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Revista Brasileira de Ensino de F
sica, vol. 21, no. 1, Mar
co, 1999
A Lei de Esfriamento de Newton
Introduc~ao as Medidas em Fsica - Parte II
J. C. Sartorelli, Y. Hosoume e E. M. Yoshimuray
Instituto de F
sica, Universidade de S~
ao Paulo
Caixa Postal 66318, 05315-970 S~
ao Paulo, Brasil.
Recebido em 02 de Setembro, 1998
Um experimento didatico de termodin^amica para um curso universitario e o tema deste trabalho.
Ele faz parte de uma disciplina de laboratorio introdutoria para alunos de Licenciatura em Fsica e
em Matematica. Estudamos o esfriamento da glicerina desde 110o C ate 30o C tendo a atmosfera
ambiente como reservatorio termico, e o esfriamento do mercurio de 80o C ate ,100o C tendo
como reservatorio termico uma atmosfera obtida pela evaporaca~o de nitrog^enio lquido dentro de
uma garrafa termica. Em cada caso, o esfriamento foi monitorado com medic~oes da temperatura
em funca~o do tempo. Foram obtidas func~oes empricas T (t) que foram comparadas com um modelo
teorico simples, a lei de esfriamento de Newton. A presente proposta mostra que o fato da montagem
experimental ser muito simples, sem requerer um isolamento termico eciente, torna a experi^encia
mais fertil no seu aspecto fenomenologico.
A thermodynamic experiment for teaching purposes is the theme of this work. It is part of a
laboratory course for future physics and mathematics teachers. We studied the cooling down process
of glycerin from 110o C down to 30o C with the room atmosphere as a heat reservoir; and the
cooling down process of mercury from 80o C down to ,100o C with a heat reservoir obtained
by the evaporation of liquid nitrogen inside a dewar. In each case, we measured the temperature
as a function of the time. We obtained empirical functions T (t) and we compared them to a simple
model known as Newton law. As the experimental apparatus is too simple, it does not require
an ecient thermal isolation, our proposal shows that the experiment becomes more fertile in its
phenomenological aspects.
I Introduc~ao
Propostas de experimentos didaticos em conteudos de
termodin^amica s~ao bastante raras. Mais escassas ainda
quando s~ao dirigidas ao ensino universitario. Essa
car^encia pode ser vericada atraves dos trabalhos publicados na area de ensino de fsica no Brasil: em revistas
e em dissertac~oes e teses publicadas nas ultimas tr^es
decadas, encontra-se apenas uma dezena de trabalhos
experimentais envolvendo calor [1] e todos dirigidos ao
ensino medio. A grande maioria desses trabalhos trata
de experimentos sobre calorimetria e apenas um envolve
conduca~o de calor [2].
A termodin^amica, com o seu princpio da irreversibilidade dos processos fsicos e fundamental para
a compreens~ao da fsica. Pela sua complementari-
dade a mec^anica, tem grande relev^ancia na compreens~ao do mundo tecnologico, em cuja base est~ao as
transformac~oes que envolvem calor. No entanto esse
conteudo e muito pouco explorado no ensino medio e
tambem no universitario. Normalmente, ele e desenvolvido no nal do ciclo basico dos cursos de Fsica
das universidades, como uma simples continuac~ao da
mec^anica e frequentemente e reservado para seu ensino,
no maximo, um bimestre. Na grande maioria desses
cursos n~ao existe uma disciplina especca denominada
Termodin^amica, seja na Licenciatura [3], seja no Bacharelado.
Como parte da reestruturac~ao do curso de Licenciatura em Fsica da Universidade de S~ao Paulo, em
1993, foi proposta uma disciplina experimental inicial,
denominada Introduc~ao as Medidas em Fsica, na qual
Esse trabalho faz parte de um conjunto de artigos relativos a descric ~ao e analise da disciplina \Introduc~ao as Medidas em Fsica".
