WEIT 2013
Introdução à Lógica Fuzzy
Benjamı́n R. Callejas Bedregal
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN
Departamento de Informática e Matemática Aplicada – DIMAp
Grupo de Lógica, Linguagem, Informação, Teoria e Aplicações – LoLITA
[email protected]
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AGENDA
Motivação;
Introdução;
Teoria dos Conjuntos Fuzzy;
Lógica Fuzzy;
Relações e Composição Fuzzy;
Sistemas Fuzzy Baseados em Regras;
Tomada de Decisão; e
Considerações Finais.
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MOTIVAÇÃO
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Imprecisão dos conceitos
Não se imagina que tudo é vago até que se tenta
faze-lo de maneira precisa. Bertrand Russel
Quando as leis da matemática referem-se à realidade
elas não estão certas. Quando estas leis estão certas
elas não se referem à realidade. Albert Einstein
Uma mente educada está satisfeita com o grau de
precisão que a natureza do sujeito admite e não busca
exatidão onde apenas aproximação é possível.
Aristóteles
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Teorias Matemáticas de Incertezas
As 3 mais importantes:
Teoria das probabilidades (Blaise Pascal em 1654):
estudo matemático das probabilidades,
Matemática intervalar (Ramon Moore em 1959):
Impossibilidade de se manipular o valor exato, e
Lógica fuzzy (Lotfi Zadeh em 1965): Imprecisão
dos conceitos.
Outras teorias matemáticas que lidam com incertezas:
Teoria Generalizada da Incerteza (Zadeh 2005),
Shadow sets (Pedrycz 1998), teoria de
Dempster-Shafer (Dempster 1967 e Shafer 1976),
rough sets (Pawlak 1991), etc.
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Limitações da Lógica Aristotélica
Os predicados são sempre ou verdadeiros ou falsos
(isto é conhecido como Lei do terceiro Excluído).
Quando associamos a um predicado P o conjunto A
de objetos do universo de discurso U que satisfazem
P , então isto é equivalente a dizer que todo elemento
de U ou pertence ou não pertence ao conjunto A.
Ex: uma figura geométrica ou é um quadrado ou não,
ou equivalentemente pertence ou não ao conjunto dos
quadrados.
Existe uma estreita relação entre lógica Aristótelica
com a Teoria dos Conjuntos.
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Paradoxo de Sorites
Embora a teoria clássica dos conjuntos seja a base da
matemática moderna, tem problemas para modelar a
maioria dos problemas reais.
O problema da escolha do limiar entre dois conjuntos
(alto ou não alto), denominado de paradoxo de sorites
(que em grego significa feixe ou monte), é atribuído a
Eubulides de Mileto, um dialético adversário de
Aristóteles.
“Quando um monte de areia deixa de ser um monte de
areia, caso tiremos um grão de areia de cada vez?”
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INTRODUÇÃO
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Conjuntos fuzzy
Na teoria dos conjuntos fuzzy (TCF) todo objeto do
universo de discurso “pertence” ao conjunto em algum
grau. Tipicamente valores no intervalo [0, 1], onde 0
significa que absolutamente não está e 1 que está
completamente.
Graus intermediarios, refletem um grau de incerteza
enquanto a pertinência ou não do objeto ao conjunto.
Quanto mais próximo de 0.5, maior a incerteza.
TCF foi introduzida por Lotfali Askar-Zadeh (mais
conhecido como Lotfi A. Zadeh) em 1965.
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Aplicações de LF
1. Sistemas fuzzy que controlam nos carros a força com
que os freios são acionados para evitar derrapagens, a
suspensão, tração, caixa de câmbios, etc.
2. No controle e otimização do trafico em cidades,
rodovias, aereo, etc.
3. Na determinação do risco de investimentos e de
outras naturezas.
4. No apoio à tomada de Decisão
5. Em medicina no diagnóstico de doenças, quantificação
do QI em adultos, em epidemiologia, etc..
6. etc.
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Aplicações de LF
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Lógica fuzzy não é probabilidade
Copo contendo um líquido
com 0,5 de probabilidadede
ser letal.
Copo contendo um líquido que
tem um grau de pertinência 0,5
aos líquidos letais.
Se você for obrigado a
escolher um copo
para beber, qual
escolherias?
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TEORIA DOS CONJUNTOS
FUZZY
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Função característica
Universo de discurso
Em teoria dos conjuntos clássica todo conjunto A num
determinado universo de discurso U pode ser
identificado com a função χA : U → {0, 1} definida por:

 1 , se x ∈ A
χA (x) =
 0 , se x 6∈ A
χA é chamada função característica do conjunto A.
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Exemplo Função característica
Objetos vs. Dados
Exemplo: O conjunto das pessoas consideradas
idosas (idades) pela lei brasileira pode ser
representado pelo seguinte gráfico:
χidoso
1
65
Idade
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Conjuntos fuzzy
Um conjunto fuzzy pode ser vista através dos graus de
pertinência associados a cada objeto do universo. Ou
seja, sua melhor representação é através de uma
função que atribui a cada objeto do universo de
discurso um grau de pertinência
O universo de discurso é um conjunto clássico (Crisp),
usualmente um subconjunto de R com alguma unidade
de medida (graus, metros, kilos, percentagem, etc.).
