Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
Movimento Plano Geral
Um movimento plano geral pode ser considerado
como a soma de uma translação e de uma rotação:
Movimento geral =
Translação
+
Rotação
1
Observe que:
Movimento de um corpo decomposto em uma
translação e uma rotação:
Velocidade absoluta e relativa:
vB vA vB / A
v
vB vA tg vB / A l B / A
l
vA
vA
cos
vB / A
vB / A
cos
vA
l cos
Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como
pono de referência. Decompondo-se o movimento dado em
uma translação com B e uma rotação ao redor de B (vide
figura), teremos:
vB : velocidade absoluta do ponto B.
v A : translação da placa com A.
vB / A : velocidade relativa associada à rotação da
placa ao redor do ponto A, medida em relação a eixos com
origem em A e de orientações fixas. Denotando por :
rB / A : vetor de posição de B em relação a A:
rB / A B A
Movimento plano = Translação com B + Rotação em torno de B.
k̂ : velocidade angular em relação aos eixos de
orientações fixas.
vB / A kˆ rB / A
vB vA kˆ rB / A
vA vB vA/ B
Observe que:
vA/ B vB / A vA/ B vB / A l
Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A.
O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de
referência escolhido e deverá ser cuidadosamente determinada
a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que
a velocidade angular da barra em sua rotação ao redor de B
é a mesma que em sua rotação ao redor de A. Em ambos os
casos é medida pela derivada temporal do ângulo :
d
dt
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
Este resultado é geral; assim, sempre a velocidade
angular de um corpo rígido animado de movimento
plano é independente do ponto de referência.
A maior parte dos mecanismos mecânicos constam
não de um, mas de vários elementos em movimento. Quando
tais elementos se encontram articulados, pode-se estudá-los
considerando cada um como um corpo rígido, sem, contudo,
esquecer que os pontos de articulação de dois deles devem ter
a mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser
feito quando se trata de engrenagens, já que os dentes em
constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto,
se os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento
relativo entre si, deve-se levar em consideraçãoa velocidade
relativa das partes em contato.
Análise do movimento
z
a
dvQ
dt
dr
d
rQP QP
dt
dt
Identificando os termos:
dv
dvP
aQ Q
dt
dt
d d eˆ
d d
deˆ
eˆ
dt
dt
dt
dt
dt
deˆ
0 . Assim:
Se ê for um vetor constante:
dt
2
d
dt
dr
aP aQ rQP QP
dt
aP
Ou
O
y
aP aQ P Q
d
P Q
dt
Aplicando o Teorema de Poisson:
P
Q
d
P Q P Q
dt
aP aQ P Q P Q
x
rQ OQ Q O
rP OP P O
rQ P QP P Q
OQ QP OP
rQ rQ P rP rP rQ rQ P
Aplicando a derivada em relação ao tempo:
drP drQ drQ P
dt
dt
dt
vP vQ vQ P
vQ P rQP
Vetor aceleração:
O vetor aceleração pode ser obtido como a derivada
a
d
eˆ eˆ
dt
d
eˆ eˆ
dt
5. O vetor velocidade instantânea do ponto P do sólido, em
função da velocidade do ponto Q, também do sólido, é dada
por:
vP vQ rQP vP vQ P Q
Logo:
vP vQ rQP
a v a
4. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração
angular; e esta tem a direção do eixo de rotação:
Suponha que o corpo rígido gira em torno de um eixo
que passa perpendicularmente ao ponto Q. Então:
temporal do vetor aceleração:
Resumo: Movimento no plano:
1. Todos os pontos do sólido pertencem ao plano do
movimento.
2. O eixo de rotação, quando existir, será sempre ortogonal
ao plano de movimento.
3. todos os pontos apresentam a mesma velocidade
angular, e esta, tem a direção do eixo de rotação:
dv
dt
dvP
d
a vQ rQP
dt
dt
dvQ d
a
rQP
dt dt
6. O vetor aceleração instantânea do ponto P do sólido, em
função da aceleração do ponto Q, também do sólido, é dada
por:
aP aQ rQP rQP rQP P Q rP Q
aP aQ P Q P Q
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Centro Instantâneo de Rotação (CIR ou IC)
Para calcular a velocidade dos pontos de um sólido, podese utilizar de um método gráfico que se baseia no conceito de
Centro instantâneo de rotação (CIR ou IC).
Considera-se a existência de um eixo de rotação num
dado instante, e a interseção deste, com o plano de movimento
é o ponto denominado CIR – Centro instantâneo de rotação.
Todos os pontos do sólido, no instante considerado,
descrevem trajetórias circulares com centro no CIR.
A propriedade fundamental do CIR é de possuir
velocidade nula:
rA IC
vA
Note que o IC está a direita de A e vA causa uma
rotação com velocidade angular horária em torno de IC.
As direções de vAe vB são conhecidas.
Constroem-se duas linhas a partir de A e B,
perpendiculares às direções de vAe vB , respectivamente. O
cruzamento dessas linhas fornece o IC.
vIC 0
3
O CIR é um ponto geométrico imaginário que pode ser
associado ao sólido sem alterar ou interferir no movimento do
mesmo.
Utilizando a relação de velocidades:
vP vQ rQP rQP P Q
Se utilizarmos o ponto Q pelo CIR, teremos:
0
vP vCIR P CIR
vP P CIR
Norma:
A norma da velocidade em P será dada por:
vP P CIR sen
P CIR d : é a distância entre o ponto P o CIR.
: é ângulo entre o plano do movimento e o eixo de
rotação. Se = 90° → sen90°=1. Logo: vP d
A magnitude e a direção das velocidades de dois
pontos vAe vB são conhecidas:
Nesse caso, determina-se por semelhan;Ca de
triângulos. Se d é a distância entre os pontos A e B, então:
rA IC
vA
rB IC
vB
: distância de A ao IC.
: distância de B ao IC.
Podem ocorrer dois casos:
Direção:
Ortogonal ao plano que contem os vetores do produto
vetorial: vP vP (reta que une P e CIR)
Para localizar o IC de um corpo, utilizamos o fato que a
velocidade de um ponto no corpo é sempre perpendicular ao
vetor posição relativa, dirigido de IC ao ponto. Possibilidades:
A velocidade angular e a velocidade do ponto
v A são conhecidas
rA IC rB IC d
d rB IC rA IC
Exemplo: Viga apoiada na parede escorregando.
Nesse caso, o IC do corpo está localizado através de uma
linha perpendicular a v A em A, onde a distância de A para o IC
é dada por:
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Exemplos resolvidos:
Livro Unip
rAB B A 0.7 iˆ 0.4 ˆj
k̂
vB vA rAB
vB 3.5 iˆ kˆ 0.7 iˆ 0.4 ˆj
1. (3.01– pag. 64) A barra AB, ilustrada abaixo, tem
comprimento 0.8 m, e desloca-se com as extremidades
apoiadas em duas superfícies, conforme ilustrado. O extremo
A da barra, desloca-se para a direita, com velocidade
constante vA = 3.5 m/s. No instante ilustrado, quando o ângulo
entre a barra e o plano é de 300, pedem-se:
(a) a velocidade do ponto B.
(b) a aceleração do ponto B.
vB 3.5 iˆ 0.7 kˆ iˆ 0.4 kˆ ˆj
ˆj
iˆ
vB 3.5 0.4 iˆ 0.7 ˆj
B
Decompondo a velocidade vB :
vB vB cos 600 iˆ vB sen600 ˆj
0.8 m
Comparando as relações:
y
A
600
300
x
z
Método 1 – Uso do conceito do Centro Instantâneo
de rotação: CIR ou IC.
vB cos 600 3.5 0.4
0.7
vB
0
sen600
vB sen60 0.7
0.7
cos 600 3.5 0.4
0
sen60
0.404 3.5 0.4 0.404 0.4 3.5
CIR
vB
B
0.8 m
aB aA B A B A
600
Como a velocidade é constante:
600
600
vA
vA rA CIR
z
vA
rA CIR
vB rB CIR
x
3.5
rad
4.375
0.8
s
m
vB 3.5
s
Método 2 – Relacionando 2 pontos do corpo rígido:
vP vQ rQP vP vQ P Q
vB vA rAB vB vA B A
Achando as coordenadas dos pontos:
A xA , yA e B xB , yB
xA 0.8 cos300 xA 0.692m ; y A 0m
xB 0m ; yB 0.8 sen30 yB 0.4m
0
A 0.692;0 e B 0;0.4
dvA
aA 0
dt
d
d
eˆ
dt
dt
d ˆ
k kˆ
dt
aA
y
1200
Cálculo da aceleração em B:
aP aQ P Q P Q
vB
300
300
3.5
rad
4.375
0.8
s
0.7
0.7 4.375
m
vB
vB 3.54
0
0
sen60
sen60
s
A
4
aB kˆ 0.7 iˆ 0.4 ˆj 4.38 kˆ 4.38 kˆ 0.7 iˆ 0.4 ˆj
ˆ
ˆ
aB 0.7 k iˆ 0.4 k ˆj
ˆj
iˆ
4.38 kˆ 4.38 0.7 kˆ iˆ 4.38 0.4 kˆ ˆj
ˆj
iˆ
ˆ
ˆ
aB 0.7 j 0.4 i
4.38 kˆ 3.066 ˆj 1.752 iˆ
aB 0.4 iˆ 0.7 ˆj 4.38 3.066 kˆ ˆj 4.38 1.752 kˆ iˆ
iˆ
aB 0.4 iˆ 0.7 ˆj 13.43 iˆ 7.67 ˆj
aB 13.43 0.4 iˆ 7.67 0.7 ˆj
Porém, sabemos que:
ˆj
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aB aB cos 600 iˆ aB sen600 ˆj
CIRe1=A, pois este ponto pertencem ao eixo fixo de
rotação.
aB 0.5 aB iˆ 0.866 aB ˆj
Comparando, teremos:
Velocidade do ponto P:
1. tem direção ortogonal à reta que liga os pontos A e P.
2. tem sentido para baixo, pois a rotação de e1 é horária.
3. tem intensidade dada por:
0.5 aB 13.43 0.4
0.866 aB 7.67 0.7
vP e1 R1 vP 16 0.32 vP 5.12
Resolvendo o sistema:
0.5 0.7 aB 0.866 aB 0.4 13.43 0.7 7.67 0.4
0.35 aB 0.3464 aB 9.401 3.068
0.6964 aB 12.469 aB
12.469
m
aB 17.9 2
0.6964
s
13.43 0.5 aB
0.5 aB 13.43 0.4
0.4
8.95
13.43 0.5 17.69
4.48
rad
11.2 2
0.4
0.4
s
2. (3.02 –pag. 70) As engrenagens ilustradas, e1 e e2,
tem respectivamente raios R1 = 0.32 m e R2 = 0.24 m. A
engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário, com
velocidade angular constante 1= 16 rad/s. A haste AB gira no
sentido horário com velocidade angular constante AB = 13
rad/s. Pedem-se:
(a) a velocidade angular da engrenagem e2;
(b) a aceleração do ponto de contato entre as
engrenagens do ponto que pertence à engrenagem e2.
m
s
Engrenagem e2:
Com o engrenamento dos dentes: não há
escorregamento. As velocidades dos pontos de contato das
duas engrenagens são iguais.
