N. 02, Setembro 2010
Ano
01
Edson de OLIVEIRA
Thiago Emanuel FERREIRA
O NÚMERO DE OURO E SUAS
n.
02
p. 64-81
MANIFESTAÇÕES
NA NATUREZA E NA ARTE
Instituto de Engenharia Arquitetura e Design –
INSEAD
Centro Universitário Nossa Senhora do Patrocínio
CEUNSP – Salto-SP
EDSON DE OLIVEIRA; THIAGO EMANUEL FERREIRA – O NÚMERO DE OURO E
SUAS MANIFESTAÇOES NA NATUREZA E NA ARTE. Revista Complexus –
Instituto Superior De Engenharia Arquitetura E Design – Ceunsp, Salto-Sp,
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, Setembro de 2010. Disponível Em:
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N. 02, Setembro 2010
O NÚMERO DE OURO E SUAS MANIFESTAÇÕES
NA NATUREZA E NA ARTE
Edson de OLIVEIRA
Professor Doutor do Curso de Licenciatura em Matemática do Centro Universitário Central Paulista UNICEP, São Carlos, São Paulo, Brasil; Email: edson @unicep.com.br.
Thiago Emanuel FERREIRA
Bacharel em Matemática Aplicada e Computacional pelo Centro Universitário Central Paulista –
UNICEP, São Carlos, São Paulo, Brasil; Email: [email protected]
RESUMO:
NESTE TRABALHO, APRESENTA-SE O NÚMERO DE OURO, DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM
MÉDIA E EXTREMA RAZÃO, CHAMADA RAZÃO ÁUREA, E SUAS MANIFESTAÇÕES NA
NATUREZA E NA ARTE. ESTUDADO DESDE OS ANTIGOS GREGOS ATÉ OS DIAS DE HOJE,
ENCONTRA-SE PRESENTE EM APLICAÇÕES NOS MAIS VARIADOS CAMPOS DA CIÊNCIA E DA
ARTE. SUAS NOTÁVEIS PROPRIEDADES ALGÉBRICAS E GEOMÉTRICAS FORAM UTILIZADAS
NAS ESTRUTURAS DOS TEMPLOS ANTIGOS, O MESMO OCORRENDO COM MUITOS
ARQUITETOS RENASCENTISTAS. EM TEMPOS MODERNOS, LE CORBUSIER BASEOU SEU
MODULOR
NA RAZÃO ÁUREA. A UTILIZAÇÃO DO NÚMERO DE OURO EM OBRAS
ARQUITETÔNICAS AINDA É FREQÜENTE NOS DIAS ATUAIS.
PALAVRAS-CHAVE: NÚMERO DE OURO; RAZÃO ÁUREA; NATUREZA; ARTE.
INTRODUÇÃO
A questão da busca do belo caracteriza-se como um dos temas de interesse humano mais
valorizados desde os primórdios.
Um dos aspectos constantes dessa beleza permanente seria a proporção. A linguagem
matemática da proporção surgiu com Pitágoras a partir do conceito de que “tudo é número” e sua
abordagem de que determinadas relações numéricas manifestam a estrutura harmônica do universo.
Como citado em Proporção (2007, p.2):
Pitágoras, ainda, nutria certa admiração mística e sagrada pelo pentágono regular e
pelo pentagrama, o polígono regular estrelado de cinco pontas inscrito neste
pentágono regular. Sobre estas bases buscou explicar também, a proporção
geométrica ideal dos aspectos físicos das coisas naturais, principalmente aquela de
um corpo humano ideal, e de aplicá-la na arquitetura e na arte. Definiu, então, uma
relação particular que se encontra no pentágono regular e no pentagrama, a da
divisão de um segmento em média e extrema razão. Euclides iria definir esta relação
da seguinte maneira: “um segmento se divide em média e extrema razão quando todo
o segmento está para a parte maior como esta última está para menor.”
A razão entre o segmento menor e o segmento maior chama-se razão áurea. Esse nome foi
usado uns dois mil anos depois “... mais ou menos pela época em que Kepler escrevia liricamente: a
geometria tem dois tesouros: um é o o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em
média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos
chamar de jóia preciosa. “ (LUCHETTA).
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No início do século XX, o matemático americano Mark Barr deu à razão o nome de Fi ( φ ) , a
primeira letra grega do nome de Fídias, o grande escultor grego que viveu entre 490 e 430 a.C.
