Atividade 5: Montando Mosaicos
Resumo da atividade:
Esta atividade discute o recobrimento de um plano, utilizando apenas um dos
polígonos regulares estudados. Para isso, é apresentada uma situação-problema ao
educando, para que ele manipule empiricamente os diferentes polígonos, de maneira a
construir a relação necessária ao recobrir um plano - entre ângulo interno de um polígono
e o ponto de encaixe entre eles - utilizando apenas um tipo de polígono.
Dessa maneira, o educando concluirá que apenas três polígonos regulares triângulo, quadrado e hexágono – se prestam para a pavimentação de uma superfície.
Número de aulas previstas, distribuídas conforme se segue:
-
Esta atividade deve ser desenvolvida em laboratório de informática, com o uso do
computador;
Sugerimos que seja destinada uma hora/aula de 45 minutos para sua realização.
Nesta atividade, o aluno deverá ser capaz de:
Construir mosaicos e ladrilhos utilizando apenas um tipo de polígono;
Aplicar os conceitos de mosaico, composição e decomposição de figuras;
Construir a relação entre ângulo interno de um polígono e o ponto de encaixe entre
eles na pavimentação de uma superfície, utilizando apenas um tipo de polígono;
Verificar que apenas três polígonos regulares – triângulo, quadrado, hexágono podem pavimentar uma superfície;
Competências e habilidades que se pretende desenvolver:
Identificar e reconhecer no processo de construção de mosaicos que existe uma
relação entre ângulos;
Ser capaz de construir diferentes mosaicos utilizando apenas um tipo de polígono,
numa combinação de cores, de forma a reconhecer a composição de outros
polígonos;
Perceber a necessidade de composição e decomposição de figuras na pavimentação
de uma superfície, reconhecendo suas aplicações em objetos do dia-a-dia.
Conceitos envolvidos:
-
Polígonos regulares e ângulos;
Composição e decomposição de figuras;
Mosaicos.
Pré-requisitos de conhecimentos:
Para que o educando alcance os objetivos propostos, esperam-se os seguintes
conhecimentos prévios:
- Identificar e reconhecer polígonos regulares e seus elementos;
-
Construir mosaicos;
Descrição da tela:
Esta tela oportuniza ao educando trabalhar de forma empírica no encaixe de
polígonos para construir a relação entre o ângulo interno de um polígono e o ponto de
encaixe entre eles na pavimentação de uma superfície, utilizando apenas um tipo de
polígono.
No menu do site, apresentar-se-á a atividade “Revestindo o chão”. Ao clicar sobre
ela, aparecerá o enunciado da atividade, seguido do quadro de simulação e as questões
para o aluno.
“Você tem um novo problema: precisamos revestir os quartos da casa da Drª
Mônica com alguns tipos de cerâmicas. Ela tem uma exigência: são três quartos e em
cada um deles deseja um piso diferente, formando mosaicos distintos. Para isso, ela
trouxe diversas amostras de cerâmicas para escolhermos quais podem pavimentar os
quartos”.
Mas lembrem: em cada quarto ela quer utilizar apenas um tipo de cerâmica. Por
isso, você vai precisar quebrar cerâmicas, em alguns quartos. Então, vamos experimentálas e formar bonitos mosaicos?!”.
Quadro em branco com funções: é apresentado um quadro em branco, representando
um painel para a criação de mosaicos, utilizando apenas um dos polígonos apresentados
com combinação de cores. Ele deverá conter um menu na lateral direita com os polígonos
regulares de três até doze lados e as funcionalidades: agrupar, girar, limpar, finalizar,
instruções, guardar imagem.
Abaixo do palco de simulação, haverá as seguintes questões, objetivando instigar à
formulação de hipóteses pelos educandos, a fim de estimulá-los a buscar respostas para
as possíveis soluções do problema.
1) Crie um mosaico utilizando apenas triângulos perfeitamente encaixados. Nele, faça
composições diferentes mudando suas cores, conforme se segue. Registre suas
observações no caderno.
Utilizando duas cores, crie duas composições diferentes;
Utilizando três cores, crie duas composições diferentes.
Você consegue enxergar outras figuras formadas na composição com as cores?
Quais? Como surgiram essas novas figuras?
Elas se repetem? Dentro do que você criou, procure diferentes repetições de figuras.
2) Crie um mosaico com cada amostra de cerâmica. Para aqueles que você conseguir
encaixar perfeitamente os polígonos, guarde-os na caixinha ao lado da projeção da
tela;
3) No seu mosaico, é possível identificar figuras formadas por polígonos que se
encaixam contendo um vértice em comum?
4) Se você identificou, que polígono utilizou para formar esse mosaico? Faça uma tabela
no seu caderno comparando o ângulo interno do polígono e o número de polígonos
em torno do ponto de encaixe. Conforme o modelo.
Polígonos
Ângulo interno (A) N° de polígonos (P)
Triângulo
Quadrado
Pentágono
Etc
Estabeleça uma relação.