Velocidades dos pontos da engrenagem e2:
5
vB 7.28
m
.
s
Seu centro:
Do ponto de engrenamento:
vP 5.12
m
s
CIR de e2:
A determinação do CIRe2 de e2 pode ser feita com oas
velocidades dos ponto B e P , entretanto, é mais trabalhoso
que o usual, pois as linhas ortogonais à essas velocidades são
coincidentes e não definem o CIRe2.
A velocidade do ponto P pode ser expressa por:
vP e2 PCIRe2
A velocidade do ponto B pode ser dada por:
vB e2 BCIRe2
0.24m
d
e2
CIRe2
B
A
y
y
z
x
Aqui CIR=A, pois este ponto permanece fixo.
A velocidade do ponto B:
1. Possui direção ortogonal à reta que liga os pontos A e B.
2. Possui sentido para baixo, pois a rotação da barra AB é
horária.
3. Possui intensidade dada por:
B
vP
vB
z
x
5.12
d
vB 7.28 e2 0.24 d
vP 5.12 e2 d e2
vB AB AB
1.2288
A
5.12
7.28
0.24 d 7.28 d 5.12 0.24 5.12 d
d
B
d
vB
CIR
0.56m
2.16
AB R1 R2 AB 0.32 0.24
rad
s
e2 9 kˆ
e 9
AB 0.56m
vB 13 0.56 vB 7.28
Engrenagem e1:
1.2288
d 0.569m
7.28 5.12
2
m
s
Aceleração do ponto P:
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A aceleração do ponto P será expressa em função da
aceleração de outro ponto da engrenagem e2: o ponto B
(pertence à barra AB). Utilizando:
aP aQ P Q P Q
aB aA AB B A AB AB B A
aP 94.64 iˆ e2 P B 9 kˆ 9 kˆ 0.24 iˆ
0
aP 94.64 iˆ 9 kˆ 9 0.24 kˆ iˆ
ˆj
2.16
ˆ
aP 94.64 iˆ 9 2.16 k ˆj
iˆ
m
aP 94.64 iˆ 19.44 iˆ aP 75.2 iˆ 2
s
B
y
A
x
z
vB
0.56m
Como o ponto A é fixo:
aA 0
Vetor velocidade angular da barra AB:
Horário e constante:
3. (pag.76) – A barra AB, gira com freqüência
constante f = 954.96 rpm no sentido horário. O cursos C está
6
vinculado a uma haste horizontal fixa. Para o instante
considerado, pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra CB;
(b) a velocidade do cursos C;
(c) a aceleração do cursor C.
AB 13 kˆ
Vetor aceleração angular da barra AB:
AB
d AB
AB 0
dt
A
90 mm
Vetor B-A:
iˆ
Sentido: de A para B: B A 0.56 iˆ
aB 0 0 B A 13 kˆ 13 kˆ 0.56 iˆ
aB 13 kˆ 13 0.56 kˆ iˆ
ˆj
m
aB 13 7.28 kˆ ˆj aB 94.64 iˆ 2
s
iˆ
Módulo: 0.56mDireção: eixo x:
Fazendo o cálculo da aceleração do ponto P da
engrenagem e2:
e2
C
300 mm
150 mm
B
Barra AB:
CIR
vB
B
y
A
90 mm
z
O vetor velocidade angular da barra AB:
Tem intensidade:
AB 2 f AB 100
y
954 60
x
P
B
z
aP aB e2 P B e2 e2 P B
m
aB 94.64 iˆ 2
s
d
e2 9 kˆ e2 e2 e2 0
dt
O vetor P-B:
possui módulo igual à distância de P e B: 0.24m;
direção do eixo x:
iˆ
sentido é de B para P:
P B 0.24 iˆ
x
rad
s
Direção: Ortogonal ao plano de movimento: com
sentido dado pela regra da mão direita (horário: negativo).
rad
s
AB 100 kˆ
O ponto A é o CIR:
A velocidade do ponto B é:
m
vB AB r vB 100 0.09 vB 9 ˆj
s
A aceleração do ponto B é:
aB aA AB B A AB AB B A
aA 0 CIR
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AB 0 CIR AB
d AB
dt
B A 0.09 iˆ
aB aA AB 0.09 iˆ 100 kˆ 100 kˆ 0.09 iˆ
0
aC 900 iˆ 0.26 BC ˆj 0.15 BC iˆ
34.64 kˆ 9 ˆj 5.196 iˆ
aC 900 iˆ 0.26 BC ˆj 0.15 BC iˆ
34.64 9 kˆ ˆj 34.64 5.196 kˆ iˆ
aB 100 kˆ 100 0.09 kˆ iˆ
ˆj
m
aB 900 kˆ ˆj aB 900 iˆ 2
s
ˆj
iˆ
0
aC 900 iˆ 0.26 BC ˆj 0.15 BC iˆ
311.76 iˆ 180 ˆj
aC 900 311.76 0.15 BC iˆ 180 0.26 BC ˆj
7
aC 588.24 0.15 BC iˆ 180 0.26 BC ˆj
Barra BC:
C
aC aC iˆ
vC
aC 588.24 0.15 BC
180
rad
BC
BC 692.31 2
0.26
s
180 0.26 BC 0
vB
300 mm
y
150 mm
aC 588.24 0.15 BC
A
m
s2
103.84
4. (pag.76) – Um carro apresenta rodas traseiras
com diâmetro 0.75 m, e tem movimento acelerado com
aceleração a = 6.5 m/s2. No instante ilustrado, a velocidade do
auto é v = 140 km/h. Sabendo que não ocorre escorregamento
entre as rodas e o piso, pedem-se:
(a) a velocidade do ponto A;
(b) a velocidade do ponto B;
(c) a aceleração do ponto A;
aC 588.24 0.15 692.31 aC 484.15
B
x
90 mm
z
CIR
2
BCIR 0.152 0.32 BCIR 0.09 0.0225 BCIR 0.26m
9
rad
BC 34.64
0.26
s
m
vC BC CCIR vC 34.64 0.15 vC 5.2
s
m
vC 5.2 iˆ
s
vB BC BCIR BC
Aceleração no ponto C:
Vetor aceleração angular:
Vetor:
Ponto A
aC aB BC C B BC BC C B
BC BC kˆ
C B 0.26;0.15 0;0
C B 0.26 iˆ 0.15 ˆj
Vetor BC 34.64 kˆ
aC 900 iˆ BC kˆ 0.26 iˆ 0.15 ˆj
y
x
z
34.64 kˆ 34.64 kˆ 0.26 iˆ 0.15 ˆj
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
aC 900 i 0.26 BC k i 0.15 BC k j
ˆj
Ponto B
iˆ
34.64 kˆ 34.64 0.26 kˆ iˆ 34.64 0.15 kˆ ˆj
ˆj
iˆ
A
y
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
a A 6.5 iˆ 0.375 AC kˆ ˆj
CIR: a origem do sistema de coordenadas como o
ponto C de contato da roda.
iˆ
103.7 kˆ 103.7 0.375 kˆ ˆj
iˆ
a A 6.5 iˆ 0.375 AC iˆ
vA
vC
B
103.7 kˆ 38.8875 iˆ
vB
a A 6.5 0.375 AC iˆ
CIR
103.7 38.8875 kˆ iˆ
8
ˆj
0, 0
v
vC OCIR 0 O
R
vCIR
aA 6.5 0.375 AC iˆ 4032.63 ˆj
x
140 3.6
rad
103.7
103.7 kˆ
0.75 2
s
aN
aT
Buscando outro ponto para completar a aceleração
do ponto A: (CIR).
vA vC OA
vA 38.89 iˆ kˆ 0.375 ˆj
vA 38.89 iˆ 0.375 kˆ ˆj
aCIR
y
z
x
iˆ
vA 38.89 0.375 iˆ
m
vA 77.78 iˆ
s
vB vC CB
vB 38.89 iˆ 103.7 kˆ 0.375 iˆ
vB 38.89 iˆ 103.7 0.375 kˆ iˆ
ˆj
vB 38.89 iˆ 38.89 ˆj
m
vB 38.89 iˆ 38.89 ˆj
s
vB 38.89 38.89
2
2
m
km
vB 55 vB 198
s
h
Observe que no instante que o ponto da borda toca
o solo, pára instantaneamente e torna-se o CIR. Nessa posição
a trajetória é onde ocorre a inversão da velocidade do ponto da
borda, ou seja, é onde o ponto da borda inverta o seu
movimento e desta forma pode-se garantir que possua apenas
aceleração vertical; no instante que o ponto toca o solo,
transforma-se no CIR, e apresenta aceleração vertical:
aCIR aCIR ˆj
Assim:
aCIR aC CIR C CIR C
103.7 kˆ
aC 6.5 iˆ kˆ
CCIR CIR C 0.375 ˆj
a 6.5 iˆ kˆ 0.375 ˆj
CIR
aC 6.5 iˆ AC AC kˆ
A C 0.375 ˆj
103.7 kˆ 103.7 kˆ 0.375 ˆj
aCIR 6.5 iˆ 0.375 kˆ ˆj
aC aC AC A C AC AC A C
iˆ
a A 6.5 iˆ AC kˆ 0.375 ˆj
103.7 kˆ 103.7 kˆ 0.375 ˆj
aCIR
103.7 kˆ 103.7 0.375 kˆ ˆj
iˆ
6.5 iˆ 0.375 iˆ 103.7 38.8875 kˆ iˆ
ˆj
aCIR 6.5 0.375 iˆ 4032.6 ˆj
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
BC C B 0.08;0 0;0.025
6.5
rad
17.33 2
0.375
s
aA 6.5 0.325 17.33 iˆ 4032.63 ˆj
6.5 0.375 0
BC 0.08 iˆ 0.025 ˆj
vC 1.875 iˆ BC kˆ 0.08 iˆ 0.025 ˆj
m
aA 13 iˆ 4033 ˆj 2
s
vC 1.875 iˆ BC 0.08 kˆ iˆ 0.025 BC kˆ ˆj
vC 1.875 iˆ BC 0.08 ˆj 0.025 BC iˆ
5. O eixo manivela AB, do motor ilustrado, gira
com velocidade angular constante = 75 rad/s, no sentido
horário. Pela articulação A passa eixo fixo. Para o instante
ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade do pistão;
(b) a aceleração do pistão.
