RAZÕES E PROPORÇÕES
Na ficção ou na realidade, as razões e proporções
acompanham os seres. Afinal, tudo é uma questão de escala.
Vejamos um questionamentos no qual o conceito de razão e
proporção são fundamentais para a compreensão e a elaboração da
resposta.
1. O que aconteceria se alguém crescesse e se tornasse grande como
um gigante?
Certamente cairia no chão com o fêmur quebrado ao dar o
primeiro passo. Entendeu? Se não, observe: a altura aumenta em
uma direção, a área, em duas e o volume, em três. Se a altura de uma
mulher ficasse 10 vezes maior, a secção transversal (área) do
conjunto de ossos e músculos que a sustenta contra a gravidade
ficaria 10 · 10 = 100 vezes maior, já o seu volume (e, portanto, a sua
massa) ficaria 10 · 10 · 10 = 1000 vezes maior. O resultado disso tudo
é que os ossos destinados a mantê-la erguida não suportariam o seu
peso, sendo estilhaçados. É por essas e outras que cada ser deve ter o
tamanho certo, pois mudanças quantitativas podem fazer imensas
diferenças qualitativas.
“Uma questão de escala”. In: O universo e a xícara de chá, K.C.
Cole – Adaptado.
Razão
Dados dois números a e b, com b ≠ 0, define-se razão de a para b ou,
simplesmente, razão entre a e b, nessa ordem, ao quociente
a
que
b
também pode ser indicado por a : b, em que o número a é
denominado antecedente e o número b é denominado consequente.
As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de espécies
diferentes (por exemplo, densidade demográfica) ou de mesma
espécie (por exemplo, escala) sendo expressas numa mesma unidade.
Assim, por exemplo, se numa festa comparecerem 20 homens e 30
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mulheres, dizemos que a razão entre o número de homens e o de
mulheres na festa é:
Isso significa que para cada 2 homens existem 3 mulheres.
Exemplos
1. Escala
Escala é a razão entre o comprimento no desenho e o comprimento
real correspondente. Uma escala pode ser representada
graficamente. Nesse caso, usamos um segmento de reta graduado,
em que cada graduação corresponde a 1 cm de comprimento no
desenho.
E=
compriment o no desenho
compriment o real
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O mapa acima foi feito na escala 1:34.600.000, ou seja, a cada 1cm no
desenho, temos 34.600.000 cm ou 346 km de comprimento real.
Observe que como a escala é uma razão, segue que quanto maior é o
denominador (distância real) menor é a escala.
2. Densidade Demográfica
Densidade Demográfica é a razão entre o número de
habitantes e a área do território ocupado por eles
Densidade Demográfica =
número de habitantes
área do território
A maneira como uma população está distribuída em determinado
território e as transformações que essa distribuição sofre no decorrer
do tempo são importantes para evidenciar problemas e contradições
socioeconômicas.
Por exemplo, segundo dados do IBGE, o Brasil em 2010 possuía
190.732.694 habitantes em uma área de 8.514.215,3 km², ou seja, uma
densidade demográfica de 22,40 habitantes por quilômetro
quadrado.
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3. Velocidade Média
A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela
razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou
metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou
segundos).
Vmédia =
distância percorrida
tempo gasto
Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu
328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse
percurso?
A partir dos dados do problema, teremos:
Vmédia =
328 km
= 164 km / h
2h
o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida
foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se
deslocou 164 Km.
4. Pi (π): Uma razão muito famosa
Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e
descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e
seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma
para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é
aproximadamente Pi = 3,1415926535
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Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do
diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:
C / D = π = 3,14159265358979323846264338327950... significando
que C = Pi . D
Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm
então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.
Proporção
Define-se proporção a uma igualdade de duas ou mais razões.
Dizemos que os números a, b, c e d, com b ≠ 0 e d ≠ 0, formam uma
proporção quando
a c
ou a : b = c : d, em que a e d são os
=
b d
extremos enquanto b e c são os meios. Por exemplo, os números 2, 4,
6 e 12 formam, nessa ordem, uma proporção, pois
resultados das duas frações são iguais a
1
, sendo esse resultado
2
denominado constante de proporcionalidade.
Propriedades:
a c
= ⇔ a.d = b.c
b d
2 6


