1ª FASE MATEMÁTICA - UNICAMP 2014
1. (Unicamp 2014) A figura abaixo exibe, em porcentagem, a previsão da oferta de energia no
Brasil em 2030, segundo o Plano Nacional de Energia.
Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia do país irá atingir 557 milhões de tep
(toneladas equivalentes de petróleo). Nesse caso, podemos prever que a parcela oriunda de
fontes renováveis, indicada em cinza na figura, equivalerá a
a) 178,240 milhões de tep.
b) 297,995 milhões de tep.
c) 353,138 milhões de tep.
d) 259,562 milhões de tep.
2. (Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos
lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a
2
a) 3,0 m .
2
b) 2,0 m .
2
c) 1,5 m .
2
d) 3,5 m .
3. (Unicamp 2014) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura
abaixo.
1
O valor de f(g(1)) − g(f(1)) é igual a
a) 0.
b) – 1.
c) 2.
d) 1.
4. (Unicamp 2014) O gráfico abaixo exibe a curva de potencial biótico q(t) para uma
população de micro-organismos, ao longo do tempo t.
Sendo a e b constantes reais, a função que pode representar esse potencial é
a) q(t) = at + b.
b) q(t) = a bt .
c) q(t) = at 2 + bt.
d) q(t) = a + logb t.
1 a 1
5. (Unicamp 2014) Considere a matriz M = b 1 a , onde a e b são números reais distintos.
1 b 1
Podemos afirmar que
a) a matriz M não é invertível.
b) o determinante de M é positivo.
c) o determinante de M é igual a a2 − b2 .
d) a matriz M é igual à sua transposta.
6. (Unicamp 2014) Um caixa eletrônico de certo banco dispõe apenas de cédulas de 20 e 50
reais. No caso de um saque de 400 reais, a probabilidade do número de cédulas entregues ser
ímpar é igual a
1
a) .
4
2
b) .
5
2
c) .
3
3
d) .
5
7. (Unicamp 2014) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela
metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro
a) é reduzido em 50%.
b) aumenta em 50%.
c) permanece o mesmo.
d) é reduzido em 25%.
2
8. (Unicamp 2014) No plano cartesiano, a reta de equação 2x − 3y = 12 intercepta os eixos
coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas
4
a) 4, .
3
b) (3, 2)
4
.
3
d) (3, − 2).
c) 4, −
9. (Unicamp 2014) O módulo do número complexo z = i2014 − i1987 é igual a
a) 2.
b) 0.
c) 3.
d) 1.
10. (Unicamp 2014) A razão entre a idade de Pedro e a de seu pai é igual a
2
. Se a soma das
9
duas idades é igual a 55 anos, então Pedro tem
a) 12 anos.
b) 13 anos.
c) 10 anos.
d) 15 anos.
11. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x = tg x. O valor de sen x é
3 −1
.
2
1− 3
.
b)
2
5 −1
.
c)
2
1− 5
.
d)
2
a)
12. (Unicamp 2014) Um investidor dispõe de R$ 200,00 por mês para adquirir o maior número
possível de ações de certa empresa. No primeiro mês, o preço de cada ação era R$ 9,00. No
segundo mês houve uma desvalorização e esse preço caiu para R$ 7,00. No terceiro mês, com
o preço unitário das ações a R$ 8,00, o investidor resolveu vender o total de ações que
possuía. Sabendo que só é permitida a negociação de um número inteiro de ações, podemos
concluir que com a compra e venda de ações o investidor teve
a) lucro de R$ 6,00.
b) nem lucro nem prejuízo.
c) prejuízo de R$ 6,00.
d) lucro de R$ 6,50.
3
GABARITO COMENTADO
1: D
Somando os percentuais indicados em cinza: 9,1% + 13,5% + 18,5% + 5,5% = 46,6%.
557 milhões → 100%
x milhões
→ 46,6%
x=
557 × 46,6
259
x = 259,562 milhões.
2: C
Sejam x, x + r e x + 2r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r > 0.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x = 3r. Logo, os lados do triângulo medem
1
3r, 4r e 5r. Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem 3r + 4r + 5r = 6 ⇔ r = .
2
Portanto, a área do triângulo é igual a
3r ⋅ 4r
1
= 6⋅
2
2
2
= 1,5 m2 .
