Sumário e Objectivos
Sumário: Deformações. Conceito de Extensão e Distorção.
Componentes do Tensor das Deformações. Propriedades do Tensor das
Deformações. Deformação Volumétrica. Casos Particulares do Estado
de Deformação.
Objectivos da Aula:
Apreensão das Grandezas associadas à
caracterização do Processo de Deformação de Sólidos no que respeita
ao seu movimento após solicitação. Construção do Tensor das
Deformações e estabelecimento das suas propriedades por analogia
com o tensor das Tensões.
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1
Conceito de Extensão-1
V*
V
z
P*
P
O
x
y
Componentes do Vector OP :
{x,y,z}
Componentes do Vector OP * : {x*,y*,z*}
Componentes dos vectores PP * :{u,v,w}
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2
Conceito de Extensão-2
As componentes do vector u = PP * podem ser calculadas a partir das Coordenadas dos
pontos P e P*, do seguinte modo:
u = x*-x; v = y*-y e w = z*-z
V*
Q*
V
Q
z
P*
P
O
y
O vector PQ tem de
grandeza ds e o vector P * Q *
tem de dimensão ds* , a
extensão do segmento no
processo de deformação é
designada por ε, sendo
por definição:
ds * −ds
ε=
ds
x
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3
Tensor das Deformações-1
z
z
u
P
x
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dy
P*
y
w
Q*
dy*
y
v
P dy
Q
x
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4
Tensor das Deformações-2
Coordenadas do Ponto P ------------------------------------------------- 0,0,0
Coordenadas do Ponto P* ------------------------------------------------ u,v,w
Coordenadas do Ponto Q--------------------------------------------------0,dy,0
Coordenadas
do
Ponto
Q*---------------------------------∂u
∂v
∂w
u+
dy, dy + v +
dy, w +
dy
∂y
∂y
∂y
Comprimento do Vector PQ ---------------------------------------------------dy
Comprimento doVector P * Q *
2
2
⎛ ∂u ⎞ ⎛
∂v ⎞ ⎛ ∂w ⎞
dy* = ⎜ dy ⎟ + ⎜ dy + dy ⎟ + ⎜
dy ⎟
∂y ⎠ ⎝ ∂y ⎠
⎝ ∂y ⎠ ⎝
∂u
∂v
∂w
dy * − dy
∂v
)
= 1+ 2
+( ) +( ) +(
ε yy =
∂
y
∂
y
∂
y
dy
∂y
2
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2
∂u
∂w
<< 1,
<< 1
∂y
∂y
2
2
-1
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εyy =
∂v
∂y
5
Tensor das Deformações – 3
As extensões segundo o eixo dos xx e segundo o eixo dos
zz são obtidas de modo análogo e são:
∂u
∂w
ε xx = ; ε zz =
∂x
∂z
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6
Tensor das Deformações-4
dz
S*
S
z
P
P*
Q
R*
Q*
R
O
y
x
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7
Tensor das Deformações-5
Ponto
P
R
Q
S
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Posição Inicial
x
y
z
x+dx
y
z
x
y+dy
z
x
y
z+dz
Ponto
P*
R*
Q*
S*
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Posição Final
x+u
y+v
z+w
x+u+dx+(∂u/∂x)dx
y+v+(∂v/∂x)dx
z+w+(∂w/∂x)dx
x+u+(∂u/∂y)dy
y+v+dy+(∂v/∂y)dy
z+w+(∂w/∂y)dy
x+u+(∂u/∂z)dz
y+v+(∂v/∂z)dz
z+w+dz+(∂w/∂z)dz
8
Tensor das Deformações –6
Ângulo
RPQ
Inicial
90º
Ângulo
R*P*Q*
Final
90º- φ xy
QPS
90º
Q*P*S*
90º- φ yz
RPS
Vector
PR
90º
Componentes
dx
0
0
0
dy
0
0
0
dz
R*P*S*
Vector
P*R*
90º- φ xz
Componentes
dx+( ∂ u/∂ x)dx
( ∂ v/∂ x)dx
( ∂ w/∂ x)dx
( ∂ u/∂ y)dy
dy+( ∂ v/∂ y)dy
( ∂ w/∂ y)dy
( ∂ u/∂ z)dz
( ∂ v/∂ z)dz
dz+( ∂ w/∂ z)dz
PQ
PS
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P*Q*
P*S*
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9
Tensor das Deformações
Distorção -7
O s ângulo s fo rm ado s pelo s vecto res na co nfiguração defo rm adas po dem ser calculado s
co nsiderando o pro duto escalar entre vecto res e calculando esse pro duto escalar das
duas m aneiras po ssíveis, o u seja:
JJJJJJJG JJJJJJJG ⎡ ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w ⎤
P*Q* P*R* = ⎢ +
+
+
+
⎥ dxdy
y
x
x
y
x
y
x
