12ºANO
ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO
Matemática B
PROBLEMAS DE EXAME
2007/08
Os Exercícios foram retirados de
1. EN-2006-1F-1
A turma da Isabel decidiu fazer arranjos florais, utilizando flores do horto da escola, para vender no Dia dos
Namorados.
Idealizaram arranjos formados por margaridas, rosas e violetas. Dispõem de: 192 margaridas, 88 rosas e
112 violetas.
Pensaram formar dois tipos de arranjos: A e B.
Cada arranjo do tipo A:
• será composto por 16 margaridas, 4 rosas e 8
violetas;
• dará um lucro de 3 euros.
Cada arranjo do tipo B:
• será composto por 8 margaridas, 8 rosas e 8
violetas;
• dará um lucro de 2 euros.
1.1 A Isabel sugeriu que se fizessem 7 arranjos de cada tipo.
O Dinis sugeriu que se fizessem 10 arranjos do tipo A e 5 do tipo B.
Averigúe se cada uma destas propostas é, ou não, viável, tendo em conta as flores disponíveis.
1.2 Determine o número de arranjos de cada tipo que os alunos devem produzir, para obterem o maior lucro
possível (admitindo que vendem todos os arranjos).
2. EN-2006-1F-2
Numa festa de aldeia, foi montado um palco para a realização de um espectáculo.
Em frente deste, colocou-se uma plateia, com um total de 465 cadeiras, dispostas em filas.
Em cada fila, as cadeiras foram encostadas umas às outras, sem intervalos entre elas.
A primeira fila tem 10 cadeiras e a última fila tem 52 cadeiras.
A segunda fila tem mais
k
cadeiras do que a primeira. A terceira fila tem também mais k cadeiras do que
a segunda, e assim sucessivamente. Cada fila tem, portanto, mais k cadeiras do que a anterior.
2.1 Mostre que a plateia tem 15 filas.
2.2 Determine o valor de k .
2.3 A organização do espectáculo decidiu distribuir, ao acaso, os 465 bilhetes para os lugares sentados. A
Nazaré recebeu um bilhete. Ela sabe que, em cada fila, os dois lugares situados nas extremidades (um em
cada ponta) têm má visibilidade para o palco, pelo que gostaria que não lhe calhasse um lugar desses.
Qual é a probabilidade de a Nazaré ver satisfeita a sua pretensão?
Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
3. EN-2006-1F-3
A Margarida, aluna do curso de Artes Visuais, pretende fazer uma composição artística num pedaço de
tecido. Para isso, começou por entornar um frasco de tinta azul no tecido.
Admita que a mancha produzida pela tinta sobre o tecido é um círculo cujo raio vai aumentando com o
decorrer do tempo.
Sabe-se que, t segundos após o frasco ter sido completamente entornado, a área (em cm2) de tecido
ocupada pela mancha é dada, para um certo valor de
k , por A ( t ) =
100
, sendo t ≥ 0
1 + 4e kt
3.1 Supondo que, ao fim de cinco segundos, o raio da mancha circular é de 4 cm, determine o valor de
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
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k.
1
3.2 Admita agora que
k = −0, 25 .
Calcule a taxa de variação média da função
A
A no intervalo
[0, 4] , apresentando o resultado arredondado
às unidades. Interprete o valor obtido, no contexto do problema.
4. EN-2006-1F-4
Para analisar o som produzido pela vibração de um diapasão, recolheram-se alguns dados com um sensor
ligado a uma calculadora gráfica.
O sensor mede a variação de uma certa grandeza (que designaremos por
y , ao longo do tempo (que
designaremos por x ).
A partir dos dados, recolhidos em intervalos de tempo iguais, obteve-se, na calculadora, o diagrama de
dispersão que se pode observar nas figuras 1 e 2 (o eixo das abcissas corresponde à variável x e o das
ordenadas à variável y ).
Em cada uma das figuras, está representada a posição do cursor no visor da calculadora.
Na figura 1, o cursor encontra-se num ponto cuja ordenada é o máximo de y .
Na figura 2, o cursor encontra-se num ponto cuja ordenada é o mínimo de
y.
Admita que o fenómeno é bem modelado por uma função definida por uma expressão do tipo
y = a + b cos ( cx ) , onde a, b e c, são constantes reais positivas.