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Diagramas de Venn (Fuzzy)
Conjunto Crisp
Conjunto Fuzzy
U
x
x∈A
µA (x) = 0, 6
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 17/111
Exemplo
O conjunto dos idosos (idades) descritos de maneira
fuzzy (segundo meu ponto de vista) pode ser o
seguinte:


, se x ≥ 70 anos

 1
µIdoso (x) =
0
, se x ≤ 50 anos


 x−50
, se 50 < x < 70
20
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Exemplo de Idoso
Graficamente:
1
50
70
Anos
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Variáveis e Termos Lingüísticos
Idade
Variável Lingüística
Termos
Ligüísticos
Criança
Jovem
Adulto
Conjunto de
Termos
Ligüísticos
Idoso
Semântica
1
1215 17 20
25
30 35
45 50
60
70
Idade
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Funções de pertinência Lineares
São as mais fáceis de serem descritas,
implementadas e manipuladas.
Triangulares, trapezoidais e semi-trapezoides.
µ
1
U
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Funções de pertinência curvas
Sigmoidais
Graficamente:
µ
1
U
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 22/111
α-cortes
Dado um α ∈ (0, 1]. O α-corte de um conjunto fuzzy A
sobre um universo U é o conjunto crisp
Aα = {x ∈ U : µA (x) ≥ α}
1
A
α
Aα
A-
α
+
Aα
U
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 23/111
Suporte e Núcleo de Conjuntos fuzzy
O conjunto suporte de um conjunto fuzzy A é
SA = {x ∈ U : µA (x) > 0}
O núcleo de um conjunto fuzzy A é o conjunto crisp
NA = {x ∈ U : µA (x) = 1}
Um conjunto fuzzy A é normal se NA 6= ∅
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União, Intersecção e Complemento
Todo conjunto clássico (crisp) A num universo U pode
ser visto como um conjunto fuzzy A sobre U cuja
função de pertinencia é µA (x) = 1 para todo x ∈ A e
µA (x) = 0 para todo x ∈ A.
Em particular U ={(x, 1) : x ∈ U } e ∅={(x, 0) : x ∈ U }.
Sejão A e B dois conjuntos fuzzy sobre um universo U
com funções de pertinência µA e µB . Para todo x ∈ U :
União: µA∪B (x) = max(µA (x), µB (x))
Interseção: µA∩B (x) = min(µA (x), µB (x))
Complemento: µA (x) = 1 − µA (x)
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 25/111
União, Interseção e Complemento
União
Interseção
Complemento
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 26/111
S T
Propriedades da , e
−
Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A
Associatividade: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C e
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Involução: A = A
Idempotência: A ∪ A = A e A ∩ A = A
Elemento Neutro: A ∩ U = A e A ∪ ∅ = A
Elemento Absorvente: A ∩ ∅ = ∅ e A ∪ U = U
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 27/111
S T
Propriedades da , e
−
Distributividade: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) e
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Leis de De Morgan: A ∪ B = A ∩ B e A ∩ B = A ∪ B
Leis da Absorção: A ∪ (A ∩ B) = A e A ∩ (A ∪ B) = A
(A ∪ B)α = Aα ∪ Bα , (A ∩ B)α = Aα ∩ Bα e Aα = Aα
para todo α ∈ (0, 1]
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 28/111
Propriedades negativas
Não satisfaz nem a lei do terceiro excluído (A ∪ A = U )
nem a lei da contradição (A ∩ A = ∅).
AUA
A
A
U
A
A
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 29/111
Inclusão de Conjuntos Fuzzy
A ⊆ B se µA (x) ≤ µB (x) para todo x ∈ U
U
A
B
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 30/111
Propriedades da Inclusão
A ⊆ B sss A ∪ C ⊆ B ∪ C e A ∩ C ⊆ B ∩ C
∅⊆A⊆U
A⊆A
A = B sss A ⊆ B e B ⊆ A
A ⊆ B sss B ⊆ A
Se A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ C
Se A ⊆ B então Aα ⊆ Bα para todo α ∈ (0, 1].
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 31/111
LÓGICAS FUZZY
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 32/111
Conjunção/Intersecção clássica
Tabela da conjunção:
α β
α∧β
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
0
Propriedades da conjunção:
α∧β =β∧α
α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ
α∧1=α eα∧0=0
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 33/111
T-normas
Normas triangulares (t-norms) foram introduzidas em
1942 por Menger para modelar distancia em espaços
métricos probabilísticos
Em 1962 Schweizer e Sklar deram uma axiomatização
e dividiram as Normas triangulares entre t-normas e
t-conormas.
Alsina, Trillas e Valverde em 1980 usaram t-normas
para modelar conjunção fuzzy generalizando diversas
interpretações para conjunção fuzzy dadas até esse
então.
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 34/111
T-normas
T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] é uma t-norma se
é comutativa, i.e. T (x, y) = T (y, x)
é associativa, i.e. T (x, T (y, z)) = T (T (x, y), z)
é isotônica, i.e. se x ≤ x′ e y ≤ y ′ então
T (x, y) ≤ T (x′ , y ′ )
1-identidade, i.e. T (x, 1) = x
Seja T uma t-norma, então T (x, y) = x ∧ y se
x, y ∈ {0, 1}.
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 35/111
Exemplos de t-normas
As t-normas mais conhecidas são:
Gödel: TG (x, y) = min(x, y)
Łukaciewisz: TL (x, y) = max(x + y − 1, 0)
Produto: TP (x, y) = xy
Fraca: TW (x, y) = min(x, y) se max(x, y) = 1 e
TW (x, y) = 0 caso contrário
Hamacher: Seja γ ≥ 0, TH,γ (x, y) =
xy
γ+(1−γ)(x+y−xy)
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 36/111
Propriedades de t-normas
É possível estabelecer uma ordem entre t-normas.
