GABARITO
Matemática E – Extensivo – V. 1
Exercícios
05)a20 = 98
01)a)r = 4
b)r = –2
c)r = 3/2
d)r = 7
 a 7 = 20;

a = 38
 10
 a 20 = ?
02)A
3


P.A.  1 , 4 , 7 ,... r =
 2 2 2 
2
3
1
a24 = + (24 – 1) .
2
2
3 1 69 70
1
a24 = + 23 . = +
=
2
2
2 2
2
a24 = 35
P.A. (r – 1, 3r – 1, r – 3)
(r − 1+ r − 3)
3r – 1 =
2
1º termo
3
2º termo
,
a12 = –72 +(12 – 1) . 7
a12 = –72 + 77
a12 = 5
Pela propriedade do termo central,
a1 + a 21
= a11.
2
08)B
Com os elementos da tabela formamos uma PA da
seguinte forma:
,
n >11,28
n =12
07)B
04)390
(0
P.A. (–72, –65, –58, ...)
r=7
an = > 0
an = –72 + (n – 1) . 7
an = 7n – 79
7n – 79 > 0
79
n>
7
6r – 2 = 2r – 4
4r = –2
1
r=–
2
a20 = a10 + 10r
a20 = 38 + 10 . 6
a20 = 98
06)E
03)B
a10 =a7 + 3r
38 = 20 + 3r
18
r=
3
r=6
6
3º termo
,
9
4º termo
,
12 ,
15 . . . )
5º termo
Sendo assim, queremos achar o termo a131, pois
cada linha possui 4 termos. Com isso concluímos
que até a linha 31 temos 32 . 4 = 128 (multiplica-se
por 32, pois conta-se da linha 0 à 31) mais 3 termos
(linha 32 e coluna 2).
Segue:
a1 = 0
r=3
n = 131
a131 = ?
an = a1 + (n – 1)r
a131 = 0 + (131 – 1)3
a131 = 130 . 3
a131 = 390
n = 12
r = 15
a1 = ?
a10 = 595
an = a1 + (n – 1)r
a10 = a1 + (10 – 1)15
595 = a1 + 9 . 15
a1 = 595 – 135
a1 = 460
09)108º
P.A. (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
x – 2r + x – /r + x + x + /r + x + 2r = 540°
5x = 540°
x = 108°
10)Verdadeiro
a1 = –8
a20 = 30
n = 20
r=?
an = a1 + (n – 1)r
30 = –8 + (20 – 1)r
30 + 8 = 19r
38 = 19r
r = 38 ⇒ r = 2
19
Matemática E
1
GABARITO
11)Verdadeiro
P.A. (x – r, x , x + r)
(x + r)2 = (x – r)2 + x2
x2 + 2xr + r2 = x2 – 2xr + r2 + x2
2xr + 2xr – x2 = 0
4xr – x2 = 0
4r – x = 0
x = 4x → (4r – r, 4r, 4r + r) = (3r, 4r, 5r)
a1 = 56
an = 497
r=7
n=?
an = a1 + (n – 1)r
497 = 56 + (n –1) 7
497 – 56 = 7n – 7
441 + 7 = 7n
448 = 7n
n = 448
7
n = 64
3r
4r
12)C
5
1
5
4
y=
⇒y= 4 ⇒y=
8
2
2

1 

Veja que a P.A. x, 1, y, , z poderia ser escrita

4 
como (y – 2r, y – r, y, y + r, y + 2r)
Assim,
x + y + z = y – 2r + y + y + 2r =
5 15
3y = 3 . =
8
8
1+
13)E
a1 = 2





an = an − 1+ 2n, em que n ≥ 2
n=3⇒
a3 = a2 + 6
a3 = 6 + 6
a3 = 12
n=2⇒
a2 = a1 + 4
a2 = 2 + 4
a2 = 6
n=4⇒
a4 = a3 + 8
a4 = 12 + 8
a4 = 20
a1 + a2 +a3 + a4= 2 + 6 + 12 + 20 = 40
/r . 3r = 150
S= 4
/
2
6r2 = 150
r2 = 25
r=5
P.A.(15, 20, 25)
15)C
n=7
 a1 + a 2 = 14

a 6 + a 7 = 54
 a1 + a1 + r = 14

a1 + 5r + a1 + 6r = 54
−2a1 − r = −14

 2a1 + 11r = 54
⇒ 10r = 40
r=4
usando:
2a1 + r = 14
2a1 + 4 = 14
14 − 4
=5
a1 =
2
a1 = 5
a7 = a1 + 6r
a7 = 5 + 6 . 4
a7 = 29
16)a) 100
b)140
14)15, 20 e 25
x–r
x+r
a)Múltiplos de 9: (108,117,...,999)
an = a1 + (n – 1) . r
999 = 108 + (n – 1) . 9
999 = 108 + 9n – 9
9n = 900
n = 100
x
2
5r
Matemática E
2a1 + r = 14 .(−1)

 2a1 + 11r = 54
GABARITO
b)Múltiplos de 15: (105,120,...,990)
990 =105 + (n – 1) . 15
990 = 105 + 15n – 15
15n = 900
n = 60
19)D
Meses: F M A M J
Múltiplos 9 e 15 são os múltiplos de m.m.c(9 . 15) = 45
P.A. (135, 180, 225, 990)
990 = 135 + (n – 1) . 45
990 = 135 + 45n – 45
N = 20
Por tanto, o total de múltiplos de 9 ou 15 será
100 + 60 – 20 =140
S
O
700
1120
a9 – a3 = 420
a9 – 420 = a3
a3 = 1120 – 420
a3 = 700
a3 = 70
a9 = 1120
r=?
n=9
an = ak + (n – k)r
a9 = a3 + (n – 3)r
1120 = 700 + 6r
1120 – 700 = 6r
420 = 6r
r = 460
6
r = 70
6.8
= 24.
2
II. (V) Perímetro = 6 + 8 + 10 = 24.
III.(F) O menor.
I. (V) A =
Logo: a7 = a9 – 2r
a7 = 1120 – 2 . 70
a7 = 1120 – 140
a7 = 980
18)E
a1 = a1 + 0 . r
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r

a50 = a1 + 49r
a51 = a1 + 50r

a98 = a1 + 97r
a99 = a1 + 98r
a100 = a1 + 99r
20)B
Com o número de cartas em cada coluna formamos a
seguinte PA:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
a1 = 1
a7 = 7
n=7
a1 – a100 = a1 – (a1 + 99r) = –99r
a2 – a99 = a1 + r – (a1 + 98r) = –97r
a3 – a98 = a1 + 2r – (a1 + 97r) = – 95r

a50 – a51 = a1 + 49r – (a1 + 50r) = –r
A
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
17)C
J
Logo, (a1 – a100, a2 – a99, a3 – a98, ..., a50 – a51) = (–99r, –97r,
–95r, ..., –r).
Portanto, a sequência é uma progressão aritmética de
razão R = 2r.
Sn = (a1 + an )n
2
S7 = (1+ 7) . 7
2
S7 = 8 . 7
2
S7 = 56
2
S7 = 28
Portanto, o número de cartas no monte é dado por:
52 – 28 = 24 cartas.
Matemática E
3
GABARITO
21)C
 a1 + a 4 = 16 1