A Parte I esta sendo redigida e sera brevemente submetida a publicac~ao.
y email:[email protected], [email protected], [email protected]
J.C. Sartorelli et al.
se incluiu o experimento sobre medidas de temperatura
que e tema deste trabalho. O conteudo dessa disciplina
foi organizado de forma a desenvolver nos estudantes
uma compreens~ao, ainda que preliminar, da relaca~o entre a qualidade de um valor experimental e o procedimento de medida. Nessa perspectiva foram propostos varios experimentos, organizados em quatro grandes
blocos [4]:
I- Medidas de dist^ancia e comprimento,
II- Medidas de intervalo de tempo,
III- Medidas de velocidade,
IV- Medidas de temperatura.
Nos tr^es primeiros blocos s~ao tratados os conceitos
de pequenas e grandes dimens~oes, envolvendo ferramentas de analise graca e formas de estimar incertezas, e
s~ao discutidos alguns modelos ja conhecidos pelos estudantes, como o de movimento uniformemente acelerado. No quarto bloco s~ao desenvolvidas experi^encias
de esfriamento de corpos para aprofundar o estudo do
papel do modelo em fsica e para introduzir gracos em
escalas logartmicas.
Este trabalho aborda os experimentos do Bloco IV
(medidas de temperatura), no qual se prop~oe ao aluno a
obtenc~ao de uma lei emprica que d^e conta do fen^omeno
de resfriamento. A experi^encia inicial, do resfriamento
da glicerina a partir de 110o C, trabalha com temperaturas do cotidiano dos alunos; e o segundo experimento, o resfriamento do mercurio ate ,100o C;
estuda as baixas temperaturas. Outro objetivo e mostrar que uma montagem experimental simples, sem um
isolamento termico eciente, pode tornar a experi^encia
muito rica nos seus aspectos fenomenologico e analtico.
Os detalhes desses procedimentos est~ao apresentados no
item 3.
II Lei de esfriamento de Newton
Os alunos observam o esfriamento das duas amostras,
uma de glicerina e outra de mercurio, como descrito no
item anterior. Somente apos a coleta e analise graca
dos dados, o modelo de esfriamento descrito a seguir e
apresentado a eles para a compreens~ao dos resultados.
O nosso objetivo e analisar o tempo que um corpo
nito (capacidade termica nita) leva para atingir o
equilbrio termico quando em contato com um reservatorio termico (capacidade termica innita) e a inu^encia de alguns dos fatores nesse tempo. Alem das
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propriedades termicas do corpo e do reservatorio, a geometria do sistema corpo+ligaca~o+reservatorio e um
fator a considerar.
Para adequar o modelo de esfriamento as condic~oes
experimentais faremos algumas considerac~oes sobre a
troca de calor entre dois corpos em contato dentro de
um sistema isolado de sua vizinhanca. Estamos supondo que a troca de calor predominante e a conduc~ao,
e que as outras formas, radiac~ao e convecc~ao, s~ao desprezveis.
Tomemos dois reservatorios termicos a temperaturas T e TR (T > TR ); como mostrado esquematicamente
na Fig. 1.
Figura 1. Dois reservatorios termicos ligados por um material de condutividade termica K e secc~ao reta variavel.
Unindo-os com um material qualquer de secc~ao
transversal A(x), ocorre a transfer^encia de calor continuamente do reservatorio da esquerda para a direita.
A taxa com a qual o calor e transferido depende da
condutividade termica do material da ligaca~o (K) e do
gradiente de temperatura. Esta taxa e dada por:
dQ = KA(x) dT :
(1)
dt
dx
Supondo que o gradiente de temperatura seja constante
e igual a ,(T , TR )=L; onde L e uma dist^ancia efetiva
entre os dois reservatorios, a taxa de transfer^encia de
calor pode ser escrita como o produto da diferenca de
temperatura entre os reservatorios pela condutividade
termica (caracterstica do material de ligac~ao), e por
um termo que so depende da geometria (G = A=L).