Segundo Livio (2008, p.16), “ Barr decidiu homenagear o escultor pois alguns historiadores da arte
sustentavam que Fídias fazia uso freqüente e meticuloso da Razão Áurea nas suas esculturas.”
Dentre elas, citam-se o Paternon de Atenas e o Zeus no templo de Olímpia. Da definição de Euclides,
deriva o que veio a se conhecer como retângulo de ouro: um retângulo cuja razão entre os lados
maior e menor é igual ao número de ouro φ , cujo valor numérico é 1,6180339887... .
Presente em quase tudo aquilo que encontramos de mais harmonioso na Terra, o número de
ouro instigou a curiosidade de muitos de nossos pensadores. Ele serviu de inspiração para
matemáticos relevantes desde Pitágoras e Euclides na Grécia antiga, passando pelo matemático
italiano Leonardo de Pisa que, no seu livro De Divina Proportione, apresentado em Veneza em 1509
e ilustrado por Leonardo Da Vinci, denominou-o de “Proporção Divina”.
Conforme Livio (2008, p.16):
A fascinação pela Razão Áurea não se restringe aos matemáticos. Biólogos, artistas,
músicos, historiadores, arquitetos, psicólogos e até místicos têm examinado e
debatido bases de sua ubiqüidade e seu apelo. De fato, provavelmente, é correto dizer
que a Razão Áurea tem inspirado pensadores de todas as disciplinas mais do
qualquer outro número na história da matemática.
Leonardo Da Vinci disse que a arte deveria manifestar por ela própria um movimento
contínuo, harmonioso e beleza e, assim, utilizou o retângulo de ouro em suas obras. No quadro Mona
Lisa, utilizou o número Fi na relação entre o tronco e a cabeça e entre os elementos que compõem o
seu rosto, a própria moldura já um retângulo de ouro. Ao criar o Homem Vitruviano, ele ilustrou, de
maneira clara e didática, a grande parte das ocorrências do número de ouro no corpo humano. Esse
desenho é considerado um símbolo da simetria básica do corpo humano, extensivo para o universo
como um todo.
Em arquitetura proporção é um conceito fundamental e importantes autores vêm há
muito fazendo uso deste termo até quando buscam definições para a própria
arquitetura.
“A arquitetura não é senão a ordem, a disposição, a bela aparência, a proporção das
partes face ao todo, a proporção e a distribuição.”
Michelangelo Buonaroti
“A arquitetura serve-se do número, da forma, da grandeza e dos materiais, por via da
especulação, e serve-se ainda das proporções e das correspondências nos mesmos
modos por que o faz matemático.”
Vincenzo Scamozzi
Na arquitetura o belo consiste essencialmente nas proporções: somente com a
proporção e sem qualquer ornamentos um edifício pode ser belo.
G. Winckelmann
“A arquitetura é uma ciência intelectual e prática que visa estabelecer, com raciocínio,
o bom uso e as proporções do que constrói.”
Carlo Lodoli
“A arquitetura, que de todas as artes é a mais submetida às condições materiais,
econômicas e sociais, é também aquela que graças às proporções e as forma
geométricas exprime as especulações mais abstratas do pensamento humano.”
Louis Hautecoeur
(PROPORÇÃO, 2007)
Le Corbusier, famoso arquiteto do século passado, usou o número de ouro na construção de
seu módulo, um sistema de proporções baseadas no corpo humano e aplicadas ao projeto de
arquitetura.
Conforme Ching (2005, p.302), ele desenvolveu esse sistema
... para organizar “as dimensões daquilo que contém e daquilo que é contido”. Ele via
as ferramentas de medição dos gregos, egípcios e outras grandes civilizações como
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sendo “infinitamente ricas e sutis, pois formavam a parte da matemática do corpo
humano, gracioso, elegante e firme, a fonte daquela harmonia que nos move, a
beleza.” Baseou, portanto, sua ferramenta de medição, o Modulor, tanto na
matemática (as dimensões estéticas da Secção Áurea e a Série de Fibonacci) como
nas proporções do corpo humano (dimensões funcionais).
Mais recentemente, Mondrian usou o número Fi em seus trabalhos, bem como, várias
construções tem arquitetura concebidas sob a mesma base.