a 3 + a 5 = 22 2
24)Fevereiro de 2011.
a1 = 12 000
ra = –600
(x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
1 x – 2r + x + r = 16
2x – r =16
r = 2x – 16
Empresa A
(12 000, 11 400, 10 800,..., an,...)
b1 = 300
rb = 300
Empresa B
(300,00; 600,00; 900,00; 1200,00; 1500,00;..., an...)
2 x + x + 2r = 22
x + x + 2(2x – 16) = 22
2x + 4x – 32 = 22
6x = 22 + 32
6x = 54
x=9
Sendo A = B (Valor doação)
an = bn
12000 + (n – 1) . (–600) = 300 + (n – 1) (300)
12000 – 300 = (n – 1) . (600 + 300)
11700 = (n – 1) . 900
n – 1 = 13
n = 14 meses
r = 2 . 9 – 16 = 2
∴ a1 = x – 2r = 9 – 2 . r = 9 – 2 . 2
a1 = 9 – 4
a1 = 5
22)P.A. (–1, 4, 7, 11)
N=4
a + a 4 = 10 A
 1
 a 2 . a 3 = 21 B
A x – 3r + x + 3r = 10
2x = 10
x = 10
2
x=5
25)E
B (x – r)(x + r) = 21
x2 + xr – xr – r2 = 21
x2 – r2 = 21
52 – r2 = 21
r2 = 4 ⇒ r = 2
(5 – 3 . 5, 5 – 2, 5 + 2,
5 + 3 . 2)
(–1, 3, 7, 11)
23)a)X = 3 – r; Y = 3 + r e Z = 3 + 2r
b)r = 7, X = –4, Y = 10 e Z = 17
(X, 3, Y, Z, 24) razão r
 x = 3 − r

a)y = 3 + r

z = 3 + 2r
b)a5 = a2 + 3r
24 = 3 + 3r
3r = 21
r=7
x = 3 – r = –4
Y = 3 + r = 10 → (–4, 3, 10, 17, 24)
Z = 3 + 2r = 17
4
Como a 1º doação foi feita em janeiro 2010, os valores
dos depósitos vão coincidir em fevereiro de 2011.
Ladrilhos claros:
(1, 2, 3, ...) forma uma PA de a1 = 1 e r = 1.
anc = a1 + (n – 1)r
anc = 1 + (n – 1) . 1
anc = 1 + n – 1
anc = n
Ladrilhos escuros:
(8, 10, 12, ...) forma uma PA de a1 = 8 e r = 2.
ane = 8 + (n –1) 2
ane = 8 – 2n – 2
ane = 6 + 2n
Temos ainda, ane = n + 50.
Devemos ter anc = ane, assim:
n + 50 = 8 + (n –1) 2
n + 50 = 8 + 2n – 2
50 – 8 + 2 = 2n – n
n = 44
Portanto, o número de ladrilhos escuros é:
ane = 44 + 50 = 94.
Matemática E
GABARITO
Como p = p
2n + 1 = n + 99
Logo, n = 98
Então, o total de ladrilhos é dado por:
anc + ane = 94 + 44 = 138
26)D
(2, 9, 16,..., K)
K = 2 + (n – 1)r
K = 2 + (n – 1) . 7
K = 7n – 5 (I)
29)E
(382, 370, 358,...,K )
K = 382 + (n – 1) . (–12)
K = 382 – 12n + 12
K = –12n + 394 (II)
a 2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
R = 2º termo – 1º termo
R = [ a23 – a 22] – [a 22 – a12 ]
De (I) e (II)
7n – 5 = –12n + 394
7n + 12n = 394 + 5
n = 21
R = [(a1 + 2r)2 – (a1 + r)2] – [(a1 + r)2 – a12 ]
R = [(a12 + 4a1r + 4r2 – a12 – 2 a1r – r2] – [a12 + 2a1r + r2 – a12]
R = [a12 + 4a1r + 4r2 – a12 – 2a1r – r2 – a12 – 2a1r – r2 + a12 ]
R = 4r2 – r2 – r2
R = 2r2
Logo, K = 7 . 21 – 5
K = 142
30)780
27)E
a1 = 1995

a 2 = 1996



a9 = 2003

a10 = 2004
razão = 8% aumento é anual.
r = 1,08 x – x = 0,08x
Cálculo 1º termo, em que:
an = a1 + (n – 1)r
a1 = ?
an = 1,08x
1,08x = a1 + (10 – 1) . 0,08x
n = 10
a1 = 1,08x – 0,72x
r = 0,08x
a1 = 0,36x
a10 1, 08x
=3
=
0, 36x
a1
C = (3 – 1) x 100% = 200%
C.resp. =
an = a1 + (n – 1)r
an = 1 + (20 –1) 4
an = 1 + 19 . 4
an = 1 + 76
an = 77
Soma dos 20 primeiros termos:
S20 = (1+ 77) . 20
2
S20 = 78 . 20
2
S20 = 780
31)B
28)A
a1 = 1
r=4
n = 20
100 101 102 103 

,
,
,
,...
 3

5
7
9
Os numeradores e os denominadores estão em P.A.
Como o n-ésimo termo é 1, sabemos que este, o numerador e o denominador são iguais e chamaremos
de p.
(100, 101, 102, 103, ..., p)
an = a1 + (n – 1) . 1
p = 100 + (n – 1) . 1
p = n + 99
(3, 5, 7 ,9, ..., p)
an = a1 + (n – 1) . r
p = 3 + (n – 1) . 2
p = 2n + 1
Parcelas de juros formam uma P.A. de razão – 20.
Assim:a1 = 2000
a100 = 2000 + 99(–20) = 20
Utilizando a soma da P.A., obtemos o total de juros pago:
S = (2000 + 20) . 100 = 101 000
2
32)C
104 é o 1º múltiplo de 8 maior 100.
992 é o maior múltiplo de 8 menor 999.
P.A. (104, 112, ..., 992)
992 = 104 + (n – 1) . 8
992 = 104 + 8n – 8
888 + 8 = 8n
n = 112
Matemática E
5
GABARITO
(
)
Sn = 104 + 992 .112
2
Sn = 61.376
36)B
5n2 − 7n
2
5 .12 − 7 . 1
S1 =
2
−2
= –1
S1 =
2
a1 = –1
Sn = 33)D
P.A. (12,...97)
97 = 12 + (n – 1) . 5
85 = 5n – 5
90 = 5n
n = 18
Sn = (a1 + an ) n
2
S18 = (12 . 97) . 18
2
S18 = 109 . 18
2
S18 = 1962
2
S18 = 981
34)4830
a 3 + a 7 = 100

a 6 + a9 = 250
Logo P.A. (–1, 4,..., a10)
a10 = –1 + (10 – 1) . 5
a10 = –1 + 45
a10 = 44
Assim, a2 + a10
= 4 + 44 = 48
37)E
Sn indica a soma dos n primeiros termos, temos:
S10 = a1 + a2 +...+a9 + a10
S9 = a1 + a2 + ...+ a9
Logo; a10 = s10 – s9 e sendo Sn = 8n2 – 1.
S10 = 8n2 – 1 = 8(10)2 – 1 = 799
S9 = 8n2 – 1 = 8(9)2 – 1 = 647
a10 = S10 – S9 = 799 – 647
a10 = 152
 a1 + 2r + a1 + 6r = 100

a1 + 5r + a1 + 8r = 250
2a1 + 8r = 100 (−1)