4.1 Relativamente a qualquer função definida por uma expressão do tipo indicado, justifique que:
1. O contradomínio é o intervalo
2.
2π
c
[ a − b, a + b ]
é período da função.
4.2 Determine os valores dos parâmetros a, b e c, tendo em conta:
• os dados contidos nas figuras 1 e 2
• a alínea 4.1.
• a alínea 4.2. e o facto de não existir nenhum período positivo inferior a
2π
c
Apresente o valor de c arredondado às unidades.
5. EN-2006-1F-5
A empresa de telecomunicações TLV efectuou um estudo estatístico relativo a todos os modelos de
telemóveis já vendidos pela empresa.
Este estudo revelou que o número n, em milhares, de unidades vendidas, depende do preço p (em euros) de
cada telemóvel, de acordo com o seguinte diagrama de dispersão.
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2
5.1 Admita que a empresa possui um ficheiro com os nomes de todos os clientes e, para cada um deles, o
preço do telemóvel adquirido (cada cliente adquiriu apenas um telemóvel). Para assinalar o seu aniversário, a
TLV resolveu sortear uma viagem entre os seus clientes.
Qual é a probabilidade de a viagem sair a um cliente que tenha comprado um telemóvel por um preço
inferior a 180 euros?
Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
5.2 Recorrendo à sua calculadora, determine o coeficiente de correlação linear entre as variáveis p e n.
Apresente o valor pedido arredondado às centésimas.
Explique como procedeu, reproduzindo na sua folha de prova as listas que introduziu na calculadora.
Tendo em conta o diagrama de dispersão apresentado na figura acima, interprete o valor obtido.
5.3 A TLV vai lançar um novo modelo de telemóvel. Com base no estudo efectuado, bem como noutros
indicadores, esta empresa prevê, relativamente ao modelo que vai ser lançado, que a relação entre n
(número, em milhares, de telemóveis que serão vendidos) e p (preço de cada telemóvel do novo modelo)
estará de acordo com a expressão
n = −0, 03 p + 10
Seja q a quantia (em euros) que a empresa prevê vir a receber pela venda dos telemóveis do novo modelo.
Escreva uma expressão que dê a quantia q, em função do preço p de cada telemóvel.
Apresente essa expressão na forma de um polinómio reduzido.
6. EN-2006-1F-6
Pretende-se construir um filtro de forma cónica, com uma capacidade superior a meio litro.
Para o efeito, dispõe-se de uma folha de papel de filtro, de forma rectangular, de 32 cm de comprimento e
18 cm de largura.
Na figura, está representado um esquema de uma possível planificação do filtro. Como se pode observar,
essa planificação é um sector circular, de raio igual à largura da folha de papel.
Averigúe se o filtro construído de acordo com esta planificação tem, ou
não, uma capacidade superior
a meio litro.
Nota: sempre que, nos
cálculos intermédios,
proceder a arredondamentos,
conserve, no mínimo, quatro
casas decimais.
Percorra sucessivamente as
seguintes etapas:
• Determine a amplitude, em
radianos, do ângulo α , representado na figura junta.
• Determine o perímetro da base do cone.
• Determine o raio da base do cone.
• Determine a altura do cone.
• Determine o volume do cone e responda à questão colocada.
(recorde que 1 litro = 1000 cm3)
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3
7. EN-2006-2F-1
Num certo concelho do nosso país, uma empresa de informática vai facultar um estágio, durante as férias do
Verão, aos alunos do 11.º ano, das escolas desse concelho, que tenham obtido classificação final superior a
15 valores, quer a Matemática, quer a Informática.
As classificações finais nas disciplinas de Matemática e de Informática obtidas pelos 50 alunos desse
concelho que satisfaziam as condições requeridas foram tratadas estatisticamente.
Desse tratamento resultaram os gráficos apresentados a seguir.
7.1 Depois de ter calculado, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrão das classificações, a
Ângela comentou: «As médias das classificações a Matemática e a Informática são iguais, mas o mesmo não
se passa com os desvios padrão».
1. Conclua que a Ângela tem razão na sua afirmação, calculando, para cada uma das disciplinas, a
média e o desvio padrão das classificações.
2. O Pedro, que estava a tratar os dados em conjunto com a Ângela, comentou: «Quando me
disseste que as médias eram iguais, eu, observando os gráficos, concluí logo que os desvios padrão eram
diferentes».