Ainda mais, a razão em que aumenta o diâmetro das espirais das sementes de um girassol é
φ . No reino animal, conhece-se a beleza das estruturas espirais das conchas de muitos moluscos,
como o Náutilo (Nautilus Pompilus). Essas conchas têm inspirado muitas construções arquitetônicas,
como no museu de Guggenheim de Nova York, que possui em seu interior rampas espirais. O
crescimento das conchas espirais obedece a um padrão que é orientado pela Razão Áurea. Os
egípcios já usaram o número Fi na construção das pirâmides.
2
Apresenta-se, também, como a raiz positiva da equação quadrática x − x − 1 = 0 ; é o único
número cujo quadrado é igual a ele mesmo adicionado de uma unidade.
Neste trabalho, apresentam-se algumas situações na natureza, dentre as muitas existentes,
em que o número de ouro se manifesta. Elas serão apresentadas por meio de ilustrações e
construções geométricas.
Definição do número de ouro
Diz-se, que num segmento AB , existe uma divisão áurea quando o segmento é dividido por
um ponto P em duas partes de tal forma que a maior parte seja média proporcional entre o menor e
o segmento todo.
Figura 1: Divisão áurea do segmento AB
tem-se:
Designando-se por a o comprimento do segmento AB e x o comprimento do segmento AP
a
x
=
x a−x
isto é:
x 2 = a(a − x)
x 2 + ax − a 2 = 0
ou
As raízes desta equação do segundo grau são:
x1 =
a ( 5 − 1)
>0
2
e
x2 =
− a ( 5 + 1)
<0
2
Desta maneira:
a
a
=
=
x
 5 −1

a

 2 
2
5 −1
=
2
5 −1
5 +1
5 +1
=
5 +1
≅ 1,618033988749895
2
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Esse valor, representado pela letra grega
φ
=
φ
(fi), chama-se número de ouro. Assim:
5 +1
≅ 1,618033988749895
2
Obtenção do número de ouro geometricamente
Apresentam-se, a seguir, os passos para se obter geometricamente o ponto P, que
estabelece a divisão áurea de um segmento AB.
• Considere o ponto médio M do segmento AB.
Figura 2 – Ponto médio do segmento AB
•
Pelo ponto B traça-se o segmento BC da perpendicular a AB, de comprimento
considera-se o triângulo retângulo ABC.
BC = AM e
Figura 3 – Construção do triângulo ABC, retângulo em B
•
Com centro em C, trace o arco de circunferência de raio
no ponto D.
Figura 4 – O ponto D é tal que
•
BC até encontrar a hipotenusa AC
BC = DC
Com centro em A, trace o arco de circunferência de raio AD para obter o ponto P sobre AB.
Figura 5 – O ponto P é tal que
AP = AD
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O ponto P obtido é o que divide o segmento AB em duas partes, em que o maior é
φ
vezes o
menor.
Justificativa matemática do procedimento geométrico
a
e, pelo Teorema de Pitágoras:
2
5a
ou
AC =
2
AB = a. Então, BC =
Suponha
a 2 5a 2
AC = a +
=
4
4
2
2
Desde que
CD = BC =
a
, então:
2
 5 −1
a
AD = 

 2 
 5 −1

Obteve-se o ponto P, de tal modo que AP = AD = 
 2 a . Tem-se, portanto, a


AD = AC − CD =
5a
a
–
2
2
ou
razão:
AB
a
1+ 5
=
=
.
AP
2
 5 −1


 2 a


O número de ouro na arquitetura, na natureza e nas obras de arte
O homem sempre tentou alcançar a perfeição, seja nas pinturas, nos projetos arquitetônicos
ou até nas músicas. A partir daí, os gregos criaram o retângulo dourado. Então, eles construíram o
Partenon e vários outros edifícios. Da mesma forma, os egípcios edificaram as pirâmides. Cada bloco
da pirâmide era 1,618 vezes maior que o bloco do nível acima. O Homem Vitruviano, de Leonardo Da
Vinci, ilustra claramente a ocorrência do número de ouro no corpo humano; assim, o umbigo divide a
altura do corpo em média e extrema razão.
Atualmente, a razão áurea ainda é muito utilizada. Ao padronizar internacionalmente algumas
medidas, os projetistas procuram respeitar a proporção divina. Por exemplo, o quociente entre o
comprimento e a largura de um cartão de crédito é o número de ouro.
