Estimativa Probabilistica das Capacidades de Carga de uma
Fundacao Rasa em Alguns Solos de Salvador
Ricardo Pichani Celestino
Universidade Federal da Bahia, Escola Politécnica, DCTM. Rua Aristides Novis, 2 – Federação.
Salvador, Bahia. 40210-630. <[email protected]>.
Charles Brito Moreira Junior
Engenheiro Civil, SESC-BA. Av. Professor Pinto de Aguiar, 161, Ap. 102 – Patamares. Salvador,
Bahia. 41740-090. <[email protected]>.
Paulo Gustavo Cavalcante Lins
Universidade Federal da Bahia, Escola Politécnica, DCTM. Rua Aristides Novis, 2 – Federação.
Salvador, Bahia. 40210-630. (71) 3283-9847. <[email protected]>.
RESUMO: A capacidade de carga de fundações superficiais pode ser estimada por métodos
teóricos, como o método de Terzaghi, e também por métodos empíricos baseados em ensaios de
campo como o SPT. O presente trabalho apresenta uma estimativa probabilística da capacidade de
carga para uma fundação rasa para solos de diferentes formações geológicas da cidade de
Salvador/BA. Em uma primeira série de simulações as capacidades de carga probabilísticas foram
estimadas utilizando o método de Terzaghi, e o método de Monte Carlo, utilizando como
parâmetros de entrada parâmetros de resistência médios para diferentes solos de formações
geológicas de Salvador e utilizando ainda parâmetros de dispersão da literatura. As capacidades de
carga probabilísticas foram ainda estimadas a partir de resultados do SPT, com o método de Monte
Carlo, quando também foram utilizados valores médios associados as diferentes formações
geológicas de Salvador e parâmetros de dispersão estimados a partir da literatura. Os resultados
médios obtidos pelo método de Terzaghi se mostraram numericamente maiores que os resultados
médios obtidos a partir do SPT.
PALAVRAS-CHAVE: Capacidade de carga, Análise Probabilística, Geologia de Salvador.
1
INTRODUÇÃO
A determinação da capacidade de carga ou da
tensão admissível é parte fundamental do
projeto de uma fundação direta. A definição
desta capacidade de carga ou da tensão
admissível é tratada usualmente de forma
determinística.
Trabalhos como o de Cintra et al. (2011)
chamam atenção para o fato de existir uma
variabilidade da capacidade de carga decorrente
da variabilidade do solo e das dimensões dos
elementos de fundação.
Nos dias correntes busca-se conhecer
funções de densidade de probabilidade para a
resistência do terreno, especificamente para a
capacidade de carga ou a tensão admissível.
Uma prática usual é adotar a distribuição
normal para representar o problema. Esta
distribuição, como se sabe, trabalha em termos
de uma média e um desvio padrão.
No presente trabalho utilizou-se a
distribuição normal para buscar estimar a
capacidade de carga a partir de parâmetros
geotécnicos médios de laboratório e de campo
para alguns solos da cidade de Salvador, Bahia.
Os desvios padrões foram estimados a partir da
literatura.
O Método de Monte Carlo foi utilizado para
gerar as distribuições de probabilidade.
2
MÉTODO TEÓRICO
A determinação da capacidade de carga de uma
fundação rasa pode ser determinada a partir do
conhecimento dos parâmetros de resistência do
solo e da configuração da fundação. O
equacionamento desenvolvido por Terzaghi é a
referência básica deste estudo. Para uma sapata
quadrada, de lado B, com um embutimento Df,
Terzaghi e Peck (1967) apresentam a seguinte
equação para a capacidade de carga:
penetração do SPT para obter a tensão
admissível em fundações diretas por sapatas é
prática corrente no meio técnico brasileiro.
Adaptando a notação apresentada por Cintra et
al. (2011) a tensão admissível (em MPa) é dada
pela relação:
q = 1,2cN c + γD f N q + 0,4γBN γ
Na equação (6) o NSPT é o valor médio do
número de golpes do SPT no bulbo de tensões.
