CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
1
CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
2.1.
Introdução
Um modelamento matemático de um sistema dinâmico é definido como um
conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema precisamente ou,
pelo menos, sensivelmente bem. Observar que um modelo matemático não é único
para um dado sistema. Um sistema pode ser representado de muitas maneiras
diferentes e, portanto, pode haver muitos modelos matemáticos para o mesmo
sistema.
A dinâmica de muitos sistemas sejam eles elétricos, mecânicos, térmicos,
econômicos, etc., pode ser descrita em termos de equações diferenciais. Tais
equações diferenciais podem ser obtidas utilizando-se as leis da Física que
governam um sistema particular, por exemplo, as Leis de Newton dos sistemas
mecânicos e as Leis de Kirchhoff dos sistemas elétricos. A resposta de um sistema
dinâmico a uma entrada pode ser obtida se as equações envolvidas forem
resolvidas.
Simplicidade versus precisão:
É possível melhorar a precisão de um modelo matemático aumentando sua
complexidade. Em alguns casos, incluímos centenas de equações para descrever
um sistema completo. Na obtenção de um modelo matemático, no entanto, devemos
estabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e a precisão dos
resultados da análise. Se não for necessária precisão extrema, no entanto, é
preferível obter apenas um modelo razoavelmente simplificado. De fato, geralmente
estaremos satisfeitos se podermos obter um modelo matemático adequado ao
problema sob consideração. No entanto, é importante notar que os resultados
obtidos da análise são válidos somente à medida que o modelo se aproxima de um
dado sistema dinâmico real.
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
2.2.
2
Sistemas elétricos
L
R
Circuito RLC – Série:
ei
i
C
e0
Seja o circuito RLC série mostrado ao lado
Aplicando as Leis de Kirchhoff obtemos as seguintes equações
L
di
1
+ Ri + ∫ idt = ei
dt
C
1
idt = e0
C∫
Exercício 1: Obtenha as equações que descrevem o comportamento do circuito
elétrico abaixo.
R1
ei
2.3.
R2
C1
i1
C2
i2
e0
Sistemas mecânicos e componentes
Lei fundamental de Newton:
∑ F = ma
∑ T = Jα
Elementos de movimento de translação ( ∑ F = ma )
Variáveis: Força, deslocamento linear, velocidade linear, aceleração linear.
•
Massa (M): Armazena a energia cinética do movimento de translação (Kg)
x
F= força (N)
F
M
M= massa (kg)
x= deslocamento (m)
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∑ F = ma
F =M
d 2x
dt 2
CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
•
3
Mola linear (K): Armazena energia potencial (N/m)
k
F= força (N)
∑ F = ma
K= elastância (N/m)
F − Kx = 0
x= deslocamento (m)
onde a massa da mola é desprezada!
x
F
•
Amortecedor (B): Caracteriza o elemento que absorve energia. Representa o
atrito para o movimento de translação (N/m/s).
x
B= coeficiente de fricção-viscosa
F
F= força (N)
B
∑ F = ma
F −B
x= deslocamento (m)
dx
=0
dt
Exemplo: Obtenha a equação que representa o sistema translacional “amortecedor
viscoso-mola-massa” colocado abaixo:
Onde: M= massa
F= força
K
x= deslocamento
F
K= elastância
B= coeficiente de fricção-viscosa
M
x
B
+ ↓ ∑ F = Ma
dx
d 2x
F − Kx − B
=M 2
dt
dt
ou
d 2x
dx
M 2 + B + Kx = F
dt
dt
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4
Elementos do movimento de rotação ( ∑ T = Jα )
Variáveis: Torque, deslocamento angular, velocidade angular, aceleração angular.
•
Inércia (J): Armazena a energia cinética do movimento de rotação (kg.m2)
J= momento de inércia (kg.m2)
J
T
w= velocidade angular (rad/s)
w
T= torque aplicado ao sistema (N.m)
∑ T = Jα
θ= posição angular (rad)
•
α= aceleração angular (rad/s2)
T = J w = Jα
ou
d 2θ
onde θ = 2
dt
••
••
T = Jθ
•
Amortecedor (B): Coeficiente de fricção viscosa (Nm/rad/s)
∑ T = Jα
T
•
w
T − Bw = 0
B
Mola de torção (K): (Nm/rad)
∑ T = Jα
T
T − Kθ = 0
K
θ
Exemplo: Obtenha a equação que representa o sistema mecânico rotacional
mostrado abaixo.
∑ T = Jα
•
T − Bw = J w ou
J
T
w
B
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•
J w+ Bw = T
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2.4.
5
Teoria base para modelamento de sistemas mola-massa
Considere um corpo de massa
m preso a uma mola de constante K.
Quando o corpo está em equilíbrio
estático, as forças que atuam sobre
ele são: seu peso P e a força T
T=Kδst
δst
exercida
T=
Indeformado
Kδst,
pela
onde
mola,
de
módulo
δst representa
a
deformação da mola.
Equilíbrio
Portanto, P=Kδst.
P
Suponhamos
agora
que
o
corpo é deslocado de uma distância x
da sua posição de equilíbrio e é solta
sem velocidade inicial. O sistema
oscilará em torno daquela posição de
equilíbrio. As forças que atuam sobre
δst
o corpo são: o seu peso P e a força
Indeformado
exercida
Equilíbrio
x
pela
mola,
que,
nesta
posição, tem módulo T= K(δst + x).
Assim, a resultante das forças
que agem sobre o corpo é dada por:
F
+ ↓ ∑ F = F + P − K (δ st + x) = F − Kx
uma vez que P=Kδst.
Por fim, temos que
∑ F = ma , ou seja
F − Kx = m
d 2x
dt 2
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6
Vibrações amortecidas
O sistema vibratório considerado anteriormente foi suposto isento de
amortecimento. Na realidade todas as vibrações são amortecidas, em maior ou
menor grau, pelas forças de atrito. Estas forças podem ser causadas por atrito seco
ou de Coulomb entre sólidos rígidos, por atrito fluido quando o corpo se desloca em
um fluido, ou por atrito interno entre as moléculas de um corpo estático.
Um tipo de amortecimento de especial interesse é o amortecimento viscoso,
causado pelo atrito fluido em velocidades baixas ou moderadas. No atrito viscoso, a
força de atrito é proporcional à velocidade do sólido. Como exemplo ilustrativo,
consideremos um corpo de massa m suspenso por uma mola de constante K, e
suponhamos que unimos a massa a um êmbolo de um cilindro conforme mostrado
na figura abaixo.
