LEANDRO CARVALHO VIEIRA E GILMAR DE PAULA MATTA
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
NO VESTIBULAR - VOLUME 2
QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 2007-2010
(FUVEST, PUC, UERJ, UFF, UFJF, UFLA, UFOP, UFRJ,
UFSJ, UFV, UNESP, UNIFENAS, UNIFOA, UNIRIO)
Questões de Matemática no Vestibular - Volume 2
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FICHA CATALOGRÁFICA
MATTA, Gilmar de Paula. VIEIRA, Leandro Carvalho.
Questões de Matemática no Vestibular - Volume 2
Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2013.
1. Matemática.
I — Título
ISBN: 978-85-399-0487-7
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CDD 510
01/13
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - FUVEST - 2009 - 1a FASE ..................................................................... 1
Gabarito ................................................................................................................... 5
CAPÍTULO 2 - FUVEST - 2010 - 1a FASE.................................................................. 13
Gabarito ................................................................................................................. 17
CAPÍTULO 3 - PUC - 2009 - 1a FASE ......................................................................... 27
Gabarito ................................................................................................................. 31
CAPÍTULO 4 - PUC - 2010 - 1a FASE - GRUPO 2 ..................................................... 37
Gabarito ................................................................................................................. 40
CAPÍTULO 5 - UERJ - 2009 - 1a FASE - 1a PROVA .................................................. 45
Gabarito ................................................................................................................. 48
CAPÍTULO 6 - UERJ - 2009 - 1a FASE - 2a PROVA .................................................. 53
Gabarito ................................................................................................................. 56
CAPÍTULO 7 - UERJ - 2010 - 1a FASE - 1a PROVA .................................................. 61
Gabarito ................................................................................................................. 64
CAPÍTULO 8 - UERJ - 2010 - 1a FASE - 2a PROVA .................................................. 69
Gabarito ................................................................................................................. 72
CAPÍTULO 9 - UFF - 2009 - 1a FASE ......................................................................... 77
Gabarito ................................................................................................................. 84
CAPÍTULO 10 - UFF - 2010 - 1a FASE ....................................................................... 89
Gabarito ................................................................................................................. 95
CAPÍTULO 11 - UFJF - 2009 - 1a FASE ................................................................... 101
Gabarito ............................................................................................................... 108
CAPÍTULO 12 - UFJF - 2010 - 1a FASE ................................................................... 121
Gabarito ............................................................................................................... 126
CAPÍTULO 13 - UFJF - PISM - 2010 - MOD I ......................................................... 133
Questões Objetivas ........................................................................................... 133
Questões Discursivas ........................................................................................ 136
Gabarito ............................................................................................................... 137
Questões Objetivas ........................................................................................... 137
Gabarito ............................................................................................................... 142
Questões Discursivas ........................................................................................ 142
IV
QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME 2
CAPÍTULO 14 - UFJF - PISM - 2010 - MOD II ....................................................... 145
Questões Objetivas ........................................................................................... 145
Questões Discursivas ........................................................................................ 147
Gabarito ............................................................................................................... 149
Questões Objetivas ........................................................................................... 149
Gabarito ............................................................................................................... 152
Questões Discursivas ........................................................................................ 152
CAPÍTULO 15 - UFJF - PISM - 2010 - MOD III ...................................................... 155
Questões Objetivas ........................................................................................... 155
Questões Discursivas ........................................................................................ 157
Gabarito ............................................................................................................... 160
Questões Objetivas ........................................................................................... 160
Questões Discursivas ........................................................................................ 161
CAPÍTULO 16 - UFLA - 2009 - 1a FASE .................................................................. 167
Gabarito ............................................................................................................... 171
CAPÍTULO 17 - UFMG - 2009 - 1a FASE ................................................................. 177
Gabarito ............................................................................................................... 182
CAPÍTULO 18 - UFMG - 2010 - 1a FASE ................................................................. 189