A taxa de tranfer^encia de calor depende da geometria dos reservatorios e da conex~ao entre eles. Exemplos
do calculo de G para geometrias simples podem ser vistos na refer^encia [5]. Em situac~oes como as presentes
em nosso aparato experimental, onde as interfaces s~ao
mais complexas, substitui-se G por um valor efetivo
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(G = Gef ) que pode, em princpio, ser obtido experimentalmente. A equac~ao 1 e reescrita como:
dQ = ,KG (T , T ):
(2)
ef
R
dt
Alem deste fator geometrico efetivo, se a ligac~ao entre os reservatorios for feita com mais de um material
com diferentes condutividades termicas, a constante K
deve ser substituida por uma constante efetiva Kef que
depende do fator geometrico Gef , (ver exemplos simples na refer^encia [6]). Portanto, a taxa de transfer^encia
de calor entre dois reservatorios com uma geometria de
interface generica e diversos materiais de diferentes condutividades termicas e escrita como:
dQ = ,K (G ) G (T , T ):
(3)
ef ef ef
R
dt
A equac~ao 3 indica que a taxa de transfer^encia de calor, entre dois reservatorios termicos, e constante com
o tempo e durara indenidamente.
Para estudarmos o processo de transfer^encia de calor entre um corpo de massa nita (capacidade termica
nita) e um reservatorio termico (capacidade termica
innita), vamos supor que o corpo a esquerda (Fig. 1)
n~ao seja mais um reservatorio e sim um corpo de massa
nita a uma temperatura inicial To . Agora a transfer^encia de calor n~ao mais ocorrera indenidamente, e
nem a uma taxa constante, mas cessara quando o corpo
atingir a temperatura TR do reservatorio. A quantidade
de calor dQ cedida pelo corpo devido a uma diferenca
de temperatura dT e dada por
dQ = C(T )dT;
(4)
onde C(T) e a capacidade termica do corpo. Podemos supor que o calor especco varie lentamente com
a temperatura e escrever C(T ) = C = constante, e
tambem que o corpo e formado de diversos materiais
com diferentes capacidades termicas ( C1; C2; C3:::) e
ent~ao C = Cef = C1 + C2 + C3:::: Portanto, a taxa
com a qual ha transfer^encia de calor tambem pode ser
escrita na forma
dQ = C dT ;
(5)
ef dt
dt
que combinada com a equac~ao 3 nos da
Cef dT
(6)
dt = ,Kef Gef (T (t) , TR ):
Com a observaca~o experimental apenas da evoluca~o
temporal da temperatura do corpo n~ao e possvel obter os valores das constantes Cef ; Gef e Kef , mas sim
da relac~ao entre elas = Cef =(Gef Kef ) [7], que tem
dimens~ao de tempo. A equac~ao 6 e reescrita na forma:
dT = , T(t) , TR ;
(7)
dt
que integrada nos da a lei de Newton para o esfriamento
T = T , TR = (To , TR )e,t= ;
(8)
onde To e a temperatura inicial. Prev^e-se assim que
a temperatura do corpo decaia exponencialmente com
um tempo caracterstico dado por = Cef =(Gef Kef );
cujo valor pode ser facilmente obtido a partir dos dados
experimentais.
A analise dos dados ca mais facil se tomarmos o
logaritmo da equac~ao 8, obtendo assim a equac~ao de
uma reta
ln(T) = ln(To , TR ) , t=;
ou
log(T) = log(To , TR ) , log(e)
t:
(9)
Note-se que, para o estudo do esfriamento de um
corpo n~ao e necessario saber com detalhes qual e a geometria da ligaca~o dele com o reservatorio termico. As
caractersticas dos materiais de ligac~ao s~ao importantes
para a denic~ao do aparato experimental: por exemplo,
metais s~ao bons condutores de calor e apresentam baixo
valor para o calor especco e consequentemente valores mais baixos de quando comparados com materiais
n~ao metalicos.
