MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Funções de mais de 1 variável
Um número muito grande de fenômenos
necessitam, para seu compreendimento, de várias
variáveis independentes para descrevê-lo. Por
exemplo:
Exemplo 1 - A área de um terreno
retangular:
A área depende do comprimento x e da
largura y. Assim:
A(x,y)=x.y
Exemplo 3 - Dê o domínio natural de
definição da função:
z = 2x - y
Solução: Esta expressão é definida para
todos pontos (x,y)  R2. Consequentemente, o
domínio coincide com o plano OXY inteiro.
Exemplo 4 - Encontre o domínio natural de
definição de:
z  1  x2  y2
Solução: Nesse caso devemos impor que:
1
1 x  y  0  x  y  1
2
Exemplo 2 - A temperatura de uma chapa
metálica, depende, em geral, dos pontos (x,y) sobre a
placa; assim T=T(x,y), ou seja a temperatura é uma
função nas variáveis x e y.
Para estudarmos as funções de mais de uma
variável, inicialmente, necessitamos do conceito de
algumas definições:
DEFINIÇÃO 1 - Se a cada par (x,y) de
valores de duas variáveis x e y independentes,
tomados de um certo domínio D, corresponde um
valor bem determinado da variável z, diz-se que z é
uma função de duas variáveis independentes x e y
definida no domínio D. Designa-se uma função de
duas variáveis pela notação:
z=f(x,y) ou z = F(x,y)
DEFINIÇÃO 2 - Chama-se domínio de
definição ou domínio de existência da função z =
f(x,y) ao conjunto de pares (x,y) dos valores de x e y
para os quais esta função é definida.
A interpretação geométrica do domínio de
existência de uma função de 2 variáveis é feita
representando cada par de valores x e y por um
ponto P(x,y) do plano OXY; assim o conjunto de
pontos formados no plano será o domínio da função.
A este conjunto chama-se de domínio de definição
da função. Em particular, este domínio pode ocupar
o plano OXY completamente. Os domínios de
definição que considerarmos são constituídos por
partes de plano delimitados por certas curvas. A
curva que delimita o domínio de definição chama-se
fronteira deste domínio. Os pontos do domínio que
não pertencem à fronteira são chamados pontos
interiores do domínio. Todo domínio constituído de
pontos interiores chama-se domínio aberto. Um
domínio completado pela sua fronteira diz-se
domínio fechado. O domínio diz-se limitado se
existe uma constante C tal que a distância de P de
qualquer ponto deste domínio à origem das
coordenadas O é inferior a C, ou:
1
2
2
2
Observe que o conjunto dos pontos P(x,y)
cujas coordenadas verificam esta desigualdade é a
parte do plano delimitado pelo círculo de raio 1 e
centro nas coordenadas (0,0) (origem das
coordenadas). Ou seja, o interior deste círculo e a sua
circunferência (a sua fronteira).
Y
-1
1
X
Exemplo 5 - z = Log(x+y)
Solução: Neste caso devemos impor a
condição de existência:
x  y  0  y  x
Assim, o domínio natural de definição desta
função é o semi-plano colocado por cima da reta y = x. Veja que os pontos da reta não pertencem ao
domínio.
Y
y=-x
X
Neste caso os pontos da fornteira (reta y=-x)
não estão incluídos no domínio.
Exemplo 6 - S Superfície S de um triângulo
é dada por:
OM  C
1
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2
S=x.y/2
O Domínio é definido por x > 0 e y > 0:
Note que o domínio de definição da função
considerada não se identifica com o domínio natural
de definição da expressão analítica que a define, o
domínio natural da expressão x.y/2 , que é o plano
OXY completo.
Para fazermos o traçado gráfico é útil
esboçarmos as curvas de nível: adota-se valores para
z e traçamos no plano OXY as diversas curvas. Em
seguida elevamos ao valor z devido:
DEFINIÇÃO 3: Se todo o sistema
ordenado de valores das variáveis x,y,z,...,u,t
corresponde um valor bem determinado da variável
w, diz-se que a variável w é uma função das
variáveis independentes x,y,z,...,u,t. Denota-se por:
w=F(x,y,z,...,u,t) ou w = f(x,y,z,...,u,t)
Define-se o domínio de definição de uma
função de n variáveis do mesmo modo que no caso
de uma função de 2 variáveis.
Representação Geométrica de uma
Função de duas variáveis:
Seja f(x,y) uma fuinção definida em um