2a1 + 13r = 250
−2a1 − 8r = −100

2a1 + 13r = 250 (+)
5r = 150
r = 30
a1 + 2r + a1 + 6r = 100
a1 + 2 . 30 + a1 + 6 . 30 = 100
2a1 = 100 – 240
a1 = –70
a21 = a1 + 20r = –70+ 20 . 30
a21 = 530
(−70 + 530)
a + a 21)
S21 = ( 1
. 21 =
. 21
2
2
S21 = 4830
35)2
38)B
P.A. (1, 2, 3, 4,...) , r = 1
Sn = (a1 + an) . n
a1 = 1
an = n
(1+ n) . n
171 =
n=?
2
Sn = 171
342= n + n2
n2 + n – 342 = 0
n' = 18
n" = −19
39)A
Sn = n2 + 2n
S1 = 1 + 2 = 3 = a1
S2 = 4 + 4 = 8 = a1 + a2
a2 = 5
P.A. (3, 5, 7, 9,...)
r=2
6
5 . 22 − 7 . 2
2
5 . 4 − 14
S2 =
2
20 − 14 6
S2 =
= =3
2
2
a 1 + a2 = 3
a2 = 4
S2 =
11 livros
13 livros
15 livros
Sn =
(a1 + an ) . n
2
(11+ an ) . n
200 =
2
Matemática E
GABARITO
(11 + an) . n = 400
an = 11 + (n – 1) . 2
an = 2n + 9
an = a1 + (n – 1)r
Substituindo em (11 + an) . n = 400
(11 + 2n + 9) . n = 400
2n2 + 20n – 400 = 0 (:2)
n = −20 ou n = 10
n2 + 10n – 200 = 0
não convém

40)D
P.A. ( 20, 24, 28, 32,...)
an = 20 + (n – 1) . 4
an = 4n + 16
(
)
Sn = 20 + 4n + 16 . n = 800
2
(4n + 36) . n = 1600
4n2 + 36n –1600 = 0 (:4)
n2 + 9n – 400 = 0
n' = 16
n" = 25
100
∑ (2k + 5) = 7 + 9 +1 ... + 205 =
k =1
Logo, P = (2 + 100) . 50
2
P = 102 . 25
P = 2550
(7 + 205) . 100
= 10.600
2
Logo, I = (1+ 99) . 50
2
I = 100 . 25
I = 2500
25
Portanto, P – I = 2550 – 2500 = 50
44)B
S10 =
(a1 + a10 ) . 5 10 + 250
.
1
2
26 000 = (550 + a10) . 5 + 250
26000 – 250 = 5a10 + 2750
5a10 = 23 000
a10 = 4600
Pela definição geral:
a10 = a1 + 9r
4600 = 550 + 9r
9r = 4600 – 550
r = 450
43)B
a1 = 2
an = 100
r=2
99 = 1 + (n –1) 2
99 = 1 + 2n – 2
99 = 2n – 1
99 + 1 = 2n
n = 100
2
n = 50
P.A. (–133, –126, –119, –112, ...)
r=7
an = a1 + (n – 1) r = –133 + (n – 1) . 7
an = 7n – 140
(−133 + 7n − 140)
Sn > 0 → Sn = (a1 + an ) n =
.n
2
2
(7n − 273)
.n
Sn =
2
Vamos verificar se existe algum n para o qual Sn = 0.
n = 0
(7n − 273)
. n = 0 → (7n – 237) . n = 0 → 
n = 39
2
Logo, o número mínimo de termos que torna Sn > 0 é
n = 40
(para que seja positivo).
Soma dos números pares (P):
Temos ainda a soma dos números ímpares (I):
an = a1 + (n – 1)r
42)40
25
a1 = 1
r=2
an = 99
P.A. finita com 100 termos.
41)C
100 = 2 + (n –1) 2
100 = 2 + 2n – 2
n = 100
2
n = 50
Logo nº de peças em agosto.
a7 = a1 + 6r
a7 = 550 + 2700
a7 = 3250
Matemática E
7
GABARITO
45)A
P.A. an = a1 + (n + 1)r
Sala Tiradentes:
a1 = 20

r = 4

n = 10
a10= 20 + 9 . 4
a10 = 56
S10 =
(20 + 56).10
2
Sn =
S10 = 380 lugares
Então quero a1 +a2 +a3 +...+a210
Mas que é a210?
an = a1 +(n – 1) . r
a210 = 1 + ( 210 – 1) . 2
a210 = 1 + 209 .2
a210 = 419
a8 = 20 + 7 . 5
a8 = 55
(20 + 55) . 8
S8 =
2
S8 = 300
Logo, a P.A. é (1, 3, 5, 7, 9,...,419)
(a + a n ) . n
Sn = 1
2
(1+ 419) . 210
Sn =
2
Sn = 44 100
Portanto, somente a sala Tiradentes será utilizada.
46)1240
48)1024
Termo médio:
m = n +1
2
m = 31+ 1
2
m = 32
2
m = 16
Assim temos: a1 + an = 2 . 40 = 80
Logo, S31 = (a1 + an )31
2
S31 = 80
a1 = 4
q=2
n=9
an = a1 . qn – 1
a9 = 4 . 29 – 1
a9 = 4 . 28
a9 = 1024
49)A
80 = 10 . q3
q3 = 8
q3 = 23
q=2
40
. 31
2
S31 = 31 . 40
S31 = 1240
50)B
1
4
a2 = 2
2
q= =8
1
4
a20 = a1 . q19
a20 = 1 . 819
4
257
a20 = 2 = 255
2
a1 =
47)A
→ 1 parcela ímpar
13 = 1
23 = 3 + 5
→ 2 parcelas ímpares
33 = 7 + 9 + 11 → 3 parcelas ímpares

203 → 20 parcelas ímpares
8
(a1 + an ) . n
2
(1+ 20) . 20
Sn =
2
21 . 20
Sn =
2
Sn = 210 elementos
Sala Inconfidência
a1 = 20

r = 5

n = 8
Somando a quantidade de elementos
Matemática E
GABARITO
51)B
16875 = q q3
3
q4 = 3 . 16875
q4 = 3 . 33 . 54
q4 = 34 . 54
q = 15
q 15
=
=5
a1 =
3
3
a2 = 75
a3 = 1125
a1 + a2 + a3 = 5 +75 + 1125 =1205
241 . 5 = 1205
P.G. em que an = a1qn – 1, em que an = 512
P.G. (1, 2, 4, 8,..., 512)
a1 = 1
q = 2 → 512 = 1 . 2n – 1 → n – 1 = 9
an = 512 29 = 2n – 1 n = 10
n=?
52)D
an = a1 . qt – 1
4096 . 103 = 1000 . 2t – 1
4096 . 10 3
= 2(t – 1)
1000
⇒ 4096 = 2t – 1
Fatorando 4096 = 2
212 = 2t – 1
t – 1 = 12
t = 13
Isso significa que do a1 = 1000 ao a13 = 4096.103 temos
12 "pulos" de 20 min. Assim, 12 . 20 = 240 min = 4 horas.
12
57)E
53)A
Início: 1024
Daqui a 1 dia: 2048 = a1
Daqui a 2 dias: 4096 = a2
Daqui a 12 dias:
a12 = 2048 . 211 = 211 . 211 = 222
54)195
a1 = 5q
a2 – a1 = 30 → a1 . q – a1 = 30
5q2 – 5q – 30 = 0
q2 – q – 6 = 0
q=
a1 = 5 . 3 = 15
a2 =45
a3 = 135
Logo, 15 + 45 + 135 =195
1 milhão = 106 = a1
1 bilhão = 109 = a2
1 trilhão = 1012 = a3
1 mictilhão = a1000
q =103
a1000 = a1 . q999
a1000 =106 . (103)999
a1000 = 106 . 102997
a1000 = 103003
58)5
(13 + x)2 = (1 + x) (49 + x)
169 + 26x + x 2 = 49 + x + 49x + x 2
120 = 24x → x = 5
59)D
(a5, a6, a7)
(10, a6,16)
a62 = 10 . 16
a6 = 10 .16 = 10 . 42
a6 = 4 10
60)C
PG (x, 8x, 64x)
base
altura
área
55)C
P.G. (x, y, z)
y2 = x . y
(propriedade do termo central)
56)B
q = 3a1 → a1 = q/3
área =
b .h
2
4
x . 8x
2
4x 2 = 64 x
x = 16
64x =
Se: a4 = a1q3
Matemática E
9
GABARITO
61)3
64)A
P.A. (x – r, x, x + r) x – r + x + x + r = 15
3x = 15
x=5
a1(1+ q) = 1
(i)
a1 + a1q = 1
⇒ 
 2
a1q + a1q3 = 9 a1(q2 + q3 ) = 9 (ii)