Sejam T e T ′ duas t-normas quaisquer, então
T ≤ T ′ se ∀x, y ∈ [0, 1], T (x, y) ≤ T ′ (x, y)
Proposição: Seja T uma t-norma. TW ≤ T ≤ TG .
Proposição: Existe uma quantidade não-contável de
t-normas (Ex: a familia TH,γ )
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 37/111
Disjunção clássica
Tabela verdade da disjunção clássica:
α β
α∨β
1 1
1
1 0
1
0 1
1
0 0
0
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t-conormas
são funções S : [0, 1]2 → [0, 1] é uma conorma
triangular(t-conormas) se
Comutatividade: S(x, y) = S(y, x)
Associatividade: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z)
Isotonicidade: Se x ≤ x′ e y ≤ y ′ então
S(x, y) ≤ S(x′ , y ′ )
0-identidade: S(x, 0) = x
Se x, y ∈ {0, 1}, então S(x, y) = x ∨ y.
x ∈ (0, 1) é 1-divisor não trivial de S se existe y ∈ (0, 1)
tal que S(x, y) = 1.
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 39/111
Exemplos de t-conormas
Dada uma t-conorma S então
TS (x, y) = 1 − S(1 − x, 1 − y) é uma t-norma
Dada uma t-norma T então
ST (x, y) = 1 − T (1 − x, 1 − y) é uma t-conorma
Claramente STS = S e TST = T
STG (x, y) = max(x, y)
STP (x, y) = x + y − xy
STL (x, y) = min(x + y, 1)
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 40/111
Distributividade
Seja uma t-norma T e uma t-conorma S. Então:
T distribui sobre S se
T (x, S(y, z)) = S(T (x, y), T (x, z)).
S distribui sobre T , se
S(x, T (y, z)) = T (S(x, y), S(x, z))
Proposição: S distribui sobre T sss T = TG e T
distribui sobre S sss S = STG
Corolário: O único par (T, S) tal que T distribui sobre S
e S distribui sobre T é (TG , STG ).
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Negação Fuzzy
A negação clássica é definida por ¬0 = 1 e ¬1 = 0
Enric Trillas em 1979 unifica as definições de
negações fuzzy existente na época numa classe de
funções:
N : [0, 1] −→ [0, 1] é uma negação fuzzy se
N (0) = 1 e N (1) = 0
Se x ≥ y então N (x) ≤ N (y)
Uma negação fuzzy é forte se satisfaz a propriedade
involutiva, isto é N (N (x)) = x.
Toda negação forte é contínua e estritamente
decrescente.
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Ponto de equilíbrio
e ∈ [0, 1] é um ponto de equilíbrio de uma negação
fuzzy N se N (e) = e.
Se e é um ponto de equilíbrio de N e x ≤ e ≤ y então
N (y) ≤ e ≤ N (x).
Se N tem um ponto de equilíbrio este é único.
Toda negação contínua tem exatamente um ponto de
equilíbrio.
Sejão negações fuzzy N1 e N2 com pontos de
equilíbrio e1 e e2 . Se N1 ≤ N2 então e1 ≤ e2
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 43/111
Negações Naturais de t-(co)normas
Dada um t-norma T . A negação natural induzida por T
é NT (x) = sup{y : T (x, y) = 0}
Dada um t-conorma S. A negação natural induzida por
S é NS (x) = inf{y : S(x, y) = 1}
Proposição: NTS (x) = 1 − NS (1 − x) e
NST (x) = 1 − NT (1 − x).
NTL (x) = 1 − x e NSTL (x) = 1 − x. Neste caso e = 0.5.

 1
NTP (x) = NTG (x) =
 0
se x = 0
caso contrário
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 44/111
Outros exemplos
Outros exemplos são:
Negação de Sugeno (generalizada√ por Hamacher)
1−x
NS (x) = 1+λx
com λ ∈ [1, ∞) tem λ+1−1
como
λ
ponto de equilíbrio
Negação intuicionistica ou de Yager:
√
1
α α
NY (x) = (1 − x ) com α ∈ (0, ∞) tem α 0.5 como
ponto de equilíbrio.
Negação de Bedregal: NB (x) = 1 − x2 tem
√
1.25 − 0.5 como ponto de equilíbrio.
Maior negação: N⊤ (1) = 0 e N⊤ (x) = 1 para todo
x ∈ [0, 1).
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 45/111
Triplas De Morgan
hT, S, N i é uma tripla de De Morgan se satisfaz
1. N (S(x, y)) = T (N (x), N (y))
2. N (T (x, y)) = S(N (x), N (y))
Se só satisfaz uma delas é dita semi-tripla de De
Morgan
Exemplos de triplas de De Morgan:
hTG , STG , NTG i
hTP , STP , NTP i
hTL , STL , NTL i
hTP , STP , NTL i
Exemplos de semi-triplas de De Morgan:
hTP , STP , NB i satisfaz 1 mas não 2.
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 46/111
Implicações clássicas
Tabela da implicação clássica
α β
α→β
1 1
1
1 0
0
0 1
1
0 0
1
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 47/111
Implicações fuzzy
I : [0, 1]2 → [0, 1] é uma implicação fuzzy se
Se x ≤ z então I(x, y) ≥ I(z, y)
Se y ≤ z então I(x, y) ≤ I(x, z)
I(0, y) = 1, I(x, 1) = 1 e I(1, 0) = 0
Trivialmente, se x, y ∈ {0, 1}, I(x, y) = x → y.