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎣
⎦
JJJJJJJG JJJJJJJG
P * Q * P * R * = (1 + ε xx ) (1 + ε yy ) dxdy cos π 2 − φ xy
(
)
∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w
+
+
+
+
π
∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y
sen φ xy = cos( − φ xy ) =
2
(1 + ε xx ) (1 + ε yy )
∂u ∂v
+
γ xy = φ xy =
∂y ∂x
εxx <<1 e εyy <<1
φ xy = sen φ xy
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Tensor das Deformações – 8
As deformação de corte , ε xy , ε xy e ε xy
correspondente, ou seja
ε xy =γ xy / 2 , ε xz =γ xz / 2 e ε yz =γ yz / 2
⎡ε xx ε xy
⎢
⎢ ε yx ε yy
⎢⎣ ε zx ε zy
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⎡
∂u
⎢
∂x
⎢
ε xz ⎤ ⎢
⎥ ⎢ 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞
ε yz ⎥ =
⎜ + ⎟
⎢ 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠
⎥
ε zz ⎦ ⎢
⎢ 1 ⎛ ∂u + ∂w ⎞
⎢⎣ 2 ⎜⎝ ∂z ∂x ⎟⎠
são iguais a metade da distorção
1 ⎛ ∂u ∂v ⎞
⎜ + ⎟
2 ⎝ ∂y ∂x ⎠
∂v
∂y
1 ⎛ ∂v ∂w ⎞
⎜ +
⎟
2 ⎝ ∂z ∂y ⎠
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1 ⎛ ∂u ∂w ⎞ ⎤
⎜ +
⎟⎥
2 ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎥
1 ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎥
⎜ +
⎟⎥
2 ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎥
⎥
∂w
⎥
⎥⎦
∂z
11
Operações com
Deformações -1
As operações e propriedades do Tensor das
Deformações são em tudo análogas às operações
efectuadas e às propriedades consideradas para o
Tensor das Tensões.
Assim a operação de mudança de sistema de
eixos das componentes do Tensor das Deformações é
análoga à operação efectuada com o tensor das
Tensões, ou seja:
ε´= Q εQ
T
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Operações com
Deformações –2
Para o Estado de Deformação também se podem considerar extensões principais e
direcções principais de extensão, sendo os seus valores calculados de forma análoga ao
considerado para o Estado de Tensão num ponto. A Equação Característica toma neste
caso a forma:
−ε3 + I1ε2 − I2ε + I3 = 0
(6.11)
sendo
I1 = εxx + εyy + εzz
2
2
2
I2 = εxxε yy + εxxεzz + ε yyεzz − ε xy − ε xz − ε yz
I3 = εxxε yyεzz + 2εxyε xzε yz − εxxε yz − ε yyε xz − εzzε xy
2
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2
2
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Deformação Volumétrica
V = dxdydz
*
V = (1 + ε xx ) (1 + ε yy ) (1 + ε zz ) dxdydz
(6.12)
dV=V*-V
A deformação volumétrica, εv , é de acordo com a definição
εv =
V * −V (1 + ε xx ) (1 + ε yy ) (1 + ε zz ) dxdydz − dxdydz
=
V
dxdydz
dV
= (1 + ε xx ) (1 + ε yy ) (1 + ε zz ) − 1
εv =
V
=
= ε xx + ε yy + ε zz + ε xx ε yy + ε xx ε zz + ε yyε zz + ε xx ε yyε zz
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Extensão Média ou
Hidrostática
A Extensão média ou hidrostática é:
1
ε xx + ε yy + ε zz
=
=
εm
εv
3
3
O tensor das Deformações de Desvio é:
⎡ε xx − ε m
ε xy
ε xz ⎤
⎢
⎥
ε d = ⎢ ε xy
ε yy − ε m
ε yz ⎥
⎢⎣ ε xz
ε yz
ε zz − ε m ⎥⎦
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Casos Particulares do
Estado de Deformação
Estado Uniforme
⎡ ε 0 0⎤
ε = ⎢⎢0 ε 0 ⎥⎥
⎢⎣0 0 ε ⎥⎦
Estado Uniaxial ou
Simples
⎡ε xx 0 0⎤
ε = ⎢⎢ 0 0 0⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
Estado Plano de ⎡⎢ε xx
ε = ⎢ ε xy
Deformação
⎢⎣ 0
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ε xy 0 ⎤
⎥
ε yy 0 ⎥
0 0 ⎥⎦
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Estado Distorcional
Simples
⎡ 0 ε xy 0 ⎤
ε = ⎢⎢ε xy 0 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0 0 ⎥⎦
16
Problemas Propostos para
Resolução
1. Considere um ponto de um estado de deformação plana, as componentes da
deformação associadas com os eixos Ox e Oy são:
εxx = 250 × 10−6 ; εyy = 150 × 10−6 ; γ xy = 600 × 10−6
Determine as Extensões Principais e Direcções Principais de Deformação.