Fazendo (ii) ÷ (i), temos:
a1 (q 2 +q3 ) 9
=
1
a1 (1+ q)
P.A. ( 5 – r, 5, 5 + r)
P.G. (7 – r , 10 , 18 + r)
102 = (7 – r)(18 + r)
100 = 126 + 7r – 18r – r2
r2 + 11r – 26 = 0
r' = –13 (não convém)
r" = 2
q 2 +q3
=9
1+ q
2
q (1+ q)
1+ q
=9
q2 = 9
q= 9
q=3
P.G (5, 10, 20)
Maior = 20
65)E
62)A
Ano 1 = a1= v
Ano 2 = a2= v – 30% v = 70% v
Ano 3 = a3 = (70%)(70% . v) = (70%)2 . v
63)04

a 4 + a 5 + a 6 = 56
a1q3 + a1q4 + a1q5 = 56

⇒
 5
6
7
a 6 + a 7 + a 8 = 224 

a1q + a1q + a1q = 224
a1q3 (1+ q + q2 ) = 56
(i)
 5
2
(ii)
a1q (1+ q + q ) = 224
Fazendo (ii) ÷ (i), temos:
an = a1 . qn – 1
5−1
a5 = 932 .  −1
 3 
4
a5 = 932 .  −1
 3 
a5 = 932 . 1
81
a5 = 12
a1q5 (1+ q + q2 ) 224
=
a1q3 (1+ q + q2 ) 56
q² = 4
q=2
ou
q = − 2 (não serve, P.G. de termos positivos)
Substituindo q = 2 em (i), teremos:
a1 . 2³(1 + 2 + 2²) = 56
8a1 . 7 = 56
56a1 = 56
56
a1 =
56
a1 = 1
Vigésimo segundo termo da sequência (–51, –44, –37, ...)
a1 = –51
a22 = ?
r = –44 – (–51) = –44 + 51 = 7
n = 22
an = a1 + (n – 1)r
a22 = –51 + (22 – 1)7
a22 = –51 + 21 . 7
a22 = –51 + 147
a22 = 96
Segundo termo da progressão  1 , x, 9, 54

 4
2
(propriedade do termo médio P.G.)
9 = x . 54
81 = x . 54
Portanto a3 = a1 . q² = 1 . 2² = 4
10
Quinto termo da progressão (972, –324, 108, ...)
a1 = 972
q = −324 = − 1
972
3
n=5
an = ?
P.G. (v, 70% v, (70%)2 v,...)
q = 70%
a8 = a1 . q7 = v (70%)7 = (0,7)7 . v
x>0
Matemática E
GABARITO
81
÷9
9
÷3
x=
Portanto, a sequência é dada por:  3 , 12, 96

 2
54
÷9
=
6
÷3
=
68)4095
3
2
a1 = 1
q=2
A sequência é uma progressão geométrica de razão
96 12
r = 8, pois q =
=
=8
3
12
2
12
S12 = 1 . (2 − 1)
2 −1
S12 = 212 – 1
S12 = 4096 – 1
S12 = 4095
69)B
66)B
3
3 + 3
+ ...
+
10 100 1000
a1 = 3
10
an = 1458
2 . qn – 1= 1458
qn – 1 = 729
qn – 1 = 36
3
3 10 = 1
10
S=
=
.
3
1
10 9
1−
10
Se q é primo, então q = 3 e n = 7.
P.G. (2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458)
Logo, a1 + a3 + a5 + a7 = 1640
S=
67)B
70)C
an = a1 . qn – 1
1024 = 1 . qn – 1
1024 = qn – 1
O problema agora consiste em descobrir as formas
de escrever 1024 como potência de um número inteiro
positivo.
1º caso:
a20 = a1 + (20 – 1) . 3
a20 = 2 + 19 . 3
a20 = 59
Sn =
2º caso:
1024 = 210 → (22)5 = 45 → 45 = qn – 1 → q = 4 e n = 6
P.G. (1, 4, 16, 64, 256, 1024)
3º caso:
(a1 + an )
2
(
)
S1 = 2 + 59 .
/
2
.n
10
20 = 610
P.G. (2, 1,..) → q =
1024 = 210 → (25)2 = 322 → 322 = qn – 1 → q = 32 e n = 3
P.G. (1, 32, 1024)
1024 = 10241 → 10241 = qn – 1 → q = 1024 e n = 2
P.G. (1,1024)
Logo, 4 P.Gs.
s1
=?
s2
PA (2, 5, 8,..)
1024 = 210 → 210 = qn – 1 → q = 2 e n = 11
P.G. (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024)
4º caso:
1
3
1
2
2
2
=2.2 =4
=
1
2 −1
1
1−
2
2
S1 610
= 152,50
=
4
S2
S2 =
Matemática E
11
GABARITO
71)D
74)n = 7
S∞ = ?
a q3 − a1 = 21  a1.(q3 − 1) = 21
a 4 − a1 = 21
→  1 2
→ 

a 3 − a1 = 9
a1q − a1 = 9
a1.(q2 − 1) = 9 (:)


