UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ - UNESPAR
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a) DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professor PDE: CELÇO LUIZ DE ARAÚJO
Área de atuação PDE: MATEMÁTICA
Linha de Estudo: TENDÊNCIAS METODOLÓGICAS EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
Núcleo Regional de Educação: UMUARAMA
IES Vinculada: UNESPAR
Escola de Implementação: COLÉGIO ESTADUAL MONTEIRO LOBATO –
ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO – PROFISSIONALIZANTE
Público objeto da intervenção: PROFESSORES DE MATEMÁTICA DA REDE
PÚBLICA DO NÚCLEO REGIONAL DE UMUARAMA.
b)- TÍTULO
O Ensino de Geometria Fractal por meio da utilização do software Geogebra e
da Lousa Digital.
c) JUSTIFICATIVA DO TEMA DE ESTUDO
As transformações sociais implicam em mudanças na educação e nessa
perspectiva, ensinar matemática implica ir além do simples ato de fazer
cálculos, muitas vezes desprovidos de significados para os alunos. No
desenvolvimento
de
sua
prática
educativa,
o
professor
precisa
ser
instrumentalizado para ter clareza da importância de instigar os alunos a
compreender melhor o conteúdo de ensino, desafiando-os, a fazer a interação
com outras situações, onde a matemática não é tão evidente. Nesse contexto
se faz necessário conhecer, compreender e explorar os diversos recursos
tecnológicos usados como instrumentos no processo ensino aprendizagem
dentre eles destaca-se a “Lousa Digital”. Este instrumento, nos últimos meses,
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vem sendo introduzido nas escolas estaduais do Paraná, porém sua utilização
ainda é pouco relevante.
O desenvolvimento deste estudo far-se-á junto aos professores da rede
pública estadual, explorando os “Fractais Geométricos” na lousa digital,
utilizando-se para tanto o software “Geogebra”. A Geometria Fractal é o ramo
da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais,
descrevendo situações aplicadas à ciência, tecnologia e arte gerada por
computador que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica.
As raízes conceituais dos fractais remontam as tentativas de medir o tamanho
de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria
“euclidiana” falham. Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido
em partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original. Diz-se que os
fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autos similares e independem de
escala.
Por meio de simuladores online ou off-line na Lousa Digital, instrumentos
estes disponíveis no Portal Dia a Dia, a construção de vídeos de tutorias para
resolução de problemas, contemplando na íntegra os conteúdos propostos nas
Diretrizes Curriculares da disciplina de Matemática, buscar-se-á mostrar aos
alunos/professores a funcionalidade da Lousa Digital, desde sua instalação no
computador com Linux ou Windows, até o uso de suas ferramentas de
utilização.
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d) PROBLEMA/PROBLEMATIZAÇÃO
Na Educação Matemática como parte de um processo de desenvolvimento
exige da escola um repensar constante de sua prática pedagógica. E
principalmente quando nelas os conteúdos se voltam mais para o campo
teórico e formal, sem se preocupar com a significação. Há uma priorização
quanto à memorização de regras e fórmulas, enquanto a experiência prática e
o prazer da experimentação são deixados de lado.
Se a Matemática possibilita esse processo de descoberta e realização, a
geometria associa a está questão, que permitem à comprovação prática, o uso
de metodologias diferenciadas, a efetiva da participação do aluno e evocam o
campo das emoções através da criatividade, do espírito inventivo e do
desenvolvimento do senso comum. Com as características que fazem dos
fractais objetos que denotam curiosidade e encantamento para todas as áreas.
E os fractais têm uma grande aplicabilidade na área Matemática e em outras
áreas do conhecimento.
É possível inserir na prática pedagógica dos professores o estudo da
Geometria Fractal utilizando como ferramenta pedagógica o software
geogebra? E com a chegada da lousa digital nos colégio e as dificuldades dos
professores em usa-la, podemos estar trabalhar com esses dois softwares
juntos e assim ajudando os professores a estar enriquecendo mais a suas
praticas pedagógica.
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e) OBJETIVOS: GERAL E ESPECÍFICOS
Mostrar como os vários aspectos da Geometria Fractal podem ser
desenvolvidos na educação básica, utilizando o software geogebra e a lousa
digital.
- Estudar os fundamentos sobre Geometria Fractal.
- Inserir nas práticas pedagógicas alternativas simples para construção de
Fractais, usando as ferramentas do próprio software com construindo novas
com formulas algébricas.
- Motivar os professores com estratégias de ensino para desvendarem os
conhecimentos matemáticos que as estruturas fractais possibilitam geometria
com a construção de pentagonal, hexagonal e octogonais.