 por exemplo, = ⇔ 2.9 = 3.6 .
3 9


1.
a c
a+b c+d
= ⇔
=
b d
b
d
3 6
3+ 2 6+ 4 

=
 por exemplo, = ⇔
.
2 4
2
4 

2.
Página |5
2 6
= , isto é, os
4 12
a c
a+b c+d
= ⇔
=
b d
a
c
3 6
3+ 2 6+ 4

=
 por exemplo, = ⇔
.
2
4
3
6 

3.
a c
a −b c −d
= ⇔
=
b d
b
d
5 10
5 − 3 10 − 6 

⇔
=
 por exemplo, =
.
3 6
3
6 

4.
a c
a −b c −d
= ⇔
=
b d
a
c
5 10
5 − 3 10 − 6 

⇔
=
 por exemplo, =
.
3 6
5
10 

5.
a c
a+c a−c
= ⇔
=
b d
b+d b−d
6 4
6+4 6−4

=
 por exemplo, = ⇔
.
9 6
9+6 9−6

6.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Num bar, suco de tangerina é uma mistura de xarope com água na
razão de 1 parte de xarope para 2 de água e refresco de tangerina é
uma mistura de xarope com água na razão de 1 para 5. Juntando um
copo de suco com um de refresco, obtemos uma mistura de xarope
com água na razão de
A) 1 para 3.
D) 5 para 13.
B) 2 para 5.
E) 6 para 17.
Página |6
C) 3 para 5.
Solução: No suco, a quantidade de xarope é de 1 parte num total de
3 partes, enquanto a quantidade de água representa 2 partes num
total de 3 partes. O refresco é constituído de 1 parte de xarope num
total de 6 partes e de 5 partes de água num total de 6 partes.
Misturando -se 1 copo de suco com 1 copo de refresco, temos
xarope 13 copo + 16 copo
= 2
=
5
+
água
copo
copo
3
6
2 +1
6
4+5
6
copo 3 1
= =
copo 9 3
Assim, a proporção é de 1 parte de xarope para 3 partes de água.
Resposta: A
Números Diretamente Proporcionais
Dizemos que os números (x1, x2, ..., xn) são diretamente
proporcionais aos números (y1, y2, ..., yn), quando podemos
estabelecer uma proporção direta entre esses valores, ou seja,
x1 x2
x
=
= ... = n .
y1 y2
yn
Números Inversamente Proporcionais
Dizemos que os números (x1, x2, ..., xn) são inversamente
proporcionais aos números (y1, y2, ..., yn), quando podemos
estabelecer uma proporção entre os valores da primeira sequência e
os inversos dos valores da segunda sequência, ou seja,
x1
1
y1
=
x2
1
y2
= ... =
xn
1
yn
⇔ x1 × y1 = x 2 × y 2 = ... = x n × y n .
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EXERCÍCIOS
O PROFESSOR RESOLVE
PR 01. (Enem 2013)
A figura apresenta dois mapas, em que o
estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.
Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área
correspondente a esse estado no mapa do Brasil.
Esse número é
A) menor que 10.
B) maior que 10 e menor que 20.
C) maior que 20 e menor que 30. D) maior que 30 e menor que 40.
E) maior que 40.
PR 02. (Insper 2014) De acordo com estimativa do Fundo Monetário
Internacional, o Produto Interno Bruto (PIB) da China em 2012 foi de
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8 trilhões e 227 bilhões de dólares. Considerando que a população
desse país em 2012 era de aproximadamente 1 bilhão e 357 milhões
de habitantes, pode-se concluir que o PIB por habitante da China em
2012 foi da ordem de
A) 6 dólares.
B) 60 dólares.
C) 600 dólares.
D) 6 mil dólares.
E) 60 mil dólares.
