INF 162
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Exercícios propostos:
1. Sabendo-se que Y=3X-5 e que E(X)=2 e V(X)=1, calcule:
a)E(Y); b)V(Y); c)E(X+3Y); d)E(X2 + Y2 ); e)V(3X+2Y);
Resp.: 1; 9; 5; 15; 81
2. Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas
simultaneamente dessa urna. Se ganharmos R$ 200,00 por bola branca retirada e
perdermos R$ 100,00 por bola preta retirada, qual seria o nosso lucro esperado? Resp.:
75
3. Uma moeda honesta é lançada sucessivamente até sair cara ou até serem feitos 3
lançamentos. Obtenha a distribuição de X = número de lançamentos, e calcule sua
média e variância. Resp.: E(X)=1,75; Moda=1; V(X)=11/16
4. Uma máquina de apostar tem 2 discos independentes. Cada disco tem 10 figuras: 4
maçãs, 3 bananas, 2 pêras e 1 laranja. Paga-se 80 para acionar a máquina. Se
aparecerem 2 maçãs ganha-se 40; 2 bananas 80; 2 pêras 140 e 2 laranjas 180. Qual é o
resultado esperado após inúmeras jogadas? Resp.: E(X) = − 59
5. Um determinado artigo é vendido em caixas a preço de 8 U.M. por caixa. Sabe-se que
20% dos artigos vendidos apresentam algum defeito de fabricação. Um comprador faz
a seguinte proposta: Pede para poder amostrar, ao acaso, 10 artigos por caixa e pagará
por caixa 10 U.M. se nenhum dos artigos amostrados for defeituoso; 5 U.M. se um ou
dois artigos forem defeituosos e 4 U.M. se três ou mais forem defeituosos.
O que é melhor para o vendedor; manter o seu preço de 8 U.M. por caixa ou
aceitar a proposta do comprador? Mostre por quê.
Considere X = número de artigos defeituosos, com a seguinte distribuição de
probabilidade: (sugestão: utilize a variável Y = valor pago por caixa)
xi
0
1
2
Total
≥3
P ( x i ) 0,1074 0,2684 0,3019 0,3223
1,00
Resp.: O vendedor deve manter o seu preço [E(Y) ≅ 5,21]
6. (X, Y) é uma variável aleatória bidimensional discreta com a seguinte distribuição
conjunta:
P( xi )
-3
2
4
X Y
1
0,1
0,2
0,2
0,5
3
0,3
0,1
0,1
0,5
P( y j )
0,4
0,3
0,3
1
Pede-se calcular:
a) E(X), V(X) e σ x
b) E(Y), V(Y) e σ y
c) E(X + Y)
d) X e Y são independentes ?
Resp.: a) 2; 1 e 1 b) 0,6; 9,24 e 3,04 c) 2,6 d) não são
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7. Seja X uma v.a.c. com a seguinte f.d.p.:
 2
x ∈[0,1]
 3,

2
f ( x) =  (2 − x), x ∈[1,2]
3
caso contrá rio
 0,

Calcule:
a) A esperança matemática de (X-1)2
b) O desvio padrão de X
Resp.: a) 0,278 b) 0,478
8. Mostre que E{[X – E(X)][Y – E(Y)]}= E(X,Y) – E(X)E(Y)
Universidade Federal de Viçosa - CCE / DPI
INF 161 - Iniciação à Estatística / Inf 162 – Estatística I
Lista de Exercícios: Cap. 4 - Variáveis Aleatórias
1. Uma v.a.c. X possui f.d.p. dada por :
6( x − x 2 ) , 0 ≤ x ≤ 1
f ( x) = 
, para outros valores de x
 0
Calcular :
a) P [E( X) − 2σ ≤ X ≤ E ( X) + 2σ] , σ = V( X) , dado E( X 2 ) = 3 / 10
b) F(x), a Função de distribuição acumulada
2. Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta :
X
Y
-2
0
3
-1
0,1
0,1
0,1
1
0,1
0,2
0,1
2
0
0,3
0
Sabendo-se que V(X) = 1,41 e E(Y) = 0,2 ; pede-se:
a) X e Y são v. a. independentes? Mostre.
1

b) E  X − 3Y 2 + 8
2

1

c)V  X − 3Y 2 + 8
2

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3. Dada a função densidade de probabilidade abaixo:
1

, se 0 ≤ x ≤ 1

2

 1
f ( x) = − ( x − 3) , se 1 ≤ x ≤ 3
 4
0
, para outros valores de x


Calcule :
a) V( 12X - 8 ), dado E ( X 2 ) = 127 / 6
b) A função de distribuição acumulada
c) P( 0,5 < X < 1,5 )
4. Uma v. a. c. X possui a seguinte f. d. p. :

 0
, se x < −1 ou x ≥ 4 / 3

1
f ( x) =  (1 − x 2 ) , se − 1 ≤ x < 0
2
 1
, se 0 ≤ x < 4 / 3
 2
Determinar:
a) F(x), a função de distribuição acumulada
b) P(−0,5 ≤ x ≤ 0,5)
5.Dada a distribuição conjunta abaixo, parcialmente indicada:
X
-3
-2
-1
P(Y)
Y
-2
1/15
1/15
?
7/30
0
8/30
?
2/15
?
1
?
1/30
?
7/30
P(X)
6/15
7/30
?
Pede-se:
a) Verifique se X e Y são v. a. independentes.
 X 2 2Y