- Orientar o professor a utilizar as ferramentas básicas da lousa digital e
também a construção de vídeos para ser apresentado nas exposições de
conteúdos.
f) FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA, /REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Não podemos inicialmente falar de fractal sem antes, não falarmos de
Geometria Analítica e dos matemáticos que escreveram de livros sobre a
geometria vou falar um pouco sobre René Descartes que concebiam uma ideia
de geometria moderna. Mais sabemos que existe alguma divergência sobre
quem inventou a geometria analítica e mesmo a época de que merece o credito
dessa invenção, aqui falaremos um pouco sobre Descartes, nasceu perto
deTours em 1956 teve um inicio na carreira 1617 por vários anos depois de sair
de a vida militar viajou por vários pais e retornando a frança continuo seus
estudos de matemática e suas contemplações filosóficas, morre em Estocolmo
em 1650. Um dos seus famosos livros o La géometrie sua terceira apêndice
Discours,o texto foi escrito intencionalmente de maneira obscura e como
resultado era difícil de ler o que limitava sua divulgações, mais em 1649 foi feito
sua tradução latina da obra. Mais também temos outros que ajudaram a
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Geométrica Analítica ser desvendada entre eles estão Pierre de Fermat era
filho de um comerciante de couro e sua educação inicial foi em casa, ele era
outro gênio da matemática ele fazia uma discussão sobre hipérboles,elipses e
parábolas , Fermat definiu muitas curvas novas analiticamente onde Descarte
sugeriu novas curvas. Assim falamos um pouco sobre alguns matemáticos que
iniciaram o estudo sobre geometria. Agora falaremos sobre os fractais.
Os fractais possuem três particularidades próprias, a primeira e mais
importantes é a da auto-similaridade, ou seja, cada infinita parte que forma o
fractal é semelhante ao todo, são repetições de si próprio usando uma
sequencia matemática. Com isto procurando fazer representações de
pentagonal, hexagonal, e octogonal e também a curva de kcho e o triangulo de
Sierpinski.
Todas as representações serão realizados no software Geogebra juntamente
com a lousa do digital. Vamos conhecer um pouco do que iremos trabalha com
um breve histórico dos fractais e sobre o geogebra e a lousa digital.
Desenvolvida pelo matemático Benoit Mandelbrot, a teoria dos fractais vem
sendo aplicada em diversas áreas do conhecimento e extrapolando as
fronteiras das ciências físico-matemáticas, vai das pesquisas em economia às
ciências da computação, geologia, geofísica, biologia, psicologia, educação,
além de outras. A discussão sobre esta teoria concentra - se, contudo, na sua
apropriação pela antropologia, dada a recorrência de sua utilização nos
estudos do parentesco ameríndio. Tal interesse dialoga com uma pretensão de
maior fôlego que consiste em analisar a categoria “tempo” e suas variantes
“tempo natural” e “tempo humano”, essenciais à ciência da história. Mais
precisamente, a análise da categoria “tempo” parte da preocupação com o
alcance e os limites dos conceitos de “tempo histórico” e “consciência
histórica”, na sua relação com as dimensões do presente, passado e futuro.
Nesse sentido, intenta-se um diálogo entre três diferentes áreas do
conhecimento, com vistas ao enriquecimento do debate a respeito do tempo,
no campo da teoria da história. Acredita-se, por conseguinte, que a
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aproximação entre este campo, a antropologia e a teoria dos fractais permite
avançar em um caminho de reflexão ainda pouco explorado, que diz respeito à
compreensão e análise de uma forma de percepção temporal não contemplada
pelos estudos na área de teoria da história, a saber, o tempo fractal.
Introduzido na década de 1970 pelo matemático Benoit Mandelbrot, o conceito
de fractal fora inicialmente utilizado para descrever padrões de irregularidade e
fragmentação encontrados na natureza, não abordados pela teoria euclidiana.
Segundo Mandelbrot, a incapacidade de descrever formas como a de uma
nuvem, de uma montanha, de uma árvore ou de um litoral devia-se a uma
fragilidade própria à linguagem geométrica, ainda restrita a padrões regulares.
Como dito pelo próprio autor “nuvens não são esferas, montanhas não são
cones, litorais não são círculos [...] e relâmpagos não viajam em uma linha reta”
e, apesar disso, permanecem existindo. (MANDELBROT, 1983: 1).
O QUE É UM FRACTAL PARA OS GRANDRES ESCRITORES?