domínio D do plano OXY e seja OXYZ um sistema
de coordenadas cartesianas no espaço. Em cada
ponto x,y do domínio G eleva-se uma perpendicular
ao plano OXY sobre o qual traça-se um segmento
igual ao valor de z=f(x,y). Obtemos então um ponto
cujas coordenadas são (x,y,z) ou (x,y,(f(x,y)) .
O lugar geométrico dos pontos cujas
coordenadas verificam a relação z=f(x,y) chama-se o
gráfico de uma função de duas variáveis. O gráfico
de uma função de duas variáveis é, pois, uma
superfície cuja projeção no plano OXY é o domínio
de definição desta função.Cada perpendicular ao
plano OXY corta a superfície z = f(x,y) no máximo
em 1 só ponto.
Assim fica mais fácil o traçado da
superfície. Veja que neste exemplos as curvas de
nível são circunferências concêntricas em (0,0).
Exemplo 7 - Esboce o gráfico da função:
z  x  y2
2
Solução: Observe que o Domínio coincide
com o plano OXY.
2
2
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3
EXERCÍCIOS
1) Encontre o Domínio das expressões; faça
um esboço da região no plano (x,y). Caso coincida
com o plano OXY, dê como solução o conjunto R2.
a) F(x,y)=x+2y
b) G(x,y)=tg(x+y)
1
x y
d) G( x , y )  x  y
c) F ( x , y ) 
f ( x, y )  x 2  y
e)
 x  y  16
1
g) z 
x y
1 1
h) z  
x y
2
f) z
2
3
Superfícies de Nível:
x
I) z  e y
j) z  cos( x  y )
k) z  sec( x  y )
l) z  cos ec( 2 x  y )
m) z  log( x  y )
z  log( x 2  16  y )
2
o) z  log( 3 x  x  y )
2
p) z  log( y  x  36 )
n)
q)
z  log( x 2  y 2 / 4  1 )
2) Nos exemplos de funções abaixo, são
dadas as superfícies de níveis em forma gráfica e seu
gráfico. Determine as equações das superfícies de
nível.
a)
z
b)
z  y  x2  1
Superfícies de nível:
1
x  y2
2
3
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Limites de Funções de Várias variáveis
DEFINIÇÃO 1: Chamamos de vizinhança
de um dado ponto P0(x0,y0) de raio r ao conjunto de
todos os pontos P(x,y) que satisfazem à
desigualdade:
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  r
Isto é, o conjunto de todos os pontos
situados no interior de um círculo de raio r e centro
em P0(x0,y0). Por consequência, quando dissermos
que a função f(x,y) tem uma certa propriedade em
uma vizinhança do ponto P0(x0,y0), isso significará
que existe um círculo de centro no ponto P 0 em
todos os pontos do qual tal propriedade é verificada.
Seja a função f(x,y) definida num domínio
G do plano OXY:
conjunto de R2 com centro em (x0,y0), então
lim
f ( x , y )  L sempre.
( x , y )( x0 , y0 )
Teorema 2: Se a função f tem limites
diferentes quando (x,y) tende a (x0,y0), através de
dois conjuntos distintos de pontos com (x0,y0) como
um ponto de acumulação (Ou seja toda vizinhança do
domínio contém uma infinidade de pontos de um
conjunto S), então
lim
f ( x, y ) .
( x , y )( x0 , y0 )
Exemplo 1:
: f ( x, y ) 
Dada
lim
( x , y )( 0 ,0 )
lim
x  y2
encontre
4
f ( x , y ).
f ( x , y )  lim f ( x ,0 ) 
x 0
G
0
lim
( x , y )( 0 ,0 )
P(x0,y0)
xy
2
Veja que se considerarmos o conjunto S1
como todos os pontos do eixo x:
( x , y )( 0 ,0 )
y
4
x 0
2
0
Seja S2 o conjunto dos pontos sobre a reata
y=x:
x
0
DEFINIÇÃO 2 : Diz-se que o número A é
o limite da função f(x,y) quando o ponto P(x,y)
tende para o ponto P0(xo,yo) se para todo > 0 existir
um r > 0 tal que para todos os pontos P(x,y) que
verificam a desigualdade PP0 < r, a desigualdade :
f ( x, y )  A  
é satisfeita..
Se o número A é o limite da função f(x,y)
quando P(x,y)P0(x0,y0), denotamos por:
lim f ( x , y )  A
x  x0
y  y0
DEFINIÇÃO 3: Seja P0 (x0,y0) um ponto
pertencente ao domínio de uma certa função f(x,y) .
Diz-se que a função z=f(x,y) é contínua no ponto
P0(x0,y0) se a igualdade:
lim f ( x , y )  f ( x0 , y0 )
x  x0
y  y0
é verificada quando o ponto tende
arbitrariamente para o ponto P0(x0,y0).
Se a condição não é preenchida num dado
ponto N(x0,y0) este ponto chama-se ponto de
descontinuidade da função f(x,y)
Teorema 1: Seja f uma função definida em
todos os pontos de uma vizinhança de centro (x0,y0),
com
possível
exceção
de
(x0,y0)
e
lim
f ( x , y )  L ;Então se S é qualquer
lim
( x , y )( 0 ,0 )
2
lim
x 0
f ( x , y )  lim f ( x , x ) 
x 0
x
x x
2
2