5) Agora responda: o que é necessário para que o encaixe entre os polígonos seja
perfeito em torno de um ponto, sem que tenha falhas ou sobreposição entre eles?
6) Então, quais os polígonos que podem pavimentar uma superfície, formando mosaicos
que obedecem às condições acima?
Procedimentos para desenvolver a atividade:
Geralmente, a relação que se quer construir com essa atividade é apenas fornecida
ao educando, sem que haja compreensão de seu significado. Por isso, propomos uma
atividade empírica para que os aluno ao manipular os polígonos para a pavimentação de
uma superfície, percebam que existe uma condição necessária para esse encaixe. Sendo
ela, a relação entre ângulo interno de um polígono e o ponto de encaixe entre eles, que o
próprio aluno irá deduzir e formular.
O professor dará início à atividade usando a seguinte abordagem:
Solicita aos seus alunos que:
• Utilize apenas triângulos para criar um mosaico sem deixar falhas e sem
sobreposição das peças e nele faça composições diferentes mudando suas cores.
Espera-se que o aluno perceba a composição de outras figuras geométricas
quando utilizar duas ou três cores diferentes no desenho construído inicialmente,
bem como a regularidade presente na construção desse tipo de mosaico;
• Criem outros mosaicos com cada amostra de cerâmica, de maneira a identificar
os polígonos que se encaixam perfeitamente, contendo um vértice em comum.
Esses mosaicos deverão ser guardados nas caixinhas que se encontram ao lado
da projeção da tela;
• Peça que observem esses mosaicos e façam um registro no seu caderno
comparando o ângulo interno do polígono usado na construção e a quantidade de
polígonos em torno do ponto de encaixe. Conforme o modelo o modelo a seguir:
Polígonos
Triângulo
Quadrado
Pentágono
Etc
•
Ângulo interno (A) N° de polígonos (P)
O objetivo é que o aluno perceba que o ângulo interno do polígono tem que ser um
divisor de 3600 - relação necessária para que o encaixe entre os polígonos seja
perfeito em torno de um ponto e identifique os três polígonos – triângulo, quadrado e
hexágono - que podem pavimentar uma superfície, formando um ladrilhamento.
A relação
O número de polígonos no ponto de encaixe multiplicado pelo
seu ângulo interno é igual 360° - P. A=360°.
deve ser
CONSTRUÍDA PELO ALUNO,
primeiramente com suas palavras e, posteriormente, formalizada.
•
•
•
Faca outra questão: como encontrar o ângulo interno de cada polígono?
OBSERVAÇÃO: No momento de registro das informações a respeito do ângulo
interno do polígono, o aluno deve estar familiarizado com esse conceito e saber
deduzi-lo para cada polígono usado na construção dos mosaicos.
Na atividade “Divertindo e Aprendendo”, o aluno já identificou os elementos dos
polígonos e conhece a circunferência. Então, você poderá ajudá-lo a deduzir a
relação entre o ângulo interno de um polígono e o número de lados, procedendo
como a sugestão abaixo:
Inscreva um polígono qualquer na circunferência;
A partir do centro O da circunferência, trace segmentos de reta ligando o centro aos
vértices AO, OB,..., formando triângulos isósceles;
Divida o ângulo central da circunferência 3600 pelo número de segmentos traçados;
Obtenha o valor do ângulo AÔB ou BÔC ou ... do triângulo;
Como os triângulos formados são isósceles e a soma dos ângulos internos de um
triângulo é 1800, encontre o valor dos ângulos da base;
Sendo os triângulos formados congruentes, obtenha o ângulo interno do polígono e,
consequentemente, a soma deles.
D
E
C
O
B
A
360/5 = 72 => DÔE = 720 do DOE;
Sendo o DOE isósceles, temos:
DÊO = E^DO = X
2X + 72 = 180
X = 540
Como todos os triângulos são
congruentes, temos ^D = Ê = Â = ^C
= ^B = 1080
♦ Outra maneira de discutir o ângulo interno de um polígono com o seu aluno é
deduzindo com ele a relação 180(n – 2)/n, sendo n o número de lados do polígono.
Sugestões de outras atividades relacionadas ao problema proposto:
O professor pode sugerir um desafio aos seus educandos, propondo que eles
descubram porque nenhum polígono com mais de seis lados recobre o plano.
Sugerimos um trabalho de campo, onde os alunos devem pesquisar no ambiente
em que vivem ou na natureza (casca do abacaxi, casco da tartaruga, colméia da abelha,
escama do peixe, entre outros) exemplos de mosaicos que utilizem um tipo de polígono e
podem ser fotografados para uma exposição na escola, ou ainda, que criem esses
mosaicos.
Sugestão de avaliação:
A avaliação pode ser feita por meio da exposição dos mosaicos encontrados na
pesquisa e/ou construídos pelos próprios alunos, verificando o encaixe perfeito dos
polígonos e a composição de novas figuras, usando cores diferentes.