* Para Mandelbrot “um fractal é, por definição, um conjunto para o qual a
dimensão Hausdorff - Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica”.
* J. Feder (1988) em sua obra complementa que “um fractal é uma forma cujas
partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos”.
* K.J. Falconer sugere em suas obras (1985 e 1990) que um conjunto F é
fractal se, por exemplo:
- “F possui alguma forma de “auto similaridade” ainda que aproximada ou
estatística”;
- “A dimensão fractal, definida de alguma forma, é maior que a sua dimensão
topológica”;
- “O conjunto F pode ser expresso através de um procedimento recursivo ou
iterativo”.
* Para Ralha (2003), fractais são imagens fragmentadas e regulares de formas
geométricas.
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* Para Carvalho(1996), os fractais podem ser denominados como a geometria
da natureza, com sua riqueza de detalhes.
* Para Sallum (2005), o fractal diz respeito às partes de um todo semelhante
que apresenta auto similaridade com o todo.
* Para Serra(1997), fractais são figuras/imagens geométricas que apresentam
certo grau de complexidade que se multiplica em dimensões maiores do que a
visão humana costuma observar em objetos do seu cotidiano.
Os professores da área da Matemática vêm ao longo do tempo na busca de
interpor à Matemática ensinada de forma tradicional, resignificando sua
importância através de tendências, metodologias e ferramentas pedagógicas
diferenciadas. Subsídios estes que proporcionam ao professor condições para
mudar sua prática, no intuito de motivar os alunos para o ensino da
Matemática, visto que sua contribuição científica está em diferentes áreas e em
relevante papel social.
As Diretrizes Curriculares da Educação Básica (2008) reafirmam que a
Educação Matemática é concebida como atividade humana em construção e,
portanto, “Aprende-se matemática não somente por sua beleza ou pela
consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu
conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da
sociedade”. (PARANÁ, 2008, p.48). E também propõem para o Ensino
fundamental e Médio o conteúdo estruturante Geometrias, que se desdobra em
geometria plana, geometria espacial e analítica e geometria não euclidianas.
(PARANÁ, 2008, p.55).
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O QUE SÃO FRACTAIS?
Na realidade para nós os fractais não são tão conhecidos assim então vou falar
um pouco. São formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com
padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área
finita. E que foi constatado por Mandelbrot que todas estas formas e padrões,
possuíam algumas características comuns e que havia uma curiosa e
interessante relação entre estes objetos e aqueles encontrados na natureza.
Um fractal é gerado a partir de uma fórmula matemática, muitas vezes simples,
mas que aplicada de forma iterativa, produz resultados fascinantes e
impressionantes.
A) Triângulo de Sierpinski
Waclaw Sierpinski (1882 – 1969), matemático polonês, foi professor em Lvov e
Wariaw. 1916 ele apresentou um dos famosos monstros em seu trabalho “su
une coube cantorienne qui content une image biunivaoquet et continue de
toutecourbe donnée, Comptes Rendus de I´Academie dês Sciencesnde Paris,
162 (1916) P. 629-632”
A ideia de formação do triângulo de Sierpinski é semelhante à curva de Koch.
Um triângulo equilátero é dividido em quatro triângulos equiláteros iguais. Em
seguida remove-se o triângulo central e na sequencia, repete-se o mesmo
processo para os triângulos.
Albrecht Dürer (1471-1528), matemático, físico, botânico, zoólogo, desenhista e
pintor profissional alemão, nascido na cidade imperial livre de Nuremberg na
Alemanha, introdutor da arte da representação gráfica em três dimensões, é
considerado a figura principal da arte alemã do século XVI.
Segundo Barbosa (2002), Dürer foi o autor de uma construção aproximada do
pentágono regular. Neste trabalho iremos verificar as relações matemáticas
existentes no Fractal Hexagonal, figura de extrema beleza, mas não podemos
deixar de mencionar que há o Fractal pentagonal e octogonal. Explorar o
Fractal tipo Dürer leva o aluno a trabalhar com um polígono regular inicial
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pouco explorado e possibilita ao educador mostrar as relações existentes entre
este polígono e o triângulo equilátero.
B) Fractal pentagonal de Dürer
Outra forma para compor um fractal é estabelecida na formação do fractal
pentagonal de Dürer. Ao construir um pentágono regular, este poderá ser a
base para a construção de outros cinco pentágonos regulares.