Seja I uma implicação fuzzy, então NI (x) = I(x, 0) é
uma negação fuzzy
Seja T uma t-norma. IT (x, y) = Sup{z : T (x, z) ≤ y} é
uma implicação fuzzy, conhecida como resíduo de T .
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 48/111
Exemplos de R-implicações

 1
ITP (x, y) =
 y
x

 1
ITG (x, y) =
 y
se x ≤ y
caso contrário
se x ≤ y
caso contrário

 1
ITL (x, y) =
 1+y−x
se x ≤ y
caso contrário
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 49/111
Bi-implicações fuzzy
A bi-implicação clássica é definida como: x ↔ y = 1
sss x = y.
B : [0, 1]2 → [0, 1] é uma bi-implicação fuzzy se
B1: B(x, y) = B(y, x),
B2: Se x = y então B(x, y) = 1 ,
B3: B(0, 1) = 0,
B4: Se x ≤ y ≤ z então B(x, y) ≥ B(x, z) e
B(y, z) ≥ B(x, z).
BT,I (x, y) = T (I(x, y), I(y, x)) é uma bi-implicação.
Denotaremos BT,IT por BT (bi-residuo de T ).
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 50/111
Exemplo de Bi-implicações fuzzy

 1
BTG (x, y) =
 min(x, y)

 1
BTP (x, y) =
 min(x,y)
max(x,y)

 min(x, y)
BG′ (x, y)[
 1
se x = y
senão
se x = y
senão
se max(x, y) = 1
senão
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 51/111
Lógicas Proposicionais
Seja P um conjunto de símbolos proposicionais. A
linguagem LP é o menor conjunto tal que
P ∪ {0} ⊆ LP e se α, β ∈ LP então
¬α, (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β), (α ↔ β) ∈ LP .
Lógicas proposicionais são pares hLP , |=i onde
|=⊆ ℘(L) × L é uma relação, chamada de
conseqüência lógica, que satisfaz:
Reflexividade: Γ |= α se α ∈ Γ
Monotonicidade: Se Γ |= α então Γ ∪ ∆ |= α
Transitividade (ou corte): Se Γ |= α e Γ ∪ {α} |= β
então Γ |= β
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 52/111
Semântica Fuzzy para LP
F = hT, S, I, N, Bi é chamada de semântica fuzzy de
LP .
Seja θ : P → [0, 1]. Defina θF : LP → [0, 1] por
θF (p) = θ(p)
θF (0) = 0
θF (¬α) = N (θF (α))
θF (α ∧ β) = T (θF (α), θF (β))
θF (α ∨ β) = S(θF (α), θF (β))
θF (α → β) = I(θF (α), θF (β))
θF (α ↔ β) = B(θF (α), θF (β))
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 53/111
F -Tautologias
Dado um t ∈ (0, 1], uma formula α ∈ LP é uma
t-tautologia em F , denotado por |=F α, se para cada
evaluation fuzzy θ, θF (α) ≥ t. t-tautologias em F são
chamadas de F -tautologias,
Denotaremos o conjunto das F -tautologias de LP por
T autF (LP ) e o conjunto das tautologias clássicas por
T aut(LP ).
Proposition: Para toda semântica fuzzy F temos que
T autF (LP ) ⊆ T aut(LP ).
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 54/111
Semânticas Fuzzy Tipo Clássica
Seja F uma semântica fuzzy. F é uma semântica
tipo clássica se T aut(LP ) ⊆ T autF (LP ).
Uma semântica fuzzy F = hT, I, N, S, Bi é tipo
clássica sse
1. S não tem 1-divisores;
2. I(x, y) = 1 sse x < 1 ou y = 1;
3. N = N⊤ ; e
4. B = BG′ .
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 55/111
Consequências Semânticas
A noção clássical de consequência lógica pode ser
generalizada em duas formas:
1. Considerando elas como relações fuzzy
2. Considerando elas como uma relação clássical.
Aqui seguiremos a segunda linha.
Uma fórmula α ∈ LP é uma consequência lógica de
Γ ⊆ LP com respecto a uma semântica fuzzy F ,
denotado por Γ |=F α, se para cada evaluação θ ou
θF (α) = 1 ou existe γ ∈ Γ tal que θF (γ) 6= 1.
Esta noção de consequência semântica é reflexiva,
associativa e transitiva
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 56/111
Teorema da Dedução
Teorema: Seja F uma semântica fuzzy tal que
I(x, y) = 1 sse x < 1 e y = 1. Então para cada Γ ⊆ LP
e α, β ∈ LP ,
Γ, β |=F α sse Γ |=F β → α
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 57/111
F -Operações de Conjuntos fuzzy
Dada uma semântica fuzzy F podemos definir:
µA∪S B (x) = S(µA (x), µB (y))
µA∩T B (x) = T (µA (x), µB (y))
µAN (x) = N (µA (x))
V
IncI (A, B) =
I(µA (x), µB (x)) (grau de inclusão)
x∈U
V
SimB (A, B) =
B(µA (x), µB (x)) (grau de
x∈U
similaridade)
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RELAÇÕES E COMPOSIÇÃO
FUZZY
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 59/111
Relações fuzzy sobre conjuntos crisp
O producto cartesiano dos conjuntos (crisp) A e B, é o
conjunto crisp
A × B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}
Uma relação fuzzy entre A e B é qualquer conjunto
fuzzy sobre o universo A × B
B
b1
b2
b3
b4
A
Exemplo: a1
a2
a3
0
0, 1 0, 2 0, 8
0, 7 0, 2 0, 3 0, 4
1
0, 6 0, 2
1
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 60/111
Relações fuzzy sobre conjuntos fuzzy
Dada uma t-norma o producto cartesiano dos
conjuntos fuzzy A sobre universo X e B sobre o
universo Y , é o conjunto fuzzy sobre o universo X × Y
definido por
µA×T B (x, y) = T (µA (x), µB (y))
Uma relação fuzzy entre os conjuntos fuzzy A e B é
qualquer conjunto fuzzy R sobre o universo X × Y , tal
que R ⊆ A ×T B.