Sn =
3 . (2n − 1)
2 −1
381
n
2 –1=
3
Observe:
q3 – 1 = (q – 1) . (q2 + q + 1)
(q − 1).(q2 + q + 1) 7
∴
= → 3q2 + 3q + 3 = 7q + 7
(q − 1).(q + 1)
3
3q2 – 4q – 4 = 0
q' = 2
−2
q" =
3
a1 (23 – 1) = 21
a1 . 7 = 21
a1 = 3
a1 = 3 → P.G. (3, 6, 12,...)
a1 (q8 − 1) 3.(28 − 1)
= 765
=
q −1
2 −1
x x x
x
+ + +
+ ... = 40
2 4 8 16
1
q=
2
a
S= 1
1− q
x
40 =
= 2x
1
1−
2
x = 20
Sequência dos números pares (P.A.)
a1 = 0
r=2
n = 20 (metade do número de termos da sequência
original)
(0 + 38) 20
2
(S20)P.A. = 38 . 10
(S20)P.A. = 380
10
Soma P.G.:
a . (qn − 1)
Sn = 1
q −1
1(320 − 1)
3 −1
(S20)P.G. = 1 743 392 200
S20 =
4.4
=8
2
2.2
Segundo triângulo área =
=2
2
1. 1 1
= , e assim sucessivaTerceiro triângulo área =
2
2
mente.
1
PG com =
4
a
8
8
4 32
Soma = 1 =
= =8. =
3
3
1− q 1− 1 3
4
4
12
A sequência (0, 1, 2, 3, 4, 9, 6, 27, 8, ...) pode sere
separada da seguinte forma:
(0, 2, 4, 6, 8, ...)  sequência dos números pares (P.A.)
(1, 3, 9, 27, ...)  Progresão geométrica de razão q = 3
(S20)P.A. =
73)A
Segue
(a + a n ) . n
Sn = 1
2
x+
Primeiro triângulo área =
75)B
an = a1 + (n – 1)r
a20 = 0 + (20 – 1)2
a20 = 19 . 2
a20 = 38
72)C
2n – 1 = 127
2n = 127 + 1
2n = 128
2n = 27
n = 7 anos
a1 . (qn − 1)
q −1
381 =
q3 − 1 7
=
q2 − 1 3
S8 =
P.G. = { 3, 6, 12, ...}
Portanto,
(S20)P.A. + (S20)P.G. = 380 + 1 743 392 200 = 1 743 392 580
Matemática E
GABARITO
76)A
5 ! 120 40
=
=
27
27
9
6 ! 720 80
=
a4 =
=
9
81
81
08.Correto.
x
a1
2
⇒
⇒ 50 =
S∞ =
1− q
1
2
a3 =
Vamos calcular a soma de um lado dos triângulos:
a1 = 1
q= 2
3
a1
1− q
S∞ = 1
2
1−
3
S∞ =
1−
S∞ = 1 = 3
1
3
x
2
50 =
1
2
⇒ x = 50
80)x = 3
Como os triângulos são equiláteros, temos que o perímetro é dado por: 2p = 3 . 3 = 9.
77)3/2 cm2
Área 1 (quadrado inicial) →12 =1
2
 1
1 1
Área 2 (3 novos quadrados) → 3.   = 3. =
 3 
9 3
x
x
3a
x
+ + + ... =
a a2 a3
a −1
x
x
a
S∞ =
=
=x.
1 a −1
a
−1
1−
a
a
/
/
xa
3a
=
a −1 a −1
x=3
x+
2
 1
1
1
Área 3 (9 novos quadrados) → 9 .   = 9 .
=
9
81 9
1
P.G. com q =
3
1
1
3
= cm2
S∞ =
=
1 2
2
1−
3
3
81)A
Bn
78)B
S∞ =
a1
x
⇒ 2 – 2x = x
⇒2=
1− q
1− x
2
x=
3
79)14
01. Incorreto.
É uma P.A. com r = 2.
02.Correto. (1, 2, 5, 7,...)
a1000 = 1 + 999 . 2 = 1999
04.Correto.
(n + 2)!
an =
3n
3
!
6
a1 =
= =2
3 3
4 ! 24 8
a2 =
=
=
3
9
9
B
A
Temos AB = 2 (diagonal do quadrado)
BBn = BB1 + B1B2 + B2B3 + ... Bn−1Bn
3
Soma P.G. infinita razão q =
4
1
1
1
=4
BBn =
=
=
3
4−3
1
1−
4
4
4
2
(ABn ) = (AB)2 + (BBn )2
2
(ABn ) = ( 2 )2 + (4)2 =
2
(ABn ) = 18
ABn = 18
ABn = 3 2
Matemática E
13
GABARITO
82)D
84)C
Si = 81
Sp = 27
27 + 81 =
a1
1−
a1 + a3 + a5 + a7 +... = 81
a2 + a4 + a6 + a8 +... = 27
a1q + a3q + a5q + a7q +... = 27
q(a1 + a3 + a5 + a7 + ...) = 27
q . 81 = 27
1
q=
3
1
3
A bola percorre 4 metros até bater pela 1ª vez no chão,
então ela sobe 60% de 4 m.

Sobe: 60% de 4 = 2,4 m} a1 = 4,8




Desce: 2,4 m




 P.G. com q = 0,6


Sobe: 60% de 2,4 = 1,44 m







Desce: 1,44 m





3
a1 . = 108
2
3 . a1 = 216
a1 = 72
a1
4.8
4.8
= 12 metros
=
=
1− q 1− 0, 6 0, 4
Não esquecendo que ela desce 4 metros no início,
temos:
12 + 4 = 16
S=
83)(2 + 2) . R
7
19693
b)24,5
85)a) –
R
diagonal 2
=
2
2
2R
2R 2
=
→=
=R 2
2
2
R 2
1º raio = R
2º raio = =
2
2
R
2
P.G (R,
, ...)
2
2
q=
2
R
R
S∞ =
=
(2 − 2 )
2
1−
2
2
R. 2
2+ 2
S∞ =
.
2− 2 2 + 2
R=

−7 7 
Considere 28; − 21; 14; − 7, 7;
; ;...

3 2 
7
a1 = 28; a3 = 14; a5 = 7; a7 = → posições ímpares P.G.
2
1
com q = .
2
−7
a2 = –21; a4 = –7; a6 =
→ posições pares P.G com
3
1
q= .
3
a)o 20º termo será o a10 da P.G. (–21, –7, –7/3,...)
9
 
a10 = –21 .  1 
 3 
a10 = –21 . 1
19693
−7
a10 =
6561

7
b)S∞ = (28 + 14 + 7 ...) – 21+ 7 + 

3
S∞ = 2R(2 + 2 )
4−2
/R(2 + 2 )
2
S∞ =
/
2
28
21
28 21
3
= 28 . 2 – 21 .
−
=
−
1
1
1
2
2
1−
1−
2
3
2
3
63 49
S∞ = 56 –
=
2
2
S∞ = 24,5
S∞ =
S∞ = R(2 + 2)
14
Matemática E
GABARITO
S10 = 29 . 5
S10 = 145
86)B
P.G. dos numeradores
an = a1qn – 1
an = 1 . 215 – 1
an = 214 = 16384
Segue, 10x + 145 = 155
10x = 155 – 145
10 x = 10
x=1
04.Correta.
a1 = 2
O 15º denominador vale 16.
Considerando a 15ª fração,
87)a)
32
16384
= 1024
16
2
b)2
a)E =
2 =
1
2
1
4
1
8
32
1
16
2
1 1 1 1
+ + +
4 8 16
01. Correta.
a1 = 56
an = 497
r=7
an = a1 + (n – 1)r
497 = 56 + (n –1) 7
497 = 56 + 7n – 7
497 – 56 + 7 = 7n
448 = 7n
n = 448
7
n = 64
02.Correta.
(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) +...+ (x + 28) = 155
(x
+x+
x + ... + x) + (1
+ 4 + 7+
... + 28 = 155
1
S∞ = 3
1
3
S∞ = 1
89)05
10 parcelas
Vamos calcular a soma S10 = 1 + 4 + 7 +...+ 28.
S10 = 29 . 10
2
2 . ( 2 )7
a8 = 24
a8 = 16
08.Correta.
1
a1 =
3
2
q=
3
S∞ = a1
1− q
1
3
S∞ =
2
1−
3
88)15
Sn = (a1 + an )n
2
S10 = (1+ 28)10
2
n=8
2
a8 = ( 2 )8
1
1
1
1
Como +
+
+ ... =
= 2 = 1, temos:
1
1
4
2
8
1−
2
2
E = 21 = 2
a1 = 1
an = 28
n = 10
a8 =
...
1
2
q=
an = a1 . qn – 1
a8 = 2 . ( 2 )8 – 1
b)E = 2 . 2 . 2 . 2 ... = 2 2
10 parcelas
01. Correta.
Considere a sequência (3, 5, 7, ..., x)
Temos que:
a1 = 3
r=2
an = x
an = a1 + (n – 1)r
x = 3 + (n –1) 2
x = 3 + 2n – 1
x = 2n + 1
5
Matemática E
15
GABARITO
Temos ainda:
Sn = (a1 + a n )n
2
Sn = (3 + x )n = 440
2
(3 + x )n
= 440
2
(3 + x)n = 440 . 2
(3 + x)n = 880
Substituindo (I) em (II), temos:
(3 + 2n + 1)n = 880
(2 n +4) n = 880
2n2 + 4n = 880 (÷2)
n2 + 2n – 440 = 0
Resolvendo a equação, teremos:
n' = 20
n" = −22 (não convém, pois não existe número
de termos negativos.)
Substituindo n' = 20 em (I), temos:
x = 2 . 20 + 1
x = 40 + 1
x = 41
Assim,
a1 = 3
a20 = 41
n = 20
S20 = (3 + 41) 20
2
S20 = 44 . 10
S20 = 440
10
Solução alternativa:
Suponha que a alternativa seja verdadeira, então
41 deve satisfazer a equação:
3 + 5 + 7 + ... + x = 440
Considere a sequência (3, 5, 7,..., x)
a1 = 3
r=2
an = 41
an = a1 + (n – 1)r
16
A soma 1 + 5 + 7 + ... + 41 é dada por:
S20 = 44 . 20
2
S20 = 44 . 10
S20 = 440
02.Incorreta.
a1 = 1
2
q= 1
2
an = 1
64
n=6
10
n
Sn = a1(q − 1)
q −1
6