3: D
Do gráfico, sabemos que g(1) = 0 e f(1) = −1. Logo, como f(0) = 1 e g( −1) = 0, obtemos
f(g(1)) − g(f(1)) = f(0) − g( −1) = 1 − 0 = 1.
4: B
A lei da função q não pode ser q(t) = at + b, pois o gráfico de q não é uma reta. Além disso,
como o ponto (0, 1000) pertence ao gráfico de q, segue-se que a lei de q não pode ser
q(t) = at 2 + bt nem q(t) = a + logb t, para quaisquer valores reais de a e b. Portanto, a única
possibilidade é q(t) = a ⋅ bt .
5: B
Temos
1 a 1
detM = b 1 a
1 b 1
= 1 + a2 + b2 − 1 − ab − ab
= (a − b)2 .
Logo, sabendo que a ≠ b (o que implica em M não ser simétrica), tem-se (a − b)2 > 0 para
quaisquer a e b reais distintos, ou seja, o determinante de M é positivo. Em consequência, M
é invertível.
4
6: B
Sejam x, y e n, respectivamente, o número de cédulas de 20 reais, o número de cédulas de
50 reais e o número total de cédulas, isto é, n = x + y. Logo, para um saque de 400 reais,
temos:
20x + 50y = 400
n= x+y
5n = 40 + 3x
⇔ 0 ≤ x ≤ 20 .
0 ≤ x ≤ 20
0≤y≤8
0≤y≤8
Como 40 + 3x é um múltiplo de 5, por inspeção, encontramos
= {(x, y) ∈ 2 ; (0, 8), (5, 6), (10, 4), (15, 2), (20, 0)}.
Portanto, como os únicos casos favoráveis são (5, 6) e (15, 2), segue-se que a probabilidade
pedida é igual a
2
.
5
7: A
Sejam V, r e h, respectivamente, o volume, o raio da base e a altura do cilindro. Logo, como
⋅ r 2 ⋅ h, segue-se que a variação percentual pedida é dada por
V=
⋅
r
2
2
cilindro.
⋅ 2h −
⋅ r2 ⋅ h
⋅ 100% = −50%, isto é, houve uma redução de 50% no volume do
⋅ r2 ⋅ h
8: D
A equação segmentária da reta AB é 2x − 3y = 12 ⇔
x
y
+
= 1.
6 −4
Desse modo, como A = (6, 0) e B = (0, − 4), segue-se que o ponto médio do segmento AB
tem coordenadas
6 + 0 0 + ( −4)
,
= (3, − 2).
2
2
9: A
Como i4 = (i2 )2 = ( −1)2 = 1, vem
z = i2014 − i1987
= i4⋅503 + 2 − i4⋅496 +3
= (i4 )503 ⋅ i2 − (i4 )496 ⋅ i3
= −1 + i.
Portanto, | z | = | −1 + i | = ( −1)2 + 12 = 2.
5
10: C
Se x é a idade de Pedro, e a soma das duas idades é igual a 55 anos, então a idade do pai
2
de Pedro é igual a 55 − x. Sabendo que a razão entre as idades é igual a , obtemos
9
x
2
= ⇔ 11x = 110 ⇔ x = 10.
55 − x 9
11: C
Sabendo que tg x =
cos x = tg x
sen x
, com x ≠ + k
2
cos x
cos x =
e cos2 x = 1 − sen2 x, vem
sen x
cos x
cos2 x = sen x
⇔ sen2 x + sen x = 1
⇔ sen x +
⇔ sen x +
sen x =
1
2
2
−
1
=1
4
1
5
=±
2
2
5 −1
.
2
12: A
a
∈ ∗.
b
200
200
+
= 22 + 28 = 50 ações, ao custo
Nos dois primeiros meses, o investidor comprou
9
7
total de 22 ⋅ 9 + 28 ⋅ 7 = 198 + 196 = R$ 394,00. Portanto, vendendo essas ações ao preço
unitário de R$ 8,00, segue-se que o investidor teve um lucro de 8 ⋅ 50 − 394 = R$ 6,00.
Seja
a
b
o quociente da divisão de a por b, com a, b e
Observação: Note que é indiferente o fato do investidor comprar ou não ações no terceiro
mês.
6