Capítulo 6
Colisões de Particulas Carregadas
As interações de partículas carregadas em movimento em qualquer meio material são
governadas pelas propriedades das colisões. Normalmente chamaremos a partícula
incidente de “projétil” e as componentes da matéria com as quais ele interage como
“partículas alvo” ou simplesmente “alvos”. A situação mais simples que podemos imaginar
é que a matéria consiste de partículas carregadas livres, elétrons e núcleos. Esta é
exatamente a situação que se aplica se a matéria com a qual a partícula está interagindo é
um plasma. Podemos pensar que neste caso, a interação mútua entre as partículas alvo
podem ser ignoradas, e as colisões tratadas como se simplesmente fossem colisões entre
dois corpos. Isto não é bem verdade por causa da natureza de longo alcance da força
eletromagnética, como veremos, mas é possível, não obstante, tratar as colisões como
colisões entre dois corpos, mas corrigidas pela influência des outras partículas alvo neste
processo.
Em interações com os átomos de sólidos, líquidos ou gases (neutros), é óbvio que o fato de
os elétrons-alvo estarem ligados ao núcleo de seus átomos, é importante para o processo de
interação. Os átomos podem, geralmente, ser tratados, ignorando suas interações mútuas,
pelo menos para projéteis com energia cinética significativa. A análise aproximada mais
simples vai além, e começa através de uma visão altamente simplificada de que os elétrons
podem ser inicialmente tratados ignorando sua força de ligação com os átomos. As
correções para esta aproximação são naturalmente significativas, e o tratamento não pode
sempre fornecer resultados precisos. Não obstante ele representa um tipo de linha de base
com o qual cálculos mais precisos e medidas podem ser comparadas.
Os núcleos do alvo são importantes em colisões com plasmas. Porém, em interações com
átomos neutros, a interação eletromagnética direta com os núcleos exige que o projétil
penetre a blindagem dos elétrons que orbitam o átomo. Somente as partículas com
momento muito alto são capazes de fazer isso. Então os elétrons do alvosão normalmente
os mais importantes a considerar, e tendem a dominar a perda de energia.
O tópico das colisões atômicas é imenso e complexo, no qual a mecânica quântica
naturalmente exerce um papel crucial. Isto nos levaria, muito além da intenção, A tentativa
de introduzir este tópico de maneira adequada, nos levaria muito além de nossa presente
intenção. Dois fatores simplificantes nos permitem, não obstante, desenvolver este aspecto
das interações eletromagnéticas com detalhamento suficiente para muitos propósitos
práticos. O primeiro fator é que os detalhes de estrutura atômica se tornam menos
influentes em colisões com energias muito maiores que as energias de ligação dos átomos
(as quais são aproximadamente da ordem de dez elétrons volts). O segundo fato é que
mesmo quando os efeitos quânticos são importantes nas colisões, fórmulas aproximadas
com ampla aplicabilidade, mas ignorando os detalhes das espécies atômicas em particular,
podem ser obtidas através de argumentos semi clássicos. As correções quânticas são então
aplicadas de maneira que pareçam de alguma forma ad hoc, mas freqüentemente
representam a forma com que os mais recentes cálculos foram feitos, e fornecem fórmulas
123
analíticas simples.
6.1 Colisões Elásticas
6.1.1 Sistemas de Referência e Ângulos de Colisão
Considere uma colisão não relativística idealizada entre duas partículas interagentes, de
sub-índices 1 e 2, com posições r1,2 e velocidades v1,2 , sob as quais não estão atuando
nenhuma força além de suas interações mútuas e que não experimentam nenhuma mudança
em suas energias internas, assim a colisão é elástica. O seu momento total (combinado),
m1v1 + m2 v 2 , é constante, de forma que o seu centro de massa,
m1r1 + m2r2
m1 + m2
R≡
,
(6.1)
se move em velocidade constante, a velocidade do centro de massa:
V≡
m1v1 + m2 v 2
m1 + m2
,
(6.2)
É útil também introduzir a notação
mr ≡
(6.3)
m1m2
( m1 + m2 )
a qual chamamos de “massa reduzida”. Em termos desta quantidade e do vetor de posição
relativa r ≡ r1 − r2 , as posições das partículas podem ser escritas:
mr
r
m1
r2 = R −
mr
r
m2
,
mr
v
m1
v2 = V −
mr
v
m2
,
r1 = R +
(6.4)
e suas velocidades:
v1 = V +
(6.5)
onde v ≡ r é a velocidade relativa.
Alguns de nossos cálculos precisam ser feitos no referencial do centro de massa, no qual R
é estacionário. Outros cálculos precisam ser feitos no referencial de laboratório ou em
outros referenciais, por exemplo nos quais uma ou outra das partículas está inicialmente
124
estacionária. Os ângulos dos vetores nestes referenciais são importantes. As direções de
todos os vetores posição e de todas as diferenças de velocidade estão no mesmo referencial
inercial. Porém as direções das velocidades não são as mesmas em diferentes referenciais.
Por exemplo, considere a colisão ilustrada na Figura 6.1. Colisões podem ser consideradas
em um único plano de espalhamento o qual é perpendicular ao momento angular do
sistema, ele mesmo uma constante. O ângulo de espalhamento, o qual denotamos por χ é
exatamente o ângulo entre a direção inicial da velocidade relativa v e de sua direção final,
v′ . Este ângulo é diferente em diferentes referenciais. Vamos chamar de χ c o ângulo no
referencial do centro de massa. Pela conservação da energia, a velocidade relativa final v′ ,
possui magnitude absoluta igual aquela da velocidade relativa inicial, v0 . Assim a
velocidade final pode ser escrita sob a forma de componente, no referencial do centro de
massa, como
v′ = v0 ( cos χ c ,sin χ c ) ,
onde escolhemos a direção da velocidade relativa inicial como sendo a do eixo x.
Figura 6.1: Colisões nos referenciais centro de massa e de laboratório
125
(6.6)
Substitutindo na equação (6.5) encontramos as velocidades finais no referencial de
laboratório, dadas por
v1′ =
v′2 = −
⎛m
⎞
mr
m
v′ + V = ⎜ r v0 cos χ c + V , r v0 sin χ c ⎟
m1
m1
⎝ m1
⎠
(6.7)
,
⎛ m
⎞
mr
m
v′ + V = ⎜ − r v0 cos χ c + V , − r v0 sin χ c ⎟
m2
m2
⎝ m2
⎠
.
(6.8)
O ângulo no referencial de laboratório da velocidade final da partícula 1, em relação à sua
velocidade inicial (que está na direção x), digamos χ1 , é então dada exatamente pela razão
das componentes da velocodade final,
mr
v0 cos χ c + V
V m1
m1
cot χ1 =
= cot χ c +
csc χ c
mr
v
m
r
0
v0 sin χ c
m1
.
(6.9)
Para o caso específico quando a particular 2 é um alvo estacionário, com velocidade inicial
zero no referencial de laboratório, a velocidade do centro de massa é
V = m1v0 ( m1 + m2 ) = ( mr m2 ) v0 e assim
cot χ1 = cot χ c +
m1
csc χ c
m2
.
(6.10)
Queremos freqüentemente saber o quanto de energia ou momento é transferido de um
projétil incidente, (partícula 1) para um alvo inicialmente estacionário (partícula 2).
