24º Congresso Nacional de Transporte Aquaviário,
Construção Naval e Offshore
Rio de Janeiro, 15 a 19 de Outubro de 2012
Um estudo numérico do escoamento ao redor de um cilindro circular
próximo a uma parede plana
Mário Caruso Neto, PENO/COPPE/UFRJ, Brasil
Juan B. V. Wanderley, PENO/COPPE/UFRJ, Brasil
Resumo:
O escoamento ao redor de um duto próximo do leito marinho permanece relativamente
desconhecido, apesar dos esforços de muitos pesquisadores para entender o complicado
escoamento ao redor de corpos rombudos. O presente estudo contribui para esta discussão
investigando numericamente, em duas dimensões, um escoamento ao redor de um cilindro
circular próximo a uma placa plana. A investigação contempla números de Reynolds de 100, 180
e 7000 e razões de afastamento (G/D) de 3, 0,6, 0,3 e 0,125. O escoamento é simulado
considerando um esquema conservativo de diferenças finitas e diminuição da variação total (TVD)
e com o método de divisão de domínio Chimera para resolver as equações RANS. O modelo de
turbulência k-ε é utilizado para simular o escoamento turbulento nos casos de alto número de
Reynolds. São obtidos resultados dos coeficientes de força e visualização do escoamento. Os
resultados mostram uma variação significativa das características do escoamento com uma
variação da razão de afastamento ou do número de Reynolds.
para afastamentos menores. Buresti e Lanciotti
(1992) investigaram um caso similar e
1 – Introdução
encontraram que a razão de afastamento
crítica era indiferente com a espessura da
Escoamento ao redor de um cilindro
camada limite.
circular é um problema complexo, o qual tem
atraído atenção da academia por mais de
Lei et al (1999) afirmaram que o
sessenta anos. Este caso é um passo no
escoamento cisalhante, devido à camada
entendimento de muitos fenômenos de
limite sobre a placa plana, e a presença da
importância prática, como vibração induzida
placa plana deslocam o ponto de estagnação
por vórtices (VIV) em dutos. Apesar do
frontal em direções opostas. Dependendo da
escoamento ao redor de cilindros circulares
camada limite e da razão de afastamento
isolados ser bem entendido, com muitos
consideradas, o coeficiente de sustentação
trabalhos disponíveis (por exemplo, os
médio poderia ser positivo ou negativo,
trabalhos de revisão de Williamson (1997) e
entretanto esta quantidade tende a zero com o
Norberg (2003)), o mesmo não é verdade
aumento da razão de afastamento. A média do
para cilindros próximos a uma placa plana,
coeficiente de arrasto e a amplitude do
como uma aproximação de um duto próximo
coeficiente de sustentação decrescem com o
do leito marinho.
decréscimo da razão de aspecto. Lei et al
também relata que a razão de afastamento
Em um trabalho anterior Bearman e
crítica diminui com a diminuição da espessura
Zdravkovich
(1978)
realizaram
uma
da camada limite sobre a placa plana.
investigação experimental do escoamento ao
redor de um cilindro circular próximo a uma
Price et al (2001) definiram quatro
placa plana no regime subcrítico e
escoamentos característicos relacionados com
identificaram uma razão de afastamento
a razão de afastamento para o regime
crítica da ordem de G/D = 0,3, onde o
subcrítico. No caso de afastamento muito
desprendimento de vórtices era suprimido
1
pequeno, G/D< 0,25, praticamente não há
escoamento entre o cilindro e a placa plana. A
camada cisalhante originada na parte superior
do cilindro não se enrola atrás deste e uma
grande bolha de separação é formada atrás
do cilindro. Neste caso, o cilindro é similar a
um obstáculo posicionado sobre a placa
plana. No caso de pequenos afastamentos,
0,25< G/D < 0,5, a camada cisalhante no
cilindro próximo a placa plana e a camada
limite sobre esta possuem uma correlação
forte. Isto leva a bolhas de separação sobre a
placa, apesar da camada limite não se enrolar
formando um vórtice. A camada cisalhante
mais afastada da placa plana se enrola e uma
emissão periódica de vórtices é notada. No
caso de afastamentos intermediários, 0,5 <
G/D < 1,0, ambas as camadas cisalhantes se
enrolam em vórtices, que são emitidos de
uma maneira periódica. O vórtice emitido
próximo à placa plana interage com a camada
limite sobre esta. No caso de razão de
afastamento grande, G/D > 1,0, o escoamento
é similar ao observado para cilindro isolado.