O termo (γDf) é a sobrecarga, que pode ser
desconsiderada ou não. Para que exista
compatibilidade de unidades γ deve ser dado em
MN/m3, e Df deve ser dado em metros.
Cintra et al. (2011) relatam que outros
autores que partindo de relação do NSPT com a
resistência de um solo puramente argiloso e
utilizando uma relação teórica para uma sapata
retangular, apoiada na superfície do terreno,
considerando um fator de segurança de 3,
chegaram a uma relação entre o e a tensão
admissível dada por:
(1)
Na equação (1) c é a coesão do solo, γ é o
peso específico do solo, e Nc, Nq e Nγ são
fatores de capacidade de carga que são função
do ângulo de atrito φ do solo.
Para a determinação Nq e Nc de Terzaghi e
Peck (1967) apresentam as seguintes
expressões:
φ

N q = e π tan φ tan 2  45 o + 
2

(2)
N c = cot φ (N q − 1)
(3)
Para aproximar os valores de Nγ Cintra et al.
(2011) sugerem que seja utilizada a seguinte
equação:
N γ ≅ 2(N q + 1) tan φ
(4)
Uma equação diferente é apresentada por
Coduto (2001), a saber:
Nγ ≅
1(N q + 1) tan φ '
1 + 0,4 sin (4φ ')
(5)
Note-se que a expressão de Coduto (2001)
está apresentada em termos de tensão efetiva.
3
MÉTODO SEMIEMPÍRICO
A utilização de um método semiempírico é
precedida de um alerta da necessária cautela de
analisar origem e validade dos referidos
métodos (Cintra et al., 2011).
A utilização do índice de resistência a
σa =
σa =
N SPT
+ γD f
50
N SPT
50
(6)
(7)
Cabe destacar que a capacidade de carga
dada pela equação (1) refere-se a carga de
ruptura do sistema sapata solo, enquanto que a
tensão admissível apresentada nas equações (6)
e (7) refere-se a uma carga que envolve a carga
de ruptura dividida por um fator de segurança.
Para as comparações realizadas neste
trabalho será considerado que o fator de
segurança é igual a 3, desta forma será
considerada uma adaptação na equação (6), para
relacionar a capacidade de carga com a tensão
admissivel.
Para fins deste trabalho a capacidade de
carga foi tomada como 3 vezes o termo de NSPT
sobre cinquenta somado ao termo do peso
específico vezes o embutimento. Desta forma
foi considerado que o termo do peso específico
vezes o embutimento não contém uma margem
de segurança.
4
PARÂMETROS MÉDIOS DOS SOLOS
A Prefeitura Municipal de Salvador elabourou
um documento denominado Plano Diretor de
Encostas (Salvador, 2004). Neste documento
foram reunidos dados e realizado um tratamento
estatístico destes dados obtidos através de
ensaios de laboratório, dos diferentes materiais
encontrados
nos
domínios
geológicogeotécnicos de Salvador, realizados no
Laboratório de Geotecnia da Escola Politécnica
(UFBA). Na sua dissertação de mestrado Silva
(2005) sistematizou estes dados.
Os dados levantados por Salvador (2004)
sistematizados por Silva (2005) consideraram
os seguintes domínios geológico-geotécnicos:
Formação Barreiras, Formação Salvador,
Formação Pojuca e Cristalino/residual. A
Tabela 1 apresenta os valores médios do peso
específico, coesão e ângulo de atrito para os
referidos domínios. Em Silva (2005) podem ser
encontrados ainda valores máximos e mínimos
para estes parâmetros.
Silva (2005) sistematizou ainda dados
referentes ao ensaio SPT associados aos
domínios geológico-geotécnicos anteriormente
citados. A Tabela 2 apresenta parte destes
dados. Em Silva (2005) podem ser encontrados
também dados relativos a profundidade do
impenetrável.