Claramente, através da equação (6.8), podemos obter estas quantidades em termos do
ângulo de espalhamento χ c . Assim, a mudança no momento – x da partícula 1 é
simplesmente
⎛m
⎞
⎛
m ⎞
m1 ⎜ r v0 cos χ c + V ⎟ − mv0 = mr v0 ⎜ cos χ c + 1 ⎟
m2 ⎠
⎝ m1
⎠
⎝
e a energia final de recuo da partícula 2 (que é a energia perdida pela partícula 1) é
126
(6.11)
2
2
⎞ ⎛ mr
⎞ ⎤
1 ⎡⎛ mr
Q ≡ m2 ⎢⎜ − v0 cos χ c + V ⎟ + ⎜ − v0 sin χ c ⎟ ⎥ =
2 ⎢⎝ m2
⎠ ⎝ m2
⎠ ⎥⎦
⎣
2
1 ⎛ mr ⎞ ⎡
2
m2 ⎜ v0 ⎟ ( − cos χ c + 1) + sin 2 χ c ⎤ =
⎣
⎦
2 ⎝ m2 ⎠
(6.12)
1 mr2 2
1 mr2 2
⎛χ ⎞
v0 2 (1 − cos χ c ) =
v0 4sin 2 ⎜ c ⎟
2 m2
2 m2
⎝ 2 ⎠
Note que a transferência maxima de energia possivel, que ocorre quando χ c = 180 , é
Qmax =
4mr2 1
m1v02
m1m2 2
.
(6.13)
Todas essas relações são completamente independents da natureza de interação entre as
partículas, desde que invocamos somente a conservação do momento e da energia.
Parâmetro de Impacto e Seção de Choque
Pela definição, a seção de choque, σ , para qualquer processo de colisão específicado,
quando uma partícula está passando através de uma densidade n2 de alvos, é esta
quantidade que faz o número de tais colisões por unidade de comprimento do percurso
igual n2σ 1. Às vezes uma quantidade contínua de tipos de colisão está em consideração.
Por exemplo, podemos considerar colisões que dão origem a diferentes ângulos de
espalhamento ( χ ) distintos. Neste caso, falamos em termos de seções de choque
diferenciais, e definimos a seção de choque diferencial dσ d χ ( por exemplo) como sendo
a quantidade tal que o número de colisões dentro de um elemento angular d χ por unidade
de comprimento do percurso é
N2
dσ
dχ .
dχ
Às vezes outros autores usam notações diferente para a seção de choque diferencial, por
exemplo σ ( χ ) . Entretanto, nossa notação, com a qual estamos familiarizados através do
cálculo, é altamente sugestiva e as seções de choque obedecem regras naturais para as
diferenciais implicadas pela notação.
Para colisões clássicas, o parâmetro de impacto, b, mostrado na Figura 6.1, é um
parâmetro conveniente pelo qual se caracterizar a colisão. Ele é a menor aproximação que
pode ocorrer para as partículas em colisão, se elas apenas seguissem as trajetórias iniciais
1
Uma definição alternativa pode ser invocada, equivalente a esta primeira definição, mas em um referencial
no qual a única partícula (1) é estacionária, e as partículas de densidade n2 estão se movendo.
127
em linha reta. Alternativamente, o parâmetro de impacto pode ser considerado como sendo
a medida do momento angular do sistema no referencial centro de massa, que é mr v0b .
Figura: 6.2: Volume diferencial para contagem do número de colisões no comprimento dl com parâmetro de impacto b.
A seção de choque diferencial, com respeito ao parâmetro de impacto, é definida puramente
através da geometria. Como ilustrado na Figura 6.2, podemos pensar no projétil (partícula
1) arrastando cosigo um cilindro de raio b e espessura db conforme ele se move ao longo da
distância dl em seu comprimento de percurso. Este cilindro arrasta um volume dl 2π bdb , e
o número de alvos que estão neste volume, e conseqüentemente foram encontrados no
elemento do parâmetro de impacto db em b neste comprimento de percurso é n2 dl 2π bdb .
Consequentemente, pela nossa defnição, a seção de choque diferencial para o espalhamento
com o parâmetro de impacto b é
dσ
= 2π b .
db
(6.14)
Note que a integral desta quantidade sobre todos os parâmetros de impacto (isto é,
0 < b < ∞ ) certamente divergirá, porque ele considera que o projétil está colidindo com
todas as partículas do alvo que ele encontra, não importando o quão longe elas estejam.
Então o número total de “colisões” de todos os tipos possíveis, por unidade de
comprimento em um meio alvo infinito é infinito. Esta singularidade matemática na “seção
de choque total” aponta a necessidade de se definir mais de perto o que constitui uma
colisão, e nos alerta ao fato de que, para colisões governadas por interações de alcance
infinito, tais como as forças entre partículas carregadas, temos que definir nossas colisões
de tal forma a contabilizar uma finalização efetiva para a integração do parâmetro de
impacto2. Esta finalização, que é freqüentemente expressa, de forma aproximada, como um
corte na integração do parâmetro de impacto, em um valor máximo bmax , será regida pela
consideração do parâmetro da partícula, cuja mudança, devido às colisões, estamos
tentando calcular. Por exemplo, a variação do momento ou da energia em uma colisão pode
2
Isto mostra também a incoerência fundamental da noção do número total de colisões por unidade de
comprimento e dos conceitos que dependem delas, tais como a média da mudança em algum parâmetro por
colisão, que alguns autores infelizmente empregam.
128
se tornar desprezível para b > bmax .
Existe normalmente uma relação um para um entre o parâmetro de impacto e o ângulo de
espalhamento e conseqüentemente com a transferência de energia, Q, dada pela equação
(6.12). Por conseguinte a seção de choque diferencial, com respeito à transferência de
energia, ângulo de espalhamento e parâmetro de impacto estão todas relacionadas, da
seguinte maneira:
dσ dσ d χ c dσ db d χ c
=
=
dQ d χ c dQ
db d χ c dQ
(6.15)
Se nos preocuparmos com uma quantidade, tal como a energia do projétil, a qual está
mudando devido às colisões, sendo que a mudança em cada colisão, é uma quantidade
Q ( b ) que depende do parâmetro de impacto, então a taxa total de variação por unidade de
comprimento, devido a todos os tipos possíveis de colisões, é obtida como
n2 ∫ Qdσ = n2 ∫ Q 2π bdb
(6.16)
6.1.2 Colisões Classicas Coulombianas
A relação exata entre o parâmetro de impacto, b, e o ângulo de espalhamento é determinada
pelo campo de força existente entre as partículas em colisão. Para interações
eletromagnéticas de partículas carregadas, a força fundamental é a interação de Coulomb
entre as forças, a lei do inverso quadrado. Como mostrou Isaac Newton, a órbita de uma
partícula que se move sob uma força, cuja lei é do inverso quadrado, é uma seção cônica;
quer dizer, uma elipse para órbitas fechadas ou uma hipérbole para órbitas abertas
pertinentes a colisões.