C) Fractal hexagonal de Durer
Na construção do Padrão Fractal Hexagonal tipo Dürer primeiramente constróise um hexágono regular. Em seguida, para a feitura dos próximos níveis,
inserimos em cada hexágono gerado no nível anterior, seis hexágonos
regulares menores, com lados iguais a 1/3 do hexágono do nível anterior, de
modo que cada novo hexágono tenha um de seus ângulos coincidentes com os
ângulos do hexágono regular do nível anterior e esses hexágonos menores
tenham um vértice em comum. Além disso, os hexágonos do nível anterior são
retirados e a figura de cada nível é composta somente pelos novos.
D) Fractal octogonal de Durer
O octogonal é um dos fractais mais belos porque sua particularidade reside em
apenas no fato dos dois octogonais menores satisfazem a condição de terem
um lado em comum.
Árvore Pitagórica
Trata-se de uma figura fractal construída a partir da figura representativa do
Teorema de Pitágoras (triângulo retângulo cujos catetos e hipotenusas são
dados pelo terno pitagórico fundamental).
Fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com
padrões complexos que se repetem infinitamente, em escalas cada vez
menores, mesmo limitados a uma área finita.
Construção:
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O primeiro estágio consiste da figura representativa do Teorema de Pitágoras,
constituída por um triângulo retângulo e os três quadrados desenhados sobre
os lados.
No segundo estágio são desenhados dois triângulos retângulos com
hipotenusas coincidentes com os lados dos quadrados menores, em oposição
ao primeiro triângulo. Sobre os catetos destes triângulos retângulos são
desenhados quadrados, e assim temos mais duas figuras representativas do
Teorema de Pitágoras.
No terceiro estágio obtemos mais quatro triângulos, e assim sucessivamente.
A figura da Árvore de Pitágoras nos recorda que a Matemática é às vezes
comparada com uma árvore, com raízes (Fundamentos da Matemática), tronco
(estruturas numéricas e geométricas) e galhos (os principais são a Álgebra, a
Análise e a Geometria).
Será construído as arvores dos triângulos Retângulos Isósceles e Equiláteros.
MÍDIAS TECNOLÓGICAS
Com o avanço das tecnologias da informação e a facilidade de acesso a elas, a
escola precisa se manter ativa nesse processo de desenvolvimento, devendo
fazer uso das mídias, no intuito de diversificar as formas de ensinar,
associando o que o aluno domina em termos de técnicas multimídias, com os
conhecimentos e conteúdos a serem explorados, construídos e internalizados
por ele.
As Diretrizes Curriculares reforçam que “O trabalho com
as mídias tecnológicas insere diversas formas de ensinar
e aprender, e valoriza o processo de produção de
conhecimentos”. (PARANÁ, 2008, p.66). Contribuindo
dessa maneira para a formação de um aluno mais crítico,
capaz de desenvolver suas potencialidades através da
experimentação, de sucessivas tentativas de erro e
acerto, explorando o mundo através da observação, do
espírito investigativo, da criatividade e da intuição. Para
tanto, o Guia do Professor Fractais - Simuladores (2010)
sugere que
............um software inovador seria, então, um instrumento
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capaz de introduzir, na metodologia de ensino,
possibilidades antes inexistentes. Nesse contexto, os
simuladores podem ser vistos como artefatos inovadores
na medida em que eles permitem enxergar o
comportamento de certos processos transformadores (no
nosso caso, matemáticos) ao longo de uma série de
passos repetitivos ou iterações. (PARANÁ, 2010, p.3).
No ensino de geometria, a utilização de software facilita a construção e
visualização das imagens e traz o aluno para o centro do processo educativo.
No caso dos fractais, é um aliado importante porque possibilita a realização de
sucessivas iterações, o que facilita o processo de construção das figuras.
A efetivação do processo ensino-aprendizagem se deve ao fato do professor
dominar a utilização do software, para posterior utilização com os alunos, de
modo
a
enriquecer
as
atividades
propostas
e
proporcionar
um
encaminhamento metodológico satisfatório.
Enfim, para facilitar a prática de construção das primeiras iterações de alguns
fractais famosos será utilizado o software de geometria dinâmica geogebra,
que utiliza a Geometria Euclidiana como base e permite maior interação de
alunos e professores no processo de construção, explorando a visualização de
todas as etapas.
SOFTWARE EDUCACIONAL GEOGEBRA
Em todas as escolas paranaenses foram implantados laboratórios de
informática chamados Laboratórios do Paraná Digital para uso de professores
e alunos. Nestes ambientes os computadores usam o sistema Linux e possui o
software livre geogebra instalado, este programa será utilizado como facilitador
no processo ensino-aprendizagem para a construção de figuras fractais. Mais
não utilizaremos esses software no Paraná Digital todos os professores levará
seu notebook para ser instalado a última versão do geogebra e também será
instalado o software da lousa digital que facilitará a construções do figuras de
fractal.
