Cilindro
MA13 - Unidade 23
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:
A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT
Cilindro
Em um plano H considere uma curva simples fechada C e seja r uma
reta não contida em H. Por cada ponto P de C trace uma reta paralela a
r . A reunião dessas retas é uma superfı́cie cilı́ndrica.
Um plano H 0 paralelo a H corta a superfı́cie cilı́ndrica segundo uma curva C 0 ,
congruente a C .
Os planos H e H 0 cortam a reta r nos
pontos A e A0 e seja AA0 = g .
A parte do espaço limitada pela superfı́cie
cilı́ndrica e pelos planos H e H 0 é um cilindro de base C e geratriz g .
A distância entre os planos H e H 0 é a
altura do cilindro.
Cilindro
slide 2/7
O volume do cilindro
O volume do cilindro é o produto da área da base pela altura.
Dado um cilindro de altura h com base de área A considere um
paralelepı́pedo retângulo com mesma altura e base de mesma área.
Coloque os dois sólidos com bases no mesmo plano como mostra a figura
acima.
Tanto no cilindro quanto no paralelepı́pedo, toda seção paralela à base é
congruente com a base. Assim, se um plano paralelo ao plano da base
dos dois sólidos produz no cilindro uma seção de área A1 e no
paralelepı́pedo uma seção de área A2 , então, A1 = A + A2 e, pelo
princı́pio de Cavalieri, os dois sólidos têm mesmo volume.
O volume do cilindro de base de área A e altura h é V = Ah.
Cilindro
slide 3/7
Cilindro circular reto
Um cilindro é reto quando as geratrizes são perpendiculares ao
plano da base. Se, além disso a base for um cı́rculo temos o
cilindro circular reto.
O volume do cilindro circular de raio R e altura h é V = πR 2 h.
A superfı́cie lateral do cilindro pode ser cortada ao longo de uma
geratriz e desenrolada, sem alterar sua área, para obter um cilindro
de base 2πR e altura h.
A área lateral do cilindro circular reto é, portanto, SL = 2πRh.
Obs: cilindro equilátero é o que possui altura igual ao diâmetro.
Cilindro
slide 4/7
Tronco de cilindro circular
Em um cilindro circular reto um plano oblı́quo ao eixo cortou todas
as geratrizes. Cada uma das partes em que o cilindro ficou dividido
é um tronco de cilindro.
A base do cilindro tem raio R e o eixo do cilindro cortou a base e a
seção em dois pontos cuja distância é d. O volume do tronco é
V = πR 2 d. Justifique.
Obs: A seção é uma elipse cujo eixo menor é 2R.
Veja a demonstração no livro, pág. 324.
Cilindro
slide 5/7
Sólidos de revolução
Quando uma figura plana F gira em torno de uma reta r de seu
plano e que não a atravessa ela gera um objeto chamado sólido de
revolução. A reta r é o eixo desse sólido.
Se um retângulo gira em torno de uma reta r que contém um de
seus lados, o sólido de revolução formado é um cilindro circular
reto.
O cilindro circular reto também é chamado cilindro de revolução.
Cilindro
slide 6/7
Superfı́cie de revolução
Quando uma linha plana L gira em torno de uma reta r de seu
plano, ela gera uma superfı́cie chamada superfı́cie de revolução. A
reta r é o eixo dessa superfı́cie.
Cilindro
slide 7/7