O módulo da força de atrito é igual a
b
K
K
dx
dt
“b” é chamada coeficiente de atrito viscoso,
m
F
x
ou coeficiente de amortecimento viscoso, e
depende das propriedades físicas do fluido
Equilíbrio
bem como da construção do êmbolocilindro.
b
b
A equação do movimento é
dx
d 2x
+ ↓ ∑ F = ma : F + P − K (δ st + x) − b = m 2
dt
dt
Relembrado que P= Kδst, teremos:
dx
d 2x
F − b − Kx = m 2
dt
dt
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Exemplos:
1)
+ ↓ ∑ F = ma
b
K1
••
A) F − K 2 ( x2 − x1 ) = m x 2
B
x1
K2
•
B) K 2 ( x2 − x1 ) − K1 x1 − b1 x1 = 0
A
x2
m
F
2)
+ ↓ ∑ F = ma
b1
K1
•
••
A) − K1 x1 − b1 x1 − k 2 ( x1 − x2 ) = m1 x1
m1
A
•
K2
x1
••
ou K1 x1 + b1 x1 + k 2 ( x1 − x2 ) + m1 x1 = 0
•
••
B) − k 2 ( x2 − x1 ) − b2 x 2 = m2 x 2
m2
B
b2
x2
•
••
ou k 2 ( x2 − x1 ) + b2 x 2 + m2 x 2 = 0
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7
CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
3)
+ ↓ ∑ F = ma
xi
b1
K1
•
•
•
•
b1 ( x i − x 0 ) + K1 ( xi − x0 ) = b2 ( x 0 − y )
•
x0
b2
•
b2 ( x 0 − y ) = K 2 y
y
K2
Exercícios: Obtenha o modelo matemático dos sistemas abaixo.
a)
b)
K1
K1
b1
m1
m1
x1
K2
y1
b1
b2
m2
m2
y2
x2
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K2
8
CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
2.5.
9
Função de transferência
A função de transferência de um sistema de equações diferenciais lineares
invariantes no tempo é definida como a relação da transformada de Laplace da
saída (função resposta) para a transformada de Laplace da entrada (função
excitação), sob a hipótese de que todas as condições iniciais são nulas.
Considere o sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte
equação diferencial:
•
•
a0 y ( n ) + a1 y ( n−1) + ... + a n −1 y + a n y = b0 x ( m ) + b1 x ( m−1) + ... + b m−1 x + b m x (n≥m)
onde y é a saída do sistema e x é a entrada. A função de transferência deste
sistema é obtida tomando-se as transformadas de Laplace de ambos os membros
da equação, considerando-se que todas as condições iniciais são nulas, ou
Função de transferência = G(s) = L [saída]
L [entrada]
G (s) =
Condições iniciais nulas
m
m −1)
Y ( s ) b0 s + b1s ... + bm−1 s + b m
=
X ( s ) a0 s n + a1s n −1 + ... + a n−1 s + a n
Usando o conceito da função de transferência, é possível representar a
dinâmica do sistema pelas equações algébricas em s. Se a mais alta potência de s
no denominador da F.T. for igual a n, o sistema é chamado “sistema de n-ésima
ordem”.
Obs.: A aplicabilidade do conceito da função de transferência é limitada aos
sistemas de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo.
Comentários sobre função de transferência
a) A função de transferência é uma propriedade de um sistema em si,
independente da magnitude e da natureza da entrada ou função excitação.
b) A função de transferência inclui as unidades necessárias para relacionar a
entrada à saída; no entanto, ela não fornece qualquer informação
concernente à estrutura física do sistema. (As F.T. de muitos sistemas físicos
diferentes podem ser idênticas)
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10
c) Se a função de transferência de um sistema for conhecida, a saída ou
resposta pode ser estudada para várias formas de entradas com vistas ao
entendimento da natureza do sistema.
d) Se a função de transferência de um sistema for desconhecida, ela pode ser
estabelecida experimentalmente introduzindo-se entradas conhecidas e
estudando-se a saída do sistema.
Exemplo: Obtenha a função de transferência do circuito RLC mostrado abaixo, onde
ei é a entrada e eo é a saída.
L
R
G (s) =
ei
i
C
e0
Eo ( s )
Ei ( s )
Aplicando as leis de Kirchhoff para o sistema, obtemos as seguintes equações:
L
di
1
+ Ri + ∫ idt = ei
dt
C
1
idt = eo
C∫
(i)
(ii)
Achando as transformadas de Laplace das equações (i) e (ii), admitindo condições
iniciais nulas, obtemos:
LsI ( s ) + RI ( s ) +
11
I ( s ) = Ei ( s ) (i)
Cs
11
I ( s ) = Eo ( s ) (ii)
Cs
Isolando I(s) em (ii) temos: I ( s ) = CsEo ( s ) (iii)
Substituindo (iii) em (i) temos: LCs 2 Eo ( s ) + RCsEo ( s ) + Eo ( s ) = Ei ( s )
ou ( LCs 2 + RCs + 1) Eo ( s ) = Ei ( s )
Assim, a função de transferência do circuito RLC dado é:
G (s) =
Ei ( s )
1
=
2
Eo ( s ) ( LCs + RCs + 1)
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11
Exercício: Obtenha a função de transferência G(s)=Eo(s)/Ei(s) do circuito elétrico
mostrado na figura abaixo:
R1
R2
C2
C1
Exemplo: Considerando o sistema rotacional mecânico mostrado na figura abaixo,
obtenha sua função de transferência, sendo que a velocidade angular é a saída e o
torque é a entrada.
J
T
w
B
Aplicando a segunda lei de Newton ao sistema, obtemos:
•
∑ T = Jα = J w
•
T − Bw = J w
•
ou J w+ Bw = T
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação e
considerando as condições iniciais nulas, obtemos:
JsΩ( s ) + BΩ( s ) = T ( s )
Assim, a função de transferência do sistema é dada por:
G (s) =
Ω( s )
1
=
T ( s ) Js + B
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12
Exercício: Obtenha a função de transferência do sistema mostrado na figura abaixo.
Considere a força “F” como entrada e o deslocamento “x” como saída.
K1
B
F
x
K2
Exercícios: Obter a função de transferência Xo(s)/Xi(s) de cada um dos sistemas
mecânicos mostrados abaixo. No diagrama, xi designa o deslocamento de entrada e
xo o deslocamento de saída.
a)
b)
c)
b1
K1
m
xi
xi
xi
K1
b
y
b
xo
b2
K2
Respostas:
a)
X o ( s)
b1
=
X i ( s ) sm + (b1 + b2 )
b)
X o ( s)
sbK1
=
X i ( s ) sb( K1 + K 2 ) + k1k 2
c)
X o ( s)
sb + K1
=
X i ( s ) sb + ( K1 + K 2 )
xo
xo
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K2
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2.6.
13
Linearização de modelos matemáticos não-lineares
Um sistema é não-linear se a ele não se aplica o princípio da superposição.
Assim, para um sistema não-linear a resposta a duas entradas não pode ser
calculada tratando-se uma entrada de cada vez e adicionando-se os resultados.
Exemplos de equações diferenciais não lineares são:
2
d 2 x  dx 
+   + x = Asenwt
dt 2  dt 
d 2x
dx
+ ( x 2 − 1) + x = 0
2
dt
dt
2
d x dx
+ + x + x3 = 0
dt 2 dt
Embora muitas relações físicas sejam representadas muitas vezes por
equações lineares, na maioria dos casos as relações reais não são exatamente
lineares. De fato, um estudo cuidadoso de sistemas físicos revela que mesmo os
chamados “sistemas lineares” são realmente lineares apenas em faixas limitadas de
operação. Na prática, muitos sistemas eletromecânicos, hidráulicos, pneumáticos,
etc., envolvem relações não-lineares entre as variáveis. Por exemplo, a saída de um
componente pode saturar para sinais grandes na entrada. Pode haver, por outro
lado, um espaço morto que afeta em relação a pequenos sinais. (O espaço morto de
um componente é um pequeno intervalo de variações na entrada, dentro do sinal o
componente é insensível). Não-linearidade do tipo lei quadrática pode ocorrer em
alguns componentes. Por exemplo, amortecedores utilizados em sistemas físicos
podem ser lineares em operações de baixa velocidade, porém podem tornar-se nãolineares para altas velocidades, e a força amortecedora pode tornar-se proporcional
ao quadrado da velocidade de operação.