1
2
Logo tal limite não existe.
Teorema 3:
Se duas funções f e g são contínuas em
(x0,y0) então:
I) f+g é contínua em (x0,y0).
II) f-g é contínua em (x0,y0).
III) f.g é contínua em (x0,y0).
IV) f/g é contínua em (x0,y0) desde que
g(x0,y0)  0 .
Teorema 4: Uma função polinomial de duas
variáveis é contínua em todo ponto de seu domínio.
Teorema 5: Uma função racional de duas
variáveis é contínua em todo ponto de seu domínio.
Exercícios:
1) Discuta a continuidade das funções dadas:
a)

xy

f ( x, y )  
se (x, y)  (0,0)
x2  y2
0 se ( x , y )  ( 0 ,0 )

b)

x y

2
f ( x, y )  
se (x, y)  (0,0)
x  y2
0 se ( x , y )  ( 0 ,0 )
2) Determine a região de continuidade de f,
indicando o gráfico e sombreando a região
determinada.
( x , y )( x0 , y0 )
4
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a)
b)
c)
f ( x, y ) 
f ( x, y ) 
f ( x, y ) 
d) f ( x , y ) 
y
x 2  y 2  25
x
-2
0
2
2
9 x 2  4 y 2  36
x
1
0
4 x  9 y  36
2
2
-1
x2  y2
9x  y
2
-2
-2
0
2
2) Descreva o domínio de f e encontre os
valores funcionais indicados:
f ( x, y )  2 x  y 2 ; f ( 2,5), f (5,2)
y2
b) f ( x , y ) 
; f (31
, ); f ( 2,0)
x
uv
c) f ( u, v ) 
; f ( 0,1), f ( 0,1)
u  2v
r/s
d) f ( r, s)  1  r  e ; f (11
, ), f ( 3,3)
f ( x, y, z )  25  x 2  y 2  z 2 ; f (1,2,2)
a)
f ( x, y )  1  x 2  y 2
b)
f ( x, y )  4  x 2  4 y 2
5
2
2
1
0
- 1
- 2
2
0
- 2
f) f ( x, y, z )  2  tgx  y sen z; f ( 4 ,4, 6 )
3) Esboce os gráficos de f (com a ajuda das SN):