No que segue, além das citadas acima, apresentam-se diversas outras situações de
ocorrências do número de ouro.
A pirâmide de Quéops em Gisé
No Egito, a pirâmide de Quéops, em Gisé, ilustrada na foto da Figura 6, foi construída tendo
em conta a razão áurea: a razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande
pirâmide é igual ao número de ouro.
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Figura 6 - A pirâmide de Quéops, em Gisé
Fonte: (NEWHOUSE, 1992)
De fato, para a pirâmide de Quéops, tem-se:
Altura da Pirâmide
Dimensões da base
146,59 m
230,33 × 230,33 m
Figura 7 – Pirâmide de base quadrangular
Visto que a base da pirâmide é um quadrado de lado a = 230,33 m e, sendo a altura da
pirâmide h = 146,59 m, então:
2
a
230,33 2
2
H =h +
= 146,59 +
4
4
2
2
ou seja,
H 2 = 34751,605 ⇒ H = 186,417
Daí:
H 2H
=
= 1,618 ≅ φ
a
a
2
o que verifica a afirmação inicial.
A Espiral de Fibonacci
Um retângulo cuja razão entre a medida do comprimento e a medida da largura é de
aproximadamente φ chama-se retângulo de ouro ou retângulo áureo.
Uma característica desse retângulo é que ele pode ser sempre dividido num quadrado e em
outro retângulo de ouro. Esse processo pode ser repetido indefinidamente mantendo-se a razão
constante.
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Figura 8 – Um quadrado construído sobre o lado menor de um
retângulo áureo origina um novo retângulo áureo
Unindo-se os quartos de circunferência de todos os quadrados obtém-se uma espiral que se
chama Espiral de Fibonacci.
Figura 9 - Espiral de Fibonacci
Na natureza, existem muitas espirais como essa, como, por exemplo, nos moluscos náuticos,
conforme ilustra a Figura 10.
Figura 10 - Moluscos náuticos vistos em seção
Fonte: (BERGAMINI, 1964)
O Homem Vitruviano
O Homem Vitruviano é um conceito apresentado na obra Os Dez Livros da Arquitetura, de
autoria do arquiteto e engenheiro romano Marcus Vitruvius Pollio, mais conhecido como Vitrúvio, que
viveu no século I a.C.. Consiste de um tratado teórico e técnico detalhado que sobrevive à mais
antiga e mais influente de todas as obras sobre arquitetura. É um cânone das proporções do corpo
humano, segundo um raciocínio matemático que se baseia, em parte, na divina proporção.
O homem descrito por Vitrúvio, no terceiro livro de sua obra, apresenta-se como um modelo
ideal para o ser humano, cujas proporções existentes entre o antebraço, o pé, a palma, o dedo e
outras partes menores são perfeitas segundo o ideal clássico de beleza.
Compara essas partes às partes de um edifício, continuando a antiga tradição do
edifício sagrado, visto em termos do corpo de um homem e, assim, em termos do
microcosmo. (PENNICK, 1980, p. 69).
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Desenhar o homem perfeito, segundo Vitrúvio, tornou-se um grande desafio. A maior
dificuldade não eram as proporções do homem, mas adaptá-lo a formas geométricas colocando o
corpo humano estendido, inscrito em duas formas geométricas, também consideradas perfeitas: o
círculo e o quadrado.
Houve várias tentativas, mas todas incorreram no mesmo erro de colocar o círculo e o
quadrado centralizados no mesmo ponto, o que produzia resultados imperfeitos.
Em 1492, Leonardo da Vinci resolveu encarar o problema e o resultado foi brilhante. Ele
apoiou as duas formas sobre a mesma base. Depois, desenhou um homem segundo as proporções
estabelecidas, de tal modo que:
• A altura do corpo, que, segundo Vitrúvio, é igual à largura dos braços, encaixa-se
perfeitamente em um quadrado;
• Os braços levantados à altura da cabeça tocam o círculo; o mesmo acontece com as pernas
abertas.
O desenho que Da Vinci criou para esboçar a idéia de Vitrúvio é conhecido como o Homem
Vitruviano.
Figura 11 - O Homem Vitruviano de Da Vinci
Fonte: (DOCUMENTOS)
Esse trabalho é considerado o desenho anatomicamente mais correto de sua época e tornouse um ícone da cultura moderna, aparecendo em cartazes, mousepads e camisetas em todo o
mundo.