Exemplos de curvas características para estas não-linearidades são
mostrados abaixo:
saída
saída
entrada
saída
entrada
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entrada
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14
Os procedimentos para determinar as soluções de problemas que possuam
sistemas não-lineares, em geral, são extremamente complicados. Devido a esta
dificuldade matemática inerente a sistemas não-lineares, normalmente é necessário
introduzir sistemas lineares “equivalentes” no lugar daqueles não-lineares. Estes
sistemas lineares equivalentes somente são válidos dentro de uma faixa limitada de
operação. Uma vez que um sistema não-linear é aproximado por um modelo
matemático linear, várias ferramentas lineares podem ser aplicadas para fins de
análise de projeto.
O processo de linearização de sistemas não-lineares é importante, pois pela
linearização das equações não-lineares é possível aplicar numerosos métodos de
análise linear que produzirão informação sobre o desempenho de sistemas nãolineares. O procedimento de linearização apresentado aqui é baseado na expansão
da função não-linear em uma série de Taylor em torno do ponto de operação e a
retenção apenas do termo linear. Para que possamos desprezar os termos de ordem
mais alta da expansão em série de Taylor, estes termos desprezados devem ser
pequenos, isto é, as variáveis se desviam apenas ligeiramente das condições de
operação.
Para obter um modelo matemático linear para um sistema não-linear,
suporemos que as variáveis variam muito pouco em relação a alguma condição de
operação.
Considere um sistema cuja entrada é x(t) e cuja saída é y(t). A relação entre
_
_
y(t) e x(t) é dada por y=f(x). Se a condição de operação normal corresponde a x , y ,
então a equação y=f(x) pode ser expandida em série de Taylor em torno desse
ponto de operação como segue:
_
y = f ( x) +
_
_
df
1 d2 f
( x − x) +
(
x
−
x
) 2 + ...
2
dx
2! dx
_
Onde as derivadas df/dx, d2f/dx2, ... são calculadas em x= x .
_
Se a variação ( x − x) é pequena, podemos desprezar os termos de maior
_
ordem em ( x − x) . Assim, podemos escrever:
_
_
_
_
y = y + k ( x − x) onde y = f ( x) e k =
df
dx
_
x= x
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_
15
_
ou de outra forma: y − y = k ( x − x) .
_
_
Considerando que y − y é a variação em y, podemos fazer ∆y = y − y e para
_
∆x = x − x e então temos ∆y = k∆x , o que indica que as variações na saída são
proporcionais às variações na entrada seguindo uma relação linear.
Exemplo: Seja o sistema cuja relação entrada-saída é dada por y=x2. Considere que
_
o ponto de operação nominal deste sistema é x =3 e linearize o modelo em torno
deste ponto.
O sistema y= f(x) é y=x2, ou seja, y= f(x)= x2. A expansão em série de Taylor é dada
_
_
por y = y + k ( x − x) onde k =
_
df
dx
_
, ou seja, k = 2 x
x= x
x =3
. Logo, k=6.
_
Assim temos que y = y + 6( x − x) ou considerando em termo de variações.
∆y = 6∆x
Modelo linearizado
_
onde ∆y = y − y
Assim, para obter o valor da saída y para uma determinada variação na
_
entrada ( ∆x ) temos ∆y = 6∆x onde ∆y = y − y .
∆y
linear
12
6
1 2
∆x
_
Desta forma, se a entrada não for variada, ou seja, se x = x (∆x = 0) então a
saída vale y=9.
De fato, se utilizarmos o sistema não-linear original obteremos o mesmo
resultado. Se tivermos uma variação um pouco maior, entretanto, como por exemplo
∆x = 0,5 utilizando o modelo linearizado obtemos y=12.
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16
_
Ao passo que utilizando o modelo original temos y=x2, como ∆x = x − x , temos
_
que x = ∆x + x , e assim x=3,5.
Logo, o resultado obtido para ∆x = 0,5 é y=(3,5)2 = 12,25 resultado este que é
sensivelmente diferente daquele obtido através do modelo linearizado (erro de 2%).
Se observarmos a figura abaixo poderemos analisar melhor a questão da
validade do modelo linearizado.
y
y = x2
Observe
∆y = 6∆x
que
para
pequenas
variações ∆x a curva que descreve o
sistema real pode ser aproximada por
y
∆y
_
uma reta tangente à curva no ponto x .
_
∆x
y
_
x x
x
Note, entretanto, que se considerarmos variações maiores na entrada x
( ∆x muito grande) a reta não coincide mais com a curva original, ou seja, o modelo
linearizado não serve mais para representar o sistema real (sistema não-linear).
A análise sobre a validade do modelo equivalente é uma tarefa bastante
complicada e deve ser feita de acordo com o que se espera obter de precisão dos
resultados. Em alguns casos pode-se considerar elevado um erro da ordem de 5% e
em outros podemos permitir erros na faixa de 10%, por exemplo. É importante
ressaltar que existe um compromisso entre precisão dos resultados e simplicidade
do modelo, ou seja, se desejamos um modelo mais preciso normalmente obtemos
um modelo mais complexo, e à medida que simplificamos tal modelo, ele passa a
não representar o sistema real de forma tão fiel e exata.
Agora considere um sistema não-linear cuja saída y é uma função de duas
entradas x1 e x2, de modo que y= f(x1,x2).
Para obter uma aproximação linear para este sistema não-linear, podemos
expandir esta equação em uma série de Taylor em torno do ponto de operação
_
_
x1 , x 2 .
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17
Assim tem-se que:
_
_
_
_
_
_
_
_

 ∂f
 1 ∂2 f
∂f
∂2 f
∂2 f
2
y = f ( x1 , x 2 ) + 
( x1 − x1 ) +
( x2 − x 2 ) +  2 ( x1 − x1 ) 2 + 2
( x1 − x1 )( x2 − x 2 ) +
(
x
−
x
2 )  + ...
2
2
∂x2
∂x1 x2
∂x2
 ∂x1
 2!  ∂x1

_
_
onde as derivadas parciais são calculadas em x1 = x1 e x2 = x 2 . Perto do ponto de
_
operação ( x ≅ x ) os termos de ordem mais alta podem ser desprezados. O modelo
matemático linear deste sistema não-linear na vizinhança do ponto de operação
normal é então dado por
_
_
_
y − y = k1 ( x1 − x1 ) + k 2 ( x2 − x 2 )
_
_
_
onde y = f ( x1 , x 2 ) , k1 =
∂f
∂x1
_
x1 = x1
, k2 =
_
∂f
∂x2
x2 = x 2
_
x1 = x1
_
x2 = x 2
A técnica de linearização apresentada aqui é válida na vizinhança da
condição de operação. Se as condições de operação variam amplamente, no
entanto, tais equações linearizadas não são adequadas, e equações não-lineares
devem ser utilizadas. É importante lembrar que um modelo matemático particular
usado na análise e no projeto pode representar precisamente a dinâmica de um
sistema real em certas condições de operação, mas pode não ser preciso para
outras condições de operação.
