ a = −uczF
∂x
Esta equação é chamada de lei de Planck.
A lei de Planck descreve o fluxo de partículas carregadas sob a ação de um campo
elétrico em um meio viscoso (note que as partículas não estão se movimentando
no vácuo, mas sofrem colisões com as partículas do meio). Ela implica que o
movimento de cargas elétricas positivas (z > 0) ocorre no sentido contrário ao do
gradiente do potencial elétrico V(x). Já as partículas com carga elétrica negativa (z
< 0) se movem no sentido do gradiente do potencial elétrico V(x).
Combinando as equações (4) e (13), obtemos a equação que descreve o fluxo de
partículas da espécie iônica n sob ação dos mecanismos de difusão e de arrasto:
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∂c (x, t)
∂V (x, t)
φn = −Dn n
−un zn Fcn (x, t)
∂x  .

∂x

 
difusão
(14)
arrasto
Note que as unidades do fluxo escrito acima são número de moles por unidade de
área por unidade de tempo. Se multiplicarmos o fluxo φn pela carga de um mol de
partículas da espécie n, teremos uma grandeza cujas unidades serão carga elétrica
por unidade de área por unidade de tempo. No SI, essa grandeza tem unidades de
C/m2.s (coulombs por metro quadrado por segundo).
A corrente elétrica I em um dado ponto do espaço é definida como a carga
elétrica que passa por esse ponto do espaço dividida pela unidade de tempo. No
SI, a unidade de I é o ampère (A): 1 A ≡ 1 C/s. Portanto, as unidades de fluxo
iônico são as de corrente elétrica por unidade de área. No SI, C/m2.s = A/m2.
Estas são as unidades de densidade de corrente.
Lembrando das aulas de eletricidade e magnetismo, dado um elemento de área dA
de orientação definida pelo versor normal n̂ e supondo que por esse elemento de

área passa uma corrente I cuja direção e sentido correspondem ao de um vetor J
(figura abaixo), a corrente I pode ser escrita como:

I = J ⋅ n̂dA.
(15)
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
J
O vetor
é chamado de densidade de corrente e suas unidades são as de corrente
por unidade de área (no SI, A/m2). Como estamos considerando aqui apenas casos