Segundo o modelo perfeito, impresso na obra de da Vinci, as dimensões obedecem à divina
proporção.
Por exemplo, segundo a construção geométrica apresentada anteriormente, vê-se na Figura
12 que a altura u do chão até o umbigo é a seção áurea da altura h do homem, ou seja:
h
=φ.
u
Da mesma forma, constata-se pela Figura 13 que o cotovelo divide o braço em dois
segmentos que obedecem, à razão áurea. Assim, se b é a medida do braço e c a distância do
cotovelo até a ponta dos dedos, então:
b
=φ .
c
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Figura 12 - O umbigo divide a altura do homem na razão áurea
Fonte: (RENASCIMENTO)
Ilustração: Thiago E. Ferreira
Figura 13 - O cotovelo divide o comprimento do braço na razão áurea
Fonte: (RENASCIMENTO)
Ilustração: Thiago E. Ferreira
Da mesma maneira, são constantes e iguais a
φ
os seguintes quocientes:
• Do comprimento da perna pelo tamanho do joelho até o chão;
• Da cintura até a cabeça pelo comprimento do tórax;
• Da altura do crânio pelo tamanho da mandíbula até o alto da cabeça.
Ainda mais, particularmente, olhando para as mãos, a razão do comprimento de cada dedo
x pelo tamanho da segunda dobra y é φ , ou seja,
x
=φ .
y
Também, o quociente entre o tamanho da segunda dobra y e o tamanho da primeira dobra
z é φ , isto é:
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y
=φ .
z
Figura 14 - A razão do comprimento de cada dedo
pelo tamanho da segunda dobra é φ
Fonte: (FERREIRA, 2007)
Figura 15 - quociente entre o tamanho da segunda dobra
e o tamanho da primeira dobra é φ
Fonte: (FERREIRA, 2007)
O Modulor de Le Corbusier
Ao procurar definir a arquitetura, o arquiteto franco-suíço e mais importante tratadista deste
século, Le Corbusier (1887-1965), argumentou:
O arquiteto não é um escravo de um sistemas de proporções fixo. Ele pode modificálo achando aplicações variadas das leis da geometria. Com efeito, as proporções são
filhas da geometria. Em arquitetura elas se estabeleceram primeiramente sobre as leis
da estabilidade e estas derivam da geometria (PROPORÇÃO).
A primeira abordagem arquitetônica mais independente da tradição formal da antiguidade foi
chamada de Art Noveau, que começou a fazer uso de formas puras da geometria. A partir desse
movimento, diversos arquitetos passaram a propor formas particulares de interpretar a questão da
proporção.
Um dos primeiros foi Le Corbusier, que propôs em 1950 um sistema de medição
proporcionada que ele denominou de Modulor.
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Baseou sua ferramenta de medição tanto na Matemática (as dimensões estéticas da
seção áurea e a série de Fibonacci), como nas proporções do corpo humano
(dimensões funcionais). (CHING, 2005, p.302)
Para ele :
Este era um instrumento universal, fácil de empregar, e que podia ser usado
no mundo inteiro para obter beleza e racionalidade nas proporções de tudo o
que é produzido pelo homem (PROPORÇÃO).
Le Corbusier adotou, inicialmente, como estatura média do homem, o valor de 175 cm.
Porém, sob a alegação de considerar a média de altura dos policiais ingleses e, em vista da
crescente evolução da estatura do ser humano, ao menos na Europa, decidiu adotar como 183 cm o
ponto de partida do seu Modulor.
O modulor com altura do homem de 175 cm
De acordo com o exposto anteriormente, segue que, se AB é um segmento de comprimento
a e AP é o maior dos segmentos no qual P divide AB na razão áurea, então:
(a 5 − 1) a
AP =
=
φ
2
A partir da distância do chão às pontas dos dedos com o braço levantado, 216cm, e da
metade dessa distância, 108 cm, que corresponde à altura do chão até o umbigo, Le Corbusier criou
duas séries de valores em relação à divisão áurea desses comprimentos, que constituem uma gama
de medidas humanas.
Na série que ele chamou de vermelha, estabelecida a partir da altura do chão até o umbigo, o
termo que lhe sucede imediatamente coincide com a altura do homem de 175 cm. Nesta série, os
termos principais são 108, 67 e 41.