Tendo em conta que o desvio padrão mede a variabilidade dos dados relativamente à média, explique como
poderá o Pedro ter chegado àquela conclusão.
7.2 Sabe-se que, dos alunos que obtiveram 20 a Informática, metade obteve também 20 a Matemática.
A empresa vai sortear um prémio entre os alunos que obtiveram classificação igual ou superior a 19, na
disciplina de Matemática.
Qual é a probabilidade de o prémio sair a um aluno que obteve 20 nas duas disciplinas?
Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
8. EN-2006-2F-2
A Ana e a Fátima têm de ler, para a disciplina de Português, um livro com 255 páginas numeradas, da página
1 (primeira página do livro) à página 255 (última página do livro).
8.1 As duas raparigas começam a ler o livro no mesmo dia, na página 1.
A Ana lê uma página no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes, lê o dobro do número de páginas do
dia anterior.
A Fátima lê três páginas no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes, lê mais duas páginas do que no
dia anterior.
1. Verifique que, ao fim de n dias, a Ana já leu 2 − 1 páginas e a Fátima já leu n + 2n páginas.
2. Admita que a Ana acaba de ler o livro no dia 18 de Abril. Em que dia acaba a Fátima de ler o livro?
Justifique a sua resposta.
n
2
8.2 Escolhida, ao acaso, uma das 255 páginas numeradas do mesmo livro, qual é a probabilidade de o
número dessa página ter, pelo menos, dois algarismos e começar por 2?
Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.
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4
9. EN-2006-2F-3
Admita que, em condições ambientais normais, o número aproximado de aves de uma certa população, t
anos após um determinado instante inicial, é dado por
N (t ) =
125 A
A + (125 − A ) e −0,2t
(t > 0
e A constante positiva )
9.1 Verifique que A é o número de aves existentes no instante inicial.
9.2 Ao longo dos cinco anos que se seguiram ao instante inicial, a população cresceu em condições
ambientais normais. Nasceram 80 aves e morreram 57, não tendo entrado nem saído mais aves da
população.
Estime o número de aves que havia nessa população, no instante inicial, sabendo que esse número era
inferior a 25.
10. EN-2006-2F-4
Na figura, está representado um projecto de uma escultura em cimento para o jardim de uma escola,
constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.
Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de 2 metros.
Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações desse projecto.
10.1 Designemos por x o raio da esfera (em metros).
1. Indique, na forma de intervalo de números reais, o conjunto dos valores que a variável
assumir.
2. Mostre que o volume total,
V ( x) =
V
, em metros cúbicos, da escultura é dado, em função de
x pode
x , por
4π − 24 3
x + 24 x 2 − 24 x + 8
3
3. Determine o raio da esfera e a aresta do cubo de modo que o volume total da escultura seja mínimo.
Apresente os resultados em metros, arredondados às centésimas.
10.2 Admita agora que o raio da esfera é metade da aresta do cubo.
Pretende-se pintar toda a superfície da escultura, excepto, naturalmente, a face do cubo que está assente no
chão.
Cada litro da tinta que vai ser utilizada permite pintar uma superfície de 2,5 m2.
Admitindo que esta tinta só é vendida em latas de 1 litro, quantas latas será necessário comprar?
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5
11. EN-2006-2F-5
Como sabe, a Terra descreve uma órbita elíptica em torno do Sol.
Na figura está representado um esquema dessa órbita. Está assinalado o periélio, o ponto da órbita da Terra
mais próximo do Sol.
Na figura está assinalado um ângulo de amplitude
x
radianos
( x ∈ [0, 2π [ ) .
Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado extremidade passa na
Terra.
A distância d, em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é (aproximadamente) dada, em função de
d = 149, 6 (1 − 0.0167 cos x )
x
por
11.1 Determine a distância máxima e a distância mínima da Terra ao Sol.
Apresente os valores pedidos em milhões de quilómetros, arredondados às décimas.
11.2 Sabe-se que
x
verifica a relação
2π t
= x − 0, 0167 sen x , em que:
T
• t é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao instante em
que atinge a posição correspondente ao ângulo x ;
T é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa (365,24 dias).
T
1. Mostre que, para x = π , se tem t =
. Interprete este resultado no contexto da situação descrita.