vC 1.875 0.025 BC iˆ BC 0.08 ˆj
vC vC iˆ 0 ˆj
v 1.875 iˆ 9
vC 1.875 0.025 BC
C
BC 0.08 0
BC 0
aC aB BC C B BC BC C B
80 mm
B
C
25 mm
aC 140.625 ˆj BC kˆ 0.08 iˆ 0.025 ˆj 0 0 C B
A
aC 140.625 ˆj BC 0.08 kˆ iˆ 0.025 BC kˆ ˆj
ˆj
AB 75 kˆ
aC 140.625 ˆj 0.08 BC ˆj 0.025 BC iˆ
aC 0.025 BC iˆ 0.08 BC 140.625 ˆj
vB
B
y
aC aC iˆ 0 ˆj
25 mm
aC 0.025 BC
0.08 BC 140.625 0
x
z
A
vB vA AB
vB 0 75 kˆ 0.025 ˆj
vB 0 75 0.025 kˆ ˆj vB 1.875 iˆ
ˆm
aC 0.025 1757.81 aC 43.945 i s 2
140.625 1757.81 rad
BC
BC
0.08
s2
iˆ
aB aA AB B A AB AB B A
AB 0 AB é cte
aB 0 0 0.025 ˆj 75 kˆ 75 kˆ 0.025 ˆj
aB 75 kˆ 75 0.025 kˆ ˆj
1.875
iˆ
aB 75 1.875 kˆ iˆ
6. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si
conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos
fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade
angular AB = 5 rad/s, no sentido horário. Pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra BC;
(b) a velocidade angular da barra CD.
A
0.18 m
B
aB 140.625 ˆj
y
80 mm
B
iˆ
z
vB
C
0.20 m
D
x
C
y
z
0.12 m
x
BC BC kˆ
vC vB BC BC
0.12 m
vC
Barra AB: Colocando o eixo 0 em A:
y
z
x
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
0.2 CD 0.9
CD 0.12 0.24 BC
A
0.18 m
0.9
CD
0.2
0.12 0.12 4.5
CD
BC
BC
0.24
0.24
B
vB
AB AB kˆ
vB vA AB AB
ˆ rad
CD 4.5 k s
2.25 kˆ rad
s
BC
AB B A 0; 0.18 0,0
AB 0.18 ˆj
vB 0 5 kˆ 0.18 ˆj vB 0.9 iˆ
^
y
Barra BC:
A
z
10
7. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si
conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos
fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade
angular AB = 8 rad/s, no sentido horário. Pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra BC;
(b) a velocidade angular da barra CD.
x
B
0.18 m
B
0.10 m
C
D
C
0.20 m
D
0.25 m
0.12 m
0.12 m
vC vB BC BC
y
BC C B 0.24; 0.18 0; 0.18
BC 0.24 iˆ
BC BC kˆ
vC 0.9 iˆ BC kˆ 0.24 iˆ
vC 0.9 iˆ BC 0.24 kˆ iˆ
x
z
Barra AB:
AB B A AB 0.35 ˆj
vB 0 AB kˆ 0.35 ˆj vB 0.35 8 iˆ vB 2.8 iˆ
vC 0.9 iˆ 0.24 BC ˆj
Barra BC:
vC vB BC BC
Barra DC:
vC vD CD CD
BC C B 0.12;0.25 0;0.35
CD D C 0.12; 0.38 0.24; 0.18
CD 0.12 iˆ 0.20 ˆj
vC 0 CD kˆ 0.12 iˆ 0.20 ˆj
vC CD 0.12 kˆ iˆ CD 0.2 kˆ ˆj
ˆj
vC 0.2 CD iˆ CD 0.12 ˆj
Logo:
0.25 m
0.12 m
vB vA AB AB
ˆj
A
BC 0.12 iˆ 0.1 ˆj
vC 2.8 iˆ BC kˆ 0.12 iˆ 0.1 ˆj
vC 2.8 iˆ 0.12 BC kˆ iˆ 0.1 BC kˆ ˆj
ˆj
vC 2.8 0.1 BC iˆ 0.12 BC ˆj
iˆ
Barra CD:
vC vD CD CD
iˆ
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
CD D C 0.37;0.25 0.12;0.25
CD D C 0.45; 0.12 0.25; 0.12
CD 0.25 iˆ
vC 0 CD kˆ 0.25 iˆ vC 0 iˆ 0.25 CD ˆj
CD 0.2 iˆ
vC 0 CD kˆ 0.2 iˆ vC 0 iˆ 0.2 CD ˆj
2.8 0.1 BC 0
0.12 BC 0.25 CD
2.8
rad
BC 28 kˆ
0.1
s
0.96 0.08 BC 0
0.2 CD 2
BC
0.12 28 13.44 kˆ rad
CD
s
CD 0.25
0.96
ˆ rad
BC 0.08 BC 12 k s
2 10 kˆ rad
CD
s
CD 0.2
8. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si
conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos
fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade
angular AB = 8 rad/s, no sentido horário. Pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra BC;
(b) a velocidade angular da barra CD.
y
A
z
11
9. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si
conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos
fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade
angular AB = 10 rad/s, no sentido anti-horário. Pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra BC;
(b) a velocidade angular da barra CD.
y
A
x
0.12 m
x
z
B
0.08 m
D
C
0.25 m
0.35 m
0.20 m
Barra AB:
B
vB vA AB AB
AB
C
A AB 0.25 iˆ 0.12 ˆj
B
0.25;0.12
0;0
vB 0 8 kˆ 0.25 iˆ 0.12 ˆj
0.12 m
vB 8 0.25 kˆ iˆ 8 0.12 kˆ ˆj
ˆj
vC 0.96 iˆ 2 ˆj BC kˆ 0.08 ˆj
vC 0.96 iˆ 2 ˆj 0.08 BC kˆ ˆj
iˆ
vC 0.96 0.08 BC iˆ 2 ˆj
vC vD CD CD
0;0
vB 0 10 kˆ 0.35 ˆj
BC C B 0.25; 0.2 0.25; 0.12
Barra CD:
B A AB 0.35 ˆj
0;0.35
vC vB BC BC
0.25 m
Barra AB:
AB
Barra BC:
BC 0 iˆ 0.08 ˆj
0.10 m
vB vA AB AB
iˆ
vB 0.96 iˆ 2 ˆj
D
vB 3.5 iˆ
Barra BC:
vC vB BC BC
BC C B 0.12; 0.45 0; 0.35
BC 0.12 iˆ 0.1 ˆj
vC 3.5 iˆ BC kˆ 0.12 iˆ 0.1 ˆj
vC 3.5 iˆ 0.12 BC kˆ iˆ 0.1 BC kˆ ˆj
ˆj
iˆ
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
vC 3.5 0.1 BC iˆ 0.12 BC ˆj
BC C B 0.25;0.12 0.07; 0.07
Barra CD:
vC vD CD CD
CD D C 0.37; 0.45 0.12; 0.45
CD 0.25 iˆ
vC 0 CD kˆ 0.25 iˆ vC 0 iˆ 0.25 CD ˆj
3.5 0.1 BC 0
0.25 CD 0.12 BC
3.5
rad
BC 35 kˆ
0.1
s
BC
0.12 35 16.8 kˆ rad
CD
s
CD 0.25
10. A barra AB, gira com frequência constante f
=954.96 r.p.m. No sentido horário. Pela articulação, a barra
BC encontra-se articulada à barra AB e ao curso C, que está
vinculado à uma haste horizontal fixa, e desta forma, deslocase apenas na horizontal. Para o instante ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra CB;
(b) a velocidade do cursor C.
(c) a aceleração do cursor C.
0.32 m
C
0.12 m
Ay
x
z
Barra AB:
954.96
Hz
60
rad
2 f 100 kˆ
s
vB vA AB AB
AB
B A AB 0.07 iˆ 0.07 ˆj
vB 0 100 kˆ 0.07 iˆ 0.07 ˆj
vB 7 iˆ 7 ˆj
Barra BC:
vC 7 iˆ 7 ˆj 0.32 BC kˆ iˆ 0.19 BC kˆ ˆj
ˆj
iˆ
vC 7 0.19 BC iˆ 0.32 BC 7 ˆj
vC 7 0.19 BC
0.32 BC 7 0
7
rad
BC 21.875 kˆ
0.32
s
12
BC
v 7 0.19 21.875 v 2.84 iˆ m
C
s
C
aB aA AB B A AB AB B A
AB 0 f
é constante.
aB 100 kˆ 100 kˆ 0.07 iˆ 0.07 ˆj
aB 100 kˆ 7 kˆ iˆ kˆ ˆj
ˆj
iˆ
aB 700 kˆ ˆj iˆ aB 700 kˆ ˆj kˆ iˆ
ˆj
iˆ
aB 700 iˆ 700 ˆj
f 954.96rpm
0;0
15.916
0.07;0.07
vC 7 iˆ 7 ˆj BC kˆ 0.32 iˆ 0.19 ˆj
aC 700 iˆ 700 ˆj BC kˆ 0.32 iˆ 0.19 ˆj
0.25 m
450
BC 0.32 iˆ 0.19 ˆj
aC aB BC C B BC BC C B
0.07 m
B
vC vB BC BC
21.875 kˆ 21.875 kˆ 0.32 iˆ 0.19 ˆj
ˆ
aC 700 iˆ 700 ˆj 0.32 BC k iˆ 0.19 BC kˆ ˆj
ˆj
iˆ
21.875 kˆ 21.875 0.32 kˆ iˆ 21.875 0.19 kˆ ˆj
ˆj
7
4.15625
iˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
aC 700 i 700 j 0.32 BC j 0.19 BC i
21.875 kˆ 21.875 0.32 kˆ iˆ 21.875 0.19 kˆ ˆj
ˆj
7
4.15625
iˆ
ˆ
ˆ
aC 700 0.19 BC i 700 0.32 BC j
153.125 kˆ ˆj 21.875 4.15625 kˆ iˆ
iˆ
ˆj
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
aC 700 0.19 BC iˆ 700 0.32 BC ˆj
0.045 iˆ 0.35 iˆ 2 0.35 ˆj 0.35 0.045
0.045
rad
0.1285 2
0.35
s
153.125 iˆ 90.9179 ˆj
aC 700 153.125 0.19 BC iˆ 700 90.9179 0.32 BC ˆj
12. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem
respectivamente
raios RA = 0,32 m e RB = 0,24 m. A
ˆ
ˆ
aC 546.875 0.19 BC i 609.082 0.32 BC j
engrenagem e1é fixa e permanece parada. A haste AB, gira no
sentido horário com velocidade angular AB = 13 rad/s.