Zovatto e Pedrizzetti (2001) simularam o
escoamento ao redor de um cilindro circular
entre duas placas planas em baixos números
de Reynolds, onde o cilindro foi deslocado
para uma posição próxima a uma das placas.
Eles observaram que a proximidade com a
placa estabiliza a esteira formada atrás do
cilindro, atrasando a emissão de vórtices.
Numa razão de afastamento intermediária,
eles reportaram a emissão de apenas uma
fileira vórtices.
O presente trabalho é um passo no
entendimento do escoamento ao redor de
cilindro circular próximo a uma placa plana.
No presente trabalho, as equações RANS na
formulação
levemente
compressiva,
Wanderley e Levi (2005), são resolvidas
numericamente em duas dimensões para o
escoamento ao redor de um cilindro. O
esquema upwind TVD de Roe (1984) e Sweby
(1984) é usado para resolver as equações
governantes
escritas
em
coordenadas
generalizadas. Um esquema Chimera de
divisão de domínio é aplicado para permitir a
fácil obtenção de malhas ajustadas ao cilindro
e a placa plana. Os termos de tensões de
Reynolds nas equações RANS são obtidos a
partir da hipótese de Boussinesq (1877) e do
modelo de turbulência k-ε de Chien (1982).
números de Reynolds de 40, 100 e 200, e para
escoamentos turbulentos de número de
Reynolds de 1000. Para os escoamentos
laminares, o modelo de turbulência k-e é
desligado. Fara número de Reynolds de 1000,
a camada limite sobre a superfície do corpo é
laminar, mas a esteira é turbulenta e requer o
uso do modelo de turbulência.
A comparação entre os resultados
numéricos obtidos no presente trabalho e
resultados
experimentais,
da
literatura,
mostraram que o código numérico foi capaz de
reproduzir corretamente não só importantes
características do escoamento, mas também
capaz de identificar a transição do regime de
escoamento com o número de Reynolds
.2 – NOMENCLATURA
D
Diâmetro do Cilindro
I
Intensidade de Turbulência
M
Número de Mach
Re
Número de Reynolds
St
Número de Strouhal
k
Energia Cinética Turbulenta
l
Escala de Comprimento de Turbulência
p
Pressão
t
Tempo
u
Componente de velocidade em x
v
Componente de velocidade em y
w
Componente de velocidade em z
y
Deslocamento do Cilindro
Velocidade vertical do cilindro
O código foi testado inicialmente para um
cilindro isolado e escoamentos laminares com
2
ε
Taxa de dissipação da Energia Cinética
Turbulenta.
η
Distancia de um ponto no campo de
escoamento à superfície do corpo
μ
Viscosidade dinâmica
ρ
Massa específica
τ
Compressibilidade Isotérmica
τw
Tensão cisalhante na parede
ν
Viscosidade cinemática
h
Condições de Escoamento Livre
Dn
Nó doados n
R
Nó Receptor
Cd
Coeficiente de arrasto médio
Clm
Coeficiente de sustentação médio
Cl’
Amplitude
sustentação
do
coeficiente
limitação.
Qt + (Ee − Ev )ξ + (Fe − Fv )η = H
Sendo:
⎧ 0 ⎫
⎧ p⎫
⎪ 0 ⎪
⎪u ⎪
1⎪ ⎪
1⎪ 0 ⎪
Q = ⎨ v ⎬, H = ⎨
⎬
J H
J ⎪ ⎪
⎪ k⎪
k
⎪ε ⎪
⎪H ⎪
⎩ ⎭
⎩ ε⎭
pU
⎫
⎧
⎪uU + ( p + 2 / 3k )ξ ⎪
x⎪
1⎪
E e = ⎨vU + ( p + 2 / 3k )ξ ⎬
y
J⎪
⎪
kU
⎪
⎪
εU
⎭
⎩
pV
⎧
⎫
⎪uV + ( p + 2 / 3k )η ⎪
x⎪
1⎪
Fe = ⎨vV + ( p + 2 / 3k )η ⎬
y
J ⎪
⎪
kV
⎪
⎪
εV
⎩
⎭
de
3 – FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
As equações de RANS são obtidas pela
média temporal das equações de NavierStokes (continuidade e momentum).
A
descrição completa dessas equações é
mostrada em Wanderley e Levi (2005).