Exemplo: Considere o sistema dado por y (t ) = 5 x1 (t ) − 4 x2 (t ) onde y(t) é a saída e
x1(t) e x2(t) são as entradas. Este sistema tem um ponto de operação nominal dado
_
_
por x1 = 3 e x 2 = 9 . Obtenha um modelo linear equivalente para o ponto de operação
_
_
( x1 , x 2 ).
Sabemos que y=f(x1,x2). Sendo assim, a linearização é obtida por
_
_
_
y = y + k1 ( x1 − x1 ) + k 2 ( x2 − x 2 ) onde k1 =
∂f
∂x1
_
x1 = x1
_
, k2 =
∂f
∂x2
x2 = x 2
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_
x1 = x1
_
x2 = x 2
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_
_
Assim temos que y = y + 5( x1 − x1 ) +
18
_
4
( x2 − x 2 ) e então
_
2 x2
2
∆y = 5∆x1 − ∆x2
3
Modelo linearizado
_
y = ∆y + y
_
onde ∆x1 = x1 − x1
equações auxiliares
_
∆x2 = x2 − x 2
Para obter o valor da saída para o ponto de operação nominal utilizamos o
_
_
_
_
_
modelo não-linear, ou seja y = 5 x1 − 4 x 2 onde x1 = 3 e x 2 = 9 .
_
Logo,
y = 3 e então a saída do modelo linearizado é
y = ∆y + 3 onde
2
∆y = 5∆x1 − ∆x2 .
3
Vamos considerar variações de 10% em torno do ponto de funcionamento
_
_
( x1 , x 2 ), ou seja, ∆ x1 = 0,3 e ∆ x 2 = 0,9 . Assim temos que: ∆y = 1,5 − 0,6 = 0,9 e então
_
y = ∆y + y = 3,9
Analisando o modelo não-linear y = 5 x1 − 4 x2 para ∆ x1 = 0,3 e ∆ x 2 = 0,9
temos que x1 = 3,3 e x2 = 9,9 , e então: y = 5(3,3) − 4 9,9 ⇒ y = 3,914293822 .
Observe que o valor obtido através do modelo linearizado difere do resultado
obtido através do modelo não-linear. Uma vez que o modelo não-linear é
considerado o modelo real do sistema e o modelo linearizado é uma simplificação
deste, devemos verificar se o erro entre as duas respostas é significativo, ou se
pode ser desprezado.
O cálculo de erro é dado, de forma genérica, por:
erro% =
valor real − valor obtido
valor real
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⋅100%
CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
19
Para a comparação entre as respostas obtidas com o modelo linearizado e o
modelo não-linear fazemos:

erro% =  Resposta do modelo não-linear – Resposta do modelo linearizado

Resposta do modelo não-linear
Sendo assim, para o exemplo anterior temos erro% =

 .100%

3,914293822 − 3,9
⋅100%
3,914293822
erro% = 0,365%
Observe que este erro foi calculado para as respostas considerando as
variações nas entradas iguais a ∆ x1 = 0,3 e ∆ x 2 = 0,9 . Se as variações nas entradas
forem maiores, no entanto, o erro% será maior, até que pode ser tão elevado de
forma a não podermos utilizar o modelo linearizado no lugar do modelo não-linear.
Considere por exemplo as seguintes variações nas entradas ∆x1 = 2 e ∆x2 = 7
e calcule o erro% comparando as respostas obtidas com os dois modelos. Observe
que erro%=7,4%.
2.7.
Sistemas de Nível de Líquido
Considere o sistema de nível de líquido mostrado na Figura 2.1. Se a válvula
de entrada do tanque for aberta de certa quantidade, haverá um fluxo de líquido
passando pela mesma. Após alguns instantes a taxa de fluxo (vazão) de entrada
será constante (denotada por Q ). Com a entrada de água no tanque, o mesmo será
inundado até que, em um dado instante, o nível estabiliza num valor H . Neste
instante a vazão de saída valerá obrigatoriamente Q , ou seja, a vazão de entrada de
água é igual à vazão de saída, não havendo mais variação no nível.
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
20
Qi = qi + Q i
Qo = q o + Q o
h+H
Figura 2.1 Sistema de nível de líquido com tanque simples.
onde
Q = vazão de líquido em estado estacionário (m3/s)
H = altura do nível de líquido em estado estacionário (m)
qi = variação na vazão de entrada (m3/s)
qo = variação na vazão de saída (m3/s)
h = variação na altura de nível de líquido (m)
A partir do ponto de equilíbrio dado por ( Q , H ), se a abertura da válvula de
entrada for modificada, haverá uma variação na vazão de entrada de líquido (qi).
Esta variação provocará uma variação na altura do nível de líquido (h) e,
consequentemente, uma variação na vazão de saída (qo).
Note que utilizamos letras maiúsculas com uma barra sobre as mesmas para
indicar valores estacionários (ponto de equilíbrio) e letras minúsculas para indicar
variações em torno do ponto de equilíbrio. Sendo assim, para indicar a equação
geral que engloba tanto o valor da variável no ponto de equilíbrio ( H ) quanto as
variações em torno deste ponto (h), utilizaremos uma letra maiúscula, mas sem a
barra ( H ). Assim, para o modelamento do nível de líquido temos
(
H = H +h
)
A taxa de variação na quantidade de líquido armazenado no tanque é igual à
taxa de variação de volume de líquido no mesmo. No entanto, uma vez que a área
da seção transversal do tanque é constante, a taxa de variação no volume de líquido
depende apenas da taxa de variação do nível de líquido, conforme equação abaixo:
dV
dH
=A
= Qi − Qo
dt
dt
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
21
De onde se obtém que
dV
d
= A (H + h ) = (Qi + qi ) − (Qo + qo )
dt
dt
 dH dh 
A
+  = (Qi − Qo ) + (qi − qo )
dt 
 dt
V = volume de líquido dentro do tanque (m3)
onde
A = área da seção transversal do tanque (m2)
dh
dV
dt
dt
= taxa de variação da altura do nível de líquido no tanque (m/s)
= taxa de variação do volume de líquido no tanque (m3/s)
Sabemos que em equilíbrio não há variação do nível de líquido, portanto
dH dt = 0 . Sabemos ainda que no equilíbrio a vazão de entrada de líquido é igual a
vazão de saída, ou seja, Qi = Qo = Q . Desta forma temos que:
A
dh
= qi − qo
dt
(1)
Note que a taxa variação do volume de líquido no tanque depende da
diferença entre a variação na vazão de entrada (qi) e a variação na vazão de saída
(qo). Observe que se a variação da vazão de entrada for maior que a variação da
vazão de saída, haverá uma taxa de variação positiva no volume de água no tanque
através do aumento do nível de líquido no mesmo.
Antes de continuar o modelamento matemático de sistemas de nível de
líquido vamos introduzir os conceitos de Capacitância e Resistência Hidráulica para
facilitar a descrição das características dinâmicas destes sistemas.
• Capacitância (C): é definida como sendo a variação na quantidade de líquido
armazenado necessária para causar uma variação unitária na altura de nível de
líquido.
C=
variação na quantidade de líquido armazenado (m 3 )
variação na altura do nível de líquido (m)
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
22
Obs.: Note que, da mesma forma que a capacitância elétrica, a capacitância
hidráulica tem dimensões de área. Sendo assim, a capacitância de um tanque é
igual à área da seção transversal deste tanque. Observe ainda que a capacidade
(m3) e a capacitância são diferentes.