2
•
2. Sabe-se que a última passagem da Terra pelo periélio ocorreu a uma certa hora do dia 4 de Janeiro.
Determine a distância a que a Terra se encontrava do Sol, à mesma hora do dia 14 de Fevereiro. Apresente o
resultado em milhões de quilómetros, arredondado às décimas. Nos valores intermédios, utilize, no mínimo,
quatro casas decimais.
Nota: a resolução desta questão envolve uma equação que deve ser resolvida graficamente, com recurso à
calculadora.
12. EN-2006-2F-6
Para estudar a Lei do Arrefecimento de um Corpo, a Joana aqueceu uma pequena quantidade de água. Em
seguida, deixou-a a arrefecer, medindo a temperatura em vários instantes, a partir de um certo instante
inicial.
De acordo com a referida lei, em cada instante, a taxa de variação da temperatura é directamente
proporcional à diferença entre a temperatura da água, nesse instante, e a temperatura ambiente, que se
considera constante.
Tem-se, portanto, que
T ′ ( t ) = k ⎡⎣T ( t ) − A⎤⎦
em que:
•
T ( t ) designa a temperatura da água, no instante t
•
T ′ ( t ) designa a taxa de variação da temperatura, nesse mesmo instante;
•
•
A designa a temperatura ambiente;
k é a constante de proporcionalidade.
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Admita que, durante a experiência, o tempo foi medido em minutos e a temperatura em graus Celsius.
Na tabela seguinte, estão valores da temperatura da água, registados de 0,5 em 0,5 minutos, com início no
instante t = 2.
Tendo em conta os dados desta tabela e sabendo que a temperatura ambiente, no local da experiência, era
de 25 graus Celsius, estime o valor de k .
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
Percorra sucessivamente as seguintes etapas:
• Determine a taxa de variação média da temperatura da água, nos intervalos
[ 2; 3,5] , [ 2, 3] e [ 2; 2,5]
• Tendo em conta os valores obtidos, estime a taxa de variação instantânea da temperatura da água, no
instante. t
= 2.
• Tendo em conta a fórmula dada acima, estime o valor de k .
13. EN-2007-1F-1
Dispõe-se de dois dados perfeitos, um tetraedro e um cubo, com faces numeradas de 1 a 4 e de 1 a 6,
respectivamente.
Considere a experiência aleatória que consiste em lançar, simultaneamente, os dois dados e registar a soma
do número da face que fica voltada para baixo, no caso do tetraedro, com o número da face que fica voltada
para cima, no caso do cubo.
13.1 Construa o modelo de probabilidades associado à experiência aleatória considerada.
Apresente as probabilidades na forma de fracção.
Nota: Construir um modelo de probabilidades consiste em construir uma tabela, associando aos resultados
da experiência aleatória a respectiva probabilidade.
13.2 Com base na experiência aleatória descrita, a Ana e o João decidem fazer um jogo.
A Ana lança o tetraedro e o João lança o cubo. A Ana sugere que as regras do jogo consistam no seguinte:
• ganha o João se a soma dos números saídos for ímpar;
• ganha a Ana se a soma dos números saídos for par.
Porém, o João diz que as regras não são justas, afirmando que a Ana tem vantagem, uma vez que existem
mais somas pares do que ímpares.
Num pequeno texto, comente o argumento do João, referindo se ele tem, ou não, razão.
Deve incluir, obrigatoriamente, na sua resposta:
• uma análise do argumento do João, referindo o número de somas pares e o número de somas ímpares;
• o valor da probabilidade de «sair soma par»;
• o valor da probabilidade de «sair soma ímpar»;
• conclusão final, referindo se o João tem, ou não, razão.
14. EN-2007-1F-2
Uma autarquia pondera o abastecimento anual de energia eléctrica para iluminação da via pública. Para o
efeito, a rede nacional pode fornecer-lhe dois tipos de energia: energia de origem convencional,
maioritariamente resultante da combustão de fuel, ou, em alternativa, energia eólica.
Para uma cobertura razoável de iluminação, no período nocturno, o consumo anual de energia não poderá
ser inferior a 40 MWh.
Por razões ambientais, a autarquia pretende que a quantidade de energia de origem convencional não
exceda a quantidade de energia eólica fornecida.
Relativamente à energia de origem convencional, tem-se:
• o preço por cada MWh é de 80 euros.
Relativamente à energia eólica, tem-se:
• o preço por cada MWh é de 90 euros;
• o fornecimento de energia, nesse ano, não poderá ultrapassar os 40 MWh.