Pedem-se:
(a) a velocidade angular da engrenagem e2;
(b) a aceleração do ponto P, de contato entre as
engrenagens que pertence à engrenagem e2.
aC aC iˆ 0 ˆj
609.082 0.32 BC 0
aC 546.875 0.19 BC
609.082
ˆ rad
BC 0.32 BC 1903.38 k s 2
a 546.875 0.19 1903.38 a 908.5 m
C
C
s2
361.642
13
y
11. Uma polia com raio R = 350 mm, é arrastada
através de seu centro A, por uma haste que desloca-se
horizontalmente a partir do repouso, com aceleração constante
ah = 45 mm/s2. A polia apoia-se em uma esteira e não
escorrega em relação à mesma. A esteira desloca-se com
velocidade constante ve = 100 mm/s. Para o instante em que a
haste alcança a velocidade vh = 250 mm/s, pedem-se:
(a) a velocidade angular da polia.
(b) a aceleração angular da polia,
vB vA AB AB
v 0 13 kˆ 0.56 iˆ
B
vB 7.28 ˆj
vPe vPe Ponto de engrenamento.
1
ah
2
vPe vB e2 BPe2
2
R
y
vPe
2
x
z
vh vO Oh 0.25 iˆ vO kˆ 0.35 ˆj
7.28
rad
e2 30.33
0.24
s
aB 0 kˆ 0.56 iˆ 13 kˆ 13 kˆ 0.56 iˆ
aB 94.64 iˆ 0.56 ˆj
aPe aA APe1 APe1
1
0.15
0.25 iˆ 0.1 iˆ 0.35 iˆ
0.35
ˆ
0.43 k
ae aO e O e O
aPe aB e2 BPe2 e2 e2 BPe2
2
O
0 aO 0.35 iˆ 0.064715 ˆj
aO 0.35 iˆ 0.064715 ˆj
e2
2
aPe 94.64 iˆ 0.56 ˆj 0.24 e2 ˆj 220.778 iˆ
2
aPe 94.64 220.778 iˆ 0.56 0.24 e2 ˆj
2
aPe 126.13 iˆ 0.56 0.24 e2 ˆj
2
0
ah aO h O h O
0.045 iˆ 0 kˆ 0.35 ˆj kˆ kˆ 0.35 ˆj
aPe aB e2 kˆ 0.24 iˆ 30.33 kˆ 30.33 kˆ 0.24 iˆ
2
aP aB 0.24 e ˆj 220.778 iˆ
ae aO kˆ 0.35 ˆj 0.43 kˆ 0.43 kˆ 0.35 ˆj
ˆ
ˆ
ˆ
0 a 0.35 i 0.43 0.1505 k i
2
aB aA AB AB AB AB
0.25 iˆ 0.1 iˆ 0.35 iˆ
7.28 0.24 e2 0 e2
ve
vO ve
7.28 ˆj e2 k 0.24 iˆ vPe 7.28 0.24 e2 ˆj
O
x
z
13. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem
respectivamente raios RA = 0,32 m e RB = 0,24 m. A
engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário com
velocidade angular e1 constante. A haste AB, gira no sentido
horário com velocidade angular AB = 13 rad/s. A engrenagem
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
B não gira em torno de si mesma, ou seja, apresenta-se em
translação. Pedem-se:
(a) a velocidade angular da engrenagem e1;
(b) a aceleração do ponto P, de contato entre as
engrenagens que pertence à engrenagem e2.
(b) a velocidade do ponto B da haste.
y
B
z
x
L
A
R
v
Colocando a origem em A:
y
B
z
x
14
C
vB vA AB AB
v 0 13 kˆ 0.56 iˆ
v cos 90
L
R
B
vB 7.28 ˆj
vPe vA e1 APe1
1
vPe 0 e1 kˆ 0.32 iˆ
1
A
z
vPe 0.32 e1 ˆj
1
vPe vB e2 BPe2 vPe 7.28 ˆj 0
2
2
vPe 7.28 ˆj
2
vPe vPe 0.32 e1 ˆj 7.28 ˆj
1
2
7.28
rad
e1
e1 22.75
0.32
s
aB aA AB AB AB AB
aB 0 kˆ 0.56 iˆ 13 kˆ 13 kˆ 0.56 iˆ
aB 94.64 iˆ 0.56 ˆj
/2
y
v
x
v cos 90 v sen30 5 0.5
2.5
R
30 R
tg
AC
tg15
2 AC
4
AC
AC 14.92
tg15
0.2679
vC
AC
2.5
rad
AC
AC 0.167
14.92
s
vB L AB vB 20 0.167
m
vB 3.349
s
vC AC AC AC
aPe aA e1 APe1 e1 e1 APe1
1
e 0 e é constante
1
1
aPe 22.75 kˆ 22.75 kˆ 0.32 iˆ aPe 165.62 iˆ
1
1
14. A barra AB de comprimento L = 20 m, é
articulada em A por onde passa eixo fixo e apresenta inclinada
de 300 em relação ao horizonte. A barra AB é empurrada pelo
disco de raio R = 4 m, que se move em translação com
velocidade constante v = 5 m/s, para a esquerda. No instante
ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade angular da haste;
15. Na figura ilustrada, o disco gira em torno do
eixo fixo, definido pela articulação A, no sentido horário, com
aceleração angular constante = rad/s2. No instante
ilustrado, a velocidade angular do disco é = 2 rad/s, e o
ângulo é = 300. Fixado ao disco, um pino P, desliza na
ranhura vertical de um dispositivo, que desloca-se apenas na
horizontal, limitado por uma guia fixa. O movimento deste
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
dispositivo é transmitido a um pistão. A distância do ponto A
ao pino P é, R = 0.2 m. Para o instante ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade do pistão;
(b) a aceleração do pistão.
rolamento são idênticas entre si, apresentam raio R = 0.0025
me, rolam sem escorregar, apoiadas em ambas as pistas. A
pista interna possui raio Ri = 0.0125 m. Pedem-se:
(a) a velocidade linear do centro das esferas;
(b) a velocidade angular das esferas.
y
P
R
z
R
x
Ri
15
A
O
P
R
y
B
R
y
z
x
z
A
x
A
Pe
Ri
vP
m
s
m
aTP R aTP 0.2 aTP 0.6283 2
s
vP R vP 2 0.2 vP 1.256
aNP 2 R aNP 2 0.2 aNP 7.895
2
vPistão vP cos30 vPistão 1.256 0.866
vPistão
Pi
m
s2
m
1.0877
s
O ângulo entre as acelerações tangencial e normal é
90°.
aTP cos
aNP cos
90
aN P
x
vA 4.712 ˆj
A velocidade do ponto Pi da esfera de rolamento
com a esfera interna é a mesma pois ela rola sem escorregar.
Logo:
vPi v0 OPi
vPi v0 R k iˆ vPi v0 R ˆj
ˆj
aTP
180 90 90
30 60
Como a aceleração do pistão está na direção x:
aPistão aTP cos aNP cos
aPistão 0.6283 cos30 7.895 cos 60
aPistão 0.544123 3.9475
aPistão
376.99
vPi v0 k R iˆ
P
vA Ri vA 2 f Ri
3600
m
vA 2
0.0125 vA 4.712
60
s
m
3.403 iˆ 2
s
3.16 O rolamento ilustrado, tem sua capa externa
fixa, enquanto que sua capa interna gira solitária a um eixo
também fixo, com freqüência f = 3600 rpm. As esferas do
vPi vA 4.712 ˆj 4.712 ˆj v0 R ˆj
Já no ponto externo da esfera de rolamento, que
está em contanto com a esfera fixa, sua velocidade é nula:
vPe v0 OPe
vPe v0 kˆ R iˆ 0 v0 R kˆ iˆ
ˆj
v0 R ˆj
Substituindo {2} em {1}, teremos:
4.712 ˆj v0 R ˆj
4.712 ˆj R ˆj R ˆj
4.712 ˆj 2 R ˆj 2 R 4.712
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
4.712
4.712
rad
942.4
2 R
2 0.0025
s
rad
942.4 kˆ
s
v0 R ˆj
α
B
v0 942.4 0.0025 ˆj
C
0.3 m
0.1 m
m
v0 2.356 ˆj
s
A
17. O disco ilustrado rola sem escorregar, apoiado
em superfície horizontal, e seu centro C, apresenta velocidade
constante vC 0.04 m s . A barra AB, de comprimento L =
0.3 m, é acionada pelo disco, através da articulação B, e
mantém seu extremo A, em contato permanente com a
superfície horizontal. A articulação B, dista 0.1 m, do centro C
do disco. Para o instante ilustrado, quando = 300, pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra AB;
(b) a velocidade do ponto A da barra.
α
90°-
O
Da figura:
H
P
90 90 30
60
16
BH
BH
sen60
BH 0.259
0.3
AB
BH
0.259
0.259
tg
tg 60
OH
tg 60
OH
OH
sen
0.1495
B
C
0.3 m
0.1 m
A
vB vC CB
B CB sen ; CB cos
B 0.1 sen30;0.1 cos30
CB 0.05 iˆ 0.0866 ˆj
vB vC CB
OP OH PH OP OH CB sen
OP 0.1495 0.1 sen30
OP 0.0995
CP
R
tg 90
tg 90 30
OP
OP
R
tg 60
R OP tg 60 R 0.0995 1.732
OP
R 0.172
vP vC CP
0 0.04 iˆ kˆ 0.172 ˆj
0 0.04 iˆ 0.172 kˆ ˆj
iˆ
0.04
rad
0.2325
0.172
s
vB vC CB
vB 0.04 iˆ 0.2325 kˆ 0.05 iˆ 0.0866 ˆj
vB 0.04 iˆ 0.2325 0.05 kˆ iˆ 0.2325 0.0866 kˆ ˆj
ˆj
iˆ
vB 0.04 iˆ 0.01162 ˆj 0.020135 iˆ
vB 0.060135 iˆ 0.01162 ˆj
A Ax ; Ay Ax AB cos PH Ay R
CBsen
A Ax ; Ay 0.3 cos 60 0.1 cos30; 0.1645
A Ax ; Ay 0.063; 0.1645
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
BA A B 0.063; 0.1645 0.05;0.0866
0.09 iˆ 0 kˆ 0.03 ˆj 0.09 iˆ 0.03 iˆ
0.09
rad
0.09 0.03
3
0.03
s
aBT aD
BA 0.113; 0.2511
BA 0.113 iˆ 0.2511 ˆj
vA vB BA BA
vA 0.060135 iˆ 0.01162 ˆj BA kˆ 0.113 iˆ 0.2511 ˆj
0.45
rad
5 2
0.09
s
aB aBT aBN
R1 0.45
vA 0.060135 iˆ 0.01162 ˆj 0.113 BA ˆj 0.2511 BA iˆ
vA 0.060135 0.2511 BA iˆ 0.01162 0.113 BA ˆj
vA vA iˆ 0 ˆj
vA 0.060135 0.2511 BA
0.01162 0.113 BA 0
m
vA 0.060135 0.2511 0.1 vA 0.035 s
0.01132
rad
BA
BA 0.100
0.113
s
18. Um carretel constituído por cilindros de raios R1
= 90 mm e R2 = 120 mm, é acionado por um fio enrolado ao
mesmo, conforme ilustrado. O fio não escorrega em relação ao
carretel. O carretel não escorrega em relação ao piso. O ponto
D, da extremidade do fio, desloca-se a partir do repouso, com
aceleração constante à aD = 450 mm/s2. Para o instante que
este ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s, pedem-se:
(a) a aceleração do ponto A, do carretel;
(b) a aceleração do ponto B, do carretel.