III Os experimentos e seus resultados
Duas montagens experimentais foram feitas para a vericaca~o da lei de esfriamento. Com a mais simples
delas e observado o esfriamento da glicerina contida em
um tubo de ensaio. A temperatura e medida com um
term^ometro de mercurio e o tempo com um cron^ometro
manual. Para o esfriamento do mercurio a montagem
e mais elaborada. Um tubo de ensaio, contendo uma
pequena quantidade de mercurio, e inserido em uma
garrafa termica que contem nitrog^enio lquido e a tomada de dados e feita periodicamente com um termopar, mergulhado no mercurio, que envia o sinal a uma
placa ADC e a um microcomputador.
J.C. Sartorelli et al.
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IV Glicerina
Um diagrama da montagem utilizada no esfriamento
da glicerina e mostrado na Fig. 2.
Figura 2. Aparato experimental para a vericac~ao da lei de
Newton. O reservatorio termico e o ar ambiente.
Um pequeno volume ( 10cm3) de glicerina e colocado em um tubo de ensaio juntamente com um
term^ometro de mercurio (com resoluc~ao de 1o C; temperatura maxima 120oC). Inicialmente este sistema e
aquecido ate 110o C com uma chama de vela. Terminado o aquecimento espera-se um certo tempo para que
as correntes de convecc~ao diminuam. O esfriamento
comeca a ser monitorado com cronometragem manual
do tempo (a resoluc~ao do cron^ometro e de 0:01s) cada
vez que a temperatura do sistema diminui de 2o C.
Neste caso estamos considerando o ar ambiente como
reservatorio termico, cuja temperatura (TR ) foi medida
previamente. Na analise dos dados leva-se em conta capacidade e condutibilidade termicas efetivas do sistema
glicerina+term^ometro+tubo de ensaio. A aus^encia de
controle da temperatura da sala bem como da umidade
do ar s~ao outros fatores que devem ser considerados. Na
Fig. 3 temos os dados obtidos por um aluno. Na parte
superior da gura (A) temos o graco da temperatura
em func~ao do tempo, mostrando a evoluc~ao assintotica
para TR = 21o C: Na parte inferior da gura (B) temos
o graco de log(T ) =log(T , TR ) em funca~o do tempo.
Os resultados, em (B), mostram dois decaimentos: um
resfriamento mais lento, i = 337s; no incio do processo (t < 190s) e outro mais rapido, f = 244s; para
t > 190s:
Figura 3. Dados experimentais obtidos por um aluno no
esfriamento de glicerina. Em (A) temos a temperatura em
funca~o do tempo. A linha contnua e apenas para auxiliar
a visualizac~ao. Em (B) otemos T = T , TR em funca~o
do tempo, onde TR = 21 C e a temperatura ambiente. As
linhas contnuas s~ao ajustes da equac~ao 9 aos dados experimentais.
Do ponto de vista da aprendizagem ha uma preocupac~ao de n~ao fornecer ao aluno a priori qualquer
informac~ao sobre as previs~oes teoricas e as leis fsicas
relacionadas ao experimento. A partir do conjunto de
dados obtidos os seguintes aspectos s~ao abordados:
1. analise graca qualitativa em papel milimetrado
para vericar que o esfriamento n~ao e linear com
o tempo:
2. analise graca quantitativa em papel monolog,
com levantamento de hipoteses sobre as possveis
causas do comportamento observado, isto e, dois
esfriamentos distintos, um para tempos curtos e
outro para tempos longos.
3. denic~ao emprica dos tempos de esfriamento e
obtenc~ao dos mesmos atraves de tracados de retas. Obtenc~ao da relaca~o funcional para T (t).