A análise elementar mostra que o ângulo de espalhamento resultante χ c , para uma colisão
com parâmetro de impacto b, é determinado por
⎛χ ⎞ b
cot ⎜ c ⎟ =
⎝ 2 ⎠ b90
(6.17)
,
onde, para partículas de carga q1 e q2 e velocidade inicial de colisão v0 , a quantidade b90 é
dada por
b90 ≡
q1q2 1
4πε 0 mr v02
.
(6.18)
Vemos claramente na equação (6. 17), que b90 é o parâmetro de impacto no qual o ângulo
de espalhamento no centro de massa é 90º. As identidades trigonométricas nos permitem
deduzir imediatamente através da equação (6. 17) que
129
sin 2 ( χ c 2 ) =
1
1 + ( b b90 )
2
e
db
b
= − 90 csc 2 ( χ c 2 )
d χc
2
(6.19)
De forma que a transferência de energia em uma colisão (veja equação 6.12) é
Q=
1 mr2 2
1
v0 4
2
2 m2
1 + ( b b90 )
(6.20)
e a taxa de transferência de energia por unidade de comprimentopara uma partícula com
energia K ≡ 1 2 m1v02 colidindo com alvos estacionários é
−
dK
m v 2 4mr2
2π bdb
4mr2
2
= n2 1 0
=
n
K
π b902 ln ⎡1 + ( bmax b90 ) ⎤ ,
2
2
∫
⎣
⎦
2 m1m2 1 + ( b b90 )
d
m1m2
(6.21)
onde o limite superior da integração de b, bmax o qual previne que a integral seja divergente,
será discutido em um momento. Uma forma de pensdar nesta equação é considerar a
2
quantidade π b902 ( 4mr2 m1m2 ) ln ⎡1 + ( bmax b90 ) ⎤ como uma seção de choque efetiva de
⎣
⎦
colisão para a perda total de energia. Quando multiplicada pela densidade de alvos n2
fornece o inverso da escala de comprimento para a perda de energia, d ln K d .
Figura 6.3: ângulo de espalhamento e parâmetro de impacto mostrados esquematicamente para diferentes colisões Coulombianas.
A integral sobre os parâmetros de impacto diverge se a estendermos até o infinito b. Isto é
porque a lei do inverso quadrado possui essencialmente um alcance infinito. Como
resultado, a contribuição dominante para a perda de energia da seção de choque vem de
colisões distantes, nas quais, b b90 , e conseqüentemente o ângulo de espalhamento é
pequeno. Vários efeitos físicos diferentes podem entrar para grandes parâmetros de impacto
a fim de mudar a lei de força efetiva e prevenir assim a divergência. Trataremos estes
efeitos separadamente nas seções posteriores, mas em quase todos casos, o valor exato do
limite superior não é um efeito quantitativo muito forte sobre a seção de choque porque
bmax b90 é grande e aparece dentro de um termo logarítmico que pode ser escrito
aproximadamente por ln ( bmax b90 ) , que portanto varia muito lentamente com bmax . Muitos
130
tratamentos adotam uma aproximação de pequeno ângulo para a seção de choque
diferencial na derivação anterior, conduzindo a uma expressão Q ∝ 1 b 2 e uma integral que
diverge tanto para b pequeno quanto para b grande. Tais tratamentos precisam invocar um
bmin de corte na integração, justificando o fato com base na quebra da aproximação, e
naturalmente adotar b90 como sendo o corte no caso clássico. A expressão resultante é
então essencialmente idêntica à nossa, a qual foi obtida de forma mais rigorosa. Há, em
algumas circunstâncias, efeitos físicos importantes que requerem uma integração de corte
para b pequeno mesmo antes de ser alcançado o b90 . Nesses casos, substituímos
2
simplesmente o termo ln ⎡1 + ( bmax b90 ) ⎤ por 2ln ( bmax b90 ) .
⎣
⎦
6.2 Colisões Inelásticas
Os efeitos que dão origem ao corte no logaritmo de Coulomb são principalmente
associados com a presença de outras partículas e forças no sistema. Se as partículas alvo
experimentam o campo de força de uma outra partícula próxima, tais como seria o caso se
os alvos fossem elétrons ligados aos núcleos para formar os átomos de um material alvo,
então a dinâmica de sua ligação dá origem a um corte. Uma forma de pensar neste efeito, é
considerar os elétrons se comportando como que se eles fossem livres somente em colisões,
nas quais a transferência de energia dos projéteis é maior que suas energias de ligação no
átomo. Colisões distantes, de ângulo pequeno, transferem menos energia.
Um corte bmax deve ser aplicado no parâmetro de impacto onde a transferência de energia é
igual, aproximadamente, a energia de ligação.
Alternativamente, e mais fisicamente, podemos considerar estas colisões como sendo um
sistema complexo de alvos, o átomo, no qual há uma transferência inelastica de energia
para o sistema, a energia sendo parcialmente tomada para a ionização ou energia de
excitação do átomo. Claramente, um cálculo rigoroso de tais colisões exige a consideração
da estrutura quântica do átomo, sendo assim um problema intrínseco da mecânica quântica.
Não obstante, cálculos semi-clássicos, levando em consideração os efeitos quânticos, como
e quando necessários, fornecem uma idéia substancial dos princípios que regem o problema
e, na realidade, são capazes de fornecer quantitativamente formas corretas, para as seções
de choque e perdas de energia.
131
Figura 6.4: Colisões com um sistema atômico podem excitar ou ejetar elétrons do átomo.
6.2.1 Transferência de energia para uma partícula oscilante
Uma abordagem para o problema de colisões com partículas ligadas, que podem ser
tratadas classicamente, e se torna a base para uma descrição quântica, é aproximar o
sistema como uma carga ligada em um poço de potencial harmônico simples. Porque
estamos interessados principalmente em parâmetros de impacto grandes, consideraremos o
campo elétrico do projétil como uniforme no átomo e então fazemos a pergunta, no
encontro do projétil com este elétron oscilante, quanta energia o oscilador ganha como o
resultado da flutuação do campo elétrico do projétil em trânsito
Assim considere uma partícula oscilante simples, em um campo elétrico uniforme, E ( t ) .
Sua posição x é governada pela equação
x + ω2 x =
q
E (t ) .
m
(6.22)
Resolvemos esta equação no intervalo de tempo ( t1 , t2 ) , com alguma condição inicial
assumida t1 para determinar a energia ganha pela partícula no tempo t2 . Esta solução é
obtida facilmente usando o que chamamos de “Função de Green unilateral” como segue. As
soluções para o problema homogêneo (a equação com zero no lado direito) são
sin ωt e cos ωt .
A função de Green é construída como
H ( t ,τ ) = ( sin ωt cos ωτ − cos ωt sin ωτ ) ω
(6.23)
e a solução geral é então
t
x ( t ) = A sin ωt + B cos ωt + ∫ H ( t ,τ )
t1
132
q
E (τ ) dτ ,
m
(6.24)
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. De fato, não precisamos
resolver para A e B porque quando calculamos a energia do oscilador, média sobre um
período do oscilador, A e B dão exatamente a mesma contribuição ao término da integração,
como fizeram no início e qualquer termo cruzado entre eles e H possuem média zero. [O
ponto sobre os termos cruzados não é realmente óbvio, mas para poupar tempo, não
provaremos isto.] Então, o ganho em energia é determinado apenas pelo termo integral e
podemos simplesmente fixar A = B = 0 . Então para o tempo t2 a solução pode ser escrita
ωm
q
t2
t2
x ( t2 ) = sin ωt2 ∫ cos ωτ E (τ ) dτ − cos ωt2 ∫ sin ωτ E (τ ) dτ .
t1
(6.25)
t1
Quando essa expressão é diferenciada, ostermos que surgem das diferenciais dos limites se
cancelam e temos
ωm
q
t2
t2
t1
t1
x ( t2 ) = ω cos ωt2 ∫ cos ωτ E (τ ) dτ + ω sin ωt2 ∫ sin ωτ E (τ ) dτ .