aB R1 iˆ 2 R1 ˆj
m
aB 0.45 iˆ 0.81 ˆj 2
s
AB B A AB 0; 0.09 0;0
17
AB 0.09 ˆj
Aplicando a semelhança entre os triângulos:
R2
R1
R2 R1
aA
aBT
CIR
aA
R2
a
0.12
A
aBT R2 R1
aBT 0.12 0.09
aA 0.12
aA 4 aBT aA 4 0.45
aBT 0.03
aA 1.8 iˆ
y
z
R2
A
R1
x
D
B
C
A velocidade no ponto D é a mesma, no instante
considerado, que a velocidade no ponto B do carretel; a
aceleração tangencial no ponto B é a mesma do ponto D, pois
o fio não escorrega.
A velocidade no ponto C é nula,pois o carretel não
desliza em relação ao solo e colocando a origem no ponto A:
vB vC CB
A 0;0 B 0; 0.09 C 0; 0.12
CB B C CB 0; 0.09 0; 0.12
CB 0.03 ˆj
19. Um carretel constituído por cilindros de raios R1
= 90 mm e R2 = 120 mm, é acionado por um fio enrolado ao
mesmo, conforme ilustrado. O fio não escorrega em relação ao
carretel. O carretel não escorrega em relação ao piso. O ponto
D, da extremidade do fio, desloca-se a partir do repouso, com
aceleração constante à aD = 450 mm/s2. Para o instante que
este ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s, pedem-se:
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
(a) a aceleração do ponto A, do carretel;
(b) a aceleração do ponto B, do carretel.
Aplicando a semelhança entre os triângulos:
aBT
R1
aA
R2 R1
y
CIR
z
R2
x
D
B
aA
R2
a
0.12
A
18
aBT R2 R1
aBT 0.12 0.09
R2
A
aA 0.12
4
4
aA aBT aA 0.45
aBT 0.21
7
7
R1
C
aA 0.26 iˆ
A velocidade no ponto D é a mesma, no instante
considerado, que a velocidade no ponto B do carretel; a
aceleração tangencial no ponto B é a mesma do ponto D, pois
o fio não escorrega.
A velocidade no ponto C é nula,pois o carretel não
desliza em relação ao solo e colocando a origem no ponto A:
20. Um pequeno automóvel, tem rodas dianteiras
com diâmetro 0.45 m e traseiras com diâmetro 0.60 m e
desloca-se em translação com aceleração constante a = 4.7
m/s2. No instante considerado, a velocidade do mesmo é 20
m/s (72 km/h). Considerando-se que não ocorra
escorregamento entre as rodas e o piso, para o instante
descrito, pedem-se:
(a) a velocidade angular da roda dianteira;
(b) a velocidade angular da roda traseira;
(c) a velocidade do ponto superior da roda
dianteira;
(d) a velocidade do ponto superior da roda traseira;
(e) a aceleração do ponto superior da roda traseira.
vB vC CB
A 0;0 B 0;0.09 C 0; 0.12
CB B C CB 0;0.09 0; 0.12
CB 0.21 ˆj
0.09 iˆ 0 kˆ 0.21 ˆj 0.09 iˆ 0.21 iˆ
0.09
rad
0.428
0.21
s
aBT aD
0.09 0.21
aT
0.45
rad
5 2
0.09
s
aB aBT aBN
vs
R1 0.45
R
aB R1 iˆ 2 R1 ˆj
a
v 20 iˆ
0.4282 0.09
m
aB 0.45 iˆ 0.017 ˆj 2
s
R
CIR
R2
vs 2 R
vs 2 v
v
R
m
vs 40
s
as 2 R
as 2 a
a
R
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
aT 2 4.7 aT 9.4
m
s2
No C.I.R.:
vCIR 0 v R
v
R
v
20
rad
RD
RD 88.89
RD
0.45 2
s
v
20
rad
RT
RT 66.67
RT
0.60 2
s
R
D
R
T
a aN aT
a 9.4 iˆ 66.72 0,3 ˆj
a 9.4 iˆ 1333.3 ˆj
a 9.42 1333.32 a 1333, 4
m
s2
21. Um tambor de raio R = 0.45 m, é acionado
através de uma corda enrolada no mesmo, com o intuito de
fazê-lo subir um degrau de altura 0.25 m. No instante em que
o tambor perde contato com o plano horizontal, o topo do
tambor tem velocidade vC = 0.15 m/s. Não ocorre
escorregamento entre o tambor e o degrau. Para o instante
descrito, pedem-se:
(a) a velocidade angular do tambor;
(b) a velocidade do centro do tambor.
F
R
h
vC
2
CP SC SP
2
CP 0.652 0.40312
CP 0.764
SP
0.401
tg
tg
tg 0.6169
0.65
SC
arctg 0.6169 31.67
vC
vC rCP
rCP
0.15
rad
0.196
0.7648
s
m
v R v 0.196 0.45 v 0.09
s
O
R
S
z
F
A
P
450
Nesse instante, o centro instantâneo de rotação é o
ponto P: logo:
SC 2R h SC 2 0.45 0.25 SC 0.65
2
2
CP SC SP
OS
Rh
cos
cos
R
R
x
vA
B
B
19
22. No arranjo ilustrado, os cursores A e B, estão
articulados aos extremos A e B de uma barra, e desta forma
fica garantido que a distância entre os mesmos não se altera.
Os cursores deslizam livremente encaixados em sulcos que
limitam seus movimentos, desta forma, ao cursor A só é
permitido deslocamento vertical e ao cursos B só é permitido
deslocamento na direção inclinada de 45 0 em relação à
vertical. O cursor A, desloca-se na vertical, subindo, com
velocidade constante vA = 2 m/s. Para estas condições, pedemse: (a) o CIR – Centro instantâneo de rotação da barra AB;
(b) a velocidade angular da barra AB;
(c) a velocidade do cursor B.
y
C
h
0.45 0.25
cos 0.444
0.45
arccos0.444 63.61
SP
sen
SP R sen
R
SP 0.45 sen63.612
SP 0.4031
cos
10m
CIR = B
vA
rAB
2
rad
0.2
10
s
vA rAB
vB 0
23. A roda ilustrada possui raio R = 0.2 m, gira com
velocidade angular = /2 rad/s no sentido horário e seu
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
centro se desloca com velocidade vC = 0.2 m/s para a direita.
Pedem-se:
(a) o CIR da roda;
(b) determinar se a roda escorrega ou não;
(c) a velocidade do ponto de contato com o piso.
y
y
z
x
vC
C
B
A
x
z
30
CIR
0.4 0.288 0.288 0.192
0.688 m
0.480 m
R
20
vC r r
r
vC
0.2
2
Para o CIR no ponto de contato, sem derrapar:
vC
0.2
rad
1
r
0.2
s
r 0.1273
R r 0.2 0.1273 rCIR 0.073m
vC r
rCIR
Como 1 < , a roda irá derrapar...