PR 03. (Uerj 2014)
O personagem da tira diz que, quando ameaçado, o comprimento de
seu peixe aumenta 50 vezes, ou seja, 5000%.
Admita que, após uma ameaça, o comprimento desse peixe atinge
1,53 metros.
O comprimento original do peixe, em centímetros, corresponde a:
A) 2,50
D) 3,25
B) 2,75
E) 3,50
C) 3,00
PR 04. (Enem 2013) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais
como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas
construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume)
do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que ”o cubo
da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado
de sua massa M“.
HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações.
São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S
pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
Página |9
A) S = k ⋅ M
D) S =
1
k3
2
⋅ M3
B) S
1
3
= k ⋅M
E) S
1
= k3
C) S =
1
3
k
1
3
⋅M
⋅ M2
PR 05. (Enem PPL 2012) A figura apresenta a eficiência, a vida útil
(mil horas) e o preço médio (R$) dos modelos de lâmpadas mais
usados em residências.
Considere que, para iluminar dois ambientes com a mesma
eficiência, é necessário que ambos tenham a mesma quantidade de
lúmens por Watt, independentemente da quantidade de lâmpadas.
Considere também que a relação custo/benefício de qualquer uma
dessas lâmpadas é dada pela razão entre o preço médio (R$) e a vida
útil
(mil
horas).
Augusto deseja instalar lâmpadas em um dos ambientes de sua casa,
de modo a obter uma eficiência de exatamente 240 lúmens por Watt.
Dos modelos de lâmpadas apresentados na figura, o que atende a
necessidade de Augusto com a menor relação custo/benefício é
A) LED.
P á g i n a | 10
B) halógena.
C) fluorescente.
D) incandescente.
E) fluorescente compacta.
PR 06. Boa parte da energia perdida por uma pessoa é proveniente
das trocas de calor para o meio ambiente por meio da superfície da
pele. Considere que duas pessoas, uma criança de 60 cm de altura e
um adulto com 1,80 m, estejam se alimentando para repor
exclusivamente as perdas de energia devidas às trocas de calor com o
ambiente. Admitindo proporcionalidade entre os corpos das duas
pessoas, podemos afirmar que, em relação à criança, o adulto deverá
ingerir:
A) 3 vezes mais comida.
C) 9 vezes mais comida.
E) 27 vezes mais comida.
B) 6 vezes mais comida.
D) 18 vezes mais comida.
PR 07. Três estudantes de arquitetura construíram uma maquete em
conjunto e combinaram que o valor total gasto com a compra dos
materiais necessários seria dividido entre eles, de forma
inversamente proporcional ao número de horas que cada um
trabalhou na elaboração da maquete. Observe a tabela.
Nesse caso, pode-se afirmar que x e y valem, respectivamente,
A) R$ 125,00 e 18 horas.
C) R$ 80,00 e 18 horas.
E) R$ 60,00 e 14 horas.
B) R$ 80,00 e 16 horas.
D) R$ 70,00 e 16 horas.
PR 08. (Ufpa 2013) Na paralimpíada de 2012, o corredor paraense
Alan Fonteles ganhou medalha de ouro nos 200 m rasos na categoria