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 61/111
Operações sobre Relações fuzzy
Como relações fuzzy são conjuntos fuzzy, podemos
opera-las com união, intersecção e complemento,
além da ordem de inclusão entre elas.
Seja a relação fuzzy
R = {((x, y), µR (x, y)) : x ∈ A e y ∈ B}.
Primeira projeção de R:
R(1) = {(x, max µR (x, y)) : x ∈ A}
y∈B
Segunda projeção de R:
R(2) = {(y, max µR (x, y)) : y ∈ B}
x∈A
Projeção total de R: R(T ) = max max µR (x, y)
x∈A y∈B
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 62/111
Exemplo de Projeções
y1
y2
y3
y4
y5
1
0, 5 0, 3
R(1)
x1
0, 1 0, 3
1
x2
0, 2 0, 5 0, 7 0, 9 0, 6
x3
0, 3 0, 6
1
0, 8 0, 2
1
R(2) 0, 3 0, 6
1
0, 9 0, 6
1
0, 9
= R(T )
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 63/111
Composição Max-min e Min-Max
Seja R1 uma relação fuzzy entre A e B e R2 uma
relação fuzzy entre B e C. A composição max-min de
R1 com R2 é a siguiente relação fuzzy entre A e C:
R1 ◦R2 = {((x, z), max min{µR1 (x, y), µR2 (y, z)}) : x ∈ A e z ∈ C}
y∈B
Analogamente, a composição min-max de R1 com R2
é a siguiente relação fuzzy entre A e C:
R1 2R2 = {((x, z), min max{µR1 (x, y), µR2 (y, z)}) : x ∈ A e z ∈ C}
y∈B
A composição min-max de relações crisp em geral não
resulta na composição crisp dessas relações.
Proposição: R1 2R2 = R1 ◦ R2
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 64/111
Exemplo de Composição Max-min
R1
y1
y2
x1
0, 1 0, 3
x2
0, 8
1
y3
0
0, 4
R2
z1
z2
z3
y1
0, 8 0, 2
0
y2
0, 2
1
0, 6
y3
0, 5
0
0, 4
R1 ◦ R2
z1
z2
z3
x1
0, 2 0, 3 0, 3
x2
0, 8
1
0, 6
min{µR1 (x1 , y1 ), µR2 (y1 , z1 )} = min{0, 1; 0, 8} = 0, 1
min{µR1 (x1 , y2 ), µR2 (y2 , z1 )} = min{0, 3; 0, 2} = 0, 2
min{µR1 (x1 , y3 ), µR2 (y3 , z1 )} = min{0; 0, 5} = 0
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 65/111
Composição Max-min A ◦ R
Seja A uma conjunto fuzzy de universo A e R uma
relação fuzzy entre A e B. A composição max-min de
A com R é o siguiente conjunto fuzzy B:
A ◦ R = {(y, max min{µA (x), µR (x, y)}) : x ∈ A e y ∈ B}
x∈A
A
µA
R
y1
y2
x1 0, 1
x1 0, 8 0, 2
x2 0, 3
x2 0, 2
x3 0, 5
x3
0
y3
A ◦ R µA◦R
0
y1
0, 2
1
0, 6
y2
0, 8
0
0, 4
y3
0, 3
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 66/111
T -Composição
Seja R1 uma relação fuzzy entre A e B, R2 uma
relação fuzzy entre B e C, e T uma t-norma. A
T -composição de R1 com R2 á a siguiente relação
fuzzy entre A e C:
R1 ◦T R2 = {((x, z), sup T (µR1 (x, y), µR2 (y, z)) : x ∈ A e y ∈ B}
y∈B
Assim,
µR1 ◦T R2 (x, z) = sup{T (µR1 (x, y), µR2 (y, z)) : y ∈ B}
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 67/111
Modus Ponens Clássico
Modus Ponens Clássico: p, p → q |= q ou
Premisa 1
xéA
Premisa 2
se x é A então y é B
Conclusão y é B
Exemplo:
Premisa 1
a água está burbulhando
Premisa 2
Se a água está burbulhando então
a água está fervendo
Conclusão
a água está fervendo
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 68/111
Modus Ponens Fuzzy
Toda implicação fuzzy I determina uma relação fuzzy
RI entre conjuntos fuzzy A e B, onde
µRI (x, y) = I(µA (x), µB (y))
Assim, dada uma t-norma T o MP fuzzy é nada mais
que uma T -composição entre A e RI
Mas A ◦T RI 6= B.
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 69/111
Modus Ponens Fuzzy Generalizado
Modificadores linguísticos são funções que modificão
os graus de pertinência de qualquer conjunto fuzzy.