1  1 
  − 1


S6 = 2  6 

1
−1
2

1  1
.
− 1
S6 = 2  64 
−1
2
S20 = (3 + 41)20
2
x = 2n + 1
(I)
Segue: 
(3 + x )n = 880 (II)
41 = 2n + 1
2n = 41 – 1
2n = 40
n = 40
2
n = 20
41 = 3 + (n –1) 2
41 = 3 + 2n – 2
Matemática E
S6 = 1 .  1 − 1 . (− 2 )
2  64 
S6 = –  1 − 1
 64 
S6 = – − 63 
 64 
S6 = 63
64
04.Correta.
(I)
a 3 = 15 a 3 = 15


⇒


a 6 = 5
a 6 = a 3 . q3 = 5 (II)


9
9
Substituindo (I) em (II), temos:
15 . q3 = 5
9
GABARITO
q3 =
q3 =
q3 =
q3 =
q3 =
90)C
5
15 . 9
1
3.9
1
27
1
3
27
1
3
L2
2
2
 L 
 
L2
 2 
A1 =
=
(um triângulo retirado)
2
8
2
L  1
3L2
A2 =   . . 3 =
(três triângulos retirados)
4 2
32
A=
PG com q =
Substituindo q em (I), temos:
31 L2
.
32 2
n

L2  3 
.   − 1
2

8  4
 > 31 . L
3
32 2
−1
4
 3 n 
  − 1
2
 31L2
L  4 
>
.
1
/
64
8
−
/
4
 3 n  31L2
(. –1)
−L2   − 1 >
32
 4 

n
 3 
  –1 < – 31
 4 
32
Sn >
2
a1  1  = 15
 3 
a1 1 = 15
9
a1 = 15 . 9
a1 = 135
08.Incorreta.
Na sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...)
an = 4 + (n –1) 3
an = 4 + 3n − 3
an = 1 + 3n
an = 1 + 3 . 50
an = 151
Na sequência (5, 10, 15, ...)
an = 5 + (50 – 1) . 5
an = 5 + 49 . 5
an = 5 + 245
an = 250
an = a1 + (n – 1)r
n
 3 
  < – 31 + 1
 4 
32
n
 3 
1
  <
 4 
32
Queremos saber quantos múltiplos de 5 existem
entre 4 e 151.
a1 = 5
an = 150
r=5
150 = 5 + (n –1) 5
150 = 5 + 5n – 5
150 = 5n
n = 150
5
n = 30
3
4
3
12
Como 1010 = 2 e 10 25 = 3, temos
n
 3 
  < 1
 4 
32
n
 3 
  < 1
 4 
25
n
 12 
10 25 
1
 < 15

 6 
 1010  1010
(10 ) < 10
(10 ) < 10
(10 ) < 10
12
6
−
25 10
24 − 30
50
−6
50
Matemática E
n
n
n
−15
10
−15
10
−15
10
17
GABARITO
93)15
−6n −15
<
50
10
–6n < –75
6n > 75
n > 75
6
n > 12,5
⇒
01. Correta.
a1 = –8
a20 = 30
n = 20
r=?
Portanto, n = 13
91)Cada vez que o processo é realizado, cada quadrado
existente é dividido em nove partes, das quais uma é
retirada, restando oito novos quadrados. Assim, de cada
quadrado surgem 8 mais.
O número de quadrados restantes após a 1º, 2º, ...
n-ésima aplicação do processo são termos da
P.G. (8, 64, 512, ..., 8n,...), cujo n-ésimo termo é 8n.
As áreas dos quadrados removidos cada vez que o
processo é aplicado são termos da P.G.
1

1
1
8

 ; 8. ; 64.
;... com razão .
9
81
729 
9
A soma das áreas dos infinitos quadrados retirados é:
1
1
9 =9
1 =1
1− 8
9
9
Restarão 8n quadrados e a soma das áreas dos infinitos
quadrados retirados é 1.
92)D
an = a1 + (n – 1)r
41 = 5 + (n –1) 3
41 = 5 + 3n – 3
41 = 2 + 3n
41 – 2 = 3n
n = 39
3
n = 13
Segue, Sn = (a1 + an )n
2
S13 = (5 + 41) . 13
2
S13 = 46 . 13
2
S13 = 299
04.Correta.
a1 q2 = 3 (I)
a 3 = 3


Temos que: 
⇒
a 7 = 3
a q6 = 3 (II)

16  1
16
Fazendo (II) ÷ (I), obtemos:
3
a1 q6 16
=
3
a1 q2
Observe a seguinte tabela:
Ano
Desvalorização em R$
2001
25000
2002
23500
2003
22000
2004
20500
2005
19000
Os valores formam a seguinte sequência:
(25000, 23500, 22000, 20500, 19000)
q6
3 1
=
.
2
16
3
q
q4 = 1
16
q= 4 1 =1
16 2
Portanto, S5 = (25000 + 19000)5
2
S5 = 44000 . 5
2
S5 = 110000
18
an = a1 + (n – 1)r
30 = –8 + (20 – 1)r
30 + 8 = 19r
38 = 19r
r = 38
19
r=2
02.Correta.
P.A. (5, 8, ..., 41)
a1 = 5
an = 41
r=3
Matemática E
GABARITO
ou
95)1/3
q = − 4 1 = − 1 (não é válido, pois não satisfaz as
16
2
hipóteses.)
Assim: an = a1 . qn – 1
7−1
3 = a1 .  1
 