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MATEMÁTICA B EXAMES.doc
7
Represente por
x
a quantidade de energia de origem convencional e por
y
a quantidade de energia
eólica consumidas pela autarquia.
Determine que quantidade de energia de cada tipo deve ser consumida, por ano, de modo que possam ser
minimizados os custos, tendo em conta as condicionantes referidas.
Percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:
• indique as restrições do problema;
• indique a função objectivo;
• represente graficamente a região admissível (referente ao sistema das restrições);
• indique os valores de x e y para os quais é mínima a função objectivo.
15. EN-2007-1F-3
Pretende-se elaborar um painel publicitário com a forma de um quadrado com 10 metros de lado. O painel
deve conter três círculos luminosos, tangentes entre si, como mostra a figura.
Relativamente ao painel, considere que:
• os diâmetros dos três círculos variam permanentemente e os seus centros estão sempre na mesma
mediana do quadrado;
• os círculos nunca saem fora do quadrado;
• os círculos inferior e superior são geometricamente iguais e são tangentes a lados opostos do quadrado;
• quando os diâmetros dos círculos inferior e superior aumentam, diminui o diâmetro do círculo central, e
vice-versa, como sugere a figura seguinte.
Sejam
o raio dos círculos inferior e superior e
15.1 Mostre que
ESAS Jorge Freitas
s=
r
o raio do círculo central.
5 1
− r
2 2
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8
A , das áreas dos três círculos, em função de r , é dada por:
3
25
A ( r ) = π r 2 − 5π r + π , 0 < r < 5
2
2
15.2 Verifique que a soma,
16. EN-2007-1F-4
O Pedro foi juntando algumas economias e, neste momento, tem 1000 euros que decide colocar no banco,
constituindo uma poupança.
Para o efeito dispõe de duas opções:
Opção A:
Por cada ano de aplicação do capital, o Pedro recebe 40 euros de juros.
Opção B:
Por cada ano de aplicação do capital, o Pedro recebe juros à taxa anual de 3,5%, a incidir sobre o capital total
acumulado até à data.
( bn )
16.1 Relativamente à opção B, designe por
existente decorridos
Sabendo que
n
a sucessão cujos termos são os valores do capital
anos.
( bn ) é uma progressão geométrica, determine a razão. Justifique a sua resposta.
16.2 Comente a seguinte afirmação:
«Comparando as duas opções apresentadas, se nos primeiros anos a opção A é a melhor escolha, a
partir de certa altura a opção B torna-se mais vantajosa.»
Sugestão: Determine o ano a partir do qual o capital acumulado de acordo com a opção B é superior ao
capital acumulado caso se tivesse escolhido a opção A.
Poderá ser útil ter em atenção que bn
= 1000 × 1, 035n
17. EN-2007-1F-5
Sabe-se que a concentração,
t
C , em miligramas por litro, de um analgésico, na circulação sanguínea,
horas após a sua ingestão, é dada por:
C ( t ) = 10 ( e − t − e −2t )
Nota: Na resolução das questões seguintes, sempre que, em cálculos intermédios, proceder a
arredondamentos, conserve duas casas decimais.
17.1 Qual é a concentração, aproximada, do analgésico uma hora e trinta minutos após a sua ingestão?
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
17.2
Sabe-se que o analgésico tem o efeito desejado quando a sua concentração é superior a 0,5 miligramas por
litro.
Considere que o analgésico foi ingerido às nove horas.
Recorrendo às potencialidades da calculadora gráfica, indique uma aproximação do intervalo em que ele
produz o efeito desejado.
Apresente os resultados em horas e minutos (com os minutos arredondados às unidades).
18. EN-2007-1F-6
Um farol (ponto
F ), situado numa ilha, encontra-se a 10 Km da costa. Nesta, sobre a perpendicular tirada
do farol, está um observador (ponto A ).
A luz do farol descreve sucessivos círculos e tem um alcance de 10 Km. Em cada instante, o farol ilumina
segundo uma trajectória rectilínea, com extremidade num ponto
representada na figura seguinte.