Abaixo são é mostrada a versão final das
equações de RANS, após a aplicação do
modelo de turbulência k - e, em coordenadas
gerais 2-D na forma conservativa. Detalhes
sobre o modelo de turbulência k-e podem ser
obtidos em Chien (1982). Apesar de alguns
casos com turbulência serem analisados,
análises 2-D foram feitas por serem menos
custosas computacionalmente e não
desqualificar qualitativamente as soluções
obtidas. Todos os coeficientes de forças
avaliados para esses casos consideram esta
(1)
0
⎧
⎫
⎪⎛ 1
⎪
⎞
⎪⎜
+ν t ⎟⎛⎜ A1uξ + A2 uη ⎞⎟ ⎪
⎟⎝
⎠ ⎪
⎪ ⎜⎝ Re
⎠
⎪
⎪
⎞
⎪ ⎛⎜ 1
⎪
⎛
⎞
⎟
+ν t ⎜ A1vξ + A2 vη ⎟ ⎪
⎪
1⎪ ⎜
⎟⎝
⎠ ⎪
E v = ⎨ ⎝ Re
⎠
⎬
J ⎪⎛
⎪
νt ⎞
1
⎟⎛⎜ A k + A k ⎞⎟ ⎪
⎪⎜
+
2 η ⎠⎪
⎪⎜⎝ Re Prk ⎟⎠⎝ 1 ξ
⎪
⎪
νt ⎞
⎪⎛⎜ 1
⎪
⎛
⎞
⎟
+
⎜ A1ε ξ + A2εη ⎟⎪
⎪⎜
⎟
⎠⎪
R
Prε ⎝
⎠
⎩⎪⎝ e
⎭
0
⎧
⎫
⎪ ⎛ 1
⎪
⎞
⎪ ⎜
+ ν t ⎟⎛⎜ A2 uξ + A3 uη ⎞⎟ ⎪
⎟⎝
⎠ ⎪
⎪ ⎜⎝ R e
⎠
⎪
⎪
⎞
⎪ ⎛⎜ 1
⎪
+ ν t ⎟⎛⎜ A2 vξ + A3 vη ⎞⎟ ⎪
1 ⎪⎪ ⎜ R
⎟⎝
⎠ ⎪
Fv = ⎨ ⎝ e
⎠
⎬
J ⎪⎛
⎪
⎞
ν
1
⎪⎜
+ t ⎟⎛⎜ A2 k ξ + A3 kη ⎞⎟ ⎪
⎠⎪
⎪⎜⎝ Re Prk ⎟⎠⎝
⎪
⎪
νt ⎞
⎪⎛⎜ 1
⎪
⎞
⎛
⎟
+
⎜ A2 ε ξ + A3ε η ⎟ ⎪
⎪⎜
⎠⎪
⎪⎩⎝ R e Prε ⎟⎠⎝
⎭
(2)
(3a)
(3b)
(4a)
(4b)
3
Sendo:
4 – FORMULAÇÃO NUMÉRICA
U = ξ t + u ξ x + vξ y
V = η t + u η x + vη y
(5)
A Equação (11) mostra a equação
governante aproximada por diferenças finitas.
O método explícito de Euler é usado na
integração temporal e as derivadas espaciais
são aproximadas por diferenças finitas de
segunda ordem. As derivadas dos vetores de
fluxo invíscito são aproximadas por diferenças
finitas centradas de segunda ordem. As
derivadas de fluxo viscoso são aproximadas
por diferenças finitas backwards de primeira
ordem.
J = ξ xη y − η x ξ y
2
2
A1 = ξ x + ξ y
A = η xξ x + η yξ y
2
2
2
A3 = η x + η y
k2
ν t = Cμ fμ
ε
(6)
[
Sendo ξx, ξy, ηx e ηy as métricas de
transformação.
A equação (1) é resolvida numericamente
junto com as condições iniciais (8), condições
de contorno sobre a superfície do corpo (9) e
condições de contorno de escoamento não
perturbado (10), onde I é a intensidade de
turbulência, y é a velocidade do cilindro na
direção y, considerada zero em todos os
casos, e M∞=0.2 considerado para
escoamento incompressível.