24. No arranjo ilustrado, três engrenagens estão
engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos
A, B e C. A engrenagem E1 é fixa, ou seja, mantém-se
estacionária. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que
passa pelo ponto A, com velocidade angular = 30 rad/s, no
sentido horário. Para o instante ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade angular da engrenagem E2;
(b) a velocidade angular da engrenagem E3;
(c) a velocidade do ponto da engrenagem E3, que
faz contato com a engrenagem E2;
(d) a aceleração do ponto da engrenagem E3, que
faz contato com a engrenagem E2;
vPE
2
vPE E
vB
2 3
vC
m
s
vB ABC rA rB vB 30 0.688 vB 20.64
vC ABC rE1 2 rE2 rE3 vC 30 1.168 vC 35.04 ˆj
A 0 vA 0 ve 0
m
s
P2
vB AB rAB vB 30 0.688 vB 20.64 ˆj
m
s
vPE vB E2 BPE2
2
0 20.64 ˆj E2 kˆ 0.288 iˆ 20.64 ˆj 0.288 E2
E
2
20.64
E2 71.66 kˆ
0.288
vPE E vB E2 BPE2 E3
2 3
vPE E 20.64 ˆj 71.66 kˆ 0.288 iˆ
2 3
vPE E 20.64 ˆj 20.638 ˆj vPE E 41.28 ˆj
2 3
2 3
vPE E vC E3 CPE2 E3
2 3
41.28 ˆj vC 35.04 ˆj E3 kˆ 0.192 iˆ
41.28 ˆj vC 35.04 ˆj 0.192 E3 ˆj
E
3
41.28 35.04
E3 32.5
0.192
rad
E3 32.5 kˆ
s
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
vPE vB E2 BPE2
2
aC aA ABC AC ABC ABC AC
30
CIR
aC 0 0 30 kˆ 30 kˆ 1.168 iˆ
aC 1051.2 iˆ
y
z
x
aPE E aC E3 CPE2 E3 E3 E3 CPE2 E3
A
2 3
C
B
0.4 0.288 0.288 0.192
aPE E 1051.2 iˆ 32.5 kˆ 32.5 kˆ 0.192 iˆ
2 3
0.688 m
0.480 m
21
aPE E 1051.8 iˆ 32.5 kˆ 6.24 ˆj
2 3
aPE E 1051.8 iˆ 202.176 iˆ
2 3
m
aPE E 849.624 iˆ 2
2 3
s
25. No arranjo ilustrado, três engrenagens estão
engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos
A, B e C. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que
passa pelo ponto A, com velocidade angular = 30 rad/s, no
sentido horário. A engrenagem E3 não gira sobre si mesmo, ou
seja, apresenta movimento de translação. Para o instante
ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade angular da engrenagem E2;
(b) a velocidade angular da engrenagem E1;
(c) a velocidade do ponto da engrenagem E3, que
faz contato com a engrenagem E2;
(d) a aceleração do ponto da engrenagem E3, que
faz contato com a engrenagem E2;
vC ABC rAC vC ABC rA 2 rB rC
vC 30 0.4 2 0.288 0.192 vC 35.04
1.1618
vC 35.04 ˆj
E 0 vP
3
E3E2
m
s
vC E3 PE3E2
vPE E vC
3 2
vB ABC rAB vB ABC rA rB
y
z
vB 30 0.4 0.288
x
m
s
vB E2 BPE2 E3
vB 20.64 ˆj
vPE E
2 3
vPE E 20.64 ˆj E2 kˆ 0.288 iˆ
2 3
vPE E 35.04 ˆj 20.64 0.288 E2 35.04
2 3
E
2
20.64 35.04
14.4
E2
0.288
0.288
rad
E2 50 kˆ
s
vPE E vB E2 BPE2 E1
2 1
vPE E 20.64 ˆj 50 kˆ 0.288 iˆ
2 1
vPE E 20.64 ˆj 50 0.288 kˆ iˆ
2 1
ˆj
vPE E 20.64 ˆj 14.4 ˆj
2 1
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
vPE E 6.24 ˆj
2 1
m
s
y
m
vPE E
1 2
s
vA E1 APE1E2
vPE E 6.24 ˆj
2 1
vPE E
1 2
z
E 15.6 kˆ
1
rad
s
0
aPE E aB E2 BPE2 E3 E2 E2 BPE2 E3
2 3
2 3
619.2 iˆ 50 kˆ 50 kˆ 0.288 iˆ
619.2 iˆ 50 kˆ 50 0.288 kˆ iˆ
ˆj
aP 619.2 iˆ 50 14.4 kˆ ˆj
E2E3
B
C
2
0.1m
m
s
vB E2 BPE2 E1
vB 2.5137 ˆj
vPE E
2 1
vPE E 0 2.5137 ˆj E2 kˆ 0.1 iˆ
2 '1
0 2.5137 ˆj 0.1 E2 ˆj
2.5137
0.1
rad
E2 25.1 kˆ
s
E
2
iˆ
m
aPE E 1339.2 iˆ 2
2 3
s
0.1m
vB ABC rA rB vB 2 0.4 vB 2.5137
aB 30 kˆ 30 kˆ 0.688 iˆ
aB 619.2 iˆ
aPE E
E3
22
0.1m
0.3m
aB aA ABC AB ABC ABC AB
2 3
E2
6.24
0.4
0
aPE E
E1
A
6.24 ˆj 0 E1 kˆ 0.4 iˆ
6.24 ˆj 0.4 E1 ˆj E1
x
vPE E vC E3 CPE3E2
3 2
vC ABC rA 2 rB rC
vC 2 0.3 2 0.1 0.1 0.1 vC 3.77
m
s
m
vC 3.77 ˆj
s
vPE E vB E2 BPE2 E3
2 3
vPE E 2.5137 ˆj 25.1 kˆ 0.1 iˆ
2 3
vPE E 2.5137 ˆj 2.5 ˆj
2 3
26. No arranjo ilustrado, três engrenagens estão
engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos
A, B e C. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que
passa pelo ponto A, com velocidade angular = 2 rad/s, no
sentido horário. A engrenagem E1 é fixa e permanece
estacionária. Para o instante ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade angular da engrenagem E2;
(b) a velocidade angular da engrenagem E3;
m
vPE E 5.0137 ˆj
2 3
s
vPE E vPE E
2 3
3 2
vPE E vC E3 CPE3E2
3 2
5.0137 ˆj 3.77 ˆj E3 kˆ 0.1 iˆ
5.0137 ˆj 3.77 ˆj 0.1 E3 ˆj
m
s
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
E
3
5.0137 3.77
rad
E3 12.34
0.1
s
rad
E3 12.34 kˆ
s
27. Uma viga de comprimento 4.0 m, é abaixada
por intermédio de dois cabos presos em suas extremidades A e
B. No instante em que se aplicam os freios ocorre um
problema, e cada extremidade é desacelerada de forma
diferente, desta forma, a extremidade A desacelera com
aceleração aA = 3.0 m/s2 enquanto a extremidade B desacelera
com aB = 5.0 m/s2. Pedem-se:
(a) a aceleração angular da viga;
(b) a aceleração do ponto médio da barra.
23
4m
aA
A
B
y
v
z
x
aA aC CA CA
aA ac ˆj kˆ 2 iˆ kˆ kˆ 2 iˆ
2 ˆ
aA 2 i ac 2 ˆj
3 ˆj
aB aC CB CB
aB ac ˆj kˆ 2 iˆ kˆ kˆ 2 iˆ
2 ˆ
aB 2 i aC 2 ˆj
5 ˆj
0
m
rad
aC 2 5 ac 4 2 0.5 2
s
s
a 2 3
C
m
rad
ac 4 ˆj 2 0.5 kˆ 2
s
s
aB
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
No instante de contato (demonstre):
Exercícios – Livros: Kraige, B.J. e Hibbeler
1. Determine as relações entre as grandezas angulares
do movimento de uma roda de raio r que gira sem escorregar
no chão em termos de suas grandezas lineares, velocidade e
aceleração do seu centro, o ponto O indicado na figura.
= 0.
vC 0 aC r 2 ˆj
2. Os pontos A e B da barra movem-se sobre os guias
mostrados. Se vA = 2 m/s para baixo, determine a velocidade
de B no instante que = 450.
24
vB vA rAB
Observe que o deslocamento linear s do centro O da
roda é igual ao arco de comprimento C A . Adotamos a
origem do sistema de coordenadas como o ponto C de contato
da roda com o chão.
Relações:
x r
v0 r
2 ˆ
2 ˆ
i 0.2
j
2
2
rAB 0.1 2 iˆ 0.1 2 ˆj
v v kˆ r
rAB 0.2
a0 r
Da figura, observe que:
x s r sen x r sen
B
A
AB
r
vB 2 ˆj kˆ 0.1 2 iˆ 0.1 2 ˆj
r
vB 2 ˆj 0.1 2 kˆ iˆ 0.1 2 kˆ ˆj
y s r cos y r cos
Para obter as velocidades, faremos as derivadas com
respeito ao tempo:
dx
dr
d
d
x sen r
cos
dt
dt
dt
dt
x r sen r cos
x r sen r 1 cos
0
v0
x v0 1 cos
Analogamente:
Para
Encontra-se:
rAB B A rAB 0.2 sen450 ,0 0,0.2 cos 450
a
y v0 sen
aceleração, derivamos as
x a0 1 cos r 2 sen
y a0 sen r 2 cos
vC x iˆ y ˆj
aC x iˆ y ˆj
velocidades.
ˆj
iˆ
vB 0.1 2 iˆ 2 0.1 2 ˆj
Mas:
vB vb iˆ
m
vb 10 2 0.1 2 vb 2 s
vb 0.1 2
2
rad
2 0.1 2 0
10 2
0.1 2
s
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
2. O cilindro da figura rola sem escorregar sobre a
superfície da esteira que possui velocidade vC = 2 ft/s,
horizontal. Determine a velocidade do ponto A do cilindro. O
cilindro possui uma velocidade angular no sentido horário de
15 rad/s.
r
r
rBA
rBA
sen450
r
ft
15
vA B 10.6
0
sen45
s
vA vB vBA
vA B rBA sen450
vA B
vAx vBx vBA x vAx 2 10.6 cos 450 vAx 9.6
vAy vBy vBA y vAx 0 10.6 sen450 vAy 7.5
25
3. O colar C está se movendo para baixo com uma
velocidade de 2 m/s. Determine a velocidade angular da barra
CB nesse instante.
vA vB rBA
vB vC 2 iˆ
rBA BA A B rBA 0.5,0 0, 0.5
rBA 0.5 iˆ 0.5 ˆj
15 kˆ
vA 2 iˆ 15 kˆ 0.5 iˆ 0.5 ˆj
vA 2 iˆ 15 0.5 kˆ iˆ 15 0.5 kˆ ˆj
vA 2 iˆ 7.5 ˆj 7.5 iˆ
vA 2 iˆ 7.5 ˆj 7.5 iˆ
ft
vA 9.5 iˆ 7.5 ˆj
s
ft
vA 9.52 7.52 vA 12.1
s
vA
7.5
arctg y arctg 38.2
9.5
vAx
ft
vA 12.1
s
38.20
O movimento de C para baixo causa uma rotação no
sentido anti-horário da barra CB.
vB vC CB rCB
rCB B C 0.2,0 0,0.2
Solução: Análise escalar:
rCB 0.2 iˆ 0.2 ˆj
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
2 ˆj kˆ 0.2 iˆ 0.2 ˆj
vB 2 ˆj kˆ 0.2 iˆ 0.2 ˆj
vB
ˆj
Veja como foi aplicada a lei dos co-senos:
iˆ
vB 2 ˆj 0.2 kˆ iˆ 0.2 kˆ ˆj
vB 0.2 iˆ 0.2 2 ˆj vB 2 iˆ
0.2 2
2
rad
10
0.2
s
0.2 2 0
α
c
b
a
a2 b2 c2 2 b c cos
b2 a 2 c2 2 a c cos
26
c a b 2 a b cos
2
4. Uma roda de raio 300 mm rola para a direita sem
escorregar, com velocidade de seu centro O dada por: v0 = 3
m/s. Calcule a velocidade do ponto A da roda no instante
representado.
2
2
b
c
180°-
b2a a 2 c2 2 a c cos 180
cos cos cos sen sen
cos 180 cos180 cos sen180 sen
1
cos 180 cos
Solução 1: Geométrica-escalar:
0
b a 2 c2 2 a c cos
2
Solução 2: Vetorial:
vA vO vA O
vA 3 iˆ A O
vA vO vA O
A velocidade angular no ponto A é a mesma que no
ponto C da periferia:
A r0 cos 30; r0 sen30 A 0.1732;0.1
0.2
O 0;0 A O 0.1732 iˆ 0.1 ˆj
10 kˆ
vA 3 iˆ 10 kˆ 0.1732 iˆ 0.1 ˆj
3
rad
v0 r
10
0.3
s
vA 3 iˆ 10 0.1732 kˆ iˆ 10 0.1 kˆ ˆj
m
vA O r0 vA O 0.2 10 vA O 2
s
vA2 vO2 vA2 O 2 vO vA O cos 60
vA 3 iˆ 1.732 ˆj 1 iˆ vA 4 iˆ 1.732 ˆj
m
vA 42 1.7322 vA 19
s
m
vA 19
23.4
s
1
m
vA2 32 22 2 3 2 vA2 19 vA 19
2
s
ˆj
iˆ
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
vD 1.2 iˆ 8 kˆ 0.15 iˆ
5. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre
a cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro
A é de 1.2 m/s para a direita. Determinar:
(a) a velocidade angular da engrenagem,
(b) as velocidades da cremalheira superior R e do
ponto D da engrenagem.