(6.26)
Assim a energia total (cinética mais potencial) no oscilador pode então ser obtida
rapidamente como
2
2
⎡ t
⎞ ⎛ t2
⎞ ⎤
1
q2 ⎢⎛ 2
2
2
m (ω x + x ) =
⎜ cos ωτ E (τ ) dτ ⎟ + ⎜ ∫ sin ωτ E (τ ) dτ ⎟ ⎥
⎟ ⎜t
⎟ ⎥
2
2m ⎢ ⎜⎝ ∫t1
⎠ ⎝1
⎠ ⎦
⎣
2
q2
=
E (ω ) ,
2m
(6.27)
com a transformada de Fourier do campo elétrico escrita como
E (ω ) = ∫ exp ( iωτ ) E (τ ) dτ .
(6.28)
Fizemos esta integração sobre um tempo finito que evita algumas dificuldades matemáticas,
mas podemos agora facilmente fazer t1 → −∞ e t2 → ∞ e obter o domínio completo da
integral de Fourier. Obtivemos um importante resultado geral de que a energia transferida a
um oscilador harmônico é proporcional à transformada de Fourier do campo elétrico
calculado na freqüência de ressonância do oscilador, equação (6.27) .
6.2.2 Colisão em linha reta
Estamos principalmente interessados em colisões de pequeno ângulo, porque, como
previamente notamos, eles dominam o comportamento, especialmente no corte bmax .
Aproximamos a órbita do projétil, neste caso, como uma linha reta. Então, como ilustrado
133
na Figura 6.5, o campo elétrico
Figura 6.5: A aproximação de uma órbita linear fornece uma expressão simples para o campo elétrico em função do tempo.
no átomo é exatamente aquele devido a uma carga que se move com um parâmetro de
impacto b e uma velocidade constante. Para uma velocidade não relativística v as
componentes do campo elétrico em função do tempo são
Ex ( t ) =
−q1
vt
4πε 0 ( b 2 + v 2t 2 )3 2
e Ey (t ) =
−q1
b
4πε 0 ( b 2 + v 2t 2 )3 2
(6.29)
.
as formas relativísticas são qualitativamente similares, e foram previamente calculadas na
seção 4.2, veja equação (4.40)
Ex ( t ) =
−q1
γ vt
4πε 0 ( b 2 + γ 2v 2t 2 )3 2
onde γ é o fator relativístico (1 − v 2 / c 2 )
e Ey (t ) =
−1 2
−q1
γb
4πε 0 ( b 2 + γ 2v 2t 2 )3 2
,
(6.30)
. As componentes do campo são plotadas em
função do tempo na Figura 6.6. Claramente, por inspeção da Figura 6.6, e da equação
(6.28) haverá uma mudança qualitativa no comportamento da transformada de Fourier de
E ( t ) e consequentemente a energia se transfere para ωb γ v 1 comparada com
ωb γ v 1 . A duração característica do tempo de colisão é ∼ b γ v . Se este termo é menor
que o tempo característico de oscilação, 1 ω , podemos tomar ω ≈ 0 e obter por integração
elementar
E y (ω ) =
−2q1
4πε 0bv
.
(6.31)
Porque E x ( t ) é anti-simétrico, Ex (ω ) = 0 neste pequeno limite de parâmetro de impacto.
No limite oposto, que é para colisões nas quais b é maior que ωb γ v
134
1 , E (ω ) será
pequeno porque na equação (6.28) há muitas oscilações do fator exp ( −iωt ) dentro da
variação suave de E ( t ) . Assim vemos que em colisões com um oscilador harmônico
simples, de freqüência ω , há um corte natural para a transferencia de energia no parâmetro
de impacto máximo
bmax ≈
γv
ω
(6.32)
Substitutindo a equação (6.31) na equação (6.27), e restaurando nossa notação de subíndice 2 para o alvo e sub-índice 0 para a velocidade incidente, obtemos a transferência de
energia para a colisão em linha reta da forma
Q (b ) =
q12 q22
( 4πε 0 )
2
2
1 mr2 2 ⎛ b90 ⎞
v0 4 ⎜ ⎟
=
m 2v02b 2 2 m2
⎝ b ⎠
2
(6.33)
Figura 6.6: Componentes do campo elétrico na colisão em linha reta.
Note que esta é essencialmente a mesma expressão como na equação (6.20), da
transferência de energia para um elétron livre, exceto que o parâmetro de impacto menor de
corte não está presente aqui, porque a suposição de uma órbita linear para o projétil é
injustificada para parâmetros de impacto pequeno. A taxa de perda de energia é obtida
então, como antes, por integração sobre os parâmetros de impacto do mínimo para o
máximo, correspondendo aos limites de aplicabilidade da equação (6.31)
2
⎛ q q ⎞ 4π
dK
mr2
b
γ v0
−
= n2 Kπ b902
8 ln max = n2 ⎜ 1 2 ⎟
ln
2
d
m1m2
bmin
⎝ 4πε 0 ⎠ m2v0 ωb90
135
.
(6.34)
6.2.3 Fórmula Clássica daTaxa de Perda de Energia
Uma consideração final é necessária antes de termos uma fórmula útil de perda de energia
para propósitos práticos. Devemos ter uma forma de aplicar o cálculo idealizado do
oscilador harmônico para os átomos reais. Um átomo, em geral, possui um número Z,
digamos, de elétrons ligados ao núcleo. Cada elétron pode atuar como um alvo oscilante
para transferência de energia, e de fato cada elétron pode atuar como um dos infinitos
conjuntos de osciladores, correspondentes a cada uma das possíveis transições quânticas.
Transições de energia de magnitude ε i , correspondem a osciladores de freqüência
ωi = ε i , é claro. Para a i-ésima transição pode ser atribuído um oscilador de força, fi ,
definido como a razão da taxa atual de absorção de energia pela transição correspondente
àquele oscilador harmônico. O argumento semi clássico é então que, cada elétron gasta uma
fração de seu tempo se comportando como se fosse cada um dos possíveis osciladores, e
por conseguinte ∑ f i = Z . Existe um teorema mais rigoroso em física quântica chamado
(Thomas-Reiche-Kuhn) regra da soma de f a qual afirma que a soma de todas as transições
possíveis do oscilador força, de um nível específico, é igual ao número de elétrons naquele
nível. Se isto fosse aplicado sem reflexão para todos os elétrons do átomo, forneceria a
mesma equação.