T44. Usou novas próteses, que alongaram o comprimento de seus
P á g i n a | 11
membros inferiores em 6 cm. O comprimento de seus membros
inferiores com as antigas próteses era de 79 cm e, com estas, ele
corria os 200 m em 23 s. Considerando que os outros fatores (peso,
preparo físico, etc.) não se alterem, seu tempo ao correr os 200 m
rasos com as novas próteses deve diminuir, em segundos,
aproximadamente:
A) 1,0
B) 1,2
C) 1,4
D) 1,6
E) 2,8
PR 09. É um fato bem difundido que as formigas são capazes de
erguer 50 vezes seu peso. Suponha uma formiga com 6 mm, 3 mg de
massa e capaz de erguer 150 mg. Aumentando o comprimento da
formiga para 1,8 m, ela teria 81 kg de massa (300³ = 27000000 vezes
mais), mas, a superfície de seu corpo e o consequente aumento de
sua força será apenas 300² = 90000 maior. Assim, cada pata estará
sobrecarregada com um peso extra 27000000/90000 = 300 vezes
maior, daí a formiga poderia erguer seria de apenas:
A) 40Kg
B) 34,5 Kg
C) 27,4 Kg
D) 13,5 Kg
E) 6,75 Kg
PR 10. A bateria do celular do Pedro retém uma carga suficiente
para 4 h de conversa ou para 148 h no modo de espera do aparelho
(ligado, mas sem conversar). Pedro, que não desligou o celular,
usou-o para várias conversas e constatou que a bateria descarregou
completamente em 58 horas. Podemos concluir que, no total, o
aparelho ficou no modo de conversação por quanto tempo?
A) 2 horas e 15 minutos.
B) 2 horas e 30 minutos.
C) 2 horas e 45 minutos.
P á g i n a | 12
D) 3 horas.
E) 3 horas e 15 minutos.
SOLUÇÕES
SOLUÇÃO 1ª QUESTÃO
Gabarito: D
Sejam L e L ', tais que L =
1
1
e L' =
. Desse modo,
25000000
4000000
1
L'
L ' 25
= 4000000 ⇔
=
,
1
L
L
4
25000000
e, portanto,
2
2
 L' 
 25 
2
2
  =
  L ' ≅ 39,06L ,
L
 4 
ou seja, a área destacada no mapa foi ampliada aproximadamente
39,06 vezes.
SOLUÇÃO 2ª QUESTÃO
Gabarito: D
O PIB por habitante da China em 2012 foi da ordem de
8,227 ⋅ 1012
1,357 ⋅ 109
≅ 6000 dólares.
SOLUÇÃO 3ª QUESTÃO
Gabarito: C
x = comprimento do peixe em cm.
P á g i n a | 13
x + 50x = 153
51x = 153
x = 3 cm
O comprimento do peixe é 3 cm.
SOLUÇÃO 4ª QUESTÃO
Gabarito: D
Sendo S a área da superfície do mamífero e M a sua massa, temos:
1
S3 = k ⋅ M2 ⇔ S = (k ⋅ M2 ) 3
1
2
⇔ S = k 3 ⋅ M3 .
SOLUÇÃO 5ª QUESTÃO
Gabarito: C
Calculando a relação custo benefício, temos:
LED: 130 : 40 = 3,25.
Halógena: 10 : 4 = 2,5.
Fluorescente: 6 : 8 = 0,75.
Incandescente: 3 : 1 = 3.
Fluorescente compacta: 13 : 6 = 2,17.
Portanto, a lâmpada com o menor custo benefício é a fluorescente.
SOLUÇÃO 6ª QUESTÃO
Gabarito: C
A altura do adulto sendo 3 vezes maior do que a altura da criança, a
sua área de superfície da pele será 9 vezes maior.
SOLUÇÃO 7ª QUESTÃO
Gabarito: B
P á g i n a | 14
100.20 = 25.x  x = 80
125. y = 100.20  y = 16
SOLUÇÃO 8ª QUESTÃO
Gabarito: D
Supondo que o tempo (t) para correr os 200 m é inversamente
proporcional ao comprimento ( ) das próteses, teríamos
k
t= ,