Uma vez que a vazão de entrada menos a vazão de saída durante um
pequeno intervalo de tempo dt é igual à quantidade de líquido adicional armazenada
no tanque, temos que
C=
onde
e
(qi − qo ) dt
dh
(qi − qo ) dt
dh
é a variação na quantidade de líquido armazenado (m3)
é a variação na altura do nível de líquido (m)
Escrevendo de outra forma, temos
C
dh
= (qi − q o )
dt
(2)
Obs.: Comparando as equações (1) e (2) podemos notar que a capacitância
do tanque realmente equivale a área de sua seção transversal.
•
Resistência (R): designa a oposição imposta à passagem de um fluido por
uma válvula ou por outra restrição qualquer.
Considere o fluxo através de uma restrição colocada na saída de um tanque,
conforme mostrado na Figura 2.1. A resistência ao fluxo de líquido nesta restrição é
definida como a variação na altura de nível no tanque necessária para causar uma
variação unitária na taxa de fluxo, ou seja:
R=
variação no nível de líquido (m)
variação na taxa de fluxo (m 3 /s)
Considerando a definição de resistência, obtém-se que
R=
dH
dQo
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
23
Neste instante, para que possamos continuar nosso estudo sobre
modelamento matemático de sistemas de nível de líquido é importante saber que na
análise de sistemas envolvendo fluxo de fluidos é necessário distinguir os regimes
de fluxo em fluxo laminar e fluxo turbulento, de acordo com o valor do número de
Reynolds. Se o número de Reynolds for maior do que 2300, então o fluxo é
turbulento. O fluxo é laminar se o número de Reynolds for menor do que 2300. O
fluxo de fluido turbulento, na maioria das vezes, tem que ser representado por
equações diferenciais não lineares, enquanto que os sistemas envolvendo fluxo
laminar podem ser representados por equações diferenciais lineares.
Desde que a relação entre a taxa de fluxo e o nível de líquido difere do fluxo
laminar para o fluxo turbulento, consideraremos ambos os casos no que se segue.
Fluxo Laminar
Considere o sistema de nível de líquido da Figura 2.1. Neste sistema, o
líquido flui através da válvula de carga colocada na saída do tanque. Se o fluxo
através desta restrição for laminar, a relação entre a taxa de fluxo e a altura do nível
de líquido no tanque é linear, conforme mostrado na Figura 2.2.
o
o
o
Figura 2.2 Curva da altura de nível de líquido em função da taxa de fluxo no regime laminar.
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
24
Uma vez que no regime de fluxo laminar a relação entre a taxa de fluxo e a
altura de nível é linear, podemos escrever esta relação da seguinte forma: Qo = KH
Analisando a definição de resistência observa-se que a mesma consiste na
inclinação da reta que relaciona a taxa de fluxo e a altura de nível de líquido. Assim,
como tal inclinação é constante para qualquer ponto de equilíbrio ( Q , H ), a
resistência para o fluxo laminar é constante e será denotada por Rl. Desta forma
vem que Rl =
dH H h
=
= = tan α
dQo Q qo
Normalmente o valor da resistência oferecida por uma restrição não é
conhecido, mas pode ser determinado medindo-se os valores de altura de nível de
líquido e da vazão de líquido na saída do tanque, estando o sistema em um ponto de
equilíbrio ( Q , H ), ou seja:
Rl =
H
Q
(3)
É importante lembrar que como a resistência no fluxo laminar é constante,
então sua determinação pode ser feita para qualquer ponto de operação ( Q , H ).
Assim, tendo determinado o valor da resistência oferecida pela restrição, a relação
entre qo e h no fluxo laminar é dada por:
qo =
h
Rl
(4)
Observe que a resistência no fluxo laminar é constante e análoga à
resistência elétrica.
Substituindo (4) em (2) tem-se
C
dh 
h
=  qi −
dt 
Rl



De onde se obtém que
Rl C
dh
+ h = Rl qi
dt
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(5)
CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
25
Obtendo a Transformada de Laplace, temos:
Rl C sH(s) + H(s) = Rl Qi(s)
Se qi é considerada a entrada e h é a saída, a função de transferência do
sistema é
H(s)
Rl
=
Qi(s) (Rl C s + 1)
Note que esta função de transferência representa um sistema de primeira
ordem cuja constante de tempo é dada por Rl C .
Fluxo Turbulento:
Conforme explicado anteriormente, no regime de fluxo turbulento existe uma
relação não linear entre a taxa de fluxo e o nível de líquido, a qual pode ser expressa
da seguinte forma: Qo = K H
Observe que a relação entre a taxa de fluxo e a altura de nível de líquido é da
forma quadrática, conforme mostrado na Figura 2.3.
Q 
H = o
 K 
2
Qo
Figura 2.3 Curva da altura de nível de líquido em função da taxa de fluxo no regime turbulento.
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
26
Uma vez que a resistência consiste na inclinação da reta tangente á curva
que relaciona a taxa de fluxo com o nível de líquido, pode-se observar que no fluxo
turbulento a resistência não é constante e depende do ponto de equilíbrio em torno
do qual se está operando. Sendo assim, para cada ponto de operação distinto temse um valor diferente para a resistência oferecida pela restrição. Note que quanto
maior for a taxa de fluxo, maior é a inclinação da reta tangente à curva mostrada
acima, ou seja, maior é a resistência oferecida pela restrição.
Sendo assim, no modelamento matemático de um sistema de nível de líquido
com fluxo turbulento é necessário determinar a resistência apropriada para o ponto
de equilíbrio em torno do qual se deseja operar.
Se o fluxo através da restrição for turbulento, a taxa de fluxo em estado
estacionário é dada por: Q = K H
Uma vez que a resistência consiste na inclinação da reta tangente à curva de
relação entre o fluxo e o nível de líquido, a mesma pode ser obtida da seguinte
forma: Rt =
dH
dQo
Conforme visto anteriormente, no fluxo turbulento sabe-se que Qo = K H
2
Q
Assim, H = o2
K
De onde se obtém que:
dH 2Qo 2 H
= 2 =
dQo
K
K
Logo, para um determinado ponto de operação H = H e Qo = Q tem-se que
K=
Q
H
e assim
dH
2 H H 2H
=
=
= Rt
dQo
Q
Q
Portanto, o valor da resistência no fluxo turbulento para um dado ponto de
operação vale:
Rt =
2H
Q
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(6)
CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
27
Note que para cada ponto de equilíbrio obtém-se um valor diferente para a
resistência Rt. No entanto, se trabalhamos em torno de um ponto de equilíbrio,
mantendo pequenas as variações na altura do nível e na taxa de fluxo, nos
afastando bem pouco do ponto de equilíbrio, o valor de Rt pode ser considerado
constante, pois a reta tangente coincide com a curva real.
Em muitos casos práticos o valor do coeficiente K não é conhecido. A
resistência Rt pode ser determinada, então, construindo-se o gráfico da curva da
altura de nível como função da taxa de fluxo, baseado em dados experimentais, e
calculando-se posteriormente a inclinação da curva para o ponto de operação
desejado. Um exemplo de um gráfico deste tipo é mostrado na Figura 2.4, onde o
ponto P é o ponto de operação em estado estacionário. Observe que a linha
tangente à curva no ponto P intercepta a ordenada no ponto ( − H ). Portanto, a
inclinação desta tangente é 2 H Q . Uma vez que a resistência Rt no ponto de
operação P é dada por Rt = 2 H Q , a resistência é a inclinação da curva no ponto de
operação, conforme definido anteriormente.