2
x y
x  y 2  18
Visto de cima
f ( x, y ) 
a)
e)
5

- 2
0
-1
0
2
-2
1
2
0
- 10
- 20
-2
-1
0
1
2
- 2
0
- 2
1
0. 5
0
- 0. 5
- 1
0
2
2
c)
f ( x, y)  cos( x 2  y 2 )
5
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f x
  f   2 f
  f x  y  f xy 
 
y
y  x  yx
f y
  f   2 f
 f y  f yx 
 
x
x
x  y  xy
Derivadas Parciais
Discutiremos a diferenciação de funções de
valores reais de n variáveis.
 
DEFINIÇÃO 1: Seja f uma função de duas
variáveis x e y . A derivada parcial de f em relação
f y
y
f
a x é denotada por D1 f ou x tal que seu valor
funcional em um ponto qualquer no domínio de f
seja dado por:
f
f ( x  x , y )  f ( x , y )
 lim
x x 0
x
6
 
 fy
y
  f   2 f
 
y  y  y 2
 f yy 
Teorema Seja f uma função de duas
variáveis x e y. Se f, fx, fy, fxy e fyx são contínuas em
uma região aberta R, então em toda R:fxy=fyx ou:
2 f
2 f

xy yx
Se esse limite existir. Analogamente a
derivada parcial de f em relação a y é a função
f
denotada por D2 f ou y tal que seu valor funcional
em um ponto qualquer no domínio de f seja dado
por:
Exercícios:
f
f ( x , y  y )  f ( x , y )
 lim
y y 0
y
A) Dadas as funções abaixo encontre:
se esse limite existir.
1) F(x,y)=x.y+2x
2) F(x,y)=x2-y2
3) F(x,y)=cos(x.y+x)
4) F(x,y)=sen(xy)
5) F(x,y)=ex+y
6) G(x,y)=ln(x+y)
7) T(x,y)=cos(x).ey
8) G(x,y)=tag(x/y)
9) F(x,y)= cos(x)cos(y)
10) F(x,y)=tgx+tgy
11) F(x,y)=lnx+ey-2x
12) F( x , y )  6 x  3 y  7
Exemplo 1)
Dada
f ( x, y )  x 2 y 4  y 3
f
f
Encontre: a) x b) y
f
 2 xy 4
x
f
b)
 4x 2 y 3  3 y 2
y
2
Exemplo 2) Seja: f ( x , y )  cos( xy )
a)
Encontre: a)
f ( 0 ,0 )
f ( 1,1 )
b) y
x
f ( 1,1 )
  y 2 sen( xy 2 )
( 1,1 )
x
a)
 1sen( 1 )  sen1
f ( 0 ,0 )
b)
 2 yxsen( xy 2 )
0
( 0 ,0 )
y
13)
F( x , y )  3 xy  6 x  y 2
14)
f ( x, y )  x 2  y 2
15)
f ( x , y )  x 2 y  3 xy 2  2 y
16) f ( x , y ) 
xy  cos( x )  sen( y )  e x
B) Encontre as derivadas parciais
funções indicadas nos nos pontos dados:
Derivadas Parciais de ordem superior
Se f é uma função de duas variáveis (x,y) e,
então
f
f
a) x b) y
f f
(ou fx e fy) são também funções de
,
x y
duas variáveis ; podemos então considerar suas
derivadas parciais primeiras, que são as derivadas
parciais segundas de f, denotadas como se segue:
f
f
1) a) x (-1,1) b) y (2,0)
F(x,y)=2x3y-3xy2
f
f
2) a) x (0,1) b) y (1,0)
F(x,y)=5x4y+4xy3
f
f x
  f   f
  f x  x  f xx 
 
x
x  x  x 2
2
das
f
3) 1) a) x (,0) b) y (0,)
F(x,y)=cos(xy)
6
6
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C) Dada a função u encontre as derivadas
parciais em relação a x e a y:
u  x 2  y 2 ; ux ; uy
7
G. Podemos localizar um ponto no espaço
através das coordenadas cartesianas (x,y,z) ou:
G1. Esféricas - P(r,,), onde:
D) A lei dos gases ideais pode ser
enunciada como: PV=nkT, em que n é o número de
moles do gás, V é o volume , T a temperatura, P é a
pressão e k uma constante (constante de
Boltzmann). Mostre que:
V T P
 1
T P V
z