µm(A) (x) = m(µA (x))
P remisa 1 x é m1 (A)
P remisa 2
se x é A então y é B
Conclusão y é m2 (B)
Premisa 1
Se a garrafa tem o fundo profundo então
o vinho é de boa qualidade
Premisa 2
A garrafa tem o fundo muito profundo
Conclusão
O vinho é de muito boa qualidade
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 70/111
SISTEMAS FUZZY
BASEADOS EM REGRAS
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 71/111
Arquitetura de um sistemas fuzzy
Valor
de
entrada
Fuzzificador
Gerente de
Informações
Máquina de
Inferência
Desfuzzificador
Base de Regras
valor
de
saída
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 72/111
Componentes de um SF
Fuzzificador: Contem as funções de pertinência das
variáveis lingüísticas de entrada. Recebe um valor do
universo de discurso e retorna o grau de pertinência
ao respectivo conjunto fuzzy
Máquina de inferência: Faz todos os cálculos
Gerente de Informações: Obtém da base de regras as
regras aplicáveis para essas entradas.
Base de Regras: Contém as regras do sistema.
Desfuzzificador: Contem as funções de pertinência
das variáveis lingüísticas de saída. Recebe graus de
pertinência para uma variável lingüísticas de saída e
retorna um valor para essa variável.
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 73/111
Como construir um sistema fuzzy
Definir as variáveis de entrada, saída e intermediárias
(se for o caso)
Definir faixas de valores (universo de discurso das
variáveis lingüísticas)
Dividir o universo de discurso em conjuntos fuzzy
(termos lingüísticos)
Definir a semântica dos conjuntos fuzzy (funções
de pertinência)
Construir a base de regras
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 74/111
Como construir um sistema fuzzy
Definir o método de inferência e o método de
defuzzificação a ser usado.
Simular o sistema
Testar o sistema
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 75/111
Método de Inferência de Mandami
Cada regra assim como o conectivo e é modelada pela
t-norma do mínimo (∧). Para o conectivo ou que
conecta as regras usa-se o máximo (∨) .
Exemplo: Seja a seguinte base de regras R
R1 : Se x é A11 e y é A12 então z é B1
R2 : Se x é A21 e y é A22 então z é B2
A relação fuzzy determinada por R é µR (x, y, z) =
(µA11 (x)∧µA12 (y)∧µB1 (z)))∨({µA11 (x)∧µA12 (y)∧µB1 (z)))
Dado conjuntos fuzzy A1 e A2 a composição
µA1 ×min A2 ◦ µR determina um conjunto fuzzy B que
pode ser visto como a união das saídas parciais das
regras R1 e R2 .
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 76/111
EXEMPLO DE SISTEMA
FUZZY BASEADOS EM
REGRAS
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 77/111
Características gerais do sistema
A máquina de inferência vai usar a regra de inferência
MAX-MIN para determinar a superfície dos conjuntos
fuzzy de saída. MAX-MIN para cada grau de saída e
cada conjunto fuzzy de saída considera o menor grau,
e depois o máximo das intersecções entre termos
lingüísticos.
Conjunções: t-norma de Gödel (mínimo)
Para extrair dessa superfície o valor desejado
(defuzzificação) será usado o método do centro de
gravidade
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 78/111
Análise da qualidade da agua potável
A qualidade da água potável será analisado
considerando somente os seguintes fatores:
Aparência da cor, medida em UH (Unidade Hazen);
potencial hidrogeniônico, medida em pH, ou seja
concentração dos íons de hidrogênio; e turbidez,
medida em UT, causada pela presença de substâncias
suspensas e coloidais e que é determinada pela
quantidade de luz dispersada quando passa através
de uma amostra.
Outras variáveis que poderiam ter sido consideradas
são: odor e sabor, nível de fluor, quantidade de
coliformes fecais, etc.
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 79/111
Variável lingüística de entrada
Aparência da água
1
Boa
Adequada
4
8
12
Inadequada
16
20
24
28
UH
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 80/111
Variável lingüística de entrada
Potencial hidrogeniônico
1
Boa
Inadequado alto
Inadequado
baixo
2
4
Adequada
6
8
10
12
14
pH
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 81/111
Variável lingüística de entrada
Turbidez
1
Boa
1
Adequada
2
3
4
Inadequada
5
6
7
8
9
10
UT
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 82/111
Regras Fuzzy
Considerando a “Aparência da agua” como sendo “boa”.
Turbidez
boa
adequada
inadequada
pH
Inadequado baixo inadequada inadequada inadequada
Adequado
adequada
adequada
inadequada
Bom
boa
boa
inadequada
Inadequado alto
inadequada inadequada inadequada
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 83/111
Regras Fuzzy
Considerando a “Aparência da agua” como sendo
“adequada”.
Turbidez
boa
adequada
inadequada
pH
Inadequado baixo inadequada inadequada inadequada
Adequado
adequada
adequada
inadequada
Bom
boa
adequada
inadequada
Inadequado alto
inadequada inadequada inadequada
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 84/111
Regras Fuzzy
Considerando a “Aparência da agua” como sendo
“inadequada”.