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Essas construções fractais através do geogebra possibilitam aos professores e
alunos o primeiro contato com a Geometria Fractal de forma simples e prática,
viabilizando a criação das figuras e a visualização de cada etapa da
construção, assimilando os conceitos e as propriedades utilizadas em cada
uma. Durante e após o processo de construção o professor pode explorar os
conteúdos básicos da Geometria Euclidiana e determinar os cálculos referentes
à dimensão, perímetro e área.
Fazendo uma análise do proposto acima, o uso do geogebra para construção
de figuras fractais é relevante, pois, permite que o aluno seja agente de
construção, faça uso de propriedades inerentes à geometria clássica,
relembrando
e
internalizando
conceitos e
interagindo
com
a
figura,
modificando-a e retornando ao objeto inicial quando necessário.
SOFTWARE DA LOUSA DIGITAL:
A lousa digital foi adquiri pelo Governo do Estado do Paraná para auxiliar os
professores da rede publica do estado, já foi realizado treinamento aos
professores do estado, neste projeto será apenas a instalação e o uso do lousa
digital para a criação de vindo à construção do de figuras do fractal. O software
que será utilizado ele poderá ser instalado tanto no Linux como no Windows
para ser
g) ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
Este projeto de intervenção pedagógica busca contribuir de forma significativa
para que, professores de Matemática da rede pública Estadual do Núcleo
Regional de Umuarama aprofundem os conhecimentos sobre Geometria
Fractal, e adquiram habilidades técnicas para construção dos primeiros fractais
famosos e também novos no software educacional geogebra, com projeção na
lousa digital.
Portanto, a intervenção pedagógica a ser realizada no segundo semestre de
2015 será uma oficina pedagógica, realizada no laboratório de informática do
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Colégio Estadual Monteiro Lobato - Ensino Fundamental e Médio e
profissionalizante, com duração de 40 horas, tendo como público alvo
aproximadamente 20 professores da área de Matemática. A tendência
metodológica que fundamentará a prática de modo geral será o uso das mídias
tecnológicas, entre elas a TV multimídia, vídeos e os computadores, com o uso
do software livre geogebra e o software da lousa digital.
As atividades a serem desenvolvidas no decorrer da oficina seguem:
- Apresentar aos professores a origem da Geometria Fractal, seu processo
histórico e geogebra, e a instalação da lousa digital nos computadores a serem
utilizados;
- Relacionar as características que determinam um fractal e sua aplicabilidade
em diversas áreas da ciência, por meio de embasamento teórico;
- Fazer a instalação da lousa digital de geogebra nos computadores que não
estiverem instalados;
- Mostra como fazer a utilização da lousa digital juntos com o software
Geogebra.;
- Utilizar o software educacional Geogebra para construir as primeiras iterações
de alguns fractais famosos;
- Avaliar após o término da oficina a compreensão dos professores e sua
opinião quanto à possibilidade da exploração da Geometria Fractal em sala de
aula com o uso do software geogebra.
h) CRONOGRAMA DAS AÇÕES ATIVIDADES:
DESENVOLVIMENTO EM 2015
PROCEDIMENTOS
JULHO
Divulgação do curso nas
escolas de realização do
curso e também no Núcleo.
x
AGOSTO
SETEMBRO
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Inicio da primeira aula
introdução do que será
X
trabalho durante o curso
Serão mais duas aulas com
exercícios realizado nos
X
X
software do Geogebra.
A ultima aula com
apresentação das
X
atividades realizada.
Referencias:
http://www.snh2011.anpuh.org/resources/anais/14/1300862505_ARQUIVO_TE
XTOCOMPLETO.pdf dia 21/03/2014, 10h45min.
Eves Howard. Ev 28i Introdução a Historia da matemática /Howard Eves;
tradução: Hygino H. Domingues. – Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.
PARANA. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba:
Secretaria de estado da Educação do Paraná 2008. Disponível em <
http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf>a
cesso em 09 jun. 2014.
Silva, Karolina B. R. da Noções de geometria não euclidianas: Hiperbólica,
da superfície esférica e dos fractais / Karolina Barone Ribeiro da Silva. - 1
ed. – Curitiba, PR: CRV, 2011.
BARBOSA, R. Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal - para a sala de
aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.
BARBOSA, R. Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal - para a sala de
aula. – 2 ed. - Belo Horizonte: Autêntica, 2005.