P(r, ,)
r
y
x
D. Uma função f de x e y é uma função
harmônica se:
2 f 2 f

1
x 2 y 2
Prove que a função dada é harmônica:
f ( x, y )  ln x 2  y 2
y
2) f ( x , y )  arctg
x
3) f ( x, y )  cos x senh y  sen x cosh y
7
,
Relações: P(r, ,) P(x,y,z)
x  r sen  cos 
y  r sen  sen 
z  r cos 
Encontre:
1)
x
y
4) f ( x, y )  e cos y  e cos x
E. Na eletrostática, as componentes do
campo elétrico

E , Ex,Ey e Ez são dadas por:
Relações: P(x,y,z) )P(r, ,)

V
V
V
E
x 
y 
z
x
y
z
Onde
V=V(x,y,z)
eletrostático. Seja:
V 
kQ

r
é
o
x x x
,
,
r  
y y y
b)
,
,
r  
z z z
c)
,
,
r  
a)
potencial
kQ
x  y2  z2
2
Determine as componentes do campo
r  x2  y2  z2
y
  arctg
x
x2  y2
  arctg
z
elétrico.
Determine:
F. Para uma dada função V, se satisfaz a
equação de Laplace, então:
d)
 2V  2V  2V


0
x 2 y 2 z 2
Verifique se para o potencial V dado por :
V 
kQ
r r r
, ,
x y z
  
e)
,
,
x y z
  
f)
, ,
x y z
x  y2  z2
2
satisfaz a equação de Laplace.
G2. Cilíndricas - P(,,z), onde:
7
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z
a)
P(,,z)
b)


I
t
8
( x  5, t  6 )
I
x ( x 5,t 6 )
y
x
I. A análise de certos circuitos elétricos
envolve a equação:
Relações: P(,,z)  P(x,y,z):
x   cos 
y   sen 
zz
I
R  L2 2
Aqui: I é a corrente, V a voltagem, R a
resistência, L a indutância e  uma constante
positiva.
Encontre:
Encontre:
a)
x x x
,
e
  z
y y y
b)
,
e
  z
z z
z
c)
,
e
  z
V
2
I
R
b)
I
L
a)
Relações: P(x,y,z)  P(,,z):
  x2  y2
y
  arctg
x
z=z
Encontre:
  
,
e
x y z
  
e)
,
e
x y
z
z z z
f)
,
e
x y z
d)
J. A maioria dos computadores tem apenas
um processador que pode ser utilizado para cálculos.
Os supercomputadores modernos, no entanto, têm
entre 2 e vários milhares de processadores. Um
supercomputador multiprocessador é comparado a
um computador uniprocessador em termos de
speedup. A speedup S é o número de vezes mais
rápido que um cálculo pode ser feito com um
multiprocessador, do que com um uniprocessador. A
lei de Amdahl é uma fórmula usada para determinar
S:
S ( p, q ) 
Aqui:p é o número de processadores; q é a
fração do cálculo que pode ser realizada utilizando
todos os processadores disponíveis em paralelo - isto
é, usando-os de maneira que os dados sejam
processados concomitantemente por unidades
separadas. A situação ideal, paralelismo completo,
ocorre quando q=1.
a) Encontre a taxa de variação de S com
respeito a q (
Em que I0 é a intensidade ao meio dia, D é
a extensão do dia (em horas) e k é uma constante
positiva. Se I0=1.000, D = 12 e k =0,10, calcule :
S
).
q
b) Determine
H. Em um dia claro, a intensidade da luz
solar (em velas-pé) às t horas após o nascente e à
profundidade oceânica de x metros pode ser
aproximada por:
I ( x, t )  I 0 e  kx sen 3 ( t / D)
p
q  p(1  q )
S
quando q=1.
p
2 f
2 f
K. Verifique que
para as