Para obter a taxa da perda de energia total que surge das colisões com uma densidade de de
átomos na , cujo número atômico é Z, somaríamos as contribuições oriundas de todas as
transições possíveis, ponderada pelo oscilador de força da transição. Assim obtemos para o
termo logarítmico:
γ v0
∑ f ln ω b
i
i
i 90
= Z ln
γ v0
b90
− ∑ f i lnωi = Z ln
γ v0
ω b90
,
(6.35)
Onde definimos um tipo de frquencia média do oscilador ω pela equação
Z ln ω ≡ ∑ f i ln ωi .
(6.36)
i
A taxa total clássica da perda de energia é então
2
⎛ q e ⎞ 4π
dK
Z lnΛ ,
= na ⎜ 1 ⎟
2
d
⎝ 4πε 0 ⎠ mev0
(6.37)
Onde substituimos a carga do elétron e a massa, e por brevidade denotamos o argumento do
logaritmo por
Λ=
γ v0
ω b90
136
.
(6.38)
De fato, parece ser possível calcular a transformada de Fourier dos campos relativísticos na
equação (6.30) de forma fechada e leva a cabo a integração das funções modificadas de
Bessel assim obtidas [ref 6.2.3]. Quando isso é feito, aparecem duas correções muito
pequenas em nossa fórmula. O argumento do logaritmo é multiplicado pelo fator 1,123 e
um termo adicional relativístico é somado, equivalente à substituição
1,123γ v0
v02
− 2
ln Λ → ln
ω b90
2c
.
(6.39)
Nenhuma destas correções é quantitativamente significante. O resultado foi obtido
primeiramente por Bohr em 1913, anterior ao desenvolvimento da mecânica quântica. É
dificil completar como se apresenta, desde que a média ω `deve ser estimada. Porém,
devido ao fato de ω aparecer somente no logaritmo, mesmo uma estimativa grosseira,
por exemplo, colocando ω igual ao potencial de ionização do átomo, fornecerá uma
fórmula quantitativa útil para a perda de energia.
6.2.4 Efeitos Quânticos em colisões próximas
Para que o parâmetro de impacto mínimo clássico b90 seja aplicável se requer que as
partículas da colisão se comportem como partículas pontuais menores que o parâmetro de
impacto. Porém, a mecânica quântica nos ensina que as partículas não se comportam como
pontos perfeitos. O princípio da incerteza de Heizenberg afirma que a partícula só é
localizada dentro de uma incerteza de posição ∆x , se a incerteza do momento é ∆p , tal que
∆x∆p ≈ . Alternativamente podemos dizer que uma partícula com momento p = γ mv se
comporta como uma onda com vetor de onda k = p . Ou novamente, podemos dizer que
o momento angular orbital é quantizado em unidades indivisíveis de . Todas essas são
maneiras de indicar que em colisões, a posição efetiva de uma partícula é esparramada em
torno de uma distância da ordem de p . Por conseguinte, os efeitos quanticos nos
impedem de estender a integração clássica sobre os parâmetros de impacto abaixo de um
valor de
bq ≈
γ mv
.
(6.40)
O valor clássico do parâmetro de impacto baixo de corte b90 será aplicável somente se
b90
qq
qq c
≈ 1 2 = 1 22 α > 1
bq 4πε 0 v
e
v
,
(6.41)
onde α é a constante de estrutura fina, aproximadamente 1/137. Este critério é um
requerimento que a velocidade de colisão com os elétrons alvo deve ser menor que
137
Z1c 137 .
Na prática isso significa que os elétros com energies maiores que 1, 9 keV , protons com
energia maior que 3,5 MeV , ou partículas alfa com energia maior que 55 Me V não serão
tratadas apropriadamente usando o parâmetro clássico de impacto baixo de corte. Ao invés
disso, a aproximação de um resultado da mecânica quântica pode ser obtido simplesmente
cortando a integração do parâmetro de impacto em bq ao invés de b90 . Se escolhermos3
bq =
2γ mev , então nas colisões de partículas pesadas com átomos, para os quais mr = me ,
bmax
2γ 2me v02
ln
= ln
bmin
ω
(6.42)
Este valor é então consistente com o que foi obtido para o caso relativístico usando o
tratamento de espalhamento quântico e a primeira aproximação de Born, por Bethe (1930),
⎛ 2γ 2me v02 v02 ⎞
⎛ q1e ⎞ 4π
dK
Z ⎜ ln
−
= na ⎜
− 2⎟
⎟
2
d
ω
c ⎟⎠
⎝ 4πε 0 ⎠ me v0 ⎜⎝
2
(6.43)
aqui novamente o termo final, v02 c 2 , o qual não derivamos, é no máximo uma pequena
correção. Se o projétil é um electron ou positron, então o corte quântico deve ser estimado
no referencial do centro de massa, e a expressão se torna
2
⎛ ⎛ γ + 1 ⎞1 2 (γ + 1) me c 2
⎛ e2 ⎞ 4π
dK
v02 ⎞
−
= na ⎜
− 2⎟
Z ⎜ ln ⎜
⎟
⎟
2
d
ω
2c ⎟⎠
⎝ 4πε 0 ⎠ me v0 ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠
(6.44)
6.2.5 Valores de Potência de Parada
Temos deixado em aberto a questão sobre qual valor devemos tomar para ω . Bloch
(1933) mostrou através de uma análise do modelo, de distribuição de carga do elétron no
átomo, de Thomas-Fermi, que podemos esperar que ω ∝ Z . Em reconhecimento do
trabalho de Bethe e Bloch, a equação 6.43 é freqüentemente referida como a fórmula de
Bethe-Bloch. A fórmula é escrita como
2
⎛ q e ⎞ 4π
dK
−
= na ⎜ 1 ⎟
B
2
d
⎝ 4πε 0 ⎠ me v0
(6.45)
com a quantidade B, chamada de “número atômico de parada”, correspondente ao fator
3
O fator de dois aqui é nosso único real artifício. Ele fornece o argumento do logarítmo igual àquele obtido
utilizando totalmente a mecânica quântica.
138
⎛ 2γ 2 me v02 v02 ⎞
Z ⎜ ln
− 2⎟
⎜
ω
c ⎟⎠
⎝
Também, B Z é chamada de “potência de parada” por elétron (atômico), reconhecendo
que um átomo possui Z elétrons. A potência de parada é determinada por experimentos, e o
valor apropriado de ω que devemos usar, é determinado por essas medidas.
Uma complicação que não discutimos, surge porque o nosso tratamento assumiu que a
velocidade orbital dos elétrons no átomo pode ser ignorada em relação à velocidade da
partícula incidente. Este não é o caso ao lidar com os elétrons das camadas internas de
átomos com Zgrande, ou com projéteis de energia incidente muito baixa. Então a redução
no valor da potência de parada acontece porque (por exemplo) os elétrons da camada K
(mais internos) são ineficazes na remoção da energia dos projéteis. Este efeito é
compensado numericamente quando subtraímos o termo de correção CK de forma que
⎛ 2γ 2 mev02 v02 ⎞
− 2 ⎟ − CK
B = Z ⎜ ln
⎜
ω
c ⎟⎠
⎝
Desta forma, o valor de
(6.46)
ω é determinado empiricamente como sendo 11,5 × Z eV , e, e
CK é uma função da quantidade ξ ≡ ( c 2 v02 ) ( Z − 0,3) α 2 (que representa a relação
2
quadrada da velocidade da camada K em relação à velocidade do projétil). Uma forma
aproximada simples para CK é
CK ( ξ ) =
2,3ξ
1 + 1,3ξ 2
correta dentro de 10% de ξ = 0 a ξ = 2 . Tende a zero para alta energia de projétil e tem um
pico em torno da unidade para baixa velocidade, onde ξ ≈ 1 . Estes e outros detalhes foram
revisados por Evans (1955).