com k sendo a constante de proporcionalidade.
Logo, se o comprimento era de 79cm, e ele corria os 200 m em
23 s, então
k
⇔ k = 23 ⋅ 79.
79
Com as novas próteses, seu tempo seria
k
23 ⋅ 79
t' = ⇔ t' =
'
85
 t ' ≅ 21,4 s,
correspondendo, portanto, a uma redução de, aproximadamente,
23 − 21,4 = 1,6 s.
23 =
SOLUÇÃO 9ª QUESTÃO
Gabarito: D
50 · 81 kg/300 = 13,5 kg.
SOLUÇÃO 10ª QUESTÃO
Gabarito: B
P á g i n a | 15
2 horas e 30 min =
2,5 5
= de 4 horas.
8
4
3
de 148 horas = 55,5 horas.
8
Assim 2,5 horas + 55,5 horas = 58 horas.
EXERCÍCIOS
PRATIQUE EM CASA
PC. 01. (Enem PPL 2012) Um jornaleiro irá receber 21 revistas.
Cada uma terá um carrinho na escala de 1:43 do tamanho real
acompanhando-a em caixinha à parte. Os carrinhos são embalados
com folga de 0,5 cm nas laterais, como indicado na figura. Assim, o
jornaleiro reservou três prateleiras com 95 cm de comprimento por 7
cm de largura, onde as caixas serão acomodadas de forma a caberem
inteiramente dentro de cada prateleira. Além disso, sabe-se que os
carrinhos são cópias dos modelos reais que possuem 387 cm de
comprimento por 172 cm de largura.
P á g i n a | 16
Quantos carrinhos, no máximo, cabem em cada uma das prateleiras?
A) 2
B) 3
C) 7
D) 9
E) 10
PC. 02. (Insper 2014) Por um terminal de ônibus passam dez
diferentes linhas. A mais movimentada delas é a linha 1: quatro em
cada sete usuários do terminal viajam nessa linha. Cada uma das
demais linhas transporta cerca de 1.300 usuários do terminal por dia.
Considerando que cada passageiro utiliza uma única linha, a linha 1
transporta por dia cerca de
A) 5.200 usuários do terminal.
terminal.
C) 13.000 usuários do terminal.
terminal.
E) 18.200 usuários do terminal.
B)
9.100
usuários
do
D)
15.600
usuários
do
PC. 03. (Enem PPL 2012) A noz é uma especiaria muito apreciada
nas festas de fim de ano. Uma pesquisa de preços feita em três
supermercados obteve os seguintes valores: no supermercado A é
possível comprar nozes a granel no valor de R$ 24,00 o quilograma; o
supermercado B vende embalagens de nozes hermeticamente
fechadas com 250 gramas a R$ 3,00; já o supermercado C vende
nozes
a
granel
a
R$
1,50
cada
100
gramas.
A sequência dos supermercados, de acordo com a ordem crescente
do valor da noz, é
A) A, B, C.
D) C, A, B.
B) B, A, C.
E) C, B. A.
C) B, C, A.
PC. 04. (FCS) A força elétrica F entre duas cargas elétricas
puntiformes (Q e q) é diretamente proporcional ao produto dos
valores absolutos (módulos) das duas cargas e inversamente
proporcional ao quadrado da distância d entre eles. Esta força pode
P á g i n a | 17
ser atrativa ou repulsiva dependendo do sinal das cargas, conforme
figura abaixo. A constante K é chamada de constante de Coulomb.
A expressão que traduz a força elétrica F é:
K . Q. q
A) F = d2
B) Fg =
K.Q.q
d
C) Fg =
K.Q.q
2d
D) Fg =
Q.q.m
2d2
E) Fg =
K.2.Q.q
d2
PC. 05. (Unicamp 2011) Considere três modelos de televisores de
tela plana, cujas dimensões aproximadas são fornecidas na tabela a
seguir, acompanhadas dos preços dos aparelhos.
Modelo
Largura
(cm)
Altura
(cm)
Preço
(R$)
23’’
50
30
750,00
32’’
70
40
1.400,00
40’’
90
50
2.250,00
P á g i n a | 18
Com base na tabela, pode-se afirmar que o preço por unidade de área da
tela
A) aumenta à medida que as dimensões dos aparelhos aumentam.
B) permanece constante do primeiro para o segundo modelo, e
aumenta do segundo para o terceiro.