Uma possvel interpretac~ao para os dois decaimentos distintos e dada pela participaca~o da agua dissolvida
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na glicerina no processo de esfriamento. A constante
de decaimento e dada por = Cef =(Gef Kef ) onde
o fator geometrico Gef e constante, e Cef e a soma
das capacidades termicas da glicerina, do term^ometro,
do tubo de ensaio e da agua diluda na glicerina, Cef =
Cg +Cterm +Cte +Cagua ; sendo que os tr^es primeiros termos podem ser considerados constantes e o ultimo depende da quantidade de agua diluda na glicerina. Portanto, a diminuic~ao do valor da constante de tempo deve ser atribuda a uma diminuic~ao da raz~ao Cef =Kef
devido ao processo de evaporac~ao/condensaca~o da agua
ao redor de T = 100o C: Apos a estabilizac~ao da agua, o
decaimento ocorre de acordo com a lei de Newton com
f = 244s.
V Mercurio
Na Fig. 4 e mostrado o diagrama da montagem experimental para o estudo do esfriamento do mercurio. Uma
pequena quantidade de mercurio ( 1cm3 ) e colocada
em um tubo de ensaio juntamente com um termopar de
cobre-constantan.
Este conjunto e inserido em uma garrafa termica que
contem nitrog^enio lquido. O tubo de ensaio n~ao entra
em contato com o lquido frio, mas permanece em uma
regi~ao acima dele, onde ha uma atmosfera de vapor de
nitrog^enio. Esta nuvem funciona como um reservatorio
termico e sua temperatura (TR ) e medida colocando o
termopar pelo lado de fora do tubo na altura media da
amostra de mercurio. Para aumentar a faixa de temperatura analisada, o tubo com a amostra e aquecido
previamente ate 80o C; aproximadamente.
Figura 4. Aparato para aovericac~ao da lei de Newton para
temperaturas abaixo de 0 C: O tubo de ensaio ca suspenso
por os nos. O reservatorio termico e a atmosfera de vapor
de nitrog^enio.
Como o esfriamento dos metais ocorre muito rapidamente a tomada de dados n~ao pode ser feita manualmente como no caso da glicerina. Portanto, para a medida da temperatura em func~ao do tempo foi utilizado
um termopar de cobre-constantan e a voltagem induzida foi lida com um conversor analogico digital (ADC12 bits) inserido em um microcomputador [8]. Foi feita
uma leitura da voltagem do termopar a cada 1; 85 segundos e um programa simples realiza a convers~ao para
o C; e, ao nal, gera um arquivo com a sequ^encia de
temperaturas da amostra.
Ao realizar este experimento o aluno ja executou
e analisou o da glicerina, portanto ja tem um conhecimento sobre o processo de esfriamento, porem ainda
n~ao foi discutido o processo de transic~ao de fase que
ocorre para o mercurio. Na Fig. 5 temos os dados experimentais obtidos por um aluno. Na parte superior
(A) temos o graco da temperatura, e na parte inferior
(B) o graco de log(T) = log(T , TR ), em funca~o do
tempo.
Figura 5. Esfriamento do mercurio. Em (A) temos a temperatura do mercurio em funca~o do tempo. Em (B) temos
T = T , TR em escala
logartimica em func~ao do tempo,
com TR = ,153; 3o C: As linhas contnuas em (B) s~ao os
ajustes da equac~ao 9 nas tr^es fases de esfriamento.
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Tr^es etapas de esfriamento podem ser observadas
e, como no caso da glicerina, podemos propor algumas
interpretac~oes para cada uma delas: (i) de 75o C ate
0o C e a capacidade termica do sistema dada por Cef =
CHg + Cte (a capacidade e condutividade termicas do
termopar s~ao desprezveis) [9] e i = 106s: (ii) A partir de 0o C ha ades~ao de uma camada de gelo (proveniente do vapor d'agua do ambiente) sobre o conjunto tubo de ensaio+mercurio, e a capacidade termica
efetiva aumenta, passando a ser composta por Cef =
CHg + Cte + Cgelo . Em consequ^encia, nessa segunda
etapa, ii = 128 s, havendo tambem, provavelmente,
contribuic~ao da diminuica~o de Kef para este aumento
na constante de resfriamento. Esta segunda etapa se encerra com o incio da transic~ao de fase lquido!solido
do mercurio a Tc = ,38; 3oC [10], e ao nal desta ha o
incio da terceira etapa (iii) com a capacidade termica
Cef = CHgsol + Cte + Cgelo e iii = 135 s.