de fluxos unidimensionais (as direções de J e n̂ são as mesmas), a densidade de
corrente torna-se um escalar J dado por:
I
J= ,
A
(16)
onde A é a área da superfície por onde passa a corrente I.
Voltando à equação (14), multiplicando o fluxo iônico φn pela carga de um mol de
íons da espécie n (znF) teremos a densidade de corrente dos íons da espécie n:
J n (x, t) = zn Fφn (x, t) .
(17)
De forma explícita:
# ∂c (x, t)
∂V (x, t) &
J n (x, t) = −zn F % Dn n
+ un zn Fcn (x, t)
(
$
∂x
∂x ' .
(18)
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Esta é a chamada equação de Nernst-Planck. Ela é a base teórica para a
descrição do fluxo iônico através de membranas celulares em decorrência do
efeito combinado dos gradientes de concentração e de potencial elétrico.
O sinal negativo indica que (lembre-se que a equação 18 indica a densidade de
corrente elétrica):
a) Íons positivos (z > 0): a corrente elétrica aponta na direção oposta dos
gradientes de concentração e de potencial elétrico. Neste caso a corrente
elétrica coincide com a direção do fluxo dos íons.
b) Íons negativos (z < 0): a corrente elétrica aponta na direção do gradiente de
concentração e na direção oposta do gradiente de potencial elétrico (note que o
segundo termo entre parênteses é multiplicado por zn). Como neste caso a
direção da corrente elétrica é contrária à do fluxo de íons (pois os íons são
negativos), o movimento dos íons vai na direção oposta à do gradiente de
concentração, mas na mesma direção do gradiente de potencial.
Esta equação pode ser reescrita usando-se a relação de Einstein obtida na aula 2
(equação 20 da aula 2):
Dn = un RT ,
(19)
onde R é a constante universal dos gases (= 8,314 J/mol.K), e T é a temperatura
absoluta. Substituindo (19) em (18) podemos reescrever a equação de NernstPlanck como:
∂c ( x, t )
∂V ( x, t ) ⎞
⎛
J n ( x, t ) = −un zn F ⎜ RT n
+ zn Fcn ( x, t )
⎟
∂x
∂x ⎠ .
⎝
(20)
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Se cada espécie iônica for conservada, cada íon terá sua própria equação de
continuidade. Conforme a equação (7) da aula 1, a equação de continuidade para
os íons da espécie iônica n é:
∂φ n ( x, t )
∂c ( x, t )
=− n
∂x
∂t ,
(21)
onde φn indica o fluxo dos íons da espécie iônica n.
Lembre-se que o fluxo aqui significa o número de moles da espécie iônica n que
passa por unidade de área por unidade de tempo. Portanto, se multiplicarmos o
fluxo φn pela carga de um mol de íons da espécie n (qn = znF) teremos a densidade
de corrente dos íons da espécie n, Jn(x,t) (equação 17 acima).
Em termos da densidade de corrente Jn(x,t), a equação (21) fica
∂J n ( x, t )
∂c ( x, t )
= −zn F n
.
∂x
∂t
(22)
Assim como se pode deduzir uma equação de continuidade para o número de
partículas (feita na aula 1), que expressa a conservação das partículas, pode-se
também deduzir uma equação de continuidade para a massa de um conjunto de
partículas (conservação da massa) e uma equação de continuidade para a carga de
uma população de partículas carregadas (conservação da carga).
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Como o que nos interessa aqui é a carga, faremos agora a dedução da equação de
continuidade para a carga de uma população de partículas carregadas (íons de
várias espécies diferentes). A demonstração será análoga à feita na aula 1.
Consideremos um elemento de volume com área da seção reta A e comprimento
Δx com densidade de carga ρ e densidade de corrente J, como mostrado na figura
abaixo.
A conservação da carga implica que a carga líquida fluindo para dentro do
elemento de volume em um intervalo de tempo Δt deve ser igual à variação da
carga no interior do elemento de volume no intervalo Δt. Portanto,
J ( x, t ) AΔt − J ( x + Δx, t ) AΔt = ρ ( x, t + Δt ) AΔx − ρ ( x, t ) AΔx .
Rearranjando os termos da equação acima e fazendo Δx → 0 e Δt → 0 , obtemos,
∂J ( x, t )
∂ρ ( x, t )
=−
∂x
∂t ,
(23)
que, em três dimensões, é escrita como
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
∂ρ
∇⋅ J = − .
∂t
(24)
Esta é a equação da continuidade para a carga elétrica (em 1-D e 3-D),
expressando a sua conservação.
Note que ele é equivalente à soma de termos iguais aos da equação (22), um para
cada espécie iônica presente:
∂J n (x, t)
∂cn (x, t)
=
−z
F
∑ ∂x ∑ n ∂t ⇒
n
n
%
(
%
(
∂'∑ J n *
∂ '∑ zn Fcn *
&n )
&
)
⇒
=− n
⇒
∂x
∂t
∂J
∂ρ
⇒
=− .
∂x
∂t
Uma das equações fundamentais do Eletromagnetismo é a lei de Gauss (1a lei de
Maxwell), que escrita na forma diferencial em uma dimensão é:
∂E ( x, t ) ρ
= ,
∂x
ε
(25)
onde ρ é a densidade de carga (C/cm3) e ε é a permissividade elétrica do meio.
Expressando o campo elétrico em termos do potencial elétrico,
E(x, t) = −
∂V (x, t)
,
∂x
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a lei de Gauss pode ser escrita como,
∂ 2V ( x, t )
ρ
=
−
ε,
∂x 2
(26)
que é conhecida como equação de Poisson.
Em três dimensões, as equações (25) e (26) são:
 ρ
∇⋅E =
(27)
ε
e
∇ 2V = −
ρ
ε .
(28)
A densidade de carga é formada por dois termos, um devido às cargas móveis e
outro devido às cargas fixas, imóveis no meio.
A densidade de cargas móveis (isto é, que fluem pelo meio) associada aos íons da
espécie n é, como na equação (17):
ρn (x, t) = zn Fcn (x, t) .
(29)
Já a densidade de cargas fixas será escrita como ρf(x,t). Portanto, a densidade total
de carga será escrita como:
N
ρ ( x, t ) = F ∑ z n c n ( x, t ) +ρ f ( x, t ) .
n =1
(30)
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Um sistema de eletrodifusão é completamente especificado pelas equações (20),
(22), (26) e (30). Assim, existem N equações de Nernst-Planck (Equação 20)
relacionando 2N + 1 variáveis: J1 , J 2 , J 3 ,..., J N , c1 , c2 ,..., cN , V . Se cada uma das
espécies iônicas for conservada, então teremos mais N equações de continuidade
adicionais (equação 22) relacionando essas variáveis. Finalmente, a equação de
Poisson (equação 26) também define outra relação entre essas 2N + 1 variáveis.
Se as cargas fixas forem especificadas como uma propriedade do material e se
condições de contorno apropriadas forem especificadas, estão todas essas
equações permitem uma determinação completa do problema de eletrodifusão,
isto é, existem 2N + 1 variáveis e 2N + 1 equações.
Em princípio, essas equações podem ser resolvidas para a concentração e a
densidade de corrente de cada um dos íons móveis bem como para o potencial
elétrico. Porém, essas equações podem ser não lineares por causa do termo
cn ( x, t )(∂V ( x, t ) ∂x) na equação (20), o que complica sua solução.
Eletrodifusão no Equilíbrio
Uma situação importante que pode ser estudada com o auxílio das equações
obtidas na seção anterior é aquela em que o fluxo do n-ésimo íon é zero, ou seja, a
situação em que há equilíbrio eletrodifusivo do n-ésimo íon.
Fazendo Jn = 0 na equação (20) obtemos a condição,
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∂c ( x, t )
∂V ( x, t ) ⎞
⎛
un zn F ⎜ RT n
+ zn Fcn ( x, t )
⎟ = 0 .
∂x
∂x ⎠
⎝
(31)
Existem várias maneiras de satisfazer esta condição. Três delas são triviais: (1) se
un = 0, ou seja, se as partículas da n-ésima espécie iônica estiverem fixas, com
mobilidade zero; (2) se zn = 0, ou seja, se as partículas não tiverem carga, de
maneira que mesmo que haja difusão de partículas não exista eletrodifusão; e (3)
se cn = 0, que é o caso quando não há partículas da n-ésima espécie iônica.
Quando nenhuma dessas condições triviais existe, o equilíbrio só é possível
quando,
RT
dcn ( x)
dV ( x)
+ zn Fcn ( x)
= 0,
dx
dx
(32)
onde as derivadas parciais foram transformadas em derivadas totais porque no
equilíbrio todas as variáveis são independentes do tempo.
Separando as variáveis, obtemos
z F dV ( x)
1 dcn ( x)
=− n
cn ( x) dx
RT dx .
(33)
Integrando esta equação entre x0 (o ponto de referência para o potencial) e x
(mostre isso como exercício):
! c (x) $
zF
ln # n & = − n (V (x) −V (x0 )) .
RT
" cn (x0 ) %
(34)
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Resolvendo esta equação para cn(x), obtemos a distribuição espacial de partículas
da n-ésima espécie iônica no equilíbrio,
cn ( x) = cn ( x0 )e
−
zn F
(V ( x ) −V ( x0 ) )
RT
.
(35)
Esta equação nos diz que, se não houver diferença de potencial entre os dois
pontos, x e x0, e/ou se zn = 0, a concentração da n-ésima espécie iônica é uniforme
no espaço, o mesmo resultado que foi obtido quando se estudou a condição de
equilíbrio para a difusão de partículas sem carga na aula 1.
Observando o expoente da equação (35), vemos que ele depende da razão entre a
energia potencial elétrica armazenada por mol, U = znFV(x), e a energia térmica
por mol, RT. Este resultado faz sentido intuitivamente, pois a distribuição espacial
das moléculas depende de dois fatores que competem entre si: a tendência ao
arrasto, devida à existência do campo elétrico, e a tendência à difusão, devida à
energia térmica.
Se, por exemplo, a distribuição espacial do potencial elétrico tiver uma forma
como a dada na figura a seguir, com um pico na origem e mínimos simétricos em
torno dela, e a energia potencial for grande em comparação com a energia
térmica, a distribuição espacial da concentração de partículas terá uma forma
como a da figura abaixo dela, com picos nas posições correspondentes dos
mínimos do potencial e um mínimo na origem.
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À medida que a energia térmica aumenta (pelo aumento na temperatura), os picos
na distribuição de partículas se tornam cada vez menos pronunciados até que, no
limite de temperatura arbitrariamente alta, a distribuição de partículas se torna
uniforme.
Pode-se fazer uma analogia mecânica para interpretar este resultado. Imaginemos
uma superfície tridimensional rígida cujos picos e vales representam máximos e
mínimos locais na energia potencial gravitacional. Essa distribuição espacial da
energia potencial gravitacional é análoga à de um potencial elétrico. Agora
coloque uma coleção de bolas sobre a superfície e agite-a para transmitir alguma
energia cinética às bolas.
A energia cinética das bolas é análoga à energia cinética térmica. As bolas rolarão
para os fundos dos vales e permanecerão lá.
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Fazendo vibrações suaves na superfície, você provocará movimentos das bolas de
um vale para outro de maneira que, a cada instante de tempo, sempre haverá
algumas bolas nas regiões entre os vales.
Porém, se a superfície for agitada com muito vigor, você perceberá que as bolas
não ficarão confinadas aos fundos dos vales, mas terão probabilidades iguais de
ser encontradas em qualquer ponto da superfície.
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