&
Condições iniciais:
⎧ u =1
⎪ v=0
⎪⎪
2
⎨ p = 1/ M∞
⎪ k = 1.5 I 2
⎪
3
⎪⎩ε = 0.3I / l
⎧u=0
Condições de Contorno ⎪
&
⎪v= y
⎪ ∂p
na superfície do corpo ⎨ = 0
⎪ ∂n
⎪ k =0
⎪
e na placa plana:
⎩ε =0
]
n
Qin,+j1 =Qin, j −Δt δξ Ee +δηFe −∇ξ Ev −∇ηFv −∇ξ ERS −∇ηFRS −H (11)
(7)
(8)
As derivadas dentro do vetor de fluxo
viscoso são aproximadas por diferenças finitas
forward de primeira ordem. A combinação de
diferenças finitas de primeira ordem forward e
backward resulta numa aproximação centrada
de segunda ordem em diferenças finitas dos
termos difusivos da equação governante.
Fluxos de Roe-Sweby são responsáveis pelo
TVD e upwinding do esquema, Eq. (12).
(
1 ~ n
RS
n
E i +1/ 2, j = A Qi +1, j − Qi , j
2
~
~
A = Ta Λ aTa−1
(13)
~
Λ
Na Eq. (14), a matiz a é diagonal, cujos
termos são mostrados na Eq. (14) e a matriz
Ta é definida na Eq. (15).
[
~
[
2
r r r
r
Ta = x1a , x2a , x3a , K , xna
⎧ u =1
⎪ v=0
Condição de escoamento⎪
⎪ p = 1/ M 2
∞
⎨
⎪ k = 1.5 I 2
não perturbado:
(10)
⎪
3
⎪⎩ε = 0.3I / l
.
(12)
Sendo:
λ ka = λak + ψ ka Δt (λak ) − λak
(9)
)
]
]
(14)
(15)
ra a
x
λ
Sendo ( k , k ) os auto-vetores e os
autovalores da matriz jacobiana A, definida na
Eq. (16).
A=
∂E e
∂Q
(16)
4
O limitador de fluxo de van Leer (1979),
definido na Eq. (17), é função do coeficiente r
definido na Eq. (18).
⎧ 0
⎪
a
ψ k = ⎨ 2rka
⎪1 + r a
k
⎩
rka ≤ 0
(17)
r >0
a
k
⎧ wik+ 2, j − wik+1, j
⎪ k
k
⎪ w −w
a
rk = ⎨ ik+1, j k i , j
⎪ wi , j − wi −1, j
⎪ wik+1, j − wik, j
⎩
λak ≤ 0
axR + by R + c = qR
(18)
λak > 0
Sendo:
r
r
w = T −1Q
informação entre as malhas é feita com um
esquema de interpolação linear, Eq. (20). A
Figura 2 mostra o estêncil de interpolação
considerado. Os nós doadores são usados
para obter as constantes de interpolação, Eq.
(21). Apesar de este ser um esquema não
conservativo, os resultados são considerados
razoáveis com um controle da malha na
fronteira de interpolação.
⎧axD1 + by D1 + c = qD1
⎪
⎨axD 2 + by D 2 + c = qD 2
⎪ax + by + c = q
D3
D3
⎩ D3
(20)
(21)
(19)
O domínio numérico foi dividido em
duas regiões, um domínio circular próximo ao
cilindro e um domínio cartesiano englobando
a placa plana. Ambos os domínios são
resolvidos simultaneamente com um código
mestre-escravo baseado em Houzeaux e
Codina (2003). O código escravo calcula a
solução no novo espaço de tempo, resolvendo
a Eq. (11) na malha determinada pelo código
mestre. O código mestre é responsável pelo
gerenciamento da solução. O código mestre
realiza as seguintes tarefas:
•
Identifica os nós interiores e os remove da
solução (operação de hole cutting),
•
Identifica os nós de fronteira como as
fronteiras virtuais na malha de fundo,
•
Realiza a transferência de informação
entre as malhas
•
Chama o código escravo para atualizar a
solução.
A terminologia do hole cutting é
apresentada na Figura 1. Uma fronteira de
interpolação dupla entre os domínios é
estabelecida. Isto significa que os nós de
fronteira compreendem pelo menos dois nós
afastando-se do cilindro. A fronteira de
interpolação das duas malhas não se
sobrepõe, de modo a evitar um possível
“congelamento” da solução. A troca de
Figura 1. Terminologia hole cutting do método
Chimera.
Figura 2. Estêncil de interpolação.
