Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
Funções
A função é um modo especial de relacionar grandezas. Por exemplo, como
escrevemos o deslocamento de um móvel em movimento retilíneo variado
dependendo do tempo? E se o móvel está em movimento retilíneo
uniformemente variado? Como representar o número de habitantes de uma
cidade em função do tempo? E a quantidade de calor transferido entre
duas superfícies com temperaturas diferentes? Podemos relacionar essas
grandezas na forma de funções, o que nos permitirão traçar e analisar
gráficos, aprofundando o conhecimento sobre as grandezas que se
relacionam e como se relacionam. Estudaremos apenas as funções que
relacionam duas variáveis, geralmente usaremos x e y. Em que a variável
x é chamada de independente e y de dependente.
1. Definição de função.
Duas grandezas, x e y, em que x  A e y  B, A e B conjuntos não vazios,
se relacionam como uma função se:
I – Todo x se relaciona com algum y  B.
II – Cada x se relaciona com exatamente um y  B.
O conjunto A chamamos de domínio da função, B contradomínio e se existir
uma expressão que relacione y a x, chamamos de lei da função.
Notação:
f: A  B
y = f(x)
Exemplos: 1. Seja A o conjunto dos triângulos no plano e B o conjunto
dos números reais. Se f relaciona o triângulo com a sua área, f: A  B
é função?
2. Seja A o conjunto das mulheres e B o conjunto dos homens. Se f
associa a mulher com quem possui relacionamento romântico, f: A  B é
função?
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3. Seja A o conjunto das pessoas e B o conjunto dos números naturais.
Se f associa cada pessoa com sua idade em anos, f: A  B é uma função?
4. Seja A o conjunto das pessoas e B o conjunto dos números naturais.
Se f associa cada pessoa com sua altura em metros, f: A  B é uma
função?
5. Seja A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos
números reais. Se f associa cada equação com suas soluções, f: A  B é
uma função?
Observação:1 - O conjunto dos y  B, tais que existem algum x relacionado
a eles chama-se conjunto imagem. 2.Nosso objeto, nessa disciplina, é
estudar funções cujo domínio e contradomínio são conjuntos numéricos.
Exemplo: 1. Determine o conjunto imagem das funções entre os itens 1 a
4, anteriores?
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2. Considere A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto
dos números inteiros. Se f relaciona cada equação de segundo grau com
o número de soluções reais, f: A  B é função? Caso afirmativo
determine o conjunto imagem.
3. Defina a função que relaciona a área de um quadrado com o seu lado.
Determine o conjunto imagem da função.
4. Defina a função que relaciona cada número real com o seu dobro.
Determine o conjunto imagem.
5. Defina a função que relaciona a ordenada com a abscissa dos pontos
do plano que pertencem à reta que passa pela origem e faz um ângulo de
45º com o sentido positivo do eixo x. Determine o conjunto imagem da
função.
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2. Gráficos de funções.
Nesta disciplina estudaremos o gráfico de algumas funções especiais. Não
esboçaremos gráficos de outras funções. Aqui o objetivo é reconhecer o
gráfico de uma função e reconhecer quando temos gráficos que não são de
funções. Também poderemos definir domínio e imagem a partir do gráfico.
(a)
(b)
(c)
(d)
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(e)
(f)
Observação: Passaremos a estudar funções específicas focando um maior
número de detalhes. Geralmente se nada for dito, assume-se que o domínio
e contradomínio da função são os reais.
3. Domínio de uma função.
Se conhecemos apenas a lei de uma função podemos definir o domínio da
mesma, pensando qual o maior subconjunto dos reais que torna a expressão
uma função.
Exemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f
seja função.
(a) f: A  ℝ
(b) f: A  ℝ
y 
x
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y 
1
x
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Se pensarmos em domínios como subconjuntos dos números reais só existem
duas restrições:
I – Divisão por zero;
II – Radicando negativo em raiz de índice par.
Podemos ter combinações dessas restrições.
Exemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f
seja função.