2. Considere o tensor das deformações num ponto do sólido. As componentes são:
⎡ − 8 × 10−5 − 8 × 10−5
905
. × 10−5 ⎤
⎢
−5
−5
− 5⎥
=
−
×
−
×
×
8
16
45
.
25
10
10
10
εi j ⎢
⎥
−
5
−
5
−
5
⎢⎣905
. × 10
45.25 × 10
56 × 10 ⎥⎦
a)Determine as Extensões Principais.
b)Determine as Orientações das Extensões Principais.
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Problemas Propostos
para Resolução
3. Considere o tensor das deformações abaixo indicado
⎡30 × 10−5 25 × 10−5 45 × 10−5 ⎤
⎢
−5
−5
−5 ⎥
=
×
×
×
25
20
10
10
10
10
εij ⎢
⎥
−
5
−
5
−
5
⎢⎣45 ×10 10 ×10
40 × 10 ⎥⎦
e determine a dilatação volumétrica.
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Problemas Propostos
para Resolução
4. Considere a placa de profundidade unitária representada na figura e
admita que
- o comprimento de AB após deformação passou a ser de 252mm
- o ângulo BAC passou a ser de 89,783º
- a diagonal AD passou a ter o comprimento de 474mm.
y
D
B
250mm
A
C
x
400mm
a) Determine o Tensor das Deformações
b) Determine a mudança de área do elemento rectangular representado.
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Problemas Propostos
para Resolução
5. O Campo de deslocamentos num sólido é definido do seguinte modo
u = axy v = bxy w = 2c(x + y)z
(2.0) a) Determine as constantes a, b e c tendo em conta que a deformação
volumétrica é 0.0004, a extensão segundo x é 0.0001 e a distorção no plano xy é
0.0025 rad no ponto de coordenadas (1,2,1.5).
(1.0) b) Determine o tensor das Deformações.
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Problemas Propostos
para Resolução
6. Considere a placa quadrada representada na figura da
página seguinte a qual está carregada de tal modo que
corresponde a um estado plano de deformação.
(1.0) a) Determine as expressões dos deslocamentos
segundo x (u) e segundo y (v) e determine o tensor das
deformações admitindo que o campo de deslocamentos é
linear.
(0.5) b) Determine o tensor das deformações no Sistema de
Eixos Ox´y´.
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Problemas Propostos
para Resolução
Segmentos de Recta
3mm
y
5mm
D*
2.5mm
C*
3.5mm
D
y´
θ=π/6
O=O*
x´
C
1m
B*
1mm
x
B
2mm
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Problemas Propostos
para Resolução
7. Considere o cubo de dimensões unitárias representado na
figura 1 no qual se pode considerar válidas as funções
deslocamento seguintes:
u = α ( 2x + 3y ) ; v = 2βy; w = 2γz onde α,β e γ são constantes
e determine:
(1.0) a)O tensor das deformações admitindo que se trata de
pequenas deformações.
(0.5) b)A variação do ângulo formado por AO e OG.
(1.0) c)A variação de comprimento do segmento OC
durante o processo de deformação do sólido.