Gabarito ............................................................................................................... 193
CAPÍTULO 19 - UFOP - 2009 - 1a FASE .................................................................. 199
Gabarito ............................................................................................................... 202
CAPÍTULO 20 - UFOP - 2009 - 2a FASE .................................................................. 207
Gabarito ............................................................................................................... 210
CAPÍTULO 21 - UFOP - 2010 - 1a FASE .................................................................. 217
Gabarito ............................................................................................................... 227
CAPÍTULO 22 - UFRJ - 2009 - ESPECÍFICA ................................................................ 239
Gabarito ............................................................................................................... 227
CAPÍTULO 23 - UFRJ - 2009 - NÃO ESPECÍFICA ......................................................... 249
Gabarito ............................................................................................................... 251
CAPÍTULO 24 - UFRJ - 2010 - ESPECÍFICA ................................................................ 255
Gabarito ............................................................................................................... 259
S UMÁRIO
V
CAPÍTULO 25 - UFRRJ - 2009 - 1a FASE ................................................................... 269
Gabarito ............................................................................................................... 274
CAPÍTULO 26 - UFSJ - 2009 - 1a FASE ...................................................................... 279
Gabarito ............................................................................................................... 281
CAPÍTULO 27 - UFSJ - 2010 - 1a FASE - 1O SEMESTRE ................................................ 285
Gabarito ............................................................................................................... 287
CAPÍTULO 28 - UFSJ - 2010 - 1a FASE - 2O SEMESTRE ................................................ 293
Gabarito ............................................................................................................... 298
CAPÍTULO 29 - UFSJ - 2010 - 1a FASE - 2O SEMESTRE - ESPECÍFICA ............................ 305
Gabarito ............................................................................................................... 311
CAPÍTULO 30 - UFV - 2010 - 1a FASE ....................................................................... 317
Gabarito ............................................................................................................... 320
CAPÍTULO 31 - UNESP - 2009 ................................................................................. 329
Gabarito ............................................................................................................... 336
CAPÍTULO 32 - UNIFENAS - 2010 - 1a FASE ............................................................ 341
Gabarito ............................................................................................................... 343
CAPÍTULO 33 - UNIFOA - 2009 ............................................................................... 349
Gabarito ............................................................................................................... 355
CAPÍTULO 34 - UNIRIO - 2009 - 1a FASE ................................................................. 359
Gabarito ............................................................................................................... 364
CAPÍTULO 1
FUVEST - 2009 - 1a FASE
1) Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50.000,00. Para isso,
tomou emprestados R$ 10.000,00 de Edson e R$ 10.000,00 de
Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente.
A casa valorizou 3% durante este período de um ano.
Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a
Edson e Carlos, o seu lucro foi de
a)
R$ 400,00
b) R$ 500,00
c)
R$ 600,00
d) R$ 700,00
e)
R$ 800,00
2) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro
O, e o ponto A é exterior a ela.
Além disso,
(1) A, B, C e A, O, D são colineares;
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede a radianos.
l , em radianos, é igual a
Nessas condições, a medida de ABO
a)
4
d) 3
4
b)
2
e)
3
2
c)
2
3
2
QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME 2
3) O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx, em que a e b são números reais,
tem restos 2 e 4 quando dividido por x - 2 e x - 1, respectivamente.
Assim, o valor de a é
a)
-6
b) -7
c)
-8
d) -9
e)
-10
4) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma
PA. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o
ângulo  mede 120O, então o produto dos comprimentos dos lados
é igual a
a)
25
b) 45
c)
75
d) 105
e)
125
5) O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem
a equação 2log 2 1 2x log 2
2a 4 Então, log 2 é igual a:
3 a)
1
4
c) 1
b)
1
2
d)
3
2
e) 2
2x 3
CAPÍTULO 1 – FUVEST - 2009 - 1a FASE
3
6) A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um
hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis
dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é
igual a
a)
3 3
b)
2 3
c)
3 3
2
d)
3
e)
3
2
7) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação
(x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia
os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles
inscrito em C, de base PQ , e com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a
a)
2 2 2
b)
2 2 1
c)
2 2
d)
2 2 2
e)
2 2 4
4
QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME 2
8) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir
vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio
r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e
altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular
de raio x e altura h.
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente
cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar
que a razão x é igual a
h
a)
3
6
b)
3
3
c)
2 3
3
d)
3
e)
4 3
3
9) O ângulo q formado por dois planos a e b é tal que tg 5
.