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P , que percorre a circunferência
9
Sejam:
•
α a amplitude, em graus, do ângulo orientado cujo lado origem é a semi-recta FA
e cujo lado
extremidade é a semi-recta FP
• M o ponto médio de [ AP ]
•
PB a distância do ponto P
Mostre que, para
à costa
0o < α < 180o
AP , expressa em quilómetros, do observador ao ponto P é dada, em função de α ,
2 ⎛α ⎞
por AP = 20 sen ⎜
⎟
⎝2⎠
18.2 a distância, d , expressa em quilómetros, do ponto P à costa é dada, em função de α ,
2 ⎛α ⎞
por d (α ) = 20 sen ⎜
⎟
⎝2⎠
18.1 a distância,
Percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:
ˆ , em função de α
FAP
ˆ , em função de α
• escreva FAB
• escreva BP , em função de α
• escreva
19. EN-2007-2F-1
A evolução da massa salarial de um conjunto de trabalhadores é, por vezes, explicável através de modelos
matemáticos.
Numa dada empresa, fez-se um estudo comparativo da evolução dos vencimentos (em euros) de dois
trabalhadores, A e B, entre 1998 e 2006.
• Relativamente ao trabalhador A, o valor do vencimento mensal em cada ano, no período compreendido
entre 1998 e 2006, é apresentado na tabela seguinte e reproduzido num diagrama de dispersão.
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MATEMÁTICA B EXAMES.doc
10
• Relativamente ao trabalhador B, sabe-se que, em 1998, recebia mensalmente 652 euros e que, nos anos
seguintes, referentes ao período em estudo, o valor do seu vencimento mensal pode ser obtido através do
modelo
vn = 652 × 1, 0502n −1
Nota: a variável
está associada aos anos relativos ao período em estudo, concretamente,
n = 1 corresponde a 1998, n = 2
corresponde a 1999, etc.
19.1 Utilizando a sua calculadora, indique um valor aproximado do coeficiente de correlação linear entre
as variáveis descritas na tabela (anos/salário) referente ao trabalhador A.
Apresente o resultado com duas casas decimais.
Interprete esse valor, tendo em conta o diagrama de dispersão correspondente.
19.2 Tome em atenção que o modelo que traduz a evolução do salário do trabalhador B é uma progressão
geométrica.
1. Indique o primeiro termo e a razão da progressão geométrica em questão.
2. Um trabalhador aufere, por ano, 12 ordenados mensais mais o subsídio de férias e o décimo
terceiro mês, ambos com valor igual ao do ordenado mensal.
Utilizando a fórmula apropriada (que faz parte do formulário), calcule, aproximadamente, o valor da
totalidade dos vencimentos auferidos pelo trabalhador B entre 1998 e 2006, inclusive.
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Nota: Sempre que, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo,
duas casas decimais.
20. EN-2007-2F-2
O campo de futebol de um dado clube tem uma bancada destinada a não sócios, que leva 4000
espectadores. Se o preço de cada bilhete for 10 euros, prevê-se que a lotação dessa bancada fique esgotada.
Com base em experiências anteriores, verifica-se que, se o preço de cada bilhete for aumentado numa certa
percentagem, x , sobre o valor base (10 euros), o número de espectadores baixa metade dessa
percentagem. Por exemplo, se o preço dos bilhetes aumentar 10%,
x = 0,1 , o número de espectadores
sofre um decréscimo de 5%.
Admitindo a exactidão do modelo descrito e considerando sempre o aumento percentual,
base (10 euros), responda às questões que se seguem.
20.1 Mostre que, se
x
x , sobre o preço
for o aumento percentual do preço de cada bilhete para aquela bancada, num dado
jogo, então a receita de bilheteira, \ , é dada por:
R ( x ) = −20 000 x 2 + 20 000 x + 40 000 , com 0 ≤ x ≤ 2
Tenha em atenção que:
• o preço de cada bilhete,
p , em função do aumento percentual, x , é dado por p ( x ) = 10 (1 + x )
n , em função do aumento percentual, x , é dado por
• o número de espectadores,
n ( x ) = 4 000 − 2 000 x
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20.2 Um dos elementos da direcção do clube sugere que o preço de cada bilhete seja de 20 euros, para
serem maximizadas as receitas de bilheteira. Porém, um segundo elemento da direcção opõe-se, dizendo
que o ideal é manter o preço de cada bilhete a 10 euros, uma vez que as receitas de bilheteira são
superiores se assim for.
Num pequeno texto, comente o argumento de cada um dos elementos da direcção do clube, tendo em
conta o objectivo de maximizar as receitas de bilheteira.