5
5 – GERAÇÃO DA MALHA
Um gerador algébrico de malha, usando
método multi-superfícies, é usado para gerar
212x60 (com limite exterior de 1D no raio) e
212 x40 (com limite exterior de 0.6 D no raio)
pontos de malha ao redor de um cilindro
circular. A malha é construída de maneira que
o corpo é parte da palha (malha ajustada ao
corpo). Adicionalmente, a malha gerada é
ortogonal à superfície do corpo para facilitar a
implementação da condição de contorno no
corpo. Uma concentração exponencial de nós
próximo ao corpo é usada na direção
transversal (η).
Uma malha cartesiana com concentração
de nós na esteira do cilindro é adotada como
malha de fundo. A Figura 3 mostra as malhas
adotadas para o cilindro isolado e a Figura 4
mostra uma malha de fundo com malha
concentrada sobre a placa plana.
(a)
(b)
Figura 3. Malhas Chimera com sobreposição,
toda a malha (a) e detalhe da malha próximo
ao cilindro (b).
Figura 4. Malha de fundo para placa plana na
fronteira.
5 – CILINDRO ISOLADO
Resultados foram obtidos para um cilindro
circular fixo e isolado para quatro diferentes
números de Reynolds para verificar a correta
implementação do código numérico. Três
escoamentos laminares foram simulados com
números de Reynolds iguais a 40, 100 e 200.
Nesses três casos, as equações de transporte
do modelo de turbulência k-ε foram desligadas
e somente as equações de continuidade e
momentum foram resolvidas. Um escoamento
turbulento par número de Reynolds de 1000 foi
simulado. Neste caso as equações de
transporte do modelo de turbulência também
foram resolvidas.
A Tabela 1 apresenta comparações do
coeficiente de arrasto e algumas dimensões
características do par de vórtices que se forma
no bordo de fuga do cilindro para número de
Reynolds igual a 40. A Figura 5 apresenta a
definição dessas dimensões características. A
concordância entre o coeficiente de arrasto
obtido no presente trabalho e o obtido
experimentalmente por Tritton (1959) é muito
boa. As dimensões características obtidas
para o par de vórtices obtidos no presente
trabalho também concordam bem com os
resultados experimentais de Constanceau e
Bouard
(1977)
e
com
os
obtidos
numericamente por Rengel e Sphaier (1999) e
Wanderley et al (2008).
Figure 5. Dimensões características dos
vórtices atrás de um cilindro circular para
Re=40
6
Tabela 1. Resultados obtidos para Re=40
Referência
Tritton (1959)
Constanceau
e Bouard
(1977)
Rengel e
Sphaier (1999)
Wanderley et
al (2008)
Presente
trabalho
Cd
1,57
-
L/D
2,13
a/D
0,76
b/D
0,59
θs
53,5
Coment.
Exp
Exp
1,61
2,23
0,72
0,58
54,06
1,56
2,29
0,73
0,60
53,8
1,50
2,54
0,75
0,64
53,0
MVF
180x160
MDF
200x200
MDF
Quimera
A Tabela 2 apresenta comparação entre os
resultados obtidos no presente trabalho, para
números de Reynolds iguais a 100, 200 e
1000, e outros dados experimentais e
numéricos da literatura para coeficientes de
arrasto e sustentação e número de Strouhal.
A Tabela 2 inclui resultados experimentais
obtidos por Norberg (2003), para coeficiente
de sustentação e número de Strouhal,
resultados
experimentais
obtidos
por
Weiselsberger (1921), para coeficiente de
arrasto, e resultados numéricos obtidos por
Herfjord (1995) e Rengel e Sphaier (1999).
Existe uma boa concordância com os
resultados da literatura. Apesar de haver uma
previsão para mais na força de sustentação
no caso turbulento, isto está de acordo com
as limitações da solução bidimensional
apresentada por Mittal e Balachandar (1995a).
Os resultados obtidos indicam que o código é
adequado para a investigação do caso de
cilindro próximo a uma placa plana.
Tabela 2. Comparação de resultados
obtidos neste trabalho com os encontrados na
literatura
Referência
Herfjord
(1995)
Rengel e
Sphaier
(1999)
Norberg
(2003)
Weiselsberger
(1921)
Wanderley et
al (2008)
Presente
trabalho
Re
100
200
1000
100
200
1000
100
200
1000
100
200
1000
100
200
1000
100
200
1000
Cdm
1,36
1,35
1,47
1,36
1,35
1,60
1,41
1,29
0,99
1,30
1,27
0,96
1,29
1,26
1,08
Cl’
0,34
0,70
1,45
0,32
0,67
1,70
0,32
0,53
0,08
0,25
0,51
0,22
0,36
0,70
0,57
St
0,168
0,196
0,234
0,173
0,203
0,225
0,164
0,182
0,210
0,158
0,187
0,193
0,149
0,178
0,190
Comentários
MEF, 10080
nós,
dt=0,002.