xy yx
funções:
k1)
f ( x, y )  xy 4  2 x 2 y 3  4 x 2  3 y
8
8
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9
x2
k2) f ( x , y ) 
x y
f ( x, y )  x 3e 2 y  y 2 cos x
1
2 x2
k4) f ( x , y )  y e  2 3
x y
y
2
k5) f ( x , y , z )  x cosh
(fxz,,fyz,,fxy)
z
k3)
k6)
w( x, y, z )  x 2  y 2  z 2
9
L. A equação da onda em uma dimensão é
dada por:
2 1 2

0
x 2 c 2 t 2
Seja:
( x, t )   0ei( kx t )
Aqui , k e  são constantes.
Encontre a relação entre k,  e c.
9
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Crescimento e Diferencial total:
Por definição, o crescimento total de uma
função z = f(x,y) é dado por:
z  f ( x  x , y  y )  f ( x , y )
y
z
variáveis
independentes
Exemplo 1 - Calcular o diferencial total e o
crescimento total da função z=xy no ponto (2,3), se
x=0,1 e y=0,2:
z  ( x  x )( y  y )  xy
z  yx  xy  yx
A diferencial dz é dada por:
(x+x,y+y)
f
f
dx  dy
x
y
f
f
Onde:
 y;
 x ; substituindo os
x
y
dz 
(x,y)
f(x+x,y+y) z
f(x,y)
x
Suponhamos que as derivadas parciais da
função f(x,y) no ponto considerado existam e são
contínuas. É possível exprimir z com o auxílio das
derivadas parciais ( Piskounov Vol. I pg.284).
Chega-se a:
f ( x , y )
f ( x , y )
z 
x 
y   1 x   2 y
x
y
A expressão  1 x   2 y é infinitamente
pequena e tendem para zero rapidamente quando x
e y tendem a zero.
DEFINIÇÃO 1: Diz-se que a função
z=f(x,y) é diferenciável no ponto (x,y) se o
crescimento total z nesse ponto puder ser posto
sob a forma de uma soma composta de dois termos:
sendo o primeiro uma expressão linear em x e y e
o segundo um infinitamente pequeno de ordem
superior. A parte linear do crescimento é chamada
de diferencial total e denotada por dz ou df.
Então:
z  dz   1 x   2 y {1}
Pode-se escrever a igualdade aproximada
por:
z  dz {2}
E o diferencial total da função f(x,y) é
escrito por:
dz 
diferenciais
das
correspondentes.
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f
f
dx  dy {3}
x
y
Por conseguinte, se a função f(x,y) tem
derivadas parciais contínuas ela é diferenciável no
ponto (x,y) e o seu diferencial total é igual a soma
dos produtos das derivadas parciais pelos
valores de x,y e x=dx; y=dy teremos:
z=3.0,1+2.0,2+0,1.0,2=0,72;
dz= 3.0,1+2.0,2=0,7.
Exemplo 2 - Uma lata de metal fechada, na
forma de um cilindro circular reto, deve possuir
altura do lado interno igual a 6cm, raio interno de
2cm e espessura de 0,1 cm. Se o custo do metal a ser
usado é 10 centavos por cm 3, encontre o custo
aproximado (por diferenciação) na fabricação da lata.
O volume de um cilindro circular reto é:
V  r 2 h
; r : raio da base e h : altura.
O volume exato de metal na lata é dado pela
diferença de diois cilindros circulares retos para os
quais r=2,1;h=6,2 e r=2 e h=6. V deveria nos dar
o volume exato do material, porém queremos um
valor aproximado. Então:
V
V
dr 
dh
r
h
V
V
 2rh ;
 r 2 ; teremos:
Como:
r
h
dV  2rhdr  r 2 dh
V  dz 
Como r=2,h=6,dr=0,1 e dh=0,2 teremos:
dV=3,2cm3 = V. O custo do cm3 é de 10
centavos, então o custo do volume será de 100,53
centavos , aproximadamente; ou R$ 1,0053.
Exercícios:
1) Se f(x,y)=3x2 + 2xy - y2 e
x=0,03 e y=-0,02 encontre:
a) Oincremento de f em (1,4).
b) A diferencial total de f em (1,4).
2) Se f(x,y,z) = xy + ln (y/z), x=0,02;
y=0,04 e z=-0,03 encontre:
a) O incremento de f em (4,1,5).
b) A diferencial total de f em (4,1,5).
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3) Nos exercícios abaixo demonstre que f é
diferenciável em todos os pontos de seu domínio
fazendo o seguinte:
(a) Encontre f(x0,y0) para a função dada;
(b) Encontre 1 e 2 tal que a equação
{1} seja válida;
(c) Mostre que 1 e 2 tendem a 0
quando (x, y)  (0,0).
a) f(x,y) = x2 y - 2xy
b) f(x,y)= 2x2 + 3y2
4) Use a diferencial total para mostrar que o
erro máximo no cálculo da área de um triângulo
retângulo , cujos catetos têm como medida 6 cm e 8
cm, respectivamente, com um erro possível de 0,1
cm para cada medida. Encontre também a
porcentagem aproximada do erro.
11
5) A lei do gás ideal de Clapeyron:
PV=nRT é usada para encontrar P quando se
conhece T e V. Se há um erro de 0,3% na medida de
T e 0,8 % na medida de V encontre a porcentagem
máxima de erro em P, supondo V = 0,1 l (litros)e T
= 300 K. (R =0,082 atm.l/mol.K e n = 2 (2 moles).
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A Regra da Cadeia
Considere agora a regra da cadeia para uma
função de duas variáveis, onde cada uma dessas
variáveis é função de duas variáveis:
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Exercícios:
1) Nos exercícios abaixo, encontre a
derivada parcial pelos dois métodos:
a) Pela regra da cadeia.
u
r