Deve incluir, obrigatoriamente, na sua resposta:
• o valor da percentagem, x , que a direcção do clube deve aplicar sobre o preço base (10 euros), para que
se maximizem as receitas de bilheteira, e o respectivo valor da receita (no caso de discordar da opinião de
cada um dos elementos da direcção);
• um argumento, fundamentado, referente às propostas de cada um dos elementos da direcção, dizendo se
concorda, ou não, com elas;
• todos os elementos recolhidos na utilização da sua calculadora gráfica que se tenham mostrado
relevantes.
20.3 À entrada para o recinto do jogo, cada espectador, sócio ou não sócio, recebeu um cartão numerado
para se habilitar a um sorteio. Estavam presentes 6825 espectadores, dos quais 40% eram não sócios. Foram
sorteados, simultaneamente, dois números.
Qual a probabilidade de ambos os contemplados serem sócios?
Apresente o resultado final com aproximação às centésimas.
21. EN-2007-2F-3
Numa determinada localidade, o responsável pelo planeamento urbanístico apresentou uma proposta para a
construção de uma rotunda com 10 metros de diâmetro. No centro da rotunda, pretende-se construir um
jardim em forma de losango, com 20 metros de perímetro, como
sugere a figura. À volta do jardim, serão colocados calçada e outros
elementos decorativos.
Relativamente à figura, considere que:
• os pontos
• o ponto
• o ângulo
A, B, C e D são os vértices do losango;
O é o centro da circunferência;
ˆ
ADO
tem de amplitude
α, 0 < α <
π
2
21.1
Mostre que a área, em m2, da zona destinada ao jardim é dada, em
função de α , por:
A (α ) = 50 cos α ⋅ sen α , 0 < α <
21.2 Determine
π
2
⎛π ⎞
A⎜ ⎟ .
⎝4⎠
Interprete geometricamente o resultado obtido, indicando qual a forma particular do losango, para
α=
π
4
22. EN-2007-2F-4
No período de testes que antecedeu a entrada em funcionamento de um gasómetro, com capacidade de 100
toneladas, procedeu-se ao seu enchimento, continuamente, durante 24 horas.
Por razões de segurança, o gasómetro foi lastrado com 2,5 toneladas de gás, após o que se iniciou a
operação de enchimento. A partir daí, o seu enchimento foi feito de acordo com o modelo:
M (t ) =
100
1 + 39 e −0,49t
, sendo
0 ≤ t ≤ 24
( M representa a massa total, expressa em toneladas, existente no gasómetro
enchimento.)
ESAS Jorge Freitas
MATEMÁTICA B EXAMES.doc
t horas desde o início do seu
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Nota: Na resolução das questões seguintes, sempre que, em cálculos intermédios, proceder a
arredondamentos, conserve duas casas decimais.
22.1 Qual era a massa total, aproximada, existente no gasómetro 3 horas após o início do seu enchimento?
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
22.2 Durante o período em que decorre o enchimento do gasómetro, fará sentido afirmar que existe um
dado intervalo de tempo em que a taxa de variação média do modelo assume um valor negativo?
Justifique devidamente a sua resposta.
23. EN-2007-2F-5
Para vedar três canteiros circulares, com 4 metros de raio cada, um agricultor decidiu colocar uma rede em
forma de triângulo equilátero,
[ ABC ] como a figura sugere.
Relativamente à figura, considere
que:
• as circunferências são tangentes
entre si;
• os lados do triângulo são
tangentes às circunferências;
• os pontos
H,I e J
e são os
centros das circunferências;
•
G é o ponto médio de [ BC ] ;
•
D
lado
é ponto do
[ AC ] tangente à
H;
L é ponto de tangência das
circunferências de centros I e J ,
circunferência de centro
•
respectivamente;
• α é a amplitude do ângulo
ˆ .
DAH
Quantos metros da rede mencionada necessita, aproximadamente, o agricultor para vedar os três canteiros?
Apresente o resultado final arredondado às unidades.
Nota: Sempre que, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve três casas decimais.
Sugere-se que:
[ HIJ ] ;
• determine a altura do triângulo [ ABC ] ;
• determine o lado do triângulo [ ABC ] .
• determine a altura do triângulo
FIM
ESAS Jorge Freitas
MATEMÁTICA B EXAMES.doc
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