Os valores obtidos pela divisão áurea foram arredondados, obtendo-se, assim ,os chamados
valores de aplicação.
O termo principal da série que Le Corbusier chamou de azul é a altura do homem com o
braço levantado. Ela é igual à soma dos três termos principais da série vermelha.
216 = 108 + 67 + 41
A figura 16, adaptada para o homem com altura de 175cm, apresenta o Modulor com as duas
séries, vermelha e azul, simultaneamente.
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Figura 16 - No esquema do modulor, o homem tem altura 175 cm
E, com o braço levantado, 216 cm.
Adaptação para a altura de 175 cm: Thiago E. Ferreira
Retângulos áureos nas obras de Le Corbusier
Os retângulos de ouro apresentam-se com muita freqüência nas obras de Le Corbusier.
Observe o desenho abaixo. Nele, o retângulo de ouro aparece no Desenho Geral.
Figura 17: Desenho Geral ilustrando o uso dos retângulos de ouro
Fonte: (BERGAMINI, 1964)
Veja, agora, a foto da casa representada na Figura 18. Esta residência, edificada nos
subúrbios de Paris, ilustra o uso consciente (ou intencional) do retângulo áureo.
Figura 18: Obra de Le Corbusier nos subúrbios de Paris
Fonte: (BERGAMINI, 1964)
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Partenon
O Partenon, em Atenas, Grécia, é um templo construído pelo gregos por volta de 447 a 443
a.C. para a moradia dos deuses olímpicos e templo de culto. Os gregos viam em seus deuses a
representação mais perfeita e admirável da beleza humana. Assim, as únicas moradas dignas dessas
divindades eram as que, por suas proporções, formavam um conjunto harmonioso completo.
O Partenon pode ser considerado um dos exemplos mais emblemáticos de utilização na arte
da proporção áurea. Ele se encaixa perfeitamente no retângulo áureo.
Figura 19 - A fachada do Partenon se encaixa num retângulo áureo
Fonte: (ATALAY, 2007); Ilustração: Thiago E. Ferreira
Phideas, escultor e arquiteto grego, foi o encarregado da construção desse templo.
Embora seja dotado de várias proporções geometricamente equilibradas, provavelmente seus
construtores não tinham senão conhecimento intuitivo da proporção áurea.
Seção áurea no Partenon
Considerando o ponto F que divide BC na extrema razão e G o ponto que divide AB na
mesma razão, tem-se, conforme a Figura 30, que ABCD , ABFE e AGHE são retângulos áureos.
Observe também que P divide AG na razão áurea.
Figura 20 - Retângulo áureo na fachada de Partenon.
Fonte: (ATALAY, 2007); Ilustração: Thiago E. Ferreira
Desenhando-se os correspondentes retângulos do lado esquerdo, o efeito nas dimensões e a
distribuição da seção áurea na fachada do Partenon é ilustrada na Figura 21, em que φ
representam retângulos áureos e Q são quadrados.
EDSON DE OLIVEIRA; THIAGO EMANUEL FERREIRA – O NÚMERO DE OURO E
SUAS MANIFESTAÇOES NA NATUREZA E NA ARTE. Revista Complexus –
Instituto Superior De Engenharia Arquitetura E Design – Ceunsp, Salto-Sp,
Ano. 1, N.2, P. 64-81
, Setembro de 2010. Disponível Em:
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P. 76
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N. 02, Setembro 2010
Figura 21 - Ilustração gráfica do uso da seção áurea na fechada de Partenon.
Fonte: (ATALAY, 2007); Ilustração: Thiago E. Ferreira
Uma outra visão dos retângulos áureos no Partenon
Considerando-se o ponto I , que divide GB na razão áurea, e J , o ponto que divide CF na
mesma razão, a Figura 22 exibe uma outra ilustração da presença de retângulos áureos na fachada
do templo.
Pode-se demonstrar, conforme Ferreira (2007, p.14), que, se um ponto P divide um segmento
AB numa razão áurea, o mesmo acontecendo com Q em relação a AP, então AQ = PB . Dessa
forma, na Figura 21, tem-se AG = IB e
pela letra φ , são todos congruentes.
CJ = FB e, portanto, os retângulos de ouro, representados
Figura 22 - Outra forma de visualizar retângulos de ouro na fachada do templo.