5
O ponto P pertence a a e a distância de P a b vale 1. Então, a
distância de P à reta intersecção de a e b é igual a
a)
3
b)
5
c)
6
d)
7
e)
8
CAPÍTULO 1 – FUVEST - 2009 - 1a FASE
5
10) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6,
serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam
sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número
primo, é de
a)
2
9
b)
1
3
c)
4
9
d)
5
9
e)
2
3
GABARITO
1) C
50.000 x 0,03 = 1500
10.000 x 0,05 =
500
10.000 x 0,04 =
400
1.500 – 500 – 400 = 600
2) C
a = 3q
3
m 2
ABO
m 2
ABO
3
ou
R$600,00
6
QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME 2
3) A
O resto da divisão de x3 + ax2 + bx por x – 2 é igual ao valor
numérico de x = 2 (Teorema do resto).
(2)3 + (2)2 + b(2) = 2 Þ 4a + 2b = -6
O resto da divisão de x3 + ax2 + bx por x – 1 é igual ao valor
numérico de x = 1 (Teorema do resto).
(1)3 + a(1)2 + b(1) = 4 Þ a + b = 3
4a 2b 6
a b 3
a 6 b 9
4) D
Se a, b e c formam uma P. A. de soma S, então b Assim, os lados do triângulo são: 5 – r , 5 , 5 + r.
S
.
3
Pela Lei dos co-senos:
(5 + r)2 = 52 + (5 - r)2 - 2.5.(5 - r).cos 120°
1
25 + 10r + r2 = 25 + 25 - 10r + r2 - 10(5 - r). 2
20r = 25 + 5(5 - r)
20r = 25 + 25 - 5r
25r = 50
r=2
Os lados do triângulo são: 3 , 5 , 7 e o produto p é dado por:
P = 3 . 5 . 7 = 105
CAPÍTULO 1 – FUVEST - 2009 - 1a FASE
5) B
2log 2 1 2x log 2
1 2x 2
log 2 1 2x log 2
log 2
1 2
2x
2x
2x
2x 3
2x 3
3
2
23
1 2 2x 2x 2 8. 2x
2x 2 6 2x 1 0
6 2 64
4
6 2 8
x
4
6 2 8 3
x'
4
6 2 8 3
x '' 4
x
24
2
2 4
2
Como a é a menor raiz da equação, temos: a=
2a 4 log 2 3 3 2 4
2 2 4
log 2 3
3 2 4
2
7
8
QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME 2
3 2 4 4
log 2 3
log 2 2 1
2
6) E
Note que:
QA 1
2
e
PB 1
2
NQA NPB
Área
(NQA) = Área
(NBP) = Área
(AMQ)
Área
(NQA) + Área
(APB) = Área do triângulo equilátero e
Área
(NQA) + Área
(AMQ)= Área do triângulo equilátero.
Assim, Área do pentágono (NQABP) = 2. Área
12 3 Área = .2
4 Área =
3
2
7) D
OR : y = x
(x - 2)2 + (y - 2)2 = 4
(x - 2) + (x - 2) = 4
2
2
x2 - 4x + 4 + x2 - 4x + = 4
(y=x)
(NAB)
CAPÍTULO 1 – FUVEST - 2009 - 1a FASE
OR 2 2 . 2
OR 2 2 2
RM OR OM
RM 2 2 2 2
RM 2 2
Área = 2 2. 2 2
Área = 2 2 2
8) E
Volume da semiesfera = Volume do cone
1 4
1
2
r 3 2r h
2 3
3
3
2
2 r 4r h
r 2h
Volume da semiesfera = Volume do cilindro
1 4
2
r 3 x h
2 3
9
10
QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME 2
2 3
r x2 h
3
2
3
2h x 2 h
3
16 3
h x2 h
3
16 2
h x2
3
16 x 2
3 h2
x
16
h
3
x
4
h
3
x 4 3
,
h
3
9) C
POQ
tg 1
OQ
5
1
5
OQ
OQ 5
x 0
e h 0
CAPÍTULO 1 – FUVEST - 2009 - 1a FASE
2
PQ 12 OQ
2
PQ 12 5
2
PQ 6
2
2
devemos
ter x 0.
10) A
Dado 1
1
2
2
3
3
4
5
6
p
8 2
36 9
Dado 2
2
1
3
2
8 possibilidades
4
3
6
5
11