Tabela 1. Peso específico médio, coesão média e ângulo
de atrito médio para os domínios geológico-geotécnicos
de Salvador (Salvador, 2004, sistematizado por Silva,
2005).
Domínio
c
γ
φ
(kPa)
(kN/m3)
(°)
Fm. Barreiras
16,7
18,0
31,0
Fm. Salvador
26,9
29,7
Fm. Pojuca
15,7
22,0
Cristalino/residual
16,3
15,6
29,4
Tabela 2. Resultados de
materiais encontrados
geotécnicos de Salvado
por Silva, 2005).
Domínio
Fm. Barreiras
Fm. Salvador
Fm. Pojuca
Cristalino/residual
ensaios NSPT para os diferentes
nos domínios geológico(Salvador, 2004, sistematizado
Profundidade; Índice NSPT
3m; 6
19m; 16
4m; 5
8m; 10
2m; 6
5m; 13
6m; 20
3m; 6
10m; 11 17m; 15
5
PARÂMETROS DE DISPERSÃO
A análise estatistica de problemas geotécnicos é
usualmente realizada considerando uma
distribuição normal, definida por uma média e
por um desvio padrão. Este será o caso do
presente trabalho também.
O coeficiente de variação (COV) é definido
como a razão entre o desvio padrão (DP) e a
média. Ribeiro (2008) afirma que é possível
estimar os desvios padrão a partir de
coeficientes de variação existentes na literatura.
Ribeiro (2008) sistematizou coeficientes de
variação mínimos e máximos para diversos
parâmetros geotécnicos a partir da literatura. A
Tabela 3 apresenta alguns dos valores
apresentados por Ribeiro (2008).
Tabela 3. Coeficientes de variação de parâmetros
geotécnicos (adaptado de Ribeiro, 2008).
Parâmetro
COV (%)
Mínimo Máximo
Número de golpes do SPT
15
45
Peso específico de solos
1,5
9,4
residuais (γ)
Intercepto efetivo de coesão de
13,4
18,4
solo residual gnaissico jovem
(c´)
Tangente do ângulo de atrito
2,4
16,1
efetivo de solos residuais (tgφ´)
Peso específico de argilas
2
7
sedimentares (γ)
Tangente do ângulo de atrito
3
6
efetivo de argilas sedimentares
(tgφ´)
Intercepto efetivo de coesão de
8
14
argilas sedimentares (c´)
Os coeficientes de variação utilizados neste
trabalho foram estimados a partir dos dados da
Tabela 3.
6
MÉTODO DE MONTE CARLO
Dentre os métodos probabilisticos utilizados em
geotecnia cabe citar o Método das Estimativas
Pontuais, o Método do Segundo Momento de
Primeira Ordem, o Método de Monte Carlo e o
Método do Hipercubo Latino. No presente
trabalho foi utilizado o Método de Monte Carlo.
O Método de Monte Carlo consiste na
geração aleatória de um número grande de
dados, atendendo a uma distribuição de
probabilidade, para cada variável independente
(usualmente 1000, 5000 10000 dados). Com as
variáveis geradas deve-se calcular a capacidade
de carga para cada dado gerado e realizar um
tratamento estatístico dos resultados.
No presente trabalho a simulação por Monte
Carlo foi realizada em uma planilha eletrônica
Excel. No presente trabalho, simulações
preliminares mostraram que 1000 gerações
aleatórias são suficientes para o problema em
tela.
7
com um desvio padrão de 848 kPa.
ai
c
n
ê
ü
q
er
F
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
2 4 6 8 0
1
0
0
4
1
0
0
6
1
0
0
8
1
0
0
0
2
0
0
2
2
0
0
4
2
0 is
0 a
6 M
2
Capacidade de Carga (kPa)
MODELO SIMULADO
Para este trabalho foi considerada uma sapata
quadrada de 1,5m de lado, executada a um
metro de profundidade. A sapata foi
considerada construída no Cristalino/residual no
primeiro conjunto de simulações e construída na
Formação Barreiras no segundo conjunto de
simulações.