Fonte: (ATALAY, 2007); Ilustração: Thiago E. Ferreira
A Mona Lisa
Um dos quadros mais célebres do renascentista Leonardo da Vinci é a famosa Mona Lisa,
uma pintura encomendada por Francesco Del Giocondo, um rico comerciante de Florença. A obra
não foi concluída antes de 1507 e Leonardo nunca a entregou a Francesco del Giocondo.
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Figura 23 – Mona Lisa de Leonardo da Vinci.
Fonte: (NOTAS AO CAFÉ)
Durante os vários séculos de sua história, a pintura passou por diversas provações. Em uma
delas, as colunas que enquadravam a retratada foram cortadas, o que fez com que a razão entre a
largura e o comprimento fosse alterada para 1:1,45. Não se pode provar que, antes disso, a tela
estivesse enquadrada na razão de 1:1,618, mas existem outros traçados geométricos muito
interessantes nesta famosa obra de arte de Leonardo da Vinci.
i)
Desenhando-se um retângulo em volta da face, o retângulo resultante é um retângulo de
ouro, ou seja,
ii)
a
=φ.
b
Subdividindo-se esse retângulo na linha dos olhos, o novo retângulo ainda é de ouro,
b
=φ .
c
iii)
Traçando um retângulo áureo que delimite a área desde o alto da cabeça até o alto do
corpo do vestido e delineando um quadrado na parte superior deste retângulo, o queixo
da retratada pousa no lado inferior dessa nova figura, com o olho esquerdo ocupando o
centro do quadrado. Os dois retângulos são áureos.
Figura 24 – Traçado geométrico em torno da face
Fonte: (NOTAS AO CAFÉ); Ilustração: Thiago E. Ferreira
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Figura 35 – Retângulo áureo que delimita o alto da cabeça
até o alto do corpo do vestido
Fonte: (NOTAS AO CAFÉ); Ilustração: Thiago E. Ferreira
Presença da razão áurea em outras situações
Além das situações apresentadas acima, o número de ouro aparece em inúmeras outras;
especialmente na caracterização de diversas propriedades da natureza. Assim, por exemplo, o
número de ouro φ representa:
1. A razão de abelhas fêmeas em comparação com abelhas macho em uma colméia;
2. A razão em que aumenta o diâmetro das espirais das sementes de um girassol é φ ;
Figura 6 – O girassol e suas espirais de Fibonacci
Fonte: (NÚMEROS E NATUREZA)
3. A razão em que se diminui as folhas de uma árvore à medida que se sobe de altura.
Também:
4. Nas galáxias, as estrelas distribuem-se em torno de um astro principal numa espiral que
obedece a razão φ ;
5. Cada osso do corpo humano é regido pela razão áurea;
6. Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas no dia-a-dia, os projetistas
procuraram “respeitar” a proporção divina. Por exemplo, a razão entre o comprimento e a
largura de um cartão de crédito é um número próximo de 1,618;
Ainda mais, o número de ouro φ aparece:
7. Nas famosas sinfonias, como a 9ª. de Beethoven e em várias outras;
8. No estudo do comportamento da luz e dos átomos;
9. Na ascensão e queda da Bolsa de Valores;
10. Em problemas relativos a ondas do oceano, furacões e outros.
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Considerações Finais
O Partenon, na Grécia, é um dos exemplos emblemáticos de utilização do número de ouro ou
número áureo. Para os gregos, o número de ouro representava harmonia, equilíbrio e beleza. Por
isso, muitas construções gregas tinham como base esse número. No Renascimento, a revalorização
dos conceitos estéticos gregos levou grandes pintores, como Leonardo Da Vinci, a utilizá-lo em suas
pinturas.
Manifesta-se em todos os segmentos que trabalham com a harmonia das formas. Segundo
Coelho, “Se a harmonia não se mede, o mesmo não acontece com a proporção, que é mensurável. A
partir desta, pode definir-se um padrão, um módulo que, desde a Antiguidade, serve de media aos
escultores, aos desenhadores, aos arquitetos. Esse padrão tem a vantagem de ser universal e de se
encontrar, no próprio corpo humano, que possui certa simetria, ocupa espaço, tem peso e seus
membros movem-se de acordo com certas regras. “
Ao propor o Modulor, sistema de medição proporcionada do corpo humano, “Le Corbusier
acreditava que seu sistema de medidas satisfaria tanto as exigências da beleza – porque ser
derivado da seção áurea – quanto às funcionais – porque adequado às dimensões humanas. Para
ele, este era um instrumento universal, fácil de empregar, que podia ser usado no mundo inteiro para
obter beleza e racionalidade nas proporções de tudo o que é produzido pelo homem.”