(a) f: A  ℝ
(b) g: A  ℝ
y 
x  2
(c) f: A  ℝ
y 
x  2 
4
4  x
(e) f: A  ℝ
y 
x  3
x²  2x  1
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y 
1
x²  1
(d) h: A  ℝ
y 
1
3x  5
(f) g: A  ℝ
y 
1
1

x  1
x  2
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Observação: Após estudar as funções básicas voltaremos a determinar
domínios com outras combinações destas restrições.
4. Função afim.
É todo função que pode ser escrita na forma:
f: ℝ  ℝ
y = ax + b
Em que a e b são constantes reais.
Já estudamos esta função como a equação reduzida da reta. Sabemos o
significado de a, coeficiente angular e b, coeficiente linear. Para
completar o estudo desta função veremos: estudo do crescimento, raiz
da função e o estudo do sinal.
4.1. Estudo do Crescimento.
Estudar o crescimento de uma função é indicar os valores de x em que a
função é crescente, decrescente ou constante.
Agora, se a função for afim, ela não terá mudança no comportamento, ou
ela é sempre crescente, sempre decrescente ou constante.
Função crescente
Função constante
Função decrescente
0 <  < 90º
tan  > 0
a > 0
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 = 0
tan = 0
a = 0
90º <  < 180º
tan < 0
a < 0
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Resumindo:
a > 0  função afim crescente x  ℝ
a = 0  função afim constante x  ℝ
a < 0  função afim decrescente x  ℝ
Exemplo: Determine o crescimento das funções afim, cujas leis são:
(a) y  
3
x  6
4
(b) y 
x  7
4.2 Raiz da função afim.
Em geral, raiz de uma função, é o valor de x em que y = 0. Assim se a
função é a afim:
y = ax + b  ax + b = 0  x  
b
a
Não precisamos ter isso como uma fórmula. Apenas sabendo a definição
de raiz, chegamos na equação muito simples de resolver.
Exemplo: Determine a raiz das funções abaixo:
(a) f: ℝ-{2}  ℝ
(b) f: ℝ  ℝ
y 
3x  7
x  2
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y = 4x - 10
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4.3. Estudo do sinal.
Estudar o sinal de uma função é indicar os intervalos do domínio, ou
seja, valores de x, em que a função, ou seja, y, assume valores positivos,
negativos ou nulos. Observe o gráfico abaixo. As regiões em rosa
correspondem aos valores de x em que o gráfico está acima do eixo ox,
ou seja, y>0. As regiões em azul correspondem aos valores de x em que o
gráfico está abaixo do eixo ox, ou seja, y < 0. E os pontos estão no
eixo ox, ou seja, y = 0.
Se a função é afim, temos quatro possibilidades:
(a) a > 0
(b) a < 0
(c) a = 0 e b > 0
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(c) a = 0 e b < 0
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Exemplos: 1. Estude o sinal de cada função afim abaixo:
(a) y = 2x – 4
(b) y = 4 – 8x
2. Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja
função.
(a) f: A  ℝ
(b) g: A  ℝ
y 
x  1
3  x
3. Resolva as inequações abaixo, em ℝ:
(a) 2 < 2x – 6 < 10
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y 
4x
 13x  8
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(b)
4x  5
 2x  3
6  3x
5. Exercícios.
1- Determine o maior subconjunto dos reais que torna as expressões abaixo
em funções:
a
c
g : A  lR
f : A  lR
f(x) 
b
x 4
h : A  lR
h(x) 
x  2 
1  2x
d
2x  3
2x  1
g : A  lR
g(x) 
g(x) 
x4  x 2  3
x²  1
2- Determine o domínio de cada gráfico abaixo. Analise se os gráficos
abaixo são referentes a funções, considerando o seu domínio. Justifique
sua resposta. No caso de função determine o conjunto imagem.
a
b
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c
d
3 Responda:
a. Uma função afim pode não ter raiz? Em que situação?
b. O gráfico de uma função afim é uma reta. E toda reta pode ser
definida como uma função afim?
4 Resolva as inequações abaixo, em ℝ:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
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