−
− 10
b) E
5
3

c) V(8 − 15X)
6.Cite as propriedades de:
a) Esperança Matemática.
b) Variância.
7. Conceitue:
a) Variável aleatória discreta
b) Variável aleatória contínua
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8.Uma v. a. c. é dada por:
 kx 2 , se 2 ≤ x < 5

f ( x) = k(8 − x) , se 5 ≤ x ≤ 8

0 , se x assume outros valores

Determinar:
a) O valor da constante k para que f(x) seja uma f. d. p.
27 
8
b) P ≤ X ≤ 
2
2
9. Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta:
X
1
2
4
5
Y
2
0,2
0,1
0,1
0,2
3
0,1
0,1
0,1
0,1
Soma
Soma
Pede-se:
 1 
a) E − X ; b) V(5X − 3Y) ; c) X e Y são v. a. independentes? Mostre porque.
 3 
10. Sabendo-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes e que E(X) = 5, V(X) =
2, E(Y) = 8 e V(Y) = 3, calcule:
a) E( X - Y + 3 )
d) V(3Y + 2)
a) E[ ( X - Y ) 2 ]
1 

c) V X − Y

3 
11. Seja ( X, Y ) uma variável aleatória bidimensional discreta, com a seguinte função de
probabilidade:
 2x i + y j
, para x i = 0, 1, 2 e y j = 0, 1, 2, 3

P x i , y j =  42
 0
, caso contrá rio

(
)
Pede-se:
a) Dar a tabela da distribuição de probabilidade conjunta.
b) Dar a tabela da distribuição marginal de X e também a de Y.
c) E(X − 2Y + 4)
12. Dada a seguinte função:
K(2 − x) , se 0 ≤ x < 1

f ( x) =  K
, se 1 ≤ x ≤ 2
0
, caso contrá rio

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Determinar:
a) O valor de K para que f(x) seja uma f.d.p.
b) E X 3
( )

c) P X ≥

3

2
d) P( X = 1)
14. Sejam X e Y v. a. c. com função densidade de probabilidade conjunta dada por:
K( 2x + y) , se 2 ≤ x ≤ 6 e 0 ≤ y ≤ 5
f ( x , y) = 
, c. c.
0
Pede-se:
a) O valor de K para que f ( x , y) seja uma f. d. p.
b) P(Y ≤ 2)
c) P( X > 3 / 0 ≤ Y ≤ 2)
d) X e Y são v. a. independentes? mostre.
15.A variável aleatória contínua X tem f. d. p., f(x) = 3 x 2 , −1 ≤ x ≤ 0 . Se a for um
número que satisfaça a −1 ≤ a ≤ 0 , calcule:
a

P X > a X < 

2
3 − y
, se 0 ≤ y ≤ 2 e

16. Dado f ( x , y) =  16
0
, caso contrá rio
Determinar:
a) As funções marginais de X e Y
b) Se X e Y são v. a. independentes.
0≤ x ≤ 4
17. Seja f(x, y) = 2(x + y - 2xy), para 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1
quaisquer outros valores de x e de y. Pede-se:
a) Mostre que f(x, y) é uma f.d.p.
b) Obtenha a f.d.p. marginal de X e a de Y.
e
f(x, y) = 0, para
18. Suponha que as dimensões, X e Y, de uma chapa retangular de metal, possam ser
consideradas variáveis aleatórias contínuas independentes, com as seguintes f.d.p.:
 x − 1, 1< x ≤ 2

g ( x ) = − x + 3 , 2 < x < 3
 0 , para outros valores

1
 , 2<y<4
h ( y) =  2
0 , para outros valores
e
Pede-se: Ache a f.d.p. da área da chapa (A).
RESPOSTAS
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1. a) ≅ 0,9855 b) 0 se x < 0 ; x 2 (3 − 2x) se 0 ≤ x < 1; 1 se x ≥ 1
2. a) não b) 0,55
c)119,57
3. a) 2879 b) 0 se x < 0;
x
1
se 0 ≤ x < 1; − ( x 2 − 6x + 1) se 1 ≤ x < 3; 1 se x ≥ 3
2
8
c) 15/32
4.a) 0 se x < −1;
1
( − x 3 + 3x + 2) se − 1 ≤ x < 0;
6
1
( 2 + 3x) se 0 ≤ x < 4 / 3; 1 se x ≥ 4 / 3
6
b) 23/48
5. a) não b) -3723/450 c) 689/4
8. a) 2/87 b) 149/261
9. a) -1 b) 72,16
c) não
10. a) 0 b) 14 c) 7/3 d) 27
11. c) 70/42
12. a) 2/5 b) 81/50
c) 0,2 d) 0
14.a) 1/210 b) 72/210 c) 60/72 d) não
15.
−7 a 3
(a
3
)
+8
1
 , 0≤ x ≤ 4
16. a) g( x) =  4
0 , c. c.
1 1
17. a)
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = 1
0 0
1
 (3 − y) , 0 ≤ y ≤ 2
h( y ) =  4
 0
, c. c
1, 0 ≤ x ≤ 1
b) g( x) = 
e
0, c. c.
 x −1
, para 1 < x < 2 e 2 < y < 4

2

 −x + 3
, para 2 < x < 3 e 2 < y < 4
18. f ( x, y) = 
2


 0 , fora destes int ervalos
52
b) sim
1, 0 ≤ y ≤ 1
h( y ) = 
0, c. c.