(PROPORÇÃO, 2007).
Essas situações, bem como aquelas citadas neste trabalho, são apenas alguns exemplos
dentre os inúmeros em que se apresenta o número áureo. Ele surge em seu mais alto grau de
perfeição nas formas naturais, revelando uma beleza que, muitas vezes, passa despercebida.
Somente alguns homens dotados de um poder de observação mais alto que os demais são capazes
de perceber toda essa grandiosidade proporcionada pela natureza. Poucos entre esses, não
contentes apenas com observações, tentam representá-la através da arte, colocando em prática todo
o seu senso de observação. Esse artista inconscientemente deixa vestígios do número de ouro em
sua obra. No entanto, nem sempre as proporções encontradas nessas inúmeras obras são
exatamente representadas pela razão áurea, mas se aproximam desta de tal forma que conseguem
expressar todo o senso de proporção do artista, que capta da natureza toda a sua perfeição.
O número áureo é um número irracional misterioso e atraente. Como diz Lívio (2008, p.18), “a
atratividade do número de ouro origina-se, antes de mais nada, do fato de que ele tem um jeito
quase sobrenatural de surgir onde menos se espera.”
ABSTRACT: In this work it is presented the golden number which is the division of a segment in
middle and extreme reason, so called golden reason, and its demonstrations in nature and art.
Studied from the Greek ancients up to today, it is found in science and art most varied fields. Its
notable algebraic and geometrical properties were used in the structures of the ancient temples, the
same thing taking place with many renascentistas architects. In modern times, Le Corbusier based his
modulor on the golden reason. Currently, the use of the golden number in architectural works is still
frequent.
KEYWORDS: Golden number, golden reason, nature, art.
Referências Bibliográficas
BERGAMINI, David; Redatores da LIFE. As Matemáticas. Rio de Janeiro: José Olympio, 1969.
ATALAY, Bulent. A Matemática e a Mona Lis. São Paulo: Mercuryo, 2007..
CHING, Francis D. K. Arquitetura: forma, espaço e ordem. São Paulo: Martins Fontes, 2005.
EDSON DE OLIVEIRA; THIAGO EMANUEL FERREIRA – O NÚMERO DE OURO E
SUAS MANIFESTAÇOES NA NATUREZA E NA ARTE. Revista Complexus –
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P. 80
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N. 02, Setembro 2010
DOCUMENTOS: O Homem Vitruviano, Leonardo Da Vinci, 1490. Disponível
<http://quemousavence.blogspot.com/2007/10/documentos-o-homem-vitruviano-leonardo.html>.
Acesso em 14 out. 2007.
em
FERREIRA, Thiago. A seqüência de Fibonacci, o número de ouro e suas manifestações na
natureza e na arte. São Carlos: EDUNICEP, 2007. Trabalho de Conclusão de Curso.
LÍVIO, Mario. Razão Áurea: a história de Fi, um número surpreendente. Rio de Janeiro: Record,
2008.
LUCHETTA, Valeria O. J. Secção Áurea. Disponível em <http://www.ime..br >. Acesso em: 3 out.
2007.
NOTAS AO CAFÉ: Mona Lisa Disponível em http://notasaocafe.wordpress.com/2006/12/18/monalisa/. Acesso em: 3 out. 2007.
PENNICK, Nigel. Geometria Sagrada: simbolismo e intenção nas estruturas religiosas. São Paulo:
Editora Pensamento, 1980.
PROPORÇÃO:
Seção
áurea
e
traçado
regulador.
12p.
<http://.fau.ufrj.br/apostilas/aforma/CAP5.pdf>. Acesso em: 07 jul. 2007.
RENASCIMENTO: Europa retoma valores clássicos. Disponível em
<http://educacao.uol.com.br/artes/ult1684u16.jhtm. Acesso em: 18 jun. 2007.
Disponível
.
Disponível
em
em
Agradecimento
À professora Dra. Débora Ferri que muito contribuiu com correções e sugestões para a melhoria da
versão original do manuscrito.
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