8
RESULTADOS
8.1
Método Teórico para o Cristalino/residual
Os parâmetros para simulação pelo método
teórico no Cristalino/residual são apresentados
na Tabela 4. Os parâmetros médios são os da
Tabela 1, os coeficientes de variação adotados
são para solo residual gnaissico jovem
indicados na Tabela 3. Deve-se destacar que o
coeficiente de variação para o ângulo de atrito é
dado para sua tangente.
Tabela 4. Parâmetros para a simulação pelo
teórico para o Cristalino/residual.
Parâmetro
Média
COV
Coesão (kPa)
15,6
18,4%
Ângulo de atrito *
29,4
16,1%
Peso específico (kN/m3)
16,3
9,4%
* A média e o DP do ângulo de atrito estão em
COV está relacionada com a tan(φ).
0
0
2
1
método
DP
2,87
5,18
1,53
graus, o
O resultado da simulação de Monte Carlo
com 1000 gerações aleatórias é representado no
histograma da Figura 1. A simulação apresentou
uma capacidade de carga média de 1230 kPa,
Figura 1. Resultado da simulação com o Método Teórico
para o Cristalino/residual.
8.2 Método Semiempírico para o Cristalino/
residual
Os parâmetros para simulação pelo método
semiempírico estão listados na Tabela 5. Assim
como no item 8.1 foram adotados coeficientes
de variação para solo residual gnaissico jovem
indicados na Tabela 3. Para o SPT foi adotado o
valor também indicado na Tabela 3, sem fazer
referência ao tipo de solo. O NSPT médio
adotado foi retirado da Tabela 2 considerando
uma profundidade de 3 metros. O peso
específico médio adotado foi o mesmo da
análise do item 8.1.
Na simulação pelo método semiempírico foi
considerada a equação (8).
Tabela 5. Parâmetros para a simulação pelo
semiempírico para o Cristalino/residual.
Parâmetro
Média
COV
NSPT
6
45%
Peso específico (kN/m3)
16,3
9,4%
método
DP
2,70
1,53
O resultado para a simulação de Monte Carlo
com 1000 gerações aleatórias é representado no
histograma da Figura 2. A capacidade de carga
média encontrada foi de 380 kPa, com um
desvio padrão de 156 kPa.
8.3 Método
Barreiras
Teórico
para
a
Formação
Os parâmetros para simulação pelo método
teórico na Formação Barreiras são apresentados
na Tabela 6. Os parâmetros médios são os da
Tabela 1. Os coeficientes de variação adotados
são para argilas sedimentares indicados na
Tabela 3, a adoção destes coeficientes de
variação deve ser vista com muita cautela, pois
não seriam os mais apropriados para a
Formação Barreiras e estão sendo adotados aqui
na falta de informações melhores. Deve-se
destacar que o coeficiente de variação para o
ângulo de atrito é dado para sua tangente.
O resultado da simulação de Monte Carlo
com 1000 gerações aleatórias é representado no
histograma da Figura 3. A simulação apresentou
uma capacidade de carga média de 1341 kPa,
com um desvio padrão de 298 kPa.
Tabela 6. Parâmetros para a simulação pelo
teórico para a Formação Barreiras.
Parâmetro
Média
COV
Coesão (kPa)
18,0
14,0%
Ângulo de atrito *
31,0
6,0%
Peso específico (kN/m3)
16,7
7,0%
* A média e o DP do ângulo de atrito estão em
COV está relacionada com a tan(φ).
na Tabela 3. Para o SPT foi adotado o valor
também indicado na Tabela 3, sem fazer
referência ao tipo de solo. O NSPT médio
adotado foi retirado da Tabela 2 considerando
uma profundidade de 3 metros. O peso
específico médio adotado foi o mesmo da
análise do item 8.3.