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Problemas Propostos
para Resolução
z,z*
E
F
D
C
O
G
y,y*
A
B
x,x*
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Resolução do Problema1)
O Tensor das Deformações é:
⎡ 250 600 ⎤
−6
×
10
⎢ 600 150 ⎥
⎣
⎦
A equação Característica é: 250 − ε
600
600
× 10−6 = 0
150 − ε
(250 − ε)(150 − ε) − 360000 = 0
As Extensões ou Deformações Principais são: ⎧200 + 50 145 ⎫
⎪
⎪
⎨
⎬
⎩⎪ 200 − 50 145 ⎭⎪
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Resolução do Problema1)
As Direcções Principais são determinadas de forma análoga
à considerada no caso do Estado Plano de Tensão.
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26
Resolução do Problema 3)
3. Considere o tensor das deformações abaixo indicado
⎡30 × 10−5 25 × 10−5 45 × 10−5 ⎤
⎢
−5
−5
−5 ⎥
=
×
×
×
25
20
10
10
10 ⎥
εij ⎢ 10
⎢⎣45 ×10−5 10 ×10−5 40 × 10−5⎥⎦
e determine a dilatação volumétrica.
A dilatação Volumétrica ou Deformação Volumétrica é:
ε v = ε xx + ε yy + ε zz = 90 × 10
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−5
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Resolução do Problema 4a)
A deformação εyyé: ε yy =
A distorção γxy é: γ xy =
dy * −dy 252 − 250
=
= 0.008
dy
250
(90 − 89.783) × π
= 0.003787
180
T
O versor da direcção AD
⎛
⎞
⎧0.848⎫
400
250
,
⎬
⎟ =⎨
é:⎜
2
2
2
2
0.53
400 + 250 ⎠
⎩
⎭
⎝ 400 + 250
A extensão segundo a direcção AD é:
⎡ε xx
ε* = ⎢
⎣ ε xy
ε xy ⎤ ⎧ l ⎫ ⎪⎧ε*x ⎪⎫ ⎧ε xx l + ε xy m ⎫
⎨ ⎬=⎨ ⎬=⎨
⎬
ε yy ⎦⎥ ⎩m ⎭ ⎩⎪ε*y ⎭⎪ ⎩ε xy l + ε yy m ⎭
⎧ε xx l + ε xy m ⎫ ⎧ l ⎫
474 − 4002 + 2502
2
2
⎨
⎬ ⎨ ⎬ = ε xx l + 2ε xy lm + ε yy m =
l
m
ε
+
ε
yy
4002 + 2502
⎩ xy
⎭ ⎩m ⎭
T
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Resolução do Problema 4a)
Consequentemente:
ε xx =
ε n − 2ε xy lm − ε yy m 2
O Tensor das Deformações é:
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l
2
= 0.00129
⎡0.00129 0.0019 ⎤
⎢ 0.0019 0.008 ⎥
⎣
⎦
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29
Resolução do Problema
4b)
A Área Final é: A f = (1 + ε xx )(1 + ε yy )dxdy =
= (1 + 0.00129)(1 + 0.008) × 400 × 250 =
= 100930.1682
A Área Inicial
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A i = 400 × 250 = 100000.0
A f -A i = 930.1682
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30
Resolução do Problema 5ª)
A Deformação εxx é:
du
ε xx =
= ay
dx
du dv
A Distorção
γ xy =
+
= ax + by
dy dx
A Deformação Vol. ε v = ε xx + ε yy + ε zz = ay + bx + 2c(x + y)
No ponto de coordenadas x=1, y=2 e z=1.5 é:
2a = 0.0001
⎧
⎧ a = 0.00005
⎪
⎪
a
+
2b
=
0.0025
⇒
⎨
⎨ b = 0.001225
⎪2a + b + 6c = 0.0004 ⎪c = −0.0001542
⎩
⎩
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Resolução do Problema 5b)
O Tensor das Deformações é:
0.00005y
⎡
⎢1
⎢ 2 ( 0.00005x + 0.001225y )
⎢⎣
−0.0003084z
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1
2
( 0.00005x + 0.001225y )
0.001225x
−0.0003084z
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−0.0003084z ⎤
⎥
−0.0003084z ⎥
−0.0003084(x + y) ⎥⎦
32