C) aumenta do primeiro para o segundo modelo, e permanece
constante do segundo para o terceiro.
D) permanece constante.
E) diminui à medida que as dimensões dos aparelhos aumentam.
PC. 06. (Uepa 2012) Em todo o estado de São Paulo, no primeiro
semestre de 2011, foram registrados 2.241 homicídios. Desses, 241
foram cometidos por uma certa categoria A de cidadãos”
(Fonte:
http://g1.globo.com/sao-paulo/noticia/2011/09/decada-5assassinatos-registrados-na-cidade-de-sp-1-ede-autoria-da-pm.html)
O texto mostra o número de homicídios no primeiro semestre no
estado de São Paulo, o que dá uma proporção aproximada de:
A) um assassinato cometido pela
cometidos pelas outras categorias.
B) um assassinato cometido pela
cometidos pelas outras categorias.
C) um assassinato cometido pela
cometidos pelas outras categorias.
D) um assassinato cometido pela
cometidos pelas outras categorias.
E) um assassinato cometido pela
cometidos pelas outras categorias.
categoria A para cada 9,3
categoria A para cada 8,3
categoria A para cada 7,5
categoria A para cada 6,6
categoria A para cada 5,3
PC. 07. (Unesp 2014) Semanalmente, o apresentador de um
programa televisivo reparte uma mesma quantia em dinheiro
igualmente entre os vencedores de um concurso. Na semana
passada, cada um dos 15 vencedores recebeu R$ 720,00. Nesta
semana, houve 24 vencedores; portanto, a quantia recebida por cada
um deles, em reais, foi de
A) 675,00.
B) 600,00.
C) 450,00.
D) 540,00.
E) 400,00.
P á g i n a | 19
PC. 08. (UFG-Adaptado) Considere que a intensidade, em watts
por metro quadrado, de um som que se propaga livremente no ar é
inversamente proporcional ao quadrado da distância, em linha reta,
até a fonte sonora. O som emitido pela sirene de uma ambulância
possui uma intensidade de 10-2 W/m2 a 10 m da sirene e, para uma
pessoa à margem de uma rodovia retilínea ouvir a sirene, o som
deve chegar aos seus ouvidos com uma intensidade mínima de 10-6
W/m2. Mediante estas condições, a distância máxima, em que é
possível ouvir a sirene da ambulância é de
A) 850 m.
B) 900 m.
C) 950 m.
D) 1000 m.
E) 1050 m.
PC. 09. Texto.
Compare o Titanic com o maior navio da atualidade
Há pouco mais de cem anos, o Titanic era o navio mais badalado do
mundo. Além de enorme, o “inaufragável”, como era chamado,
esbanjava em luxo e modernidade. Mas seu requinte e tamanho não
impressionariam tanto cem anos depois. O Allure of the Seas, o maior
navio da atualidade, pareceria “um monstro” se fosse colocado lado a
lado ao Titanic. Veja a comparação dos dois navios abaixo.
Disponível em:
http://noticias.r7.com/internacional/noticias/compare-o-titanic-com-o-maiornavio-da-atualidade-20120414.html
P á g i n a | 20
Com base na tabela, o Allure equivaleria, em peso, ao
correspondente a
A)
B)
C)
D)
E)
2 Titanics
3 Titanics
4 Titanics
5 Titanics
6 Titanics
PC. 10. Uma empresa embala seus produtos em caixas de 2
tamanhos diferentes: S e T. A capacidade do veículo utilizado para
entregas permite transportar 60 caixas S, maiores, ou 300 caixas T,
menores. Sabe-se que a forma das caixas e a forma do veículo utilizado
não interferem na proporcionalidade ao serem acomodadas, juntas,
caixas de tamanhos S e T.
Assim, se forem colocadas apenas 45 caixas S no veículo, será
possível transportar, no mesmo carregamento, um número de caixas
T igual a
A) 75.
B) 70.
C) 65.
D) 60.
E) 55.
P á g i n a | 21