300
250
iac 200
n
ê 150
ü
q
er 100
F
50
0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0
2 4 6 8 0
1
método
0
0
2
1
0
0
4
1
0
0
6
1
0
0
8
1
0
0
0
2
0
0
2
2
0
0
4
2
0 is
0 a
6 M
2
Capacidade de Carga (kPa)
DP
2,52
2,06
1,17
graus, o
Figura 3. Resultado da simulação com o Método Teórico
para a Formação Barreiras.
300
250
iac 200
n
ê 150
ü
q
er 100
F
300
250
ai 200
c
n
ê 150
ü
q
er 100
F
50
0
50
0
Capacidade de carga (kPa)
Capacidade de Carga (kPa)
Figura 2. Resultado da simulação com o Método
Semiempírico para o Cristalino/residual.
8.4 Método Semiempírico para a Formação
Barreiras
Os parâmetros para simulação pelo método
semiempírico estão listados na Tabela 6. Assim
como no item 8.3 foram adotados coeficientes
de variação para argilas sedimentares indicados
Figura 4. Resultado da simulação com o Método
Semiempírico para a Formação Barreiras.
O resultado para a simulação de Monte Carlo
com 1000 gerações aleatórias é representado no
histograma da Figura 4. A capacidade de carga
média encontrada foi de 380 kPa, com um
desvio padrão de 156 kPa. Estes resultados são
muito semelhantes aos obtidos no item 8.2.
Tabela 6. Parâmetros para a simulação pelo
semiempírico para a Formação Barreiras.
Parâmetro
Média
COV
NSPT
6
45%
Peso específico (kN/m3)
16,7
7,0%
9
método
DP
2,70
1,17
CONCLUSÕES
Estimativa probabilisticas para a capacidade de
carga e tensão admissível para o Cristalino/
residual e para a Formação Barreiras foram
realizadas por um método teórico e um método
semiempírico.
Os resultados obtidos pelo método teórico
apresentaram um valor médio maior que os
obtidos pelo método semiempírico, para as duas
formações geológicas consideradas.
A dispersão dos resultados foram maiores
para o Cristalino/residual que para a formação
Barreiras.
Este tipo de trabalho, ao contrário da
abordagem convencional onde são considerados
apenas valores médios ou característicos,
permite que a variabilidade dos parâmetros seja
incluida no estudo das fundações.
Em trabalhos futuros podem ser realizados
estudos englobando a probabilidade de ruína de
fundações nestas formações geológicas.
REFERÊNCIAS
Cintra, J.C.A.; Aoki, N. e Albieiro, J.H. (2011)
Fundações Diretas: Projeto Geotécnico, Oficina de
Textos, São Paulo, 140 p.
Coduto, D.P. (2001) Foundation Design: Principles and
Practices, 2nd ed., Prentice-Hall, Upper Saddle River,
NJ, USA, 883 p.
Ribeiro, R.C.H. (2008) Aplicações de Probabilidade e
Estatística em Análises Geotécnicas, Tese de
Doutorado, Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do
Rio de Janeiro, 161 p.
Salvador (2004). Plano Diretor de Encostas. Prefeitura
Municipal de Salvador. Secretaria Municipal do
Saneamento e Infraestrutura Urbana. Coordenadoria
de Áreas de Risco Geológico. Salvador, Bahia.
Silva, C.N. (2005) Diagnóstico Ambiental de Áreas de
Pedreiras Abandonadas na Cidade do Salvador-Ba
com Ênfase na Estabilidade de Taludes, Dissertação
de Mestrado, Mestrado em Engenharia Ambiental
Urbana, Universidade Federal da Bahia, 123 p.
Terzaghi, K. e Peck, R.B. (1967) Soil Mechanics in
Engineering Practice, 2nd ed., McGraw Hill, New
York, NY, USA, 685 p.