6.2.6 Efeitos de Partículas Circunvizinhas em Colisões Distantes
Vamos retornar agora para nosso cálculo primitivo da taxa de perda de energia, equação
6.34 que pode ser considerada da forma
2
⎛ q q ⎞ 4π
dK
b
= n2 ⎜ 1 2 ⎟
ln max
2
d
bmin
⎝ 4πε 0 ⎠ m2v0
(6.47)
Nas seções precedentes discutimos as escolhas apropriadas de bmin , baseada tanto nos
139
efeitos clássicos para espalhamento de grandes ângulos (fornecendo b90 ) quanto em efeitos
mecânico quânticos do comprimento de onda de Broglie, da combinação do projétil/alvo.
Também discutimos o bmax apropriado, baseado no efeito de ligação dos elétrons alvos com
os seus núcleos. Porém, outro efeito pode às vezes ser mais importante que a estrutura
atômica de ligação na determinação de bmax , isto é, a influência das partículas
circunvizinhas.
Nós temos assumido tácitamente há muito tempo que a interação do projétil e qualquer alvo
especifico podem ser tratados ignorando os efeitos dos outros alvos na vizinhança.
Calculamos a interação projétil/alvo isoladamente, e então presumimos que podemos
adicionar os efeitos de todos os diferentes alvos por meio de uma simples integração do
parâmetro de impacto. Este pode não ser o caso. Por exemplo, definitivamente isto não é o
caso quando os elétrons do alvo forem livres; ou em outras palavras, para um alvo de
plasma. Neste caso não há nenhum corte intrínseco para a integral de colisão, surgindo do
efeito oscilador introduzido na seção 6.2.1, e o efeito das partículas próximas, em essência,
sempre determina bmax . Mesmo em colisões com matéria atômica, especialmente para
elétrons relativísticos, o efeito das partículas vizinhas podem significantemente diminuir a
taxa de transferência de energia. No contexto das colisões atômicas, as correções são
freqüentemente referido como “efeito de densidade” porque eles são mais significantes para
matéria de alta densidade.
Este é ainda o caso onde a transferência de energia para alvo, surge do campo elétrico
produzido pelo projétil incidente. Porém, o que precisamos fazer é contabilizar a influência
das outras partículas do alvo, sob a influência do campo elétrico produzido pelo projétil, no
alvo específico. Expresso desta forma, é imediatamente claro que o que precisamos é levar
em conta as propriedades dielétricas do meio material de que é feito o alvo. As partículas
individuais do meio respondem à influência da carga (neste caso o projétil) para alterar o
campo elétrico no meio de forma a voltar o que era antes. Isto é exatamente o que queremos
dizer por resposta dielétrica do meio.
É claro que esta não é a resposta dielétrica de steadystate que nós procuramos, mas a
resposta á altas freqüências de interesse nas colisões. Além disso, quando pensamos sobre o
meio do alvo, consistindo de uma densidade de osciladores idealizados, como fizemos
antes, são as propriedades desses osciladores que determinam a resposta dielétrica em
freqüências próximas às suas freqüências de ressonância. Assim a resposta dielétrica e a
resposta da perda de energia colisional não são duas propriedades separadas do meio; elas
estão intimamente ligadas. O modelo do oscilador idealizado pode ser generalizado para
discutir um meio com qualquer permissividade dielétrica relativa ε (ω ) , tendo uma forma
(
ressonante ε − 1 ∝ (ω − ωi )
−1
) , e uma expressão para a taxa de perda de energia de um
projétil incidente, para que essa ressonância então possa ser obtida. Fermi (1940) foi o
primeiro a obter a seguinte fórmula, a qual levou muito tempo para ser re-obtida, para a
perda de energia atribuível à colisões com parâmetros de impacto maiores que a, como
segue
140
dK
d
=
b>a
⎛ 1
⎞
∞
ℜ∫ is∗ K1 ( s∗ ) K 0 ( s ) ⎜⎜
− β 2 ⎟⎟ dω
0
π 4πε v
⎝ ε (ω )
⎠
2
q12
2
0 0
(6.48)
onde ℜ denota a parte real, β = v0 c , K1 e K 2 são as funções de Bessel modificadas, e
seus argumentos são s tais que
s2 ≡
a 2ω 2
⎡1 − β 2ε (ω ) ⎤⎦
2 ⎣
v0
(6.49)
Podemos mostrar, mas não trivialmente, [Jackson] que este dK dl se reduz à expressão de
Bohr (equação 6.39) se o termo β 2ε (ω ) em s é negligenciado.
Em vez de procurar o tópico para o caso atômico, vamos considerar um argumento simples
para o plasma. A constante dielétrica para um plasma (livre de campo magnético ) à altas
freqüências é
ε (ω ) = 1 −
ω p2
ω2
(6.50)
onde
nee2
ωp ≡
meε 0
é chamado de freqüência de plasma. Então quando a freqüência de interesse do campo é
menor que ω p , a constante dielétrica é negativa e as ondas de campo elétrico já não
propagam no meio; ao contrário, elas decaem exponencialmente com a distância de suas
fontes. Em colisões, como vimos antes, a freqüência da interação do campo elétrico é
aproximadamente v0 b . Então, para o parâmetro de impacto, b, maior que v0 ω p
esperamos que a eficiência das colisões poderiam decair devido aos efeitos do dielétrico.
Aplicando este valor para bmax obtemos uma expressão para a taxa de perda de energia
correspondente à equação 6.37 como
2
⎛ q1e ⎞ 4π
dK
q12 ω p
= ne ⎜
lnΛ =
ln Λ
⎟
2
d
4πε 0 v02
⎝ 4πε 0 ⎠ mev0
2
(6.51)
mas com Λ dado aproximadamente por
Λ=
v0
ω p b90
141
(6.52)
O que fizemos, em efeito então, é substituir o valor bmax = γ v0 ω `na definição de Λ ,
equação (6.38) com
bmax =
v0
(6.53)
ωp
O fator pelo qual o argumento logarítmico Λ da fórmula de Bethe-Bloch é multiplicado, é
então γω p ω . Mas o efeito da densidade pode somente diminuir a taxa de absorção, de
forma que deveríamos ter usado mais propriamente bmax = min ( v0 ω p , γ v0 ω ) . Os
elétrons se comportam como se eles fossem livres quando ω > ωij ∼ ω .
Conseqüentemente tipo-plasma, isto é elétron livre, comportamento ocorre somente quando
ω p > ω , que é quando a expressão do plasma se aplica para bmax , porque é a menor.