G(r,s) ;
u
s
 ( ux )( xs )  ( uy )( s )
x x y y
, , ,
todas existem, então u é
r s r s
uma função de r e s e:
( ux )( xs
( ux )( xr
y
TEOREMA: Se u é uma função diferencial
de x e y, definida por u=f(x,y) e x = F(r,s) ; y =
)  ( uy )( r ) ;
y
b) Faça as substituições de x e y antes de
derivar.
u y
y )( s
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u
s

u
r
 ( ux )( xr )  ( uy )( r )
)(
)
1.1)
u  x 2  y 2 ; x  3r  s; y  r  2s; us ; ur
y
1.2)
u  e x ; x  2r cos t ; y  4rsent ; ur ; ut
y
Teorema:
u  3 x 2  xy  2 y 2  3 x  y ;
1.3)
Se u = u (x,y) e x=x(t); y = y(t) então u=u(t)
e:
du u dx u dy


dt x dt y dt
x  2r  3 s; y  r  s; ur ; us
4) Encontre as derivadas parciais
u u u
; ;
pela
s r t
regra da cadeia:
a)
u  arcsen( 3 x  y ); x  r 2 e s ; y  sen( rs )
u  xe  y ; x  arctg( rst ); y  ln( 3rs  5rt )
b)
u  x2  y2  z2 ;
c)
x  rsen cos ;
u
y  rsensen; z  r cos  ; ur ; u ; 
d)
u  x 2 yz ; x  rs ; y  re s ; z  re  s
2) Uma caixa vai ser fabricada com madeira
de 2/3 cm de espessura. O comprimento interno deve
ter 60 cm de espessura, a largura interna 30 cm e a
altura 40 cm. Use a diferencial total para encontrar a
quantidade aproximada de madeira que será utilizada
na fabricação da caixa
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