Turbidez
boa
adequada
inadequada
pH
Inadequado baixo inadequada inadequada inadequada
Adequado
Bom
Inadequado alto
inadequada inadequada inadequada
adequada
adequada
inadequada
inadequada inadequada inadequada
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 85/111
Valores de entrada
Suponha que num determinado momento a aparência da
água está em 15 UH. Então
1
0,75
Boa
Adequada
Inadequada
0,25
4
8
12
15
20
24
28
UH
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 86/111
Valores de entrada
Suponha que nesse mesmo momento o potencial
hidrogeniônico da água está em 7 pH. Então
1
Boa
0,65625
Inadequado alto
Inadequado
baixo
2
4
Adequada
6
7
8
10
12
14
pH
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 87/111
Valores de entrada
Suponha que nesse mesmo momento a turbidez da água
está em 3 UT. Então
1
Boa
1
Adequada
2
3
4
Inadequada
5
6
7
8
9
10
UT
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 88/111
Regras que se aplicam
Se aparência é adequada, o pH é adequado e a
turbidez adequada então a potabilidade é adequada
min{0.75, 1, 1} = 0, 75
Se aparência é adequada, o pH é bom e a turbidez
adequada então a potabilidade é boa
min{0.75, 0.65625, 1} = 0, 65625
Se aparência é inadequada, o pH é adequado e a
turbidez adequada então a potabilidade é adequada
min{0.25, 1, 1} = 0, 25
Se aparência é inadequada, o pH é bom e a turbidez
adequada então a potabilidade é boa
min{0.25, 0.65625, 1} = 0, 25
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 89/111
Variável de saída
Qualidade da potabilidade da água
1
Inadequada
Adequada
Boa
0,5
0.1 0.2 0.3
0.4 0.5 0.6
0.7
0.8
0.9
1
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 90/111
Cortes na variável de saída
Regra 1: gera a seguinte região para o termo
lingüístico “potabilidade da água adequada”:
µP A′ (z) = min{0.75, µP A (z)}
Regra 2: gera a seguinte região para o termo
lingüístico “potabilidade da água boa”:
µP B ′ (z) = min{0.65625, µP B (z)}
Regra 3: gera a seguinte região para o termo
lingüístico “potabilidade da água adequada”:
µP A′ (z) = min{0.25, µP A (z)}
Regra 4: gera a seguinte região para o termo
lingüístico “potabilidade da água boa”:
µP B ′ (z) = min{0.25, µP B (z)}
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 91/111
Cortes na variável de saída
1
0.75
0.65625
Inadequada
Adequada
Boa
0.25
0.1 0.2 0.3
0.4 0.5 0.6
0.7
0.8
0.9
1
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 92/111
Região Solução
A utilização da regra MAX-MIN gera a seguinte
região solução
1
0.75
0.65625
0.5
0.3
0.6
0.9
1
0.75
0.2
0.45
0.475
0.1
Boa
0.725
0.76
Adequada
Inadequada
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 93/111
Centro de Gravidade
Dessa região se extrai o valor pelo método do Centro
de Gravidade usando a seguinte fórmula
Σni=0 xi µA (xi )
RA =
Σni=0 µA (xi )
Na medida que escolhermos mais x′i s mais próximos
do centro de gravidade estaremos.
É o método mais usado pois os valores defuzzificados
tendem a se mover mais suavemente entre dois
cálculos com pequenas variações nas entradas.
Pode ser aplicado a projetos que usam
representações discretas de funções de pertinência
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 94/111
Cálculo do Centro de Gravidade
Um método simplificado é considerar somente os
pontos de inicio e de fim de uma curva.
Assim
P otabilidade =
≈
0·0.4+0.75·0.475+0.75·0.725+0.5·0.75+0.65625·0.76+0.65625·1.1
0+0.75+0.75+0.725+0.5+0.65625+0.65625
2.5000021875
3.7125
= 0.67340126
Logo a água estaria adequada.
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 95/111
LÓGICA FUZZY NO APOIO À
TOMADA DE DECISÃO
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 96/111
Tomada de Decisão
Tomada de decisão se resolve um problema
envolvendo a perseguição de metas sobre certas
restrições.
A decisão tomada deveria resultar numa ação.
Tomada de decisão tem um role importante em
economia, administração, engenharia, ciências sociais
e políticas, estratégia militar, etc.
A dificuldade reside em que as informações podem ser
incompletas, imprecisas, subjetivas, etc. Assim este
processo pode ser realizado num ambiente “fuzzy”
onde as metas e restrições sejam modeladas por
conjuntos fuzzy.
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 97/111
Restrições e metas
Cada Restrição e meta podem ser encaradas como
conjuntos fuzzy só que em sentidos opostos, ou seja
que enquanto o grau de pertinência a uma meta se
aproxima de 1, o grau de pertinência à restrição se
aproxima de 0.
1
x
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 98/111
Restrições, metas e Decisões
A decisão é caracterizada pela seleção o escolha de
uma alternativa entre várias possíveis.
A melhor decisão é dada por aquele ponto de maior
grau de pertinência à intersecção das restrições e
metas.
1
xopt
x
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 99/111
Restrições, metas e Decisões
Assim, D = {(x, y) : x ∈ A e y = min{µC (x) : C ∈ C}},
onde C é o conjunto de restrições e metas fuzzy.
xopt = {x ∈ A : µD (x) ≥ µD (y) para todo y ∈ A}, onde
A é o conjunto de alternativas.
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 100/111
Exemplo: Descrição do problema
Uma empresa espera preencher uma vaga para um
determinado cargo. Existem 5 candidatos c1 , . . . , c5
que formam o conjunto de alternativas A = {c1 , . . . , c5 }.
As metas são
1. Experiência no cargo (M1 )
2. Conhecimento em computação (M2 )
3. jovem (M3 )
só há uma única restrição: o salário oferecido deve ser
modesto (R1 ).