 2
16
6
 1
 
 2 
1
64
a1 = 64 4 . 3
16
a1 = 4 . 3
a1 = 12
08.Correta.
a1 = 5
r= 1
2
3 = a1 .
16
3 = a1 .
16
a1
1− q
S∞ = 5
1
1−
2
S∞ =
Δ = b2 – 4ac
Δ = (–4)2 – 4 . 3 . 1
Δ = 16 – 12
Δ=4
q = −b ± ∆
2a
−
(
−
4) ± 4
q=
2.3

q ’ = 4 + 2 = 6 = 1

6
6
4
±
2
(não serve, caso con= 
q=

2 1
6
q " = =
6 3

trário x = y)
Logo, q = 1
3
96)C
2
,
dia 2
3
dia 3
,
4
, . . .,
30 )
dia 30
Riquinho receberá a quantia dada pela soma da sequência:
a1 = 1
an = 30
n = 30
Sn = (a1 + an )n
2
S30 = (1+ 30) 30
2
S30 = 31 . 15
S30 = 465
94)R$165,00
dia 1
Vamos resolver a equação acima:
a=3
b = –4
c=1
S∞ = 5 . 2
S∞ = 10
,
5
S∞ =
1
2
(1
P.G. (x, xq, xq2)
P.A. (x, 2xq, 3xq2)
x + 3xq2 = 2xq (propriedade de P.A.)
2
x + 3xq2 = 2 . 2xq
x(1 + 3q2) = 4xq (x ≠ 0)
1 + 3q2 = 4q
3q2 – 4q + 1 = 0
Progressão aritmética formada pelos diâmetros das
circunferências na ordem menor para a maior.
P.A. (40, 42, 44, ..., 300)
r = 42 – 40 = 2
97)(6, 12, 18)
Seja P.A. (x – r, x, x + r)
Soma dos termos:
x – r + x + x + r = 36
3x = 36
36
x=
3
x = 12
Logo, a P.A. é da forma: P.A. (12 – r, 12, 12 + r).
15
O valor que Riquinho receberá a mais do que receberia
é: 465 – 300 = 165 reais.
Matemática E
19
GABARITO
Segue, P.G. (12 – r, 12, 12 + r + 6)
P.G. (12 – r, 12, 18 + r)
S2 = (b, c, 2c – 1)
b + 2c − 1 = c (propriedade de P.A.)
2
b + 2c – 1 = 2c
b–1=0
b=1
(II)
122 = (12 – r) ( 18 + r ) (propriedade de P.G.)
144 = 216 + 12r + 18r – r2
–r2 – 6r + 216 – 144 = 0
–r2 – 6r + 72 = 0
S3 = (4b, a – c, –2c)
4b − 2c
=a–c
2
4b – 2c = 2a – 2c
Resolvendo a equação, obtemos:
r' = 6
r " = −12 (não serve, P.A. crescente)
2
Logo, os números são (6, 12, 18).
98)D
O comprimento dos segmentos sequenciam-se segundo uma P.G. de razão p e a1 = AO = 1 (tomando os
segmentos a partir do ponto A).
P.G. (1, p2, p3, p4, ..., p15)
A posição horizontal (abscissas) do segmento B, há
que se considerar apenas os segmentos horizontais
(ordem par).
S = 1 – p2 + p4 – p6 + p8 – p10 + p12 – p14
Sendo a expressão acima uma P.G. com número finitos
de termos, vem:
a1 = 1
q = –p2
n=8
16
S8 = 1− p
p2 + 1
99)E
S1 = (2c, a, 7a)
7a + 2c = a (propriedade de P.A.)
2
7a + 2c = 2a
2c = 2a – 7a
2c = –5a
(I)
20
Substituindo (II) em (III), temos:
21 = a ⇒ a = 2 (IV)
2c = –5 . 2
c = –5
(III)
Logo, as sequências são:
S1 = (–10, 2, 14)
S2 = (1, –5, –11)
S3 = (4, 7, 10)
Portanto, as razões são dadas respectivamente:
r1 = 12
r2 = –6
r3 = 3
2 8
S8 = 1 . [(−p2 ) − 1]
−p − 1
16
S8 = p − 1 (multiplicando em cima e embaixo por –1)
−p2 − 1
2b = a
Assim, a sequência S = (12, –6, 3) é uma progressão
geométrica de razão q = – 1 .
2
100)A
n
Sn = a1(q − 1)
q −1
1
4 b= 2 a
Seja P.A. (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r).
Temos que P.G. (0,5, 0,25, 0,125)
q = 0,5
a1 = 0,5
a1
1− q
S∞ = 0, 5
1− 0, 5
S∞ = 0, 5
0, 5
S∞ = 1
S∞ =
Segue,
P.A. (1 − 2r, 1 − r, 1, 1+ r, 1 + 2r)
a1 = 1 − 2r
Matemática E
an = 1 + 2r
n= 5
GABARITO
Segue, P.A (1, 2, 3)
P.G.  1 , 1, 2

 2
Sn = (a1 + an )n
2
(1− 2r + 1+ 2r )5
S5 =
2
2 .5
S5 =
2
S5 = 5
01. Incorreto.
P.A. de razão r = 1
02.Correto.
q= 2 =2
1
04.Incorreto.
x+y=1+2=3
08.Incorreto.
x 1 1
= ≠
y 2 5
16.Correto.
Calculado no início da questão.
101)C
Seja x a idade do filho mais novo. Colocando as idades
dos filhos em ordem crescente, teremos:
(x, x + 2, x + 4, 2(x + 4), 4(x + 4))
Como a idade do mais velho é dada pela soma das
idades dos demais, então temos:
x + x + 2 + x + 4 + 2(x + 4) = 4 (x + 4)
5x + 14 = 4x + 16
5x – 4x = 16 – 14
x=2
Logo, as idades dos filhos são: (2, 4, 6, 12, 24).
Portanto, a diferença entre as idades do mais novo e
do mais velho é: 24 – 2 = 22 anos.
Primeiramente vamos achar o valor de x e y.
Da P.A. (x, y, x + y), temos:
2x + y = y (propriedeade de P.A.)
2
2x + y = 2y
2x = 2y – y
2x = y

x
Da P.G.  , x, y , temos:

y
x2 =

 q=3
x

Seja P.G.  x , x, xq 
→ P.G. , x, 3x 
 q
 3


Subtraindo 8 no terceiro número, temos:
P.A.  x , x, 3x − 8

 3
x
+ 3x − 8
= x (propriedade de P.A.)
3
2
x + 9x − 24
=x
3
2
10x − 24 = 2x
3
10x – 24 = 6x
10x – 6x = 24
4x = 24
x = 24
4
x=6
102)18
103)B
x
. y (propriedade de P.G.)
y
Temos que: P.A. (2, 6, 10)
Logo, S3 = 2 + 6 + 10
S3 = 18
x2 = x
x2 – x = 0
x(x – 1) = 0
x = 0 ou x = 1
104)E
Suponha x = 0, então y = 0 (2x = y). Absurdo, pois
y ≠ 0.
Portanto, x = 1
Soma da P.G.
n
Sn = a1(q − 1)
q −1
(S4 )P.G. =
Matemática E
a1(34 − 1) 80 a1
=
= 60
3 −1
2
21
GABARITO
40a1 = 60
a1 =
60
6
3
= ÷2 =
2
40
4
z2 = w
Soma da P.A.
(S4)P.A. = (a1 + an )n
2
(
a
+
(S4)P.A. = 1 a 4 ) 4 = (a1 + a4)2 = 60
2
Como (a1)P.G. = (a1)P.A. = 3 e a4 = a1 + 3r, temos:
2
(a1 + a4)2 = 60
(a1 + a1 + 3r)2 = 60
(2a1 + 3r)2 = 60


 2 . 3 + 3r  2 = 60



2
3 + 3r = 60
2
3 + 3r = 30
3r = 30 – 3
3r = 27
r = 27
3
r=9
9 = z . z2
9 = z3
z= 39
z
=z
1
Portanto, q = 3 9 .
Note que: q =
106)C
P.A. (a1, a2, a3, a4) ⇒ P.A.  7 , a , a , 7 + 3r 

 4 2 3 4
Como a4 = a5 = 4, temos:
7 + 3r = 4
4
3r = 4 – 7
4
3r = 16 − 7
4
3r = 9
7
3
Considere o sistema formado pelas equações:
2x − y = 1 (I)