P
o
o
Figura 2.4 Curva experimental para determinação da resistência no fluxo turbulento
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
28
Considere a condição de operação na vizinhança do ponto P. Defina um
pequeno desvio na altura do nível a partir do valor de regime estacionário como h e
a correspondente pequena variação da taxa de fluxo como q o . Então, a inclinação
da curva no ponto P pode ser dada por: tan θ =
h 2H
=
= Rt
qo
Q
A aproximação é válida apenas se os desvios na altura de nível e na taxa de
fluxo são pequenos, de forma que a reta tangente não difere muito da curva real.
Tendo determinado o valor da resistência, pode-se reescrever a equação (2) da
forma: C
dh
h
= qi −
dt
Rt
Ou ainda como:
Rt C
dh
+ h = Rt q i
dt
(7)
Obs.: Note que as equações (5) e (7) são idênticas, exceto pelo tipo de resistência
considerado.
Linearização da equação não linear que descreve o sistema de nível de líquido
O mesmo resultado pode ser obtido fazendo-se a linearização do modelo
matemático não linear do sistema de nível com fluxo turbulento, conforme mostrado
a seguir.
A equação geral é dada por C
dH
= Qi − Qo
dt
Mas como Qo = K H , temos
C
dH
= Qi − K H
dt
Em regime estacionário tem-se C
(8)
dH
= Qi − K H
dt
Sabe-se que no equilíbrio não há variação no nível de líquido, ou seja, que
dH
= 0 . Sabe-se ainda que Qi = Q . Desta forma, conclui-se que K = Q
dt
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H .
CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
Isolando dH dt na equação (8) obtém-se
dH
1
K
= f (Qi , H ) = Qi −
dt
C
C
29
H
Expandindo em série de Taylor e desprezando os termos de 2a ou maior
___
dH dH 1
K
ordem, temos
=
+ (Qi − Qi ) −
(H − H )
dt
dt C
2C H
Substituindo K = Q
Mas
H , tem-se
dH dH 1
Q
−
= (Qi − Q ) −
(H − H )
dt
dt
C
2CH
dH
= 0 , qi = Qi − Q e h = H − H
dt
Logo C
dH
d (h + H )
dh
 Q 
=C
=C
= qi − 
h
dt
dt
dt
 2H 
Fazendo Rt =
2H
Q
Obtém-se
C
dh
h
= qi −
dt
Rt
Podemos reescrever a equação (9) na forma Rt C
(9)
dh
+ h = Rt qi
dt
Obtendo então a Transformada de Laplace, temos Rt C sH(s) + H(s) = Rt Qi(s)
Se qi é considerada a entrada e h é a saída, a função de transferência do
sistema é
Rt
H(s)
=
Qi (s) (Rt C s + 1)
(10)
Note que, da mesma forma que para o fluxo laminar, esta função de
transferência representa um sistema de primeira ordem cuja constante de tempo é
dada por Rt C .
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30
Sistemas de Nível de Líquido com Interação
Seja o sistema de nível de líquido contendo dois tanques interligados por um
cano, conforme mostrado na Figura 2.5. Considerando que o fluxo através do cano é
laminar, a resistência ao fluxo de líquido nesta restrição é definida como a variação
na diferença de nível entre os dois tanques, necessária para causar uma variação
unitária na taxa de fluxo, ou seja:
R=
variação na diferença de nível (m)
variação na taxa de fluxo (m 3 /s)
Figura 2.5 Sistema de nível de líquido com dois tanques.
Considerando a definição de resistência, apresentada acima obtém-se
q1 =
h1 − h2
R
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
2.8.
31
Sistemas análogos
Sistemas que podem ser representados pelo mesmo modelo matemático,
mas que são diferentes fisicamente são chamados de sistemas análogos. O
conceito de sistemas análogos é muito útil na prática pelas seguintes razões:
a) A solução da equação diferencial que descreve o sistema físico pode ser
diretamente aplicada aos sistemas análogos em qualquer outro campo.
b) Uma vez que um tipo de sistema pode ser mais fácil de manejar
experimentalmente que outro, em vez de construir e estudar um sistema mecânico
(ou sistema hidráulico ou pneumático), podemos construir e estudar seu análogo
elétrico, pois sistemas elétricos ou eletrônicos são, em geral, mais fáceis de tratar
experimentalmente.
Esta seção apresenta analogias entre sistemas mecânicos e elétricos. O
conceito de sistemas análogos, no entanto, é aplicável a outras espécies de
sistemas, e analogias entre sistemas mecânicos, elétricos, hidráulicos, pneumáticos,
térmicos e outros podem ser estabelecidos.
Analogias mecânico-elétricas
Os sistemas mecânicos podem ser estudados pelo uso de seus análogos
elétricos, que podem ser mais facilmente construídos do que os modelos dos
correspondentes sistemas mecânicos. Há duas analogias elétricas para sistemas
mecânicos: a analogia “força-tensão” e a analogia “força-corrente”.
•
Analogia Força-Tensão: considere os sistemas mecânico e elétrico mostrados
abaixo.
L
k
R
F
e
M
B
x
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i
C
CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
A equação diferencial para o sistema mecânico é
M
Enquanto a equação diferencial para o sistema elétrico é L
32
d 2x
dx
+ B + Kx = F
2
dt
dt
(1)
di
1
+ Ri + ∫ idt = e
dt
C
(2)
Em termos da carga elétrica q, esta última equação torna-se L
d 2q
dq 1
+R
+ q = e (3)
2
dt
dt C
Comparando as equações (1) e (3) verificamos que as equações diferenciais
para os dois sistemas são idênticas. Estes sistemas são denominados sistemas
análogos, e os termos que ocupam posições correspondentes nas equações
diferenciais são chamados de “grandezas analógicas”.
•
Analogia Força-Corrente: considere os sistemas mecânico e elétrico
mostrados abaixo.
k
F
is
is
iL
iR
L
R
iC
C
e
M
x
B
A equação diferencial para o sistema mecânico é M
d 2x
dx
+ B + Kx = F
2
dt
dt
(1)
Considerando agora o sistema elétrico. Aplicando a lei de Kirchhoff relativa a
correntes, obtemos iL + iR +i C = iS
(2)
1
e
de
edt , iR = , iC = C
(3)
∫
L
R
dt
1
e
de
Assim, iL = ∫ edt , iR = , iC = C
(4)
L
R
dt
Onde iL =
Note que o fluxo magnético concatenado Ψ é relacionado com e pela seguinte
equação
dΨ
= e.
dt
Assim podemos reescrever (4) da seguinte forma: C
d 2 Ψ 1 dΨ 1
+
+ Ψ = iS
dt 2 R dt L
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
33
Regras utilizadas para fazer analogias mecânico-elétricas
1- Analogia Força-Tensão: A cada ponto que se desloca no sistema mecânico, e no
qual tem-se particular interesse, corresponde uma malha-fechada no circuito
elétrico. Nestas malhas são colocados os elementos elétricos análogos aos
mecânicos, conforme tabela mostrada a seguir.