ˆj
vD 1.2 iˆ 8 0.15 kˆ iˆ
m
vD 1.2 iˆ 1.2 ˆj
s
m
vD 1.22 1.22 vD 2.88 1.7
s
tan 1 45
m
m
vD 1.2 iˆ 1.2 ˆj vD 1.7 4527
s
s
Como a engrenagem rola sobre a cremalheira
inferior, seu centro A percorrerá uma distância igualao
comprimento da circunferência exterior, 2r1, para cada
rotação completa da engrenagem. Como 1 ver = 2 rade,
quando A rola para a direita, (xA > 0), a engrenagem gira em
sentido horário ( < 0), escrevemos:
xA r1
dxA
d
r1
vA r1
dt
dt
v
1.2
rad
A
8
r1
0.150
s
rad
kˆ 8 kˆ
s
O rolamento é decomposto em dois movimentos: um
de translação do centro A e outro de rotação ao redor deste
centro. Na translação, todos os pontos da engrenagem
deslocam-se com a mesma velocidade va. Na rotaça, cada
ponto P da engrenagem se desloca ao redor de A com
velocidade:
Resumindo:
vC vA AC
0
vA
1.2
R
0.15
8 rad / s
vR vB vA AB
vR vB 1.2 iˆ 8 kˆ 0.1 ˆj
m
vR vB 1.2 iˆ 0.8 iˆ vB 2 iˆ
s
vD vA AD
vD 1.2 iˆ 8 kˆ 0.15 iˆ vD 1.2 iˆ 1.2 ˆj
vP rAP rAP P A
Aqui rPA é o vetor de posição de P em relação a A.
Assim, a velocidade da cremalheira superior é a
velocidade do ponto B:
vR vB vB vA vAB
vB vA rAB
vB 1.2 iˆ 8 kˆ 0.1 ˆj
iˆ
vB 1.2 iˆ 0.8 kˆ ˆj
m
vB 1.2 iˆ 0.8 iˆ vB 2.0 iˆ
s
Velocidade do ponto D:
vD vA rAD
(c) Se a aceleração do ponto A vale 3 m/s2 para a
direita e sua velocidade 1.2 m/s para a direita, determine a
aceleração angular da engrenagem e as acelerações dos pontos
B, C e D da engrenagem.
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
Ponto
A
B
C
D
x(m)
0
0
0
-0.15
Vetores
arctg
y(m)
0
0.1
-0.15
0
aBx
⦫52
0
3 iˆ 3 iˆ 8 kˆ 1.2 iˆ
aC 3 iˆ 20 kˆ 0.15 ˆj 8 kˆ 8 kˆ 0.15 ˆj
aC
3 iˆ 0.15 iˆ 8 kˆ 1.2 iˆ
aC 3 iˆ kˆ 0.15 ˆj 8 kˆ 8 kˆ 0.15 ˆj
3
0.15
rad
20 20 kˆ 2
s
aCT 3 0.15 0
aC 9.6 ˆj
m
aC 9.6 2
s
900
0
m
aC 9.6 2 90
s
aC 3 0.15 iˆ 9.6 ˆj
m
s2
6.4
520
5
aC aA C A C A
D A 0.15 iˆ
aC aA C A C A
aC
arctg
aB 8.12
C A 0.15 ˆj
B A 0.1 ˆj
aB y
28
6. No sistema esboçado, a manivela AB possui uma
velocidade angular constante de 2000 rpm (freqüência f) no
sentido horário. Determinar para a posição da manivela
indicada na figura:
(a) a velocidade angular da biela BD.
(b) a velocidade do pistão P.
Cálculo das acelerações nos pontos;
aD aA D A D A
3 iˆ 3 ˆj 8 kˆ 1.2 ˆj
aD 3 iˆ 20 kˆ 0.15 iˆ 8 kˆ 8 kˆ 0.15 iˆ
aD
aD 3 iˆ 3 ˆj 9.6 iˆ
aD 12.6 iˆ 3 ˆj
aD 12.62 32 aD 12.95
arctg
aD y
arctg
aDx
aD 12.95
m
s2
m
s2
200 rad
rad
209.45
3
s
s
⦨13.40
3 iˆ 2 iˆ 8 kˆ 0.8 iˆ
aB 5 iˆ 6.4 ˆj
aB 52 6.4 aB 8.12
2
1
100
Hz f
Hz
60
3
3
13.40
12.6
aB 3 iˆ 20 kˆ 0.1 ˆj 8 kˆ 8 kˆ 0.1 ˆj
aB
f 2000rpm f 2000
2 f
aB aA B A B A
m
s2
vAB r AB vAB 0.0762 209.45
m
vAB 15.95 500
s
Movimento da Biela BD:
Aplicando a lei dos senos:
sen
sen40
sen40
sen 0.0762
0.0762 0.203
0.203
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
sen 0.241 arcsen0.241 13.96
vB BC BD 628.13 10.14 BD
BD 62 rad s
Observe que a velocidade vD do ponto D, onde a biela
se une ao pistão, deve ser horizontal. Decompondo o
movimento de BD:
Movimento plano de BD= Translação + rotação
vD CD BD vD 43.6 m s
7. A barra AB de 0.2 m de comprimento está presa a
uma roda de 0.1 m de raio que gira no sentido horário a 30
rad/s quando = 600. Determine a velocidade angular da barra
BC e da roda nesse instante.
vD vB vDB
29
Fazendo o diagrama vetorial dessa relação:
vD
v
vB
DB
sen53.9 sen50 sen76.1
vD
v
15.9
15.9
DB
vDB sen50
sen53.9 sen50 sen76.1
sen76.1
m
vDB 12.5 76.1°
s
15.9
m
vD sen53.9
vD 13.2
sen76.1
s
Utiizando o CIR:
vB AB rAB
vB 30 kˆ 0.2 cos 600 iˆ 0.2 sen600 ˆj
B 40
D 90
13.95
B 53.95
D 76.05
vB 30 0.2 cos 600 kˆ iˆ 30 0.2 sen600 kˆ ˆj
vB 3 ˆj 5.196 iˆ
8
BC
CD
BD
sen76.05 sen53.95 sen50
BC 10.14 CD 8.44
vB 5.196 iˆ 3 ˆj
vC vB BC rBC
vC 5.196 iˆ 3 ˆj BC kˆ 0.2 iˆ
vC 5.196 iˆ 0.2 BC 3 ˆj
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
m
vC 5.196 s
15
vC iˆ 5.196 iˆ 0.2 BC 3 ˆj
3 rad
BC
0.2 s
Na polia com centro em D:
vC D rC 5.196 iˆ D kˆ 0.1 ˆj
iˆ
5.196 iˆ 0.1 D kˆ ˆj 5.196 iˆ 0.1 D iˆ
5.196
rad
0.1 D 5.196 D
D 51.96
0.1
s
30
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
Exercícios
1. Um automóvel se desloca para a direita a uma
velocidade constante de 72.4 km/h. Se o diâmetro da roda é
0.559 m, determine as velocidades dos pontos A, B C D e E à
margem da roda.
vR vB vB vA vAB
km
m
vA 20
h
s
vB| A vD| A vE| A r
vA 72
vC| A
r
vC| A
75°
vA
D
0.559
r
r 0.2795m
2
2
20
rad
r
71.55
r
0.2795
s
vC vA vC| A vC 20 20 vC 0
30°
vD vA vD| A
vD 20 iˆ 20 cos30 iˆ sen30 ˆj
vD 20 20 cos30 iˆ 20 sen30 ˆj
vD 37.32 iˆ 10 ˆj
m
vD v v vD 37.32 10 vD 38.63
s
10
D arctg
D 15
37.32
2
x
2
y
2
90
vC| A
15
31
vB
v AB
vB
v
vA
AB
sen 90 sen75 sen 15
vB
v
vA
AB
sen 90 40 sen75 sen 15 40
vB
v
vA
AB
sen50 sen75 sen55
sen55
sen55
in
vA
vB vA
6 vA 6.412
sen50
sen50
s
sen75
sen75
in
vAB
vB vAB
6 vAB 7.57
sen50
sen50
s
vAB l
v
7.57
AB
l
20
rad
0.378
s
sen sen cos sen cos
sen sen cos sen cos
2
2. O movimento da haste AB é guiado pelos pinos
ligados a A e a B que deslizam nas ranhuras mostradas.
No instante mostrado, = 40° e o pino
em B se move para cima e para a esquerda, com uma
velocidade constante de 6 polegadas/s.
Determinar
(a) a velocidade angular da haste,
(b) a velocidade do pino A.
3. O movimento da haste AB é guiado pelos pinos
ligados a A e a B (figura anterior) que deslizam nas ranhuras
mostradas. No instante mostrado, = 30 ° e o pino em A se
move para baixo com uma velocidade constante de 9 pol/s.
Determinar:
(a) a velocidade angular da haste, (b) a velocidade do
pino no final B.
4. Pequenas rodas foram colocados nas extremidades
da haste AB e rolam livremente ao longo das superfícies
mostradas.
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
Sabendo
que
uma
roda
se
move
para
a esquerda, com uma velocidade constante de 1.5 m/s,
determinar:
(a) a velocidade angular da haste;
(b) a velocidade da extremidade B da haste.
32
5. Um colar se move para cima, com uma velocidade
constante de 1,2 m/s no instante mostrado quando =25°.
Determinar:
(a) a velocidade angular da haste AB;
(b) a velocidade de B.
6. O Colar B se move para baixo para a esquerda
com uma velocidade constante de 1.6 m/s. No instante
indicado quando = 40 °, determinar:
(a) a velocidade angular da haste AB;
(b) a velocidade de A. Gola.
E 2 f E E 2
180 rpm
A 2 f A A 8
240 rpm
rad
s
rad
s
Engrenagem E: (externa)
vE E rE vE 6 90 vE 540
mm
s
Engrenagem A:
vH A rA vH 8 30 vH 240
H
A
rA 30mm
mm
s
vH
A
Engrenagem B:
E
rB 30mm
6. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo
dispositivo está esquematizado, os raios das engrenagens A, B,
C e D valem 30 mm e o raio da engrenagem externa E vale 90
mm. Sabendo que a engrenagem E tem freqüência 120 rpm no
sentido horário e a engrenagem interna central A possui
freqüência 150 rpm no sentido horário, determine:
(a) a velocidade angular de cada engrenagem.
(b) a velocidade angular da aranha formada pelas
engrenagens B, C e D conectadas entre si.