Uma estimativa grosseira da razão de ω p / ω pode ser obtida tomando a densidade dos
átomos em um sólido como sendo por volta de 1030 m −3 , e a densidade do elétron sendo Z
vezes isto. Então
ω p ≈ 37 Z eV ⋅
Para um meio ponderado de elementos sólidos,
(6.54)
ω ∼ 11Z eV assim esperamos que o
efeito plasma seja ligeiramente notável desde que sobre esta base ω p ω > 1 . A questão é
um pouco mais complicada que isto, pois nem todos os elétrons se comportam como se
fossem livres, assim temos algo superestimando a densidade dos elétrons que se comportam
desta forma. Em casos relativísticos extremos, γ 1 o efeito plasma (densidade) sempre
dominará.
6.3 Espalhamento Angular do Núcleo
Até este ponto discutimos a perda de energia do projétil e focalizamos suas interações com
elétrons. Este foco sobre os alvos de elétrons é totalmente apropriado para calcular a perda
de energia porque, como ilustrado pela equação (6.21) ou (6.34), a taxa de perda de energia
é, classicamente, inversamente proporcional à massa da partícula alvo4. Então a perda de
energia é de fato predominante para partículas leves, elétrons, e esta predominância
depende somente da dinâmica elementar das colisões. Porém, em adição à perda de energia,
o projétil também geralmente sofre espalhamento angular na direção de sua velocidade. Se
o espalhamento angular é a nossa preocupação, como o foi no experimento original de
Rutherford sobre o espalhamento angular de partículas alfa, o qual estabeleceu que o núcleo
4
Esta proporcionalidade pode ser investigada na dependência inversa da transferência de energia em uma
colisão sobre m2 , mas somente devido ao cancelamento dos fatores de massa reduzida que ocorrem no
2
produto Qb90 .
142
é muito menor que o átomo, então as colisões com partículas pesadas em nosso meio de
espalhamento, o núcleo dos átomos ou os íones de um plasma, são importantes. Este
processo, ilustrado na Figura 6.7, é chamado freqüentemente “de espalhamento elástico”,
embora a expressão possa ser considerada um pouco enganosa, pois uma parcela de energia
é perdida pelo projétil na colisão, e assim o processo não é mais elástico que uma colisão
com um elétron livre, por exemplo.
Figura 6.7: espalhamento angular do núcleo ocorre somente se o parâmetro de impacto for menor que o tamanho da nuvem de elétrons
Qualitativamente, a importância relativa da perda de energia e do espalhamento angular
podem ser compreendidas, imaginando a diferença entre uma bola de pingue pongue que
colide com um arranjo médio de bolas de bilhar, ou uma bola de bilhar que colide com um
arranjo médio de bolas de pingue pongue. No primeiro caso, o projétil leve irá saltar por
toda parte, mudando sua direção de movimento muitas vezes antes de perder sua energia;
enquanto que no segundo caso, o projétil pesado irá abrir um caminho por entre os alvos
leves, perdendo energia mais rápido do que sua direção é desviada.
O espalhamento angular de uma partícula numa colisão clássica coulombiana é governada
pela fórmula de Rutherford para a seção de choque diferencial de espalhamento por
unidade ângulo sólido em um ângulo de espalhamento no referencial do centro massa, χ c ,
dσ
b902
=
d Ω 4sin 4 χ c 2
(6.55)
Esta fórmula pode ser derivada prontamente das considerações presentes na seção 6.1.1.
Ela mostra que o espalhamento predominante é por ângulos pequenos. Esses ângulos
pequenos surgem de parâmetros de impacto grandes. Há algumas colisões, é claro, as quais
surgem de parâmetros de impacto pequenos, próximos à b90 que dão origem a ângulos
grandes de espalhamento, mas estes são em número bem menor que as colisões de ângulo
pequeno; assim até que a probabilidade de espalhamento por um ângulo grande seja
significante, espalhamentos múltiplos por ângulos pequenos terão causado um tipo de
difusão na direção das partículas em velocidade perpendicular. A Figura 6.8 ilustra uma
situação idealizada, na qual a perda de energia do projétil é tomada como zero, assim seu
vetor de velocidade tem módulo constante e se move sobre uma esfera. Tomando a direção
143
inicial ao longo do eixo z, cada colisão de pequeno ângulo origina um passo aleatório a ser
dado dentro do plano ( vx, vy ) .
Figura 6.8: Colisões múltiplas de pequenos ângulos de Coulomb causam um “caminho médio” difuso do ângulo da velocidade do
projétil, ou de forma equivalente suas componentes perpendiculares.
Colocando as colisões de ângulos grandes de lado por um momento, podemos tratar do
espalhamento angular total experimentado por um projétil, que atravessa um comprimento
finito do caminho de espalhamento, como resultado de muitos espalhamentos pequenos,
cada um dos quais tem direção aleatória e magnitude, e são governados por
cot ( χ c 2 ) = b b90 (equação 6.17). Embora não possamos calcular, para qualquer projétil
individual, qual será o seu ângulo final, podemos tratar todo o processo estatisticamente
presumindo que haja muitos espalhamentos de pequeno ângulo. De fato, este cálculo não
requer a seção de choque diferencial por unidade de ângulo sólido Ω de Rutherford, mas a
seção de choque diferencial por unidade do ângulo de espalhamento χ c ,
dσ
db dσ b90
=
=
csc2 ( χ c 2 ) 2π b = π b902 csc 2 ( χ c 2 ) cot ( χ c 2 )
d χ c d χ c db
2
(6.56)
Cujo resultado é obtido imediatamente através de nossa fórmula anterior.
O espalhamento angular médio experimentado pelos projéteis é sempre zero, porque há
uma probabilidade igual de espalhamento em ângulos positivos e negativos; o
espalhamento é isotropico no plano ( vx , v y ) . A expansão dos ângulos espalhamento é
quantificada pelo ângulo de espalhamento quadratico médio, que não é zero e pode ser
calculado como segue. Colisões sucessivas são estatisticamente independentes umas das
outras. O valor final de vx é dado pela soma dos passos em vx para cada colisão individual.