VI Considerac~oes nais
Embora as medidas apresentadas no trabalho sejam relativas a tomada de dados de estudantes, essas duas
experi^encias foram realizadas em varias repetico~es da
disciplina Introduc~ao as Medidas em Fsica, obtendo-se
resultados muito semelhantes.
Experimentos didaticos de termodin^amica s~ao raros
principalmente devido as diculdades experimentais de
se obter isolamentos termicos adequados. A presente
proposta experimental mostra que e o fato de a montagem ser muito simples, sem um isolamento termico
eciente, que torna a experi^encia mais fertil no seu aspecto fenomenologico. A riqueza na analise dos dados
ca bastante evidente, pois se exige o levantamento de
hipoteses sobre a exist^encia de diversas etapas de esfriamento. Atribuimos a causa de mudancas de etapas a
diferentes composic~oes da capacidade termica efetiva do
sistema que esta sendo resfriado: para a glicerina, a presenca de agua absorvida, para o mercurio, formac~ao de
superfcie de gelo. E claro que as peculiaridades de cada
montagem experimental v~ao fornecer ao professor e aos
alunos as pistas para a interpretac~ao fenomenologica
adequada.
References
[1] ENFIS- Banco de Refer^encias do Ensino de Fsica,
IFUSP, (1998).
[2] Zaro, M.A. e Blanco, R.L.D, \Analise de um Experimento", Revista de Ensino de Fsica, 10, (1988).
[3] No novo curso de Licenciatura em Fsica do Instituto
de Fsica-USP, reformulado em 1993, existem duas disciplinas : Termodin^anica I no 2o semestre e Termodin^anica II no 3o semestre.
[4] E. M. Yoshimura, J. C. Sartorelli e Y. Hosoume, Introduc~ao as Medidas em Fsica, IFUSP (1994).
[5] Alguns exemplos simples: Dois reservatorios unidos
por uma barra de secc~ao constante A e separados de
L; temos L = L e G = A=L: No caso de um reservatorio cilndrico de comprimento L e raio R1 circundado por outro de raio R2 temos A(r) = 2rL e G =
2L= ln(R2 =R1 ): No caso de dois reservatorios esfericos
conc^entricos de raios R1 e R2 temos A(r) = 4r2 e
G = 4R1 R2 =(R2 , R1 ): Ver R. Resnick e D. Halliday,
Fsica, Parte I, Ao Livro Tecnico S. A., Rio de Janeiro
(1970) pp. 600 e 618.
[6] Dois materiais em serie, de comprimentos L1 e L2 :
Kef = K1 K2 (L1 + L2 )=(K1 L2 + K2 L1 ): Dois materiais
em paralelo de mesmo comprimento: Kef = K1 + K2 :
Ver R. Resnick e D. Halliday, Fsica, Parte I, Ao Livro
Tecnico S. A., Rio de Janeiro (1970) p. 601.
[7] Estamos supondo implicitamente que a condutibilidade
termica e proporcional ao calor especco. Ver C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley &
Sons, New York (1971). Quarta edic~ao pp. 225 e 262.
[8] Estes dados foram tomados com um microcomputador
Apple II, atualmente o experimento e feito com PC386.
[9] Estamos supondo que os calores especcos dos materiais n~ao variem apreciavelmente nesta faixa de temperatura. Temperatura de Debye do mercurio= 71,9K.
[10] A temperatura de liquefac~ao do mercurio e -38,87C.
Como estamos medindo a temperatura de solidicac~ao
esta pequena diferenca e devida a histerese e a simplicidade do aparato experimental.