B
vB
B
rB 30mm
H
vH
vH vE B BE
240 iˆ 540 iˆ B kˆ 60 ˆj
240 540 iˆ 60 B kˆ ˆj
iˆ
300 iˆ 60 B iˆ 60 B 300
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
B
300
rad
B 5 kˆ
60
s
vB vH B HB
vB 240 iˆ 5 kˆ 30 ˆj
vB 240 iˆ 150 kˆ ˆj
vB 240 iˆ 150 iˆ
rad
s
f B 150 rpm
B
v2 v1 B b
v3 v2 B b
v3 a 2b E
rad
C 5
s
fC 150 rpm
rad
D 5
s
f D 150 rpm
Spider:
vB
S
rS 60mm
vB S rS S
S
390
60
a 2b E a A
2
a 2b E a A
B
Velocidade angular das engrenagens planetárias:
B 5
v1 A a
v2 s a b
v2
m
vB 390 iˆ
s
Velocidade
Spider
E
iˆ
Engrenagem
A
vB
rS
S
2b
a 2b E a A
33
2 a b
1
E 0 S A
5
8. A barra AB, ilustrada, gira com velocidade
angular constante = 7 rad/s, no sentido horário. O cursor C
desloca-se sobre barra horizontal fixa, no instante ilustrado:
(a) qual a velocidade do ponto B, em m/s ?
(b) qual a aceleração do ponto B, em m/s² ?
(c) qual a velocidade do ponto C, em m/s ?
(d) qual a aceleração do ponto C, em m/s² ?
rad
s
f s 195 rpm
S 6.5 kˆ
7. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo
dispositivo está esquematizado na figura do problema anterior,
os raios das engrenagens A, B, C e D são iguais a 3 in (3
polegadas). (1 in = 2.54 cm = 1 feet/33). Sabendo que a
engrenagem A tem uma frequência constante de 150 rpm no
sentido horário e a engrenagem E está estacionária, determine
a aceleração do dente da polia E em contato com:
(a) a engrenagem A;
(b) a engrenagem E.
9. As barras ilustradas, AB, BC e CD, são
articuladas entre si. A barra AB gira no sentido horário com
velocidade angular AB = 15 rad/s.
Qual a velocidade angular da barra CD, em rad/s ?
E
A
B
3
a 0
A
1
b
2
v2
B
E
10. No instante ilustrado, a barra AB gira com
velocidade angular, AB = 7 rad/s, no sentido horário, e
aceleração angular nula. O cursor C tem seus movimentos
limitados por haste fixa. Para o instante ilustrado, encontre:
(a) a velocidade do ponto B, em m/s;
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
(b) a aceleração do ponto B, em m/s²;
(c) a velocidade angular da barra BC;
(d) a aceleração do ponto CB, em m/s²;
11. As barras AB, BC e CD, são articuladas entre si
conforme ilustrado. A barra AB gira com velocidade angular
constante AB = 6 rad/s, no sentido horário. Para o instante
ilustrado:
(a) qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?
(b) qual a aceleração do ponto B, em m/s² ?
13. As barras AB, BC e CD, são articuladas entre
si, conforme ilustrado. A barra CD, tem velocidade angular
constante = 5 rad/s, no sentido horário. Para o instante
ilustrado, encontre:
(a) a velocidade angular da barra AB, em rad/s;
(b) a velocidade angular da barra BC, em rad/s.
34
14. As barras AB, BC e CD, são articuladas entre
si, conforme ilustrado. A barra AB, tem velocidade angular
constante = 3 rad/s, no sentido horário. Para o instante
ilustrado, encontre:
(a) a velocidade angular da barra BC, em rad/s;
(b) a velocidade angular da barra CD, em rad/s.
12. A barra AB, gira com freqüência constante f =
954,96 r.p.m. no sentido horário. O cursor C está vinculado a
uma haste horizontal fixa, para o instante configurado:
(a) qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?
(b) qual a velocidade do cursor C, em m/s ?
15. A engrenagem A gira com uma 120 rpm
no sentido horário. Sabendo-se que a velocidade angular do
braço AB é 90 rpm no sentido horário, determinar a
velocidade angular correspondente da engrenagem B.
12. No arranjo ilustrado, o disco AB gira com
velocidade angular constante, AB = 9 rad/s, no sentido
horário. O cursor C tem seus movimentos limitados por haste
fixa.
(a) Qual a velocidade do cursor C, em m/s ?
(b) Qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?
16. O braço AB do sistema anterior gira com 42
rpm no sentido horário. Determinar a velocidade angular
necessária de engrenagem A para os quais
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
(a) a velocidade angular da engrenagem B é de 20 rpm
horário,
(b) o movimento da engrenagem B é uma translação
curvilínea.
19. Sabendo que a
manivela AB gira com
frequência de 160 rpm, no sentido anti-horário, determinar a
velocidade angular da haste e o BD e a velocidade de gola D
quando: (a) = 0°, (b) = 90 °.
17. O Braço AB gira com = 20 rad/ s no sentido
horário. Sabendo-se que a engrenagem exterior C é
estacionário, determinar:
(a) a velocidade angular da engrenagem B,
(b) a velocidade do dente de engrenagem localizado
no ponto D.
35
20. No sistema de motor mostrado, l = 160 mm e b
= 60 mm. Sabendo que a manivela AB gira com uma
frequência constante de 1000 rpm no sentido horário,
determinar a velocidade do pistão P e a velocidade angular da
haste de ligação quando (a) = 0°, (b) = 90°.
18. O Braço ACB gira sobre o ponto C com uma
angular velocidade de 40 rad / s para a esquerda. Dois discos
de fricção A e B estão presos em seus centros de ACB braço,
como mostrado. Sabendo que os discos rolam sem escorregar
em superfícies de contato, determinar, para cada caso, a
velocidade angular de (a) do disco A, (b) do disco B.
Caso 1:
21. Uma cremalheira reta repousa sobre uma
engrenagem de raio r e está ligada a um bloco
B, tal como mostrado. Denotando por D velocidade angular
da engrenagem D e por o ângulo formado pela cremalheira e
a horizontal, determine expressões para a velocidade do bloco
B e para a a velocidade angular da cremalheira em termos de
r, , e D.
Caso 2:
22. Um automóvel viaja para a direita a uma
velocidade constante de 48 km /h. Se o diâmetro de uma roda
é de 22 cm, determinar as velocidades dos pontos B, C, D e E
do aro da roda.
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
Mostre que a aceleração e a velocidade no ponto G
são dadas por ( o cilindro não escorrega):
aG aG r iˆ
vG r iˆ
25. O rolete A move-se com velocidade contante vA
= 3 m/s; determine a velocidade angular da barra AB e a
velocidade do rolete B, vB.
22. A roda de 80 mm de raio mostrado rola para a
esquerda com uma velocidade de 900 mm /s. Sabendo-se que
a distância AD é de 50 mm, determinar a velocidade da gola e
a velocidade angular da haste AB quando
(a) = 0°, (b) = 90 °.
36
Para a engrenagem mostrada, derivar uma
expressão para a velocidade angular C de engrenagem C e
26. A roda rola sem escorregar com uma velocidade
angular de = 10 rad/s. Determine a velocidade do ponto B
no instante mostrado.
23. Para a engrenagem mostrada, derivar uma
expressão para a velocidade angular C de engrenagem C e
mostrar que C é independente do raio da engrenagem B.
Suponha que o ponto A é fixo e denotam as velocidades
angulares da haste ABC e da haste A por ABC e A,
respectivamente.
27. Determine a velocidade angular do carretel. O
cabo está preso no núcleo interior e o carretel não escorrega na
plataforma P.
28. Se a manivela OA gira com velocidade angular
de =12 rad/s,determine a velocidade do pistão B e a
velocidade angular da barra AB no instante mostrado.
24. Num dado instante, um cilindro de raio r possui
velocidade angular e aceleração angular , ambas no
sentido horário, como mostra a figura:
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
29. Se a barra AB desliza ao longo da ranhura
horizontal com velocidade de 60 ft/s, determine a velocidade
angular da barra BC no instante mostrado.
34. Determine a velocidade angular da engrenagem
e a velocidade de seu centro no instante mostrado.
30. O ponto A tem uma valocidade de vA = 3 m/s.
Determine a velocidade da cavilha em B nesse instante. A
cavilha move-se ao longo da fenda.
37
35. Determine a velocidade do ponto A mostrado no
instante considerado.
36. No sistema de engrenagens mostrado, utilizado
num sistema de transmissão automática de um automóvel,
considere o caso que a engrenagem R é fixa, com R = 0, e a
engrenagem S está girando com velocidade angular S = 5
rad/s. Determine a velocidade angular de cada engrenagem P e
do eixo A.
31. A engrenagem A rola sobre uma cremalheira
fixa B com uma velocidade angular = 4 rad/s. Determine a
velocidade da cremalheira C.
32. Suponha, no problema anterior, que a
engrenagem A rola sobre as cremalheiras B e C. A cremalheira
B se move para a direita com velocidade 8 ft/s e a cremalheira
C move-se para a esquerda com velocidade 4 ft/s. Determine a
velocidade angular da engrenagem e a velocidade de seu
centro.
v
C
vB
33. Uma engrenagem repousa numa cremalheira
horizontal. Uma corda é amarrada no núcleo da engrenagem e
num dado ponto A, tangente ao núcleo, ela é puxada para a
direita com velocidade constante de 2 ft/s. Determine a
velocidade do centro da engrenagem C.
37. O pistão P move-se para cima com velocidade
de 300 in/s. Determine a velocidade angular do virabrequim
AB no instante considerado. Encontre a velocidade do centro
de gravidade G.
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
38. Uma bicicleta possui velocidade 4 ft/s e no
mesmo instante a roda traseira possui velocidade angular de 3
rad/s, o que causa escorregamento do ponto A da roda traseira
da bicicleta com o solo. Determine a velocidade do ponto A.
39. Se a barra AB possui velocidade angular AB = 4
rad/s, determine a velocidade do bloco deslizante C no
instante considerado.
40. A engrenagem D gira no sentido anti-horário
com velocidade angular D = 5 rad/s, enquando a barra AB
gira com velocidade angular no sentido horário de AB = 10
rad/s; determine a velocidade angular da engrenagem C.
41. Um sistema de transmissão automática consiste
de 3 engrenagens A, B e C, montados num portador D,
conectados com a engrenagem interna E e a engrenagem
externa F (Sol). Pelo controle ao qual o sistema gira e quais
engrenagens recebem a potência, a transmissão automática
pode alterar a velocidade do carro e a direção. Se o portador
está girando no sentido anti-horário, com velocidade angular
D = 20 rad/s enquando a engrenagem F gira no sentido
horário com velocidade angular F = 10 rad/s, determine a
velocidade angular das engrenagens e da engrenagem externa
(Sol). O raio das engrenagens planetas (A, B e C) são 45 mm e
da engrenagem Sol 75 mm.
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