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 101/111
Exemplo: O processo de decisão fuzzy
Suponha que a comissão de seleção avaliou cada
candidato do ponto de vista das metas e restrição
salarial. Chegando-se aos seguintes conjuntos fuzzy
M1 = {(c1 , 0.8), (c2 , 0.6), (c3 , 0.3), (c4 , 0.7), (c5 , 0.5)}
M2 = {(c1 , 0.7), (c2 , 0.6), (c3 , 0.8), (c4 , 0.2), (c5 , 0.3)}
M3 = {(c1 , 0.7), (c2 , 0.8), (c3 , 0.5), (c4 , 0.5), (c5 , 0.4)}
R1 = {(c1 , 0.4), (c2 , 0.7), (c3 , 0.6), (c4 , 0.8), (c5 , 0.9)}
Fazendo a intersecção fuzzy usual (mínimo) temos o
seguinte conjunto fuzzy decisão:
D = {c1 , 0.4), (c2 , 0.6), (c3 , 0.3), (c4 , 0.2), (c5 , 0.3)}
Portanto copt = c2
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 102/111
Relações de Preferência Fuzzy
Uma Relações de Preferência Fuzzy (RPF) sobre um
conjunto de alternativas A é uma relação fuzzy R
sobre A que satisfaz as seguintes condições:
Para a ∈ A, µR (a, a) = 0.5 e
Para cada a, b ∈ A, µR (a, b) + µR (b, a) = 1
µR (a, b) indica quanto a alternativa a é melhor que a
alternativa b.
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 103/111
Tomada de Decisão baseado em RPF
Considere um conjunto de alternativas A; um conjunto
de critérios C; um vetor de pesos P associados aos
P
critérios, tal que
pc = 1; e uma familia de RPF
c∈C
indexada por C.
Determinar a RPF colletiva R sobre A da seguinte
forma: Para cada a, b ∈ A, calcule
P
µR (a, b) =
pc · µRc (a, b)
c∈C
(
Seja V : A → [0, 1] definida por V (a) =
P
µR (a,b))+0.5
b∈A
#A
Ordenar as alternativas de acordo com o valor dado
pela função V .
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 104/111
Exemplo
Considere 4 alternativas, dois critérios com o peso 0.4
e 0.6 e as seguintes RPF para cada um dos criterios.
Rc1
a1
a2
a3
a4
Rc2
a1
0.5
0.6 0.7
0.6
a2
0.4
0.5 0.6
a3
0.3
a4
0.4
a1
a2
a3
a4
a1
0.5 0.6
0.3
0.8
0.4
a2
0.4 0.5
0.4
0.7
0.4 0.5
0.2
a3
0.7 0.6
0.5
0.8
0.6 0.8
0.5
a4
0.2 0.3
0.2
0.5
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 105/111
Exemplo
RPF coletiva:
a1
a2
R
a3
a4
a1
0.5
0.6
0.46
0.72
a2
0.4
0.5
0.48
0.58
a3
0.54
0.52
0.5
0.56
a4
0.28
0.42
0.44
0.5
= 0, 695,
Calculando V : V (a1 ) = 2,78
4
2,62
=
0,
615,
V
(a
)
=
= 0, 655 e
V (a2 ) = 2,46
3
4
4
V (a4 ) = 2,14
= 0, 535
4
Então: a1 > a3 > a2 > a4 .
WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy – p. 106/111
CONSIDERAÇÕES FINAIS
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Direções em LF
Direções no estudo da lógica fuzzy
1. Lógica Fuzzy no sentido amplo: Desenvolvimento de
sistemas baseados no raciocínio aproximado. Ex.:
sistemas de apoio à tomada de decisão, sistemas
controladores e de agrupamento/classificação.
2. Lógica Fuzzy no sentido restrito: Estudo da LF
enquanto lógica simbólica e portanto aqui a
preocupação é determinar teorias formais, formas
normais, estruturas algébricas dos conectivos lógicos
3. Fuzzyficação de conceitos formais, tais como grupos,
reticulados, métricas, linguagens formais,
computabilidade, etc.
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Revistas Internacionais – Qualis-CC
IEEE Transactions on Fuzzy Systems - Qualis-CC= A1
Fuzzy Sets and Systems (Elsevier) - Qualis-CC= A1
Approximate Reasoning - Qualis-CC= A2
Knowledge-Based Systems - Qualis-CC= A2
Soft Computing - Qualis-CC=
Applied Soft Computing - Qualis-CC=
Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based
Systems (World Scientific) - Qualis-CC= B1
Intelligent and Fuzzy Systems (IOS Pres) - Qualis-CC=
B2
International J. on Fuzzy Systems - Qualis-CC=
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Congressos sobre LF
FUZZ-IEEE (Qualis-CC A2)
IPMU (Qualis-CC B2)
IFSA (Qualis-CC B1)
CBSF
EUSFLAT
FLINS (Qualis-CC B4)
FSKD (Qualis-CC B2)
NAFIPS (Qualis-CC B2)
GEFS (Qualis-CC B4)
EUROFUSE
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Lógica Fuzzy no Brasil
Rosana S.M. Jafelice, Laécio C. de Barros, e Rodney C. Bassanezi. Teoria dos
Conjuntos Fuzzy com Aplicações. Notas em Matemática Aplicada 17. Sociedade
Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional São Carlos - SP, 2005.
http://www.sbmac.org.br/notas.php
Livro Laécio C. de Barros, e Rodney C. Bassanezi. Tópicos de Lógica Fuzzy e
Biomatemática. Editora UNESP, 2a ed., 2010
Minissimposio sobre lógica fuzzy no CNMAC de 2009
3o Congresso Brasileiro de Sistemas Fuzzy: Em João Pessoa-PB, 17–20 de
Agosto de 2014, junto com o FLINS
Criação do Comitê temático sobre Sistemas Fuzzy no CNMAC 2010.
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