(Semelhantemente para v y ) Portanto, fazemos uso do teorema estatístico básico onde a
variância (que é o valor médio quadratico da variável aleatória de média zero) da soma de
variáveis aleatórias independentes é a soma das variâncias. Executamos esta soma
dividindo as colisões em faixas apropriadas de ângulo de espalhamento d χ c e ângulo
144
azimuthal dφ . O número de passos por unidade de comprimento do percurso pertencentes
a essas faixas é
dN = n2
dσ
dφ
d χc
d χc
2π
(6.57)
e a mudança em vx que tal colisão causa é
δ vx = ( mr m1 ) v0 sin χ c cos φ
(6.58)
Aqui, a quantidade ( mr m1 ) v0 é a velocidade inicial (e final) da partícula incidente (1) no
referencial do centro de massa. Consequentemente, a variância total de vx por unidade do
comprimento do percurso que surge através de todos os tipos de colisões possíveis é
d vx2
= ∫ (δ vx ) dN = ∫∫ n2v02 ( mr m1 ) sin 2 χ c cos 2 φ
2
d
2
dσ
dσ
d χc
d χc
2π
(6.59)
Resolvendo a integral em relação ao ângulo azimutal, φ , e substituindo na seção de choque
diferencial da equação (6.56) temos
d vx2
d
1
dσ
2
= n2v02 ( mr m1 ) ∫ sin 2 χ c
d χc
d χc
2
(6.60)
1
2
= n2v02 ( mr m1 ) π b902 ∫ sin 2 χ c csc 2 ( χ c 2 ) cot ( χ c 2 ) d χ c
2
A última integral pode ser transformadas usando as identidades trigonométricas, resultando
∫ sin
2
1
s
χ c csc 2 ( χ c 2 ) cot ( χ c 2 ) d χ c = 8∫ − sds
( s ≡ sin χ c 2 )
(6.61)
O limite superior da integral é s = 1 . A singularidade desta expressão no limite inferior da
integral em s = 0 , mostra novamente a agora familiar necessidade do corte na integral de
colisão para parâmetros de impacto grande ( χ c pequeno ou s). Este corte e a equação
(6.19) fazem o valor do integral 8 ( ln bmax
b90 − 1 2 ) , onde bmax é o parâmetro de impacto
máximo, e o termo 1 2 deveria ser abandonado, pois é um artefato da aproximação
implicada pelo uso da equação (6.58). No caso do espalhamento por um plasma, o corte
relevante do parâmetro de impacto é o comprimento além do qual as interações coletivas no
plasma separam o campo elétrico dos núcleos individuais. Esta distância é chamada de
comprimento de Debye. Quando o espalhamento é de átomos neutros, o comprimento de
corte relevante corresponde ao tamanho do átomo, porque para parâmetros de impacto
maiores que o átomo, o projétil vê o átomo inteiro, neutro por causa de seus elétrons, ao
145
invés de ver somente o núcleo.
Um tratamento idêntico governa a componente y v y , e consequentemente o quadrado da
velocidade total transversal v⊥2 = vx2 + v y2 evolui como
d v⊥2
d
= n2v02 ( mr m1 ) π b902 8ln bmax b90
2
(6.62)
com bmax aproximadamente do tamanho do átomo. Para ângulos pequenos θ ≈ v⊥ v e
assim a equação pode ser escrita em termos do ângulo da direção da velocidade espalhada:
d θ2
d
= n2 ( mr m1 ) π b902 8ln bmax b90
2
(6.63)
Depois de um comprimento finito de percurso l, há uma distribuição de v ⊥ com variância
vx2 = v y2 = n2v02 ( mr m1 ) π b902 4ln bmax b90
2
(6.64)
a qual assumimos ainda ser pequena comparada com v02 de forma que as aproximações de
ângulo pequeno permaneçam válidas. Devido ao fato desta distribuição surgir de muitos
espalhamentos independentes, se torna Gaussiana (seguindo o teorema do Limite Central da
estatística):
⎛ 1
f ( vx , v y ) = ⎜
⎜ 2π v x2
⎝
com
⎧⎪ − ( v x2 + v 2y ) ⎫⎪
⎞
⎟ exp ⎨
⎬
2
⎟
2
v
x
⎪
⎩
⎭⎪
⎠
(6.65)
v x2 dado pela equação (6.64). Podemos alternativamente considerar a forma da
Gaussiana como oriunda de uma distribuição de partículas, que experimenta uma difusão
de velocidades, a partir de uma distribuição inicialmente localizada (função delta) em
v⊥ = 0 . A solução da equação de difusão neste caso é uma Gaussiana.
O parâmetro de impacto máximo ( χ c mínimo) é determinado pela blidagem do núcleo por
seus elétrons atômicos. Somente para pequenos parâmetros de impacto comparados ao
tamanho do átomo, o projétil verá somente o núcleo porque então penetrará a fundo no
inteior da nuvem de elétrons. Assim bmax é aproximadamente o raio da nuvem de elétrons
que cerca o núcleo. Geralmente consideramos o tamanho característico aproximadamente5
1
por a0 Z 3 .
5
Veja M.Born “Atomic Physics” 8ª ed., Blackie pág. 199, para dedução da distribuição de Thomas-Fermi da
densidade dos elétrons em torno de um átomo baseado no princípio de exclusão de Pauli e da aproximação
contínua.
146
Não há compulsão matemática para o corte do limite superior da integral de χ c exceto
χ c = π , que é s = 1 . Porém, se partículas muito enérgicas forem envolvidas, o valor de b90 ,
que é inversamente proporcional à energia de partícula, se torna muito pequeno,
eventualmente tão pequeno que é menor que o tamanho do núcleo. Neste caso, o
espalhamento de ângulo grande é afetado pela estrutura do próprio núcleo assim como o
limite superior. Naturalmente, esta é a base para investigações experimentais da estrutura
nuclear em física de alta energia por espalhamento de elétrons, mas isto requer elétrons
com energias, de um modo grosseiro, maiores que Ze 2 ( 4πε 0 rn )( ≈ Z MeV ) , onde rn o raio
nuclear, da ordem de 10−15 m , e Z é a carga nuclear.
147
6.4 Sumário
Colisões de partículas carregadas são governadas pela força de longo alcance de Coulomb.
A extensão da força é limitada por um dos vários processos diferentes, dependendo da
situação física exata para um parâmetro de impacto máximo bmax . Um parâmetro de
impacto mínimo para o processo é necessário se são feitas aproximações tais como colisões
em linha reta, ou se os efeitos quânticos são importantes. A Tabela 6.1 apresenta um
resumo das situações discutidas.
Parâmetros de
Impacto
Tipos de
Colisão
Coulomb
Clássica
Perda de
Energia Clássica
do Átomo
Perda Iônica
Quântica dos
Átomos
Efeitos de
Correção para as
Camadas
Internas
Perda de
Elétrons
Quântica dos
Átomos
Efeito
Densidade
(Plasma não
Relativístico)
Espalhamento
Angular do
Núcleo
Potência de Parada (por elétron)
bmin
bmax
ln Λ = B Z
b90
γ v0 ω
ln ( γ v0 ωb90 )
ln 1,123γ v0 ω b90 − ( v02 2c 2 )
∼
γ mv
γ v0 ω
ln 2γ 2 mev02
ω − ( v02 c 2 )
ω − ( v02 c 2 ) − ( Ck Z )
ln 2γ 2 mev02
ω ⎤⎦ − ( v02 2c 2 )
ln ( γ + 1 2 ) ⎡⎣( γ − 1) mec 2
12
γ v0 ω
∼
γ mv
b90
b90
v0 ω p
ln v0 (ω pb90 )
ln a0
∼ a0 Z 1 3
(Z
b90 )
13
Tabela 6.1: Sumário dos cálculos de colisão.
Em colisões do projétil particular 1, a velocidade inicial v0 , com partículas do tipo 2,
densidade n2 , a taxa da perda de energia cinética K por unidade de comprimento do
percurso l é dada por
2
⎛ q q ⎞ 4π
dK
mr2
2
8ln Λ = − n2 ⎜ 1 2 ⎟
ln Λ
= − K n2π b90
2
d
m1m2
⎝ 4πε 0 ⎠ m2v0
148
e o espalhamento angular do núcleo por
d v⊥2
d
2
⎛ q q ⎞ 8π
mr2
8ln Λ = n2 ⎜ 1 2 ⎟ 2 2 ln Λ
= v n2π b
2
m1
⎝ 4πε 0 ⎠ m1 v0
2
0
2
90
Com os valores de ln Λ indicados. Veja as equações (6.18) e (6.3) para outras definições.
149