SISTEMAS MECÂNICOS
SISTEMAS ELÉTRICOS
Força F (torque T)
Tensão e (V)
Massa M (momento de inércia J)
Indutância L
Coeficiente B de atrito viscoso
Resistência R
Constante K da mola
Recíproco de capacitância 1
Deslocamento x (deslocamento angular θ)
_
C
Carga q
Corrente i
_
Velocidade x (velocidade angular θ )
2- Analogia Força-Corrente: A cada ponto que se desloca no sistema mecânico, e
no qual tem-se particular interesse, corresponde um nó no circuito elétrico análogo,
onde se ligam fontes de corrente e outros elementos análogos aos mecânicos, de
acordo com a tabela a seguir.
SISTEMAS MECÂNICOS
SISTEMAS ELÉTRICOS
Força F (torque T)
Corrente i
Massa M (momento de inércia J)
Capacitância C
Coeficiente B de atrito viscoso
Recíproco da Resistência 1
Constante K da mola
Recíproco da Indutância 1
Deslocamento x (deslocamento angular θ)
_
R
L
Enlace de fluxo magnético Ψ
_
Velocidade x (velocidade angular θ )
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Tensão e (V)
CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
34
Exemplo: Obtenha o sistema elétrico análogo ao sistema mecânico mostrado na
figura abaixo.
a) Usando analogia Força-Tensão
b) Usando analogia Força-Corrente
x1
F
K1
x2
K2
B
M1
M2
Resolução:
a) Sabemos que cada ponto que se desloca no sistema mecânico corresponde a
uma malha fechada no circuito elétrico. Teremos, portanto, duas malhas no circuito
elétrico.
Sabemos também que uma velocidade no circuito mecânico corresponde a uma
corrente no circuito elétrico. Assim, como temos interesse em determinar duas
_
_
velocidades ( x1 , x 2 ), o circuito elétrico terá duas correntes distintas (i1,i2), uma em
cada malha.
L1
L2
+
i1
R
Sist.
Elét.
V
M
L
B
R
i2
-
K
C2
C1
Sist.
Mec
F
x
onde C =
1
K
1
C
q
_
x
i
_
O sentido das correntes i1 e i2 é determinado analisando-se as velocidades x1
_
_
_
e x 2 . Se x1 = x 2 , então o amortecedor não sofre qualquer força. Logo, para que a
tensão no resistor seja nula quando i1 = i2, é necessário que as correntes tenham
sentidos opostos em R.
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
35
b) Da mesma forma que no item anterior, a resolução deste item pode ser feita
através da observação da existência de dois pontos onde nos interessa conhecer as
_
_
velocidades ( x1 e x 2 ). Note, no entanto, que na analogia força-corrente, uma
velocidade é análoga a uma tensão e, desta forma, temos dois nós no circuito,
representados abaixo por V1 e V2 (dois pontos de tensão).
V1
i
L1
R
C1
V2
L2
C2
Sist.
Mec
F
Sist.
Elét.
i
M
C
B
K
x
onde L = 1
e R= 1 .
K
B
1
1
R
L
Ψ
_
x
V
Observe que, da mesma forma que no sistema mecânico, onde a força sobre o
_
_
amortecedor B depende das velocidades x1 e x 2 , a corrente sobre a resistência R
depende das tensões V1 e V2.
Exercício: Obtenha a função de transferência G ( s ) =
encontrado no item a) do exemplo anterior.
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I1 ( s )
do circuito análogo
V ( s)
CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
36
Diagrama de blocos
Um diagrama de blocos é uma representação das funções desempenhadas
por cada componente e do fluxo de sinais. As variáveis são ligadas umas às outras
através de blocos funcionais, em sentido único, indicando explicitamente uma
propriedade unilateral.
Ponto de soma
Bloco
E(s)
X(s)
Y(s)
G(s)
X(s)
+
–
C(s)
onde Y(s)= G(s)X(s)
onde E(s)=X(s) – C(s)
Diagrama de blocos de um sistema realimentado
X(s)
Y(s)
E(s)
G(s)
+C(s)
H(s)
•
Função de transferência de malha aberta (FTMA)
É a razão do sinal alimentado C(s) para o sinal de erro atuante E(s)S e é
dada por:
FTMA =
C ( s)
= G (s ) H (s)
E ( s)
Pois C ( s ) = H ( s )Y ( s ) e Y ( s ) = G ( s ) E ( s )
Logo C ( s ) = H ( s )G ( s ) E ( s )
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
•
37
Função de transferência de malha fechada (FTMF)
É a razão do sinal de saída Y(s) para o sinal de entrada X(s) e é obtida da
FTMA =
seguinte forma:
Y (s)
X (s)
onde Y ( s ) = G ( s ) E ( s ) mas E ( s ) = X ( s ) − C ( s ) e C ( s ) = H ( s )Y ( s ) .
Assim E ( s ) = X ( s ) − H ( s )Y ( s ) e
e então
•
Y ( s ) = G ( s ) X ( s ) − G ( s ) H ( s )Y ( s )
Y ( s )[1 + G ( s ) H ( s )] = G ( s ) X ( s )
Y (s)
G( s)
=
X ( s) 1 + G (s ) H (s)
Sistema realimentado sujeito a uma perturbação (distúrbio)
A figura abaixo mostra o diagrama de blocos de um sistema de malha
fechada sujeito a uma perturbação P(s).
P(s)
X(s)
E(s)
+-
Y(s)
++
G1(s)
G2(s)
H(s)
Considerando que o sistema é linear, e que possui duas entradas X(s) e P(s),
podemos aplicar o princípio da Superposição para a saída Y(s) da seguinte forma:
(i)
Examinando o efeito da perturbação P(s)→ X(s)=0
Redesenhando o diagrama de blocos, temos
P(s)
Y1(s)
G2(s)
+-
G1(s)
H(s)
Y1 ( s )
G 2 (s)
=
P ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
(ii)
38
Examinando o efeito da entrada X(s) → P(s)=0
Redesenhando o diagrama de blocos, temos
X(s)
G1(s)
+-
G2(s)
Y2 (s)
H(s)
Y2 ( s )
G1 ( s )G 2 ( s )
=
X ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
(iii)
Resposta devido à aplicação simultânea das duas entradas
Y ( s ) = Y1 ( s )Y2 ( s ) =
G 2 (s)
G1 ( s )G 2 ( s )
P( s) +
X ( s)
1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
Y (s) =
G 2 ( s)
[G1 ( s) X ( s) + P( s)]
1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
Procedimentos para construção de diagramas de blocos
1- Escrever as equações que descrevem o comportamento dinâmico de cada
elemento (resistor, capacitor, mola, massa,...);
2- Obter as transformadas de Laplace das equações admitindo condições iniciais
nulas;
3- Representar cada equação transformada por Laplace individualmente em
forma de blocos;
4- Montar elementos em um diagrama de blocos completo.
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
39
Exemplo 1: Representar o circuito mostrado na figura abaixo usando diagrama de
blocos.
R
+
+
i
ei
C
eo
-
-
Resistor
Capacitor
1- ei (t ) = Ri (t ) + eo (t )
1- eo (t ) =
2- I ( s ) = [ Ei ( s ) − Eo ( s )]
3-
Ei(s)
2- Eo ( s ) =
I(s)
1
R
+-
1
R
1 t
i (t )dt
C ∫0
3-
I(s)
1
I (s)
sC
1
sC
Eo(s)
1
sRC
Eo(s)
Eo(s)
4-
Ei(s)
+-
Eo ( s )
G (s)
1
=
=
Ei ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) 1 + sRC
Exemplo 2: Obtenha uma representação em diagrama de blocos para o sistema
abaixo.