−x + y = 2 (II)
Somando (II) e (I), temos:
2x – x = 1 + 2
x=3
Substituindo x = 3 em (II):
–3 + y = 2
y=2+3
y=5
Substituindo x = 3 e y = 5 em 1 + x + y = zw:
1 + 3 + 5 = zw
9 = zw
(IV)
22
Seja P.A. (1, x, y)
y +1 = x
2
y + 1 = 2x
2x – y = 1
Substituindo (VI) em (IV), temos:
105)A
(VI) (propriedade de P.G.)
Agora considere a P.G. (1, z, w).
÷2
9
7. 3
r= 3
7
r=
Temos ainda:
Como a1 + a7 = a5 e a5 = 4, temos:
7 + a7 = 4
4
a7 = 4 – 7
4
a7 = 9
4
Segue, a 26 = a5 . a7 (propriedade de P.G.)
9
a 26 = 4 .
4
a 26 = 9
a6 =
9 (a1 > 0, r > 0, então a6 > 0)
a6 = 3
Matemática E
Daí, q = a 6 = 3
a5 4
Portanto, r = q.
GABARITO
107)C
a14 = ± 1296
a14 = ±36
Δ = (2b)2 – 4ac = 0
4 b2 – 4 ac = 0
b2 – ac = 0
b2 = ac
Logo, a, b e c satifazem a propriedade de P.G. e
formam uma progressão geométrica.
108)30
01. Incorreta.
Note que a P.A. é decrescente de razão r < –1, pois
a13 < a15. Logo existe algum elemento negativo.
02.Correta.
Vamos verificar se é P.A.
Devemos ter: a14 – a13 = a15 – a14 (para que a sequência seja uma P.A.)
a14 – a13 = 30 – 72 = –42
a15 – a14 = 18 – 30 = –12
Logo, a14 – a13 ≠ a15 – a14
Portanto, não é P.A.
Vamos verificar se é uma P.G.
Devemos ter a15 = a14 (para que a sequência seja
a14 a13
P.G.)
a15 18 = 0,6
=
a14 30
a14 30 = 0,41
=
a13 72
Logo, a15 ≠ 18
a14 30
Portanto, não é P.G.
04.Correta.
n = 15
a1 = 396
an = 18
Sn = (a1 + an )n
2
S15 = (396 + 18)15
2
414
.
15
S15 =
2
S15 = 207 . 15
S15 = 3105
08.Correta.
(a14)2 = 72 . 18
(a14)2 = 1296
q = a15 = 18 = ± 3 = ± 1
6
2
a14 ±36
a121 = a120 . q
a121 = a120 . ± 1
 2 
a121 = ± a120 . 1
2
a121 = ± a120
2
16.Correta.
Para n = 12, temos:
a
30
a12 + 1 = 12 +
3
4
a
30
12
a13 =
+
3
4
72 – 30 = a12
4
3
a
288
−
30
= 12
4
3
3 . 258 = a12
4
774
4
÷2
÷2
= a12
a12 = 387
2
109)D
Vamos calcular a5 (quinto termo) da P.A.
a1 = 6
r=6
n=5
an = a1 + (n – 1)r
a5 = 6 + (5 – 1) . 6
a5 = 6 + 4 . 6
a5 = 6 + 24
a5 = 30
Vamos calcular a5 (quinto termo) da P.G.
a1 = 6
q=2
n=5
an = a1qn– 1
a5 = 6 . 25 – 1
a5 = 6 . 24
a5 = 6 . 16
a5 = 96
Matemática E
23
GABARITO
110)D
1 = – (a3)2 + 3a3 + 7a3 – 21
– (a3)2 + 10a3 – 22 = 0 (multiplicando em ambos os
lados da igualdade por –1)
(a3)3 – 10a3 – 22 = 0
P.A. (x, m, 26x)
26x + x = m (propriedade de P.A.)
2
27x = 2m (I)
P.G. (x, n, 9x)
n2 = 9x2 (propriedade de P.A.)
n = 9x 2 (n ∈ N)
9 . x 2 (x > 0)
n=
n=3.x
x= n
3
(II)
Resolvendo a equação acima:
a=1
b = –10
c = 22
Δ = b2 – 4ac
Δ = (–10)2 – 4 . 1 . 22
Δ = 100 – 88
Δ = 12
2
a3 = b ± ∆
2a
−(−10) ± 12
a3 =
2 .1
Substituindo (II) em (I):
n = 2m
27 .
3
9n = 2m
n = 2m
(III)
9
a3 = 10 ± 2 3
2
a3 = 5 ±
3
Vamos atribuir valor qualquer de dois algarismos a m.
Seja m = 81 (note que m foi escolhido de maneira que
seja divisível por 9 com intenção de facilitar as contas).
Subtraindo (III) em (II), temos:
x = 18
3
x=6
Logo, P.A. (6, 81, 156)
P.G. (6, 18, 54)
Soma dos 6 termos é dada por:
6 + 81 + 156 + 6 + 18 + 54 = 321
a1 = 4 – 5 + 3
111) 3 –
Logo, a3 = 5 + 3 ou a3 = 5 – 3 .
Substituindo a3 = 5 + 3 em (I), temos:
a1 = 4 – (5 + 3 )
a1 = 4 – 5 – 3
a1 = –1 – 3 (não serve, pois a1 < 0)
a1 = –1 + 3 > 0 (serve)
3
a2 = 2
P.A. (a1, a2, a3) 
→ P.A. (a1, 2, a3)
a2 = 2
P.G. (a1 + 3, a2 – 3, a3 – 3) 
→ P.G. (a1 + 3, –1, a3 – 3)
Considere o seguinte sistema:
a1 + a 3 = 4
(Pr opriedade de P.A.)

1 = (a1 + 3)(a 3 − 3) (Pr opriedade de P.G.))
Segue, P.A. (–1 + 3 , 2, 5 – 3 )
Fazendo, r = a2 – a1
r = 2 – (–1 + 3)
r=2+1– 3
r=3– 3
112)C
a1 = 4 − a 3
(I)

1 = (a1 + 3)(a 3 − 3) (II)
Substituindo (I) em (II), teremos:
1 = (4 – a3 + 3) . (a3 – 3)
1 = (– a + 7) ( a – 3 )
3
3
24
Substituindo a3 = 5 – 3 em (I), temos:
a1 = 4 – (5 – 3 )
Seja P.A. (x – r, x, x + r) de termos positivos.
Soma da P.A.
x–r +x+x+r =3
3x = 30
x = 30
3
x = 10
Matemática E
GABARITO
Logo, P.A. (10 – r, 10, 10 + r)
Temos ainda:
P.G. (10 – r + 4, 10 + (–4), 10 + r + (–9)) =
P.G. (14 – r, 6, 1 + r)
62 = (14 – r) ( 1 + r ) (propriedade de P.G.)
36 = 14 + 14r – r – r2
36 = 14 + 13r – r2
r2 – 13r + 36 – 14 = 0
r2 – 13r + 22 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
r' = 13
r" = 2
Assim, para r = 13 temos P.A (–3, 10, 23). (não serve,
pois os termos devem ser positivos.)
Para r = 2 temos P.A. (8, 10, 22). Portanto, um dos
termos da P.A. é 12.
113)1300
Seja x o número de bactérias no início da pesquisa:
1ª semana: 0,8x
2ª semana: 0,8 . 1,1x = 0,88x
3ª semana: 0,88x + 12

15ª semana: 0,88x + 13 . 12 = 0,88x + 156
Como o número de bactérias no fim da 15a semana é
igual ao inicial, temos:
0,88x + 156 = x
156 = x – 0,88x
156 = 0,12x
156
x=
0,12
x = 1300 bactérias
Matemática E
25