MVF,
(180x160)
nós
Experimental
Experimental
MDF,
(200x100)
nós
MDF
Quimera
6 – CILINDRO PRÓXIMO A UMA PLCA
PLANA
O código numérico foi, então, empregado
para avaliar o escoamento ao redor de um
cilindro circular próximo a uma placa plana
finita. O cilindro é colocado no centro de uma
placa plana de 20D de comprimento com
afastamento, G, variável e um escoamento
uniforme incide sobre a montagem para
desenvolver uma camada limite natural sobre
a placa plana. A Figura 6 apresenta um
esquema desta montagem, a qual é similar à
adotada por Price et al (2001).
Figura 6. Esquema da montagem
cilindro/placa plana adotada na investigação
numérica.
Quatro razões de afastamento diferentes
foram analisadas, cada uma representante de
um dos quatro diferentes regimes de
escoamento identificados por Price et al
(2001), G/D = 3,0, 0,6, 0,3 e 0,125. Dois casos
laminares, Re = 100 e 180, e um caso
turbulento, Re = 7000, foram investigados.
A Figura 7 apresenta o escoamento ao
redor do cilindro para G/D = 3,0. A esteira de
vórtices de von Kármán tradicional é
observada. É também notado que a camada
limite na fronteira plana atrás do cilindro é
modificada pela esteira. A Tabela 3 apresenta
comparação entre os coeficientes de
sustentação e arrasto e número de Strouhal
obtidos no presente trabalho com e sem a
placa plana. Pode-se observar que os
resultados
obtidos
concordam
com
escoamentos de grande afastamento descritos
por Price et al (2001), uma vez que nenhum
desvio significativo é observado.
A Figura 8 apresenta o escoamento ao
redor do cilindro para G/D = 0,125 e a Figura 9
para G/D = 0,3. Pode-se observar que a
camada cisalhante não se enrola atrás do
cilindro para G/D = 0,125. Uma grande bolha
de separação é formada atrás do cilindro.
Estas características estão de acordo para
escoamentos de razão de afastamento muito
7
pequena descrita por Price et al. O caso de
G/D = 0,3 é bastante similar, entretanto o
escoamento entre o cilindro e a placa plana é
muito maior e é acelerado devido à contração
na passagem. Por causa disto, a grande bolha
de separação é deslocada a jusante do
cilindro. Conforme o escoamento entre o
cilindro e a placa aumenta, a camada
cisalhante atrás do cilindro começa a se
enrolar, Figura 9 (b), entretanto o efeito de
estabilização da parede previne a emissão de
vórtices.
(a)
(b)
(c)
Figura 7. Campo de Vorticidade para o caso
de G/D = 3,0, para (a) Re = 100, (b) Re = 180
e (c) Re = 7000.
(a)
(b)
Figure 8. Campo de velocidades horizontais e
linhas de correntes para o caso de G/D =
0,125, para (a) Re = 100 e (b) Re = 180.
A Tabela 3 apresenta a comparação entre
os resultados obtidos no presente trabalho
para os coeficientes de sustentação e arrasto
e o número de Strouhal.
(a)
(b)
Figure 9. Campo de velocidades horizontais e
linhas de correntes para o caso de G/D = 0,3,
para (a) Re = 100 e (b) Re = 180.
As Figuras 10 e 11 apresentam o
escoamento ao redor do cilindro para G/D =
0,6. Neste caso, é observada uma grande
dependência do número de Reynolds. Fig. 10
(a), Re=100, apresenta um escoamento similar
ao observado para G/D = 0,3, entretanto com
ainda mais intensidade no escoamento entre o
cilindro e a placa plana. Por causa disto, a
bolha de recirculação é deslocada para depois
do bordo de fuga da placa finita. O
escoamento é similar ao visto para razão de
afastamento muito pequena.
Aumentando o número de Reynolds, Fig.
10 (b), Re=180, o efeito da parede não é mais
suficiente para estabilizar a esteira e
desprendimento de vórtices é observado.