R1
R2
+
+
ei
i1
C1
i2
-
eo
-
- Equações no tempo:
(a) − ei (t ) + R1i1 (t ) +
C2
1
[i1 (t ) − i2 (t )]dt = 0
C1 ∫
(b)
1
[i2 (t ) − i1 (t )]dt + R2i2 (t ) + 1 ∫ i2 (t )dt = 0
∫
C1
C2
(c)
1
i2 (t )dt = eo (t )
C2 ∫
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
40
- Equações na freqüência (aplicando Laplace):
(a) − Ei ( s ) + R1 I1 ( s ) +
1
1
I1 ( s ) −
I 2 ( s) = 0
sC1
sC1
(b)
1
1
1
I 2 ( s) −
I1 ( s ) + R2 I 2 ( s ) +
I 2 ( s) = 0
sC1
sC1
sC2
(c)
1
I 2 ( s ) = Eo ( s )
sC2
- Agrupando os termos (sem eliminar qualquer variável):
(a) I1 ( s ) =

sC1 
1
I 2 ( s)
 Ei ( s ) +
1 + sC1 R1 
sC1



C2
(b) I 2 ( s ) = 
 I1 ( s )
 sC1C2 R2 + C1 + C2 
(c)
Eo ( s ) =
1
I 2 ( s)
sC2
E(s)
i
I1
sC1
1 + sC1 R1
++
I2
C2
sC1C2 R2 + C1 + C2
1
sC2
Eo (s)
1
sC1
Exemplo 3: Obtenha uma representação do diagrama de blocos para o sistema
elétrico abaixo:
ea
R1
R2
+
+
ei
i1
i2
C1
C2
-
eo
-
I1 ( s ) =
Ei ( s ) − Ea ( s )
R1
I 2 ( s) =
Ea ( s ) − Eo ( s )
⇒ Ea ( s ) = R2 I 2 ( s ) + Eo ( s )
R2
Ea ( s ) =
1
(I1 ( s) − I 2 (s )) ⇒ I 2 (s) = I1 (s ) − sC1Ea (s)
sC1
Eo ( s ) =
1
sC2
E(s)
i
+-
1
I1
R1
I2
+-
Ea
sC1
R2
+
+
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1
Eo (s)
sC2
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41
Exercícios: Obtenha uma representação em diagramas de blocos para os sistemas
mostrados abaixo.
a)
b)
K
K1
B
F
m
x
F
x
K2
b
Onde F é a entrada e x a saída.
Onde F é a entrada e x a saída.
c)
J
T
Onde T é a entrada e w a saída.
w
B
d)
e)
L1
xi
b1
K1
R2
L2
R1
C2
ei
C1
b2
x0
y
Onde ei é a entrada e eo a saída
K2
Onde xi é a entrada e xo a saída.
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eo
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42
CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
43
Um diagrama de blocos complicado, envolvendo muitas malhas de
realimentação, pode ser simplificado por um rearranjo passo a passo, usando as
regras de álgebra de diagrama de blocos.
Na simplificação de um diagrama de blocos deve-se lembrar que:
1- O produto das F.T. no sentido direto deve permanecer o mesmo.
2- O produto das F.T. ao redor de um laço deve permanecer o mesmo.
Procedimento para a redução de diagramas de blocos
Passo 1: Combine todos os blocos em cascata usando a transformação 4.
Passo 2: Combine todos os blocos em paralelo usando a transformação 5.
Passo 3: Elimine todas as malhas de retroação secundárias usando a transformação
13.
Passo 4: Desloque os pontos de soma para a esquerda e os pontos de junção para
a direita das malhas principais usando as transformações 6, 9 e 10.
Passo 5: Repita os passos de 1 a 4 até que a forma canônica seja obtida.
As transformações 1, 2, 3, 7, 8, 11 e 12 são algumas vezes úteis e a
experiência com a técnica de redução determinará suas aplicações.
Exercício: Simplifique o diagrama de blocos mostrado abaixo.
H2
X(s)
+-
+
+
G1
+
-
Y(s)
G2
H1
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G3
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Exemplo 1: Reduza o seguinte diagrama de blocos à forma canônica.
G3
X(s)
+
+
+-
G1
G4
G2
+
+
H1
H2
Passo 1:
G1
G1G4
G4
G3
Passo 2:
Passo 3:
G2+G3
+
+
G2
G1G4
++
G1G4
1 − G1G4 H1
H1
Passo 4: não se aplica
Passo 5: repetição do passo 1
G1G4
1 − G1G4 H 1
+-
G2+G3
H2
X
+-
G1G4 (G2 + G3 )
1 − G1G4 H1
H2
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Y
Y(s)
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
Exemplo 2: Reduza o seguinte diagrama de blocos à forma canônica.
X(s)
+-
+-
1
s +1
K
Y(s)
S
0,1
X(s)
+-
+-
K
s +1
Y(s)
S
0,1
X(s)
K
(1 + K ) s+ 1
+-
Y(s)
Forma
canônica
0,1
G( s)
1 + G( s) H (s)
K
K
(1 + K ) s+ 1
FTMF =
=
0,1K
(1 + K ) s+ 1 + 0,1K
1+
(1 + K ) s+ 1
K
FTMF =
(1 + K ) s+ (1 + 0,1K )
FTMF =
X(s)
K
(1 + K ) s+ (1 + 0,1K )
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Y(s)
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
46
Exemplo 3: Reduza o diagrama de blocos seguinte a uma forma de malha aberta.
H2
X a
+
f
+
+
G1
g
f
c
G2
G3
-
f
+
d
h
Y
+
H1
b
G4
Solução: Uma vez que os passos 1, 2 e 3 não se aplicam, passamos diretamente ao
passo 4. Deslocamos então o ponto de soma “f” para depois de G1, deixando o resto
inalterado.
X a
G1
+
+
f
+
g
c
G2
G1
H1
b
Transformação 7
Em seguida, deslocamos o ponto de junção “b” além de G1.
X a
G1
+
+
f
g
+
c
G2
-
1
G1
b
G1 H1
Transformação 9
Redispomos os pontos de soma “f” e “g” usando a seguinte regra:
Z
W
+
+
X
+
-
W
Z
+
+
Y
Y
+
X
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-
a
+
G1
g
c
G2
-
f
1
G1
-
+
G1 H1
Transformação mostrada acima
Combinamos, então, os blocos em paralelo na malha de retroação:
H2
G1
+
g
g
+
c
G2
1−
1
G1
G1 H1
Transformação 5
Combinamos os blocos em cascata:
H2
G1
+
g
c
G2
+

1 
1 − G1 H1
G

1
Transformação 4
Eliminamos a malha de retroação mais interna,
Transformação 13
H2
X a
G1
+
g
G2
1 − G1G2 H1 + G2 H1
G3
G4
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+
d
h
+
Y
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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
Combinando os blocos em cascata e eliminando a malha de retroação em H2:
Transformação 4 e 13
X a
G1
G2G3
1 − G1G2 H1 + G2 H1 + G2G3 H 2
+
h
Y
+
G4
Finalmente, as transformações 4 e 5 nos dão:
X
G1G2G3 + G4 − G1G2G4 H1 + G2G4 H1 + G2G3G4 H 2
1 − G1G2 H 1 + G2 H1 + G2G3 H 2
Transformação 4 e 5
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Y
48