Existe uma forte interação entre a camada
cisalhante inferior e a camada limite sobre a
placa. A camada cisalhante induz a formação
de um vórtice de sinal oposto na placa plana.
Este vórtice secundário também é convectado
a jusante. Entretanto, neste processo, o vórtice
inferior é deformado campo induzido entre o
vórtice superior e o vórtice secundário. É
proposto que isto leva a dissipação do vórtice
inferior, num mecanismo similar ao descrito
por Mittal e Balachandar (1995b). Isto leva a
esteira de uma única fileira de vórtices, como
observada na Figure 11 (a). Este regime de
escoamento é relacionado a pequenas razões
de afastamento.
8
Novamente aumentando o número de
Reynolds, Fig. 10 (c), Re=7000, a camada
limite sobre a placa plana é menor e a
interação entre esta e a camada cisalhante
inferior é mais fraca. Portanto, o campo de
deformação não é suficiente para dissipar o
vórtice inferior, apenas enfraquecê-lo, como
observado na Fig. 11 (b). Este regime de
escoamento se assemelha ao visto para
razões de afastamento intermediárias.
A Tabela 3 apresenta comparação entre os
resultados obtidos no presente trabalho para
coeficientes de arrasto e sustentação e
número de Strouhal.
(a)
(b)
Figura 11. Campo de vorticidade para o caso
de G/D = 0,6, para (a) Re = 180 e (b) Re =
7000.
7 – CONCLUSÃO
O escoamento ao redor de um cilindro
circular próximo a uma placa plana foi
investigado pela solução numérica das
equações RANS utilizando a hipótese de
Boussinesq (1877), o modelo de turbulência kε de Chien (1982) e o método Chimera de
decomposição
de
domínio.
Resultados
numéricos para o caso de um cilindro isolado,
sem a placa plana, foram obtidos e
comparados com resultados numéricos e
experimentais da literatura, mostrando bons
resultados. A comparação dos coeficientes de
força e número de Strouhal validaram a
implementação do código para a investigação
subsequente. Então, resultados para o cilindro
próximo a placa plana foram obtidos.
(a)
(b)
(c)
Figura 10. Campo de velocidades horizontais
e linhas de correntes para o caso de G/D =
0,6, para (a) Re = 100, (b) Re = 180 e
Re=7000.
Tabela 3. Resultados obtidos para cilindro
circular próximo a uma placa plana
Número de
Reynolds
100
180
7000
G/D
Cd
Cl’
Clm
St
∞
3
0,6
0,3
0,125
3
0,6
1,29
1,32
0,84
0,74
0,63
1,32
0,88
0,36
0,34
0,67
0,14
0,15
0,17
0,19
0,16
0,3
0,125
3
0,6
0,70
0,61
0,94
1,07
0,60
0,64
0,00
0,06
0,03
0,30
0,41
0,04
0,01
0,11
0,36
0,02
0,12
0,21
0,22
Os resultados numéricos confirmaram os
quatro regimes de escoamento baseado na
razão de afastamento descritos por Price et al
(2001). Entretanto, as definições de razão de
afastamento
mostraram
uma
forte
dependência do número de Reynolds. Em
concordância com Zovatto e Pedrizzetti (2001),
o regime de escoamento se mostrou dominado
pelo número de Reynolds. O efeito de
estabilização da parede é menos proeminente
para números de Reynolds crescentes. O
efeito do número de Reynolds no presente
trabalho pode ser mais pronunciado, uma vez
que a camada limite sobre a placa plana é
desenvolvida
naturalmente.
As
quatro
diferentes categorias de escoamento ao redor
de um cilindro próximo a uma placa plana se
mostraram como uma função da razão de
9
afastamento, bem como do número de
Reynolds.
Norberg, C., 2003. “Fluctuating lift on a
circular
cylinder:
review
and
new
measurements”. J. Fluids Struct., 17:57-96.
Foi também observado que o coeficiente
médio de arrasto e a amplitude do coeficiente
de sustentação diminuem com o decréscimo
da razão de afastamento. Ambas as
quantidades decrescem com um aumento no
número de Reynolds. Estes resultados
também estão de acordo com o apresentado
na literatura.
Price, S. J., et al., 2001, “Flow Visualization
Around a Circular Cylinder Near to a Plane
Wall”, Journal of Fluids and Structures, 16(2),
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8 – REFERÊNCIAS
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11